Итеративное решение двумерной задачи дифракции и расчет силы действия света на микроцилиндр тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

на правах рукописи

Налимов Антон Геннадьевич

ИТЕРАТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ И РАСЧЕТ СИЛЫ ДЕЙСТВИЯ СВЕТА НА МИКРОЦИЛИНДР

Специальность 01.04.05 - Оптика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет-имени академика С.П. Королева» и Институте систем обработки изображений РАН *-

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Котляр доктор физико-математических наук, профессор Захаров Валерий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор Крутов Александр Федорович

Ведущая организация:

Самарский филиал Физического института Российской академии наук

июня

Защита состоится « 2 » диссертационного совета государственный аэрокосмический

_2006 г. в

Д.212.215.01 в ГОУ

10:00 на заседании ВПО «Самарский

„.. , , университет имени академика

С.П. Королева», по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, д. 34.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева».

Автореферат разослан 17 апреля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор —в.Г. Шахов

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена быстрому расчету поля дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной электромагнитной волны на диэлектрическом микроцилиндре с произвольной формой сечения и расчету-сил, действующих на микроцилиндр со стороны сфокусированного лазерного излучения.

Актуальность исследования. Впервые Ashkin в 1970 г экспериментально показал, что сила оптического давления может быть использована для манипуляции небольшими диэлектрическими объектами и их удержания в равновесии против силы тяжести. Он назвал это явление оптической левитацией. С тех пор оптическая манипуляция микрообъектами начала бурно развиваться, поскольку она позволяет решать широкий класс задач в биологии, генной инженерии, микромеханике, науке о коллоидах и т.д. Для расчета силы, действующей на произвольный микрообъект в фокусе лазерного пучка, необходимо знать поле дифракции лазерного излучения на этом микрообъекте.

Расчет поля дифракции электромагнитной волны на диэлектрических объектах можно проводить с помощью известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла (Taflove А., 1975; Prather D.W., 1999; Головашкин Д.Л., Сойфер В.А., 1998), волнового уравнения или уравнения Гельмгольца (Gruzdev V., 2001), методов конечных и граничных элементов (Mirotznik M., Prather D., Mait J., 1996; Котляр B.B., Нестеренко Д.В., 2000; Dong В, Lin J., 2001), прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода (Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г., 1991; Котляр В.В., Личманов М.А., 2001), метода связанных волн (Moharam M., 1982, Досколович Л.Л., 1994).

Большинство перечисленных методов сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N— число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128x128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна ЛгхЛг = 128гх1282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.

Тем не менее, существуют задачи, требующие быстрого расчета поля дифракции монохроматической волны. Такой задачей является например пошаговый расчет дифракции на микрообъекте, находящегося в различных положениях около фокуса лазерного пучка с целью расчета сил, действующих на микрообъект со стороны лазерного излучения, и поиска точки устойчивого равновесия, когда сила равна нулю. Тогда расчет поля дифракции должен быть произведен много раз за короткое время. Все перечисленные современные интегральные методы не позволяют быстро (за несколько секунд) производить подобный расчет.

Задача моделирования манипуляции микрообъектами лазерным излучением рассматривалась многими способами. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в

1909 году. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассчитываться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., 1969). Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена Kim J.S., Lee S.S. (1983), а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка Barton J.P., Alexander D.R., Schaub S.A. (1989) и Ren F., Grehan G., (1994). LemireT. (1997) рассмотрел еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. Rohrbach A., Stelzer E.H. (2001) показали, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное ими выражение для силы действия света справедливо при условии зЦ -л2|<1, где л, и и2 -показатели преломления среды и частицы. Для расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъект используется также метод разностного решения уравнения Максвелла (Gauthier R.C., 2005) или аналитические выражения в случае сферических частиц (Moine О., Stout В., 2005).

Однако в перечисленных выше работах не приведены явные интегральные выражения для расчета силы, действующей со стороны электромагнитного поля с ТЕ- или TM-поляризацией на диэлектрический цилиндр с произвольным сечением. Кроме того, не было проведено расчета сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр.

Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен Ren F., Grehad G., GouebetG. (1993); Barton J., Alexander D„ Schaub S. (1989); Gussard R., Lindmo T., Brovik I. (1992). При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы Rohrbach А., Stelzer E.H.K. (2001). Однако их расчет был осуществлен для рэлеевских частиц. Lock J.A. (2003) рассмотрел строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. Ganic D., Gan X., Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinstein-Dunlop H. (2004) провели моделирование и строго рассчитали силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены Pobre R., Saloma С. (2002). Zimmerman Е., Dandliner R„ Souli N. (1995), Wu Z., Guo L. (1998) привели аналитические формулы для расчета

полей дифракции непараксиального Ю гауссова пучка на диэлектрическом цилиндре с круглым сечением.

Однако в перечисленных выше работах не приведены явные "•аналитические формулы в виде рядов для "проекций вектора силы, действующей со стороны электромагнитной волны (в частности, непараксиального гауссова пучка) с ТЕ- и ТМ- поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Целью работы является разработка быстрого итеративного метода решения интегрального уравнения для расчета поля дифракции произвольной ТЕ- (ТМ-) поляризованной монохроматической волны для анализа сил, действующих со стороны светового поля на диэлектрический микроцилиндр с произвольной формой сечения.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработать быстрый итеративный метод для расчета поля дифракции на двумерном цилиндре с произвольной формой сечения на основе решения уравнения Фредгольма второго рода.

• Численно исследовать силы, действующие на микрообъект в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

• Получить аналитические выражения для проекций сил, действующих на диэлектрический цилиндр с круглым сечением в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы. Метод работоспособен при условии, что

—\п\ ""г] <, где Я - длина волны света, а — радиус окружности, в А,

которую вписано сечение цилиндра, я, и пг - показатели преломления цилиндра и окружающей среды.

2. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы. Рассчитана сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, расположенный вблизи перетяжки пучка. Численно показано, что при определенных условиях вблизи перетяжки пучка имеется точка, в которой сила равна нулю.

3. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим

функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

На защиту выносятся:

1. Быстрый итеративный метод '-расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

3. Аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами:

• Разработанный метод анализа дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной волны на микрообъектах позволяет быстро рассчитать поле дифракции произвольной падающей волны, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, и определять силы, действующие на цилиндрический микрообъект с произвольной формой сечения.

• Разработанный метод позволяет провести оптимизацию условий для осуществления оптической манипуляции микрочастицами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «Optics in computing», проводимой в научном центре Корнинг (Санкт-Петербург, октябрь 2002 г.), на международной конференции НОЦ в рамках программы «Фундаментальные исследования и высшее образование», проводимой в Министерстве образования РФ (Москва, апрель 2003), на международной конференции «Optoinformatics», проводимой в Институте точной механики и оптики (Санкт-Петербург, октябрь 2003), на международной конференции Saratov Fall Meeting, проводимой в Саратовском государственном университете (Саратов, сентябрь 2004), на Третьей самарской региональной конкурс-конференции студентов и молодых исследователей, проводимой в Самарском филиале Физического института РАН (Самара, ноябрь 2005).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), Приложения, изложенных на 140 страницах и содержит 50 рисунков.

Краткое содержание работы.

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации. Сформулированы цели и задачи, сделан обзор научных работ по рассматриваемым вопросам. Изложена- научная новизна, практическая значимость, защищаемые положения, описаны содержание и структура диссертации.

В первой Главе описан быстрый итеративный метод расчета поля дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной волны на двумерном цилиндрическом микрообъекте. Схема рассматриваемой задачи приведена на рис. 1а.

а) б)

Рис. 1. а) Схема двумерной задачи дифракции монохроматической волны на цилиндрическом объекте с диэлектрической проницаемостью г, в среде с

диэлектрической проницаемостью е2; б) дифракция непараксиального гауссова пучка на эллипсе (\Е,\, ТЕ-поляризация), е,=2, ег=1, Л =2со„=1 мкм (оа - радиус перетяжки пучка), диаметры эллипса: Д =/ мкм, Ог =0.5 мкм, эллипс наклонен на 45° к оптической оси

Для расчета поля дифракции используется известное интегральное уравнение Фредгольма второго рода, для ТЕ-поляризации:

^ к

где ф(у,?) = Ех(у,:) и ф0(у,:) = Е0х(у,:) - проекции на ось X (перпендикулярна к плоскости рис. 1а) векторов напряженности электрического поля рассеянной и падающей электромагнитных волн, — волновое число света

Л

снаружи цилиндра, - декартовы координаты внутри объекта,

Н«\х) — функции Ханкеля 2-го рода нулевого порядка.

Уравнение Фредгольма для ТМ-поляризации можно записать в виде:

е2 4 у

4 г. СП

внутри цилиндрического объекта площадью сечения V, ограниченного контуром Б, т.е. (у,:)еУ и похожее уравнение имеет место для поля снаружи объекта при (у,:)« где ф0 - амплитуда падающей световой волны, п — внешняя'нормаль к поверхности объекта.

Итеративный алгоритм (метод последовательных приближений) для ТЕ-поляризации записывается в виде:

Л*, Су> г) = ЯД, (У,=) + (1" /М. (У--) - ГР \\ф, (#, Ч)И'02 {к2 + , (3)

-. Результат работы итеративного алгоритма для

где у — постоянная релаксации алгоритма, которая регулирует скорость его

сходимости, Р = -—

4

расчета дифракции непараксиального гауссова пучка на цилиндре с эллиптическим сечением представлен на рис. 16.

Итеративный алгоритм для ТМ-поляризации можно записать в виде (поле внутри объекта):

>о(У,=А е,

Су.г)

-г

Аег 4ег

№

+1'

>

>

+ (1 -Г)ФЛУ,г), (4)

где ф(.у,:) = Нх(у,2), 3 и З"1 - прямое и обратное преобразования Фурье, рассчитываемые по алгоритму быстрого преобразования Фурье. В качестве начального приближения можно брать падающее поле:

АО\=) = А,(л=). (5)

Связи между проекциями Ну, Яг, Ех (ТЕ-поляризация) и Еу, Ег и Нх (ТМ-поляризация) следуют из уравнений Максвелла.

Поскольку интегралы в уравнениях (1), (2) берутся только внутри цилиндра и по его границе, то расчет поля вне цилиндра можно производить только на последней итерации, что позволяет рассчитывать поле внутри цилиндра на меньшей сетке отсчетов и еще более ускоряет процесс расчета.

Для проверки точности расчета поля итеративным алгоритмом (3) было проведено сравнение с аналитическим решением задачи дифракции плоской волны на цилиндре с круглым сечением, где поле представлено в виде разложения по цилиндрическим функциям (рис. 2).

а) б)

Рис. 2. График зависимости невязки а от числа итераций N. Параметры

моделирования: диаметр цилиндра с круглым сечением D=1 мкм, длина волны Я =/ мкм, £, =2 — диэлектрическая проницаемость цилиндра, ег =1 — диэлектрическая проницаемость среды. Рассчитывалось поле дифракции 2,5x2,5 мкм (128x128 отсчетов), а) ТЕ-поляризация; 6) ТМ-поляризация.

Невязка а представляет собой относительное СКО между полем, рассчитанным аналитическим методом, и полем на N-й итерации в итеративном алгоритме (3).

Постоянная релаксации 7 итеративного алгоритма была подобрана экспериментально. Для ТЕ-поляризации оптимальным значением является 0,18<у<0,35, при этом невязка а не превосходит 1%, для ТМ-поляризации 0.35<у<0.б3, при этом невязка а не превосходит 4% для поля 128x128 отсчетов.

В Таблице 1 приведено время расчета итеративным алгоритмом для различного числа отсчетов на поле дифракции для компьютера на базе процессора Celeron 2400 MHz.

Таблица 1. Время расчета при различном числе отсчетов поля дифракции, за 70 итераций (ТМ) и 150 итераций (ТЕ).___

Число отсчетов, NxN 64x64 128x128 256x256 512x512

Время расчета, ТЕ/ТМ 4 с/6 с 11 с/42 с 54 с/ 194 с 228 / 860 с

Численное моделирование показало, что метод работоспособен при

условии, что — |п,2 -л2|<0.6, где Л - длина волны света, а - радиус А

окружности, в которую вписано сечение цилиндра, л, и п2 - показатели преломления цилиндра и окружающей среды.

Во второй Главе рассмотрен метод расчета проекций сил, действующих со стороны монохроматического электромагнитного поля, на двумерный цилиндрический объект с произвольной формой сечения.

Проекции силы, действующей со стороны электромагнитного поля на двумерный диэлектрический цилиндр, можно рассчитать по следующим формулам (ТЕ-поляризация-, =0):

=¿4{|к|1 - -Н2 к+ке(я,я;К} - (6)

здесь 5, — контур, охватывающий сечение объекта в плоскости У ОХ. Сила направлена вдоль оптической оси, а F¡, направлена поперек оптической оси.

Аналогично (6) сила действия света со стороны поля с ТМ-поляризацией на 2П объект будет иметь следующие проекции (Ех=Ну=Нг= 0, Рх = 0):

р- ^Ш52'^-кгк(7)

где (как и в уравнении (6)) = пуЛ = зтсрЛ = сЬ и <£5, = п,сИ = соч <рс11 = с/у, с11 -элемент дуги. Так как рассматривается двумерный случай, то значения мощности излучения Р и силы даны на единицу длины цилиндра (в размерности мВт/м и Н/м соответственно).

Так как контур 5', охватывает объект, то результат расчета силы не должен зависеть от формы и размера контура. В Таблице 2 приведены значения проекции силы Г,, действующей на цилиндр вдоль оси распространения света Ъ, от радиуса интегрирования Л, для круглого контура 5,. Падающая волна — плоская, параметры моделирования: Х=1 мкм, цилиндр имеет сечение квадрата со стороной 1 мкм, показатель преломления цилиндра я,=1.4 (£,=1.96), /*=100 мВт/м на всем поле дифракции 256x256 отсчетов.

Таблица 2. Зависимость проекции силы от радиуса интегрирования Н,.

Л,, мкм 5 3.75 2.5 1

^„хЮ"10 — м 0.32137 0.31588 0.31792 0.31688

Как видно из Таблицы 2, колебания результатов расчета силы составляют меньше 5 %.

На рис. 3 представлена интерференция двух непараксиальных гауссовых пучков, направленных друг против друга с перетяжкой в начале координат, создающих стоячую волну. Первый гауссов пучок направлен вдоль оптической оси Ъ, второй пучок распространяется в обратном направлении оси 7.. Рис. За отображает поле дифракции двух гауссовых пучков на микроцилиндре с круглым сечением. Параметры первого пучка: Х=1 мкм,

и

Р,=50 мВт/м, диаметр перетяжки 2о01=1 мкм. Параметры второго пучка: Рг= 50 мВт/м, Х.=1 мкм, 2й)ог=1.5 мкм. Диаметр микроцилиндра с круглым "сечением /?=1 мкм, г, =2, г2=1. Два направленных "встречно гауссовых пучка являются для микроцилиндра оптической ловушкой, и он втягивается в максимумы интенсивности поля. На рис. 36 стрелками показано направление действия силы со стороны света на фоне интерференционной картины (|ЯХ|) гауссовых пучков, если поместить микроцилиндр в данную точку пространства, а длина стрелок пропорциональна модулю этой силы.

1Г

т Т

г:£

а) б) в)

Рис. 3. а) Дифракция двух направленных встречно гауссовых пучков на микроцилиндре (|£,|), б) направление действия сил со стороны света на микроцилиндр с круглым сечением при помещении его в заданные точки пространства; в) дифракция непараксиального гауссова пучка (|£,|) на смещенном вверх на 0.25 мкм цилиндре, И=Х-1 мкм, о0 —0.5 мкм, е, =1.2,

ег=1.

На рис. 4 представлен график зависимости проекции силы Р,, направленной вдоль оси Ъ, от смещения I; центра сечения цилиндра по оси Ъ.

Рис. 4. Проекция на ось 2 силы, действующей на цилиндр с круглым сечением с е, =2 в зависимости от смещения центра круга вдоль оси 2.

Из рис. 4 видно, что вблизи перетяжки вдоль оси Z периодически через расстояние около 0.25 мкм имеют место точки, в которых сила равна нулю. Если центр цилиндра будет совпадать с этими точками, то цилиндр будет находиться в устойчивом или неустойчивом равновесии. Точки устойчивого и неустойчивого равновесия чередуются попеременно, то есть примерно через каждые 0.5 мкм цилиндр будет находиться в «оптической ловушке» (в точке устойчивого равновесия).

Если уменьшить диэлектрическую проницаемость микроцилиндра, то «оптический захват» можно осуществить одним остро сфокусированным непараксиальным гауссовым пучком (рис. Зв). На рис. 5 представлены графики зависимостей проекций силы, действующей на микроцилиндр с круглым сечением. Параметры моделирования: £>=2 мкм, Х=1 мкм, £-,=1.2, £-2=1, й)0=0.5 мкм, Р=\00 мВт/м. Непараксиальный гауссов пучок рассчитывался по формуле:

фх(р,<р) = Е0 , (8)

соп*1л

С.

1«

ехр

*ЧУ

гк-^Г-

(9)

где J„(x) - функции Бесселя «-го порядка, фх = Ех для ТЕ-поляризации, фх = Нх для ТМ-поляризации, у0 и г0 - координаты центра пучка, цилиндр с круглым сечением находится в начале координат. Остальные компоненты поля находятся из уравнений Максвелла.

а)

б)

Рис. 5. Зависимость проекций силы, действующей на микроцилиндр с круглым сечением от смещения его на расстояние Ь из центра перетяжки: а) вдоль оси 2, б) вдоль оси У.

Из рис. 5 видно, что при смещении цилиндра из точки (2=0.3 мкм; У=0 мкм) возникает сила, стремящаяся вернуть цилиндр в точку равновесия.

В третьей Главе рассматриваются аналитические выражения для проекций сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на цилиндр с круглым сечением. Производится численное сравнение расчета сил аналитическим методом и при помощи общих формул, полученных во

второй главе и примененных к полю, рассчитанному итеративным алгоритмом.

Проекции силы, действующей со стороны непараксиального гауссова 'пучка на цилиндрический диэлектрический объект с круглым сечением, могут быть записаны в виде:

где:

для ТЕ-поляризации, и

для ТМ-поляризации, •/;,(>) - производные функций Бесселя, Н^'(х) и — функции Ханкеля и-го порядка первого рода и их производные.

На рис. б представлены график зависимости проекции силы действующей на цилиндр со стороны светового поля, от смещения цилиндра Ь вдоль оси Ъ в случае £>=2Х=4й>0=1 мкм, е,=2, г2=1.77 (/»2=1.33 - вода), Р= 100 мВт/м.

Рис. 6. График зависимости проекции силы от смещения Ь вдоль оси 2, рассчитанной двумя способами при следующих параметрах: О=2Х=4ю0, с, =2, е2 =1.77 (пг =1,33 - вода).

График рассчитан по аналитической формуле (10), график рассчитан по формуле (6) при помощи расчета дифракции итеративным методом (3). Из рис. б видно, что результаты обоих методов расчета силы совпадают. При этом в ряду (9) бралось не менее 15 членов.

Моделирование показало, что сфокусированная плоская волна лучше «захватывает» микроцилиндр с круглым сечением, чем непараксиальный гауссов пучок. В Таблице 3 приведено максимальное значение диэлектрической проницаемости г, для полного «оптического захвата»

микроцилиндра проекцией силы . Параметры моделирования: /3=1 мкм, Х=1 мкм, г2=1.77, с)0=0.5 мкм, Р=100 мВт/м.

Таблица 3. Максимальное значение г-, для полного'«оптического захвата» микроцилиндра в воде. __

Поляризация Непараксиальный гауссов пучок Фокусировка плоской волны линзой, относительное отверстие ЫА=1.27

ТЕ 2,06 2,26

ТМ 2,35 2,52

В приложении А приведен вывод аналитических формул для проекций силы, действующей со стороны непараксиального гауссова пучка на цилиндр с круглым сечением при его расположении вблизи перетяжки пучка, приведенных в третьей главе.

Заключение.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

3. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

4. Показано, что с помощью разработанного быстрого итеративного метода приближенного решения двумерной задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы удается за 50-100 итераций в течении десятков секунд рассчитывать поля дифракции 128x128 отсчетов с точностью 1%-4% в случае, если

выполняется неравенство — (е2-£,)<0.6, где а — радиус окружности, в

Л.

которую вписано сечение цилиндра.

5. Численно показано, что диэлектрический цилиндр с круглым сечением диаметром D=X может быть "захвачен" в воде (ег =1.77) с помощью непараксиального гауссова пучка (ТМ-поляризация) с радиусом перетяжки 2а>а=Х, если он имеет 'Диэлектрическую проницаемость г, <2.35.

6. Наиболее перспективным является использование для захвата «остро» сфокусированной плоской волны с ТМ-поляризацией. В этом случае при использовании цилиндрической линзы с относительным отверстием (отношением апертуры к фокусному расстоянию) NA=1.27 и при равенстве диаметра круглого сечения цилиндра длине волны света граница «оптического захвата» в воде увеличивается до £-,<2.52.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Котляр В.В., Налимов А.Г., Скиданов Р.В. Быстрый метод расчета дифракции электромагнитной волны на цилиндрических диэлектрических объектах // Компьютерная оптика, № 25, 2004., с. 24-28.

2. Котляр В.В., Налимов А.Г. Метод быстрого расчета дифракции ТЕ- и ТМ- поляризованной электромагнитных волн на 2D микрообъектах // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева; вторая летняя школа молодых ученых по дифракционной оптике и обработке изображений, 17-18 июня, 2004, с. 18-19.

3. Котляр В.В., Налимов А.Г., Скиданов Р.В. Расчет вектора Умова-Пойнтинга и силы давления электромагнитной волны на однородный диэлектрический цилиндр // Известия СНЦ РАН, т. 7, №1, 2005, с. 83-91.

4. Kotlyar V.V., Nalimov A.G., Skidanov R.V. Fast calculation of diffraction by microobject // Book of abstract, topical meeting on Optoinformatics, "Optics meets Оптика", October 18-21, Sankt-Petersburg, 2004, pp. 52-54.

5. Котляр В.В., Налимов А.Г. Скиданов Р.В. Метод быстрого расчета дифракции лазерного излучения на микрообъектах // Оптический журнал, Т. 72, № 5, май 2005, с. 55-61.

6. Kotlyar V.V., Nalimov A.G., Skidanov R.V. Method for rapidly calculating the diffraction of laser radiation at microscopic objects // J. Opt. Technol. Vol. 72, № 5, May 2005, pp. 400-405.

7. Корсакова C.C., Налимов А.Г., Хонина C.H. Метод расчета дифракции и преломления излучения на диэлектрическом цилиндре // Оптический журнал, Т. 71, № 7, июль 2004, с. 65-70.

8. Korsakova S.S., Khonina S.N., Nalimov A.G. A method of calculating the diffraction and refraction of radiation at a dielectric cylinder // J. Opt. Technol. Vol. 71, № 7, July 2004, pp 472-477.

9. Khonina S.N., Korsakova S.S., Nalimov A.G. Studying a diffraction of laser light by a dielectric circular cylinder // Тезисы конференции "Op-toinformatics "Optics meets Оптика" - St.Petersburg", 21-24 октября 2003, с. 52-54.

10.Kotlyar V.V., Nalimov A.G., Skidanov R.V. Calculation of Umov-Pointing vector and the electromagnetic wave pressure force on a homogeneous dielectric cylinder // Proceedings of SPIE, Saratov Fall Meeting 2004, Laser Physics and Photonics, Spectroscopy, and Molecular Modeling, 21-24 September; Vol. 5773, pp. 106-118.

11.Котляр B.B., Личманов M.A., Налимов А.Г. Расчет силы давления света на круглый диэлектрический цилиндр с использованием быстрого итеративного алгоритма и на основании аналитического решения // Компьютерная оптика, №27, 2005, с.Т 12-116.

12.Котляр В.В., Налимов А.Г. Сравнение аналитического решения задачи расчета дифракции света на круглом диэлектрическом цилиндре с расчетом дифракции с использованием быстрого итеративного алгоритма // Третий самарский региональный конкурс-конференция научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике, Сборник конкурсных докладов, 24-25 ноября 2005, с. 14-23.

13.Котляр В.В., Налимов А.Г. Расчет силы давления непараксиального гауссова пучка на однородный цилиндр с круглым сечением // Компьютерная оптика, №27, 2005, с. 105-111.

14.Котляр В.В. Налимов А.Г. Оптический захват диэлектрического цилиндра вблизи фокуса разных световых пучков // Компьютерная оптика, №28, 2005, с. 22-28 .

15.Kotlyar V.V., Nalimov A.G. An analytical expression for radiation forces on a dielectric cylinder illuminated by a non-paraxial Gaussian beam // J. of Mod. Opt., 2006, Vol. 53 (in press).

Подписано в печать 04.04.06 Тираж 100 экз. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная усл. печ. л. 1,0 заказ № 122

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. БЫСТРЫЙ ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПОЛЕЙ ДИФРАКЦИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ С СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

1.1. Итеративный метод расчета дифракции ТЕ-поляризованной волны.

1.2. Итеративный метод расчета дифракции ТМ-поляризованной волны.

1.3. Расчет вектора Умова-Нойнтинга.

1.4. Дифракция непараксиального гауссова пучка.

1.5. Релаксация итеративного метода.

1.6. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции плоской волны.

1.7. Сравнение с аналитическим расчетом при дифракции непараксиального гауссова пучка.

Выводы к 1-й главе.

ГЛАВА 2. РАСЧЕТ СИЛЫ, С КОТОРОЙ ДЕЙСТВУЕТ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С СЕЧЕНИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.

2.1. Электромагнитная сила для трехмерного случая.

2.2. Электромагнитная сила для двумерного случая (ТЕ- и ТМ-поляризаций).

2.3. Расчет силы для плоской волны.

2.4. Расчет силы для непараксиального гауссова пучка.

2.4.1. Случай, когда показатель преломления объекта больше показателя преломления среды.

2.4.2. Случай, когда показатель преломления объекта меньше показателя преломления среды.

2.4.3. Случай, когда показатель преломления объекта является комплексной величиной.

2.4.5. Зависимость силы от параметров падающего пучка.

Выводы ко 2-й главе.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СИЛЫ, С КОТОРОЙ ДЕЙСТВУЕТ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА С ТЕ- (ТМ-) ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ.

3.1. Аналитическое выражения для электромагнитной силы (ТЕ-поляризация).

3.2. Аналитическое выражение для проекций силы в случае ТМ-поляризации.

3.3. Численное сравнение расчета силы с помощью итеративного метода и по аналитическим выражениям.

3.4. Зависимость силы от параметров объекта.

Выводы к 3-й главе.

Актуальность исследования. «Оптический пинцет» и «оптические ловушки» открыли новое направление лазерных исследований, так как они позволяют производить механическую манипуляцию микрочастицами за счет сил со стороны лазерного излучения. Впервые Ашкин в 1970 г экспериментально показал, что сила оптического давления может быть использована для манипуляции маленькими диэлектрическими объектами и их удержания в равновесии против силы тяжести [1]. Он назвал это явление оптической левитацией. С тех пор оптическая манипуляция микрообъектами начала бурно развиваться, поскольку она позволяет решать широкий класс задач в биологии, генной инженерии, микромеханике, науке о коллоидах и т.д. В большинстве приложений «оптический пинцет» используется для контроля всего одной частицы. Для расчета силы, действующей на произвольный микрообъект в фокусе лазерного пучка, необходимо знать поле дифракции лазерного излучения на этом микрообъекте.

Расчет поля дифракции электромагнитной волны на диэлектрических объектах можно проводить с помощью многих известных методов: разностных методов решения системы уравнений Максвелла [2-4], волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5], методов конечных и граничных элементов [6-9], прямых методов решения соответствующих интегральных уравнений Фредгольма второго рода [10,11]. Ду

Все перечисленные методы сводят двумерную задачу дифракции к решению алгебраической системы уравнений, размерность которой равна NxN, где N - число отсчетов рассчитываемого поля дифракции. Если выбрать поле дифракции размером 128x128 отсчетов, то размерность системы уравнений будет равна N*N = \2&2 х1282. Даже если матрица такой системы уравнений имеет, как правило, 3-х диагональный вид, время решения такой задачи на компьютерах типа Pentium IV составит десятки и сотни минут.

Тем не менее, существуют задачи, требующие быстрого расчета поля дифракции монохроматической волны. Такой задачей является например пошаговый расчет дифракции на микрообъекте, находящегося в различных положениях около фокуса лазерного пучка с целью расчета сил, действующих на микрообъект со стороны лазерного излучения. Тогда расчет поля дифракции должен быть произведен много раз за короткое время. Все перечисленные современные методы не позволяют быстро (за несколько секунд) производить подобный расчет.

Задача моделирования манипуляции микрообъектами лазерным излучением рассматривалась многими способами. Впервые теоретическую задачу давления света на сферу с помощью теории Ми рассмотрел Дебай в 1909 г. [12]. В общем случае сила давления света на микрочастицу должна рассматриваться с помощью максвелловского тензора напряжений электромагнитного поля [13]. Впервые сила действия слабосходящегося гауссова пучка на сферическую частицу с помощью теории Ми была оценена в [14], а для «острой» (непараксиальной) фокусировки гауссова пучка в [15,16]. Пользуются популярностью и приближенные методы расчета силы, действующей со стороны света на частицу: метод геометрической оптики с учетом френелевских коэффициентов отражения и преломления [17], который применяется для больших значений параметра д = к0а» 1, где к0 =— - волновое число света в вакууме, а - радиус сферы, охватывающей объект, и метод градиентной и рассеивающей сил [18], применимый для рэлеевских частиц ^«1). В [19] рассмотрено еще одно приближение для расчета силы света, действующей на микрочастицу: приближение связанных диполей. В [20] показано, что градиентную и рассеивающую силы можно получить из уравнений Максвелла и тензора напряжений. Полученное в [20] выражение для силы действия света справедливо при условии - п2 \ < 1, где

7, и п2 - показатели преломления среды и частицы. В [21] с помощью тензора напряжений получено выражение для силы света, действующей на сферическую частицу с керровской нелинейностью. Для расчета сил, действующих со стороны электромагнитного поля на микрообъект используется метод разностного решения уравнения Максвелла [22] или аналитические выражения в случае сферических частиц [23].

Однако в перечисленных выше работах не проведены явные интегральные выражения для расчета сил, действующего со стороны электромагнитного поля с ТЕ- или ТМ-поляризацией на. диэлектрический цилиндр с произвольным сечением. Кроме того, не было проведено моделирование расчета сил, действующих со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр.

Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца-Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [24-26] и [27] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [26,28,29]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [30,31]. Однако расчет в [30,31] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [32,33] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако, действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [34,35] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [36,37] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы действия света: геометро-оптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы действия света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [38]. В [39] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [40,41] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2Т> гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Однако в перечисленных выше работах не приведены явные аналитические формулы в виде рядов для проекций вектора силы, действующей со стороны электромагнитной волны (в частности, непараксиального гауссова пучка) с ТЕ- и ТМ- поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Целью работы является разработка быстрого итеративного алгоритма решения интегрального уравнения для расчета поля дифракции произвольной ТЕ- (ТМ-) поляризованной монохроматической волны для анализа сил, действующих со стороны светового поля на диэлектрический микроцилиндр с произвольной формой сечения.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

• Разработка быстрого итеративного алгоритма для расчета поля дифракции на двумерном цилиндре с произвольной формой сечения на основе решения уравнения Фредгольма второго рода.

• Численное исследование сил, действующих на микрообъект в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

• Вывод аналитических выражений для проекций сил, действующих на диэлектрический цилиндр с круглым сечением в области перетяжки непараксиального гауссова пучка

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы. Метод работоспособен при условии, что п\ ~п\ I < 06» гДе ^ " длина волны света, а - радиус окружности, в А которую вписано сечение цилиндра, и, и п2 - показатели преломления цилиндра и окружающей среды.

2. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы. Рассчитана сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы, расположенный вблизи перетяжки пучка. Численно показано, что при определенных условиях вблизи перетяжки пучка имеется точка, в которой сила равна нулю.

3. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

На защиту выносятся:

1. Быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

3. Аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с круглым сечением.

Практическая ценность работы определяется следующими обстоятельствами:

• Разработанный метод анализа дифракции ТЕ- (ТМ-) поляризованной волны на микрообъектах позволяет быстро рассчитать поле дифракции произвольной падающей волны, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца, и определять силы, действующие на цилиндрический микрообъект с произвольной формой сечения.

• Разработанный метод позволяет провести оптимизацию условий для осуществления оптической манипуляцией микрочастицами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: на международном конгрессе «Оптика 21 века» на конференции «Optics in computing», проводимой в научном центре Корнинг (Санкт-Петербург, октябрь 2002 г.), на международной конференции НОЦ в рамках программы «Фундаментальные исследования и высшее образование», проводимой в Министерстве образования РФ (Москва, апрель 2003), на международной конференции «Optoinformatics», проводимой в Институте точной механики и оптики (Санкт-Петербург, октябрь 2003), на международной конференции Saratov Fall Meeting, проводимой в Саратовском государственном университете (Саратов, сентябрь 2004), на Третьей самарской региональной конкурс-конференции студентов и молодых исследователей, проводимой в Самарском филиале Физического института РАН (Самара, ноябрь 2005).

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), приложения, изложенных на 140 страницах и содержит 50 рисунков.

Выводы к 3-й главе.

1. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5Х, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

2. Моделирование надежности захвата (отношеие максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а во-вторых, максимум надежности приходится на Я диаметр Б=1.5А, (параметры: ¿у0 =— - радиус перетяжки гауссова пучка, X - длина волны, ех=2, ег—\П1 - диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработан быстрый итеративный метод расчета дифракции монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы.

2. Показано, что с помощью разработанного быстрого итеративного метода приближенного решения двумерной задачи дифракции электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрическом цилиндре с сечением произвольной формы удается за 50-100 итераций в течении десятков секунд рассчитывать поля дифракции 128x128 отсчетов с точностью 1%-4% в случае, если выполняется неравенство -е,)<0.6, где а — радиус окружности, в которую вписано сечение цилиндра.

3. Сравнение амплитуд полей дифракции плоской волны и непараксиального гауссова пучка на диэлектрическом цилиндре круглого сечения, рассчитанных с помощью итеративного метода и с помощью аналитического решения задачи в виде рядов цилиндрических функций, показало, что среднеквадратическое отклонение этих двух амплитуд растет при смещении цилиндра из центра перетяжки гауссова пучка, что обусловлено увеличением числа значащих членов ряда, которые требуется учитывать. Однако увеличение числа членов ряда в 2 раза приводит к увеличению времени расчета в 30 раз.

4. Разработан метод расчета силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- (ТМ-) поляризацией на диэлектрический цилиндр с сечением произвольной формы.

5. С помощью полученных интегральных формул для продольной и поперечной проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с произвольным сечением, можно рассчитывать эти силы, охватывая объект круговым контуром с радиусом, превышающим радиус сечения цилиндра в 3-5 раз на поле отсчетов 256x256 с ошибкой не хуже 5%. Изменение сетки отсчетов от 128x128 до 512x512 изменяет значения рассчитанной силы не более чем на 2%.

6. Рассчитанная сила, действующая со стороны непараксиального гауссова пучка с длиной волны X, радиусом перетяжки ^ и мощностью 0.1 Вт/м на диэлектрический цилиндр с круглым сечением с диаметром

D=Ä, и ех =2, равна по порядку величины Ю-10— и совпадает со м значением для силы, приведенной другими авторами [21].

7. Два встречных цилиндрических непараксиальных гауссовых пучка с длиной волны "к и радиусом перетяжки ^ формируют вблизи перетяжки стоячую волну, которая будет являться оптической ловушкой для диэлектрического цилиндра с диаметром равным X и ех =2. Если же использовать только один такой гауссов пучок, то он сможет захватить в ловушку только более «слабый» цилиндр с г, <1.3.

8. Если диэлектрический цилиндр имеет проницаемость ех меньше, чем диэлектрическая проницаемость среды ег, то он будет «выталкиваться» из области перетяжки цилиндрического непараксиального гауссова пучка.

9. Если диэлектрическая проницаемость цилиндра комплексная, то наличие даже малой доли мнимой части, около (З*б)х10~3, нарушает условие оптического захвата.

10. Наличие асимметрии в ссчешш цилиндра изменяет условия оптического захвата, например если два цилиндра с круглыми сечениями с диаметром каждого — расположены поперек оптическои оси вблизи перетяжки гауссова пучка, радиус которой равен длине волны X, то захват такого цилиндра происходит при ех <2, если же эти цилиндры расположены вдоль оптической оси, то граница захвата сужается: г:,<1.2.

11. Наиболее перспективным является использование для захвата «остро» сфокусированной плоской волны с ТМ-поляризацией. В этом случае при использовании цилиндрической линзы с относительным отверстием МА=1.27 и при равенстве диаметра круглого сечения цилиндра длине волны света граница «оптического захвата» в воде увеличивается до е{ <2.52.

12. Получено аналитическое выражение для силы, действующей со стороны монохроматической электромагнитной волны с ТЕ- и ТМ-поляризациями на диэлектрический цилиндр с круглым сечением. Проекции вектора силы при этом выражены в виде ряда из произведений коэффициентов разложения по цилиндрическим функциям проекций векторов напряженности электрического или магнитного полей, рассеянных цилиндром.

13. Сравнение проекций силы, действующей на диэлектрический цилиндр с круглым сечением со стороны непараксиального гауссова пучка, рассчитанных с помощью общих интегральных соотношений и с помощью полученных аналитических выражений, показало, что невязка не превышает 2% в случае ТЕ-поляризации и 6% для ТМ-полярищации, при этом число слагаемых в аналитическом ряде было не менее 15. При изменении диаметра цилиндра в пределах от 0.5А, до 2Х невязка между проекциями силы, рассчитанная разными методами, не превышает 7%, а при изменении числа отсчетов, укладывающихся на диаметр цилиндра в диапазоне от 25 до 100 та же невязка не превышала 3% (ТЕ-поляризация) и 10% (ТМ-поляризация).

14. Моделирование надежности захвата (отношение максимума силы, действующей на цилиндр в обратном направлении, к максимуму силы, действующей на цилиндр в прямом направлении) в зависимости от диаметра круглого сечения цилиндра показало, что во-первых, зависимость эта носит осциллирующий характер, что связано с резонансным эффектом при взаимодействии света с цилиндром, а воI вторых, максимум надежности приходится на диаметр Б=1.5Х, (параметры: ф0 = - радиус перетяжки гауссова пучка, X - длина волны, ех= 2, £2=1.77 - диэлектрические проницаемости цилиндра и воды), причем для ТМ-поляризации она в 1.7 раза выше.

1. Ashkin A. Acceleration and trapping of particles by radiation pressure. Phys. Rev. Lett. 24, 1970, pp 156-159.

2. Taflove A. Computation electromagnetics: The finite-difference timedomain method // Artech House, Boston, 1995

3. Prather D.W., Shi S. Formulation and application of the finite-difference time-domain method for the analysis of axially symmetric diffractive optical elements // J. Opt. Soe. Am. A., 1999. V.16. No. 5. P. 1131-1142

4. Головашкин Д.Л., Сойфер B.A. Анализ прохождения электромагнитного излучения через дифракционную линзу // Автометрия, 1999. В. 6. С. 119-121

5. Gruzdev V., Gruzdeva A. Finite-difference time-domain modeling of laser beam propagation and scattering in di-electric materials // Proceedings A SPIE, 2001. V. 4436, P. 27-38

6. Davies J.B. Finite elements analysis of waveguides and cavities a review // IEEE Trans. Magn., 1993. V. 29, P.1508-1583

7. Mirotznik M., Prather D., Mait J. A hybrid finite element-boundary element method for the analysis of diffractive elements // J. Mod. Opt., 1996. V. 43. No. 7. P. 1309-1321

8. Kotlyar V.V., Nesterenko D.V. A finite elements method on the problem of light diffraction by micro-optics // Opt. Mem. and Neur. Net., 2000. V. 9. No 3. P. 209-219

9. Dong B, Lin J., Gu В., Yang G. Rigorous electromagnetic analysis of a microcylindrical axilens with long focal depth and high transverse resolution//J. Opt. Soc. Am. A, 2001. V. 8. No 7. P. 1465-1470

10. Ильинский A.C., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики // М.: Высшая школа, 1991

11. Kotlyar V.V., Lichmanov M.A., "Analysis of light diffraction by micro-optics using finite elements method", Opt. Mem. and Neut. Net., v. 10, no. 4, p. 257-265 (2001)

12. DebyeP. "Der Lichtdruck and Kugeln von beliebige Material" Ann. Phys, v. 30, pp 57-136 (1909)

13. Ландау JI.Д., ЛифшицЕ.М. «Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика», Наука, М., 1969

14. Kim J.S., Lee S.S. "Scattering of laser beams and the optical potential well for a homogeneous sphere", J. Opt. Soc. An, v. 73, p 303-312 (1983)

15. Barton J.P., Alexander D.R., Schaub S.A. "Theoretical determination of net radiation force and torque for a spherical particle illuminated by a purged laser beam", J. Apl. Phys, v. 66,4594 4602 (1989)

16. RenF., GrehanG., GonesbetG. "Radiation pussure forces exerted on a particle located arbitrarily on a Gaussian beam by using the generalized Lorents-Mie theory, and associated resonance effects" Opt. Commun., v. 108, 343-354(1994)

17. AshkinA. "Forces of a single-beam gradient laser trap on a dielectric sphere in the ray-optics region", Biophys. J., v. 61, p. 569-582 (1992)

18. Navade Y., AsakureT. "Radiation forces on a dielectric sphere in the Rayleigh scatterry regime", Opt. Commun., v. 124, p.529-541 (1996)

19. Lemire T. "Coupled-multipole formulation for the threatment of electromagnetic scattery by a small dielectric particles of arbitrary sphere", J.Opt.Soc.Am. A, v. 14, 470-474 (1997)

20. RohrbachA., StelzerE.H. "Optical trapping of dielectric particles in arbitrary fields" J. Opt. Soc. Am. A v. 18, n 4, p 813-839 (2001)

21. PobreR., Salome C. "Radiation force on a nonlinear microsphere by a lightly focused Gaussian beam", Appl. Opt., v. 41, № 36, p. 7694-701 (2002)

22. Gauthier R.C. Computation of the optical trapping force using an FDTD based technique // Optics Express, 2005, Vol. 13, No. 10, pp. 3707-3718

23. Moine O., Stout B. Optical force calculations in arbitrary beams by use of the vector addition theorem // J. Opt. Soc. Am. B, 2005, Vol. 22, No. 8, pp. 1620-1631

24. GouesbetG., MaheuB., GrehanG. Light scattering from a sphere arbitrarily located in a Gaussian beam, using a Bromwide formulation // J. Opt. Soc. Am. A, v. 5, p. 1437-1443 (1988)

25. Gouesbet G., Lock J.A. A rigorous justification of the localized approximation to the beam-shape coefficients in the generalized Lorenc-Mie theory. II. Off-axis beams // J. Opt. Soc. Am. A., v. 2, p. 2516-2525 (1994)

26. Ren F., Grehad G., Gouebet G. Radiation pressure forces exerted on a particle located arbitrarily in a Gaussian beam by using the generalized Lorenc-Mie theory and associated resonance effects. // Opt. Commun., v. 108, p. 343-354(1993)

27. Gouesbet G. Validity of the localized approximation for arbitrary shaped beams in the generalized Lorenc-Mie theory for spheres // J. Opt. Soc. Am. A, v. 16, p. 1641-1650 (1999)

28. Barton J., Alexander D., Schaub S. Theoretical determination of net radiation force and torque for a spherical particle illuminated by a focused laser beam. // J. Appl. Phys., v. 66, p. 4594-4602 (1989)

29. Gussard R., Lindmo T., Brovik I. Calculation of the trapping force jn a strongly focused laser beam. // J. Opt. Soc. Am. B, v. 9, p. 1922-1930 (1992)

30. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Optical trapping of a dielectric particles in arbitrary fields. // J. Opr. Soc. Am. A, v. 18, p. 839-853 (2001)

31. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Trapping forces, force constant, and potential depths for dielectric spheres in the presence of spherical aberration. // Appl. Opt., v. 41, p. 2494-2507 (2002)

32. Lock J.A. Calculation of the radiation trapping force for laser tweezers by use of generalized Lorenc-Mie theory I. Localized model descriptionof an on-axis tightly focused laser beam with spherical aberration. // Appl. Opt. V. 43, p. 2532-2544 (2004)

33. Lock J.A. Calculation of the radiation trapping force for laser tweezers by use of generalized Lorenc-Mie theory. II. On-axis trapping force. // Appl. Opt., v. 43, p. 2545-2554 (2004)

34. Ganic D., Gan X., Gu M. Exact radiation trapping force calculation based on vectorial diffraction theory. // Opt. Express, v. 12, no. 12, p. 26702675 (2004)

35. Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinstein-Dunlop H. Computational modeling of optical tweezers. // Proceeings of SPIE, v. 5514, p. 514-523 (2004)

36. Mazolli A., Maia Neto P.A., Nussenzveig H.M. Theory of trapping forces in optical tweezers. // Pvoc. R. Soc. Lond., v. 459, p. 3021-3041 (2003)

37. Nahmias Y.K., Oddl D.J. Analysis of radiation forces in laser trapping and laser-guided direct writing application. // IEEE J. daunt. Electr., v. 38, no. 2, p. 1-10(2002)

38. Pobre R., Saloma C. Radiation forces on nonlinear microsphere by a tightly focused Gaussian beam. // Appl. Opt., v. 41, no. 36, p. 7694-7701 (2002)

39. Marston P.L., Crichton J.H. // Radiation torque on a sphere coused by a circularly-polarized electromagnetic wave. // Phys. Rev. A., v. 30, no. 5, p. 2508-2516(1984)

40. Zimmerman E., Dandliner R., Souli N. Scattering of an off-axis Gaussian beam by a dielectric cylinder compared with a rigorous electromagnetic approach. //J. Opt. Soc. Am. A, v. 12, p. 398-403 (1995)

41. Wu Z., Guo L. Electromagnetic scattering from a multilayerd cylinder arbitrarily located in a Gaussian beam, a new recursive algorithms. // Progress in electromagnetics research, PIER, v. 18, p. 317-333, (1998)

42. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика // М.: Радио и связь, 2000. Т. 1

43. Ida T., Ishihara Т., Goto К. Frequency-domain and time-domain novel uniform asymptotic solution for scattering fields by an impedance cylinder and a dielectric cylinder // Ieice Trans. Electron, 2005, Vol. E88-C, No. 11, pp. 2124-2135

44. Sun. W., Loeb N.G., Tanev S., Videen G. Finite-difference time-domain solution of light scattering by an infinite dielectric column immersed in a absorbing medium // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 10, pp. 19771983

45. Bonod N., Popov E., Neviere M. Differential theory of diffraction by finite cylindrical objects // J. Opt. Soc. Am. A, March 2005, Vol. 22, No. 3, pp. 481-490

46. Kang X., Lu В. The M2 factor of nonparaxial Hermite-Gaussian beams and related problems // Optik 116,2005, pp. 232-236

47. Lu В., Duan К., Wang В. Propagation of Hermite-Gaussian and Laguerre-Gaussian beams beyond the paraxial approximation // J. Opt. Soc. Am. A, September 2005, Vol. 22, No. 9, pp. 1976-1980

48. Borghi R., Santarsiero M., Alonso M.A. Highly focused spirally polarized beams // J. Opt. Soc. Am. A, July 2005, Vol. 22, No. 7, pp. 1420-1431

49. Gutierrez-Vega J.C., BandresM.A. Helmholtz-Gauss waves // J. Opt. Soc. Am. A, February 2005, Vol. 22, No. 2, pp. 289-298

50. Miguel A. Bandres, Julio C. Gutierrez-Vega. Vector Helmholtz-Gauss and vector Laplace-Gauss beams // Optics Letters, Aug. 15 2005, Vol. 30, No. 6, pp. 2155-2157

51. Sumaya-Martinez J., Mata-Mendiz O., Chavez-Rivas F. Rigorous theory of the diffraction of Gaussian beam by finite fratings: TE polarization // J. Opt. Soc. Am. A, May 2003, Vol. 20, No. 5, pp. 827-835

52. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений // M.: Радио и связь, 1986

53. Прудников А.П., Бричков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции // М.: Наука, 1983

54. Cojoc D., Cabrini S., Ferrari E., Malureanu R., Danailov M.B., Fabrizio E.D. Dynamic multiple optical trapping by means of diffractive optical elements // Microelectronic Engineering, 73-74,2004, pp. 927-932

55. Ambardekar A.A., Li Y. Optical levitation and manipulation of stuck particles with pulsed optical tweezers // Optics Letters, 2005, Vol. 30, No. 14, pp. 1797-1799

56. Ferrari E., Emiliani V., Cojoc D., Garbin V., Zahid M., Durieux C., Coppey-Moisan M., Fabrizio E.D. Biological samples micromanipulation by means of optical tweezers // Microelectronic Engineering, 78-79 , 2005, pp. 575-581

57. Sacconi L., Tolic-Norrelykke I.M., Stringari C., Antolini R., Pavone F.S. Optical micromanipulation inside yeast cells // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 11, pp. 2001-2007

58. Xu S., Li Y., Lou L. Axial optical trapping force on two particles trapped simultaneously by optical tweezers // Applied Optics, 2005, Vol. 44, No. 13, pp. 2667-2672

59. Ng J., Chan C.T., Sheng P., Lin Z. Strong optical force induced by morphology-dependent resonances // Optics Letters, 2005, Vol. 30, No. 15, pp. 1956-1958

60. Rockstuhl C., Herzig H.P. Calculation of the torque on dielectric elliptical cylinders // J. Opt. Soc. Am. A, January 2005, Vol. 22, No. 1, pp. 109-116

61. Rockstuhl C., Salt M.G., Herzig H.P. Analysis of the phonon-polariton response of silicon carbide microparticles and nanoparticles by use of the boundary element method // J. Opt. Soc. Am. B, February 2005, Vol. 22, No. 2, pp. 481-487