Численные методы решения волнового уравнения Гельмгольца

Липников, Константин Николаевич

Численные методы решения волнового уравнения Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Липников, Константин Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1995 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Численные методы решения волнового уравнения Гельмгольца»

Автореферат диссертации на тему "Численные методы решения волнового уравнения Гельмгольца"

(

4 #

. ь 4 российская академия наук л

институт вычислительной математики

Па правах рукописм

удк 519.6

ЛИПНИКОВ Константин Николаевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Специальность 01.01.07 Вычислительная математика

автореферат

диссертпацигь на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических наук кузнецов 10. а.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук тыртышников е. е. кандидат физико-математических наук чурбанов а. г.

Ведущая организация -- Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского.

Защита состоится "^ -^УС^^Л 199-^. в^*часов на заседании специализированного совета К 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334, Москва, Ленинский пр-т, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан 199^~г\

Ученый секретарь специалтированного совета ТГ/' кандидат физико математических наук с. а. финоренов

Актуальность темы. В последние десять лет постоянно возрастает интерес к новым эффективным численным методам решения задач о рассеивании электромагнитных и акустических волн, особенно, в области высоких частот, т.е. когда длина волны много меньше характерного размера препятствия на котором она рассеивается. Необходимость решать такие задачи возникает, в частности, при оптимизации формы и покрытия рассеивающего препятствия (например, самолёта), минимизирующие интенсивность отраженного сигнала в заданном диапазоне частот и направлений; при изучении процесса распространения сейсмических волн; в ультразвуковой эхолокации и томографии. Во многих приложениях рассматриваются монохроматические волны и математические модели, приводящие к волновому уравнению Гельмгольца в неограниченной области с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности. Практически единственным путём решения этой задачи является проведение численных экспериментов на ЭВМ.

С вычислительной точки зрения, задачу п неограниченной области необходимо заменить задачей в ограниченной области путём введения искусственной границы Г, описанной вокруг облучаемого препятствия, с краевым условием на ней, моделирующим условие Зоммерфельда. Физические граничные условия на Г должны беспрепятственно пропускать волны, распространяющиеся от рассеивающего препятствия и отражать волны от внешних источников. На практике, вместо физических условий, используют поглощающие граничные условия (ПГУ) более простой формы. Высокими поглощающими свойствами обладают нелокальные граничные условия, связывающие решение во всех точках искусственной границы. При этом искусственная граница может располагаться очень близко от поверхности рассевающего препятствия, что уменьшает размерность возникающих алгебраических задач. Недостатком подхода является то, что аппроксимация нелокального ПГУ приводит к появлению плотных блоков в матрице задачи. Альтернативный подход основан на использовании локальных ПГУ и приводит к системам сеточных уравнений в которых каждое неизвестное, соответствующее узлу на искусственной границе, связано с несколькими соседними. Уменьшение амплитуды отражённой волны достигается либо увеличением порядка локального ПГУ, либо удалением искусственной границы от поверхности препятствия. Сложность теоретического анализа и практической реализации делает первый вариант бесперспективным. Второй вариант приводит к существенному увеличению размерности алгебраических задач.

С вычислительной точки зрения, задачу в неограниченной области необходимо заменить задачей в ограниченной области путём введения искусственной границы Г, описанной вокруг облучаемого препятствия, с краевым условием на ней, моделирующим условие Зоммерфельда. Физические граничные условия на Г должны беспрепятственно пропускать волны, распространяющиеся от рассеивающего препятствия и отражать полны от внешних источников. На практике, вместо физических условий, используют поглощающие граничные условия (ПГУ) более простой формы. Высокими поглощающими свойствами обладают нелокальные граничные условия, связывающие решение во всех точках искусственной границы. При этом искусственная граница может располагаться очень близко от поверхности рассевающего препятствия, что уменьшает размерность возникающих алгебраических задач. Недостатком подхода является то, что аппроксимация нелокального ПГУ приводит к появлению плотных блоков в матрице задачи. Альтернативный подход основан на использовании локальных ПГУ и приводит к системам сеточных уравнений в которых каждое неизвестное, соответствующее узлу на искусственной границе, связано с несколькими соседними. Уменьшение амплитуды отражённой волны достигается либо увеличением порядка локального ПГУ, либо удалением искусственной границы от поверхности препятствия. Сложность теоретического анализа и практической реализации делает первый вариант бесперспективным. Второй вариант приводит к существенному увеличению размерности алгебраических задач.

Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты и методы аппроксимации, матричного анализа и матричных итерационных методов.

Научная новизна. Предложены и исследованы новые численные ме-

тоды решения двух- и трёхмерного волнового уравнения Гельмгольца в случае высоких частот.

Практическая значимость. Разработаны комплексы программ, реализующие приближенные методы декомпозиции области для двумерного волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области с кусочно-постоянными коэффициентами и с условием излучения на бесконечности и методы фиктивных компонент для трёхмерного волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области с условием излучения на бесконечности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• семинарах лаборатории вычислительной математике ИВМ РАН, в университете г. Юваскюла (Финляндия),

• 3-м международном симпозиуме по численному анализу (Москва, 1992), 1-м российско-финском симпозиуме по численному анализу (Финляндия, 1992), 2-м международном симпозиуме по аппроксимации и численным методам решения уравнений Максвелла (USA, 1993), франко-российском совместном симпозиуме по вычислительной математике и приложениям (Москва, 1994), 4-ой международной конференции по численному анализу (Москва, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы объёмом 91 наименований. Общий объём работы 109 страниц, из них 20 страниц с таблицами и рисунками.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность задачи, поставленной в диссертационной работе, дастся краткий обзор методов построения локальных и нелокальных ПГУ и решения систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. В конце введения даётся краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена приближенным методам декомпозиции области для двумерного волнового уравнения Гельмгольца. В § 1.1 формулируется электромагнитная задача рассеивания с трансляционной симметрией вдоль оси OZ. В этом случае уравнения Максвелла сводятся к уравнению Гельмгольца для Ег компоненты (У полного электрического поля:

V + еи2и = 0 в П.2 \ О,

и = 0 на дв,

[У] =

= 0 на Г{,

1 дУ

(I дп

йй'Р^-м^)) - о,

где С? — односвязная область (идеальный проводник) с гладкой границей дС, п — нормаль к линии разрыва функций с, /¿, £/,• — падающая волна. Расстояние от любой точки Г г до поверхности проводника является постоянной величиной и равняется 6. Область пространства, ограниченного кривыми дй и будем называть диэлектрическим слоем и обозначать Определим области Г2 = П2 \ 6, = б и и = П2 \ Вещественные функции е, II являются кусочно-постоянными: ¡1 — ш, £ = Ец в области = области Поо.

Ограничим область окружностью Г/г радиуса Я с центром в точке О, О 6 (3. Получившуюся область обозначим через ГПоложим По = Пд П Поо- Выберем Л таким, чтобы Г« находилась на значительном расстоянии от препятствия и рассмотрим ПГУ первого порядка:

9{и~ ~ - и{) = 0 на Гц. (1)

В § 1.2 формулируется классическая обобщенная постановка задачи для рассеянной волны ?/, — [/ — £/,■: найти и 6 И^1 (Г2/С), и = — £/; на дй такую, что для Уь £ И72' (я, ОС) выполняется:

Д^-УиУй - е^иг^ йП-ш! иЪ «1« = Д(1 - - (1 - с1П.

Пв ^ Гц Пл ^

Представим как объединение К циклически упорядоченных непересекающихся криволинейных четырёхугольников П*. Определим 7ы —

П П/, ак — £1к П й и пространства вектор-функций V = (ь0,..., Уц): X = {V: £ И^П*)}. А' = {V: и* £ И'21(ПЬ а4)}.

А .

На X X X введём билинейную форму а(и,у) = о.к(ик,ьк), где

/ (V«,, • Уио — ы2иоио) <1П — ¡ы у «о^о сЬ,

По Гя

ак(ик,Ук) = / V?)* - е6и2икьк) (1П-

Определим пространство У для множителей Лагранжа как сопряжённое

где Г = и На Л' х У введём билинейную форму

, V) - Л / ч[ТыУк - Тдг;/) <Ь

с оператором Ты, действующим из И^1 ак) в И/21^2(7*/)- Рассмотрим следующую задачу: найти и 6 Л', = -[/,, 1; = 1,...,А' и х £ 1'

таких, что для любых V £ Л', тI £ У выполняется:

а(и,у) + с(у,*) = /(V),

С( и, 7]) = О,

где

/И = Е / [(1 - 14ЧЪ ■ Ущ - (1 - е6)ш*и#к] <ю.

Основу приближённого метода решения исходной задачи составляет формальная замена четырехугольника либо прямоугольником, либо сегментом кольца йк. Предлагаемая замена эквивалентна использованию билинейной формы а(и, у) = а0(и0, р0) + Е ак(ик,ьк), где

ак(ик,ук) = I ■ Уьк - £6ш2икук) сШ, щ, ук £ II

о - ° -

Пространства Л', Л', У переходят, соответственно, в Л', Л', У. Условие непрерывности решения на 7к/ заменяется условием согласования решения на геометрических различных кривых ук/ и ущ (см. Рис. 1):

ё(»,ч)= Е [Г1{тк1йк-т,к«|) ая = о, Уг,еУ.

- G -

Приближенное решение u £ А", и*= — f/¿, к — 1 x G Y

удовлетворяет

a(u,v) + c(v,x) = /(v),

¿(11,17) = 0 (2)

для Vv £ X, i) £ 7. Правая часть /(v) переходит в /(v) при замене области интегрирования с Q¡¡ на

Рассмотрим в fifí равномерную полярную сетку % ^ = {(fj, фк)} с центром в точке О и с сеточными шагами hr и hv = 2л/п9 вдоль радиуса и угла. На базе % h построим сетку Tqj, — {{i'j,lpk)} локально адаптированную к • Для аппроксимации волнового процесса необходимо брать не менее 10 шагов сетки на длину волны Л, т.е. справедливо ограничение

hTJX = шЛг/(2тт) < 1/10. (3)

Пусть R = n¡}Jir и область íío.A с границей Г^иГ^/, — аппроксимация

fío- Определим сеточные кривые Г^о.л — и 7tn и Гц/,/, = Пусть К

к—1

равняется числу узлов локально-адаптированной сетки на и эти узлы являются вершинами четырёхугольных областей Qjt и Clk-

В каждой области к > 1 построим равномерную ортогональную сетку Tkti¡. Пусть сетки 74,/,, fc > 1 имеют одно и то же число узлов на отрезках 7ы, Л, / > 1. Пространство Л'/, вводится как прямая сумма конечномерных пространств Vá,/i> определённых на сетках Tfc/,. Аналогично,

о к ° °

А/, = ф Т4,/„ где 14,Л — пространство функций из Í4, обращающихся

в нуль на <ть Пусть 14/,л — пространство следов функций из Vk,h на jki-Определим дискретный аналог Y следующим образом: У/, = У^дфУг,/,, где Yi¿ — пространство непрерывных кусочно-линейных функций на Г^д/, и Уг.д — прямая сумма пространств 34/,л, 0 < I < к, |7*;| ф 0.

В пространствах А'/, и У/, задача (2) может быть записана в матричном виде. Ограничение, наложенное на сетки 7* /,, приводит к совпадения

неизвестных, соответствующих сеточным узлам на 7*1 и 7д, I, к > 1, что позволяет упростить систему алгебраических уравнений. Применяя процедуру диагонализации матрицы масс, получаем:

Лл

и ' А С7" и Г '

_ X . С 0 . X . 0

(4)

с симметричной не эрмитовой матрицей А = (1и)ц{.4у, Л]} и прямоугольной матрицей С = [Со, С\). Пусть и = «1]7". Выделим в отдельную группу компоненты вектора «ь связанные с сеточными узлами на Г^о,/» и представим матрицу А\ в 2 х 2 блочном виде:

А\ =

(О л(П

лгг

Л2Г

1Г2

л22

Назовём "сеточным лучом" бесконечную упорядоченную последовательность сеточных узлов (г0, <рк), ..., принадлежащих Ту,л- Рас~ смотрим область Сд /, с границей Го,4,л- Будем говорить, что область С^/, принадлежит классу , если О £ С?^/, и любой "сеточный луч" пересекает Ги,{,л в единственной точке. Пусть а^ — порядковый номер компоненты вектора и, соответствующей базисной функции в узле (гу,^).

Теорема 1.1 Пусть <7^/, е , <1е|-, Ф 0 элементы (Л'п)а1к:а1+1 к отличны от нуля. Тогда матрица Ац не.аырожОена.

В § 1.3 исследуются асимптотические свойства дискретного решения и и выводятся сеточные условия излучения. Рассмотрим окружность Го с центром в точке О радиуса П{) = Лгп0, У?о < Л,'описанную вокруг Вне Го решение и раскладывается в ряд по собственным векторам т = 1,..., Пр дискретного оператора Лапласа на окружности Г/?:

*Чк = Т.

т=1

(5)

где и^к — компонента вектора и, соответствующая узлу (/■_,-, уз*,). Подставив (5) в (4), получим п^ независимых систем уравнений для Фурье коэффициентов и^:

+ - =0, ]> п0. (6)

В силу произвольности выбора Гц, легко видеть, что (6) справедливо для V/ > пц. Поиск асимптотического решения б форме

приводит к уравнению

52 - „г; + 1 = О, * = 2 - и'гк'2г. (7)

При ограничении (3) это уравнение имеет два комплексно сопряженных корпя. Уходящей от препятствия волне соответствует q — к/2 + V1 - *74. Локальное сеточное условие излучения имеет следующий вид:

(8)

Условие (8), стандартным алгоритмом прямого хода метода Гаусса, переносится с Гд на Го:

= <1\/пп/(пП + 1), г(/"] = г:Ч/(/]]т - п{) < 1 < тгп.

Нелокальным сеточным условием излучения является:

,.("■) _ Л'") „(т)

О)

Исключая из (4) компоненты щк, > п0 с помощью условий (9), приходим к алгебраической задаче порядка Аг:

sí? 4°¿ 0 о

2 Го О

(0)

О Л] Со Ci

Со7'

«О.Го 0

«0,2 0

Щ /.

X 0

(10)

Далее, матрицу системы (10) будем обозначать Л, а правую часть — /. Пусть «1 G RNl и [ио,г„, "0.2 ]'7' 6

Для решения (10) не требуются элементы плотной п^ х nv матрицы Sf^; достаточно лишь один раз вычислить собственные числа = 0по,т — Q'no+i^i^+i матрицы h~1. Алгоритм вычисления произвольного

uño * j'MvtJxiu ирсдС i cxujrij. a íi ivjii_u;.\i илдс.

c4+i

щ < к < nH, = dno^, (11)

где Ьк = Рк.тК/п, чк — -atkhT/rk, ck = -a4/tr/rjt-i.

В виду отсутствия диагонального преобладания в системе (6), необходимо исследовать устойчивость рекуррентных формул (11) к ошибкам округления. Пусть ек — погрешность вычисления дроби в (11), обусловленная неточностью выполнения арифметических действий. Пусть

€ — тах|£д|) Sdk — погрешности вычисления dk и ит — собственное знак

чение, соответствующее собственному вектору

Теорема 1.2 Пусть nou>hr > 2, < е < u>2h'j/'l и пц удовлетворяет,

неравенству

( 70

whr) Vv "' ' ojhrJ

4 \2

(V^m*—) (пц-П0 + 1)2Е < 1.

Тогда для по < к < пц справедливы оценки:

В конце параграфа формулируется алгебраический критерий выбора радиуса Я фиктивной границы Гя. Пусть с — наперёд заданная точность относительного вычисления (1Пв. Тогда

"я > С1Ьщ/(шкг)у/(1/т + 1)/ё,

где ¿1 — константа не зависящая от ит, /¡г и и. Для вычисления , т = 1,.. . необходимо 0(арифметических действий. В § 1.4 определяется псрсобуславливатель В:

0 0 ' а« о с;с

О В\ с( Со с, о

Пусть Гт|п — вписанная в й окружность радиуса /?тш = птшкг с центром в точке О. Для определения неизвестных блоков В, в кольце Отш.л с внутренним радиусом /?гтП и внешним радиусом II рассмотрим вспомогательную задачу:

Дй-Ьи/2й = 0 в Пш1п,«1

дй ■ - ю ---1 ши — д па дит\п,п,

ап

где п — вектор внешней нормали для Аппроксимацию задачи

осуществим на равномерной полярной сетке 7о,/, из § 1.2. Стандартная схема проекционного алгоритма, по с нелокальными сеточными условиями излучения, и процедура диагонализации матрицы масс приводят к системе линейных алгебраических уравнений:

Г Го <>2 0 «Го 0

В0й — п(0) Го 2 В® й-2 = .72

0 № Я8>. . "3 0

где третье блочное уравнение соответствует неизвестным в узлах (Г],фк) топологические образы которых в сеткс То,л принадлежат области С^ь-Для невырожденной матрицы В\ положим

50 = В® - В<? И" - С1 [С, ДГ'СТ]"1 ¿о.

В =

5К

(0)

2 Г»

Пусть О* — прямоугольник, к = Если [л^ существу-

ет, то В\ = А\ приводит к невырожденном}' переобуславливателю. Если же А22 вырождена или близка к вырожденной, то матрица В1 строится аналогично А\, т.е как аппроксимация оператора Гельмгольца в , но с ПГУ первого порядка на Г/,, отстоящей на /г-слой от внутренней границы диэлектрического слоя. Использование ПГУ приводит к численно устойчивым прямым методам решения задач с матрицей В\.

Рассмотрим теперь случай, когда Пд. — сегмент кольца, к — 1,..., К. Пусть К — чётное число. Представим матрицы .4.1 и В\ в 2 X 2 блочном виде, соответствующем разбиению на нечётные и чётные подобласти:

лч

j(') А12

Л 22

В, =

41,' 4У

где Л, Л22 — блочно-диагональные матрицы. Каждый блок матриц А® соответствует аппроксимации уравнения Гельмгольца на ортогональной сетке. Если он вырожден, то его следует заменить невырожденной матрицей, используя ПГУ.

Далее в параграфе подробно рассматривается прямой метод решения задач с переобуславливателем В. При этом необходимо решить две задачи с матрицей В1 и по одной задаче с матрицами С\В\ХС\ и Во- Для решения задачи ВцХ = д используется метод разделения переменных. Раскладывая вектор х в ряд по векторам т. = 1,... , п,р, получаем п9 независимых систем линейных уравнений для Фурье коэффициентов ж'-1

Я -,•('") _ /V , —

Рпт-т .ГГ|1!,1|1'|1 «ri.,..,,+ l-i»!„i;ii-|-I — <Jn

(т) . п im) (m) (m) ^ • ^

~ajX)_[ + ßjjnX) - Otj+\X)+\ = <]) 77,rnin < J < nu,

~ ant>xna-1 + ^ilu^ilo^ =

где gim) = £ Qjki'^■ k=1

В § 1.5 рассматривается итерационный метод решения задачи (10):

Buü = f + Cg, e = CB-\f + Cg)+Cg, v» = 0,

Bvk = Bvk~l - y. ak,i (св-1 + E)'~l f*-1, 1=1

e = {св-1

где С = А — В, д £ Р.А и параметры а^^ выбираются так, чтобы минимизировать Евклидову норму невязки

Утверждение 1.1 Все вектора Вик, для к > 0 принадлежат подпро-

стпранству 1шС размерности 0(у/1%+

Для нахождения приближённого решения и" требуется 0(УУ ]п ЛГ+яТУ) арифметических действий.

Вторая глава посвящена исследованию различных вариантов метода фиктивных компонент (МФК) для трёхмерного волнового уравнения Гель-мгольца.

В § 2.1 формулируется задача о рассеивании монохроматической акустической волны 11{ на абсолютно мягком неподвижном ограниченном препятствии в расположенном в однородной среде. Выпишем систем}' уравнений для нахождения комплексной амплитуды и рассеянной волны:

Дм + ш2и = 0 в П3 \ <5,

и = -С/, на дС, (12)

/ом . ^ 1пп г —--к¿и = 0.

г-со \дг )

Пусть п = К3 \ <5 с С°°-границей ос и [/, £ \\ f\dg). Тогда задача (12) имеет единственное решение и £ /ос(П). Дальнейшее изложение ориентировано на препятствия С с кусочно-гладкими границами, удовлетворяющими условию конуса.

Ограничим область П сферой Гд радиуса я с центром в точке о, о 6 С. Получившуюся область обозначим через Пц. Выберем П таким, чтобы Гд находилась на значительном расстоянии от препятствия и рассмотрим ПГУ первого порядка:

ди . п

—--ши = 0 на Г/г.

от

В 5 2.2 рассматривается метод интегральных тождеств для аппроксимации сформулированной задачи. Построим в К3 равномерную сферическую сетку 7о,л = {{rj,вk,<Pl)} с центром в точке О и с сеточными шагами Лг, Ид = -п/{2пц) и = 2-гг/п^,, удовлетворяющими ограничению (3). Пусть /? = ппкТ. Определим как объединение сеточных ячеек, центральный узел которых принадлежит Пц, а. С/, как дополнение (I /г /, до шара радиуса я.

Сеточные уравнения строятся на основе интегрального тождества

0 = / (Ан + Л) [ ^ а« + Ш2 I и с1П (13)

а«, п,

справедливого для УП) С О«,/,. Для каждого узла (г;-, в^, </>;) Е П/г,/» строится параллелепипед (в сферической системе координат) со сторонами /¡г, /г^, Нд и с центром в рассматриваемом узле. Полагая О) = Г) П «.д и

заменяя производные по нормали в (13) центральными разностями, при ходим к системе сеточных уравнений которая замыкается неоднородным! граничными условиями на 9G/,.

Рассмотрим сферу Го радиуса R() — ntíhr, /?0 < R с центром в точке О описанную вокруг препятствия G¡¡. Вне сферы Го, дискретное решение и' может быть разложено в ряд по разностным сферическим функциям х^ Коэффициенты Фурье Uj удовлетворяют системе линейных уравнений:

-OT^-l + /?;><4Р) - =0, j > щ. (14;

В силу произвольности выбора Г/;, уравнения (14) выполняются дл! Vj > по- Поиск асимптотического решения в форме

uf = l№qi/Uhr) (1 + ОЫП) приводит к уравнению (7) и локальном}' сеточному условию излучения:

и^+1 = ЧпяКпа + (15;

Условие (15), стандартным алгоритмом прямого хода метода Гаусса, переносится с Гд па Го:

4я+1 = Япя/(ПЛ +1), = a3/(PjtP - aj+l2$,), щ < j < nR.

Нелокальным сеточным условием излучения является:

«л, = (le:

Система сеточных уравнений с краевыми условиями (15) записывается в виде ArUr — Su с симметричной не эрмитовой матрицей Аа-

Будем говорить, что область G принадлежит классу Zq если О £ С и любой луч, выходящий из точки О, пересекает dG только один раз.

Теорема 2.2 Пусть G G Zq и v(Af¡) — собственное число матрицы Ац Тогда Im v{AR) < 0.

В заключении параграфа выписывается численно устойчивый алго ритм вычисления нелокальных сеточных условий излучения, аналогичны* алгоритму (11). Исключая из системы АцЧц = fu неизвестные u'-k¡, j > щ с помощью условий (16), приходим к алгебраической задаче

Аи = / (17;

с симметричной не эрмитовой N х N матрицей А.

В § 2.3 рассматривается вариационная формулировка акустическое задачи: найти функцию и 6 И'] í^hi)-, и = —17; на dG такую, что дл$ Vv € W^ílRydG) выполняется равенство:

J (Vu • Vi> — w2uu) di2 - iw J uv ds = 0. (18;

Модифицируем сетку сдвинув на дС некоторые из узлов, ближайших к ней, не нарушая топологической эквивалентности между исходной и новой сетками. Обозначим получившуюся сетку через 7^. Пусть дС^ — аппроксимация <9(7 второго порядка точности, а Пл,/, — область пространства, ограниченная поверхностями ЗС/, и Гц. Проекционный метод Галёркина и процедура диагонализации матрицы массы позволяют перейти от формулировки (18) к системе линейных алгебраических уравнений А^иц = /д. Исследование асимптотических свойств решения иц опять приводит к уравнению (7) и локальному условию излучения (15).

В § 2.4 исследуются симметричный и несимметричный варианты МФК. Основная идея метода состоит в расширении алгебраической задачи (17):

Ай

' а Л12' и 7"

0 r22 г> 0

(19)

дг

и = g

причём кег/?22 С ker R\j.

В п.2.4.1 рассматривается симметричное нулевое расширение задачи (17) до порядка N\. Пусть Ггп;п — вписанная в G сфера радиуса /?rr,in = fimin^r с центром в точке О. В шаровом слое i)min,/i с внутренним радиусом i?min и внешним радиусом R рассмотрим задачу:

AU+C02U — Q В iimin.rt, ди • О Г

= U на I л, на ГП1;П.

Метод аппроксимации этой задачи на сетке 7о,л, описанный в § 2.2, приводит к алгебраической задаче В\и = g с симметричной не эрмитовой Ni х Ni матрицей В\. Для решения (19) с = 0 и Л22 = 0 применяется итерационный метод:

й° = о, 5° = -/,

В,й* = В\йк~х - £ atil к > 1, (20)

(=1 4 '

в котором параметры ak,t выбираются так, чтобы минимизировать Евклидову норму невязки — Айк — /. Итерационный метод (20) реализуется в подпространстве U\ = 1ш А П1ш (А — Вi), размерности

Итерационный метод (20) сходится тогда и только тогда, когда для V£ € U\ величины {{АВ\ ')'£, f), t = 1,... ,р не равны одновременно нулю. Для этого достаточно, чтобы задача ЛZ3f= не имела нулевых собственных значений в подпространстве U\. Запишем матрицу В\ в 2 х 2 блочном виде, соответствующем представлению (19):

В1

о(0 и\\ п(1) U .¿I

п(1)

пС) ¿>22

(21)

Пусть х = Тогда Ах — \В\х, где В^хх + В$Х2 = 0. Если

матрица В 22 имеет ненулевое ядро, то последнее равенство справедливо при = 0, хг т^ 0, х2 £ кег В^2, т.е. необходимое условие сходимости метода (20) не выполняется.

Далее рассматриваются переобуславливатели В-^ и В^ с невырожденными диагональными блоками и В?} в блочном представлении, аналогичном (21). Определим диагональную матрицу Т ненулевые элементы которой соответствуют сеточным узлам, лежащим на сферах радиусов а^, г = 1,... Положим В2 = В\ Т. Для любого ы существует t, не зависящее от параметров сетки, такое, что блок В?} — положительно определённая матрица. При построении переобуславливателя Вз используются ПГУ. Поставим задачу:

Аи+и)2и — 0 В Птт.я, ди

---\ии = 0 на дПты,п,

оп

где п — вектор внешней нормали для области Отт,/г. Метод интегральных тождеств из § 2.2 приводит к не эрмитовой N2 х И2 матрице В3.

Итерационный метод (20), но с переобуславливателем В^ (или Вз), реализуется в подпространстве размерности 0(Л^3) (или (Э(Л^3)).

В п.2.4.2 рассматривается несимметричное расширение (17) до порядка N2. Пусть Я\2 = . С точки зрения сходимости итерационных методов идеальным выбором для Л22 является дополнение Шура В® -которое есть не что иное как аппроксимация оператора Гельмгольца в = С П П„пп,/; с ПГУ на ГГГ1|П и неизвестным нелокальным

-----тт„ Я/"» О.. , . тм, ГТГ'Л/".

У ^и^Ау 1СГ1ПД пи икл . ч^сгхМ^ШГИМ 'IV/ ххх .

Ди + о/2и = 0 В С1,

ди . (22)

—--1 ши = <] на аи ].

о 11

Аппроксимация (22) методом интегральных тождеств на сетке То,/, приходит к алгебраической задаче л^и — д■ Если <7 £ 20, то матрица Л22 невырождена и несимметричное расширение с П22 = Л22 корректно.

Далее формулируется итерационный метод типа (20), реализующийся в подпространстве дискретно-гармонических функций размерности Основным вычислительным этапом итерационного метода является решение частичной задачи В3Х = в которой количество отличных от нуля компонент вектора £ и количество вычисляемых компонент решения являются величинами порядка Л^3. На модельном примере показывается, что использование ПГУ улучшает спектральные свойства переобусловленной задачи.

В § 2.5 рассматривается быстрый прямой метод решения частичных задач с матрицей Вj. Нелокальные граничные условия на Гц, приводящие к плотному блоку в матрице D3, не допускают непосредственного использования известных прямых методов. Предлагаемый в параграфе алгоритм основан на решении вспомогательной задачи, соответствующей локальным ПГУ на Г() и требует 0(A^ln Nj) арифметических действий.

В первой части третьей главы исследуются границы применимости изложенных в Главе 1 методов. В § 3.1 рассматривается модельная задача (рассеивание волны на диске), имеющая точное решение. Относительные ошибки вычисления рассеянного поля в ближней и дальней зонах зависят от скачка коэффициентов eg, и от степени искажения топологии диэлектрического слоя, т.е., от относительного изменения площади при замене fit прямоугольниками С этой точки зрения, покрытие диалектического слоя сегментами колец должно приводить к более точным результатам. Покрытие Qs пересекающимися прямоугольниками даёт приемлемую точность (~ 10%) дискретного решения, когда на толщину диэлектрического слоя приходится порядка двух длин волн Л{ =

В § 3.2 предложенные методы сравниваются с другим приближенным методам, использующем услопие Леонтовича. При больших скачках коэффициентов этот метод имеет меньшую точность и более узкую область применимости чем метод, основанный на покрытии пересекающимися прямогоугольниками.

В § 3.3 и § 3.4 представлены результаты численных экспериментов по моделированию пространственной задачи акустики. Использование локально-адаптированных сеток приводит к лучшей аппроксимации исходной задачи, особенно, при наличии сильных особенностей в рассеянной волне. Итерационный процесс, быстрее всего сходится для несимметричного варианта МФК и персобуслаплипателя При этом число итераций практически не зависит от параметров сетки и увеличивается (медленнее, чем линейно, если G 6 Zy) с ростом ш. МФК с симметричным нулевым расширением обладает теми же свойствами, если характерный размер препятствия составляет не более 10 длин волн или если препятствие G выпукло.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследован новый метод аппроксимации условия Зоммерфельда, основанный на нелокальных сеточных условиях излучения. Доказана численная устойчивость предложенного метода и сформулирован алгебраический критерий выбора радиуса фиктивной поверхности.

2. Для двумерного волнового уравнения Гельмгольца построены неком-форные конечно-элементные аппроксимации, основанные на методе декомпозиции области. На их основе предложены новые приближённые методы решения задач о рассеивании электромагнитных волн на бесконечных цилиндрических проводниках с тонким диэлектрическим покрытием; сформулированы условия корректности возникающих алгебраических задачах. Для решения последних предложены сепарабельные переобуславливатели и итерационные методы, реализующиеся в подпространстве дискретно-гармонических функций. Проведены численные эксперименты показавшие, что границы применимости новых приближенных методов шире по сравнению с приближённым методом Леонтовича.

3. Для пространственных акустических задач исследованы симметричный и несимметричный варианты МФК, а также три вида сепара-бельных переобуславливателя. Экспериментально подтверждена эффективность использования ПГУ для построения переобуславливателя и несимметричного расширения исходной алгебраической задачи. Численные эксперименты показали, что, в случае рассеивающего препятствия (7 сложной формы и малой длины волны (по отношению к диаметру препятствия), необходимо использовать второй порядок аппроксимации поверхности дС.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Метод фиктивных областей для решения волнового уравнения Гельмгольца в неограниченной области (совместно с Ю.А. Кузнецовым) -В кн.: Численные методы и математическое моделирование, Москва, ОВМ АН СССР, 1992, с. 56-71.

2. Метод декомпозиции области с несовпадающими сетками в задачах дифракции (совместно с Ю.А. Кузнецовым) - В кн.: Численные методы и приложения, Деп. в ВИНИТИ N0. 394-В95 от 10.02.95, 1995, 14 с.