Изопериметрические неравенства для моментов инерции плоских областей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

2 з «о*

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

САЛАХУДИНОВ РУСТЕМ ГУМЕРОВИЧ

ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1998

Диссертация выполнена в отделе математического анализа НИИММ им. Н.Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

доктор физ.-мат. наук, с.н.с. Ф.Г. Авхадиев.

кандидат физ.-мат. наук, доцент Е.А. Широкова.

доктор физ.-мат. наук, профессор Д.В. Прохоров,

кандидат физ.-мат. наук, доцент Ю.В. Обносов.

Волгоградский государственный университет.

Защита состоится "сГ^ г.

в 14 часов на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 Казанского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18)

Автореферат разослан " 998 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

Научный руководитель:

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

В.В. Шурыгин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Изопериметрические неравенства являются посто-тным предметом исследования в различных областях математики, механики и физики.

В диссертадии изучаются изопериметрические свойства моментов шерции односвязной области, связанные с физическими величинами, встречающимися в теории упругости.

Несмотря на то, что классическое изопериметрическое неравенство ивестно давно, первые глубокие результаты и строгие методы иссле-ювания связаны с работами XIX века: Я. Штейнера (введение геометрической операции—"симметризация"), В. Сен-Венана, Лорда Рэлея, А. Пуанкаре, Г. А. Шварца. Объектом интенсивного изучения изопериметрические неравенства стали в XX веке. Новые методы исследования изо-териметрических свойств даны в работах А.Д. Александрова, JI. Алъ-})орса, В. Бляшке, Т. Боннезена, Т. Карлемана, Р. Куранта, Е. Крана, ?. Минковского, Г. Полиа, Г. Сеге, Г.Фабера. Ряд интересных результатов получен в работах Ф.Г. Авхадиева, В. Андриевского, К. Бендл, Д. Зураго, А. Бернстайна, А. Вайнштена, Дж. Дженкинса, В.Н. Дубинина, З.А. Залгаллера, В.Г. Мазьи, Е. Макай, И.П. Миткжа, Н.И. Мусхели-ивили, Н. Надирашвили, 3. Нехари, Е. Николаи, Р. Оссермана, JI.E. 1ейна, А.Ю. Солынина, Р.П. Сперба, Дж. Херша, Г. Хиги, А. Хубера, З.К. Хеймана, X. Федерера, В.Х. Флеминга, И. Чигера, М. Шиффера, М. Эссена.

Актуальность изучения изопериметрических неравенств заключается 1 их теоретических и практических приложениях в различных областях 1ауки.

В диссертации рассматриваются также краевые задачи теории упругости, которые могут быть использованы в практических задачах и

численных экспериментах.

Цель работы. Изучение изопериметрических свойств новых геометрических функционалов односвязной области и их обобщений, а также получение точного решения первой и второй основных задач теории упругости для специального класса областей и определение коэффициентов интенсивности напряжения в граничной точке возврата.

Методика исследования. В диссертации используются методы геометрической теории функции комплексного переменного и методы решения краевых задач для аналитических функций.

Научная новизна. Доказаны изопериметрические неравенства для конформного момента инерции области и момента инерции области относительно границы, введенных в [1], [2]. Доказано, что в областях класса Джона справедливо аналитическое неравенство Пуанкаре. Получена точная оценка норм в пространствах Бергмана для произведения функций и рассмотрено их приложение к изопериметрическим неравенствам. Найдено решение первой и второй основных задач теории упругости для несимметричных профилей Жуковского.

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались на II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (1996г., Казань), на Всероссийской школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (1997г., Казань), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1994 - 1997гг.). В целом работа доложена на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ^ТцХ. Общий

объем диссертации 107 страниц. Диссертация содержит 22 рисунка и библиографию, включающую 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации изучаются свойства интегралов от конформного радиуса односвязной области.

Пусть Б — односвязная область на плоскости комплексного переменного х, и(х, у) — решение краевой задачи Дирихле

Ди = —2, ле£>, и\оп= 0.

Коэффициентом жесткости кручения (см., например, [4]) называется величина

С(£>) =2 Л^и(х,у)<1х(1у.

Согласно гипотезе Сен-Венана, строго доказанной Г. Полиа [9] в 1948 году, среди областей с фиксированной площадью 5(2?) величина С (В) максимальна для круга. Аналитическим выражением гипотезы является неравенство

С(Д) <

где равенство достигается только для круговой области.

Это неравенство, наряду с результатами, полученными Ф.Г. Авхади-евым, послужили отправной точкой наших исследований.

Ф.Г. Авхадиев [1] в 1995г. доказал следующую цепочку неравенств

1{дВ) < ГС(Г>) < С (И) < 4/е(Х?) < Ш{дО),

где

1{дВ) = дИ)с1х<1у (1)

— момент инерции области относительно границы,

1АР) = (2)

— конформный момент инерции области, сИзЬ(г, дЭ) — расстояние от точки г до границы области дВ, Я(г,Б) — конформный радиус И в точке г.

Основной целью диссертации является изучение изопериметрических свойств функционалов (1) и (2) и их аналогов.

Основным результатом первого параграфа является доказательство следующего аналога гипотезы Сен-Венана для конформного момента инерции области.

Теорема 1. Пусть И — односвжзнаж область комплексной плоскости С конечной площади ¿>(2?). Тогда имеет место неравенство

ДО) <

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда И — круг.

При доказательстве используются конформные отображения и оценки для рядов, причем удается выяснить все случаи равенства.

Как следствие из теоремы 1 получено строгое неравенство для момента инерции относительно границы области

ЦдИ) < ¿52(£>).

Второй параграф является непосредственным обобщением первого. В нем рассматриваются моменты инерции области порядка Ь > О

При четном положительном £ удается провести доказательство по аналогии со случаем 4 = 2. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть I? — односвязная область с конечной площадью 5(1)). Тогда имеет место неравенство

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Б — круг.

Как следствие из теоремы 2 получаем изопериметрическое неравенство в случае нечетного Ь. Применяя стандартный метод оценки в пространствах т.е. зная оценки для у — 1 и у + 1, можно получить оценки для \у — 1,г/ + 1]. Таким образом, для нечетного Ь получаем строгое неравенство

Результаты §1.3 и §1.4 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым.

В §1.3 рассматривается неравенство Пуанкаре для аналитических функций. Задача была поставлена Д. Гамильтоном [5] и заключается в следующем: "Определить односвязные области Ю (0 € £>), для которых существует абсолютная константа К ~ К (Б) и выполняется неравенство

для любой аналитической в области функции /(г), с условием /(0) = 0."

Основным результатом параграфа является доказательство достаточного условия выполнения аналитического неравенства Пуанкаре в областях класса Джона (см. определение [8]).

Теорема 3. Аналитическое неравенство Пуанкаре справедливо для областей класса Джона.

При доказательстве теоремы 3 ключевым оказывается один результат X. Поммеренке [10]. Используется также модификация метода доказательства теоремы 1. Отметим, что теорема 3 очерчивает достаточно

—п

I¡о\№\Чх<1у < К{Б) Цо \Г(г)\^у

широкий класс областей, где неравенство Пуанкаре имеет место. Имеются примеры областей, например, спиралеобразной (см. М. Хуммель [7]), когда неравенство не выполняется. И.Р. Каюмовым [3] построен пример звездообразной относительно нуля области с одним нулевым углом на вещественной оси, для которой аналитическое неравенство Пуанкаре не выполняется. Отметим, что Д. Гамильтон обосновал справедливость аналитического неравенства Пуанкаре для квазидисков [6].

В §1.4 рассматриваются оценки норм в пространствах Бергмана Аа(В), а > 1 и их приложения к изопериметрическим неравенствам. Обозначим через Х(г, В) коэффициент метрики Пуанкаре области В. Тогда квадрат нормы в пространстве Аа(В) определяется формулой

Аа(д, В) = ^ /[ |д(г)|2А2-«(2, Э)Шу.

7Г J JD

Основным результатом является следующая

Теорема 4. Пусть В — односвязная область гиперболического типа, а > 1, 8 > 1. Тогда для любых аналитических в В функций р(г) и д(^) имеет место неравенство

Аа+$(рд, В) < Аа(р, В)А^д, В). (3)

Знак равенства реализуется только для функций вида

где г = /(() — конформное отображение единичного круга на область В, а0, Ьо — произвольные константы, ¡&| < 1, |&1| < 1.

Более ясно характер теоремы раскрывают следствия и замечания к ней. Приведем некоторые из них.

Как известно (см., например, [10]) для односвязной области, конформный радиус и коэффициент метрики Пуанкаре связаны соотношением

Положим, в частности, в (3) р(г) = q{z) = 1 для всех г из И, а также сделаем замену а1 = а — 2, 8' = 5 — 2. Получим

Но к ' п(а + 8 + 3)

* ¡¡0яа(2>1))<1Х(1У ЛоЯ5(2,0)(1х<1у. (4)

Следствие 4.1. При а = 5 = —1 из (4) следует классическое изо-периметрическое неравенство

где 1(.0) — длина границы дИ.

Следствие 4.3. При а + <^ + 2 = 2гг., п £ N, момент инерции области порядка 2п достигает максимума в случае, когда область есть круг той же площади.

Во второй главе рассматриваются функционалы области, которые строятся с использованием евклидова расстояния от точек области до ее границы.

В отличие от конформного радиуса в случае евклидова расстояния существенным является класс рассматриваемых областей. Одним из наиболее простых классов областей является класс выпуклых областей.

В §2.1 изучаются изопериметрические свойства интегралов от функции расстояния в классе выпуклых областей. Доказана теорема, которая является прямым аналогом гипотезы Сен-Венана.

Теорема 5. В классе выпуклых областей при фиксированной площади области Б максимум геометрическому функционалу 1(дИ) доставляет круговая область.

Утверждение теоремы может быть записано в виде неравенства

причем равенство достигается только для случая, когда область есть

В следующем параграфе рассматривается случай произвольной од-носвязной области. При доказательстве существенно используется тот факт, что односвязную область можно представить как предел вписанных многоугольников. Рассмотрены также некоторые обобщения на евклидово пространство К1. Основные результаты параграфа следующие.

Теорема 6. При данной площади области круговая область имеет больший момент инерции относительно границы, чем любая другая область той же площади.

Следствие 6.1. Пусть И — односвязная область, Ф(£) — непрерывная, неубывающая функция для £ € [0, ^/^(1))/;г], К — круг той же площади, что и В. Тогда

где равенство возможно тогда и только тогда, когда D — круг.

Рассмотрим в евклидовом пространстве R3 односвязные тела, характеризуемые тем свойством, что все сечения тела плоскостями, параллельными плоскости z — t — const, представляют собой односвязные области. Определим следующий функционал тела О

круг.

^де z0 — некоторая константа, зависящая только от О. ("высота" тела).

Теорема 7. Симметризация Шварца увеличивает функционал тела

го

J jj $(dist(u>, dDz))dxdydz1 о

где $(t) — непрерывная, неубывающая функция, Ф(£) > 0.

Результаты §2.3 получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым.

Одним из вопросов, с которым приходится сталкиваться при приме-гении тех или иных приближенных формул, является вопрос о допустимом классе областей и функций, где имеет смысл пользоваться этой формулой. Г. Полиа и Г. Сеге [4] было доказано, что приближенная формула Сен-Венана для жесткости кручения имеет нетривиальные оценен в классе выпуклых областей. При этом был предложен общий метод щенки в классе выпуклых областей, который заключается в следующем: ;сли отношение физического и геометрического функционалов ограниче-ю сверху и снизу в некотором семействе гомотопических областей, тог-та, используя метод вписанного и описанного эллипсов Джона, можем установить ее для произвольной выпуклой области. Г. Полиа и Г. Сеге i качестве гомотопических областей были использованы эллипсы. Мы 1редлагаем заменить эллипсы прямоугольниками. Чтобы получить по-'решность, возникающую в результате использования такого метода, на-Ю изучить отношение геометрических величин описанного и вписанного 1рямоугольника (эллипса) вокруг области. Получен следующий результат.

Пусть [R2]/[Ri] означает отношение подобия прямоугольников, при-гем Ш/Ш > 1.

Теорема 8. Для произвольной выпуклой ограниченной области D

существуют два прямоугольника Ях и Дг, такие , что

ад с Ос я,, 2)|^|е[1,2],

двойка является наилучшей константой и достигается, в частности, для любого треугольника.

Аналогичный результат для эллипсов имеет то же отношение соответствующих полуосей [^¡/[Вх] € [1,2], а решение задачи дает эллипс Ф. Джона.

Результаты третьей главы получены совместно с Е.А. Широковой. Основная идея решения задач принадлежит Е.А. Широковой. Автором были проделаны расчеты и исследование разрешимости.

В главе 3 решаются первая и вторая основные задачи теории упругости для плоскости с отверстием в форме несимметричного аэродинамического профиля. Классическими трудами в теории упругости являются монографии Н.И. Мусхелишвили, А. Лява и других, решение задач в которых строится при помощи аппарата аналитических функций, а также теории интегральных уравнений. Пользуясь тем, что функция, отображающая внешность единичного круга на рассматриваемую область, является дробно-рациональной, удается свести задачу к двум задачам Гильберта для мероморфных функций. Характерно, что рассматриваемая область имеет граничную точку возврата. Форма профиля зависит от параметров. Случаи симметричного профиля были рассмотрены в работах Ч. Ву и Е.А. Широковой.

В §3.1 рассматривается постановка задачи и метод сведения к двум задачам Гильберта для профилей, задаваемых отображением единичного круга на его внешность. Отображающая функция имеет вид

МС - 1) + 1 - а) (ах(< - 1) + 1 - а-*) а1((-1)»(в)+п»(а)

:де А, (р, ai - действительные константы, ai > 1; a - комплексная контакта, |о| < 1, п(а) = 1 — 2а + |а|2, т(а) = 1 — 2Шеа + |а|2.

Во втором параграфе строится и исследуется решение основных задач для данной области. Основной результат формулируется в виде теоремы 9, которая утверждает, что при непрерывной дифференцируемос-ги краевых условий первая и вторая основные задачи теории упругости 1ля несимметричного аэродинамического профиля безусловно разрешимы. Решение строится в явном виде в квадратурах.

Рассматривается приложение к задаче обтекания аэродинамического профиля вязкой жидкостью по модели Стокса в плоском случае. Да-тее ставится задача оптимизации коэффициентов интенсивности напряжения в граничной точке возврата как изопериметрическая задача для иногопараметрических контуров. Исследуется частный случай.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) доказательство изопериметрического неравенства для конформного иомента инерции односвязной области;

2) доказательство изопериметрического неравенства для момента гнерции области относительно границы;

3) доказательство достаточного условия выполнения аналитического неравенства Пуанкаре в области;

4) решение основных задач теории упругости для плоскости с отвергнем в форме несимметричного профиля Жуковского.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук Ф.Г. Авхадиеву, научному консультанту, кандидату физико-математических наук Е.А. Широковой, а гакже благодарит всех участников семинара по геометрической теории функций под руководством Ф.Г. Авхадиева, за постоянное внимание к

работе. Работа поддержана грантом РФФИ: 96-01-00110 (рук. - д.ф.-м.н Ф.Г. Авхадиев).

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1. Авхадиев Ф.Г., Салахудинов Р.Г. Точные оценки в весовых пространствах Бергмана и их приложения / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 16-22 июня 1997г. С. 10.

2. Салахудинов Р.Г. Оценка жесткости кручения выпуклых областей / Тезисы докладов II республиканской научной конференции молодые ученых и специалистов. Казань, 28 июня-1 июля, 1996г. Книга 3. С. 17.

3. Салахудинов Р.Г. Изопериметрические неравенства для моментог инерции области относительно своей границы / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 1622 июня 1997г. С. 182.

4. AvhadievF.G., Salahudinov R.G. Estimates of the Saint-Venant functional and its analogues // The 5 g. Preprint. Kazan. Series in Mathematics Kazan Math. Foundation. 1996. N 5. P. 1-4.

5. Avhadiev F.G., Salahudinov R.G. Sharp estimations of norms in Bergman Spaces and their application // The 5 g. Preprint. Kazan. Series in Mathematics. Kazan University Press. 1997. N 1. P. 1-4.

6. Shirokova E.A., Salahudinov R.G. The exact solution of the plane elasticity second basic problem for the simmetric airfoil cracks // Mech. Res, Com. 1997. V. 274. N 2. P. 131-136.

Литература

[1] Авхадиев Ф.Г. Конформно инвариантные неравенства и их приложения. Препринт N 95-1. Казань. Изд-во Казанский фонд "Мате-

матиха". 1995.

[2] Авхадиев Ф.Г. Вариационные конформно-инвариантные неравенства и их приложение // Докл. Акад. Наук. 1998. Т. 359. N 6. С. 727-731.

[3] Каюмов И.Р. Об аналитическом неравенстве Пуанкаре / Материалы конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 16-22 июня 1997г. С. 114.

[4] Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: ГИФМЛ. 1962.

[5] Barth K.F., Brannan D.A., Hayman W.K. Research problems in complex analysis // Bull. London Math. Soc. 1984. N 16. P. 490-517.

[6] Hamilton D.H. On the Poincare inequality // Complex variables. 1986. V. 5. P. 265-270.

[7] Hummel J.A. Counterexamples to the Poincare inequality // Proc. Amer. Math. Soc, 1957. V. 8. N 2. P. 207-210.

[8] Martio 0. Definitions for uniform domains // Ann. acad. sci. fenn. Ser. A. I. Math. 1980. V. 5. P. 197-205.

[9] Polya G. Torsional rigidity, principal frequency, electrostatic and symmetrization // Quarterly J. of Appl. Math. 1948. N 6. P. 267-277.

[10] Pommerenke Ch. Boundary behaviour of conformal maps, Springer — Verlag. Berlin. 1992.