Итерационный метод решения уравнения Гельмгольца в неограниченной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Работа посвящена численному решению уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Предлагается эффективный метод, разработанный специально для задачи дифракции электромагнитной волны на тонком объекте с конечной проводимостью. Специфика задачи состоит в том, что необходимо, с одной стороны, учитывать условия на бесконечности, а, с другой стороны, получить решение достаточно точно в небольшой ограниченной области в окрестности объекта. В связи с этим был разработан метод с условиями на искусственных границах, близких к проводящей области.

В предлагаемом методе используются две достаточно удаленные друг от друга границы вместо двух соседних слоев расчетной сетки, как в других методах с нелокальными искусственными граничными условиями. Условие склейки решений внешней и внутренней задач дает линейное уравнение для значений на границе, которое решается итерационно. Таким образом, задача с условиями на бесконечности сводится к серии задач с условиями Дирихле. Преимущество метода по сравнению с другими методами с нелокальными искусственными граничными условиями в том, что для решения задачи в ограниченной области могут быть использованы эффективные методы решения, разработанные для задач с условием Дирихле.

Алгоритм реализован для цилиндрически-симметричной задачи рассеяния электромагнитной волны на проводящем объекте. Оценка точности и скорости сходимости проводилась на примере тонких цилиндров, в частности, с отношением радиуса к длине 1:100 и длиной цилиндра больше длины волны. Искусственные границы — цилиндры с радиусом в несколько радиусов проводящего цилиндра (от 3 до 7 радиусов).

Важной частью работы является оценка метода решения задачи с ИГУ, включающая не только корректность ИГУ, но и эффективность решения полз ной задачи с этими ИГУ. Для предложенного численного алгоритма проведено исследование зависимости скорости сходимости и точности решения от параметров ИГУ (выбора искусственных границ, расстояния между ними, погрешности выполнения ИГУ).

Метод был применен для расчета деформации поля на каждом шаге по времени в самосогласованной электродинамической задаче о микроволновом стримерном разряде в газе высокого давления. Была использована модель, учитывающая по минимуму все необходимые факторы: гидродинамику газа, ионизацию, диффузию электронов и т.д. Расчет проводился расщеплением по физическим процессам. Деформация поля при заданном пространственном распределении проводимости вычислялась описанным итерационным методом. Подробно исследовано развитие газоразрядного процесса при прохождении электродинамического резонанса (равенство длины стримера половине длины волны излучения).

Актуальность работы определяется тем, что достаточно широкий круг прикладных исследований требует решения задач математической физики в неограниченных областях. Для их численного решения вводятся искусственные граничные условия. Они могут быть или локальные, но на «дальней» границе, или же существенно нелокальные. Локальные граничные условия являются легко реализуемыми, вычислительно дешевыми, но их некорректное использование, как правило, приводит к серьезным ошибкам в решении. Нелокальные граничные условия дают лучшую точность и могут быть поставлены на близкой границе, что позволяет решать задачу в небольшой расчетной области, но отличаются большей сложностью реализации и высокой вычислительной стоимостью. С точки зрения реальных расчетов нелокальность искусственных граничных условий представляет серьезную вычислительную проблему. Поэтому хотя построение искусственных граничных условий хорошо изучено, разработка метода эффективного решения разностных задач с такими условиями остается актуальной. Большое число работ нескольких последних десятилетий посвящено задаче создания метода, сочетающего простоту локальных граничных условий с точностью и корректностью нелокальных. Подробный обзор содержится в [1].

Для построения нелокальных граничных условий часто используются методы, основанные на «парциальных» условиях излучения и использующие разложение решения по сферическим функциям. Основной недостаток таких методов — жесткая привязка к сферической системе координат, неэкономная для реальных расчетных областей. Тем не менее, для широкого класса задач методы со сферической сеткой используются достаточно эффективно, в том числе и для задач дифракции. [2-4]

Метод разностных потенциалов обладает большей геометрической универсальностью, в сочетании с многосеточным методом для решения в ограниченной области он является популярным и общепризнанным методом решения задач, описываемых вне ограниченной области уравнениями Лапласа и Гельмгольца [5-8]. При этом вопрос о подборе параметров для наиболее эффективного решения остается актуальным (см. главу о нелокальных граничных условиях, основанных на методе разностных потенциалов, в обзоре [1]).

Уравнение Гельмгольца (в отличие от Лапласа) вносит дополнительные ограничения на выбор расчетных областей, связанные, во-первых, с неединственностью решения в ограниченной области и, во-вторых, с эффективностью алгоритма решения задачи в ограниченной области с выбранными ИГУ. Поэтому разработка универсального метода вряд ли возможна. Например, часто применяемый для решения уравнения Гельмгольца метод с оператором Пуанкаре-Стеклова (DtN maps) , использующий конечное число членов в разложении Фурье на искусственной границе, требует дополнительного контроля за единственностью решения и специальных методов решения задачи с разреженной матрицей для решения в ограниченной области, более или менее эффективных для разных задач.

Предложенный метод отличается принципиально новым подходом к решению задачи с ИГУ. Задача с условиями на бесконечности сводится к серии задач с условиями Дирихле. Как основное уравнение рассматривается уравнение для значений на искусственных границах, а решение эллиптического уравнения в ограниченной области считается легко обратимым оператором. Для решения задачи в ограниченной области могут быть использованы эффективные методы решения, а итерационный процесс, проводимый для учета условия на бесконечности, сходится очень быстро.

Каждая конкретная задача заново ставит вопрос о выборе способа построения ИГУ и не менее важный вопрос об эффективном алгоритме решения задачи с выбранными ИГУ. В работе предлагается эффективный итерационный метод решения задачи с ИГУ, разработанный для задачи дифракции электромагнитной волны на тонком проводящем объекте. Задачи такого типа подробно изучались в связи с теорией линейных вибраторных антенн. Известно большое число приближенных методов решения для тонких идеально проводящих цилиндров, диаметр которых характеризуется малым параметром x=l/(21n(kr)). Для малых % (например у~-0Л) такие методы достаточно точны, например [9, 10], в то же время, как показали проведенные расчеты, для несколько больших радиусов, в частности, уже для kr=0.1 (х«-0.2), они дают завышенные значения тока для резонансных случаев.

Основное внимание при расчетах поля в классической теории [11] уделялось току в проводнике и характеристикам поля в «дальней зоне» (диаграмма направленности, сопротивление излучения и т.д.), тогда как для задачи о газовом разряде наибольший интерес представляет поле в «ближней зоне» и внутри волокна конечного радиуса с конечной проводимостью, т.е. характеристики недоступные традиционным методам.

Рассматриваемый метод органично дополняет набор известных методов и имеет практическую значимость. Он может быть так же использован для широкого круга задач теории упругости, акустики, геофизики, электродинамики и т.п., обычно решаемым с помощью ИГУ, для которых многократное решение уравнения внутри и вне небольшой ограниченной области с условиями Дирихле предпочтительнее, чем решение уравнения с условиями на «дальней» границе или внутри небольшой ограниченной области, но с нелокальными искусственными граничными условиями. Достоинством метода является свобода выбора искусственных границ для конкретной задачи. Можно взять небольшую, удобную область расчета и добиться необходимой точности решения, не меняя ее формы и размера.

Основные результаты диссертации.

1. Построен итерационный метод решения задачи рассеяния: задача в неограниченной области сведена к задаче с искусственными граничными условиями, которая решается итерационно как последовательность задач с условиями Дирихле. Доказана теорема об устойчивости построенных искусственных граничных условий.

2. Метод реализован для цилиндрической задачи рассеяния волны на проводящем объекте. Проведено исследование зависимости точности и скорости сходимости алгоритма от параметров искусственных граничных условий.

3. Метод показал свою эффективность для расчета возмущения поля вокруг растущего проводящего объекта на каждом шаге по времени в задаче о газовом разряде в высокочастотном поле. Результаты численного моделирования согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Подтверждено принципиальное теоретическое положение: развитие стримерного подкритического разряда может быть описано без привлечения ионизующего жесткого излучения из канала как необходимого фактора.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Первая глава содержит 4 параграфа, вторая — 4, третья — 3. В работе содержится 20 графиков и 2 таблицы, 3 страницы занимает список литературы, который содержит 30 наименований.

Основные результаты диссертации представлены в работах [28-30].

Рис. 1. Сравнение численного и аналитического решений задачи о деформация высокочастотного поля на шаре с проводимостью сто. Профиль амплитуды Ez вдоль оси z (направления внешнего поля). R0=0.2. Слева вариант — СТо=10, справа — СТо=1000.

1. S.V. Tsynkov. Numerical solution of problems on unbounded domains. A review. App. Numer. Math., 27(1998), p.465-532.

2. Рябенький B.C., Софронов И.Л. Численное решение пространственных внешних задач для уравнения Гельмгольца методом разностных проекторов. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №11,1984,23 с.

3. Ю.А. Кузнецов, К.Н. Липников. Метод фиктивных областей для решения волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Численные методы и математическое моделирование. М.: ИВМ РАН, 1992, с. 56-69.

4. A. Bespalov Application of fictitious domain method to the solution of the Helmholtz equation in unbounded domain. INRIA, № 1797,1992

5. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. Издательство физ.-мат. литературы, 1987.

6. Вейцман Р.И., Зиновьев Е.В., Рябенький B.C. Алгоритм метода разностных потенциалов решения уравнения Гельмгольца вне цилиндра конечной длины. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №91, 1988, 27 с.

7. Брушлинский К.В., Рябенький B.C., Тузова Н.Б. Перенос граничных условий через вакуум в осесимметричных задачах. М.: ЖВМ и МФ. № 12, 1992, с. 1929-1939.

8. Demidov A.S., Yatsenko E.S. Investigation of heat and mass transfer in the evaporation zone of a heat pipe operating by the inverted meniscus principle. Int. J. Heat Mass Transfer. Vol. 37 No 14, pp 2155-2163,1994.

9. Л.А. Вайнштейн. Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. Часть II. Ток в пассивном вибраторе и излучение передающего вибратора. ЖТФ 1959, Т. XXIX, в.6, с. 689-699

10. JI.A. Вайнштейн. Волны тока в тонком цилиндрическом проводнике. Часть III. Вариационный метод и его применение к теории идеального и импедансного проводов. ЖТФ 1961, Т. XXXI, в.1, с. 29-44.

11. В.А. Дубровский, В.А. Гордеев. Радиотехника и антенны. М.: Радио и связь, 1992.

12. А.Н. Тихонов. А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

13. А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

14. В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. М.:Наука, 1982.

15. В.Ф. Дьяченко, Е.В. Шаханова Взаимодействие волны с проводящим волокном. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. № 29. 1993.

16. Г.М. Батанов, С.И. Грицинин, И.А. Коссый и др. СВЧ-разряды высокого давления. //Труды ФИАН 1985. Т. 160, С. 174-203.

17. Л.П. Грачев, И.И. Есаков, Г.И. Мишин, М.Ю. Никитин, К.В. Ходатаев. Безэлектродный разряд в воздухе при средних давлениях. //ЖТФ. 1985. Т. 55. Вып. 2. С. 389-391.

18. Л.П. Грачев, И.И. Есаков, Г.И. Мишин, К.В. Ходатаев. Разряд в воздухе в квазиоптическом СВЧ резонаторе.//ЖТФ.1994.Т. 64. Вып. 2. С. 26-37.

19. Л.П. Грачев, И.И. Есаков, Г.И. Мишин, К.В. Ходатаев. Стадии развития безэлектродного СВЧ разряда. //ЖТФ. 1996. Т. 66. Вып. 7. С. 32-45.

20. Л.П. Грачев, И.И. Есаков, К.В. Ходатаев. Особенности развития импульсных СВЧ разрядов в квазиоптическом пучке в различных газах. //ЖТФ. 1998. Т. 68, № 4, С. 33-36.

21. В.Б. Гильденбург, И.С. Гущин, С.А. Двинин, А.В. Ким. Динамика высокочастотного стримера. //ЖЭТФ. 1990. Т. 97. Вып. 4. С. 1151-1158.

22. К.В. Ходатаев. Гидродинамические процессы в плазме сверхмощного высокочастотного разряда. //Химическая физика. 1993. Т. 12. Вып. 3. С. 303-315.

23. Khodataev K.V. Physics of super undercritical streamer discharge in UHF electromagnetic wave. Proc. XXIII ICPIG. 17-22 July 1997. Toulouse-France, Contributed papers, IV-24.

24. Ходатаев K.B., Горелик Б.Р. Диффузионный и дрейфовый режимы распространения плоской волны ионизации в СВЧ-поле. //Физика Плазмы. 1997. Т. 23. №3. С. 236-245.

25. Мак-Доналд А. Сверхвысокочастотный пробой в газах. М.: Мир, 1969.

26. Безменов И.В., Силаков В.П. Газодинамика неравновесного разряда в азоте, создаваемого полем двух пересекающихся пучков СВЧ-волн. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №30,1993, 30 с.

27. А.В. Пашин, В.П. Силаков. Динамика неравновесного микроволнового разряда в азоте при высоком давлении и эволюция неравновесного газа в послеразрядный период. М.: Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. №88. 1996. 32 с.

28. Воскобойникова О.И. Итерационный метод решения задачи о рассеянии волны. М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. № 38. 1997.

29. Воскобойникова О.И., Гинзбург СЛ., Дьяченко В.Ф., Ходатаев К.В. Инициация микроволнового стримерного разряда в газе. М.: Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. № 13. 2001.

30. Воскобойникова О.И. Несколько расчетов микроволнового стримерного разряда. М.: Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. № 57. 2001.