Изображение некоторых *- алгебр и *- категорий в категории гильбертовых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Тараса ШЕВЧЕНКА

На правах рукопіїсу

Багро Ольга Вікторівна

■ УДК 517.986

ЗОБРАЖЕННЯ ДЕЯКИХ *- АЛГЕБР та *- КАТЕГОРІЙ В КАТЕГОРІЇ ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРІВ

(01.01.06 - алгебра та теорія чисел)

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математіїчних наук

Київ - 1996

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Київського військове інституту управління та зв”язку

Науковий керівник: .

кандидат фізико-математичних наук, доцент С.А.КРУГЛЯК, .

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Ю. С.САМОЙЛЕНКО,

алізованої Ради Д 01.01.01 в Київському університеті ім. Тараса Шевчен за адресою: 252127, Київ, пр.Академіка Глушкова, 6, Київський університе механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університе ім. Тараса Шевченка.

Автореферат розіслано “..."........ 1996 р.

• кандидат фізико-математичних наук . Ю.М.БЕСПАЛОВ,

Провідна організація: Харківський державний університет

Захист відбудеться

,.<‘^‘:'?^.1996 р. о../.Угод. на засіданні Спеї

Вчений секретар Спеціалізованої Ради

С.А.Овсієнко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертаційній роботі досліджуються структурні питання теорії зображень *— алгебр, вивчаються зображення *— алгебр з двома твірними та кубічним співвідношенням, лінійним за однією з твірних, а також незвідні зображення алгебри D. Fairlie з |д| = 1.

Теорія зображень *— алгебр прігродпьо пов’язана з теорією унітарних зображень груп, яка розвивалась, починаючії з робіт Ф.Г. Фробеніуса, понад 100 років тому. Так, категорії унітарних зображень зліченої групи G', та категорії зображень групової алгебри Л = C[G] з інволюцією д* = д~1 еквівалентні.

Дослідження унітарних зображень компактних і локально компактних груп Лі зводиться до вивчення зображень універсальної обгортуючої *— алгебри Лі.

Теорія зображень нескінченовішірних груп (груп петель, індуктивних границь скінченовимірних груп, груп дифеоморфізмів) пов’язана з *— зображеннями відповідних нескінченовпмірнпх алгебр Лі (Каца - Муді, Вірасоро та ін.). Нескінчені набори самоспряжених операторів, пов’язані співвідношеннями коммутації, антикоммутації та близьких до них вивчали L. Garcl-ing, A. Wightman (1954), І.М. Гельфанд, Н.Я. Віленкін (1961), А.М. Вершпк,

І.М. Гельфанд, І.М. Граєв (1973), Р.С. Ісмагілов (1976), Ю.М. Березансыпш (1976), Ю.С. Самойленко (19S4)’Ta ін.

В останні десятиріччя поширився інтерес до вивчення більш широкого класу *— алгебр та їх зображень. Це пов”язано з розвитком квантового методу оберненої задачі розсіювання і появою поняття квантових груп (В.Г. Дрінфельд (19S5), М. Jimbo (1985), S.L. Woronowicz (1987)). Швидкий розви- ’ ток цього напрямку зумовлений застосуваннями його в точно розв'язуваних моделях математичної фізики (Е.К. Склянін, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддєєв та ін), теорії спеціальних функцій (Н.Я. Віленкін, А.У. Клімик, Т. Коогп-winder та ін.), теорії вузлів та струн (В. Johns), моделях q-квантової механіки та поля (В. Zumino, J. Wess та ін.).

Вивченню *— об”єктів (алгебр, категорій, сагайдаків) над полем з інволюцією та їх зображень присвячені роботи 70-х, 80-х років А.В. Ройтера, В.В.

З

Сергійчука, С.А. Кругляка, Ю.М. Беспалова та ін. Корисними виявилися розвинуті в теорії зображень асоціативних алгебр підходи - при вивченні зображень змінювати не лише зображення (переходячи до еквівалентного), але й об”ект, що зображується. Так, при вивченні зображень *— алгебр, виникають *— категорії і *— сагайдаки. Прийнятий в алгебрі поділ асоціативних алгебр на ручні й дикі знайшов своє відображення і в теорії зображень *— об”ектів.

С.А. Кругляк та Ю.С. Самойленко показали (1980), що задача унітарної класифікації пар самоспряженпх операторів "містить в собі як підзадачу” задачу унітарної класифікації наборів самоспряжених операторів будь-якої довжини. Це спонукало обрати задачу унітарної класифікації пар самоспря-жених операторів за еталон складності, а задачі, що містять в собі еталонну, називати дикими. Зокрема, дикі *— задачі виникали при зображеннях *— алгебр з двома твірними а, /3, пов”язаних напівлінійними співвідношеннями, лінійними за твірною S3:

^2іі(а)р9і(о) = /*(а).

*

Сам підхід до розв'язування таких задач приводить до графа або, при іншому підході, до інволютпвного *— сагайдака без співвідношень. Роботи Ю.С. Самойленко, B.C. Шульмана, Ю.М. Беспалова, Л.Б. Туровської (1991

- 1995 pp.) присвячені вивченню зображень афінних *— алгебр з напівліній-нпми співвідношеннями, зокрема диких *— алгебр, що стають ручними за деякими додатковими співвідношеннями між твірними. Вибір додаткових співвідношень обумовлюється прагненням вивчити зображення класів *— алгебр, що корисні у застосуваннях.

У 1990 році D. Fairlie, в зв”язку з застосуваннями в фізиці елементарних часток та ядерній фізиці, ввів алгебри з трьома твірними, що зв”язані трьома квадратичними співвідношеннями (так звані алгебри D. Fairlie). Зазначимо, що такі алгебри є деформакями з одного боку алгебри Лі групи 50(3), а з іншого - кольорового аналогу її алгебри Лі. Незвідні самоспряжені зображення останньої вивчались М.Ф. Городнім та І.Б. Подколзіним у 19S4 році.

Розділ 1 дисертації присвячений методам доведення твердження про * — дикість категорії з інволюцією (чи породжуючих їх сагайдаків) за допомогою конструкції похідного сагайдака. Ця ж конструкція в деяких випадках може бути застосована до класифікації всіх зображень *— категорій.

В розділі 2 вищеназвана конструкція похідного сагайдака застосовується до вивчення відомих *— категорій (ансамблів з умовами ортогональность *— категорій. пов’’язаних з частково - впорядкованими множинами, та їх зображень). Одержано критерії їх *— дикості.

За допомогою одержаних результатів в § 1 розділу 3 сформульовано критерій дикості для *— алгебр з двома твірними і кубічним співвідношенням, лінійним за однією з твірних, в термінах коефіцієнтів співвідношення. В ручному випадку описані всі незвідні зображення. В § 2 класифіковані всі не-звідні зображення *— алгебри Б. Раігііедля випадку |д| = 1.

Мета роботи.

1. Подальший розвиток методів дослідження зображень *— алгебр, *— категорій, *— сагайдаків. Побудова за категорією з інволюцією К. та морфізмом а категорії К'а таким чином, що задача класифікації зображень категорії К,'а ”міститься" в задачі класифікації зображень категорії К.

2. Вивчення конкректнпх *— категорій, які нарівні із *— алгеброю з

двома самоспряженимп твірними здатні бути еталоном для доведення дикості *— алгебри, що вивчається. '

3. Вивчення зображень *— алгебри з двома твірними і кубічним співвідношенням, що лінійне за однією з твірних; визначення типів таких алгебр (ручна, дика) за коефіцієнтами співвідношень.

4. Вивчення зображень дійсних форм алгебр Б.ЕагІіе: парн самоспряже-них твірних із співвідношеннями

[[«./?]±,а]± = Д. [Р, [а,/?]±]± =а.

Методика дослідження. В роботі використовуються сучасг методи теорії *— категорій, *— алгебр, *— сагайдаків та їх зображень. Зс враження *— алгебри з напівлінійними співвідношеннями (зокрема кубіч ними) зводяться до зображень відповідних *— сагайдаків без співвідношені Зображення алгебр Б.РаігІіе є зображення *— сагайдаків із кубічними спір відношеннями.

Наукова новизна. .

• Для скінченопородженіїх *— категорій введено квазі-порядок: /Сі >- АС; якщо задача класифікації зображень категорії Кі "міститься” в зада1 класифікації зображень категорії /Сі.

• Розглянуто нову конструкцію побудови *— категорії похідної від ка тегорії /С так, що /С >- ТС'а. Техніка похідних категорій застосована д зображень конкретних прикладів (ансамблі з умовою ортогональност: зображення частково впорядкованих множин).

• Наведена класифікація (ручні - дикі) алгебр з двома самоспряженим твірними і одним кубічним співвідношенням, лінійним за однією з твір них. Для ручних алгебр одержано класифікацію зображень.

• Класифіковані всі незвідні зображення *— алгебри Б.РаігІіе при умої

М = 1- .

Теоретична та практична цінність. Отриманірезуль тати мають теоретичний характер і можуть знайти застосування для пс дальшого розвитку теорії *— алгебр та теорії зображень *— алгебр, а тако> до вивчення конкретних *— алгебр, що знаходять застосування в теоретичн фізиці.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися на сс мінарі "Алгебраїчні методи в функціональному аналізі” Інституту матемг тики НАН України, на Київському семінарі з теорії зображень, на семінаї кафедри вищої математики Київського військового інституту керування т

б

зв’язку, а також були представлені на міжнародній конференції ’’Symmetry in nonlinear mathematical physics” (Київ, 1995). •

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1, 2, 3]. Робота [1] написана автором окремо. В спільній роботі [2] автору належить конструкція побудови похідного сагайдака та її вивчення, а також деякі приклади її застосування. В спільній роботі [3] автору належить класифікація всіх незвідних зображень *— алгебри D.Fairlie за умови |<7І = 1.

Список опублікованих робіт наводиться нижче.

Структура І обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, кожен з яких розбитий на два параграфи, і списку літератури з 66 найменувань. Обсяг роботи - 93 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, доценту

С.А.Кругляку за допомогу та постійну увагу до роботи.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться стислий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи за розділами.

В розділі 1 дисертації пропонується метод доведення твердження про *— дикість категорії з інволюцією (або сагайдака, що її породжує). Вводиться конструкція сагайдака Q'a(x і,Х2, , агп) - похідного від сагайдака Q

за стрілкою о в точці (хі,х2,... ,хп). Конструкція похідного сагайдака при-родня для теорії матричних задач. Нехай Т, зображення категорії £(Q), Т

- унітарно еквівалентне йому зображення, тоді Т(а) = UT(a)V, де U і V -унітарні оператори (V = (7*, якщо а = а*). Цими перетвореннями матриця Т(а) може бути діагоналізована. Для кожної стрілки /?, що має спільну точку зі стрілкою а, у відЬовідкості з розбиттям матриці Т(а) на блоки, звичайним чином матриця Т(/3) розіб’ється на блоки Матриці T(j) для стрілок 7, що не мають спільних точок із стрілкою а, і матриці Bij можливо розглядати як матриці зображення нового інволютнвного сагайдака Q'a{xu х2,... ,£„).

Нові співвідношення для сагайдака С}'а виникають природньо із старпх. Конструювання сагайдака <2'а може бути формалізовано, тобто проведено без звернення до зображень сагайдака £?■ Якщо нова система співвідношень виявляється несуперечливою, то казатимемо, що похідний *— сагайдак ()'а із співвідношеннями "існує” в ТОЧЦІ (її, Х2, ... , Х„).

Доводяться теореми 1 і 2 (для випадків а = «* і а з’єднує дві різні точки):

Теорема 1 , 2. Якхцо для *— сагайдака ф існує похідний сагайдак <2'а за стрілкою а в точці (.тьхг,... ,їп), то £((?) >- }С{(}'а).

Теореми 1, 2 дають метол доведення дпкості *— категорій (*— алгебр). А саме, якщо багаторазове застосування до сагайдака ф конструкції похідного сагайдака привело до сагайдака

О. ^ «=«*,/? = /?*>

то *— категорія АГ(<5) - дика.

При доведенні твердження, що деяка категорія К є'дикою, не обов’язково доводити, що категорія К. мажорує категорію £(<32), досить показати, що вона мажорує будь-яку іншу дику категорію. Тому корисно мати якомога більшу "колекцію” диких *— категорій.

В розділі 2 поповнюється список саме таких *— категорій. Будемо називати ансамблем *— сагайдак <Зпхт, що задається наступними матрицями морфізмів (стрілок):

аі аг

Л =

Ьі і*

Ьі «11 «12 • • «1п ві «Іі о;і ••• «ті

ь2 «21 «22 • . «2п . * = ^ “іЗ «22 ••• «т2

Ьт «ті «т2 • ' ап а1п «2» * * «тп

а

ау - стрілка, що прямує з точки а] в точку Сагайдак (дпхп зі співвідношеннями

0

0 0

0 0

називатимемо ансамблем з умовою ортогональності і позначатимемо Ятхпх. Доведені:

Теорема 3 За будь-яких натуральних т і п мас місце мажорувапня кате-

1) ЦЯкхі*-) >- ЦОтхп*), к > 2, І > 2;

2) ЦЯкхІ*-) >“ ЦЯтхп^), к>3.

Теорема 4 Категорія ІС((~}тХпі) - дика тоді і тільки тоді, коли к > 2 і І > 2, або к > 3.

В цьому ж розділі вивчаються зображення *— сагайдаків, що пов’язані з частково впорядкованою множиною Я = {гі, г?,... ,гп} :

горіи

0. "• V

0*0; = О,

якщо г; та порівняні в Я.

Нехай 71(/С, Н) - категорія зображень *— категорії К. в категорії 'Н гілі бертових просторів, 72.(й, "Н) - категорія зображень частково впорядковані множини Я в категорії Н гільбертових просторів.

Доведені:

Теорема 5 . КатегоріїЛ{Я,'Н), еквівалентні.

Теорема 6 . Категорії я), /С(”Ря) - дикі тоді і тільки тоді, коли часті ково впорядкована множина Р. мас або ширину ^ 3 (містить підміїожт з трьох непорівняних елементів), або мас ширину 2 і містить підмножіп

Ц2 = {г1,г2,гз|г1 < г2, Гі і г3, а також гг і гз непорівняні}.

З теорем 3, 4, 6 випливає доведення результату, що був отриманий 1980 році С.А.Кругляком і Ю.С.Самойленко про те, що *— алгебра, яі породжена "трійкою ортопроекторів”, два з яких ортогональні, тобто * алгебра К ) - дика. Наведене в роботі доведення цього факту, напевн простіше за оригінальне.

В § 1 розділу III *— алгебри А з двома самоспряженими твірними кубічним співвідношенням, лінійним за однією з твірних, класифікуються: типами (ручні, дикі). Нехай А = < а,Ь| а = а*, Ь = £>*, Рз{а,Ь) = 0 >, де

Р3(а, Ь) = є{а2, Ь} + *5[а2, і>] + 2раЬа -+ і^[а, Ь] + 2/3{а, Ь} + аЬ,

£,<5, ц,7,/?, а Є К., {а,Ь} = аЬ+Ьа, [а, 6] = аЬ - Ьа, є2 + 52 + [і2 ф 0.

Позначимо через її, /г, /з інваріанти кривої другого порядку

єі2 “І- 2/^5 "І- £5^ 2/?2 2/?з ос = 0

на площині

= (е2-И2)а-2/32(е-р).

є І* (З Із = ц є Р р р а

Доводиться теорема 9, що об’єднує результати теорем 7 і і

Теорема 9 . *— алгебра Л дика лише в наступних випадках:

І. Якщо 8 — 7 = 0, коли

або 1) її > 0, І2> 0, Із < 0; або 2) І2 < 0, Із — 0;

або 3) її > 0, І2 < 0, І3 ф 0; •

або І2 = 0, Із = 0, (3і — аг > 0/ .

або 5) І2 = 0, Із ф 0.

II. Якщо е = ц = (3=а = 0, коли 5 ф 0.

III. Якщо 5(є2 + /і2) ф 0, коли

або 1) г > 0, = 0, 25/3 — £7 = 0, аР — еу2 < 0; .

або 2) р ф 0, 26(3 - (£ + я)7 ф 0, ■

4 /3252(є — ц) + є2ґу2(є + ц) — 4є2(3у5 + 2 аРц2 = 0.

Для випадків, коли алгебра Л ручна, зображення класифікуються.

§ 2 розділу III присвячений класифікації незвідних зображень алгебр Б-РаіНіе з трьома твірними X, У, 2 і співвідношеннями ЧХУ - \УХ = г,

\гу = х-\хг =

В дисертації розглянуті зображення дійсної форми алгебри О.ГаігІіе при |<?| = І, *— структура задана на твірних таким чином: X' = —X, У* = —У, 2’ = -2. .

За зазначених умов ці алгебри *— ізоморфні наступним алгебрам

чуг-\гу = х,

ягх - \хг = г, q є с.

а* = а, (3* = /?, а2/? — 2 сов <р • а0а + (За2 —0 = 0 0 < ір < 7г, /Зга — 2 сов • /?а/3 + а[32 — а =0

Алгебри Л,_р є деформації алгебри Лі групи 50(3) та її кольорового аналогу.

Прч зведенні задачі унітарної класифікації незвідних зображень алгебр А до задачі унітарної класифікації зображень деякого інволютшшого « гаГшака ми користуємось методикою, що розвинута в роботах Ю.М. Бесш лова, Ю.С. Самойленко, B.C. Шульмана (1991 р.) та Ю-С. Самоиленко, В.(

Шулі,мана. Л.Б. Туровської (1996 p.).

' Якщо Т - нмвідне зображення алгебри А-- то власні числа tu і,, і3 ..

оператора Г(а) можуть бути параметризован! наступним чином:

і; =

, 0 <ф<*.

Алгебра А* породжується сагайдаком <2 :

(2: а ^ а'—а'-> Р-Р

зі співвідношеннями алгебри А,. п, и , і ) співпадає з сагайдаком одного з наступні Сагайдак (</а^ьг2,

типів:

і

/Зл,П*У

fin ~

Ж

Надалі незвідні зображення алгебріг А,Р, що породжуються зображеннями сагайдака С)'а

типу І будемо називати зображеннями типу ланцюжка, '

типу II - зображеннями типу ланцюжка з петлею,

типу III - зображеннями типу ланцюжка із двома петлями,

типу ІУ - зображеннями типу циклу. •

Якщо оператори А і В задають зображення Т алгебри А,, то тоді і оператори ±А, ±В також задають зображення алгебри А^- Такі зображення називатимемо "співпадаючими з точністю до знаку”.

В лемах 3 - 7 і теоремах 11, 12, 13 наводиться класифікація незвідних зображепь алгебр Ач, з точністю до унітарної еквівалентності і з точністю до знаку.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. О.В.Багро. Пары самосопряженных операторов, связанных кубическим соотношением // Укр. мат. журнал. - 1995. - т. 47. - С. 600 - 602.

2. О.В.Багро, С.А.Кругляк. Представления инволютивных колчанов и дикие задачи // КВИУС, К. - 1995. - 38 с.

3. О.В.Багро, С.А.Кругляк. Представления алгебр О.РаігІіе // КВИУС, К.

- 1996. - 34 с.

V

Ключові словаі : *— алгебра, *— категорія, *— сагайдак, незвідні зображення, ручні та дикі *— алгебри та *— категорії, самоспряжені оператори, ансамблі, похідний сагайдак, зображення частково впорядкованих множин, напівлінійні співвідношення, кубічні напівлінійні співвідношення, алгебри Б.ГаігІіе.

Багро О.В. Представления некоторых *— алгеОр и *— категории е категории гильбертовых пространств.

Диссертация (рукопись) на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский университет им. Тараса Шевченко, г. Киев, 199G.

Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с представлениями *- алгебр. Предлагается метод доказательства утверждения о дикости *- категории с инволюцией, приводящий к мажорируемой категории. Приводится новая конструкция построения по *— категории К. производной категории ЛС', так, что К У £'а- Техника использования конструкции для изучения представлений применяется к изучению ряда примеров (ансамбли с условием ортогональности, представления частично упорядоченных множеств). Сформулирован критерий дикости для *— алгебр с двумя образующими и кубическим соотношением, линейным по одной из образующих. Классифицированы все неприводимые представления алгебр D.Fairlie в случае \q\ = 1.

Bagro O.V. ”Representations of some *- algebras and *- categories in

Hilbert space’s category”.

A Kandidate of Science thesis Mathematics, speciality 01.01.06 - Algebra and Number Theory, Kiev Taras Shevchenko University, Kiev, 1996.

The thesis is devoted to the study of problems in representation theory of *- algebras. A certain method for proving of the wildness of *- categories with involution has been proposed. For a given *- category fC a new method of construction a derived *— category K.'a such that K. >~ K,'a is introduced. Several examples (orthogonal ansembles, posets representations) using this techniques were considered. A criterion of *- wildness for the pairs of self-adjoint operators, satisfying a cubic, relation, which is linear with respect to the second operator, is given. This criterion is formulated in terms of coefficients of the relation. For

D.Fairlie’s algebras with |q| = 1 all irreducible representations are described.