Изображения инволютивных алгебр и соотношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

національна Академія наук України і 8 ОД інститут математики

^ і - . і , і і ** -.і

На правах рукопису

ТУРОВСЬКА Людмила Броніславівна

ЗОБРАЖЕННЯ ІНВОЛЮТИВНИХ АЛГЕБР ТА СШВВВДНОШБНЬ

01.01.01 —■ математичний аналіо

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня хсаидидата фіоико-математичних наук

Київ — 1996

Дисертацією є рукопис Робота виконала в Інституті математики НАН Україна

Науковий керівник:

професор, доктор фіоико-математичних наук

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефавович *

Офіційні опонтітїі:

професор, доктор фізико-математнчипх наук КЛІМИК Апатопій Уляиович

кандидат фізико-математичних наук КРУГЛЯК Станіслав Аркадійоввч Провідна організація:

Національний університет імені Тараса Шевчепка, м. Київ

Захист відбудеться /£1996 р. о ^ годині на засіданні спеціалізованої ради Д 01.66.01 прп Інституті математики НАН України оа адресою: 252601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ооваиомитнся в бібліотеці інституту

Автореферат розіслано

1996 р.

Вчений секретар

спеціалізованої ради

доктор фіопко-математичішх паук

ГУСАК Д. В,

Л к^у»льшс:ть теми0. Дисертаційна робота належить да одного іо актуальних напрямків функціонального апа-ліоу —■ теорії зображень іітолютпвннх. алгебр. Останнім часом проблеми пітчегшя зображень інволютивинх алгебр. (*-аіігебр) привернули увагу широкого коламатематиків в основному завдяки розвитку теорії квантових груп, к раптових однорідних просторів та їх застосуванням в фізичних моделях'.

*-Алгебршо називається алгебра А над нолем С, палкій визначене відображення (інволюція) * : А —> Л, що задовольняє наступні умови: (аа + 0Ь)* = ао" -4- РЬ*, (аЬ)* = Ь*а*, (а*)* — а для будь-яких а, 6 £ А, а, (і Є С.

Зображенням *-а.лгебри А називається узгоджений з інволюцією гомоморфізм А в *~алгебру Ь(Н) лінійних обмежених операторів, ідо діють в комплексному гільберто-вому просторі Н (або в деяку ілволготивну алгебру необмежених операторів в просторі Н). '

Перші результати з теорії зображень, зокрема зображень інгюлттиптшх алгебр, були отримані в кінці минулого На початку нинішнього століття ФроОеніусом Г., Бернсайдом В., Шуром І., Моліпим Ф.Є.

Відомим, добре вивченим прикладом ^-алгебри є іпво-іиотивна алгебра поліномів А, — С[х] з однією єамоспряже-ііою таіриою х — х*. Кпасичпа. спектральпа теорема для Ьдпого обмеженого (необмеженого) самоспряженого оператора дає розв’язок проблеми унітарної класифікації зображень (“іптегровних” зображень) такої алгебри обме-ікепимл (необмеженими)- операторами.

Теорія зображень іішошотивних алгебр тісно пов’язана

0-теорією упітарпих зобралсепь груп. Зокрема, категорія унітарних зображень дискретної групи Є еквівалентна категорії зображень групової алгебри А — С(<7) з інволюцією f(g)* = /(д~1), / € Л\ теорія «зображень компактної групи

також зводиться до теоріїзображепьїї групоьої ‘¡-алгебри, оскільки будь-яке зображення та::ої групи в комплексному гіяьбер'ґ'овому просторі еквівалентне унітарному; вивчення унітарних зображень груп Лі зводиться до вивчення зображень їх дійсних алгебр Лі, або *-аягебр — їх універсальних обгортуючих. Слід зазначити, що незвідні зображення компактних груп Лі та відповідних •'їм алгебр Лі описуються скіпчєнновнміршшк матрицями, а вивчення унітарних зображень некомпактішх груп Лі, оі'ідпо з ре-^ иупьтатом Дебиера Х.Д. та Меяшеймера О. (1970), потребує вивчення зображень відповідних алгебр Лі необмеженими операторами. Значний внесок в розвиток цього напрямку теорії зображень зробили Нельсон В.(1959), Фяа-то М., Саймон Дж,, Скслман X., Стсрнгсймср Д. (1972).

Подальший розвиток теорії зображень інволютивних алгебр зумовлений виникненням понять квантової групи, квантового однорідцого простору (Дриифельд В.Г. (1986), Джиыбо М. (1986), Воронович С.Л. (1987) та ін.) та застосуванням цих об’єктів в моделях математичної фізики (Скляній Є.К., Решетшгін МЛО., 'Кіхтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. ха ін.), теорії спеціальних функцій (Вілениш І.Я., Клімнк А.У., Курнвіидер Т. таін.), теоріївузлів (Джоне В.), моделях д-квантової механіки та квантової теорії поля (Зуміло В., Весс Дж., Віттен В. та ін.), теорії зображень груп . над скінченними полями (Рсщсгихш Н.Ю., Люстіг Ж.)

Зокрема, значна кількість сучасних робіт присвячена вивченню оображень »-алгебр А, заданих твірними та співвідношеннями, в тому числі квантових груп та алгебр (Кукц Дж., Воронович С.Л., Шыюдген К., Йоргенсен П.Є.Т., Фар-лі Д.Б., Ваксман Л.Л, Соибельман Я.М., ІСлімек С., Ліс-ттевський А. *га ін.). Зображення таких алгебр в алгебру обмежених операторів зводиться до вивчення наборів операторів, пов’язашгх деякими алгебраїчними співвідношеннями, тому можна говоряти'про зображення співвід-

ношень замість зображення *-алгебр. Набори обмежених та необмежених операторів, в тому числі нескінченні набори, які за.довопьпто'гі? різи і иеяіївсьхі співвідношення пивчагш Гордіпг JI., Вайтман А.С. (1954), Гельфанд 1.М., Віпепкіи Н.Я. (1961-), Вергаик А.М., Грасв І.М. (1973-), Еерезаігськпй Ю.М. (1976-), Самоияепко 10.С. (І978-), Кругляк С.А. (1930,1994-), Островськіга B.JI. (1Г83-), Беспалов Ю.М. (1989-) та in. Зазначимо, що вивчення зображень *-алгсбр та співвідношень необмеженими операторами потребує корректного шішіачешш. ^-Алгебри необмежених операторів вивчали Ласпер Г., Пауерс Р.Т. (1971—), Шмгадген К. (1973-) та ін. '

Методи теорії зображень «-алгебр також широко застосовуються для вивчення окремих класів нссамоспряжс-нпх операторів (Хапмош П., Арвесои В., Бушсе Д., Кобурн Л., Персі К., Врнсст Д. та in.)

Основні методи, вивчення зображень t-алгебр та співвідношень київської школи математиків — цс метод “ди-

• «» ft « • ♦ О • • ' II

памічних систем та метод ггашвлшшипх співвідношень , які беруть початок від методу "систем шпримітпвпості’ Малий Ж. (1949-52). Вона базуються на тому, щоб пикета вивчення зображень *-алгебрл до впзчепші дії групп (підгрупи) або деякого іншого відношення па спектрі деякої підалгебря. В роботі ці методи узагальнюються па більш шпрохзз клас *-алгебр та співвідношень. За допомогою розвинутої техткы вивчаються зображення важливих прикладів математичної фізика: нестандартної дійсної тривимірної квантової сфери, дшенях форм квантової алгебрд Uq{sl{3)), ді&сппх форм алгебри Фарлі та ін. Методи теорії ¡зображень застосовані до вивчення структура деятроватшх операторів.

, Мета роботи. •

& ВзздЬгасш нові природні з точка зору теорії зображень класи «-алгебр. Дня нях розвинутії методи до-

З

слідження зображень обмеженими та необмеженими операторами.

в Вивчити структуру операторів, які пов'язані шшіо-лінішіими співвідношеннями та іи., в “ручному” випадку окисати цезвідні ■зображення, довести струк-туриі теореми і т.п. <

& Застосувати розвинуті методи до пипчелня зображень конкретних важливих в математичній фіоиці *-алгебр.

Методика досліджень. У роботі використовуїоться методи теорії лінійних самосиряженцх та иесамоспряжешіх, обмежених та необмежених операторів в г'ільбертовому просторі , теорії операторная =»-алгсбр, теорії зображень, зокрема методи “динамічних систем” та “цапівшнійннх спіювідцоїаеиь”.

І-Іаукопд іютшни роботи. У роботі отримано такі основні результати:

с вивчена структура сім’ї комутуючих самоспряжсиих операторів А = (Л0)ара та сім’ї 117 = (І/^кг-к комутуючих центрованих часткових іоометрій в гільберто-вому просторі, пов’язашіх СШВВІДІІОШСНПЯМЕ Ааі/к ~ наведені достатні умови, що забезпечують простоту спектра А в незвідцому зображенні; при цій умові описані всі незвідні зображення о точністю до унітарної еквівалентності; ' ,

о доведено, що вивчення структури обмежених операторів, які задовольняють напівліційні покіцоміальні оиіва співвідношення, зводиться до вивчення структури зображень “динамічних' співвідношень”; виділені та вивчені умови спряження на оператори, для

яких можна описати псі незвідш зображення нані-плінійного співвідношення; вивчені оображення таких співвідношень необмеженими операторами; доведено, що задача опису незвідних зображень при додаткових умовах спряження зводиться до опису орбіт динамічної системи;

о вивчені незвідні зображення нестандартної тривимірної дійсної квантової сфери;

а описані неовідпі зображення обмеженими та необмеженим п операторами дійсних: форм квантової алгебри ия(вІ(3)): 5«,г(3); »«,(2,1); $«,(1,1,1); 9ІЧ(3,Ш), А$ при д > 0;

& наведена класифікація (ручні — Дикі) алгебр з двома самоспряжешши твірними та кубічним нанівліиійннм неоднорідним співвідношенням; вивчена структура зображень *-алгебр, породжених парою самоснряже-пих твірних та парою кубічних співвідношень, одне з яких напіилініГте; для таких ручних алгебр розвинуто метод опису всіх зображень;

в класифіковані всі пезвідпі унітарно пеехвівалентні оо-браженпя обмеженими та необмежеиими операторами двох дпїсішх форм алгебри Фарлі та співвідношень Серра.

Практична цінність. Отримані результати мають теоретичний характер і можуть опайтн оастосуваппя дая подальшого розвитку теорії операторипх «-алгебр та їх ¡зображень, до вивчення класів операторів о гільбертовоьіу просторі, дов’язаякх співвідношеннями, до побудова та мочення квантово-механічних моделей на основі систем операторів, пов'яоаннх співвідношеннями, в теорії д-спе-аіальпп* функцій. ■

Апробація роботи. Осповні результати дисертації доповідались на:

І

— засіданнях семіпару з алгебраїчних методів в функ-

ціональному аналізі відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівники семінару, — академік Ю. М. Верезаиський, професор JO. С. Самойленко), семінару о теорії зображень при кафедрі алгебри та математичної липки Національного університету імені Т. Шевченка (керівник семіпару — професор Ю.А. Дрозд), семінару відділу математичних методів в теоретичній фізиці Інституту теоретичної фізики НАН України ім. М,М. Боголіо-бова (керівник семінару — професор А. У. Клімик)

— Всеукраїнській конференції молодих вчених (Київ, тра-

вень 1994 р. );

— міжнародній математичній школі “Кримська осіння шко-

ла-сштозіулі з спектральних і еволюційних задач.” (Україна, Ласпі, вересень 1994 р. );

— міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Math-

ematical Physicd’ (Київ, липень 1995 p. );

— міжнародній конференції “Quantum Groups and Quan-

tum Spaces/" (Варшава, листопад 1995 p. )

Публікації. По темі дисертації опубліковано 9 робіт, чотири о яких виконані самостійно. Винесені на захист результати належать автору. В роботах {4, 8], написаних

о B.JI. Островськнм, автору дисертації належать результати, пов’язані з частковими центрованими ізометріями та обчислення прикладу; в роботах [5, 9], написаних з па-уковим керівником та B.C. Шульманом, автору належать результати, пов'язані а напівлінійшши поліноміальшши зліва співвідношеннями та зображеннями необмеженими

б

операторами; в роботі [2], ланнсапої о науковим керівником, автору належать основні результати, пов’язані о ме-' тодами досліджень та вивченням зображень алгебри Фариі. Роботи [1, 3, б, 7] написані самостійно.

Список опублікованих робіт наводиться нижче.

Структура тп обсяг роботи. Робота складається зі вст'упу, чотирьох розділів та списку літератури, що містить найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ •

У вступі обґрунтовано актуальність і важливість питань, що розглядаються в дисертації, проведено стислішії огляд близьких за напрямком робіт, сформульована мета досліджень та їх Новизна, викладено зміст за розділами, Опишемо коротко зміст роботії. Нехай Л — *-алгебра, яка породжена твірними «і,..., а^, а},...,а* та співвідношеннями

=0, г — 1,... ,гп, (1)

де Рі — поліпоми о комплексними коефіцієнтами від неко-мутуючих омішшх «і,..., оп> «ї,..., о*. Інакше кажу чи, Л

— це фактор-алгебра вільної *-алгебри з твірппма аі,..., ап, а|,...,а* по двосторонньому ^-ідеалу, породженому

(1). Будь-яке зображення яг «-алгебри Л в алгебру обмежених операторів визначається єдиним чипом зображеннями її твірних, операторами А\ = тг(аі),..., Ап = п(ап), які задовольняють співвідношення (1). Набір операторів (і4і, ..., Лп) будемо називати зображенням співвідношень

(1). В застосуваннях важливо знати зображення багатьох -¡--алгебр та співвідношеппь не кише обмеженими, але а пе-обмежепамз операторами, Прикладом такої алгебри є алгебра канонічних комутаційних співвідношень С < р —

р”)? — <Ґ І [Рі<?] — 1 >• Відомо, що ця алгебра взагалі не має зображень обмеженими операторами. Вивчити всі зображення необмеженими операторами задача досить складна навіть у випадку комутативної алгебри С^ь^зЗ-Тому вивчають важливі, зокрема у застосуваннях, класи зображень необмеженими операторами. В теорії алгебр Лі виділено' клас інтегровішх зображень, які продовжуються до зображення відповідної групи Лі. Зображення необмеженими операторами деяких класів * алгебр та співвідношень, які с аналогами інтегришшх, вивчали Березал-ський Ю.М., Островськнй В.Л., Саыонлснко Ю.С. (1988-), Шмюдген К.(1989-), Воронович С.Л., Пут Б. (1989-) та ін.

Розділ І присвячений «=-алгєбрам та співвідношенням, внвчашя яких зводиться до вивчення багатовимірних динамічнім систем. Виділені класи такпх «-алгебр та розвинуті методи дослідження їх зображень. Вивчена структура класів комутуючих центрованих ізометрій.

Нехай II — сспарабельннй гільбертів простір. Оператор Т Є Ь(Я) називається центрованим, якщо послідовність

..., т2(г4)а, тт\т*т, {тут9...

послідовність комутуючих самоспряженнх операторів. В §1 вивчаються набори центрованих часткових ізометрій и = [иь)™= і, які зв’язані з сім’сю комутуючих самоспря-жених операторів А = і між собою співвідношен-

нями виду:

А№ = еш ¡(А), (2)

[^,£01 = 0, [^,£71 = 0, і -ф 3)

де Ркі : І£п К1 — вимірні функції, а і^і(А) — функція від комутуючих самоснряженЕх операторів Аі,..., Ап. Будемо говорити, тцо необмежені оператори (А(¡) пов’язані

о операторами (Уг) співвідношеннями (2), якщо

^(Д)^ = и1ЕА(Е;х(А))> Д Є ®(К"),

де Еа{ ) — сумісний розклад одиниці комутуючого набору самоспряжепих операторів А = (vi.^та

F( = (1ри, • • • > Fn¡), 1 < І < пї,

— вимірні відображення Ж" ч- Ж", взаємно однозначні на сумісному спектрі сім’ї А.

Істотну роль при вивченні таких наборів операторів відіграє дппамічг/а система, породжена відображеннями F¡, 1 < І < т.

Теорема 1.1.1. Нехай динамічна система на Кп, породжена набором відображень Fj, 1 < І < гл, ма'є вимірний переріз (“проста”) і жодне о відображень не має цнкпів. Тоді для будь-якого незвідного набору операторів

1) існує єдина орбіта динамічної системи ії повної спектральної міри: = І;

2) якщокегС// = {0}, то спектральна міра, сім’ї А кв&зіін-

варіантна відносно перетворень 1 < І < т; у ви-

падку унітарного оператора U¡ має місце також квазіін-варіантність відносно Ff1 (•);

3) сумісний спектр сім’ї А простий.

Коли оператори U¡ унітарні, то твердження про простоту спектра справедливе також у тому випадку, коли динамічна система, має дякли. Якщо існує борелівська міра, кваоіІнваріантиа та ергодична відносно перетворепь F¡,

І — 1,...,п, яка не зосереджена па орбіті (неатомічиа), то існують фактор зображення співвідношень (2) не типу 1. Б цьому випадку є пеовідні зображення о однорідним сумісппм спектром А будь-якої кратпості. Якщо викопуються умови теоремп 1.1.1, то теорема 1.1.2 дає опас всіх пезвіднах наборів (A, U, U*), де U* = (^*)*=г-

Теорема 1.1.2 Неувідьнй набір операторів (A, U, U* ) реалізується в просторі ffc Э fio Э x = (і»,.. .,xn) —

деяка, підмножіта орбіти 0, (у випадку унітарних операторів (!/*)£*_}, П0 = Я) формулами

Аквс = г, УіЄї = «((х)^*),

де »¡(х) — набір констант, які визначають дію оператора !/;• Якщо дііи деякого Д С П та, для всіх І = 1,... ,т

иі(х) =0 Ул: € А : Рі(х) $ Л,

(зс)) =0 Ух є А : *71(Х) £ А,

то Ь(А) — інваріантний простір в /з(0). Якщо додатково ь/(х) ф 0 Ух Є А : ГДх) Є А, то в із(А) набір операторів (Л, и) неовідкна. '

Задача опису всіх незвідних наборів, які задовольняють

(2), пишається ручною при більш слабких умовах на динамічну систему, які вивчаються в дисертації. При т — 1 справедлива паступиа теорема.

Теорема 1.1.3 Набір (А, II, СГ*), що задовольняє (2), не-звідішй тоді і тільки тоді, коли пара (її, II*} незвідпа.

Центровані часткові ізометрії вивчались в роботах Мулі С., Мореля Б. (1974), зокрема в них описані всінезвідпі пари (и, и*). Далі в §2 вивчається клас необмежених цен-хришшйх операторів. Нехай. Т — замкнений оператор. Припустимо, що для будь-якого & Є N оператори Тк щільно визначені. Позначимо Ак = Тк(Т*)к, І?* = (Т*)кТк.

Будемо говорити, що необмежений оператор Т — центрований, якщо для будь-якої пари операторів набору (А, В)=((Л*), (*,■)), к,з Є М комутують в сегсі розкладу одиниці.

ТЬерджешш 1.2.1 Нехай Т — центрований оператор, Т — ІІу/ВЇ—полярвнй розклад оператора Т, Ва,ь(', ■) —сумісний розклад одиниці сім’ї комутуючих самоспряжених опе-

раторів (А, В). Тоді

Ил,в(Л)Г/ = иПл>п(Р-'(А)),

Хі ф 0

х\ = 0

.Оператор и — центрований.

З тверд;кспня»І.2.1. та результату Пирятинської 0,10. (1995) випливає, що *-алгебра, породжена Т, 1" Є Ь(Н), не с дикою, якщо оператор Т центрований (озцачеппя дикої »-алгебри див. в роботі Пирятинської О.Ю. та Самоіі-лсико Ю.С.(1995)). Але існує фактор-зображепия пс типу

ІІрн умові кегТикег Т* ф {0} описані всі пезвідні пари (Т, Т*) (теорема І.2.2.).

В §3 вивчається клас інволютивпих алгебр В, породне них твірними Ьі, пов'язаних співвідношеннями

Будемо говорити, що замкнені оператори (В(¡) визначають зображення В, якщо існує щільна, інваріантна відносно операторів Вк множина Ф С Н така, що Ф складається з аналітичних векторів длл операторів В^В^, та Вьіф = Вк,

Нехай Вь = С^ІІк — поллрннй розклад замкпепнх операторів Вк. В дисертації доведено, що сім’я С = (С/,)

— це сім’я комутуючих самоспряженпх операторів (оператори комутують в сенсі розкладу одиниці), и = (£/*) — Де набір центрованих часткових ізометрій, яаі пов’язапі спів-

I.

• (3)

\ffit 1*ік ^ ^ Зі ^ ^

ВЦ:, = ВІ 1 <к<п.

відношеннями (2) (лема 1.3.1.). Використовуючи результати §1, в дисертації описані всі незвідлі зображення таких Ф-алгебр при умові, що відповідна динамічна система мас вимірний переріз.

За допомогою розвинутої техніки в §4 вивчаються зображення алгебри функцій на нестандартній тривимірній дійсній хваптовій сфері, яка. є асоціативною ^-алгеброю, породженою твірними х, у, и, V, с, <1 та сніввідиошеннями:

их — qxu, ьх — дхь, уи — диу, уи = дг»у, к« — иу — [д — д~1)(і) ху — = ух — дьи = с + (І,

сіх — д7х(1, сіу і= д2У(1, исі = д2(1и, усі = д2А/,

елемент с центральний, а інволюція мас вигляд х* — у, и* = —д~1у, с* — с, (і* — В роботі описані всі не-звідні зображення. Зокрема показано, що існує серія дво-иараыетричяих одновимірних зображень, дві серії двопа-раметричних нескшчепновимірних зображень в /г(М) та І2ІЩ, дві серії двопараметричних нескінченновимірних зображень в х Е), дві серії серії однопараметрлчшіх лс-скіичеішовнмірних зображень в ія(№ х К).

В II розділі досліджуються зображення напівлінішшх співвідношень набори, взагалі кажучи необмежених операторів, А = (Лі)’к% (Л* = А\, \Лк,Аі\ = 0, 1 <к,1< т), В = (Вк)ь~і, які пов’язані співвідношеннями

Елл Л)Д^,(А) = Ь,(А), ¡ = 1.», (4)

де /*,(А), 5*,(А), /»¿(А) — комплексні борелівські функції від комутуючого набору самоспряжеїшх ;ператорів А.

Пари обмежених операторів (А ~ А*, В), які задовольняють напівліпіине співвідношення, вивчали Беспалов Ю.М., Самойленко Ю.С., Шульман В.С. (1991). В §1 розділу дається огттд отриманих ними результатів.

В §2 вивчається спеціальний клас иапівліпшпих співвід-пошепь — поліноміальпі зліва співвідношення:

П

, "¿Г А*Вак(А) = 0, (5)

к=1

де «(;(•) — вимірні обмежені функції. Нехай А — А*, В Є Ь(Н). З співвідношенням (5) пов’язапі характеристична функція Ф(і, з) = = 0} та характери-

стичне бінарне відношення Г = {(£, у) Є | Ф(і, =■ 0}. Доводиться, що існують такі вимірні обмежені функції і**,

1 < к < я, що Г ~ {(/'’¿(і), г?) І 1 < і < п} Гі К2. Можна вважати, що ^(«/(Л)) С К, ^(Х) ф Р](А) майже всюде відносно спектральної міри оператора А. В роботі доведено, що вивчення зображень сиіввідношелял (5) обмеженими операторами зводиться до вивчення сім’ї операторів, які пов’язані "динамічними співвідношеннями":

. А В, = В-к {А), 1 <г<п. (б)

Теорема II.2,1 Для будь-якого зображення (Л, В) співвідношення (5) існують оператори В\,..., Вп такі, що АВь — ВкГк(А), к = 1 та В = ]£"=і В^. Навпаки, для

Пі,..., Вп, які задовольняють (6), пара (Л, Х)"=і В(-,) визтта-чає ображення (5). Набір операторів (В\,..., Вп) визначається ЄДИНИМ чипом, якщо виконується умова

ВкВл(и^{\ |>4(А) = ВД}) =0.

о

Зображення [А, і/, В*) иезвідпе тоді і тільки тоді, коли зображенім (Л, В\,... , Вп,В{,..., В*) пєзпідне.

Звідси та результату Верезанського Ю.М., Самойлеи-ка 10,С., Островського В.Л, (1988) випливає, що існує комутативна модель для операторів А, В, які’задовольняють

співвідношеная (5). Комутативна модель дас вигляд оператора В в просторі Фур’є-образів самоспряженого оператора А.

Коли па оператори А, В не накладено ніяких додаткових умов, то задача опису всіх зображень иапівліпіішого сиівввідношеїшя містить в собі як підзадачу задачу Опису пари самоспряжеїшх операторів без співвідношень (•'Дкс. Бесиалов Ю.М., Самоішепко Ю.С., Шульман B.C. (1991)), як тільки Г ф 0 або Г — {(¿о^оЖ $о Є В, /0 ^ $й-В роботі ттчж'хьиі лізтииші ш;і додаткові умови поташі задовольняти оператори, щоб задача опису зображень на-яівяшіїшого співвідношення була “ручною”. У випадку, коли В — самоснряжении, питания про “ручність” задачі вирішується досить просто. Умова унітарності В* = В~г вже більш складна. Такі скінчепновішірш зображення вивчав Беспалов Ю.М. (1991).

В роботі вивчаються поліноміальиі зліва співвідношення в класі таких операторів:

1) •

2 фк{Л)Вдк{А)Вч>к{А) = ЦА), ■ В ~ В\ (7)

к . '

де фь, дк, ipk> h — обмежені бореиіпські функції;

2)

' '£фЦА)ВдЦА)В'фЦЛ) +

• к .

= ЦА), (а)

А

£йИ)ВїКл)вйИ) = о.

й , .

де ф\, ф\,Ь — обмежені борелівські функції.

н

Описані умови па фупкції Р^, при яких задача класифікації зображень зводиться до опису набору комутуючих самоспряжених операторів та пабору цептровапих часткових ізометрій, які пов’язані співвідношеннями (2) (теорема II.2.1, твердження ІІ.2.1-ІІ.2.3). Зазначимо, що вибір додаткових умов обумовлюється прагненням вивчити зображення класів *-алгебр, що корисні у застосуваннях.

В §3 розділу вивчаються зображення необмеженими операторами папівлінійних співвідношень виду:

£д(А)Вд*(А) = 0, (9)

к

де Е* /*(*Ы*) = (Оі(і) - іЗД)*1 ... (От(і) - 2ЗД)*- ,

кі Є Н, С?і, Р, :Ж -> Ж. Зображення дшгамічпих співвідпо-хпень виду ЛВ — ВР(А)> де Р : Е -+ ІК вивчали Самонлеп-ко Ю.С., Островський В.Л. (1987-1993).

Будемо говорлти, що Л, В — зображення (9), якщо

2 їк{А)Вдк(А)ір = 0, ір Є Ф, к '

де Ф — птільпа, іиварідптпа підпог.по операторіп <^¿(>4), і'і(Л), В, В*, Ел(Д), А Є 25(Ж), множила, яка складається

з векторів, обмежеппх для Л, Оі(А), Рі(А), і = 1,..., п, і є базою для В, В*.

Теорйма ІІ.З.З. Наступні умови еквівалептпі:

1) А, В — зображення (9) па Ф;

2) Ел(а)ВЕл(іЗ)<р = 0 для будь-яких <р Є Ф, а, Р Є 33(Е),« х /З П Г = 0, де

г =•{(<, .5) І (Оф) - ед) •• • (от(і) - Вд) = 0}.

Якщо Оі(і) = і і Б (В), Б {В*) Э Я(А,Р{(А)) (Я4(Л, Рі(&)) — множина обмежених векторів для операторів А,

^(Л)), то справедлива теорема, аналогічна теоремі П.2.1., про розклад оператора В на суму операторів Ві, які задовольняють співвідношення виду АВ& ~ ВіРі(А)ір, у? Є Ф (теорема 11.3.4.). Якщо оператори А, В додатково задо-польшіють співвідношення (7) або (8) (операторпі рівності справедливі на множині Ф), то як і в випадку, коли оператори Ау В обмежені, при умовах описаних в ІІ.1 задача опису пезвідних зображень (А, В) зводиться до вивчення орбіт багатовимірної динамічної системи (теорема 11,3.б.), Встановлені результати лишаються справедливими у випадку, коля замість одного самоспрялсеного оператора маємо сім'ю комутуючих самоспряженнх операторів, які задовольняють систему нашвлішйнпх співвідношень:

X) Я (А)ВУІ (А) = °> І " !> • • •» у.

к

таких, що відповідне характеристичне бінарне підношення має вигляд

г = {(«,5) є іг х к" І ]Г ШЫМ = 0} =

' к

= {(Р^),г»)|»ЄКп,.- = 1,...,п},

деГі = (і=1а,...,і?.п):Кп->КП. _

В роботі також наведені узагальнення результатів Беспалова Ю.М., Самойленка Ю.С., Шупьмана В.С.(1991) на випадок, коли наборі! операторів А = (-А*)£=1, В = (Вк)™-г оадовояьняють (4). Коли напівлінійкс співвідношення полі-номіальпе, то в роботі Беспапова Ю.М., Самойленк^Ю.С., ШульмалаВ.С. наведена необхідна та достатня умова, коли пара (Л, В) є зображенням такого співвідношення. Ця умова порушується для зображень (А = ¿Л*)^, В) прц п > 3. В роботі наведено контрприклад. „

В III розділі вивчаються «-зображення квантової алгебри С/е(«і(3)), д Є С\ {0,±1}, яка породжена твірними ¿¡,

/с,- 1, Хг , Y,, і — І,2, та співпідпоіяегшішгї:

[*!,**] = о, = =

= ?*■'*<У, = «Г“” Yyfc., (ю)

(ii)

У У

*1% - (g + q-^XiXjX, + XjXf = О,* 5É і,

v;2Y; -(?+<? ’)w; + у,у,2 = o,^ у,

(12)

■де

а„ = ( “У2* « * У and * .{*• * " І

1 І 1, » = З І 1» * = J

Алгебри U4(sl(3)) та, £7? i(si(3)) ізоморфні. Нехай i = g1/2

Тнерджеїшя 111.1.1 Існує шість дійсних форм алгебри Uq(sl(3)) J

Ai: кГ= kh Х( = у;-, t € J&; А; = ¿f1, ? Є ^

А2: /г* = /ть А7 = -П, XÎ = -У2, t Є Ж; А* = ft,"1,

f Є Т5- .

Аз: fc* = X* = -У„ і Є Ж; к* = A"1, g Є Т;

А*: = Vі, х; = Х„ у; = У„ t є Е; К = g Є Т;

As: = А,- \ X? = Xit Y* = У„ s' ф j, t Є Ж; А? = А„

7 Є T, t ^ j;

A«» A* = kj, X? = У,, і Ф j, £ Є К; А? = А-'1, і ф j, Ч Є ТГ;

де Т = {> Є С | |z| = 1}.

*-Алгебр« Аі, Аз, Аз ізоморфні при <7 Є Т. Схітешіошшірпі зображення Uq (si(3)), які еітівалептпі зображенням Ai (sa,(3)) і є аналогами класичних, вивчав Джішбо М. (1986); модулі Харнш-Чапдра Аг (su4{2,1.)), q Є К вивчали Гроза В.А., Клімик А.У. (1989); зображення A4 (Д7(3,М)), q К, описані ВайслебомБ.Є. (1992).

В роботі вивчають«! зображення цих та інших +-ангебр, використовуючі? технік}' папів ліній них співвідношень, яка розвинута в попередньому розділі. Зокрема, описані всі неовідні зображення Аг (su?(3)), q Є KU Т (теореми Ш.2.1, ІІІ.2.2):. всі пезвідні зображення скіниепповішірні; в теоремах ІП.3.1, III.4.1, 1ІІ.5.1 дана класифікація зображень А2 (sü?(2, 1)), А3 (зия(і, 1,1)), А4 (s/«j(3,Ж)), As, q Є ¡К-відповідно: всі незвідні зображення або скалярні або нескін-чешювимірні з необмеженими операторами.

В §1 роиділу IV *-аигсОри .4, породжені двома самос-пряженими твірними та кубічним напівлінійшш неоднорід-шім співвідношенням, класифікуються тинами (ручні, дикі). Така класифікація дала для кубічних однорідних співвідношень Багро О.В. (1995).

Згідно з результатами ВеспаловаЮ.М, Самойяенка Ю.С. та Шульмана B.C. (1991) вивчення зображень неоднорідного напівяініішого співвідношення можна звести до вивчення відповідного йому однорідного. Але гірк цьому, якщо (А = А* В) — обмежене зображення нанівліншного співвідношення ^2k fk{A)Bgy.[A) = h{A), то

{« € а(А) j = 0} С {t Є ог(Л) = 0}.

к ... "

Тому випинають випадки, що *-алгебра Л — С < а = a*,b — Ь* J р{а,Ь) = д(а) > ручна, де р{-, •) — кубічне співвідношення, лінійне по b, р(а,Ьу = p(a,b), q(-) — поліном третього степеня з дійснішії коефіцієнтами, а. вже ’t-алгебра В = С < а — а*, Ь = b* J р(а,Ь) = 0 > дика. В теоремі 4.1 класифіковані типами (ручні, дикі) *-етгебри А. Якщо ^-алгебра А не є дикою, то всі її пезвідні зображення одновимірні або двовимірні.

§2 присвячений внпчеишо структури оямежепкк та необмежених самоспряжешіх операторів, які пов’язані двома

кубічними співвідношеннями, одне о яких напівлініїше: R3{A,B) = аВ + Р{Л,В} -Ь є{Л2,В} + ^ЛВА

+ ЩЛ',В] + І[Л2] В] + Р31 (А) = 0, (13)

> г

. Q3{A,B)=€l{B2>A} -^>iBAB+5-^[B7>A] + pl{AtB}

І

+ В] Ра(В) + +Гз{^12,5} + і

+И2АВА + -[А2, В] + Р*{А) = 0, (14)

&

де [х, у] = ху-ух, {х,у} - ху + ух, a, /?, 7, е, /і, S, /?і, 7Ь с„ /І,, <5, Є Ж, І = 1,2, 1^2{х) = С\Х2 -J- С2-Т + Сз, /J3 — поліноми тертього степеня з дійсними коефіцієнтами.

Якщо ці = Єї = сі = 5і = 0, то співвідношення (14) папівліігійнс, і задача класифікації (ручні, дикі) співвідношень та опису всіх її пезвідпих зображень зводиться до класифікації та опису пезвідштх зображень системи напі-шііншітх співвідношень (теорема IV.2.1).

Нехай є ф 0, єх ф 0, ¡її + 2(1 -}- = 0, с\ — 0, <Si =

(5 = 7 = 0. Покладемо v = —1 — р/2е, к = (а + f}2¡2v)e. При таких умовах на коефіцієнти структура операторів А, В залежить від значень параметрів v та к, якщо и ф 0, та значения /9, якщо v — U. Для того, щоб розрізняти їх, будемо говорити про співвідношення типу (^,к), якщо v ф 0’та (0,/?), якщо v = 0. При умові « > 0, або к < 0 та [і> + 1} > 1, або к < 0, \v + 1¡ < 1 та arcco8(i' + 1) Є ?rQ справедливий наступний результат

Теореми 1V.2.2-IV.2.1G *-йлгебра Л =< а = a*,¿> = 6* | Вз{а,Ь) = 0, <?з(а,Ь) = 0 > — ручна

Розвинуто метод, за допомогою якого молена описати всі її незвідні зображопня (А, В) (обмежепі та пеобме-жепі): вивчення їх зводиться або до вивчення орбіт динамічної системи або до вивчення незвідних нар самоспря-

жеикх операторів, які ков’яааш квадратичними сшввідяо-шєшіяші. Останні вивчадк Сакойвенко ІО.С. та Остров-ський В.Л. (1989). У випадку, шик аіссоз(1 -4- &►) ^ гг% вивчені лише зображення, при умові, що спектр оператора А дискретний. Теорема IV .2.11 дас класифікацію ие-овіднпх зобракеаі» асгебри А ери умові, що 5 ф 0. В теоремі І У. 2.12 Енасгфїкухотьєя типами (ручні, дикі) *-алгебри тішу

*4 = <С< а,.Ь {; аЬа — ¿?а3 + «¿<з2 -і* га, (¿з(а, 6) — 0 >,

Р,Я,т Є К, Гі4-;ії + Сі+^і ф 0. Дім випадків, коли ^-алгебра А — ручка описан® пезтдш зобрг;кепші. їх розмірності не перевищують 4.

В' §3 розділу за допомотохо' розвинутої техніки вивчаються «-зображення деформації; алгебри Лі зо{3): зображення «-алгебр /іїіР, які породкемі екеыенташз «і = о“, а? = аХ та сіішшпдношеїшнми

[в1,1о1,а2],]ч-1 = ра2, (15)

( |а2,їа2,Оі]?]гі =/лаг,

де [х/уі! - ху - дух, д Є К и Т, д ф 0, ц Є К, Т — одиничне шот. Алгебри АЧіц та Лгд при ц > 0, та А?,-! при /и < 0, ізоморфні, тому можна вважати, що д приймає значення 0, ±1. Лрк /¿ = 5 = 1, *-алгебра співпадає з універсальною обгортуючою алгеброю ї/(йо(3)), при /і = ~д — 1 — з універсального обгортуючою кольорового аналогу алгебри Лі $о\3).

Алгебра без інволюції з генераторами аі, аг, яи задовольняють (9), при д = —1 була визначена Фариі (1991) як д-аналог алгебри Лі 9о(3). »-Алгебри Л^д, Л^-і є її дійсними формами. В теоремах ТУ.3.2-Ш.3.6 находиться класифікація незвідннх зображень цих «-аягебр з точпістй до унітарної еквівалентності.

При q £ Ж \ {0) псі незвідні зображення Л7іі — скіи-чешюнимірпі і г аналогами класичних незвідних зобра-жеш. алгебри so(3) при <у > 0, та аналогами незвідних зображень колі,ороппї алгебри sojr (3). Зображення останні. ої »почали Городній М.Ф. ІІодколзіп Г.Б.(1984). Якщо |д| = 1, то слід розрізняти ни падки коли arccos Є тг©

і arccos ^ - (j: ;rQ. У другому випадку задача унітар-

ної класифікації зображень розв’язана лише у випадку, коли спектр оператора А дискретний. Зазначимо, що ири j»y| = 1 пипикшоть зображення, які не мають аналогій ;и серед зображень so(3), пі серед зображень ьидг(3). Крім того, існують такі серії зображень, що ири q —> ±1 норми операторів Лі, Лі прямують на нескінченність.

Всі зображення алгебри /і7і з, за винятком одновнмір-?шх, нсобмсжспі (теорема IV.3.6). Теорема IV.3.3 дає опис незвідних зображень співвідношень Серра для квантової *-алгебри slq(3,lii),

І розділ базусться на результатах робіт [4, 8]. В II розділі результат;! робіт [3, 5, 9]. В III розділі викладені та доповнені результат:! робіт {6, 7]. Основні результати IV розділу отримані п роботах [і, 2].

У висновках коротко сформульовані результати дисертаційної роботи:

1) вивчена структура комутуючих самоспряжепих операторів та комутуючих центрованих часткових ізометрій, пов’язаних дішамічнпмн'співвідношеннями, досліджепі умо-ші простоти сумісного спектру набору самоспряжепих операторів в незвідпому зображенні та умови ручності -»-алгебри породженої цими операторами; для ручних алгебр описані незвідні зображення о точністю до унітарної еквівалентності;

2) вивчені необмежені центровані оператори: побудо-

вака комутативна модель, при укош, що центрований оператор Т або спршхсшш до нього Т* має ядро описані всі кезвідпі нари (Г, Т*).

3) доведено, що ішпчєшія структури обмежених операторів, які оадоволишюзд ішзішшшші йоліиоміальпі зліва співвідношення, ойодйтьсз до вивчення структурі! зображень “дпламгеиах співвідношень”;

4) встановлені умови, /гри яких можна описати всі не-овідиі зображення напівлінійного співвідношення; вивчені иобр*шеиіАіі 'тлжіїл сшииідношель ииобмежеишдн операторами; довед&зо, що задача оішеу нсовідних ¡зображень при додаткових углосак зводиться до оавсу орбіт динамічної система;

5) вев^сез сеоаідаі ообраассвва всегацдартної тривимірної дійсної квантової сфери;

6) описані исозїдіїї зображення обмеженими та необ-

меженими операторами дійсншс форм квантової алгебрі: ич(зІ{3)): вв„(3); 5В,(2,1); зов(1,1,1); ь'^(3,Ш), Лц при д>0; ^ •

7) класифіковані (ручш — дахз) алгебра о двог^а са-мосирижеиими ’і'шриймп та кубічшш ашіішіішішіш иаод-порідшш співвідношенням;

8) вивчена структура зображень ^-алгебр, вородасзгах парою самоспряжених твірних та нарою кубічних співвідношень, одне о яких напівліційнс; для ручних алгебр розвинуто метод опису всіх зображень;

9) описані нєзвідш унітарно нееквівалентні зображення йеск дійсних форгг алгебри Фарлі та співвідношень Серра.

Автор висловлює глибоку подяку своєму науковому керівникові, професору Юрію Стефановичу Самойленку оа постійну підтримку, допомогу та увагу до роботи.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

[1] Туровская JIB. Представления одного класса *-алгебр с тремя образующими // Применение методов функционального анализа в математической физике, — Киев: Ип-т математики АН УССР, 1991. — С. 100109.

[2] Samoïlenko Yu.S., Turovskaya L.B., On »-representations of semilinear relations } j Methods of functional analysis in problems of Math. Phys, — Kiev: Inst. Math. Acad. Sci. Ukraine, 1992. — P. 97 - 108.

[3] Туровская Л.Б., Мпогомерпые динамические системы и * - п р од г. т ап л г і п т f гг графов // Пратті Всеукраїнської конференції молодих вчених. Ч.і, — 1994. — С.22 -36.

[4] Островский В.Л., Туровская Л.В., Представления *-алгебр н многомерные динамические системы // Укр. мат. жури. — 1995. — 47, N4. — С. 488 - 497.

[5] Samoïlenko Yu.S., Shuî’man V.S., Turovskaya L.B., Semilinear relations and their «-representations// Preprint, Uiiiversilat, Augsbuiy, 1995. — 58 p.

[G] Turovíikaya L.H., Representations of some real forms of Vf(nl(3)) jj Algebra, Group» anti Georncti ios, no.12, 1095. P.321 338.

[7] Turovskaya L.B., ^-Representation« of quantum algebra U,j(sl(3)) //Journal Non. Math. i'liys,, И, no.Ü/l, 19%. --- P.39(i 401.

[«J 0,‘ii гоу.чкн V. і,., Tiirovfikviya L H , On unbounded con 1,erf I UpClatuIb // Illtcriuitiullitl Wtílksbíjp oil Oprlátuí Tillí-ory and Aplicalions, Book of Abstracts, 1995. - P.54-55.

[9] Sarnoilcnko Yu.S., Sliul’rnan V.S., Turovskaya L.B., SemiUiiear relations arid tlieir *-iepre.4entations// Moth. Furic.Anal. and Topol., 2, 199G. --- P.

Туроіїска.я Л.Б. “Предстаїшчіия шшояютишіих алгебр и соотношений”. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук носпециадьцостЕ 01.01.01 —математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

Диссертация посвящена изучению предстаилешш *-ал-гебр и соотношений. Разлиты методы исследования представлений полулинейных полиномиальных слева соотношений ограниченными и неограниченными операторами; изучены наборы самосопряженных операторов и частичных центрированных кзометрнй, связанных “динамическими соотношениями”. Развитая техника применена к изучению представлений действительных форм квантовой алгебры Uq(sl(3)), алгебры Фарли, нестандартной действительной трехмерной квантовой сферы : классифицированы все неприводимые представлення. Исследованы представлення класса,«-алгебр порожденных двумя самосопряженными образующими и двумя кубическими соотношениями, одно из которых полулинейное. Изучены неограниченные центрированные операторы.

Turowska L.B. "il^preseatatflona of mvolutive algebras and relations”.

Manuscript. Thesis of dissertation for obtaining of the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01,01.01—mathematical analysis, institute o? Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1996.

The thesis is devoted to stsdy of representations of *-algebras and relations. There аз developed the method of investigation of representations of «emffinear polynomial from the left ієіііішш; ІглиШеа of selliuljuiui operator» and partial centred isometrics satisfying "dynamical relations” are studied. The developed technique is aised to investigation of real forms of the дчагпіщл algebra i7j(s?{3)), the Fairlie algebra, nonctandart real tihrcc-dimcasional quantum sphere. «-Algebras generated by ¡two seifadjjomt elements satisfying two cubic relations one of which is semilinear are investigated.' Unbounded centred operators are studied.

Ключові споза: «-алгебра, тюбражеиня *~алгебрп, ©o-

днкі *-алгебря, квантова алгебра, дійсні форма, посіп оператора, самоспряйседі, центровані оператори, оператори

Піди, до .друяу 29.04.S6. Формат 60x84/16 Папір друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,63. Ум. фарбо-відб. 1,63. Обл. вид. арк. 1,0. Тираж 100 пр. Зам. /03 Без-

коштовно.

враження.. сніваздЕоиешш, лезвідні зображення, ручні та

Підготовлено і віддруковано в Інституті математики ІІАІІ України

252601 Кнїв-4, МСІ1, вуя. Терещенківська, 3.