Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2+1 измерениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Ли Киын
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2012
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Ли Киын
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ДИРАКА С СИНГУЛЯРНЫМИ ВНЕШНИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ В 2+1 ИЗМЕРЕНИЯХ
01.04.02 - теоретическая физика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 5 НОЯ 2012
Москва, 2012
005054934
005054934
Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук,
профессор В. Р. Халилов
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,
профессор кафедры квантовой теории и физики высоких энергий МГУ имени М.В. Ломоносова В. И. Денисов
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных технологий и телекоммуникаций Российского государственного торгово-экономического университета В. Н. Родионов
Ведущая организация: Институт физики высоких энергий
(ФГБУ ГНЦ ИФВЭ), г. Протвино
Защита диссертации состоится "20" декабря 2012 года в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, Северная физическая аудитория.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27).
Автореферат разослан "29" октября 2012 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 501.002.10,
доктор физико-математических наук С-/1- П. А. Поляков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования.
Интерес к физическим явлениям в квантовых системах релятивистских фермионов в присутствии интенсивных внешних полей в пространствах пониженных размерностей вызван возможностью применения этих моделей для изучения эффекта Ааронова-Бома, квантового эффекта Холла, высокотемпературной сверхпроводимости, а также физических процессов в присутствии космических струн.
Новый интерес к различным эффектам в двумерных квантовых системах появился после успешного получения монослоя графита (графена). При низких энергиях динамика электрона в графснс описывается двух-компонентным уравнением Дирака для фермионов с нулевой массой, поэтому электроны в графснс дают интересные реализации квантовой электродинамики в 2+1 измерениях. В то же время "эффективная постоянная тонкой структуры" в графене велика, и появляется новая возможность изучения квантовой электродинамики в режиме сильной связи. Отметим также, что высокая подвижность носителей заряда графена делает его весьма перспективным материалом для современной электроники, спинтроники, оптоэлсктроннки и т.д.
Известно, что при изучении уравнения Дирака с сингулярными внешними потенциалами возникает проблема полноты некоторых найденных наборов точных решений уравнения Дирака. Дело в том, что гамильтониан Дирака с сингулярными внешними потенциалами требует дополнительного доопределения для того, чтобы его можно было трактовать как самосопряженный квантово-механический оператор. В этом случае существует целое семейство самосопряженных гамильтонианов, поэтому сначала необходимо найти все самосопряженные расширения данного симметрического оператора и затем выделить корректный самосопряженный гамильтониан с помощью физически приемлемых граничных условий в точке сингулярности гамильтониана.
Необходимость доопределения видна на примере задачи о движении электрона в сильном кулоновском поле. Действительно, в кулоновском поле, заданном 4-векторным потенциалом Л°(г) = а/(е0г), А = 0, а > О (е = -е0 < 0 - заряд электрона), энергия электрона в основном состоянии Ед = т\/1 - а2 обращается в пуль при а = 1, а при а > 1 интерпретация этой формулы как энергии электрона теряет смысл. Дираковский гамильтониан в сильном кулоновском поле точечного заряда (при а > 1) стано-
вится нсэрмитовым в источнике, и возникает необходимость доопределения гамильтониана. В литературе для построения самосопряженных расширений гамильтониана обычно используется метод физической регуляризации, в которой вместо точечного источника рассматривается потенциал, обрезанный на малом расстоянии Я, что соответствует учету конечных размеров источника поля.
Диссертационная работа посвящена квантово-механическому описанию движения массивных и бсзмассовых электрически заряженных фермио-нов в двумерных кулоновскнх (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах. Для этого построены все самосопряженные гамильтонианы Дирака в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с помощью так называемого метода асимметрии форм (Б.Л. Воронова, Д.М. Гитмана, И.В. Тютина), восходящего к теории самосопряженных расширений Дж. фон Неймана для симметрических операторов. Спектры самосопряженных радиальных гамильтонианов находятся методом направляющих функционалов Крспна для симметрических дифференциальных операторов.
Целью диссертационной работы является
1. Построение самосопряженных гамильтонианов Дирака в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина фермпона. Исследование спектров связанных состояний фермиона в зависимости от параметра самосопряженного расширения, спина частицы и параметров поля в физически интересных случаях.
2. Построение самосопряженных гамильтонианов Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы и их спектральный анализ. Изучение спектров связанных состояний фермиона в физически интересных случаях. Исследование спектра гамильтониана в области сверхкритических зарядов, когда низшее энергетическое состояние фермиона пересекает границу нижнего континуума энергий, а вакуум квантовой электродинамики перестраивается.
3. Доказательство существования связанного состояния фермиона в поле Ааронова-Бома в области значений параметра самосопряженного расширения 2п > 0 > тт. Исследование рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома в 2+1 измерениях с учетом
взаимодействия спина фермиона с магнитным полем при различных значениях параметра самосопряженного расширения. Решение задачи рассеяния спин-полярнзованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленонда в реалистическом случае трех пространственных измерений. Получение выражений для амплитуды и сечения рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном и конечном состояниях.
4. Построение самосопряженных дираковскнх гамильтонианов для фермиона нулевой массы в графене. Получение и изучение волновых функции виртуальных связанных состоянии, спектра энергии и времени жизни этих состояний. Исследование локальвюй плотности состояний как функций энергии и параметров задачи.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:
1. решена задача о квантово-механпческом описании движения заряженного массивного фермиона в двумерных кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах. Найдены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в указанных полях с учетом спина фермиона. Получены уравнения, неявно определяющие спектры энергий, и построены собственные функции для всех самосопряженных дираковскнх гамильтонианов
2. построены полные наборы решений уравнения Дирака, и исследованы спектры самосопряженного гамильтониана Дирака массивного заряженного фермнона в кулоновском (векторном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы, зависящие от параметра самосопряженного расширения;
3. построены полные наборы решений уравнения Дирака, и исследованы спектры самосопряженного гамильтониана Дирака массивного заряженного фермиона в кулоновском (скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы, зависящие от параметра самосопряженного расширения;
4. получено выражение для амплитуды и сечения рассеяния релятивистских фермионов на потенциале Ааронова-Бома при произвольном значении параметра самосопряженного расширения, что позволило исследовать физически неэквивалентные случаи задачи в соответствующем двумерном пространстве. Показано, что связанные состояния, которые
возникают вследствие взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем бесконечно тонкого соленоида, окалывают влияние на состояния рассеяния;
5. построены самосопряженные днраковские гамильтонианы для фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Показано, что при сверхкритических значениях заряда кулоновского поля в системе возникает бесконечное число виртуальных (квазистационарных) связанных состояний. Экспериментально проверяемой физической величиной является локальная плотность состояний (ЛПС) как функция энергии и параметров задачи; ЛПС исследованы как аналитически, так и графически. Показано, что значение спина фермиона и параметра самосопряженного расширения может существенно влиять на ЛПС.
Практическая ценность диссертации.
• Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе могут быть использованы для описания фермиона в однослойном и двухслойном графене с кулоновской примесью в поле тонкого соленоида, а также для исследования влияния спина частицы и параметра самосопряженного расширения на спектр энергий и другие физические величины упомянутых систем.
• Полученные выражения для амплитуды и сечения рассеяния спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида для случая трех пространственных измерений могут быть применены для описания фермионов в поле космической струны в 34-1 измерениях.
Апробация диссертации.
Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на XVIII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2011" (МГУ, Москва, 2011) и на научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ имени М.В. Ломоносова.
Публикации.
Основные результаты диссертации изложены в 4 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 101 наименовании. Диссертация содержит 20 рисунков. Общий объем 102 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, а также излагается краткое содержание работы. В конце введения представлен список публикаций, в которых изложены основные результаты исследований.
Глава 1. Сингулярный дираковский гамильтониан в кулонов-ских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена изложению основных сведений и формул, поясняющих постановку задачи, приведены выражения для общего и частного решений радиальных уравнений Дирака. Здесь же изложена математически строгая процедура построения самосопряженных расширений дираковского гамильтониана в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах и процедура нх спектрального анализа.
Радиальное уравнение Дирака в кулоновских (векторном и скалярном)-Мт) = а/{е*г), Аг = 0, Av = 0, [/(г) = -Ь/г и Ааронова-Бома потенциалах: А0 - 0,АГ- 0, А^ = В/г, для дублета F(r) можно записать как
hF(r) = EF(r): F{r) = ( /£J ) , (1)
. Л(г)
где г = у/х* + у1, V = arctg(;(//x), Е - энергия фермиона и h - радиальный
гамильтониан
г . <1 у а ( Ь\ Н = г8а2-+а1~-- + Сгл[гп---у (2)
Здесь I/ = / + Ц + .,/2, ц = еоВ и 1 = 0, ±1, ±2.... - целое число, з = ±1 - спин фермиона, тп и е = -е0 < 0 - масса и заряд фермиона, а и 6 -положительные постоянные, (Г, - матрицы Паули.
Ввиду громоздкости общего решения уравнения (1), в автореферате мы их не приводим, отсылая к тексту диссертации. Здесь же приведем только некоторые частные решения уравнения (1), которые будут использоваться в дальнейшем. Такими решениями являются
и1(г;Е) = У(г,Ъ,Е)|7<=7>+, [/2(г; Е) = ¥(г,Ъ, £)| + , (3)
где дублет
«±, (4)
(тг)ъ
^ s ( 0 т+ Е\ , ,
ы±=
+ 74 = ±у1/2_(о2_Ь2)=7± (5)
и ф±(г, 75, Е) - линейная комбинация вырожденной гипсргеометрической
ОС -гп
функции Ф(р,д;х) = £ ТТН"' (р)п = р(р+1)-(р+ в Д^ьнейшем
п—0 (1)пП'
мы будем обозначать
+ Г - (а2 - б2) = 7, при Уа2 - б2 < |1/|, (б)
7г1 I - Ь2) - = ПРИ ^а2 - Ь2 > И-
Мы будем различать так называемые дифференциальные выражения к и операторы к и будем называть к оператором, ассоциированным с дифференциальным выражением к. Пусть £ = £2(0, со) - гильбертово пространство дублетов Пг) и С(г) со скалярным произведением
оо ОО
(F, G) = J F*(r)G(r)dr = J[fi(r)gi{r) + /2(r)fla(r)]dr,
(7)
о
так что £2(0. оо) = Ь2(0, ос) Ф Ь2(0, оо).
Оператор к будет симметрическим операторм, если для любых дублетов F(r) и С(г)
оо оо
J G*(r)hF(r)rdr = J\hG{r)]^F(r)rdr.
о О
(8)
Область определения сопряженного оператора D(h') представляет собой так называемую естественную область для дифференциального выражения h. Оказывается, что для любого дублета F(r) из области определения сопряженного оператора D{h*) Um F(r) = 0, поэтому, интегрируя по частям выражение (8), можно получить граничное условие
lim {r)ia2F{r) = 0. (9)
і—>o
Если условие (9) удовлетворяется для любых дублетов из D{h"), то к* является симметрическим и поэтому самосопряженным оператором. Если
условие (9) не удовлетворяется, самосопряженный оператор h = ftt нахо_ дится как сужение оператора h" на так называемую максимальную область D(h) С D{h'). Для дублета F(r) условие (9) принимает следующий вид
(F^r)w2F(r))\r-_0 = (Л/2 - Ш\г=0 = О, (Ю)
откуда видно, что условие выполнения (10) определяется асимптотическим поведением дублета F(r) при г —> 0.
Решение радиального уравнения Дирака (1), представимо в виде
F(r) = dU^r) + c2U2{r) + h(r) + I2(r), (11)
где cx и c2 - некоторые константы, Л (г) и /2(г) - выражены через интегралы от тензорных произведений частных решений уравнения (1). В диссертации показывается, что асимптотическое поведение дублета F(r) при г —> О определяется двумя первыми членами F(r) и тем самым существенно зависит от значения 7+.
Представим 7+ в форме q = yjv1 - (7+)2 „ введем
Чи = v/-2 - 1/4 7,+ = 1/2, qc = |i/| 7+ = 0. (12)
Величина q играет роль некоторого эффективного заряда. Анализ асимптотического поведения дублета F(r) при г^Ов зависимости от 7+ естественным образом выделяет четыре области эффективного заряда q:
• Первая некритическая область 0 < q < qu о 7+ = у > 1/2;
• Вторая некритическая область qu < q < qc 0 < 7+ = 7 < 1/2;
• Область критических эффективных зарядов <7= qc = \и\ <й> 7+= 7= 0;
• Область свсрхкритическнх эффективных зарядов q > qc <=> 7+ = га.
В первой некритической области эффективных зарядов только функция Ul(r)ccr'< квадратично интегрируема в точке г = 0, а интегралы Ix(r)<xrll2 и /2(г)осг1'/2. Для принадлежности дублета F(r) гильбертову пространству £ (0, эо) необходимо, чтобы с2 = 0:
F(r) = c\Ui(r) + Л(г) + /2(г) = 0(г1/2) -»0, г 0, (13)
тогда FeD(h*) и удовлетворяет условию (10). Это означает, что в первой некритической области эффективных зарядов оператор h является существенно самосопряженным: h = hi Область его определения D(h) есть
пространство абсолютно непрерывных дублетов F(r), исчезающих в точке г = 0; дублет hF(r) также принадлежит £2(0, с»).
Оказывается, что неединственность самосопряженного гамильтониана Дирака проявляется уже во второй некритической области эффективных зарядов. Переход от второй некритической к критической и сверкхритиче-ской области не приводит к качественному изменению в математическом описании системы. Поэтому здесь приведем только результаты из диссертации для второй некритической области эффективных зарядов.
В этой области при г -> 0 обе функции í/i(r)ocr7 и U2(r)ост-7 квадратично интегрируемы в точке г = 0, а интегралы /i(r)ocr1/2 и /2(г)осг1/2, поэтому дублет F е D{h*) ведет себя при г —> 0 как
F(r) = с1(тгУи+ + ^(mr)-^- + 0(г1/2). (14)
Однако дублет с таким поведением не удовлетворяет условию (10). Это означает, что оператор h* не является симметрическим, и необходимо построить нетривиальные самосопряженные расширения исходного симметрического оператора.
Условие (10) будет удовлетворяться, если ПОЛОЖИТЬ С2 = —£<¡1, где £ = tan(0/2) и 0 < в < 2тг. Угол в параметризует самосопряженные расширения he исходного симметрического оператора, которые различны для разных в за исключением двух эквивалентных значений: в = 0 и в = 27Г. Следовательно, в области 0 < 7 < 1/2 можно определить однопараметрн-ческое £/(1)-сеыейство самосопряженных операторов he = с областью определения
' F(r) : F(r) абсолютно непрерывны в области (0, оо),
F,hF е £2(0, ОО), F(r) = c[(mr)iu+ - ((тг)-^и-] + 0(г'/2), г — 0, < оо, ^F(r) = c(mr)_7U- + 0(г'/2), г —> 0. £ = оо, , h<F = hF,
где с - произвольная постоянная. Проделав подобный анализ в остальных областях эффективного заряда, можно установить, что при любых значениях q самосопряженные расширения гамильтониана Дирака являются однопараметрическими.
В разделе 1.4 на примере первой некритической области эффективных зарядов изложена процедура нахождения спектра самосопряженных дира-ковских гамильтонианов с помощью метода направляющих функционалов
hp:
Df =
Крсйна. Дискретным спектр энергий в области малых зарядов ц < <!и определяется выражением
[ аЬ У,^-62 аЬ
т V и2+о2У ¿2 + а2 (15)
где^г = „ + 7 + (1 _ 3)/2 „ п = о, 1,2,..., 5 = ±1 для и > 0, а также п - 1,2,в = 1 и /7. = 0, 1,2,..., 5 = -1 для и < 0. Магнитный поток влияет на спектр энергий фермиона через величину ц, которая входит в 7.
Все уровни энергии, за исключением основного (низшего) уровня, дважды вырождены по д. Основное состояние фермиона в рассматриваемой конфигурации полей не вырождено; это состояние с га = 0. а = 1 для у> 0, что при заданном заряде е = -е0 < 0 означает ц > 0 (В > 0), т.е. > 0. В основном состоянии, как в состоянии с наименьшей энергией, потенциальная энергия взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем, задаваемая выражением -зц6(г)/г, должна быть минимальной, поэтому йд > 0. Если представить магнитный поток ц в форме Ц = Н + ¡3 = Аг + /3, где [ц] = N - целое число (< ц) и 1 > ¡3 > 0, то N = 0, 1.2.... для ¡1 > 0. Для ц > 0 основное состояние фермиона (т.е. частицы с зарядом е) есть состояние с в = 1 и энергией
= Л— У , + 1/2)2 - а2 аЬ
т У\(р+ 1/2)2+^ + (/3+1/2)2 + 62 (/3+1/2)2 + 62- (16)
Спектр сгущается в точке Е = т, и его асимптотический вид при п -» оо дается нерелятивистской формулой
_ т(а + Ь)2 еп = т-Еп= 2п2 ■ (17)
Эта формула совпадает с формулой, описывающей нерелятивистский дискретный спектр энергий связанных состояний фермиона в чисто кулонов-ском векторном потенциале а/г, в которую вместо а входит сумма а + 6.
Глава 2. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена анализу движения заряженного фермиона в двумерном векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах, построению всех самосопряженных гамильтонианов для этих комбинации полей и анализу их спектров.
В первой некритической области эффективных зарядов дискретный спектр энергий частиц определяется формулой (15), где нужно положить
6 = 0. Спектр сгущается в точке Е — т, и его асимптотический вид при п —> оо дается нерелятивистской формулой
„ пга2 /, 0\
еп = т- Еп = (1«)
Во второй некритической области эффективных зарядов уравнение для дискретного спектра энергий принимает вид
Г(27)Г (-7 + (1 - з)/2 - аЕ/Х) (2Л)~2> + а{т + Е)/Х + _ . (19) Г(-27)Г (т + (1 - s)/2 - аЕ/Х) + а{т + Е)/\ - s7]
Спектр также сгущается в точке Е = тп и описывается той же асимптотической формулой (18), не зависящей от Уже в этой области эффективных зарядов при 0 < 7 « 1 основное состояние фермионов может достичь границы нижнего континуума энергии Е = -m при значениях
_ r(27)(i/ + s7) 2 (20)
В области эффективных зарядов qu < q < qc низший уровень энергии электрона может достичь границы нижнего континуума энергий, но при этом не погружается в нижний континуум.
В области критических эффективных зарядов q = qc дискретный спектр энергий определяется уравнением
1п пл)+* (.i^i _ +2£ + 2Xz{m:EiF)=-í. ^
\m J \ 2 A / v X + i/a(m + E)
где С = 0.57721 - постоянная Эйлера. Спектр сгущается в точке Е = m и описывается асимптотической формулой (18). Низший уровень энергии достигает границы нижнего континуума энергий при — £о = 1п2а + 2С, но не пересекает границу нижнего континуума энергий Е = —m.
В сверхкритнческой области эффективных зарядов условие существования дискретного спектра энергий связанных состояний фермионов определяется формулой
r(2»'g)r(—гсг + (1 - s)/2 - аЕ / X){2X)~2ia у Г(-2га)Г(гсг + (1 - s)/2 - аЕ/Х)т~ш
V 4- а(т + Е)/Х + isa _ _2i0+2im (по\
х-7-;—г-л < >-:- ~~ е ' \ '
и + а(т + Е)/Х — isa
Как и в предыдущем случае, точка Е = m является точкой сгущения спектра, и при п :» 1 спектр описывается асимптотической формулой (18).
Случай 7+ = їа = і\/а? — и2 существенно отличается от других областей
эффективного -заряда тем, что при сверхкритическнх зарядах низший уровень фермиона достигает границы нижнего континуума энергий —т при любых (а не при определенных или фиксированных) значениях параметра самосопряженного расширения 0 (в сверхкритической области эффективных зарядов 0 < 0 < 7г). Рассматриваемая квантовая система становится более стабильной в присутствии магнитного потока Ааронова-Бома который входит в а через величину ¡1.
Глава 3. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена описанию движения заряженного фермиона в двумерном скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах. Построены все самосопряженные гамильтонианы для этих комбинации полей, и проанализированы их спектры. Здесь также рассматривается задача рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома в 2+1 измерениях, и изучается влияние параметра самосопряженного расширения и спина фермиона на амплитуду и сечение рассеяния.
В присутствии только скалярного кулоновского п Ааронова-Бома потенциалов эффективный заряд ц может принимать только некритические значения <7 < </с, и при £ = 0 дискретный спектр энергий определяется выражением
Спектр гамильтониана Дирака имеет две ветви энергий (частиц и античастиц), и эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой Е = 0. Из соображений непрерывности, состояния частиц (античастиц) -это состояния, которые при бесконечно медленном выключении внешнего поля примыкают к границе непрерывного спектра Е = т (соответственно к границе спектра Е — —т). Известно, что в зарядово-симметричной теории в 1+1 измерениях, вследствие существования фермионных состояний с нулевой энергией, вакуум может приобретать дробный фермионный заряд. Однако в рассматриваемой здесь квантовой системе изолированные невырожденные решения уравнения Дирака (частицы и античастицы) с нулевой энергией не являются зарядово-сопряженнымн, поэтому дробный фермионный заряд не возникает.
В присутствии только потенциала Ааронова-Бома эффективный заряд q — Qc — При этом в области \и\ > 1/2 существуют только решения
п = 0.1.2...
(23)
уравнения (1), принадлежащие к непрерывному спектру энергий. Если же О < М < 1/2, то условие существования дискретного спектра энергии связанных состояний фермионов принимает следующий вид
Г(2М)Г(-М + (1-а)/2) (2АГ2Н _ Г(-2И)Г(М + (1-в)/2) т-2И ^
Отсюда следует, что связанные состояния существуют только при отрицательных значениях £ (или 2тг > 0 > п). Из уравнения (24) можно получить, что при I + N = -1 и /х = (3 > 0 связанные состояния будут существовать только при 5 = 1, что обусловлено дополнительным потенциалом взаимодействия спина с магнитным полем —б-/1Й"(г)/г, имеющего характер притяжения при 5 = 1 (вц > 0). Таким образом, полезно переписать (24) для 5 = 1 в следующем виде
Г(2/3 — 1)Г(1/2 — (3) / тп Г(1 - 2/?)Г(-1/2 + 0) \2Vrn* - Е2
и рассматривать только уровни энергии частицы. При адиабатическом увеличении параметра /? от 0 до 1 уровни энергии частиц, определенные формально уравнением (25), понижаются от Е = тп до Е = —тп, а уровни энергии античастиц поднимаются от Е = -тп до Е = тп, поэтому нет так называемого уровня Ферми Ер. который отделяет состояния частиц и античастиц. Но из формулы (25) видно, что для £ = -1 (или в = Зтг/2) можно ввести энергию Ферми Ер = 0, определив состояния частиц как состояния с положительными энергиями Е > 0, а состояния античастиц как состояния с отрицательными энергиями Е < 0. При таком определении ветви энергий частиц и античастиц как функции (3 пересекают в точке 0=1/2 горизонталь Е = 0 и симметричны по отношению к этой точке. Следовательно, при адиабатическом изменении параметра ¡3 от 0 до 1/2 энергетическая щель между связанными состояниями частиц и античастиц исчезает, и задача о поведении уровней энергий связанных состояний при ¡3 > 1/2 не может быть решена в рамках одночастичной квантовой механики.
В разделе 3.4 решается задача рассеяния фермионов на потенциале Ааронова-Бома, с учетом ориентации спина фермиона и параметра самосопряженного расширения. Амплитуда рассеяния определяется выражением
т = ^3^/2) - + , (26)
Лет = \А<р)№ = ф ЕЕ ¿аАв. (27)
і. ГШ-2, г /оА (1+0зіп(^(1+ з)/4-к0/2)
где к = \/Е2 — т2, tg(7ra/2) = з----) 4 " -— и мы поло-
(1 - £) соэ(7г(1 + з)/4 - п/3/2)
жили ц = N + 0 = п + 0. Отсюда при £ = 0, зо (0 = 0, 7г) можно получить сечение рассеяния в зависимости от /3, которое совпадает с известной формулой Ааронова-Бома (случаи £ = 0, ос эквивалентны)
з1п2(тг/3) 2тгкв'т2(ір/2)
Интересно, что связанные состояния явно проявляются в рассеянии фер-
миона. Действительно, при /3 —> 0 ссчсние рассеяния при £ = — 1 (в = Зп/2)
= (28)
обращается в нуль при 5 = —1, и оно изотропно и равно ¿а = 2d.pl{як) при в = 1. Мы видим, что различные граничные условия, наложенные на спинорные волновые функции в источнике, приводят к неэквивалентным физическим случаям в соответствующем двумерном пространстве.
В разделе 3.5 полученные результаты для амплитуды и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, что имеет место в реальных физических экспериментах. Вектор г = п можно положить направленным вдоль оси соленоида в трехмерном пространстве, тогда, рассматривая рассеяние электрона в плоскости ху, перпендикулярной оси соленоида, мы получим полное сечение в виде (£ = 0, с»)
¿а = + 8 - в') + зіп2(^/2)[(1 - з • з') + г^п^'п)] -
-БІп^іф' х в])}. (29)
Скалярное произведение векторов а и Ь обозначено как а • Ь или (аЬ), а векторное произведение векторов а и Ь обозначено как [а х Ь]. Вектор п является трехмерным единичным вектором, перпендикулярным к плоскости рассеяния и в (э') характеризует трехмерный вектор спина электрона в начальном (конечном) состоянии.
Глава 4. Электрически заряженные фермионы нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена построению всех самосопряженных гамильтонианов Дирака для заряженного безмассового фермиона и кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2—1 измерениях и анализу их спектров. В конце главы исследованы локальные плотности состояний (ЛПС) как функции энергии и параметров задачи.
Особенностью энергетического спектра бсзмассового фермиона в гра-фене, в присутствии кулоновскнх примесей, является наличие виртуальных (резонансных) связанных состояний. Эти состояния нетривиальны тем, что в безмассовом случае нет естественного масштаба длины, характеризующего область локализации связанных состояний, и что в области сверхкритических эффективных зарядов (q > qc) в системе имеется бесконечное число квазистационарных уровней, обусловленных далыюдействующим характером кулоновского потенциала.
Оказывается, что условие существования виртуальных связанных состояний имеет тот же самый вид, что и условие (22). В четвертой главе диссертации рассматриваются фермионы с нулевой массой (т = 0). поэтому выражение (22) становится существенно комплексным. Запишем Е = |Е|е'г. Спектр виртуальных связанных состояний определяются двумя уравнениями, одно из которых фиксирует параметры поля
7Г 1 f\T(-ía - ia)\ la + <т\ Т = 2 ~ 2^ Ь (|Г(-,о + га)\V ^J ' (30)
а второе нумерует уровни виртуальных связанных состояний
2аЫ{\Е\/Е0) = 20 — 7г(1 + 2п) — 2а<£ + arctg —+
и
^ /2а 2(7 2ai \
+ 2^ —-2arctg—+ arct g—^ . (31) ~Í\J J 3 + v )
Здесь E0 - положительная константа, п = 0,1, 2... и 0 < 6 < ж.
При a 1 энергетический спектр виртуальных связанных состояний определяется выражением
Еп.в:, = Е0 eos (г) exp[-n(l+2n)/2a+0/a-(2C:-s/(2a)+Reip{l-:¿a))], (32)
где теперь г « 7г/2 - 1/2а + ImV>(ia) и ф(г) - логарифмическая производная гамма-функции. Мнимая часть Еп.вг, определяет ширину виртуальных резонансных состояний или обратное время жизни (скорость распада). Спектр (32) имеет существенно особую точку при q = qc (а = 0). Из формулы (30) следует, что sin г ~ 0.2 eos г при а < 1, поэтому ширина резонансных состояний исчезающе мала, следовательно, они практически являются связанными состояниями.
Экспериментально проверяемыми физическими величинами, например, с помощью метода сканирующей туннельной спектроскопии, являются
ЛПС как функции энергии и параметров задачи. ЛПС на единицу площади определяется выражением
ШЕ Г)=У \Мг,ЕЖ + \Мт,ЕЖ Ш)
{-] ¿^ 2*г|<7«(Я)Р ' (3°]
Здесь }\{г,Е,1)/С1(Е) и /г(г, ¿)/С;(£) - дублеты, нормированные (на полуоси с мерой с!г) путем наложения условия ортогональности по энергии, а С^Е) является коэффициентом нормировки. Явные выражения ЛПС для различной области эффективных зарядов приведены в диссертации.
Оказывается, что ЛПС проявляют пики при низких положительных энергиях уже в докритической области эффективных зарядов q < qc (рис. 1), поскольку уже во второй некритической области допустимы и регулярные, и сингулярные (при г —* 0) решения уравнения Дирака. Видно также, что притягивающий кулоновский потенциал приводит к уменьшению спектрального веса в отрицательной области энергии и противоположное происходит в положительной области. Данный эффект проявляется сильнее вблизи кулоновского центра. На рис. 2 видно существование единственного резонанса в отрицательной области энергии вблизи Е ~ 0, когда а —> 0, в = 7г/2, и только для значения спина .8 = 1. что хорошо согласуется с выражением (32). На рис. 3 изображены ЛПС при а = 4/3, ц = 0.1. Видно, что для положительной области энергии, ЛПС свойственно осциллирующее поведение, также здесь можно четко увидеть образование резонансов в ЛПС, которые непосредственно связаны с рождением позитронов в квантовой электродинамике.
Рис. 1: ЛПС Ы(Е.г) при а = 0.3. 6 = 0, р = 0.1, в = 1. (а) г = 0.3. (Ь) г = 1; для сравнения па графиках приведена свободная плотность состояний при а = 0. /I = 0 (штриховая линия).
Е Е
Рис. 2: ЛПС N(Е,г) при а = 0.40001, ^ = 0.1, 6 = 0, г = 1. (а) а = 1, (Ь) б- = -1.
Е Е
Рис. 3: ЛПС ЩЕ, г) при а = 4/3, ц = 0.1. Ь = 0, в = 1. (а) в = 0.25тг, (Ь) в = 0.5тг.
В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Найдены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в куло-новских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях во всех четырех областях эффективного заряда. Проведен полный спектральный анализ полученных самосопряженных дираков-ских гамильтонианов для каждой области эффективных зарядов. Получены значения параметра самосопряженного расширения, при котором дискретный спектр энергий достигает границы нижнего континуума энергий Е = -т. Показано, что эффективный заряд зависит от магнитного потока Ааронова-Бома и спина частицы.
2. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома, которые явно зависят от спина фермиона и параметра самосопряженного расширения. Амплитуда и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, откуда можно сделать вывод о том, что спин
электрона в начальном состоянии может влиять на процесс рассеяния, только если его проекция на плоскость рассеяния отлична от нуля.
3. Проведено математически строгое квантово-механпчсское описание движения фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях (случай графена). Для этого построены самосопряженные дираковские гамильтонианы в указанных полях. и проведен их спектральный анализ. Впервые выведены уравнения, определяющие "дискретный спектр" и обратное "время жизни" (скорость распада) квазистационарных состояний, и найдены решения этих уравнений в физически интересных случаях.
4. Получены аналитические выражения для ЛПС в зависимости от спина фермиона и параметра самосопряженного расширения. Анализ ЛПС показал, что спин фермиона и параметр самосопряженного расширения может существенно влиять на поведение ЛПС.
Основное содержание диссертации и результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах.
1. Khalilov V.R., Lee К.Е. Bound fermion states in a vector 1/r and Aharonov-Bohm potentials in (2 + 1) dimensions // Mod. Phys. Lett. A. - 2011. - Vol. 26. - P. 8G5.
2. Khalilov V.R., Lee K.E. Fermions in scalar Coulomb and Aharonov-Bohm potentials in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A. — 2011. — Vol. 44. — P. 205303.
3. Халилов В.P., Ли Ku Ын. Дискретные спектры дираковского гамильтониана в кулоновских потенциалах и потенциалах Ааронова-Бома в 2+1 измерениях // Теоретическая и математическая физика. — 2011. - Т. 169. - \ä 3. - С. 368-390.
4. Khalilov V.R., Lee К.Е., Mamsurov I.V. Spin-polarized fermions in an Aharonov-Bohm field // Mod. Phys. Lett. A. — 2012. — Vol. 27. - P. 1250027.
Подписано в печать 25.10.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1256 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102
Введение
1 Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааро-нова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
1.1 Общие и частные решения уравнения Дирака при различных значениях параметров гамильтониана.
1.2 Самосопряженные расширения симметрических операторов. Самосопряженные граничные условия.
1.3 Однопараметрические семейства самосопряженных радиальных гамильтонианов и их области определения.
1.3.1 Первая некритическая область д <
1.3.2 Вторая некритическая область ци < Ц < Цс.
1.3.3 Критические эффективные заряды ц - дс.
1.3.4 Сверхкритические эффективные заряды д >
1.4 Дискретные и непрерывные спектры самосопряженных гамильтонианов
2 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
2.1 Решения радиального уравнения Дирака.
2.2 Спектр самосопряженного радиального гамильтониана
2.3 Неустойчивость основного состояния фермионов.
2.4 Собственные функции связанных состояний.
3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
3.1 Решения радиального уравнения Дирака. Спектры.
3.2 Собственные функции связанных состояний.
3.3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в потенциале Ааронова-Бома. Спектры.
3.4 Физические эффекты в 2+1 измерениях: связанное состояние и задача рассеяния.
3.5 Рассеяние спин-поляризованных электронов на потенциале Ааронова-Бома.
4 Электрически заряженные ферм ионы нулевой массы в куло-новских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях
4.1 Решения радиального уравнения Дирака.
4.2 Спектры самосопряженного радиального гамильтониана. Квазидискретные состояния.
4.3 Локальная плотность состояний фермионов.
Интерес к физическим явлениям в квантовых системах релятивистских фермионов в присутствии интенсивных внешних полей в пространствах пониженных размерностей, проявляемый в последние годы, вызван открытием ряда эффектов физики конденсированных сред [1], возможностью применения полученных для этих моделей результатов для изучения эффекта Ааронова-Бома [2], квантового эффекта Холла [3-5] и высокотемпературной сверхпроводимости [6,7]. Решения уравнения Дирака для фермионов нулевой массы в 2+1 измерениях описывают состояния фермионов в графене [8-10].
Эффект Ааронова-Бома, предсказанный в работе [2], - одно из наиболее интересных и интригующих явлений квантовой механики. Этот эффект был разносторонне изучен в многочисленных работах (см., например, работы [11-14], а также книгу [15]). Данный эффект возникает при движении электронов в магнитном поле цилиндрически-симметричной конфигурации, напряженность которого равна нулю везде, кроме оси г (г = 0), притом, что векторный потенциал поля отличен от нуля во всем пространстве. В этом случае магнитное поле можно считать сосредоточенным в цилиндрической трубке исчезающе малого радиуса. Поскольку при цилиндрически-симметричной конфигурации внешнего магнитного поля квантово-механическая система инвариантна относительно переноса вдоль оси г, она сводится к двумерной системе в плоскости ху [16]. Поэтому, в этом случае поведение заряженных фермионов в 3+1 измерениях удобно исследовать с помощью уравнения Дирака в 2+1 измерениях, что позволяет учитывать сопутствующие релятивистские эффекты. Кроме того, уравнение Дирака в 2+1 измерениях допускает получение точных решений в более широком классе полей по сравнению с обычным случаем 3+1 измерений. В частности, в работах [17-19] было показано, что решения уравнения Дирака в потенциале Ааронова-Бома в 2+1 измерениях совпадают с решениями того же уравнения для фермионов в поле космической струны в 3+1 измерениях. Впервые эти решения были получены в работе [17]; там же был рассмотрен процесс рождения частиц нестатическим полем движущейся космической струны. Эффект вакуумной поляризации в этих полях изучался в работах [20,21].
Одной из проблем квантового описания физических систем и его правильной интерпретации является задача корректного определения наблюдаемых как самосопряжённых операторов в подходящем гильбертовом пространстве. Самосопряженный характер физического оператора необходим для того, чтобы соответствующий оператор эволюции был унитарным и единственно определенным в гильбертовом пространстве. Собственные значения самосопряженных операторов также всегда вещественны, и, стало быть, наблюдаемы.
В большинстве физически интересных задач квантовой механики гамильтонианы являются сингулярными операторами, а в ""естественных областях" определения, которые допускают соответствующие дифференциальные операции в данном гильбертовом пространстве, - только симметрическими операторами. Поэтому возникает задача расширить соответствующий симметрический оператор до самосопряженного оператора и тем самым сделать его настоящим наблюдаемым. Но, как известно [22], задача построения самосопряженного гамильтониана по заданному симметрическому оператору имеет не единственное решение. С физической точки зрения, это означает, что существует множество квантово-механических описаний одной и той же нетривиальной физической системы. Любое расширение является некоторым предписанием для поведения рассматриваемой физической системы возле сингулярностей. Выбор корректного расширения должен быть найден путем анализа конкретного физического случая. Истоки теории расширения симметрических операторов восходят к работе Дж. фон Неймана [23]. Её развитию и многочисленным приложениям посвящено многочисленные работы, см., например [24-28] и монографию [29-31].
Впервые в работе [32] самосопряженное расширение гамильтониана уравнения Шредингера в потенциале Ааронова-Бома выделялось однозначно с помощью физического условия "минимальной сингулярности", т.е. требования того, чтобы область определения гамильтониана содержала только регулярные в нуле функции. В работе [18] был построен самосопряженный гамильтониан уравнения Дирака для того же поля. Там было показано, что область определения самосопряженного расширения может содержать также сингулярные, квадратично интегрируемые в нуле функции, и было найдено решение, описывающее связанное состояние фермиона в космической струне. Физическая причина включения в область определения самосопряженного расширения гамильтониана сингулярных, но квадратично интегрируемых функций состоит в учете взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем конфигурации Ааронова-Бома, что было показано в работе [33]. В ней изучалось рассеяние массивного нейтрального фермиона с аномальным магнитным моментом электрическим полем тонкой заряженной нити.
Решения уравнения Дирака в 2+1 измерениях не описывают две проекции спина фермиона, так как они представляют собой спинор, верхняя и нижняя компоненты которого интерпретируются как положительно- и отрицательно-частотные состояния. Для описания спина фермиона в задаче рассеяния электронов потенциалом Ааронова-Бома в работе [34] в двухкомпонентном уравнении Дирака был введен спиновый параметр, и полученные решения были использованы для вычисления амплитуды и поперечного сечения рассеяния электронов магнитным полем Ааронова-Бома. Задача рассеяния потенциалом Ааронова-Бома спин-поляризован-ных электронов с учетом взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем бесконечно тонкой цилиндрической трубки рассмотрена в работе [35], где получены решения уравнения Паули. Кроме того, в работе [36] найдены точные решения уравнения Дирака, описывающие связанные состояния фермиона в потенциале Ааронова-Бома в 2+1 измерениях, а также в неявном виде получена энергия связанного состояния. Для этого были найдены все самосопряженные расширения гамильтониана уравнения Дирака, и затем выделена область значений параметра самосопряженного расширения, соответствующая связанным состояниям фермионов. Излучательные процессы в системе двумерного кулоновского и Ааронова-Бома потенциалах, а также поляризуемость электрона этой системы были исследованы в работах [37,38].
Другой интересный с точки зрения физики случай - случай сингулярного дираковского гамильтониана в сильном кулоновском поле точечного заряда (источника). Построение самосопряженного гамильтониана в этом поле во всей области позволит ответить на вопрос о стабильности вакуума квантовой электродинамики в присутствии сильного кулоновского поля. Важнейший вопрос о стабильности вакуума был всесторонне изучен в многочисленных работах (см. работы [39-46] и ссылки в них) в 3+1 измерениях и в работах [47-49] в 2+1 измерениях. Во всех этих работах вместо точечного источника рассматривался кулоновский потенциал, обрезанный на малом расстоянии К от источника, что фактически эквивалентно постановке граничного условия в точке Я. Физически постановка такого граничного условия означает учет конечных размеров источника поля. Такой способ определения самосопряженного гамильтониана называют физической регуляризацией [32].
Напомним, что энергия электрона в основном состоянии в кулоновском поле, заданном 4-вектор потенциалом А0(г) = а/е^г, А = 0, а > 0 (е = -во < 0 - заряд электрона)
Е„ - т "VI - а2 о обращается в нуль при а = 1, а при а > 1 интерпретация этой формулы как энергии электрона вообще теряет смысл. В кулоновском потенциале, обрезанном на малом расстоянии К, с увеличением а низший уровень энергии электрона становится отрицательным при а > 1 и при дальнейшем увеличении а может достичь границы нижнего континуума (отрицательных) энергий -т, а значение а = асг, при котором низший уровень энергии электрона равен -ш, называют критическим зарядом для основного состояния. При таких значениях а нельзя определить самосопряженный гамильтониан системы с помощью введения радиуса обрезания Я. При а > асг, низший уровень энергии электрона пересекает границу нижнего континуума энергий, а вакуум квантовой электродинамики в сильном кулоновском потенциале перестраивается, так что в вакуумной оболочке кулоновского центра появляется новое состояние с энергией Е < -т и проекцией спина 5 - ±1. С точки зрения квантовой электродинамики, вакуум при а > асг становится неустойчивым, что приводит к рождению позитронов и одновременно вакуум приобретает отрицательный электрический заряд, который, очевидно, будет равен двум зарядам электрона [42-46]. В задаче о поведении электрона в сильном (обрезанном) кулоновском поле в 2+1 измерениях картина сходна, но энергия электрона в основном состоянии становится равной нулю при а - 1/2 [47-49].
В работе [50], для построения самосопряженных расширений гамильтониана Дирака в сильном кулоновском поле тотечного источника и его спектрального анализа был использован соответственно метод теории самосопряженных расширений симметрических операторов и направляющих функционалов Крейна [51], развитых в работах [29-31]. Это позволило авторам определить дираковский гамильтониан как самосопряженный оператор при произвольных значениях заряда кулоновского поля и избежать трудности с определением спектра при больших значениях заряда кулоновского поля.
В главах 1 и 2, мы находим все самосопряженные расширения ди-раковского гамильтониана в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях, а также спектры самосопряженного гамильтониана при различных значениях параметров, которые содержит гамильтониан.
В настоящей работе мы используем результаты статьи [50], в которой эти методы получили дальнейшее развитие. Мы покажем, что низшее энергетическое состояние может стать неустойчивым в так называемых областях сверхкритического заряда. Использование модели, описываемой уравнением Дирака в 2+1 измерениях в указанной конфигурации полей, позволило решить задачу о влиянии спина частицы и магнитного поля на устойчивость глубоких (релятивистских) связанных состояний.
В главе 3 мы изучаем движение заряженного фермиона в двумерном скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах. Мы строим все самосопряженные гамильтонианы для этих комбинации полей и анализируем его спектры. Здесь также рассматривается задача рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома с учетом взаимодействия спина фермиона с магнитным полем. Обсуждается вопрос, как физические величины, такие как амплитуда и сечение рассеяния, зависят от спина и параметра самосопряженного расширения. Здесь же изучается рассеяние спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида, и сечение рассеяния для квантовых переходов с и без обращения спина электрона для трех пространственных измерений. Отметим, что движение релятивистского электрона в сингулярном магнитном поле, являющемся суперпозицией поля Ааронова-Бома и коллинеарного однородного магнитного поля в 2+1 измерениях. изучались в работах [52-54]. Самосопряженный гамильтониан Шредингера для заряженных квантовых частиц, движущихся в потенциале Ааронова-Бома и притягивающем г~2 потенциале, был построен в работе [55] и здесь же была рассмотрена задача упругого рассеяния и задача о связанных состояниях частицы.
Наконец, важно отметить, что интерес к различным эффектам двумерной системы значительно увеличился после успешного получения монослоя графита (графена) (см. работы [56-61] и обзоры [62. 63]) и графана, представляющего собой графен связанный с атомарным водородом [64-67]. Открытие таких структур позволяет надеяться на успешное их использование в различных областях современной электроники, оптоэлектроники, спинтроники и т.д. Как известно, при низких значениях энергии, динамика электрона в графене описывается безмассовым двухкомпонентным уравнением Дирака [68, 69], и поэтому безмассовые фермионы Дирака в графене [70] дают интересные реализации квантовой электродинамики в 2+1 измерениях [71,72]. В то же время "эффективная постоянная тонкой структуры" в графене велика, и появляется новая возможность изучения квантовой электродинамики в режиме сильной связи. Задачи, связанные с кулоновскими примесями в графене, в частности, задача о поляризации вакуума и экранировке, изучались в работах [73-78]. Индуцированный ток в графене в поле соленоида, перпендикулярный к плоскости образца (графена), оказался конечной периодической функцией магнитного потока соленоида [79]. Для безмассовых заряженных фермио-нов (т = 0) в кулоновском потенциале в спектре энергии нет дискретных уровней при а < 1 в связи с масштабной инвариантностью безмассового уравнения Дирака тем не менее при а > 1 возникают квазистационарные состояния [80-83]. Полные и локальные плотности состояний в двумерном электронном газе, как аналог графена, в присутствий Ааронова-Бома поля и однородного магнитного поля исследованы в работах [84,85].
В главе 4 мы решаем квантово-механическую задачу о движении безмассового фермиона в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Мы получаем уравнения, определяющие энергию и время жизни квазистационарных (резонансных) связанных состояний, и находим локальные плотности состояний (ЛПС) как функции от энергии, параметра самосопряженного расширения и спина фермиона при различных значениях параметров поля.
В работе используется система единиц, в которой с = Т\ = 1.
Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях :
1. Khalilov V.R., Lee К.Е. Bound fermion states in a vector 1 /г and Aharonov-Bohm potentials in (2 + 1) dimensions // Mod. Phys. Lett. A. — 2011. — Vol. 26. - P. 865.
2. Khalilov V.R., Lee K.E. Fermions in scalar Coulomb and Aharonov-Bohm potentials in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A. — 201 1. — Vol. 44. — P. 205303.
3. Халилов В.P., Ли Ки Ын. Дискретные спектры дираковского гамильтониана в кулоновских потенциалах и потенциалах Ааронова-Бома в 2+1 измерениях // Теоретическая и математическая физика. — 2011. -Т. 169. -№3. - С. 368-390.
4. Khalilov V.R., Lee К.Е., Mamsurov I.V. Spin-polarized fermions in an Aharonov-Bohm field // Mod. Phys. Lett. A. — 2012. — Vol. 27. - P. 1250027. сборниках тезисов конференций :
5. Киын Ли, Фермионы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях, XVIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-201Г', секция физика, подсекция теоретическая физика, Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 2011.
Заключение
В диссертации получены следующие основные результаты:
1. В работе дано физически и математически строгое квантово-меха-ническое описание движения фермиона в двумерных кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах. Для этого построены самосопряженные расширения гамильтониана уравнения Дирака в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Установлено, что при любых значениях параметров задачи, самосопряженные расширения гамильтониана являются однопараметрическими. Выведены уравнения, неявно определяющие спектры самосопряженных дираковских гамильтонианов, и построены собственные функции для всех самосопряженных дираковских гамильтонианов в указанных внешних полях при различных значениях параметров задачи.
2. Построены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Выведены уравнения, которые неявно определяют спектры как функции параметра самосопряженного расширения, эффективного заряда, спина и других параметров связанных состояний фермиона, и найдены решения этих уравнений для физически интересных значений параметра самосопряженного расширения. Показано, что, когда так называемый эффективный заряд становится сверхкритическим, низшее энергетическое состояние фермиона пересекает границу нижнего континуума энергий Е = -т, становится неустойчивым и вакуум квантовой электродинамики перестраивается. Рассматриваемая квантовая система становится более стабильной в присутствии магнитного потока Ааронова-Бома. С увеличением эффективного заряда число состояний, погруженных в нижний континуум энергий, растет.
3. Построены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Выведены уравнения, неявно определяющие спектры связанных состояний фермиона и найдены решения этих уравнений для физически интересных значений параметра самосопряженного расширения. Спектр гамильтониана Дирака имеет две ветви энергий (частиц и античастиц) и для значения параметра самосопряженного расширения £ = 0 эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой Е - 0. Спектр рассматриваемого гамильтониана и положение уровня Ферми Ер, который отделяет состояния частиц и античастиц, зависят от параметра самосопряженного расширения.
4. Показано, что в поле Ааронова-Бома в области значений параметра самосопряженного расширения 2л" > в > л существует связанное состояние фермиона со спином 5 и получено уравнение, описывающее две ветви энергий (частиц и античастиц). Для 9 = З/г/2 эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой Е - 0. Две кривые пересекают в точке >3=1 /2 горизонталь Е = 0, и возникают ферми-онные состояния с нулевой энергией (нулевые моды). Следовательно, при адиабатическом изменении параметра ¡3 от 0 до 1/2, энергетическая щель между связанными состояниями частиц и античастиц исчезает, и задача о поведении уровней энергий связанных состояний при /3 > 1/2 не может быть решена в рамках одночастичной квантовой механики. В зарядово-симметричной теории, вследствие существования фермионных состояний с нулевой энергией, вакуум приобретает дробный фермионный заряд ±1/2. В рассматриваемой нами квантовой системе изолированные невырожденные решения уравнения Дирака (частицы и античастицы) с нулевой энергией не являются зарядово-сопряженными, поэтому дробный фермионный заряд не возникает. Однако, пересечение энергетических уровней частиц и античастиц может свидетельствовать о том, что рассматриваемая квантовая система становится неустойчивой.
5. Исследовано рассеяние релятивистских фермионов потенциалом Аа-ронова-Бома в 2+1 измерениях с учетом взаимодействия спина фер-миона с магнитным полем. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния при различных значениях параметра самосопряженного расширения. Показано, что связанные состояния, которые возникают при некоторых значениях параметра самосопряженного расширения, оказывают влияние на состояния рассеяний. Задача рассеяния спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида решена для реалистического случая трех пространственных измерений. Амплитуда рассеяния в этом случае рассматривается как оператор, действующий на пространственные и спиновые переменные волновой функции электрона в трехмерном пространстве. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном и конечном состояниях. Показано, что спин электрона в начальном состоянии может влиять на процесс рассеяния, только если его проекция на плоскость рассеяния отлична от нуля.
6. Решена квантово-механическая задача о движении безмассового фер-миона в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Показано, что если так называемый эффективный заряд становится сверхкритическим, то возникают виртуальные (квазистационарные) связанные состояния. Рассмотрен эффект перестройки вакуума квантовой электродинамики. Выведены уравнения, определяющие спектры и "времена жизни" квазистационарных состояний, и найдены решения этих уравнений в физически интересных случаях. Экспериментально проверяемыми физическими величинами, например, с помощью метода сканирующей туннельной спектроскопии, являются локальные плотности состояний (ЛПС) как функции энергии и параметров задачи; ЛПС исследованы как аналитически, так и графически. Исследован вопрос о применении полученных результатов для описания фермионов в графене с кулоновской примесью в поле соленоида, ось которого перпендикулярна образцу.
Автор с глубоким уважением и признательностью выражает благодарность профессору Халилову Владиславу Рустемовичу за научное руководство, за неотступное внимание и терпение при выполнении диссертационной работы. Автор выражает благодарность Мамсурову Игорю Владиславовичу за тщательный анализ и полезные советы в процессе обсуждения диссертационной работы. Автор также признателен всем сотрудникам кафедры теоретической физики за ценные советы и обсуждения. Отдельную благодарность автор выражает Харланову Олегу Георгиевичу и Курбанову Сердару Гельдимуратовичу за оказанную помощь при оформлении диссертационной работы.
1. А. М. J. Schakel, G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 66, 2653 (1991).
2. Y. Aharonov, D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
3. K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).
4. P. Прендж, С. Гирвин, Квантовый эффект Холла, Мир, Москва (1989).
5. К. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, A. K. Geim, Science 315, 1379 (2007).
6. F. Wilczek, Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, World Scientific, Teaneck New Jersey (1990).
7. A. Neagu, A. M. J. Schakel, Phys. Rev. D 48, 1785 (1993).
8. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005).
9. Z. Jiang, Y. Zhang, H. L. Stormer, P. Kim, Phys. Rev. Lett. 99, 106802 (2007).
10. I. F. Herbut, Phys. Rev. Lett. 104, 066404 (2010).
11. R. G. Chambers, Phys. Rev. Lett. 5, 3 (1960).
12. Y. Aharonov, D. Bohm, Phys. Rev. 123, 1511 (1961).
13. S. Olariu, I. I. Popescu, Rev. Mod. Phys. 57, 339 (1985).
14. N. Osakabe, T. Matsuda, T. Kawasaki, J. Endo, A. Tonomura, S. Yano, H. Yamada, Phys. Rev. A 34, 815 (1986).
15. M. Peshkin, A. Tonomura, The Aharonov-Bohm Effect, Springer-Verlag, Berlin (1989).
16. К. Хуанг, Кварки, лептоны и калибровочные поля, Мир, Москва (1985).
17. M. G. Alford, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 62, 1071 (1989).
18. Ph. De Sousa Gerbert, Phys. Rev. D 40, 1346 (1989).
19. M. G. Alford, J. March-Pussel, F. Wilczek, Nucl.Phys. В 328, 140 (1989).
20. Yu. A. Sitenko, Phys. Rev. D 60, 125017 (1999).
21. Yu. A. Sitenko, Ann. Phys. 282, 167 (2000).
22. M. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, Москва (1969).
23. J. von Neumann, Math. Ann. 102, 49 (1929).
24. H. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва (1966).
25. M. H. Stone, Amer. Math. Soc. 15, (1932).
26. Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу. Мир, Москва (1979).
27. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, том 2, Мир, Москва (1966).
28. В. Хатсон, Дж. Пим, Приложения функционального анализа и теории операторов, Мир, Москва (1983).
29. Б. Л. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 1, 3 (2007).
30. Б. J1. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 9, 32007).
31. Б. JI. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 2, 32008).32. 1. V. Tyutin, arXiv: 0801.2167v2 27 Jan 2008.
32. В. Р. Халилов, И. В. Мамсуров, ТМФ 161, 212 (2009).
33. С. R. Hagen, Phys. Rev. Lett. 64, 503 (1990).
34. V. R. Klialilov, C.-L. Ho, Ann. Phys. 323, 1280 (2008).
35. В. P. Халилов, ТМФ 163, 132 (2010).
36. H. Т. Т. Nguyen, P. A. Meleshenko, А. V. Dolgikh, A. F. Klinskikh, Eur. Phys. J. D. 62, 361 (2011).
37. X. Т. Т. Нгуен, П. А. Мелешенко, А. Ф. Клинских, Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика 1, 70 (2011).
38. Я. Б. Зельдович, В. С. Попов, УФН 14, 673 (1971).
39. К. М. Case, Phys. Rev. 80, 797 (1960).
40. А. М. Переломов, В. С. Попов, ТМФ 4, 48 (1970).
41. А. Б. Мигдал, Фермионы и бозоны в сильных полях, Наука, Москва (1978).
42. J. Rafelski, L. P. Fulcher, A. Klein, Phys. Rep. С 38, 227 (1978).
43. М. Soffel, В. Miiller, W. Greiner, Phys. Rep. С 85, 51 (1982).
44. Т. Cowan, H. Backe, K. Bethge, H. Bokemeyer, H. Folger, J. S. Greenberg, K. Sakaguchi, D. Schwalm, J. Schweppe, К. E. Stiebing, P. Vincent, Phys. Rev. Lett. 56, 444 (1986).
45. W. Greiner, J. Reinhardt, Quantum Electrodynamics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, (2009).
46. В. Р. Халилов, ТМФ 116, 277 (1998).
47. В. Р. Халилов, ТМФ 158, 210 (2009).
48. V. R. Khalilov, C.-L. Ho, Chin. J. Phys. 47, 294 (2009).
49. Б. Л. Воронов, Д. M. Гитман, И. В. Тютин, ТМФ 150, 41 (2007).
50. Функциональный анализ, Ред. С. Г. Крейн, Наука, Москва (1972).
51. D. М. Gitman, A. A. Smirnov, I. V. Tyutin, В. L. Voronov, Phys. Scr. 85, 045003 (2012).
52. S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov, arXiv: 0210312v3 12 Sep 2003.
53. S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov, B. L. Voronov, arXiv: 0308093v2 16 Apr 2004.
54. J. Audretsch, V. Skarzhinsky, B. Voronov, J. Phys. A 34. 235 (2001).
55. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).
56. Y. Zhang, Y. W. Tan, H. L. Stornier, P. Kim, Nature (London) 438, 201 (2005).
57. K. S. Novoselov, E. McCann, S. V. Morozov, V. I. Fal'ko, M. I. Katsnelson, U. Zeitler, D. Jiang, F. Schedin, A. K. Geim, Nature Phys. 2, 177 (2006).
58. S. V. Morozov, K. S. Novoselov, M. I. Katsnelson, F. Schedin, L. A. Ponomarenko, D. Jiang, A. K. Geim, Phys. Rev. Lett. 97, 016801 (2006).
59. Y. Zhang, Z. Jiang, J. P. Small, M. S. Purewal, Y.-W. Tan, M. Fazlollahi, J. D. Chudow, J. A. Jaszczak, H. L. Stornier, P. Kim, Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006).
60. J. H. Chen, C. Jang, S. Adam, M. S. Fuhrer, E. D. Williams, M. Ishigami, Nature Phys. 4, 377 (2008)
61. A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).
62. V. N. Kotov, B. Uchoa, V. M. Pereira, F. Guinea, A. H. Castro Neto, Rev. Mod. Phys. 84, 1067 (2012)
63. M. H. F. Sluiter, Y. Kawazoe, Phys. Rev. B 68, 085410 (2003).
64. J. O. Sofo, A. S. Chaudhari, G. D. Barber, Phys. Rev. B 75, 153401 (2007).
65. D. C. Elias, R. R. Nair, T. M. G. Mohiuddin, S. V. Morozov, P. Blake, M. P. Halsall, A. C. Ferrari, D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, A. K. Geim, K. S. Novoselov, Science 323, 610 (2009).
66. G. Savini, A. C. Ferrari, F. Giustino, Phys. Rev. Lett 105, 037002 (2010).
67. V. M. Pereira, J. Nilsson, A. H. Castro Neto. Phys. Rev. Lett. 99, 166802 (2007).
68. A. V. Shytov, M. 1. Katsnelson, L. S. Levitov, Phys. Rev. Lett. 99 236801 (2007).
69. A. K. Geim, K. S. Novoselov, Nat. Mater. 6, 183 (2007).
70. J. Gonzarlez, F. Guinea, M. A. H. Vozmediano, Nucl. Phys. B 424, 595 (1994).
71. F. Guinea, J. Gonzarlez, M. A. H. Vozmediano, J. Low Temp. Phys. 99, 287 (1995).
72. I. S. Terekhov, A. I. Milstein, V. N. Kotov, O. P. Sushkov, Phys. Rev. Lett. 100, 076803 (2008).
73. D. P. DiVincenzo, E. J. Mele, Phys. Rev. B 29, 1685 (1984).
74. K. Nomura, A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 98, 076602 (2007).
75. Т. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 074716 (2006).
76. E. H. Hwang, S. Adam, S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 98, 186806 (2007).
77. M. I. Katsnelson, Phys. Rev. В 74, 201401(R) (2006).
78. R. Jackiw, A. I. Milstein, S.-Y. Pi, I. S. Terekhov, Phys. Rev. В 80, 033413 (2009).
79. P. I. Fomin, V. P. Gusynin, V. A. Miransky, Yu. A. Sitenko, Riv. Nuovo Cimento 6, 1 (1983).
80. A. V. Shytov, M. I. Katsnelson, L. S. Levitov, Phys. Rev. Lett. 99, 246802 (2007).
81. О. V. Gamayun, E. V. Gorbar, V. P. Gusynin, Phys. Rev. В 80, 1654292009).
82. К. S. Gupta, S. Sen, Mod. Phys. Lett. A 24, 99 (2009).
83. A. O. Slobodeniuk, S. G. Sharapov, V. M. Loktev, Phys. Rev. В 82, 0753162010).
84. A. O. Slobodeniuk, S. G. Sharapov, V. M. Loktev, Phys. Rev. В 84, 125306 (2011).
85. Y. Hosotani, Phys. Lett. В 319, 332 (1993).
86. V. R. Khalilov, Phys. Rev. A 71, 012105 (2005).
87. V. R. Khalilov, C. L. Ho, Mod. Phys. Lett. A 13, 615 (1998).
88. В. Б. Берестецкий, E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Курс теоретической физики, том IV, Квантовая электродинамика, Наука, Москва (1980).
89. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, ГИФМЛ, Москва (1963).
90. М. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1964)
91. B. L. Voronov, D. M. Gitman, I. V. Tyutin, arXiv: quant-ph/0603187 23 Mar 2006.
92. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 1, Наука, Москва (1973).94. 3. Флюгге, Задачи по квантовой механике, Мир, Москва (1974).
93. R. Jackiw, С. Rebbi, Phys. Rev. D 13, 3398 (1976).
94. R. Jackiw, P. Rossi, Nucl. Phys. В 190, 601 (1981).
95. R. Jackiw, S.-Y. Pi, Phys. Rev. Lett. 98, 266402 (2007).98. 1. F. Herbut, Phys. Rev. В 81, 205429 (2010).
96. C.-L. Но, V. R. Khalilov, Phys. Rev. D 63, 027701 (2000).
97. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Курс теоретической физики, том III, Квантовая механика, Наука, Москва (1989).
98. А. Н. Castro Neto, V. N. Kotov, V. М. Pereira, J. Nilsson, N. M. Peres, B. Uchoa, Solid State Commun. 149, 1094 (2009).
