Истокообразные сплайны и поперечники классов периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКЕ И МЕХАНИКИ

11ЕВАЛДИН ВАЛЕРИЙ ТРИФОНОВИЧ

На правах рукописи УДК 517.5

ИСТОКООБРАЗНЫЕ СПЛАЙНЫ И ПОПЕРЕЧНИКИ

КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (01.01.01 - математический анализ ) АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 1996

Работа выполнена в отделе теории приближения функций Института математики и механики УрО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Женсыкбаев A.A., член-корреспондент АН Украины, профессор Корнейчук Н.П., доктор физико-математических наук, профессор Черных Н.И.

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В.Ломоносова

Ззлдата состоится " Í-1 " 1996 г. в -/3 час.

на заседании диссертационного совета Л 002.07.02 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии Наук по адресу: г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан '* 6 " MJbtfpJt 199 ¿г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук В.М.Бадков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Постановка задач. В современной теории приближения функций точное вычисление поперечников функциональных классов - одна из наиболее трудных задач, привлекающая внимание многих математиков. Понятие поперечника было введено А.Н.Колмогоровым в 1.9о6 году и состоит в следующем. Пусть X ~ линейное нормированное пространство, TL - центрально-симметричное множество из X • п.-меоным поперечником по Колмогорову называют величину

= in? SUP т* ^~ui,x>

Fn yen ueFn

где последний раз точная нижняя грань берётся по всем подпространствам Fn С X размерности dim Fn i п . Подпро-г~ о

странство , реализующее точную нижнюю грань, называется,

экстремальным подпространством.

Задача о вычислении поперечников распадается на две части: оценку величины наилучшего приближения множества 71

В(П9РЛ) = sup inf liif-ulL л yen ueFn

фиксированным ri -мерным подпространством F^ и получение оценок снизу для о1п(У1)х ■ Что касается первой части этой задачи, то в настоящее время ее решение известно для многих стандартных в теории приближения функциональных классов. Основную трудность составляет получение точных оценок снизу. Большая часть диссертации посвящена решению этой задачи для классов истокообразно представленных периодических функций. Поясним понятие функции, истокообразно представленной (для краткости в дальнейшем будем употреблять термин "истокообразная" функция) и его происхождение.

Пусть K(x,i) - определенная в области CL^Xi&^CL^tc-ft и непрерывная в этой области функция двух переменных х и -i

и € Га &] . Функция ^(х), задаваемая интегралом вида

YU) =

а.

называется истокообразно представленной (или истокообразной)• Функция К(х,±) в этом определении называется ядром функции "У , а ф - истоком. Термин "истокообразно" введен Р.Курантом и Д.Гильбертом и происходит от немецкого слова "Quelle", которое может быть переведено на русский язык, как источник ми исток. Введем исследуемые в диссертации классы периодических функций. Пусть Т - отрезок С О , Z31 ] с отождествленными концами, Р С + ^caidР < 00 ( множество Р может быть и пустым ), 07Гр = [Тр(х) = ¿L (aKC0SKx

- фиксированное ядро, причем считаем, что к €¿./7) - Интеграл KU-±)<P(±)citJ Фб/.^ (Т)

(i t с со) в этом случае называется сверткой функций £ и ср и обозначается К * Ф .В диссертации изучается класс р = р) истокообразных функций | вида

Пусть m щ > dim ЖРз & = ^ , д = д Ct) ' заданная неотрицательная, непрерывная на С0,&) функция периода. В классе F выделим следующие множества

{{eF : 9Ci) = ZjglV,(j-i)k i t tjhj Zj 6¡R} Zj^'Hj (jeZ)},

il Ф llL

Множество функций S б Sm(F,o) будем называть пространством истокообразных сплайнов.

Многие хорошо известные в теории приближения функциональные классы представляются истокообразно. Приведем несколько примеров. В случае ^ii)~d>P = {о}} Kit) = Я* Ьх Ш =

603 Т ^ (г функция Вс называется ядром Бернулли ) класс W<^(F) (¿¿<^¿00) представляет собой класс г раз дифференцируемых функций, у которых г-я производная в

метрике = 1.^(7), ограничена сверху единицей и его принято

обозначать у/<£ = \лУ£ (7) • В этом случае при четком иг

пространство 5 (Р,1) является пространством полиномиальных

сплайнов степени % дефекта 1 с равномерными углами ¿к

Экстремальные, аппроксимативные и интерполяционные свойства

полиномиальных сплайнов интенсивно изучались в последние 30

лет очень многими авторами (см., например, монографии [1 - 3]).

В случае ядра КЩ = Л 1КгА (I) »л*1 Г К^сев^*-0^)

X ~

(ог >0), которое является линейной комбинацией ядра Бернулли В>г и его тригонометрически сопряженного 8г класс функций (£) принято обозначать IV ^ = К/З'01 (Т) ( в частности, при Кг^=дг 11 = к/^

В случае и = г , где г - нецелое положительное число, класс = является классом функций с ограниченной нецелой

(по Вейлю) производной. Истокообразные сплайны при о< = г - ± будем называть "сопряженными", а при о( = г ф Д/ - "дробными" . оо

Ялро = -

(О < _р с I ы,е является линейной комбинацией ядра Пуассона Пр(У = 21 ^гармонических функций и его тригономет-

рически сопряженного Г7р = 21 ^¿¡гькЬ и порождает класс гармонических функций Нл* = (('с.+зС'П^* Ф Ф±С,9Ф11г.Л {}, и соответствующие сплайны будем называть гармоническими .Введем также истокообразные сплайны, определяемые линейным дифференциальным оператором с постоянными действительными коэффициентами. Пусть 3) ~ символ дифференцирования, пе N и - оСк ~ произвольный линейный дифференциальный оператор П -го порядка с постоянными действительными коэффициентами, у которого коэффициент при старшей степени равен 1. Этот оператор может быть записан в следующем виде х л-2к

П (а1+ )П (1)

■5=1 с/'"* *

где »¡^ - действительные числа, причем, можно считать,

что о($ > 0 • П'Усть /э^ - характеристический многочлен оператора , р = и

!<Ш = Ш = О&У1 Z elsi/pn(&

S'.pnli «*0

- ядро, соответствующее оператору . Здесь истокообразные сплайны есть периодические решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (£»/ = 93, где <P(t)~ 2j (j-i)A ikt-cji (j e и носят название L-сплайнов

С ^ в £ ) или обобщенных L-сплайнов ( у ф i ). Класс Wtj,(F) в этом случае принято обозначать -

Через Zp ( I i, р ¿, оо ), как обычно, будем обозначать пространство последовательностей ^ = действи-

тельных чисел с нормой

II.,, Л(5,•».<')*.

Р I SU-P ' у»' > Я = 00 •

Линейному дифференциальному оператору с£п - п. > записанному в виде (1), поставим в соответствие разностный оператор с шагом й. > О _

f к о "-'^К Я о

С nCT'-aTe^cosotR^^n (Т-еМВ)у>,

Лп. ¿у s=i <j-t 0

действующи на пространстве последовательностей. Здесь = = tyi>t-i и Е - тождественный оператор. Разность выбрана таким образом, что для любого решения / линейного однородного дифференциального уравнения - О при

лбом ее е Щ имеет место равенство

Ai t (х + \>Я) = о.

Напомним еше несколько известных понятий. Пусть 00 - СО (±) ( t >0 ) - заданный модуль непрерывности, т.е. функция, удовлетворяющая условиям: ■Iin и> (i) = и) (0) = О,

О 4 ooltz)-oo(U)± t*>iti-tt) (Oit^-ix) и Г Чх МШ), О И4 Vi, = | Чг coiM-zi), & ^ '

При P = ^0} , четном m, и K=xfBt { t e N ) сплайны из множества S^CF,^) называют CO -сплайнами. Пусть также со («Г, ФЗ ~ модуль непрерывности функции Фб С СУ) , кото-

рый определяется равенством

= sup I <Pd + &)~<r>Wf И W^H" = (feF: со(^Ф)ссо((Г), 0±<г±л}.

Перейдем к формулировкам задач, рассматриваемых Б диссертации.

1. Задача вычисления поперечников. При возможно меньших требованиях на ядро К вычислить точно или оценить колмогоров-ские поперечники dn (W^ (F))^ (Ц, = 1,со)з о/п

классов периодических функций Wt^(F) 11 W^'^H" ( (л) - выпуклый модуль непрервности ).

2. Интерполяционная задача для сплайнов. Найти необходимые и достаточные условия на числа 0 < Q < -i trne А/ ■fii >/0 > множество Р , функции К , и Y(t)& С[- ^ » ПРИ которых для любой последовательности tf = , i) g^Z.]2 Действительных чисел, удовлетворявших условию ), существует единственный истокообразный сплайн 5 g Sm(P"jQ) такой, что

f J $l9k+fk±i)r(t)c(t = уv , vel

(при ~ о полагаем S (9& + \>&) = ^ ).

3. Конкретные ядра. Применить полученные общие результаты для изучения интерполяционных свойств сплайнов и поперечников классов функций, порождаемых ядрами Кг ^ [ г ? o^d £ Я), Ярд

i^de К » а также задаваемых с помощью модуля непрерывности.

4. Задача экстремальной интерполяции в среднем на оси для линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Указать условия на числа & > о . ■fii О > ПРИ ко~ tqpijx для любой последовательности у =; (yv ^ \> £ J действительных чисел, принадлежащей классу

существует функция | , удовлетворяющая условиям:

fАС, WfeLpCR), V 2.

f i f^fUt)^ = fa , v 6 2

( при = 0 полагаем = ).

Класс всех функций £ ( возможно пустой ), удовлетворяющих приведенным условиям, будем обозначать ^ ^ . Для указанных чисел й. и вычислить величину

Обширная библиография, особенно последних десятилетий, свидетельствует об интересе к этим задачам и их несомненной актуальности. Сформулированные проблемы наряду с задачами нахождения оптимальных квадратурных формул и оптимального вос-тановления на классах функций,порождаемых различными ядрами, как в периодическом, так и в непериодическом случаях, интенсивно изучались в крупнейших математических школах, занимающихся вопросами приближения функций. Это объясняется, как теоретической, так и практической их значимостью. Мы имеем в виду, в частности, украинскую школу по теории приближения функций под руководством.Н.П.Корнейчука, В.К.Дзядыка и А.М.Степанца, школу С.В.Стечкина, школу В.М.Тихомирова, китайскую школу - под руководством Сунь Юн Шена; а также С.М.Никольского, Ю.Н.Субботина, А.А.Женсыкбаева, Л.В.Тайкова, К.Й.Осколкова и их учеников. В этой области получили значительное продвижение американские, болгарские, израильские математики. В последние годы по близкой тематике защищено несколько докторских диссертаций, и тем не менее здесь остается еще ряд нерешенных задач ( в частности, для классов функций, сопряженных соболевским ).

Приведем краткий исторический очерк, ограничиваясь только периодическим случаем. Вначале отметим те работы, в которых "была вычислена величина наилучшего приближения класса W^ (F) в Lp = Lp (Т) в случае, когда F^,- пространство l~m~i тригонометрических многочленов степени m~i - Ее принято обозначать . Первый результат принадлежит

Ж.Фавару, который в 1936 году вычислил величину Em_j (W£>)oo (xefi/ )• В 1937 году Н-.Й.Ахиезер и М.Г.Крейн, передоказав этот результат, указали значение величины (VV^, ( г е Л/ ), где Wto - класс функций, тригонометрически сопряженных к функциям класса ■ Затем в 1938 году М.Г.Крейн вы-

числил Etn_i (w*n)co при m » 3K'i max. <y ( см. (l)).

Идеи этих работ были основополагающими для дальнейшего успешного вычисления величин наилучших приближений тригонометрическими многочленами различных классов истокообразных функций в равномерной ( р = оо ) и интегральной ( р = £ ) метриках. Мы имеем в виду исследования Б.Надя, С.М.Никольского., В.К.Дзяды-ка, С.Б.Сгечкина, Сунь Юн Шена и др. Для класса И/^'1*, который привлекал наибольшее внимание, наиболее общий результат был получен В.К.Дзядыком, который вычислил величину Ет_1 (М^'"1)^ при любых г у о , о( € /Я для Ср = {}са . Вся библиография по указанным результатам содержится, например, в монографиях Н.П. Корнейчука 11 - 31. Отметим также работу В.Ф.Бабенко [4], указавшего значение величины (при = <=° , р - { Наряду с отысканием наилучших приближений классов функций, определяемых конкретными ядрами такими, как К г ^ , и некоторыми другими, предпринимались усилия для решения этих задач для произвольных ядер К » удовлетворяющих некоторым общим условиям: , , , 3) , СУЗ) и т.д. Эти условия обеспечивали возможность применения при решении общей схемы рассуждений Ж.Фавара, Н.й.Ахиезера, М.Г.Крей-на и С.М.Никольского. С возникновением теории сплайнов проявился интерес к нахождению величины Е в том случае, когда - пространство полиномиальных периодических сплайнов с равномерными узлами и различные их обобщения, порождаемые ядром К ( библиографию см., например, в С1 - 3] ).

В.М.Тихомиров [5] в 1969 году показал, что величины поперечников (и/£)ос и ¿¿т О£)оо ( ге/У ) равны Ет-1 (№«)<» * и' слеД0вате;!1ЪН0.' пространство тригонометрических полиномов степени не выше т~± является экстремальным подпространством для указанных поперечников. После этого появилась целая серия работ, посвященных вычислению поперечников классов ( ¿¿^.^оо.гб/У) в различных метриках, как для случая периодических, так и для непериодических функций, а также поперечников других классов истокообразных функций. Самый сильный результат о вычислении ПРИ 1 Р П0ДУчен А.П.Буслаевым и В.М. Тихомировым [6] в'1985 году. Отметим, что экстремальным подпространством для поперечников четного порядка классов VI£ (х€ N ) наряду с пространством ТУг1.1 является пространство периодичес-

ких полиномиальных сплайнов степени г-i с равномерными узлами. Подчеркнем, что основное внимание в работах по поперечникам различных классов уделяется поиску методов получения точных оценок снизу, поскольку соответствующие оценки сверху, как правило, уже известны или могут быть получены по известным схемам. Среди этих методов получения точных нижних оценок выделим два, наиболее часто применяемые. Первый из них существенно опирается на теорему Борсука из топологии. При этом приходится решать экстремальную задачу минимизации нормы совершенного сплайна с нефиксированными узлами. Эта задача нелинейная и поэтому является весьма трудной. Кроме того, для истокообразных функций требуются некоторые обобщения теоремы Ролля или наложение на ядро К условий зкакорегулярности, например, свойства CVoD не увеличения осцилляции ( см. определение в [7] ). На этом пути наиболее значительные продвижения в вопросах точного вычисления поперечников получены А.Пинкусом, В.Ф.Бабенко, Нгуен Тхи Тхьеу Хоа и др. Второй метод инициирован В.М.Тихомировым и основывается на его теореме о поперечнике сферы. Он предполагает доказательство неравенства типа Маркова-Берн-штейна для пространств истокообразных сплайнов, Одно из преимуществ этого метода оценок снизу для поперечников состоит в том, что основным моментом здесь является решение линейной задачи интерполяции периодических последовательностей сплайнами, порожденными ядром К . Указанный метод в нашей работе является основным. Он применялся ранее Л.В.Танковым, Ю.Н.Субботиным, А.К.Кушпелем, автором в кандидатской диссертации и др. и изложен для класса VV« ( X е /V ), в частности, в монографии И.К.Даугавета [8].

Перечислим теперь некоторые известные результаты для классов функций, задаваемых модулем непрерывности СО - С0(5) , который всюду в дальнейшем будем предполагать выпуклым. Пусть = . Величина

^vn-i наилучшего приближения класса WrHw простран-

ством тригонометрических полиномов степени та - i , дающая оценку сверху для с/^-Д, при любом ге/У и была найдена Н.П.Корнейчуком. Точная оценка снизу для dim-i (VJlHu)<x> получена Ю.Н.Субботиным и Г.Лоренцем, а для ' (W гИ10)<х> ~ В.И.Рубаном ( см.библиографию в [1 - 2] ).

Отметим также результат В.Ф.Бабенко [9], который вычислил величины поперечников dnCVJ^H^a при = в случае

Р = {оЗ и к € CV£>.

Как мы уже упоминали, одним их методов получения точных оценок снизу для поперечников является метод, в котором исследуется разрешимость интерполяционной задачи для истокообразных сплайнов, узлы у которых выбираются равномерно. Эта задача, как для периодических сплайнов, так и для сплайнов, заданных на оси, изучалась во многих работах, причем везде приводились лишь достаточные условия существования и единственности интерполяционных сплайнов. Исследования в этом направлении представляют и самостоятельный интерес, поскольку помимо применения в теории поперечников, они позволяют получить явные формулы для параметров интерполяционных ( = 0 ) и интерполяционных в среднем ( -ft. t > О ) (см. задачу 2 > истокообразных сплайнов, которые можно использовать в вычислительной математике и численных расчетах. Из результатов Ю.Н.Субботина [10] для оператора = ® "* следует, что одним из подходов к проблеме вычисления поперечников является решение сформулированной ранее задачи 4 экстремальной функциональноной интерполяции и применение полученных результатов в периодическом случае. Вычислению величины Ар t -Pij ) посвящено значительное число

работ. Отметим вначале те из них, в которых рассматривался оператор о? ц. = 3)1г . В.С.Рябенький для любой последовательности ^ € Y& ОО построил функцию / е. Fj^ 0зоо (у) » и» таким образом, получил для величины А<я (3)п} -п, 0) оценку сверху. С.Л.Соболев показал, что интерполяционный процесс Рябенького позволяет установить конечность величины Ар О)

и при i 4 р < со . Аналогичная задача была решена этими авторами и для функций нескольких переменных. Полное решение задачи 4 экстремальной интерполяции для оператора ££.tx~3)n' при i 4 р i оо , 0 < < со , о 4 было указано

Ю.Н.Субботиным СИ - 14], причем случай < ■ki i

исследован сравнительно недавно. Подобные задачи изучались им же для функций нескольких переменных и для более общих функциональных классов. Ю.Н.Субботин предложил метод получения оценок снизу для величины Ар -Л.,-^) - Этот метод позволил понять, как получать для указанной величины точные оценки сверху.

А именно, функцию £ , решающую интерполяционную задачу, в случае оператора <£„_ = ¿дп Ю.Н.Субботин строил в виде полиномиального сплайна степени /г дефекта 1 при р = со и его обобщений при 1 ^ р ¿. оо . Точное значение величины А р (а*1; 0) для оператора ¿Сп = 2)"* при р = 1,г, <» позднее было также указано И.Шенбергом [15], причем при /> = 2 он нашел в задаче 4 наилучшее продолжение не только для всего класса последовательностей р , но и для индивидуальной последовательности ^ б р - Следующим шагом стала работа А.Шармы и И.Цимбаларио. В ней авторы для оператора

= А, С5) ~) ( ^ € К ) при условии его формальной самосопряженности <£*.(.©) ), Яд = 0 и р = °°

вычислили величину А оо (¿Си, О) при любом А > О 'При этом они в основном следовали методу Ю.Н.Субботина, а интерполирующую функцию строили в виде Ь-сплайна с равномерными узлами. В случае произвольного линейного дифференциального оператора с постоянными действительными коэффициентами

наиболее общий результат принадлежит автору, который в 1982 году указал значение величины Ар (при 1 6 р ^ 00 , 0< и О^^и .при-

чем ^для некоторых операторов оказалось, что

Ар + =*> • Этот результат вошел в кандидатскую

диссертацию. Задача 4 при оказалась значительно труд-

нее, хотя ответ в исследованных случаях по форме такой же, как и в случае О 4 ^ 6 . Этому посвящена глава II диссертации.

Цель работы. Целью работы является решение четырех сформулированных задач при определенных значениях параметров; получение новых методов оценок снизу поперечников по Колмогорову классов периодических функций, которые позволяют находить точные оценки снизу для поперечников классов функций, сопряженных соболевским, а также классов функций с ограниченной дробной производной и определяемых с помощью модуля непрерывности. В задаче 4 представляет интерес . нахождение величины Ар при больших интервалах усреднения.

Методы исследования. Доказательства проводятся методами математического анализа и теории приближения функций.

Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации с доказательствами, являются новыми и заключаются в следу-

ющем.

В первой главе доказан критерий существования и единственности интерполяционного и интерполяционного в среднем истокообразного периодического сплайна. Этот результат конкретизируется для сплайнов, порожденных ядрами К x ,

К g .Во второй главе при р = оо } 4 4 приводится решение задачи 4 для произвольного линейного дифференциального оператора £п с постоянными действительными коэффициентами. Эти исследования приводят к изучению большого количества вспомогательных функций и полиномов. В третьей глаЕе вначале приводится общая схема получения оценок снизу для поперечников в равномерной и интегральной метриках, основанная на теореме В.М.Тихомирова о поперечнике сферы, классов истокообразных периодических функций, а затем при определенных параметрах доказываются точные оценки снизу для поперечников классов функций, сопряженных соболевским, классов функций с ограниченной нецелой производной, гармонических и задаваемых с помощью линейного дифференциального оператора. Точно такие же оценки сверху в этих случаях получены ранее другими авторами. В четвертой главе результаты главы III обобщаются на классы функций, определяемые модулем непрерывности.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения аппроксимативных и интерполяционных свойств истокообразных сплайнов, для решения экстремальных задач теории приближения функций, для численных расчетов с применением явных формул для параметров сплайнов, полученных в диссертации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах отдела теории приближения функций ШМ УрО РАН (руководитель - профессор Ю.Н.Субботин), на семинаре профессора В.М.Тихомирова в МГУ, на семинаре профессора Ю.С.Завьялова в ИМ СО РАН, на Международных школах по теории приближения функций под руководством профессора С.В.Стечкина ( Миасс, Душанбе, Екатеринбург, Еелорецк '), в Международном центре им. С.Банаха ( Варшава ) в 1986 и 1989 гг., на Международных конференциях по теории приближения функций ( Киев - 1933 г., Днепропетровск - 1990 г., Москва - 1995 г., Калуга - 1996 г.), на Третьем

всесоюзном совещании " Методы сплайн-функций" в г. Новосибирске ( 1980 г.), на Саратовской зимней школе по теории функций (- 1984 г.), на Всесоюзных конференциях по теории приближения функций ( Ереван - 1987 г., Ленинград - 1989 г.) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С36 - 563.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, каждая из которых разбита на 4 параграфа и списка литературы. Библиография содержит 99 наименований. Объем диссертации - 193 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Чтобы сформулировать основные результаты диссертации, дадим необходимые определения. Пусть ядро ¡(¿[.¿(Т) в определении класса Г = Р (К}Р) истокообразных функций имеет вид

K-i

HTDl:t)=H ( Clk cos kx + £.< sin kx) p кер

( здесь о(к , Jbic фиксированы, а коэффициенты Лк и варьируются ). Эти функции представим следующим образом

м- = 1 " ъ •

ъ lu^njbju.tto,

В СИЛУ ТОГО, ЧТО рр jj sin Kt j = о V к еР,

можно считать, что = О , если j : Ij I 6 р , т.е.

Kit) = £ Aj^.

¿■MP „ П71

Пусть тел/ > -й- ~ Hk и

где штрих означает, что суммирование производится по всем целым -i таким, что ¡т£+ъ1ф Р . Пусть также для каждого & i0£,6<i. ) R[6)= {г: 1 = Аг(0) = О} и Д -множество всех г ( 1 = i^m ) таких, что для'каждого существует число S~S(\)€ Р такое, что либо S =z(inO(/rn) либо 5=-г t*ncd т) • Основным результатом главы I является следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть т >/dim J7Ip . Для любой последовательности tj = {(jv>V€ Z } такой, что у^+т. = ^v ( \) € TL ), существует единственный истокообразный сплайн S е Sm(F, g) , удовлетворяющий условиям (У € Z )» тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: ^

15 5gWe±iKtcft * 0 -VfceP,

2) число б { 0 £ 0 < I ) таково, что R (0) Q А,

3) S4 £ + SA (mod m) VSj.S^P,

4) если m - четно, то тд ф s [modт) YseP>.

При выполнении условий 1) -4) параметры . и £■ •

интерполяционного истокообразного сплайна <5> вычисляются по формулам:

m-t юг-i

а° = 4 ь > если 0 € р • - lo^ fL" ^¿^^г,

где двойной штрих означает, что в сумме отсутствуют слагаемые (в +N> -j с номерами i € Д

Эта теорема обобщается на случай интерполяционных в среднем истокообразных сплайнов, удовлетворяющих условиям

ty*

j- J 2:

Теорема 1.1 конкретизируется при ^ = ^ . и

четном m. для ядер ( г, > о , о), П^сС

{О cj> с i , тл. /С при специальном выборе числа 0 .

Теорема 1.3. Пусть oie $ ,0£_p<i ,rn=2mi:, Мг^ € А/ • Существует и притом только один гармонический сплайн S £ Sini(F3 i) , порожденный ядром П^ ,

удовлетворяющий условиям

где /t, = Tifc<jj[3)m.) - единственный корень уравнения

г Jt х \

на полуинтервале ["¿^ , ^ } -

Теорема 1.4. Пусть г. > 0 > о( € Л » т = , в /V • Существует и притом только один истокообразный сплайн S е Smi(Fj d)' , порожденный ядром (t) ,

который удовлетворяет условиям

Л . SX

где t = г,т) - единственная точка максимума функции

If 4 I 1 ^ I -(Z1 *■£)*+' 1

на полуинтервале Г-— > ) .

L ami 2m¿/ Гч г

Некоторые достаточные условия в теореме 1.1 при P = !¡_0j указаны А.К.Кушпелем [17], А.И.Степанцом и А.С.Сердюком [18]. При оle 2. теорема 1.3 доказана А.К.Кушпелем [19]. По поводу теоремы 1.4 отметим, что при Ы = 4 g Д/ она доказана Дж. Албергом, Э.Нильсоном и Дж. Уолшем [20] ( % - нечетно ) и Ю.Н.Субботиным [11] ( ь - четно ) ( см. также работы П,В. Галкина [21] и А.АДенсыкбаева [22] ).

Первый параграф главы II является вводным. В нем иссле-

дуются свойства вспомогательных функций, с помощью которых выписывается решение задачи 4 экстремальной интерполяции в среднем при Р = оо и к 6 ( случай 1 £ р оо^ 0 44 исследован автором в кандидатской диссертации ). В § 2 доказаны существование и единственность интерполяционных периодических Ь-сплайнов по общей схеме главы I. Для того, чтобы сформулировать основной результат § 3, введем функцию

и м-гг* ^"^"-УапКх + У'ЬМ)

где ^ п-гк

Ш, п (4 (¿+ем)

и рп-рп(А) - характеристический многочлен оператора

Теорема 2.3. Пусть 0 < ^0~Л//пах о(5 . Тогда при ^ < <

Оказалось, что при ^ 4 ( т.е. при больших интервалах усреднения ) задача нахождения величины Ар^п,^-,^.^ существенно труднее, чем в случае 0 . причем при

О ¿.Я. с <к0

А оо и*, -м = + <»_.

В § 4 указывается значение величины

( Сл> - выпуклый модуль непрерывности ), вычисленной автором в кандидатской диссертации. Этот результат является вспомогательным и в дальнейшем находит применение в главе IV для вычисления поперечников классов функций, задаваемых линейным дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами.

В первом параграфе главы III приводится общая схема оценки снизу поперечников классов истокообразных функций в равномерной и интегральной метриках. По аналогии с работой [19] А.К.Кушпеля дадим следующее определение. Будем говорить, что

пространство S5ra g) удовлетворяет свойству С в при некотором 0 & Q<i , если при этом & выполнены условия теоремы 1.1 и последовательность чисел

2т. , _

= т- I' tile+г) (t-i^rn)

С 1т. г

такова, что £ О > где £ - число, равное либо + 1,

либо -1 ( двойной штрих имеет гот же смысл, что и в теореме 1.1 ).

Теорема 3.1. ( Неравенство типа Маркова - Берн-штейна для истокообразных сплайнов ). Пусть 4, ~ ^ и пространство Sf.m. (2 ^ Удовлетворяет свойству Cq при некотором 9 : О i Q с 4 . Тогда для любой функции $ £ £ (F а) выполнено неравенство

max

е 1 i

Неравенство обращается в равенство для функций S €

таких, что S((6+£)?0> гДе ^ " произвольное число.

Обозначим через Л множество тех 6 : 0 6 0 < I при которых пространство удовлетворяет свойству Cq.

Теорема 3.4. Пусть { и множество Si

непусто. Тогда

Яи+гЬт. iRdli+zt) I

UlvUF))«, >/ k vna-x J E^C^e"

ЫЪ ±+г1

Теорема 3.4 при Р и некоторых условиях на ядр01 К , обеспечивающих существование и единственность интерполяционного сплайна, доказана А.К.Кушпелем [17,19]. Им же при р=[0] в терминах производящего полинома для ядра К введено условие . Отметим, что в более ранних работах [39,40] автор фактически проверял его выполнение для ядер К^ , порожденных линейным дифференциальным оператором. Схема доказательства теоремы 3.1, основанная на изучении собственных чисел матрицы-циркулянта, возникла независимо в работах автора [42] и А.К.Кушпе-ля [17] в 1985 году. Во многих случаях удается доказать, что оценка снизу для поперечника, полученная в теореме 3.4, является точной. Аналогичная теорема методом Стейна [23] установлена также и для класса Ц[ (Р) в метрике =^(1Г).

см - -

Теорема 3.6. Пусть d € Ik , 1 > О и m. ^ СЮ •(t . где

0, 149961 , d € Z,

О, cL <£ Z .

Тогда

м u- Vs ((M-H)mi- )

L • U^)*»'

Точную оценку сверху для c/2>n_i (W^)^ С t>0 , del® , p = со или /> = 4 ) дает величина ¿^^(Wp^p > которая вычислена В. К.Дэядыксм [24]. Поперечники c/^.ji Wp"1)^ ПРИ , p-i,oo и любом о(.е/й вычислил В.Ф.Вабенко [25].. Попытка доказать теорему 3.6 при любых г 6 А/ и па е /У была предпринята Нгуен Тхи Тхьеу Хса [26], но, как заметил В.Ф.Бабенко, не все выкладки в работе [26] являются корректными, а именно, легко строится контрпример к основной лемме 1 этой работы. Вероятно, возникающие в условии теоремы 3.6 ограничения вида иг ^ С (t -t-i) , связаны только с применяемым методом доказательства и не являются окончательными, но снять их при нашем решении не удается. Отметим также, что эта теорема представляет собой первый результат точного вычисления величины поперечников классоЕ функций с ограниченной, вообще говоря, нецелой производной. Кроме того, частным случаем теоремы 3.6 при с( = т. - 1 . te^V является точное вычисление указанных поперечников класса функций Wp (. ° )» сопряженного к соболевскому

Wp .

Пусть ( 0 < J> < L , dG JR ) - класс функций f ,

иредставимых в виде { = С+Л~1Пр,* * Ф, ^SL^fT)^ Ф±С ,

и = ИФНцб!}

Теорема 3.8. Пусть d € , О < J> ^рЫ) , где

" , <* е Z, i96№, * £ ■

1 о,

Тогда при любом т е /V

cW, il'/oo = = d,m(I-J-J (МрД=

.¿«lite^c-f)

JZ- £ 1 s=0 2S + 1 ^

При p = <*> , 0<j> < d величину Em.t (И/pfWp^))^ ,

дающую оценку сверху для поперечника, вычислил М.Г.Крейн [27] ( см. также работу [28] В.Ф.Бабенко ). В общем случае при ¿.фХ, а также при р - { , эта величина может быть вычислена, например, в качестве следствия из известных результатов В.К.Дзя-дыка [24] и Нгуен Тхи Тхьеу Хоа [291. Теорему 3.8 при о( € 2 и 0 -с J> 4 Чч доказал А.К. Кушпель [19]. Ограничения в теореме 3.8 можно немного ослабить ( избавиться от них полностью при нашем способе доказательства мы не можем ), но новые ограничения являются трудно проверяемыми. Недавно, исследуя эти ограничения, Нгуен Тхи Тхьеу Хоа [30] доказала,что они будут выполнены, в частности, при d. = О при любом О <1 ± для достаточно больших номеров m m fjj) и тем самым получила точные оценки снизу для поперечников с(лтн W»lHpA))M,ci2rr, (WjUp^ и ^¿m-ilWf^iU^))^ при указанных значениях параметровт^

В последнем параграфе главы III приведено следующее утверждение.

Теорема 3.9. При т > 2 max c(s

zm n oo /оо л i i ^ L2s^)pn(Us+i)m) 1 •

Оценка снизу для поперечника, полученная в этой теореме, при т ъ mct3ilik~i>2$/riax o(s является точной, поскольку она совпадает с величиной Em-i ( W^*) oo > вычисленной, как мы уже отмечали, при m ^ 3 max с(£ в 1938 году М.Г.Крейном [27]. Теорема 3.9, доказательство которой было опубликовано автором в 1983 году, обобщалась многими математиками. Помимо цикла работ китайских математиков, выполненных под руководством Сунь Юн Шена ( см., например, [31] и имеющиеся там ссылки ), выделим следующие. И.Н.Володина [32], используя метод В.М.Тихомирова, повторила результат автора при т >у ZK"1 max. o(s и при этих же ограничениях получила точно такую же оценку снизу

t -

-cl

для четного поперечника ditn (W ■ При m >2 3* 1max<is

поперечник d( p -1, 2- ) вычислил С.И.Новиков [33]. Наиболее общие результаты принадлежат Нгуен Тхи Тхьеу Хоа [30], которая вычислила поперечники dirn-i ÎVi^^p • d2fn (IVp il ± pi, со) И d2yn_t Cvf^i > d2n ( c 4é P 4 00 }

при m. > Лигах. o(s ■

Целью § 1 главы IV является при возможно меньших требованиях на ядро К получить оценку снизу для d п. (W И10) со -Мы выделяем класс ядер Кб С (Т) » удовлетворяющих некоторому условию. Для его формулировки введем некоторые функции. Пусть

Q(é) = Z"WK(aJi-t-jt) (l'î.me/V) "Ylx^fQWM,

где число О- выбирается из условия Ja QCb)di = 0 . Будем также требовать, чтобы функция имела в точности одну пе-

ремену знака на полуинтервале f О, . Тогда

Y fed = а (х)} =- Ую, Y 11,0. И, lia) = Wa =0,

и поэтому функция ^ знакопостоянна на интервале (d^CL-tfo.) и является простой функцией на отрезке + в смысле

определения Н.П.Корнейчука [1, § 6.2]. Не ограничивая общности, будем считать, что ^ > О при а<х<са+&. Таким образом, функция Y возрастает при а<х<а0г1к(х) = тазе. l'YH)} и Т Убывает при j>> г. х £ а + к , где оС' и ji'- некоторые точки ( возможно, совпадающие ) интервала /а, д+4). Следуя схеме леммы Стечкина - Корнейчука [1, §7.4], введем функцию J>№: , au u1 .

= - -t при < td'+J>'VZ ■ Пусть

- j со'( j3£x) Mii С J

-J>~l(x))olocj С & t é. a-h-fa,

- z

где с = (.<£'+£>')/z и функция, обратная к функции^ .

Из леммы Стечкина - Корнейчука следует, что функция 0(i)

принадлежит классу M СЛ., ft-* - Константу К выберем так, чтобы (х(а+-&)=- &(а) ■ Далее функцию Q. продолжим на всю

и

{о lé) =

числовую ось при помощи равенства Тогда &Ц

на С 0,231], и, поскольку It) > 0 при О. < í ¿ а ft, , то существует единственная точка if g (а, й + •£) такая, что G.C?) = О • Пусть V = 7 , если О ¿Y й, и 3" = 7 ~ & • если & á 7 ¿ ¿6, , и пусть Slit) = G. (i + !f) (О 4UA > • Ясно, что SlLO)~Sl($i)~ 0 , 51 НУ > 0 при 0 < i ¿ и Q € Hw[0,?0 • Ф'/нкция носит название функции-"шапочки". Пусть

О s = 0

и пусть С = Ац =0} , А - множество всех V таких, что для каждого \) 6 /V существует число S=S(V)€ Р такое, что либо S=S [~тос( Z*n) , либо S = - V (vnod 2m.).

Определение. Будем говорить, что ядро К удовлетворяет свойству Вг>п ( КёВ2пг,), если:

1) функция Q имеет в точности одну перемену знака на полуинтервале [ О, К) ,

SC£A <• V «/I pi^j-Mvl . —:—

3) для чисел -íy = ¿—^ (Ave / =

( двойной штрих означает, что в"сумме отсутствуют слагаемые с

номерами V € А )» выполнены равенства

sign éj = '(-Design СJ = 41 f&ti)<LtiKboli ¿O VK€f>,

o

5) Sf ф ± S4 (»W ^ Si, Se € P,

6) m ^ s Cmocf 2m) V S e P. Теорема 4.1. Пусть m ^ сЛ/ч UIJp , К G li

со - выпуклый модуль непрерывности. Тогда

olam-i (Wk'PHW)«, * Мы (Ю,^* (W K'PHW)w » Mw( К)

где Meo

убывающая перестановка

функции I .

В некоторых случаях удается доказать, что оценки снизу для поперечников, полученные в теореме 4.1, являются точными. Точных оценок сверху для этих поперечников известно сравнительно мало. На примере ядра Пуассона f]j> ("О" ■§; + ПрС£)— = А + у рк слз KÍ ш показываем, что B2yn(ÍCV2) ■ В связи

с этой теоремой отметюл результат В.Ф.Вабенко [9], который вычислил поперечники с(ц. ^ Н10 ) с^ при <£=43оо для для всех ядер |< е СУЗ) ■ В этом случае оценка снизу для поперечника в теореме 4.1 совпадает с величиной поперечника. Теорема 4.1 в § 2 конкретизируется для четных и нечетных ядер /< . В частности, доказано,что условию при О-с^ < Ц + ял)"*

удовлетворяет ядро Пуассона Л р = + Л о и его тригоно-

'СУ «-Г «2» О

метрически сопряженное П^ , а также ядро К х ^ ( ъ >о , с(€/Й. ) при т 6 (дл)'1 • [ г + ±) ■ Вводя обозначения К^Н1^ класса М^'^Н03 ПРИ P~í0} и Р ~ Ф > основные утверждения § 3 можно сформулировать следующим образом.

Теорема 4.4. Пусть со- выпуклый модуль непрерывности и (-1 + 2-Х) ~1 • Тогда при любом т. € /V

^ (я; * » Моо щд (п; * иы)0о * м» тр,

со ,

М^ (Пр) = М ^-& ^ ™ ^у

О 5 = 0

о/ат-1 (Пр *Ни)оо > Чо (/7Д >

„ Щт. ОО

мм = М 60 с^ - ЗЛ) £ 'Чов (25 * ^ ей.

Вопрос о точности оценок снизу в теореме 4.4 является открытым, поскольку соответствующие оценки сверху неизвестны ни при каком о < < ± .

Теорема 4.6. Пусть СО - выпуклый модуль непрерывности, о( 6 2 и числа те/У и X У О удовлетворяют неравенству т 4 ( (1 + ±) . Тогда

I »Л-«) ^ ¿У* Л •

При с< = г е /V и любом т > ^ оценки снизу для поперечников в этой теореме точные. Они были ранее установлены: для нечетных поперечников Ю.Н.Субботиным и Г.Лоренцем, а для четных - В.И.Рубаном. Такие же оценки сверху в этом случае получены Н.П.Корнейчуком ( ссылки см., например, в [1 - 3] ) на

основе разработанного им метода Z. -перестановок. В других случаях вопрос о точности оценок снизу в теореме 4.6 является открытым, так как оценок сверку к настоящему времени нет. На каш взгляд, решение этих задач требует поиска новых, нетрадиционных подходов. При Ы-4 = ъ е /V результат о вычислении величины наилучшего приближения класса * Н" (он обозначается

также \лЛНм ), равной (jl"1 Кг,д) > т-е- оценка сверху для обоих поперечников, был анонсирован в 1983 году болгарскими математиками И.Фесчиевым и М.Хемеамином на Международной конференции по теории приближения функций. Однако последующие затем публикации [34,35] опираются на недоказанные утверждения.

Для того, чтобы сформулировать результаты последнего параграфа главы IV. вьедем функции

D ... с-1)п-\ v е W +

—Г'0*1-' pn«ZS + i)mL) '

p. . . Сг^Сп у е ltis*i)nu-t) Пг-мЛ*/ ~ JU US + QpnllZStiW) '

с Л = Г( i+(t№) п (1 + ле ^«w cU + е W)

где -/l = ^Ti_>ptl(A)- характеристический многочлен оператора . При m. > max 'функции F^ и Ri+i кмеют ровно по одному нулю на полуинтервале [0,1), причем эти нули являются простыми и не совпадают. Обозначим нули функций Рк и Рп+1 на [0,1) соответственно через d и j£ ( d JJ ) и пусть = Л > если j> d ,и = d + если Jb > Ы. ■ В § 4 доказано следующее утверждение.

Теорема 4.8. Пусть т 2 max o(s , С0=С0(<5") ( ) - заданный выпуклый модуль непрерывности. Тогда

> seZ Pn.U2S*d)mi) v

где J)C"t)- функция, определенная равенством

- a:, I ), ^ ^ j>«>« .

В.Ф.Бабенко [9] доказал, что оценки снизу для поперечников в теореме 4.8 являются точными для операторов вида П (.© -Д.-), ¡1: , поскольку в этом случае ядро

4 ; <1

К2 € СУ2> •

Я благодарю своего учителя Юрия Николаевича Субботина за поддержку и постоянное внимание к работе. Автор с благодарностью вспоминает Сергея Борисовича Стечкина в связи с полезными обсуждениями полученных результатов на летних школах по теории приближения функций, проходившим под его руководством с 1972 по 1995 год.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М. : Наука,1976.

2. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука,1987.

3. Корнейчук H.H. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

4. Бабенко В.Ф. Экстремальные задачи теории приближения

и неравенства для перестановок // Докл. АН СССР, 1986, т.290, N 5, с.1033-1036.

5. Тихомиров В.М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функдай в пространстве С [-1,1] У/ Мат. сборник. 1969, t.80,N 2, с.290-304.

6. Буслаев А.П., Тихомиров В.М. Некоторые вопросы нелинейного анализа и теория приближений // Докл. АН СССР, 1985, т.283, N1, с.13-18.

7. Mairhuber J.С., Schoenberg I.J., Williamson R.E. On variation diminishing transformations on the circle // Rend. Circ. math. Palermo. Ser.2, 1959, v.8, p.241-270.

8. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ,1977.

9. Вабенко В.Ф. Приближение классов функций, задаваемых с помощью модуля непрерывности /V Докл. АН СССР, 1988, т. 298, N 6, с.1296-1299.

10. Субботин Ю.Н. Приближение "сплайн"-функциями и оценки поперечников // Тр. МИАН СССР, 1971, т.109, с. 35-60.

11. Субботин Ю.Н, 0 связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР,1965, т.78, с.24-42.

12. Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР, 1975, Т.138, с. 118-173.

13. Субботин Ю.Н. Экстремальные и аппроксимативные свойства сплайнов // Теория приближения функций. Тр. Международной конференции по теории приближения функций. Калуга. М.: Наука, 1977, с.341-345.

14. Субботин Ю.Н. Экстремальная функциональная интерполяция в среднем с наименьшим значением n-ой производной при болыаих интервалах усреднения У/ Мат. заметки, 1996,т.59,N 1, с. 114-132.

15. Schoenberg 1.J. Cardinal interpolation and spline functions // J.Approxim.Theory. 1969, v.2, N 2, p.167-206.

16. Шарма A., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Мат. заметки, 1977, т.21, N 2, с. 161-173.

17. Кушлель А.К. SK-сплайны и точные оценки поперечников функциональных классов в пространстве С гх / Препринт N 85.51. Киев: ИМ АН УССР. 1985.

18. Степанец А.И., Сердюк А.С. О существовании интерпо-поляционных SK-сплайнов // Укр.мат.журнал, 1994, т.46, N 11, с. 1546-1553. , - ■

19. Куипель А.К. Точные оценки поперечников классов сверток // Изв. АН СССР. Сер. магем, 1988, т.52, N 6, с.1305-1322.

20. Ahlberg J., Nilson £., Walsh J. Best approximation and convergence properties of higher order spline approximation // J.Math.Mech. 1965, v.14, p. 231-244.

21. Галкин П.В. О разрешимости задачи периодической сплайн-интерполяции // Мат.заметки, 1970, т.8, N 5, с.563-573.

22. Женсыкбаев Л. А. Приближение некоторых классов диффен-цируемых периодических функций интерполяционными сплайнами по равномерному разбиению // Мат. заметки, 1975, т.15, N б, с.955-966.

23. Stein Е.М. Functions of exponential type // Ann.Math. 1957, v.65, p.582-592.

24. Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Мат. заметки, 1974, т.16, N5, с.691-701.

25. Вабенко В.Ф. О поперечниках некоторых классов сверток // Укр. мат. журнал, 1983, т. 35, N 5, с. 603-607.

26. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. Поперечники и квадратурные формулы на периодических классах функций, сопряженных соболевским // Мат. заметки, 1989, т.46, N2, с.83-93.

27. Крейн М.Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Докл. АН СССР. 1938, т.18, N 4-5, с. 245-249.

28. Вабенко В.Ф. Приближение классов сверток // Сиб. мат. журнал,1987, т.28, N 5, с.6-21.

29. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. Оператор 5){ЗУг+£)- ...• (S)z+n.z) и тригонометрическая интерполяция // Analysis Math. 1989, v,15,N 4,p.291-306.

30. Нгуен Тхи Тхьеу Хоа. Экстремальные задачи на некоторых классах гладких периодических функций: Дис. ... доктора физ,-мат.наук.М.: ШАН им. В.А.Стеклова, 1994.

31. Sun Young-sheng, Huang Daren. On n-widths of generalized Bernoulli Kernel // Approxim. Theory and Applic. 1985, v.l, N 2, p.83-92.

32. Volodina I.N. Exact value of widths of certain class of solutions of linear differential equations // Analysis Math. 1985, v. 11, N 1, p. 85-92.

33. Новиков С. И. Поперечники одного класса периодических функций, определяемого дифференциальным оператором // Мат.заметки, 1987, г.42, N2, с.194-206.

34. Фесчиев И., Хемеамин М. Верхние грани наилучших приближений тригонометрическими полиномами на классах WE,Hw в пространстве С // Научн. тр. Пловдив, ун-та. Мат. 1984, т.22,

N 1, с.45-67.

35. Фесчиев И., Хемеамин М. Верхние грани наилучших приближений тригонометрическими полиномами на классах М ъ Н10 в пространстве Ь У/ Научн. тр. Пловдив, ун-та. Мат. 1984, т.22, N 2, с. 105-123.

СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

36. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Мат. заметки. 1980, т. 27, N 5, с. 721-740.

37. Шевалдин В.Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции // Мат. заметки. 1981, т. 29, N 4, с. 603-622.

38. Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем // Докл. АН СССР. 1982, т, 267, N 4, с. 803805.

39. Шевалдин В,.Т. L-сплайны и поперечники // Мат. заметки. 1983, т.33, N 5, с. 735-744.

40. Шевалдин В.Т. Некоторые задачи экстремальной интерполяции в среднем для линейных дифференциальных операторов // Тр. ШАН. 1983, т. 164, с. 203-240.

41. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Международная конференция по теории приближения функций. Киев, 30 мая - 6 июня 1983 г. Тезисы докладов. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 197.

42. Шевалдин В.Т. Интерполяционные периодические L-сплайны с равномерными узлами У/ Приближение функций полиномами . и сплайнами. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с.140-147.

43. Шевалдин В.Т., Новиков С.И. Оценка снизу для четного поперечника класса периодических, функций, определяемого дифференциальным оператором и модулем непрерывности // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. 1987, Свердловск: УНЦ АН СССР, с. 107-112.

44. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов со-

пряженных функций // Всесоюзная школа по теории функций. 12-22 октября 1987 г. Тезисы докладов. Ереван: Ин-т математики АН Арм. ССР, 1987, с. 106.

45. Шевалдин В.Т. Экстремальная интерполяция в среднем

с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора // Международная конференция по теории приближения функций. Киев, 30 мая - биюня 1983 г. Доклады участников. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988, с. 473-475.

46. Шевалдин В.Т. 0 поперечниках классов сопряженных функций // Экстремальные задачи, функциональный анализ и их приложения. М.: Изд-во МГУ, 1983, с. 8-10.

47. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов истокообразно представимых функций // Тр. МИАН СССР. 1989, т.189, с. 185-201.#

48. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников некоторых классов периодических функций / Препринт. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1989, 74 с.

49. Шевалдин В.Т. Поперечники классов сверток с ядром Пуассона // Мат. заметки. 1992, т.51, N б, с. 126-136.

50. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников некоторых классов периодических функций // Тр. МИРАН, 1992, т.198, с. 242-267.

51. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов периодических функций с ограниченной дробной производной // Мат. заметки. 1993, т.53, N 2, с. 145-151.

52. Шевалдин В.Т. Интерполяционные периодические сплайны и поперечники классов функций с ограниченной нецелой производной // Докл. АН России, 1993, т. 328, N 3, с. 296-298.

53. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов функций, задаваемых с помошъю модуля непрерывности У/ Теория приближения и задачи вычислительной математики. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 75-летию Государственного университета. Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1993, с.211.

54. Шевалдин В.Т. Оценки снизу поперечников классов функций, определяемых модулем непрерывности // Изв. РАН. Сер. матем. 1994, т.58, N 5, с,172-188.

55. Шевалдин В.Т. Интерполяция в среднем для истокообразно представимых сплайнов и поперечники // Функциональные

пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Международная конференция, посвященная 90-летию академика С.М.Никольского. Москва, 27 апреля - 3 мая 1995 г. М.: ПАЙМС, 1995, с. 302-303.

56. Шевалдин Б.Т. Экстремальная интерполяция в среднем с наименьшим значением нормы линейного дифференциального оператора при больших интервалах усреднения // Международная конференция по теории приближения функций, посвященная памяти профессора П.П.Коровкина. Калуга,26-29 июня 1996 г. Тезисы докладов. Том 2. Калуга: Мзд-во Тверского госуниверситета,1996 с.228-229.

Свердловск, К-83, пр. Ленина, 51. ТнтюлаЗоратория УрГУ,