Излучательные процессы в двумерном атоме водорода в присутствии потока Ааронова-Бома тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Нгуен Тхи Тхюи Ханг
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Нгуен Тхи Тхюн Ханг
ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДВУМЕРНОМ АТОМЕ ВОДОРОДА В ПРИСУТСТВИИ ПОТОКА ААРОНОВА-БОМА
Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
2 7 ОКТ 2011
Воронеж - 2011
4858043
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Воронежского государственного университета.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Клинских Александр Федотович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кадменский Станислав Георгиевич
кандидат физико-математических наук, доцент Преображенский Михаил Артемьевич
Ведущая организация: Научно-исследовательский институт ядер-
ной физики имени Д. В. Скобельцына МГУ имени М. В. Ломоносова (НИИЯФ МГУ), г. Москва
Защита диссертации состоится "_10_" ноября 2011 г. в 1510 часов на заседании диссертационного совета Д 212.038.06 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 428.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан "_07" октября 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного /Дрождин С.Н. совета // /
Общая характеристика работы
Актуальность темы
В настоящее время системы пониженной размерности (двумерные, одномерные и нульмерные) играют значительную роль при проектировании и исследовании различных наноразмерных устройств. Динамически двумерной называют систему электронов или дырок, движение которых свободно только в двух пространственных измерениях, а их движению в третьем измерении соответствует дискретный энергетический спектр. При этом в двумерных системах удается эффективно изучать такое интересное явление, как, например, квантовый эффект Холла, позволяющий более глубоко исследовать фундаментальные механизмы электрон-электронных корреляций. Лидирующие позиции с точки зрения возможных областей приложения занимают такие истинно двумерные системы как графен и графан [1,2]. Авторы большого числа экспериментальных и теоретических работ предлагают использовать такие системы в различных областях современной электроники, оптоэлектроники, планарной оптики, спинтроники и т.д. Основной задачей физики двумерных систем является определение того, как внешние факторы (температура, электрическое поле, магнитное поле, электромагнитное излучение) влияют на их характеристики. Для практического использования таких структур является необходимым не только понимание физических свойств носителей заряда в этих системах, но и наличие эффективных методов управления этими свойствами в физическом эксперименте.
Одним из фундаментальных квантовых эффектов, имеющих двумерную природу, является эффект Ааронова-Бома [3], интерес к которому не угасает и в настоящее время, о чем свидетельствует обширный список публикаций но данной тематике [4-6]. Интерес к эффекту Ааронова-Бома связан также и с тем, что с его помощью удается управлять относительной фазой волновой функции частицы и, следовательно, различными наблюдаемыми характеристиками носителей заряда в двумерных структурах. При этом экспериментальная реализация такого управления известна уже с начала восьмидесятых годов прошлого столетия, в связи с чем использование этого эффекта имеет несомненную актуальность для квантовой электроники и оптоэлектроники.
Исторически была рассмотрена проблема двумерного кулоновского потенциала Коном н Латтинжером еще в 1955 году [7] в связи с исследованием
свойств носители! заряда в сильно анизотропных кристаллах. В дальнейшем, проблема двумерного кулоновского потенциала и, в частности, двумерного атома водорода исследовалась в целом ряде теоретических работ [8 -11]. Вопрос же о поведении электрона в таком потенциале с учетом присутствия потока Ааронова-Бома начал исследоваться сравнительно недавно [12,13]. Открытие графана, представляющего собой графен связанный с атомарным водородом, резко увеличивает интерес к двумерным системам, содержащим источники кулоновского поля, особенно в присутствии внешнего магнитного поля. Кроме того, бурное развитие методов спектроскопии низкоразмерных систем и пленарной оптики позволяет надеяться на успешное использование таких структур в современной нанооптоэлек-троннке.
Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотрение излучатель-ных процессов в двумерном атоме водорода в присутствии потока Ааронова-Бома является актуальной задачей.
Цели работы
Основными целями данной диссертационной работы являются:
1. Исследование свойства двумерного кулоновского потенциала в присутствии потока Ааронова-Бома. Изучение состояний электрона в такой системе на основе анализа точных волновых функций дискретного и непрерывного спектров.
2. Анализ явных аналитических выражений для сил осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра, а также переходов между состояниями дискретного и непрерывного спектров. Исследование поляризуемости состояний дискретного спектра и влияния потока Ааронова-Бома на поляризуемость рассматриваемой системы.
3. Исследование излучательных процессов, в сопровождающие процессы рассеяния рассматриваемой системы.
Научная новизна работы
• Впервые даны явные аналитические выражения для сил осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра, а также между состояниями дискретного и непрерывного спектров электрона в
двумерном кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома.
• Впервые исследовано влияние потока Ааронова-Бома на поляризуемость в системе "2D Кулон + поток Ааронова-Бома".
Положения, выносимые на защиту
1. Анализ точных волновых функций электрона в 2D кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома в перелятивистском приближении.
2. Исследование характеристик излучательных процессов (сил осцилляторов переходов и влияния потока Ааронова-Бома на поляризуемость) в системе "2D Кулон + поток Ааронова-Бома".
Практическая значимость работы
• С помощью силы осциллятора можно находить вероятности спонтанного и вынужденного испускания и поглощения света, поляризуемости атомов, ширины уровней энергии и спектральных линий.
• С помощью динамической поляризуемости можно характеризовать отклик системы на внешнее воздействие и определить, в частности, частотные зависимости диэлектрической проницаемости и показателя преломления заданной системы. Универсальность данной характеристики позволяет успешно применять ее как для макроскопических объектов, так и для микроскопических квантовых структур.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях: VII Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC - 2009" (Москва, 2009), VIII Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC - 2010" (Москва, 2010), XIII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2010" (Taipei, Taiwan, 2010), XII Международной конференции "Физика диэлектриков" "Диэлектрики - 2011" (Санкт-Петербург, 2011), The International Quantum Electronics
Conference and The Conference on Lasers and Elcctro-Optics "IQEC/CLEO Pacific Rim - 2011" (Sydney, Australia, 2011).
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ в форме статей и тезисов докладов. Из них 8 статей, 4 в журналах перечня ВАК.
Личный вклад автора
Автором лично проведены аналитические и численные расчеты, представленные в диссертации. Совместно с соавторами проводились обсуждения и интерпретация основных результатов, формулировались выводы по тематике исследования, а также производилась подготовка публикаций в печать. Результаты, составляющие содержание положений, выносимых на защиту, получены автором лично.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 92 страницы машинописного текста, включая 18 рисунков, а также список цитируемой литературы из 91 наименования.
Краткое содержание диссертации
Во Введении кратко рассматривается актуальность, а также очерчивается круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, указываются ее цели и формулируются положения диссертации, выносимые на защиту.
В главе 1 представлен литературный обзор по теме диссертационной работы. Приведен сравнительный анализ публикаций, посвященных рассмотрению двумерных систем, их свойств и возможных областей применения. Обзор имеющихся данных позволяет сделать вывод о необходимости исследования особенностей излучательных процессов в двумерных системах, а также способов управления характеристиками излучения, возникающего в таких системах.
В главе 2 рассмотрено влияние эффекта Ааронова-Бома на характеристики двумерного кулоновского потенциала. В разделе 2.1 представлс-
ны точные аналитические выражения для волновых функций электрона в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Вома" в нерелятивистском случае. В разделе 2.1.1 приводится последовательная процедура точного решения уравнение Шрёдингера для рассматриваемой системы.
Уравнение Шредингера для комбинации двумерного кулоновского потенциала и потока Ааронова-Бома имеет вид:
2 М ( 1
-ШУ-
- \2 Алв) +
у/х2 + у2
-Е
ф{х,у) = О
где векторный потенциал Алв определяется как [22]
Ф -
Алв =
2ят
(1)
(2)
Здесь М - масса электрона, а = ±е2, е - заряд электрона, Ф - магнитный поток (поток Ааронова-Бома), г и в - полярные координаты.
Переменные разделяются с помощью стандартной подстановки
ф{г,в) = И{г)
0\тп9
У27
и для радиальной функции Д(г) получается уравнение
(РЯ. ) ЫД йг2 г ¿г
|тп - А|2 2М (а
о
л = о
(3)
с граничным условием Д(0) = 0. Физический смысл данного условия состоит в том, что электрон не может проникнуть в область с отличной от нуля напряженностью магнитного поля.
Точные решения в случаях состояний дискретного и непрерывного спектров рассмотрены в разделах 2.1.2 и 2.1.3 соответственно. В дискретном спектре имеем:
Еп —
П2(к I2
4 \гъпт/
Ме4
2 М
2П2 (п - \ + \т - А| - |ш|)
Лтд
2 ''
1,2,3,... (4)
Фпт{г,9) = Сщп--=г|т А' ехр (—кптг) х \/2ж
х^! (-п + \т\ + 1,2\т - А| + 1;2кптг),
'пт —
(6)
где 6; г) - вырожденная гипергеометрическая функция, (п — |т1|)2|т_д| - символ Похгаммера. Присутствие потока Ааронова-Бома приводит к изменению положения уровней энергии связанных состояний. Аналитически такое изменение связано с наличием дополнительного слагаемого в знаменателе выражения (4), которое является полным аналогом "квантового дефекта" (или поправки Ридберга). Следуя стандартному формализму, "квантовый дефект" аналитически связан со сдвигом фазы рассеяния из-за присутствия дополнительной рассеивающей системы [14]. Этот фазовый сдвиг совпадает с фазой рассеяния в эффекте Ааронова-Бома, впервые найденной Хеннебергером [15]. Таким образом, в рамках данной задачи может быть прослежена тесная взаимосвязь между состояниями дискретного и непрерывного спектров.
В непрерывном спектре имеем:
р\т0
■фкт(г,в) = С>кт-^=г И-Че-'Ь-х
(|то - А| + | - \&,2\т - А| + 1; 2Пег) |г (|т - А| + | - 1!
\т-Х\ -¡кг
А
(7)
(8)
Г(2|т — А| + 1)
и фаза рассеяния
йт(к) = ;г(1т1 - I ^ А |)
7Г
(9)
представляет собой сумму фазы рассеяния Ааронова-Бома
и модифицированной кулоновской фазы
2 к Г
где
В разделе 2.2 представлены точные аналитические выражения для волновых функций электрона в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома" в релятивистском случае. В частности, в разделе 2.2.1 рассмотрены состояния дискретного, а в разделе 2.2.2 - непрерывного спектров.
Ввиду громоздкости выражений здесь они не приводятся. В разделе 2.3 приводится сравнительный анализ 2Б и ЗБ случаев для кулоновского поля.
В главе 3 рассмотрены излучательные процессы в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома". В разделе 3.1 рассмотрены силы осцилляторов как основные характеристики излучательных процессов. В разделе 3.1.1 приведены явные аналитические выражения для сил осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра и между состояниями дискретного и непрерывного спектров.
Сила осциллятора в рассматриваемом случае может быть определена как [10,17] (индекс Л означает, что сила осциллятора зависит от потока Ааронова-Бома):
№ = (Ю)
где ¿*= дг есть оператор дипольного момента, Е^ и Е^ определены в (4).
Как известно, сила осциллятора для перехода щ -¥ «2 между связанными состояниями с главными квантовыми числами щ и П2 имеет постоянное значение при фиксированных щ и П2- Однако, в присутствии потока Ааронова-Бома сила осциллятора начинает зависеть от потока Ааронова-Бома (в нашем случае - от А). Как видно из уравнения (10), мы должны вычислить дипольный матричный элемент между произвольными связанными состояниями |г) и |/с). Состояние |г) определяется набором квантовых чисел щ и тх. Аналогичным образом, состояние |к) определяется квантовыми числами П2 и Ш2. Вычисление радиальных матричных элементов при произвольных щ, т,1, щ п т.2 приводит к достаточно громоздким выражением и их удобнее анализировать с помощью численных методов. Однако, для переходов в основное состояние, которые являются наиболее важными в спектроскопии, этот матричный элемент может быть вычислен явно:
т 'ПО )
X2.Fl
2к,
(А)
п1
Кп1 + 'ПО .
(И)
гдеЕд = |1 + А| + |А| +3, Скт, ккт определяются соответственно в (6) и (4), 2-^1 (а, Ь; с; г) - гипергеометрическая функция. Угловой интеграл в (10) дает стандартные дипольные правила отбора, а именно: Ат = ±1.
Рис. 1: Сила осциллятора, соответствующая переходам |10) |nl) (сплошная линия) и |ral) 110) (пунктирная линия) как функция от потока Ааронова-Бома Л: тонкая и пунктирная тонкая линии соответствуют п = 2; жирная и пунктирная жирная линии соответствуют п = 3.
На рис.1 приведены зависимости от потока Ааронова-Бома сил осцилляторов для переходов |10) —> |nl) и |10) —> |ral).
1.0
0.5
4 о.о
-0.5 -1.0
|2 oj—13 1> у |2 1>Л-|32>~~ '
|31>,—12 0> Д|3 2>-р|2 1> _____
\
---------\ /
0.4 0.6 \
Рис. 2: Сила осциллятора соответствующая переходам 1711т!) |п2т2) как функция потока Ааронова-Бома А: тонкая линия соответствует |20) |31); пунктирная тонкая линия соответствует |31) |20); сплошная линия соответствует ¡21) |32); пунктирная сплошная линия соответствует |32) —У |21).
На рис.2 представлены численные результаты для сил осцилляторов переходов между состояниями 12(01)) и |3(12)).
В предельном случае А —» 0 (т.е., когда поток Ааронова-Бома отсутствует) выражение (11) превращается в:
ШгЮ =
1 (2п — l)s(n — 1)п~ 2/3 ^¡Ц
(12)
А
Рис. 3: Сила осциллятора соответствующая переходам |10) —> |nl) (сплошная линия) и |nl) -> |10) (пунктирная линия) как функция потока Ааронова-Бома для больших п: тонкая и пунктирная тонкая линии соответствуют тг = 10; жирная и пунктирная жирная линии соответствуют п = 15.
где параметр ß определен выше. Для больших п можно записать (12) в следующем виде
lim (ф°10\гШ ~ гН. (13)
п—► эо
На рис.З приведены зависимости сил осцилляторов от значений потока Ааронова-Бома для переходов |10) —>• |nl) и |nl) —> 110) с высокими значениями главного квантового числа п, а именно п = 10 и п = 15.
В разделе 3.1.2 представлены общие понятия о переходах между состояниями непрерывного спектра. Рассмотрена восприимчивость как основная характеритика отлика системы на внешнее воздействие (электромагнитное поле). В разделах 3.2.1 и 3.2.2 приведены численные результаты для восприимчивости состояний дискрсного спектра и продемонстрировано влияние потока Ааронова-Бома на восприимчивость.
С помощью функции Грина динамическая поляризуемость определяется как [18]:
Х(ш) ~ (n\rG(r,r',E)r'\n), (14)
где |п) - вектор состояния частицы, G(r, г', Е) - функция Грина, определяемая стандартным образом:
G{r,r',E) = ^f^p, (15)
i
где ipi(r) и Ei волновые функции и энергии г-го состояния электрона соответственно.
Могут быть получены численные результаты для динамической поляризуемости основного состояния электрона в рассматриваемой системе (рис.4). В расчетах используется атомная система единиц (atomic units): h = 1, е = 1, М = 1. Кроме того, в формуле (15) энергия Е есть Е = E\+w, где w- энергия фотона в атомных единицах, именно
h3u
w=m,
0.5
§
Ъ 00
-0.5 -1.0
oj= 1.5 at.un. о
и <л> = 1 at.un. 1 \ * О
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Л
Рис. 4: Зависимость динамической поляризуемости \ (в атомных единицах) основного состояния электрона в 2Э кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома от величины безразмерного потока Ааронова-Бома при различных значениях энергии фотона (в атомных единицах): пустые кружки — ги = 1 ат.ед., сплошные кружки — ги = 1.5 ат.ед..
На рис.5 представлены численные значения динамической поляризуемости в зависимости от энергии фотона (частотная зависимость динами-чекой поляризуемости).
Поскольку волновые функции (7) явно зависят от магнитного потока, оказывается возможным построить зависимости динамической поляризуемости от его величины. На рис.4 приводятся зависимости значений поляризуемости основного состояния электрона в рассматриваемой системе от величины потока Ааронова-Бома Л при фиксированных значениях энергии фотона.
В разделе 3.3 рассмотрены процессы рассеяния на двумерном кулоновском потенциале (раздел 3.3.1), па соленоиде Ааронова-Бома (раздел
3.3.2), а также на системе "2Т> Кулон + поток Ааронова-Бома" (раздел
3.3.3).
Для двумерного кулоновского потенциала
а
V(x,y) =
л/х2+у2'
Рис. 5: Зависимость динамической поляризуемости \ (в атомных единицах) основного состояния электрона в 2D кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома от энергии фотона (в атомных единицах): пустые кружки — А = 0 (отсутствие потока Ааронова-Бома), сплошные кружки — А = 0.1.
где а = ±<j2 точное аналитическое выражение для сечения рассеяния имеет вид
der ,„,„,,9 , /7га\ а 1 ,.,„.
de)
Здесь V = Нк/М = у/2Е/М - скорость частицы (предполагается также, что электрон движется в положительном направлении оси х).
В разделе 3.3.3 записано дифференциальное сечение рассеяния в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома" в эйкональном приближении. Волновая функция электрона в эйкональном приближении в рассматриваемой системе может быть записана как [1Э|:
(I сх \
гкх-— , (17)
У-00 +2/ У
где
1% Ф) = ехр ( - + ехр (¿Ц)е(-з/) (18)
(здесь в(л) - функция Хевисайда) есть добавка к фазе волновой фукнции вследствие присутствия векторного потенциала (данная величина называется фазовым множителем Дирака [4,5])
[ АЖ ! АйТ=
пс У пс у Йс2я"
Используя такую однозначную функция (17) мы можем записать вы-
ражение для амплитуды рассеяния в следующем виде:
а
х
л/х2 + у'
,2
где г = 2кБт {9/2) есть переданный импульс.
После интегрирования в (19) выражение для сечения рассеяния принимает вид:
^ = | ~ш ф)|2 = ш ч а + САЬ^ТГЧ) 8Ш2(ТГА)]
ёв 2Ми2 вт\в/2) 1 ^
Здесь г] — а/Нь и А определены выше. Как видно из (20) сечение рассеяния йа/в,в периодически меняется со значениями магнитного потока.
Когда магнитное ноле отсутствует (А = 0), выражение (20) превращается в точное выражение для сечения рассеяния на 2Б кулоновском потенциале (16). В предельном случае г\ —> 0 выражение (20) превращается в хорошо известное выражение для сечешш рассеяния Ааронова-Бома [3]:
й~аАВ _ йаАВ _ 1 8Ш2(тгА) п™ (16 ~ йв 2тгЬт2(0/2)'
Рис. 6: Сечение рассеяния в зависимости от энергии электрона Е. Левый ресунок: угол рассеяния в = тг/2 во всех случаях, тонкая кривая есть "чистое" сечение эффекта Ааронова-Бома (формула (21)), магннтный поток А = 0.5; жирная кривая — "чистое" 2D кулоновское сечение (формула (16)); жирная пунктирная кривая есть сечение рассеяния для системы "2D Кулон + поток Ааронова-Бома" (формула (20)), магнитный поток А = 0.5. Правый рисунок: сечения рассеяния для системы "2D Кулон + поток Ааронова-Бома", магнитный поток А = 0.5 во всех случаях, тонкая кривая в = 7г/6; жирная кривая в = 7г/4, жирная пунктирная кривая в = 7г/3 (на вставке показаны соответствующие зависимости для "чистого" эффекта Ааронова-Бома; тонкая кривая в = 7г/6; жирная кривая в = 7г/4, жирная пунктирная кривая 0 = n/Z).
На рис.6 показаны зависимости дифференциального сечения рассеяния на системе Кулон + поток Ааронова-Бома" от энергии налетающего электрона при различных параметрах (угол рассеяния, величина потока Ааронова-Бома). На рис.7 мы показаны зависимости сечения рассеяния от
л
О 2 4 6 8 10
К. 10 еУ
Рис. 7: Сечения рассеяния в зависимости от магнитного потока А для различных энергий и углов рассеяния. Левый рисунок: тонкая кривая системы "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома", энергия электрона Е = 70 эВ, угол рассеяния в = 7г/2; тонкий пунктирная линия — "чистый" эффект Ааронова-Бома, энергия электрона Е = 70 эВ, угол рассеяния в = тг/2; жирная кривая системы 'Ж Кулон + поток Ааронова-Бома", энергия электронов Е = 80 эв, угол рассеяния в = тг/4; жирная пунктирная кривая "чистый" эффект Ааронова-Бома, энергия электронов Е = 80 эВ, угол рассеяния 9 = тг/4. Правый рисунок: сечения рассеяния для системы "2В Кулон + поток Ааронова-Бома" как функция энергии электрона Е и магнитного потока А для угла рассеяния в = к/2.
магнитного потока А.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:
1. Найдено точное аналитическое решение уравнения Шредингера для комбинации двумерного кулоновского потенциала и потока Ааронова-Бома в дискретном и непрерывном спектрах в нерелятивистском приближении.
2. Рассмотрены силы осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра и между состояниями дискретного и непрерывного спектров. Показано, что наличие потока Ааронова-Бома может приводить к наблюдаемым эффектам в спектрах излучения.
3. Представлены численные значения динамической поляризуемости основного состояния электрона в системе "20 Кулон + поток Ааронова-Бома" в зависимости от частоты внешнего электромагнитного поля
(энергии фотона) и величины потока Ааронова-Бома. Показано, что абсолютное значение поляризуемости сильно зависит от величины потока Ааронова-Бома. Из анализа представленных результатов можно сделать вывод о том, что поток Ааронова-Бома может выступать в качестве управляющего параметра для величины поляризуемости при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля.
Список цитируемой литературы
[1] The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres et al. // Rev. Mod. Phys. - 2009. - Vol. 81. - Pp. 109-162.
[2] Sofo J. 0. Graphane: A two-dimensional hydrocarbon / J. 0. Sofo, A. S. Chaudhari, G. D. Barber // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 153401.
[3] Aharonov Y. Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. - 1959. - Vol. 115. - Pp. 485-491.
[4] Olariu S. The quantum effects of electromagnetic fluxes / S. Olariu, I. Iovitzu Popescu // Rev. Mod. Phys. - 1985. - Vol. 57. - Pp. 339-436.
[5] Peshkin M., Tonomura A. The Aharonov-Bohm effect / Springer-Verlag, Berlin, 1989. - 103 p.
[6] Caprez A. Macroscopic test of the Aharonov-Bohm effect / A. Caprez, B. Barwick, H. Batelaan // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - Pp. 210401.
[7] Kohn W. Theory of Donor States in Silicon / W. Kohn, J. M. Luttinger // Phys. Rev. - 1955. - Vol. 98. - Pp. 915-922.
[8] Zaslow B. Two-Dimensional Analog to the Hydrogen Atom / B. Zaslow, M. E. Zandler // Am. J. Phys. - 1967. - Vol. 35. - Pp. 1118-1119.
[9] Cisneros A. Symmetry of the Two-Dimensional Hydrogen Atom / A. Cisneros, H. V. Mcintosh 11 J. Math. Phys. - 1969. - Vol. 10. - Pp. 277-286.
[10] Analytic solution of a two-dimensional hydrogen atom. I. Nonrelativistic theory / X. L. Yang, S. H. Guo, F. T. Chan et al. // Phys. Rev. A. - 1991. -
Vol. 43. - Pp. 1186-1196.
[11] Analytic solution of a two-dimensional hydrogen atom. II. Relativistic theory / S. H. Guo, X. L. Yang, F. T. Chan et al. // Phys. Rev. A. - 1991. -Vol. 43. - Pp. 1197-1205.
[12] Sakoda S. Difference in the Aharonov-Bohm effect on scattering states and bound states / S. Sakoda, M. Omote // Adv. Imag. Elect. Phys. — 1999. — Vol. 110. - Pp. 101-171.
[13] Khalilov V. R. Relativistic Aharonov-Bohm effcct in the presence of planar Coulomb potentials / V. R. Khalilov // Phys. Rev. A. - 2005. - Vol. 71. - P. 012105.
[14] Seaton M. J. The quantum defect method / M. J. Seaton // Mori. Not. R. Astron. Soc. - 1958. - Vol. 118. - Pp. 504-518.
[15] Henneberger Walter C. Some aspects of the Aharonov-Bohm effect / Walter C. Henneberger // Phys. Rev. A. - 1980. - Vol. 22. - Pp. 1383-1388.
[16] Sobelman I. I. An introduction to the theory of atomic spectra. Pergamon Press, New York. - 1972. - 609 p.
[17] Hasegawa H. Optical absorption spectrum of hydrogenic atoms in a strong magnetic field / H. Hasegawa, R. E. Howard //J. Phys. Chem. Sol. — 1961. - Vol. 21. - Pp. 179-198.
[18] Астапенко В.А. Поляризационные эффекты в атомных переходах / В.
A. Астапенко, JI. А. Вурсева, В. С. Лисица // Успехи физических наук. — 2002. - Том. 172, № 2. - С. 155-172.
[19] Landau L. D. Quantum mechanics: non-relativistic theory. — 3rd. ButterworthHeinemann, Oxford, 1991. — Vol.3. — 808 p.
Список основных публикаций по материалам диссертации
1. Radiative attenuation of the electron in the Aharonov-Bohm effect / A. F. Klinskikh, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, H. Т. T. Nguyen // Nuovo Ciment.
B. - 2010. - Vol. 125, no. 10. - Pp. 1161-1171.
2. Рассеяние электрона па двумерном кулоиовском потенциале в условиях эффекта Ааронова-Бома / А. Ф. Клинских, Ханг Т. Т. Нгуен, П. А. Меле-шенко // Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика. — 2010. — № 2. — С. 241-246.
3. Ои the solution of a "2D Coulomb + Aharonov-Bohm" problem: oscillator strengths in a discrete spectrum and scattering / H. Т. T. Nguyen, P. A. Meleshenko, A. V. Dolgikh, A. F. Klinskikh // Eur. Phys. J. D. - 2011. -Vol 62. - Pp. 361-370.
4. Поляризуемость электрона в 2D кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома / Ханг Т. Т. Нгуен, П. А. Мелешенко, А. Ф. Клинских // Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика. — 2011. - № 1. -С. 70-76.
5. Квантовые интерференционные устройства с кольцеобразной геометрией / П. А. Мелешенко, А. В. Долгих, Ханг Т. Т. Нгуен, А. Ф. Клинских // Материалы VII Международной научно-технической конференции "INTERMATIC - 2009", Москва, 7-11 декабря, 2009. - ч. 3. - С. 20-23.
6. Намагниченность квантового кольца в присутствии потока Ааронова-Бома / П. А. Мелешенко, Ханг Т. Т. Нгуен, А. В. Долгих, А. Ф. Клинских // Материалы VIII Международной научно-технической конференции "INTERMATIC - 2010", Москва, 23-27 ноября, 2010. - ч. 1. - С. 24-28.
7. Особенности переноса заряда в квантовых интерференционных устройствах / П. А. Мелешенко, А. В. Долгих, Ханг Т. Т. Нгуен, А. Ф. Клинских // Материалы XII Международной конференции "Диэлектрики - 2011", Санкт-Петербург, 23-26 мая, 2011. - т. 1. - С. 103-106.
8. Поляризуемость квантового каскада / Ханг Т. Т. Нгуен, А. В. Долгих, П. А. Мелешенко, А. Ф. Клинских // Материалы XII Международной конференции "Диэлектрики - 2011", Санкт-Петербург, 23-26 мая, 2011. — т. 1. - С. 150-153.
Работы 1 — 4 опубликованы в журналах, рекомендованных перечнем ВАК РФ.
Подписано в печать 03.10.11. Формат 60*84 Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 1211.
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3
Введение
1 Литературный обзор
1.1 Характеристики 2Б систем.
1.2 Экспериментальные реализации 2Б систем.
1.2.1 Примеры: графен и графан.
1.3 Характеристики излунательных процессов.
1.3.1 Сила осциллятора.
1.3.2 Динамическая поляризуемость.
2 Состояния электрона в системе "2Т) Кулон + поток Ааронова-Бома"
2.1 Нерелятивистский случай.
2.1.1 Уравнение Шрёдингера.
2.1.2 Состояния дискретного спектра.
2.1.3 Состояния непрерывного спектра.
2.1.4 Связанные состояния и собственные функции в системе
20 Кулон + поток Ааронова-Бома": численные результаты
2.2 Релятивистский случай.
2.2.1 Состояния дискретного спектра.
2.2.2 Состояния непрерывного спектра.
2.3 Сравнительный анализ 2Б и ЗБ случаев.
3 Излучательные процессы в системе Кулон + поток Ааронова-Бома"
3.1 Сила осциллятора как основная характеристика излучательных процессов.
3.1.1 Сила осциллятора для переходов между состояниями дискретного спектра системы "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома"
3.1.2 Переходы между состояниями непрерывного спектра
3.2 Восприимчивость как основная характериктика отклика на внешнее воздействие.
3.2.1 Восприимчивость для состояний дискретного спектра
3.2.2 Влияние потока Ааронова-Бома на восприимчивость
3.3 Процессы в непрерывном спектре: рассеяние.
3.3.1 Сечение рассеяния на двумерном кулоновском потенциале
3.3.2 Дифференциальное сечение рассеяния в эффекте Ааронова-Бома
3.3.3 Дифференциальное сечение рассеяния в системе "20 Кулон + поток Ааронова-Бома".
3.4 Выводы.
Актуальность темы
В настоящее время системы пониженной размерности (двумерные, одномерные и нульмерные) играют значительную роль при проектировании и исследовании различных наноразмерных устройств. Динамически двумерной называют систему электронов или дырок, движение которых свободно только в двух пространственных измерениях, а их движению в третьем измерении соответствует дискретный энергетический спектр. При этом в двумерных системах удается эффективно изучать такое интересное явление, как, например, квантовый эффект Холла, позволяющий более глубоко исследовать фундаментальны механизмы электрон-электронных корреляций. Лидирующие позиции с точки зрения возможных областей приложения занимают такие истинно двумерные системы как графен и графан [1-3]. Авторы большого числа экспериментальных и теоретических работ предлагают использовать такие системы в различных областях современной электроники, онтоэлектроники, плаиарной оптики, спинтроники и т.д. Основной задачей физики двумерных систем является определение того, как внешние факторы (температура, электрическое поле, магнитное иоле, электромагнитное излучение) влияют на их характеристики. Для практического использования таких структур является необходимым не только понимание физических свойств носителей заряда в этих системах, но и наличие эффективных методов управления этими свойствами в физическом эксперименте.
Одним из интересных квантовых эффектов имеющих истинно двумерную природу является эффект Ааронова-Бома [4], интерес к которому не угасает и в настоящее время, о чем свидетельствует обширный список публикаций по данной тематике (см., например, [5-11] и сопутствующие ссылки). Интерес к эффекту Ааронова-Бома связан также и с тем, что с его помощью удается управлять относительной фазой волновой функции частицы и, следовательно, различными наблюдаемыми характеристиками носителей заряда в двумерных структурах. При этом экспериментальная реализация такого управления известна уже с начала восьмидесятых годов прошлого столетия, в связи с чем использование этого эффекта имеет несомненную актуальность для квантовой электроники и оптоэлектроники.
Исторически, проблема двумерного кулоновского потенциала была рассмотрена Коном и Латтинжером еще в 1955 году [12] в связи с исследованием свойств носителей заряда в сильно анизотропных кристаллах. В дальнейшем, проблема двумерного кулоновского потенциала и, в частности, двумерного атома водорода исследовалась в целом ряде теоретических работ [13-17]. Вопрос же о поведении электрона в таком потенциале с учетом присутствия потока Ааронова-Бома начал исследоваться сравнительно недавно [18, 19]. Открытие графана, представляющего собой графен связанный с атомарным водородом резко увеличивает интерес к двумерным системам, содержащим источники кулоновского поля, особенно в присутствии внешнего магнитного поля. Кроме того, бурное развитие методов спектроскопии низкоразмерных систем и планарной оптики позволяет надеяться на успешное использование таких структур в современной нанооптоэлектронике.
Таким образом, можно сделать вывод, что рассмотрение излучательпых процессов в двумерном атоме водорода в присутствии потока Ааронова-Бома является актуальной задачей.
Цели работы
Основными целями данной диссертационной работы являются:
1. Исследование свойства двумерного кулоновского потенциала в присутствии потока Ааронова-Бома. Изучение состояний электрона в такой системе на основе анализа точных волновых функций дискретного и непрерывного спектров.
2. Анализ явных аналитических выражений для сил осцилляторов перехо-~ дов между состояниями дискретного спектра, а также переходов между состояниями дискретного и непрерывного спектров. Исследование поляризуемости состояний дискретного спектра и влияния потока Ааронова-Бома на поляризуемость рассматриваемой системы.
3. Иследование излучательных процессов, в сопровождающие процессы рассеяния рассматриваемой системы.
Научная новизна работы
• Впервые даны явные аналитические выражения для сил осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра, а также между состояниями дискретного и непрерывного спектров электрона в двумерном кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома.
• Впервые исследовано влияние потока Ааронова-Бома на поляризуемость в системе "20 Кулон + поток Ааронова-Бома".
Положения, выносимые на защиту
1. Анализ точных волновых функций электрона в 2D кулоновском потенциале в присутствии потока Ааронова-Бома в нерелятивистском приближении.
2. Исследование характеристик излучательных процессов (силы осцилляторов переходов и влияния потока Ааронова-Бома на поляризуемость) в системе 'Ж Кулон + поток Ааронова-Бома".
Публикации I
По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ в форме статей и тезисов докладов. Из них 8 статей, 4 в журналах перечня ВАК.
Плановый характер работы
Работа выполнена согласно тематическом планам НИР Воронежского государственного университета.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертации представлялись и докладывались на следующих конференциях и семинарах:
• VII Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTER MATIC — 2009" (Москва, 2009);
• VIII Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения" "INTERMATIC — 2010" (Москва, 2010);
• XIII Conference on Phonon Scattering in Condensed Matter "Phonons-2010" (Taipei, Taiwan, 2010);
• XII Международной конференции "Физика диэлектриков" "Диэлектрики - 2011" (Санкт-Петербург, 2011);
• The International Quantum Electronics Conference and The Conference on Lasers and, Electro-Optics "IQEC/CLEO Pacific Rim - 2011" (Sydney, Australia, 2011).
3.4 Выводы
В данной главе
• рассмотрена силы осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра и между состояниями дискретного и непрерывного спектров. Показано, что наличие потока Ааронова-Бома может привести к наблюдаемым эффектам в спектре излучения электронов. Получены явные аналитические выражения для силы осциллятора перехода в основл
0 2 4 6 8 10
Е, 10 еУ
Рис. 3.10. Сечение рассеяния в зависимости от магнитного потока А для различных энергий и углов рассеяния. Левая картинка: тонкая кривая - система "213 Кулон + ноток Ааронова-Бома", энергия электрона Е = 70 эВ, угол рассеяния в — 7г/2; тонкая пунктирная линия - "чистый" эффект Ааронова-Бома, энергия электрона Е = 70 эВ, угол рассеяния в = 7г/2; жирная линия - система "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома", энергия электронов Е — 80 эв, угол рассеяния в = 7г/4; жирная пунктирная линия - "чистый" эффект Ааронова-Бома, энергия электронов Е = 80 эВ, угол рассеяния в = тг/А. Правая картинка: сечения рассеяния для системы "2Б Кулон — поток Ааронова-Бома", как функция энергии электрона Е и магнитного потока А для угла рассеяния в = 7г/2. ное состояние как из возбужденных состояний дискретного, так и из непрерывного спектров;
• представлены численные значения динамической поляризуемости основного состояния электрона в такой системе в зависимости от частоты внешнего электромагнитного поля (энергии фотона) и величины потока Ааронова-Бома. Показано, что абсолютное значение поляризуемости сильно зависит от величины потока Ааронова-Бома. Из анализа представленных результатов можно сделать вывод о том, что поток Ааронова-Бома может выступать в качестве управляющего параметра для величины поляризуемости при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля;
• рассмотрены процессы рассеяния на двумерном кулоновском потенциале, потоке Ааронова-Бома, а также па системе "20 Кулои + поток Ааронова-Бома". Показано, что наличие 2Т) кулоновского потенциала играет определяющую роль в сравнении с присутствием потока Ааронова-Бома в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома". Тем не менее, при относительно высоких энергиях начинает проявляться осцилляционная зависимость сечения рассеяния от величины магнитного потока, что свойственно для эффекта Ааронова-Бома. Кроме того, присутствие потока Ааронова-Бома приводит к тому, что сечение рассеяния возрастает по сравнению со случаем "чистого" 2Б гулоновского рассеяния при высоких энергиях;
Заключение
Сформулируем основные результаты, изложенные в диссертации:
1. Найдено точное аналитическое решение уравнения Шредингера для комбинации двумерного кулоновского потенциала и потока Ааронова-Бома в дискретном и непрерывном спектрах в нерелятивистском приближении.
2. Рассмотрены силы осцилляторов переходов между состояниями дискретного спектра и между состояниями дискретного и непрерывного спектров. Показано, что наличие потока Ааронова-Бома может приводить к наблюдаемым эффектам в спектрах излучения.
3. Представлены численные значения динамической поляризуемости основного состояния электрона в системе "2Б Кулон + поток Ааронова-Бома;' в зависимости от частоты внешнего электромагнитного поля (энергии фотона) и величины потока Ааронова-Бома. Показано, что абсолютное значение поляризуемости сильно зависит от величины потока Ааронова-Бома. Из анализа представленных результатов можно сделать вывод о том, что поток Ааронова-Бома может выступать в качестве управляющего параметра для величины поляризуемости при фиксированной частоте внешнего электромагнитного поля.
1. Ando, Tsuneya The electronic properties of graphene / Tsuneya Ando, Alan B. Fowler, Frank Stern // Reviews of Modern Physics. — 1982. — Vol. 54. — Pp. 437-672.
2. The electronic properties of graphene / A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim // Rev. Mod. Phys. 2009. - Vol. 81. - Pp. 109-162.
3. Sofo, Jorge 0. Graphane: A two-dimensional hydrocarbon / Jorge O. Sofo, Ajay S. Chaudhari, Greg D. Barber // Phys. Rev. B. 2007. — Vol. 75. — P. 153401.
4. Aharonov, Y. Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory / Y. Aharonov, D. Bohm // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. - Pp. 485-491.
5. Berry, M. V. Exact Aharonov-Bohm wave function obtained by applying Dirac's magnetic phase factor / M. V. Berry // Eur. J. Phys — 1980. — Vol. 1. Pp. 240-244.
6. Olariu, S. The quantum effects of electromagnetic fluxes / S. Olariu, I. Iovitzu Popescu // Rev. Mod. Phys. 1985. — Vol. 57. — Pp. 339-436.
7. Peshkin, M. The Aharonov-Bohm effect. / M. Peshkin, A. Tonomura. — Springer-Verlag, Berlin, 1989. — 103 p.
8. Афанасьев, Г.Н. Старые и новые прблемы в теории эффекта Ааронова-Бома / Г. Н. Афанасьев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1990. - Т. 21, № 1. - С. 172-250.
9. Любошиц, В. В. Транспортное сечение рассеяния и эффект Ааронова-Бома на тороидальном соленоиде / В. В. Любошиц, В. JI. Любошиц // ЖЭТФ. 2000. - Т. 118, № 4. - С. 777-786.
10. Caprez, A. Macroscopic test of the Aharonov-Bohm effect / A. Caprez, B. Barwick, H. Batelaan // Phys. Rev. Lett. — 2007. Vol. 99. — P. 210401.
11. Katsnelson, M. I. Aharonov-Bohm effect in undoped graphene: Magnetotransport via evanescent waves / M. I. Katsnelson // Europhys. Lett. 2010. - Vol. 89. - P. 17001.
12. Kohn, W. Theory of Donor States in Silicon / W. Kohn, J. M. Luttinger // Phys. Rev. 1955. - Vol. 98. - Pp. 915-922.
13. Zaslow, B. Two-Dimensional Analog to the Hydrogen Atom / B. Zaslow, M. E. Zandler // Am. J. Phys. 1967. — Vol. 35. — Pp. 1118-1119.
14. Cisneros, A. Symmetry of the Two-Dimensional Hydrogen Atom / A. Cisneros, H. V. Mcintosh Ц J. Math. Phys. 1969. - Vol. 10. - Pp. 277286.
15. Analytic solution of a two-dimensional hydrogen atom. I. Nonrelativistic theory / X. L. Yang, S. H. Guo, F. T. Chan, K. W. Wong, W. Y. Ching // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - Pp. 1186-1196.
16. Analytic solution of a two-dimensional hydrogen atom. II. Relativistic theory / S. H. Guo, X. L. Yang, F. T. Chan, K. W. Wong, W. Y. Ching // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - Pp. 1197-1205.
17. Clark, Bryan K. Hexatic and Mesoscopic Phases in a 2D Quantum Coulomb System / Bryan K. Clark, Michele Casula, D. M. Ceperley // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 103. - Pp. 055701-1-055701-4.
18. Sakoda, S. Difference in the Aharonov-Bohm effect on scattering states and bound states / S. Sakoda, M. Omote // Adv. Imag. Elect. Phys. — 1999. — Vol. 110. Pp. 101-171.
19. Khalilov, V. R. Relativistic Aharonov-Bohm effect in the presence of planar Coulomb potentials / V. R. Khalilov // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 71. — Pp. 012105-1-012105-6.
20. Klitzing, К. V. New method for high-accuracy determination of the five-structere constant based on quantizied hall resistance / К. V. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper // Phys. Rew. Lett. — 1980. Vol. 45. - Pp. 494-498.
21. Halperin, В. I. Theory of the half-filled Landau level / В. I. Halperin, Patrick A. Lee, Nicolas Read // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 47. - Pp. 7312-7345.
22. Sondhi, S. L. Skyrmions and the crossover from the integer to fractional quantum hall effect of small Zeeman energies / S. L. Sondhi, A. Kardhele, S. A. Kivensol // Phys. Rev. B. — 1993. — Vol. 47. Pp. 16419-16427.
23. Charged spin-texture excitations and the Hartree-Fock approximation in the quantum hall effect / H. A. Fertig, L. Brey, R. Cote, A. H. MacDonald // Rev. Mod. Phys. — 1994. Vol. 50. — Pp. 11018-11022.
24. Bychkov, Yu. A. Charged Skyrmions: A condensate of spin excitons in a two-dimensional electron gas / Yu. A. Bychkov, T. Maniv, I. D. Vagner // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 53. - Pp. 10148-10153.
25. Apel, W. Hopf Term and the Effective Lagrangian for the Skyrmions in a Two-Dimensional Electron Gas at Small g Factor / W. Apel, Yu. A. Bychkov // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. — Pp. 2188-2191.
26. Иорданский, С. В. The electronic properties of graphene / С. В. Иорданский 11 Письма в ЖЭТФ. — 1997. Том. 66, вып. 3. - Pp. 178-183.
27. Зегря, Г. Г. Квантование хмагнитной индукции в 20-системе в условиях квантового эффекта Холла / Г. Г. Зегря // Физика и техника полупроводников. — 1999. — Том. 33, вып. 9. — Pp. 1144-1148.
28. Лифщиц, И. М. Электронная теория металлов. / И. М. Лифщиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
29. Абрикосов, А. А. Основы квантовой теории металлов. / А. А. Абрикосов.- М.: Наука, 1987. 520 с.
30. Хуанг, К. Статистическая механика. / К. Хуанг. — М.: Мир, 1966. — 521 с.
31. Giant microwave photoresistance of two-dimensional electron gas / P. D. Ye, L. W. Engel, D. C. Tsui, J. A. Simmons, J. R. Wendt, G. A. Vawter, J. L. Reno // Appl. Phys. Lett. — 2001. Vol. 79. - Pp. 2193-2196.
32. Observation of Apparently Zero-Conductance States in Corbino Samples / C. L. Yang, M. A. Zudov, T. A. Knuuttila, R. R. Du, L. N. Pfeiffer, K. W. West // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - Pp. 096803-096808.
33. Пылевые частицы в плазме с кулоновскими столкновениями / А. Г. Леонов, А. Ф. Паль, А. Н. Старостин, А. В. Филиппов // Письма в ЖЭТФ.- 2003. Том. 77, вып. 9. - С. 577-581.
34. Willett, R. L. Evidence for Current-Flow Anomalies in the Irradiated 2D Electron System at Small Magnetic Fields / R. L. Willett, L. N. Pfeiffer, K. W. West // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - Pp. 026804-026808.
35. Evidence for virtual-phonon exchange semiconductor heterostructures / T. J. Grarnila, J. P. Eisenstein, A. H. MacDonald, L. N. Pfeiffer, K. W. West // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 47. - Pp. 12957-12961.
36. Correlation Effects on the Coupled Plasmon Modes of a Double Quantum Well / N. P. R. Hill, J. T. Nicholls, E. H. Linfield, M. Pepper, D. A. Ritchie, and G. A. C. Jones // Phys. Rev. Lett. -1997. Vol. 78. - Pp. 2204-2207.
37. Negative Electron Drag and Holelike Behavior in the Integer Quantum Hall Regime / X. G. Feng, S. Zelakiewicz, H. Noh, T. J. Ragucci, T. J. Gramila // Phys. Rev. Lett. — 1998. Vol. 81. — Pp. 3219-3222.
38. Coulomb Drag in the Extreme Quantum Limit / M. P. Lilly, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, K. W. West // Phys. Rev. Lett 1998. — Vol. 80. - Pp. 1714-1717.
39. Wang, Q. Phase diagram and optical conductivity of the one-dimensional spinless Holstein model / Q. Wang, H. Zheng, M. Avignon // Phys. Rev. B.- 2000. Vol. 63. - P. 014305.
40. Vanishing Hall Resistance at High Magnetic Field in a Double-Layer Two-Dimensional Electron System / M. Kellogg, I. B. Spielman, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, K. W. West // Phys. Rev. Lett 2004. — Vol. 93. - Pp. 036801-036805.
41. Fractional quantum Hall effect in a two-dimentional hole system / E. E. Memdez, W. I. Wang, L. L. Chang, L. Esaki // Phys. Rev. B. 1984. - Vol. 30. - Pp. 109-162.
42. Observation of a reentrant insulating phase near the 1/3 fractional quantum Hall liquid in a two-dimensional hole system / M. B. Santos, Y. W. Suen, M. Shayegan, Y. P. Li, L. W. Engel, D. C. Tsui // Phys. Rev. Lett. 1992. -Vol. 68. - Pp. 1188-1191.
43. Tsui, D. C. Two-Dimensional Magnetotransport in the Extreme Quantum Limit / D. C. Tsui, H. L. Stormer, A. C. Gossard // Phys. Rev. Lett — 1982.- Vol. 48. Pp. 1559-1562.
44. Jain, J. K. Composite-fermion approach for the fractional quantum Hall effect / J. K. Jain // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 63. - Pp. 199-202.
45. MacDonald A. H. Skyrmions without Sigma Models in Quantum Hall Ferromagnets / A. H. MacDonald, H. A. Fertig, and Luis Brey // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76. - Pp. 2153-2156.
46. Evidence for an Anisotropic State of Two-Dimensional Electrons in High Landau Levels / M. P. Lilly, K. B. Cooper, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, K. W. Wes // Phys. Rev. Lett. 1999. — Vol. 82. — Pp. 394-397.
47. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films / K. S. Novoselov et al. // Science. 2004. — Vol. 306. - Pp. 666-669 .
48. Nanoelectronics goes flat out / M. Freitag,J. Sofo, A. Chaudhari, G. Barber // Nature nanotechnology. — 2008. — Vol. 3. — Pp. 455-457.
49. Wang, Z.F. Emerging Nanocircuit Paradigm: Graphene-based Electronics for Nanoscale Computing / Z.F. Wang // Nanoarch. — 2007. — Vol. 75. — P. 153401.
50. Shemella, P. Energy Gaps in Zero-Dimensional Graphene Nanoribbons / P. Shemella, Y. Zhang // Appl. Phys. Lett. 2007. - Vol. 91. — P. 042101.
51. Shemella P. Electronic Structure and Band-Gap Modulation of Graphene via Substrate Surface Chmistry / P. Shemella, S. K. Nayak // Appl. Phys. Lett.- 2009. Vol. 94. - P. 032101.
52. Boukhvalov, D. W. Hydrogen on graphene: Electronic structure, total energy, structural distortions and magnetism from first-principles calculations / D.W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 77. Pp. 035427.
53. Control of Graphene's Properties by Reversible Hydrogénation: Evidence for Graphane / D.C. Elias, R. R. Nair et al. // Science. — 2009. — Vol. 323. -Pp. 610-613.
54. Sameer, Sapra An accurate description of quantum size effects in InP nanocrystallites over a wide range of sizes / Sameer Sapra, Ranjani Viswanatha, D. D Sarma //J. Phys. D: Appl. Phys. — 2003. — Vol. 36.- Pp. 1595-1598.
55. Senger, R. T. Optical properties of confined polaronic excitons in spherical ionic quantum dots / R. T. Senger, K. K. Bajaj // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68. P. 045313-1-045313-4.
56. Large quantum dots with small oscillator strength / S. Stobbe, T. W. Schlereth, S. Hofling, A. Forchel, J. M. Hvam, P. Lodahl // Phys. Rev. B. — 2010. — Vol. 82. Pp. 233302-1-233302-4.
57. Korol, A. V. Polarizational bremsstrahlung in non-relativistic collision / A. V. Korol, A. V. Solovyov // Radiation Physics and Chemistry. — 2006. — Vol. 75. Pp. 1266-1286.
58. Linear dynamic polarizability and absorption spectrum of an exciton in a quantum ring in a magnetic field / A. V. Ghazaryan, A. P. Djotyan, K. Moulopoulos, A. A. Kirakosyan // Phys. Scr. — 2011. — Vol. 83. — Pp. 035703-035715.
59. Electric Dipole Polarizabilities of Hydrogen and Helium Isotopes / I. Stetcul, S. Quaglioni, J. L. Friar, A. C. Hayes, Petr Navratil // Phys. Rev. C. — 2009. Vol. 79. - Pp. 064001-1-045321-6.
60. Masili, Mauro Static and dynamic dipole polarizability of the helium atom using wave functions involving logarithmic terms / Mauro Masili, Anthony F. Starace // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 68. - P. 012508-1-012508-11.
61. Астапенко, В.А. Поляризационные эффекты в атомных переходах / В. А. Астапенко, JI. А. Буреева, В. С. Лисица // УФЕ. — 2002. — Том. 172, № 2. С. 155-172.
62. Паули, В. Теория Относительности. / В. Паули. — М.: Наука, 1991. — 328 с.
63. Эйнштейн, А. Собрание научных трудов. / А. Эйнштейн. — М.: Наука, 1965. Т. 1. - 700 с.
64. Верестецкий, В. Б. Теоретическая физика: Учеб.пособие.:Для вузов. В 10 т. / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — Издание4.е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — Т. IV. Квантовая электродинамика. — 720 с.
65. Шурина, Э.П. Об алгоритмах решения уравнений максвелла на неструктурированных сетках / Э.П. Шурина, М.Ю. Великая, М.П. Федорук // Вычислительные технологии. — 2000. — Том. 5, №. 6. — С. 99-116.
66. Observation of Quasicondensate in Two-Dimensional Atomic Hydrogen / A. I. Safonov, S. A. Vasilyev, I. S. Yasnikov, I. I. Lukashevich, S. Jaakkola // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 81. - Pp. 4545-4548.
67. Henneberger, Walter C. Some aspects of the Aharonov-Bohm effect / Walter C. Henneberger // Phys. Rev. A. 1980. — Vol. 22. — Pp. 1383-1388.
68. Ruijsenaars, S. N. M. The Aharonov-Bohm effect and scattering theory / S. N. M. Ruijsenaars // Ann. Phys. — 1983. — Vol. 146. — Pp. 1-34.
69. Alford, M. G. Aharonov-Bohm interaction of cosmic strings with matter // M. G. Alford, Frank Wilczek // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. - Pp. 1071-1074.
70. Hagen, C. R. Aharonov-Bohm scattering of particles with spin / C. R. Iiagen // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - Pp. 4545-4548.
71. Observation of ^ Aharonov-Bohm Oscillations in Normal-Metal Rings / R. A. Webb, S. Washburn, C. P. Umbach, R. B. Laibowitz // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 54. - Pp. 2696-2699.
72. Lewis, Robert R. Aharonov-Bohm effect for trapped ions / Robert R. Lewis // Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 28. - Pp. 1228-1236.
73. Zhu, Jia-Liri Hydrogen molecular ions in two dimensions / Jia-Lin Zhu, Jia-Jiong Xiong // Phys. Rev. B. 1990. - Vol. 41. - Pp. 12274-12277.
74. Ho, Choon-Lin Planar Dirac electron in Coulomb and magnetic fields / Choon-Lin Но, V. R. Khalilov // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61. - Pp. 032104-1-032104-7.
75. Ландау, JI. Д. Теоретическая физика: Учеб.пособие.:Для вузов. В 10 т. / Л.Д.Ландау, Е.М. Лифшиц. — 5-е изд., — М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 2001. — Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — 808 с. •
76. Abramowitz, М. Handbook of Mathematical Functions. / M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Boston: Twayne Publishers, 1973. — 1046 pp.
77. Seaton, M. J. The quantum defect method / M. J. Seaton // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1958. - Vol. 118. - Pp. 504-518.
78. Hosotani, Y. Spontaneously Broken Lorentz Invariance in Three-Dimensional Gauge Theories / Y. Hosonati // Phys. Lett. B. — 1993. — Vol. 319. Pp. 332-338.
79. Берестецкий, В. Б. Квантовая электродинамика. / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. — М.: Наука, 1980. — 224 с.
80. Sobelman, I. I. An introduction to the theory of atomic spectra. / I. I. Sobelman. — Pergamon Press, New York, 1972. — 609 p.
81. On the solution of a "2D Coulomb + Aharonov-Bohm" problem: oscillator strengths in a discrete spectrum and scattering / H.T.T. Nguyen, P.A. Meleshenko, A.V. Dolgikh, A.F. Klinskikh // Eur. Phys. J. D. — 2011. -Vol. 62. Pp. 361-370.
82. Dougherty, Eugene P. Further developments and applications of the Green's function method of sensitivity analysis in chemical kinetics / Eugene P. Dougherty, Jenn-Tai Hwang, Herschel Rabitz // J. Chem. Phys. — 1979. Vol. 71, No. 4. - Pp. 1794-1808.
83. Is There an Aharonov-Bohm Effect for Neutrons / D. M. Greenberger, D. K. Atwood, J. Arthur, N. G. Shull, and M. Schlenker. // Phys. Rev. Lett. — 1981. Vol. 47. - P. 751.
84. Bernstein, J. Elementary Particles and their Currents / J. Bernstein. — San Francisco and London, 1968. — 310 p.
85. Zon, B. A. Charged particle scattering in the presence of a strong electromagnetic field: eikonal approximation / B. A. Zon // Phys. Rev. B. — 1975. Vol. 8. - P. L86 .
86. Klinskikh, A. P. Potential scattering of electrons in the presence of an electromagnetic wave / A. F. Klinskikh, L. P. Rapoport // Sov. Phys. JETP. — 1985. — Vol. 61.-P. 649.i
87. Ehlotzky, F. Electron-Atom Collisions in a Laser Field / F. Ehlotzky, A. Jaron, J. Z. Kaminski // Phys. Rep. — 1998. Vol. 297. - P. 63.
