Методы исследования и решения пространственных задач теории упругости о трещинах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



На правах рукописи

ШИФРИН Ефим Ильич

УДК 539.3

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О ТРЕЩИНАХ

01.02,04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена б Московском государственном авиационном технологическом университете им К.Э.Циолковского ( МАТИ )

Официальные оппоненты - доктор физико - математических

наук, профессор

Быков Д.Л. доктор физико - математических наук, профессор

Кукуд жанов В.Н. доктор физико - математических наук, профессор

Паукшто М.В.

Ведущая организация -.кафедра теории пластичности механико -математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

часов на

Защита состоится ЪО&ЦТЛЩ 1997 г. в 15-заседании Диссертационного Совета Д. 002.87;01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, пр. Вернадского, д. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 1ЪтТЯ$рЯ 1997 г.

Ученый секретарь специализированного совета

канд. физ.-матнаук /-//.«"577777! Меняйлов А.И,

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Поскольку в процессе изготовления и эксплуатации конструкций не удается избежать появления трещиноподоб-ных дефектов, приходится оценивать возможность использования конструкций, содержащих такие дефекты. Способность конструкций с трещинами сопротивляться заданным нагрузкам п хрупком и квазихрупком случае определяется значениями коэффициентов интенсивности напряжений (КИН). Напомним, что КИН вычисляются через коэффициенты в асимптотике напряжений или смещений вблизи фронта трещины, а сами напряжения и смещения являются решениями соответствующей задачи теории упругости.

Несмотря па развитие вычислительной техники и численных методов, включая методы конечных и граничных элементов, численное определение поведения решения вблизи контура разреза является весьма сложной задачей в особенности для трехмерных тел. В настоящее время практически не существует численных методов, гарантирующих сходимость локальных характеристик приближенных решений ( например, таких как КИН ) к соответствующим характеристикам точного решения. В этих условиях большое значение приобретают полученные для част-Е1ых случаев аналитические или асимптотические решения. Они пред-зтавляют самостоятельный интерес, являются эталонами для проверки и корректировки численных процедур, а также могут использоваться для получения приближенных решений в альтернирующих методах. Кроме этого интерес представляют оценки решений, которые позволяют в ряде ;лучаев выяснить возможность роста трещины, не прибегая к решению :оответствующих уравнений.

Таким образом актуальными являются проблемы разработки новых эффективных методов построения аналитических и приближенных решений пространственных статических и динамических задач теории упругости о трещинах, построение оценок решений указанных задач, а также применение разработанных методов для получения новых решений. Ис-

следованию этих проблем и посвящена диссертация.

Основная цель работы заключается в развитии нового математического аппарата для исследования и решения граничных уравнений пространственных задач линейной механики разрушения и получении с его помощью решений ряда важных для теории трещин статических и динамических задач.

Научную новизну работы составляют следующие результаты.

Развит и обоснован новый проекционный метод решения операторных уравнений, включающих в себя и граничные уравнения пространственных задач теории трещин. Разработанный метод является обобщением известных проекционных методов и оказывается полезным при решении краевых задач для псевдодифференциальных уравнений, т.к. позволяет учесть в приближенном решении особенности точного решения и вместе с тем избежать вычисления сингулярных интегралов ( интегралов в смысле главного значения и конечночастных интегралов ). Эффективность метода проиллюстрирована на различных задачах о трещинах отрыва и сдвига при статических и гармонических по времени нагрузках.

Развит аналитический метод решения задач об эллиптических трещинах в упругом пространстве. В случае статических полиномиальных нагрузок произвольного порядка разработанный метод приводит к конструктивной процедуре построения аналитического решения. Для гармонических по времени нагрузок, допускающих разложение в степенной ряд по волновому числу, коэффициентами которого являются полиномы, метод приводит к конструктивной процедуре разложения решения в ряд Тейлора по волновому числу, причем позволяет вычислить произвольное количество коэффициентов ряда. Получаемые разложения решений гармонических задач в ряд Тейлора являются аналитическими решениями только в случае низких частот, т.к. решения, как функции от волнового числа, не являются голоморфными. Для построения высокоточных приближений в более широкой области волновых чисел, включающей

средние частоты, использованы аппроксимации Паде.

Получен ряд результатов, относящихся к построению оценок решений дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений. В том числе получены новые изопериметрические оценки решений класса псев-додпффорепциадьных уравнений, которые, применительно к задаче о трещине нормального разрыва, приводят к изопериметрическим оценкам ЬР - норм (р > 1) скачков смещений. В задаче об установившихся колебаниях пространства, ослабленного трещиной нормального разрыва, в случае низкочастотных колебаний доказаны теоремы сравнения для модулей амплитуд скачков смещений и КИН.

Предложен новый способ симметризации функций и исследованы его свойства. Разработанный математический аппарат оказался полезен не только для задач теории трещин, по и для некоторых других задач теории упругости. В частности, с помощью введенной симметризации получены изопериметрические оценки жесткости при кручении неоднородного стержня. Отметим, что допускается как непрерывность, так и кусочная непрерывность функции, соответствующей модулю сдвига, а сечение стержня может быть как односвязным, так и многосвязным. Полученные оценки являются естественным обобщением хорошо известного результата Полна для однородных стержней. Кроме этого построены изопериметрические оценки частоты основного тона при продольных и поперечных колебаниях неоднородного стержня.

Доказана сходимость метода последовательных приближений в задаче о трещине сдвига при гармонических нагрузках в случае низких частот. Доказана также сходимость альтернирующего метода в задаче о взанмодехктвующих трещинах отрыва, расположенных в одной плоскости. При этом доказана сходимость КИН, а трещины могут располагаться на любом расстоянии друг от друга.

Теоретическая и практическая ценность. В работе предложены новые подходы к построению аналитических и численных решений класса систем псевдодифференциальных уравнений, включающего в се-

бя граничные уравнения статических и динамических пространственных задач теории трещин, а также к построению изопернмегрических оценок решений псевдодифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Разработанные методы и долу ценные с их помощыо оценки и решения могут быть использованы при расчете на прочность элементов конструкций.

Часть из представленных результатов была получена в ходе работы, выполнявшейся при поддержке РФФИ ( грант 93 - 011 - 16035 ).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью доказательств и подтверждается проведенными расчетами и сопоставлениями с известными результатами в случаях, когда таковые имеются.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на III Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (19S5 г., Харьков), VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (1986 г,, Ташкент), VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругоиластических волн (1986 г., Новосибирск), Региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды" (1988 г., Краснодар), Международной конференции по интегральным уравнениям и обратным задачам (1989 г., Варна), 28-й Польской конференции по механике деформируемого тела (1990 г., Ко-зубник, Польша), 3-ем Международном конгрессе по прикладной математике (ICIAM 95) (1995 г., Гамбург, Германия), 1-ом Семинаре "Неклассические проблемы теории упругости и механики разрушения" (1995 г., Москва), IX-й Конференции по прочности и пластичности (1996 г., Москва), 11-й Европейской конференции по разрушению (ECF-11) (1996 г., Пуатье, Франция), Международном симпозиуме по динамике сплошной среды (1996 г., Бад Хонеф, Германия), а также на семинарах Института проблем механики РАН.

По теме диссертации опубликовано 20 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 474 страницах машинописного текста и содержит 399 страниц основного текста, включающих 29 таблиц и 38 рисунков, 417 наименований литературных источников и 27 страниц приложения.

Содержание работы Во введении дается постановка задачи линейной механики разрушения, обсуждаются критерии роста трещины. Приводится обзор имеющихся аналитических, асимптотических и численных решений пространственных статических и динамических задач теории трещин, а также методов, с помощью которых соответствующие решения были получены. Обсуждаются трудности, возникающие при реализации этих методов, и круг вопросов, остающихся нерешенными. Рассматриваются также имеющиеся результаты качественного характера.

На основании критического обзора формулируется цель диссертации. Излагается структура работы и содержание основных результатов. Кратко указываются путл их получения.

Развиваемые в диссертации методы главным образом применяются к задаче о плоской трещине в безграничной упругой среде, к поверхностям которой приложены равные до величине и противоположно направленные статические или гармонические по времени усилия. В связи с этим для указанных задач в первой главе выводятся граничные псевдодифференциальные уравнения относительно скачков смещений в области трещины,

Пусть трещина занимает область О в плоскости а-з = 0. В случае действия статической на,грузки — (¿Д.'с), ^{х), tз(x)), х — хг) С С > уравнения для нормальной и сдвиговых компонент скачков смещений разделяются и могут быть записаны в следующем виде

Ра Л[м3(®)] = 2(1 - , ®еС, (1)

*з(я) е я_1/2(С), [из(ж)] е Ях/2 (О) 7

1 РаП[и(х)}^Ь(х)//,, хеО, (2)

2(1-и)

Цх) е Я_1/2(С7), Ка:)] е Я1/2 (<?)

Здесь ¿(г) = (^(э;), *2(а;)) , [«(я:)] = ([«Ца:)], [и2(э;)]) , К (х-)}, Ы«)1, [«з (•?')] - компоненты скачков смещений, ц - модуль сдвига, и - коэффициент Пуассона, Л - псевдодифференциапьный оператор с символом [£| , I) - матричный псевдодифференциальный оператор с символом

~ \Dute) £>22(0 У V "ПШ2 1 - щ1)

т = 6Ж1,

о

ро - оператор сужения на область трещины (7, -ЙГ1/2 (О) и II-х/2{О) -пространства Соболева.

В случае действия гармонических по времени нагрузок (х) е~К0Т уравнения относительно амплитуд скачков смещений [«1 (.")]> [«2 (:?)]) [г«з(ж)] также разделяются на нормальную и сдвиговую части и приобретают вид

хеО (3)

е Я-1/2(<?) > М*)] € к/2 (О)

ра Щ[«(я:)] = Ых)/^, х 6 в (4)

г(х) = (г^х), 12(х)) е Я_1/2(С), Ца)! - (М®)], [и2(®)]) е нф (С)

где Ц;-; - псевдодифференциальный оператор с символом

Ы0 - ~ - Р2)1'2 - - П2РГ1/2},

а Кр - матричный псевдодифференциальный оператор с символом

1

4е^^Т2 - Р2(уе^-

Кг 2(0 - + -?$== "

I уЧ2-/*" -1

/3 — , е - плотность, ?72 — (1 — 2г/)/{2(1 — I')) .

Известно, что решения уравнений (1) - (4) имеют корневую асимптотику вблизи гладкой части контура трещины 30 , поэтому для получения удовлетворительно!! аппроксимации решений в этой области нужно в приближающих решение функциях учесть данную асимптотику. С другой стороны, в любой численной процедуре необходимо уметь применять соответствующий оператор к аппроксимирующим решение функциям ( или вектор - функциям ). В случае псевдодиффсреициальных уравнений, в частности уравнений типа (1) - (4), найти результат применения оператора к произвольным функциям оказывается совсем не просто. Проиллюстрируем возникающие при этом трудности на примере простейшего из рассматриваемых уравнений - уравнения (1),

Пусть требуется применить оператор А к некоторой функции и(х). Существует несколько путей вычисления Аь(х). Можно, исходя из определения. оператора Л, сперва вычислить преобразовать Фурье функции и(х} ( обозначим его -£>(£) ), а затем вычислить обратное преобразование Фурье от |ц|'и(£) ■ Указанный: путь приводит к сложной с вычислительной точки зрения процедуре четырехкратного интегрирования, к тому же включающего интегрирование по всей плоскости. Поэтому такой способ вычисления Ль(х) применяется редко.

Чаще для вычисления Ли(х) используется х - представление. В частности, выражение Ау(х) может быть записано в следующем виде

Ли (ж) = ±([ ¿у + / 4,1 (5)

2гг 1./ | х-у\* дуг У / |а; — ^

а /

При использовании выражения (5) приходится дифференцировать аппроксимирующую решение функцию у(х) и тем самым требовать от нее

определенную гладкость, а кроме того вычислять интегралы в смысле главного значения.

Для того, чтобы избежать дифференцирования аппроксимирующей функции г>(ж) применяется и иная запись оиератора Л .

У \х — ;гу|

Выражение (б) уже не содержит производных от v(x), однако, из - за сильной особенности в ядре интегрального оператора интеграл становится расходящимся. Несмотря на это, интегралу (б) можно прядать смысл. Интегралы типа (6) называются кояечночастпыми,

В подавляющем большинство работ, касающихся численной реализации граничных уравнений пространственных задач теории третщш, основное внимание уделялось разработке эффективных методов вычисления сингулярных -интегралов типа (5), (6). Принципиально иной подход к приближенному решению уравнений указанного вида развивается во второй главе диссертации. Его цель состоит в том, чтобы учесть в приближающих решение функциях известную асимптотику у контура трещины и вместе с тем избежать вычисления сингулярных интегралов. Основная идея предлагаемого метода может быть изложена в абстрактной форме. Рассмотрим операторное уравнение

Au = f, иен, fell' (7)

где Н - сепарабельное гильбертово пространство, Н' - сопряженное к Л гильбертово пространство, а А - линейный оператор, изоморфно отображающий Н на Н7.

Приближение решения уравнения (7) будем искать в подпростран-

п

lira — 2Li ) X

Cj - const ^ . Предположим, что у элементов e1, • • •, еп имеются те же особенности, что н у точного решения. Предположим, что имеется также

стве, натянутом на элементы е*, ■ • •, еп пространства Н

некоторый базис <pi, ■ ■ •, ■ ■ ■ пространства Н , для которого результаты применения оператора A'tpk ( где А* - оператор, сопряженный к А ) легко, например аналитически, вычисляются.

Неизвестные постоянные c¿ будем определять из системы линейных уравнений [Aun,<pj,) -■= (/, Используя равенство (Aun,<pk) —

-- (un,A*<-pk) , систему уравнений можно записать в виде

п

(ип, A"<pk) -- с'(е';> = (/, Vfc) (8)

В уравнениях (8) не нужно вычислять Ae¿, а значения At<pí; по предположению могут быть найдены в результате простых вычислений или аналитически. Заметим, что для определения п неизвестных с,; нужно иметь п уравнений, т.е. взять п элементов базиса щ , Однако, поскольку базисы e-i и <рь: никак не связаны между собой этого может оказаться недостаточно для хорошей обусловленности системы уравнений (8) и сходимости процесса. Поэтому приходится брать большее, чем п количество элементов <рк , а полученную переопределенную систему уравнений (8) удовлетворять в смысле минимума квадратичного отклонения. Иными словами, неизвестные постоянные c¿ определяются из условия минимума следующего функционала

n ¡v п

s'wW - Yj KAu» - /'voi2 = ¡ £ A¥(рк) ~ fc= 1 Й-1 i=l

где iV - количество использованных элементов базиса (рk ■

Таким образом, при фиксированном значении п для каждого значения N получается свое приближение, т.е. имеется последовательность элементов unjy (N — п, п + 1, ■ • •) минимизирующих функционалы (9),

Предлагаемый метод относится к разряду проекционных и потому представляет интерес его сравнение с известными проекционными методами. Проекционные методы наиболее интенсивно развивались в пятидесятых - шестидесятых годах, когда, благодаря усилиям многих ученых { Даугавет И.К., Канторович JI.M., Красносельский М.А., Михлин

С.Г., Польский Н.й. и др. ), был разработан общий метод, включающий в себя различные проекционные методы, такие как метод Бубнова - Галеркина, минимума квадратов, моментов и др. В операторном виде обобщенный проекционный метод записывается следуюнщм образом. Рассмотрим уравнение

где Н\, Н2 для определенности сепарабельные гильбертовы пространства ( можно рассматривать и банаховы пространства ), А - линейный оператор.

Пусть Еп - последовательность конечномерных подпространств в Нг. Будем считать, что еь • • • , е*,, • ■ • - базис в Н1 и подпространства Еп являются подпространствами, натянутыми на ••• , еп. Обозначим через П„ - оператор проектирования Нх на Е„ . Обозначим через Рт - последовательность конечномерных подпространств в Н2 ■ Будем считать также, что <р\, ■ ■ ■ ,<Рк, ■ ■ ■ - базис в Н2 , подпространства Ега натянуты на <рх, ■ ■ • , , а Рта - оператор проектирования И2 на . Согласно общему проекционному методу приближенным решением ип — Ппи 6 Еп уравнения (10) называется решение уравнения

При этом оказалось, что для сходимости последовательности ип к решению уравнения (10) необходимо выполнение следующего условия. Обозначим через vn произвольный элемент из АЕп такой, что ||v„j! — 1. Пусть тп — min j|Pn7;n||. Упомянутое условие заключается в том, что т„ > 0 для п > щ и lim^ooTn = т > 0.

Предлагаемый в диссертации проекционный метод отличается от обобщенного проекционного метода тем, что вместо одного приближенного решения в Еп (ип) рассматривается последовательность приближенных решений uajy , N > п, 1соторая строится из условий

Au--f, и е Нг, / £ Я2

(10)

РпАип — Pri.f

(11)

\\PNAunN - Рлг/|[= inf \\PNAwn~PNf\\

vJn£E,

(12)

В (12) под знаком || • || понимается норма в пространстве Н2 или каком-нибудь его подпространстве, в зависимости от свойств оператора .4 , пространств Ях, И?, и правой части уравнения (10) / . При таком построении приближенных решений уже не нужно требовать выполнения отмеченного выше условия сходимости и базисы е.; и ср^ , вообще говоря, могут быть совершенно не связаны.

Заметим, что при N п условие (12) переходит в уравнение (11). Таким образом, общий проекционный метод можно рассматривать как частный случай предлагаемого метода. Строгому изложению и обоснованию предложенного метода посвящен пункт 2,2 диссертации.

Для эффективного применения разработанного метода к решению конкретных уравнений, как уже отмечалось выше, необходимо найти такой базис. <р1, - • • , <рк> ■ • • , чтобы результаты применения сопряженного оператора к его элементам лргко вычислялись. Естественно строить базис ух, • • • , (рк, ■'" из функций простейшего вида. Поэтому в диссертации сперва вводятся функции > где

Оказывается, что результаты применения операторов, отвечающих уравнениям (1) и (3), к функциям типа 'р%(х) могут быть вычислены аналитически, а для уравнений (2) и (4) можно аналитически вычислить результаты применения соответствующих операторов к вектор - функциям, компонентами которых являются функции типа <р1{х) ■ Поскольку операторы, отвечающие уравнениям (1) - (4) инвариантны относительно сдвига, из того, что аналитически вычисляются результаты применения операторов к функциям <pj(z) следует, что также аналитически вычисляю тся результаты применения операторов к функциям вида <р2.{х ~ а) j где а = (ах, аг) •

Для построения из некоторой системы функций базиса в каком - ли-

о

1 бо пространстве, например, в Н1/2 {G) или L2(G), нужно чтобы эти

функции лежали в данном пространстве, а их линейные комбинации были плотны в нем. Принадлежность соответствующему пространству достигается тем, что берется 7 > |, а значения ах, 02, «х> а2 выбираются таким образом, чтобы носители функций <fil(x — а) принадлежали С7. Полнота системы функций также обеспечивается выбором значений ах, 02, dl, <У,2 .

Результаты применения операторов к функциям <pl(x) и пх дальнейшее использование для реализации развитого метода представлены в пунктах 2.3 ( статика, нормальный разрыв ), 2.4 { гармонические колебания, нормальный разрыв ) и 2.5 ( статика и гармонические колебания, сдвиг ).

В пункте 2.6 из результатов решения задач о гармонических колебаниях путем обращения преобразования Фурье получены решения задач о трещинах в случае ударных нагрузок.

Глава 3 посвящена построению аналитических решений задач об эллиптических трещинах. Развитый способ построения аналитических ре-тений, так же как и изложенный в главе 2 численный метод, опирается на то, что удалось явно вычислить результаты применения соответствующих операторов к функциям типа <р2(х) ■

Далее будем предполагать, что область трещины G является эллипсом G ~ Е1а — {х : я\/а\ + xijal < 1} • Рассмотрим более подробно как разработанных! метод применяется к решению уравнений (1) - (4). В пункте 3.2 представлена конструктивная процедура построения аналитического решения уравнения (1) статической задачи о трещине нормального разрыва в случае, когда нагрузка is (ж) является полиномом произвольного порядка N

t2(x) = Aijx\x{ „ Aij - const (13)

i+j<N

Для решения задачи сперва аналитически вычисляется функция A<pJ(x). Анализ полученного выражения показывает, что в случае 7 — т + 1/2

внутри эллипса Е1а функция является полиномом степени

2т. После этого вводятся функции Т}]д(х) — у^у^р^х) , где щ =- ац/щ . Затем выводится формула, показывающая, что функции типа Т£я(х) могут быть представле1п,1 в виде суммы производных от функций типа х)

pqW " (—2)',+? ¿< klml(p - 2&)!(q - 2m)!

Х Г(7 + 1 +р + q — к - т) ^

где r(s) - гамма - функция, Di — (г — 1, 2), а квадратные скобки

обозначают целую часть числа.

Из выражений для Ар™*1'* (я) и формулы (14) удается аналити-

1 /2

чески вычислить функцию ATPq (х) — Upq(x), причем оказывается, что Upq(x) является полиномом степени р-\-д. Отсюда следует, что решение уравнения (1.) можно искать в виде

Е ДряЩЧ*Ь Bpq-const (25)

p-f?</V

Подстановка (13), (15) в уравнение (1), с учетом выражений для Ь'рч(х), и приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях и з;2 пртт-водят к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных Bpq .

Аналогично в пункте 3.3 решается система уравнений (2) статической задачи о трещине сдвига, в предположении, что нагрузки t.] (ж), h(x) являются полиномами степени N .

h(*}= Е аЫ4> = Е (1б)

i+j<N i+j<N

Здесь , Л? - пост

оянные.

Для решения системы уравнений (2) предварительно вычисляются функции О^Трд2(х) — ( здесь А? псевдодифференциальные

операторы с символами -£)-;>;(£) , определенными выше )■ При этом оказывается, что полиномы порядка р+д. Отсюда следует, что решение системы уравнений (2) можно искать в виде

Е ад/2^)' м*)]= Е в1яти%№ ^

где Врд, - постоянные.

Подстановка (16), (17) в (2) с учетом1 выражений для при-

водит к равенству полиномов. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно Д^ и В2ра.,

Тот же подход позволяет построить решения уравнений (3), (4). В пункте 3.4 рассматривается уравнение (3) задачи об установившихся колебаниях пространства, ослабленного трещиной отрыва. Предполагается, что амплитуда приложенных усилий t^¿(я) может быть представлена в виде

то

*з(я) = Е + (18)

ЛГ^-0

где Рп(х), (¿м(х) вещественные полиномы степени не выше N-[-, J

- некоторое произвольное заданное, целое, неотрицательное число.

В результате аналитических вычислений оказывается, что функция 1

£1рТРд(х) записывается в виде

со ехз

(*) - Е («'»ВД*) + г Е (Р°2)2п+*У%+а(х) (19)

п—0 ппО

где Щп^) ~ полиномы степени 2?г-Ьр-+-^, а У££+з{х) ~ полиномы степени 2п, Из (19) следует, что решение уравнения (3) можно искать в виде

оо

Е (В™+ИЗ™)Т^{х) (20)

т-0 p-^-q<m+J

где Б™г и В™ - вещественные постоянные.

Подстановка (18), (20) в уравнение (3) с учетом (19) приводит к равенству степенных рядов по /За2 . Последовательно приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /За2 , получаем последовательность уравнений статической задачи, где в правые части, отвечающие приложенным нагрузкам, входят как соответствующие коэффициенты исходной нагрузки, так и полиномиальные вклады от решений, полученных для более низких степеней /?аг . Для каждого значения степени (За,2 - т решение статической задачи, т.е. определение неизвестных коэффициентов В™г и В™, осуществляется описанным выше способом. Таким образом можно аналитически вычислить произвольное количество членов ряда (20).

В пункте 3.5 приводится решение системы уравнений (4) задачи о гармонических колебаниях пространства, ослабленного трещиной сдвига. Здесь предполагается, что амплитуды приложенных усилий представляются в виде

со

= Е ОМ* + , 3 = 1, 2 (21)

где Рлг,- (х), <5N3 (х) - вещественные полиномы степени не выше N J , ,] , как и выше, любое фиксированное целое, неотрицательное число.

Для решения системы уравнений (4) сперва вычисляются результаты применения операторов Кц к функциям типа Тр,{2{х) (Кц - псевдодифференциальные операторы с символами Кц (£)). Аналогично случаю отрыва функции КцТ11"{х) представляются в виде

со со

п=0 п—О

СО СО

К12Т}(>{х) = £ (Ра2ГЩ*12(х) + г £

п-0 п—О

где и и?.п12(х) ' полиномы степени 2п гр + д, * пс"

линомы степени 2п, а - полиномы степени 2гг. + 2 .

Из (21), (22) следует, что решение системы уравнений (4) можно искать в виде

сх>

м*)] - Е Е Нг(23)

где 7—1,2, и В^1 - вещественные постоянные.

Подставляя (21), (23) в (4) и учитывая (22), получаем равенство степенных рядов по /?а2 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях /За2, приходим к последовательности систем уравнений, отвечающих статической задаче о трещине сдвига. Для каждой степени /?а2 правые части системы уравнений статической задачг<1 включают коэффициенты разложения приложенной нагрузки (21) и полиномы, определяемые решениями статических задач для меньших степеней /За2 . Таким образом, как и в случае отрыва, можно последовательно, для каждой степени /За2 - т определить неизвестные постоянные и В3р™, т.е. в разложении решения (23) можно аналитически вычислить любое количество членов разложения.

Заметим, что условия (18), (21), накладываемые на амплитуды приложенных нагрузок, не являются слишком ограничительными, т.к. им удовлетворяют амплитуды нагрузок, отвечающих задачам рассеяния трещинами плоских, наклонно падающих, продольных и поперечных волн.

Поскольку решения уравнений (3), (4) не являются аналитическими функциями от рй2, степенные ряды (20), (23) сходятся лишь в области низких частот ( малых значений /?а2 ). Однако, благодаря тому, что в рядах (20), (23) удается аналитически вычислить любое количество членов, оказывается возможным получить исключительно хорошее приближение решений (3), (4) не толысо в случае низких, но и средних частот. Для этого используются аппроксимации Паде. Напомним, что идея

аппроксимаций Падс заключается в переразложении функции, заданной рядом Тейлора, по базису рациональных функций. Это позволяет хорошо аппроксимировать функцию в области, где ее ряд Тейлора уже тте сходится, и кроме того исследовать поведение функции при комплексных значениях аргумента. Более строго аппроксимации Падс определяются следующим образом. Пусть для функции /(г), г 6 Л1 , известен ее ряд

со

Тейлора /(г) « У2 cizг ■ Аппроксимацией Паде порядка [Ь/М] называ »-о

ется рациональная функция вида

гг/тт «о -+ + ■ ■ ■ + ,

разложение которой в ряд Тейлора ( в точке ноль ) совпадает с разложением функции /(г) с точностью до члена порядка Ь М -(-1

оо

у; с;г® - [Ь/М] + + (24)

¿=о

Неизвестные коэффициенты а, , Ь^ определяются из условия (24).

Известны различные теоремы, выясняющие условия сходимости последовательности аппроксимаций Паде [Ьк/Мк] к исходной функции. В отсутствие дополнительной информации о функции, подлежащей приближению с помощью аппроксимаций Паде, наиболее целесообразно пользоваться диагональными [М^/М/,] или парадиагональными [Мк ± 1/М^] М}, — }■ оо последовательностями. Такие последовательности обеспечивают сходимость, например, к мероморфным функциям.

В пункте 3.6 приводятся решения уравнений (3), (4) для различных типов гармонических по времени нагрузок. Результаты получены изложенным выше методом, т.е. сперва вычислялся ряд Тейлора для скачков смещений, затем по скачкам смещений вычислялся ряд Тейлора для той или иной характеристики решения и, наконец, применялись аппроксимации Паде.

Для иллюстрации того, насколько быстро устанавливаются результаты с ростом порядка аппроксимаций Паде, приведем один из рассмо-

тренных в диссертации примеров. Предположим, что трещина круговая (ах = 02 ~ л), а приложенная, гармоническая по времени нагрузка имеет амплитуду (£]., — (1, 0), что с точностью до постоянного множителя совпадает с нагрузкой, отвечающей задаче рассеяния трещиной нормально падающей поперечной волны, поляризованной вдоль оси х\ . На рис. 1 представлены зависимости от ¡За нормированных КИН К2 в точке контура трещины (х1, х2) = {а, 0). Результаты приведены для различных значений коэффициента Пуассона — 0,1, и — 0,3 и V — 0,5. Под нормированным значением КИН мы понимаем величину КЦра) = \К2(/За)\/К2(0).

рои

у = 0.1 ...............У = 0.3 .......У= 0.5

Рис. 1

Поскольку для рассматриваемого тигга нагрузки в точке («, 0) значения КИН К3 равны нулю, на рис. 2 представлены зависимости К5((3а) ~ \Ко((За)\/1\?,{0) в точке контура (0, а).

ра

-У = 0.1 ...............У= 0.3 .......У - 0.5

Рис. 2

В табл. 1 для случая ^—0,3 и различных значений (За показано как устанавливаются величины К%(/За) при росте порядка аппроксимаций Паде вида [Ь/Ь\. Точка [За —- 1,7 выбрана потому, что в ней функция _К"|(/?а) достигает максимума.

Как видно из рис. 2 в представленном диапазоне изменения /За функции К ¡¡((За) имеют два максимума и один минимум. Обозначим

значения первого максимума через Ад ' , минимума через А3Ч и второго максимума через А'^2'. Соответствующие им значения обезразме-ренных волновых чисел обозначим /З^а, (З^о, и (З^а. В табл. 2 для г/ = 0,3 приведены зависимости величин К^ и /З^а , (г — 1, 2, 3) от порядка аппроксимаций Паде вида \L/L].

Таблица 1

[L/L] [3/3} [4/4] [5/5] [0/6] [7/7] [8/8] [9/9]_

¡За, = 1,7 1,2706 1,2651 1,2650 1,2650 1,2650 1,2650 1,2650 (За = 3,0 0,94881 0,94886 0,95551 0,98035 0,96355 0,96327 0,96330 (За = 4,0 0,68159 0,74470 0,77286 0,71776 0,79526 0,80043 0,79936 (За = 5,0 0,53630 0,61029 0,61144 0,57844 0,51350 0,5009.1 0,50622 (За — 6,0 0,45368 0,51661 0,49059 0,50141 0,41241 0,40578 0,40306

Таблица 2

[L/L] [з/з] [4/4] [5/5] [6/6] [7/7] [8/S] [9/9]

Kfï 1,2229 1,2253 1,2252 1,2252 1,2252 1,2252 1,2252

1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6

- 0,6872 0,6738 0,6655 0,6636 0,6587 0,6587

(З^а - ч г> 3,4 3,4 3,4 3,4 3,4

At(8) - 0,8903 0,8508 0,8889 0,8999 0,9610 0,9606

(З^а - 4,3 4,8 4,8 4,8 4,7 4,7

Таблицы 1, 2 показывают, что развитый в диссертации метод позволяет получить исключительно устойчивые результаты в достаточно широком диапазоне изменения частот. Отметим, что путем непосредственного вычисления отрезка ряда Тейлора ( вне зависимости от того, сколько членов ряда взято ) без применения аппроксимаций Паде

решение удалось бы приблизить в гораздо более узкой области. Для иллюстрации этого на рис. 3 представлены графики функций К£(/За) (¡./—0,3) в точке контура (а, 0), полученные с помощью аппроксимации Паде порядка [8/8] и отвечающего данной аппроксимации отрезка ряда Тейлора, т.е. отрезка, содержащего 17 членов ряда.

рои

............... ряЭ Тейлора - аппроксимации ПаЭе

Рис. 3

Из рис. 3 видно, что графики практически совпадают до (За — 1,5, очень мало отличаются в интервале 1,5 < ¡За < 1, 7 , а далее начинают быстро расходиться.

Чтобы выяснить причину такого отличия вычислим полюсы ( нули знаменателя ) аппроксимаций Наде функции КК/За) . Расчеты показывают, что полюсы расположены только в нижней полуплоскости, причем вместе с полюсом ¡За — V ги> обязательно содержится и симметричный относительно мнимой оси полюс —/За ~ —у+гм . Сами значения полюсов разумеется зависят от порядка аппроксимаций Паде. В табл. 3 представлены зависимости первых трех полюсов (ра)^"1 — V; (^' = 1,2,3) от порядка аппроксимации.

Таблица 3

[Ь/Ь] [4/4] [5/5] [6/6] [7/7] [8/8] [9/9]

VI 1,898 1,923 1,919 1,922 1,922 1,922

'Шх - 1,090 - 1,108 - 1,118 - 1,116 - 1,116 - 1,116

'02 2,369 3,071 3,284 3,889 3,968 3,941

- 2,075 - 1,852 - 0,514 - 1,213 - 1,287 - 1,266

- 0 2,560 1,375 1,310 1,031

гоз - - 5,694 - 2,710 - 4,449 - 3,367 - 3,280

Из табл. 3 видно, что полюсы устанавливаются медленнее, чем значения КХ{(За) . Вещественная часть первого полюса приблизительно соответствует значению /За, при котором достигается максимум функции К^ЦЗа) . Отличие между графиками Щ((3а), построенными с помощью ряда Тейлора и аппроксимаций Паде, также начинает проявляться при приближении (За к значению вещественной части первого полюса.

Та же картина наблюдается и при анализе полюсов функции Щ (¡За) ( см, табл. 4 ), причем здесь вещественная часть второго полюса приближенно соответствует значению (За, при котором достигается второй максимум. Аналогичные свойства обнаруживаются и при рассмотрении эллиптических трещин и при иных условиях нагружения.

Таблица 4

[Ь/Ц [4/4] [5/5] ■ [6/6] [7/7] [3/8] [9/9]

VI 1,923 1,923 1,921 1,921 1,922 1,922

и> 1 -1,130 -1,119 -1,116 -1,116 -1,116 -1,116

1)с> 3,792 4,140 4,308 4,349 4,570 4,569

и> 2 -1,029 -1,578 -1,360 -1,304 -0,949 -0,951

Щ - 0 1,617 1,820 1,68-3 1,695

У)3 - ■3,492 -2,402 -2,432 -3,302 -3,371

Таким образом, развитый метод позволяет для эллиптических трещин в случае произвольных статических полиномиальных нагрузок строить аналитические решения, а в случае произвольных гармонических по времени нагрузок получать для низких частот аналитически« решения в виде степенного ряда по частоте и для средних частот строить аппроксимации, по существу не отличающиеся от точных решений. Кроме этого, появляется возможность исследовать поведение решений при комплексных значениях частот.

Выше уже отмечалось, что аналитические решения играют важную роль как для развития теоретических основ линейной механики разрушения, так и для проведения расчетов на прочность элементов конструкций, содержащих трещины. Поэтому вот уже в течение более чем пятидесяти лет постоянно публикуются работы, посвященные, построению новых аналитических решений пространственных задач. Несмотря на столь серьезное внимание к указанной проблеме, к настоящему времени аналитические решения удалось построить лишь для очень ограниченного круга задач о стационарных трещинах канонической формы ( полуплоскость, круг, эллипс, внешность круга или эллипса ) в безграничной среде, причем только в условиях статического нагружения. В частности, для задач об эллиптических трещинах, находящихся под действием по-

шшомиальных нагрузок, конструктивные процедуры, приводящие, хотя и очень громоздким путем, к построению аналитических решений были разработаны в статьях Vijayakumar К., Atluri S.N, (1981), Nishioka T., Atluri S.N. (1983), Бородалева A.H. (1981), Martin P.A. (1986).

В задачах о гармонических колебаниях аналитические решения, за исключением случая, трещины, занимающей полуплоскость, вообще отсутствуют. Здесь имеются только некоторые асимптотические решения в области низких и высоких частот, при этом гавным образом вычислялись интегральные характеристики решений и дальние поля. Для низкочастотных колебаний пространства с круговой или эллиптической трещиной одна или несколько поправок к значениям КИН, отвечающим статической задаче, вычислялись в работах Mal A.K. (1968), Jain D.L., Kanwal R.R. (J972), Гольдштейна P.B. и Капцова A.B. (1984), Roy А. (1984, 1987).

Таким образом разработанный в диссертации метод решения задач об эллиптических трещинах обобщает ряд известных результатов. В случае статической нагрузки он приводит к более простой конструктивной процедуре построения решения, а в случае гармонической по времени нагрузки позволяет вместо нескольких поправок к статическому решению построить полный ряд Тейлора и тем самым впервые получить аналитическое решение.

Решение задачи об установившихся колебаниях при комплексных значениях частот можно рассматривать как образ Лапласа решения задачи, отвечающей ударной нагрузке. Поскольку при применении аппроксимаций Паде различные характеристики решения, в частности КИН, представляются в виде рациональных функций от частоты, то и образы Лапласа соответствующих характеристик для ударной нагрузки представляются рациональными функциями от параметра преобразования Лапласа. Обращение рациональной функции не требует специальных процедур и по существу выполняется аналитически. В пункте 3.7 приведены решения задач об эллиптических трещинах в случае ударных

нагрузок, полученные указанным: методом.

При обращении преобразования Лапласа или Фурье доведение оригинала в нуле связано с поведением образа на бесконечности. Вместе с. тем полученные в пунктах 2.6, 3.7 решения задач о трещинах в условиях ударного нагружения опирались на приближенные решения задач об установившихся колебаниях, которые хорошо аппроксимировали точные решения лишь для низких и средних частот. Таким образом, при обращении образов Фурье или Лапласа, поведение образов па бесконечности не было известно. Вследствие этого получаемые решения оказывались недостаточно аккуратными вблизи нуля. Для уточнения решений в области малых времен потребовалось отдельное исследование. В пункте 3.8 для задачи о трещине нормального разрыва построен главный член асимптотики КИП при времени, стремящемся к нулю.

Четвертая глава посвящена построению оценок решений некоторых пространственных задач о трещинах, а также некоторых задач теории упругости для неоднородных тел. В пункте 4.1 приводится обзор имеющихся в данной области результатов и кратко обрисовывается круг исследуемых в этой главе задач и полученных результатов.

В пункте 4.2 строятся новые изопершметрические оценки решений уравнений следующего вида

РвЛаи(х) = f(x), xeG, f(x)>0 (25)

о

где G С Rn , и(х) С- На/г (G), Аа - псевдодифференциальный оператор с символом |£|а , 0 < а < 2 .

Перед формулировкой полученных результатов введем некоторые обозначения. Через (и<з)(/,ж) обозначим решение уравнения (25). Для любой неотрицательной функции v(x) > 0 через v*(x) будем обозначать функцию, полученную из v(x) путем симметризации Шварца, т.е. v*(x) равноизмерима с v(x) , сферически - симметрична и не возрастает с ростом радиуса. Обозначим через К - шар с центром в начале координат и объемом, равным объему области. G, un(ft,x) - решение уравнения

(25) в шаре К с правой частью Д(ж), Кг ■ шар с центром в начале координат и произвольным радиусом г , меньшим радиуса шара К . Для решений уравнения (25) доказаны следующие неравенства

IM/\s)[[p< ЫМ1Р (26)

где || ■ || - норма в пространстве Lp , р > 1.

I (иа), (/, ®) di < I uK{U, х) dx (27)

kr kr

Из неравенства (27), в частности, следует неравенство

таxuo(f,x) < шаxuK(f.t,x) (28)

X Z

Центральное место в доказательстве неравенств (26) - (28) занимает следующая, доказанная в диссертации теорема.

о

Теорема. Пусть и{х) > ü, v(x) > 0 £Üa¡2 (G) - вегцественно-значные функции, которые имеют одинаковое направление роста, то есть (и{х) — и(у)) (v(x) — v(y)) > 0 Va;, у . Тогда справедливо неравенство

Следствием этой теоремы является неравенство

(Aa(uc)t(f,x), < (AauK(f^x),v,t(x))

справедливое для произвольной, неотрицательной, инвариантной отно-

о

сительно симметризации Шварца функции г;* (ж) € На/2 (■&")• Из последнего неравенства путем надлежащего выбора функций v±{x) и получаются неравенства (26) - (28).

Уравнение (25) в случае, когда G плоская область и а = 1 превращается в уравнение (1). Таким образом неравенства (26) - (28) представляют собой оценки скачков нормальных смещений в задаче о трещине

отрыва, занимающей область G, через скачки нормальных смещешш соответствующей задачи для круговой трещины.

При 0 < а < 1 уравнение (25) отвечает задаче о трещине отрыва в неоднородном пространстве, модуль Юнга которого степенным образом зависит от расстояния до плоскости трещины.

На важность оценок пзопериметрического типа в задачах механики разрушения впервые обратили внимание Р.В.Гольдштейн и В.М.Ентов. В их работе 1976 года было высказано предположение о том, что объем трещины при однородной нормальной нагрузке не превосходит объема круговой трещины той же площади. Помимо этого ими были приведены соображения в поддержку данного предположения. С точки зрения приведенных выше неравенств предположение Р.В.Гольдштейна и В.М.Ентова представляет собой частный случай неравенства (2(5) {р — 1) для частного вида, уравнений (25) (а- = 1) и правых частей (/ — const), В работах Р.В.Гольдштейна и автора (1979, 1980) указанное предположение было строго доказано. В работе автора 19S4 года неравенство (26) в случае р — 1 и / — const было доказано для всего класса уравнений (25) (0 < а < 2). Таким образом, доказанные в диссертации неравенства (26) - (28) существенно усиливают имевшиеся прежде результаты.

Изопериметрические оценки норм скачков смещений оказываются полезными при исследовании деформирования среды с большим числом трещин, при анализе кинетики роста трещины в условиях, когда имеется приток газа, и в ряде других случаев, однако, они не помогают в решении вопроса о возможности прорастания трещины. Для ответа на этот вопрос необходимо построить оценки локальных характеристик решения и, в частности, КИП. Впервые оценки такого типа для решений статической задачи о трещине отрыва были получены в работе Р.В.Гольдштейна и В.М.Ентова (1975). В этой работе были доказаны следующие теоремы сравнения.

1. Пусть в уравнении (1) нагрузка ts(x) неотрицательна (£з(®) >

0), тогда и решение неотрицательно [«а(ж)! 0 .

2. Пусть имеются области <3.1 и <32 (6т С. 02). Функция определена и неотрицательна в Ог ■ Обозначим через [«^(я)] и (^О] отвечающие нагрузке tз(x) решения уравнения (1) в областях С[ и &'2 соответственно. Тогда имеет место неравенство [и!1'(ж)] < [из2-1 (ж)],

Из теорем сравнения очевидным образом следуют оценки для КИН. Пусть области С\ , С и таковы, что С О С (?2 и их контуры касаются в некоторой точке. Обозначим через Л7! , N , N2 КИН в точке касания для трещин, занимающих области 0\, С, С2 соответственно и неотрицательной нагрузки t¡,(x), определенной в . В этом случае справедливо неравенство АГ1 < N < Лг2 •

В статье Р.В.Гольдштейна и а.втора (1982) доказано, что теоремы сравнения имеют место для решении класса уравнений (25). С помощью техники, развитой в этой работе, в пункте 4,3 получены оценки решений задачи об установившихся, низкочастотных колебаниях пространства, ослабленного трещиной отрыва. Доказано, что решение уравнения (3) при ¡3 —У 0 может быть записано в виде

М®)] - [«зо (®)] + /?2[«31(®)] + гр{х)

где функция гр(х) имеет более высокий чем /32 порядок малости по (3. При этом если tз(зc) веществешюзначная функция, то коэффициенты [■и3о(а;)] и ['иззДж)] также вещественнозначны и для каждого из них справедливы теоремы сравнения.

В оставшейся части главы 4 развивается математический аппарат для построения изопериметрических оценок решений одного класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Возможности аппарата демонстрируются на различных задачах для неоднородных тел.

Традиционный путь доказательства изопериметрических неравенств заключается в следующем. Сперва рассматриваемая задача формулируется как задача на нахождение экстремума некоторого функцио-

нала. Затем проводится операция симметризации Штейнера или Шварца и показывется, что при этом функционал изменяется монотонным образом ( растет или убывает ). Монотонное изменение значения функционала следует из того, что при симметризации Штейнера или Шварца входящие в функционал различные интегралы от симметризуемых функций сохраняются, а интегралы от квадрата, градиента убывают. Вместе с тем проследить за локальными изменениями градиента оказывается довольно сложно. Это не позволяет оценивать нормы, градиента, содержащие весовые функции, а именно такие нормы возникают в вариационных формулировках задач, отвечающих дифференциальным 7/рав-псниям с переменными коэффициентами при старших производных. С целью преодоления указанных трудностей в пункте 4.4 вводится и исследуется новый способ симметризации функций, в котором определенным образом преобразуется градиент. Приведем строгую формулировку введенной операции.

Определение. Пусть функция /(х) определена л ограниченной области С С К"', обладает в этой области суммируемым модулем градиента и обращается в ноль на ее границе. Пусть К - шар, объем которого равен объему О, а центр совпадает с началом координат, д(х) = д(г) -функция, определенная в К, равнонзмеримая с |У/(ж)| и не убывающая с ростом радиуса г = |а:|. Определим в шаре К функцию

где Д - радиус шара К.

Операцию, ставящую в соответствие функции /(ж) функцию Г (г), будем называть ЗЕ - симметризацией и обозначать . Из опреде-

ления следует, что функции |У5'.Е(/)(а;)| и |У/(ж)| равноизмеримы. Одним из наиболее важных свойств БЕ - симметризации, доказан-

н

г

ных в пункте 4.4, является неравенство

JsE(f)(x)dx> I \f(x)\dx

к

С помощью операции SE - симметризации в пункте 4.5 получена оценка жесткости при кручении неоднородного стержня. Доказано, что жесткость при кручении неоднородного стержня произвольного сечения не превосходит жесткости при кручении стержня кругового сечения той же площади, с функцией распределения модуля сдвига равноизмеримой с исходной, осесимметричной и не убывающей с ростом радиуса. Исходная функция распределения модуля сдвига может быть как непрерывной, так и кусочно - непрерывной с условием жесткого сцепления на границах скачкообразного изменения, причем полости рассматриваются как области с нулевым модулем сдвига.

Доказанная теорема является, естественным обощонием. известной теоремы Полна о кручении однородного стержня односвязного сечения и результата Polya G., Weinstein А. (1950) для случая однородного стержня многосвязного сечения.

Кроме задачи кручения в пункте 4.5 рассмотрена задача теплопроводности в случае, когда коэффициент теплопроводности является функцией координат. С помощью некоторой модификации SE - симметризации получена оценка теплового потока в следующей задаче.

Пусть ограниченные области G\ и С_?2 С В? , причем имеет место строгое включение G'i С G'2 • В области G2 \ Gi имеется стационарное распределение температур Т(,т), х = х2, а на границе \ G\ температуры постоянны. Для простоты примем, что Т |aGi= 0> Т |аgz~ 1 • Величину теплового потока, проходящего через границу dG-j обозначим

ео2

Доказано неравенство 1(А, , <-?з) > , где К1, К2 - концен-

трические шары, центр которых совпадает с началом координат, причем

объем шара К\ совпадает с объемом G\ , а объем К2 совпадает с объемом Gz , коэффициент теплопроводности Л+ (х) определен в области К2 \ К-, равноизмерим с Л(:г:) , сферически - симметричен и не убывает с ростом радиуса.

В пункте 4.6 получены оценки минимальных собственных значений операторов, отвечающих некоторым одномерным задачам теории упругости неоднородных стержней.

Сперва рассматриваются продольные колебания неоднородного стержня. Предполагается, что концы стержня закреплены, Обозначим через q(x) - плотность стержня, Е(л) - модуль Юнга и F(x) - площадь сечения. Функцию Q(x) ~ E(x)F(x) назовем обобщенной жесткостью, а М{х) ~ q{x)F(x) - обобщенной плотностью. Пусть о> - частота основного тона собственных колебаний. Доказано неравенство и> > w*. , где у,, частота основного тона собственных колебаний стержня той. же длины с обобщенной жесткостью Q*(x) и обобщенной плотностью М*(х), функции Q*(x) и Mt(x) получены из Q(x) и М{х) симметризацией Шварца.

Затем рассматриваются поперечные колебания щарнирно - опертого стержня. Пусть стержень имеет длину 22. Обозначим через D(x) -изгибную жесткость ( D{x) — Е(х)1(х), 1(х) - момент инерции ), через 7п(х) - погонную плотность ( тп(х) — fads, р - плотность, G -

a "

сечение стержня ) и че,рез w(D,m) - частоту основного гона собственных поперечных колебаний, Пусть функция mt{xj получена симметризацией Шварца из функции m(x), а функция D+(x) равнопзмерима с D(x), симметрична относительно середины отрезка [—1,1] и не убывает при движении от центра отрезка к его концам. Доказана оценка 'jj{p,m) > u)(D+,rnt).

Наконец, рассмотрена задача устойчивости неоднородного шарнир-но - опертого стержня. Обозначим через P(D) первую критическую силу стержня, изгибная жесткость которого описывается функцией D(x).

Доказаны неравенства

Р(Р+)<Р(1))<Р(0+)

где функция Х)#(ж) получена симметризацией Шварца из функции В(х) .

В приложении для двух типов задач доказывается сходимость метода последовательных приближений. Если рассматриваются задачи взаимодействия нескольких трещин или задачи о трещине в ограниченном теле, причем трещины имеют такую форму, что задача об одиночной трещине в безграничном пространстве решается аналитически, то, как показал многолетний опыт, одним из самых эффективных методов решения таких задач является альтернирующий. Вместе с тем в настоящее время практически отсутствуют строгие обоснования альтернирующего метода. В пункте Г11 для задачи взаимодействия двух трещин отрыва, расположенных в одной плоскости, при помощи теорем сравнения доказана сходимость альтернирующего метода. При этом показано, что имеет моего сходимость КИН, а трещины могут находиться на сколь угодно малом расстоянии друг от друга.

В пункте П2 доказана сходимость метода последовательных приближений в задаче о низкочастотных колебаниях пространства, ослабленного трещиной сдвига. Доказательство опирается на полученные ранее в работе Р.В.Гольдштейка и автора (19&1) априорные оценки решений статической задачи о трещине сдвига. В случае низкочастотных колебаний пространства, ослабленного трещиной нормального разрыва, сходимость метода, последовательных приближений была доказана в работе Р.В.Гольдштейна и А.В.Капцова (1984).

В заключении кратко формулируются основные результаты, полученные в работе,

Выводы

1. Развит новый численный метод решения задачи Дирихле для эллиптических псевдодифференциальных уравнений и систем. Этот метод является обобщением известных проекционных методов и позволяет

учесть в приближенном решении особенности точного решения, избежав при этом вычислений как интегралов в смысле главного значения, так и конечночасгных интегралов. Доказана сходимость предложенного метода. Развитый метод предполагает возможность эффективного вычисления результат;* применения соответствующего оператора к некоторой полной системе функций или вектор - функций. Для операторов, отвечающих задачам о трещинах при статических и гармонических по времени нагрузках, такой класс функций ( вектор - функций ) найден ( это функции специального вида, имеющие носители в круговых или эллиптических областях ) и результаты применения соответствующих операторов вычислены аналитически.

2. Предложенный численный метол реализован в виде программ для ЭВМ применительно к граничным уравнениям задач о трещинах отрыва и сдвига при статических и гармонических по времени нагрузках. Получены численные решения различных задач, иллюстрирующие эффективность разработанного метода.

3. Развит аналитический метод решения задач об эллиптических трещинах в упругом пространстве. Развитый аналитический метод тесно связан с указанным, выше численным методом поскольку также использует возможность аналитического вычисления результата применения соответствующих граничных операторов к функциям специального вида, В случае статических полиномиальных нагрузок произвольного порядка разработанный метод приводит к конструктивной процедуре построения аналитического решения. Для гармонических нагрузок, допускающих разложение в степенной ряд по волновому числу, коэффициентами которого являются полиномы, метод приводит к конструктивной процедуре разложения решения в ряд Тейлора по волновому числу, причем позволяет вычислить произвольное количество коэффициентов ряда. Отметим, что на каждом шаге приходится решать статическую задачу с полиномиальными нагрузками. Таким образом, развитый аналитических! метод обобщает целый ряд работ, в которых были разработаны

алгоритмы построения аналитических решений для статических полиномиальных нагрузок произвольного порядка, а для гармонических нагрузок, в случае низких частот, вычислялись одна или несколько поправок к статическому решению.

4. Получаемые разложения решений задач о трещинах при гармонических нагрузках в ряды Тейлора хорошо приближают точные решения только в случае низких частот, так как решения, как функции от волнового 'числа, не являются аналитическими. Для построения высокоточных приближений в более широкой области волновых чисел, включающей средние частоты, используются аппроксимации Паде. Их применение оказывается эффективным из-за того, что аналитически вычисляется произвольное количество членов рада Тейлора.

5. Алгоритмы, упомянутые в пунктах 3 и 4, реализованы в виде программ для ЭВМ. Приведены результаты расчетов задач рассеяния эллиптическими трещинами нормально падающих продольных и поперечных волн. Результаты показывают исключительно высокую точность и устойчивость получаемых решений в достаточно широком диапазоне частот. Получение, в результате применения аппроксимаций Паде, приближений коэффициентов интенсивности напряжений ( КИН ) в виде рациональных функций от волнового числа дает возможность исследовать полюсы КИП, как функций от волнового числа в комплексной плоскости. Обнаружена связь между расположениями полюсов в комплексной плоскости и экстремальных значений КИН на вещественной оси.

6. С помощью построенных численных и аналитических решений для гармонических нагрузок, путем обращения преобразования Фурье и Лапласа соответственно, получены решения в случае ударных нагрузок.

7. Для одного класса псевдодифференвдхальных уравнений построены изопериметрические оценки решений, значительно усиливающие полученные прежде результаты. В частности, для уравнения, отвечающего статической задаче о трещине нормального разрыва, они приводят к изопериметрическим оценкам не только объема трещины, но также к

оценкам максимального раскрытия трещины и Ь,р - норм скачка нормального смешения (р > 1).

8. Предложен новый способ симметризации функций и исследованы ех'о свойства. Нови симметризация связана не с перестройкой самой функции, как это делается в симметризациях Штейиера и Шварца, а с перестройкой модуля градиента функции, что дает возможность получать изопериметрические оценки решений некоторых дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами при старших членах.

9. Введенная симметризация использована, для получения изоне-риметрической оценки крутильной жесткости неоднородного стержня. При этом допускается как непрерывность, так и кусочная непрерывность функции, соответствующей модулю сдвига, а сечение стержня может быть как односвязнык, так и миогосвязньш. Полученные оценки являются естественным обобщением известного результата Полна для однородных стержней. Показано, что введенная симметризация может быть полезна и для ряда других задач. В частности, получена изолери-метрпческая оценка потока тепла в двусвязном теле при стационарном распределении температур и неоднородной теплопроводности.

10. Построены изопериметрические оценки ряда одномерных задач, в том числе, получены изопериметрические оценки частоты основного тона при продольных и поперечных колебаниях неоднородного стержня, а также построены оценки первой критической силы в некоторых задачах устойчивости неоднородного стержня.

11. Доказана сходимость метода последовательных приближений в задаче о трещине сдвига при гармонических нагрузках в случае низких частот. Доказана также сходимость альтернирующего метода в задаче о взаимодействующих трещинах отрыва, расположенных в одной плоскости. При этом доказана сходимость КИН, а трещины могут располагаться на любом расстоянии друг от друга.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих ста-

тьях:

1. Шифрин Е.И. О приближенном решении уравнений некоторых смешанных задач теории упругости. - В кн. Механика деформируемого тела. Сер. Прочность и вязко - упругопластичность. Ред. А.Ю. Ишлинский, М., Наука, 1986, с. 154 - 164.

2. Капцов A.B., Шифрин Е.И. О рассеянии плоской трещиной нормально падающей продольной гармонической волны. - Известия АН СССР, Механика твердого з^ела, 1986, No 6, с. 106 - 112.

3. Капцов A.B., Шифрин Е.И, Плоская трещина, к поверхностям которой приложены нормальные, гармонически изменяющиеся во времени усилия. - В сб.: Теория распространения: волн в упругих и упругопла-стических средах, Новосибирск, 1987, с. 143 - 147.

4. Брудный С.Р., Шифрин Е.И. Об одном способе симметризации функций и его применении к некоторым задачам теории упругости неоднородных тел. - Прикладная математика и механика, 1988, Т. 52, выи. 3, с. 486 - 492.

•5. Шифрии Е.И. Плоская трещина нормального разрыва, берега которой взаимодействуют по линейному закону. - Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1988, No 5, с. 94 - 100.

6. Шифрин Е.И. Изопериметрические оценки решений одного класса исевдодифференциальньпс уравнений и их приложение к задачам о трещинах. - Прикладная математика и механика, 1989, Т. 5 3, вып. 6j с. 1044 - 1048.

7. Брудный С.Р., Шифрин Е.И. Изопериметрические неравенства в некоторых задачах теории упругости неоднородных стержней, - Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1990, No 5, с. 66 - 73.

8. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Применение аппроксимаций Паде к решению динамических задач теории упругости для пространства, ослабленного плоской трещиной. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 1990, Т. 30, No 11, с. 1757 - 1758.

9. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Решение динамических задач об элли-

птической трещине в упругом пространстве с помощью аппроксимаций ГГаде. - Прикладная математика и механика, 1991, Т. 55, выл. 3, с. 511 - 519.

10. Старосельский A.B., Шифрин Е.И. Рассеяние плоской трещиной нормально падающей поперечной волны. - Известия РАН, Механика твердого тела, 1995, No 3, с. 87 - 103.

11. Кагщов A.B., Шифрин Е.И. Аналитическое решение задачи об эллиптической трещине и безграничном упругом пространстве. - I. Статическая, нормальная, полиномиальная нагрузка. - Препринт No 554, Институт проблем механики РАН, М., 1995. 24 с,

]2. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Аналитическое решение задачи об эллиптической трещине в безграничном упругом пространстве. - II. Статическая, сдвиговая, полиномиальная нагрузка. - Препринт No 559, Институт проблем механики РАН, М., 1996. 30 с.

13. Шифрин Е.И. Аналитике - численное решение задачи об установившихся колебаниях пространства, ослабленного эллиптической трещиной. - IX Конференция ш прочности и пластичности 22 - 26 января, 1996. Труды конференции, том 2, М,, 1996, с. 185 - 190.

14. Shifrin E.I. Analytical solution of three - dimensional problem for elliptical crack subjected to arbitrary time - harmonic loads. - ECP ] 1 Mechanisms and mechanics of damage and failure, Vol. I. Editor J.Petit, со - editors J.de Fouqel, G.Henaff, P.Villechaise and A.Dragon. Chameleon Press LTD. London, United Kingdom 1996. p. 497 - 502.

Реззгльтаты диссертации также нашли отражение в тезисах докладов конференций:

1. Капцов A.B., Шифрин Е.И. Решение некоторых пространственных статических и динамических задач теории упругости о трещинах двухбазисным проекционным методом. - III Всесоюзная конференция "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Тезисы докладов. Харьков, 1985, с. 143.

2. Канцов A.B., Шифрин Е.И. О решении некоторых динамиче-

ских задач теории упругости д.ля пространства, ослабленного плоской трещиной. - Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент, 1986, с. 328.

3. Капцов А.В., Шифрин Б.И. О некоторых методах решения динамических задач теории упругости для пространства, ослабленного полоской трещиной. - В кн.: Динамические задачи механики сплошной среды ( тезисы докладов региональной конференции ). Часть 1, Краснодар, 1988 с. 67 - 68.

4. Kaptsov А. V., Shifrin E.I. An application of Pade approximants to the. solution of some three - dimensional eiastodynamic problems for a solid containing crack. - 28-th Polish solid mechanics conference. Kozubnik, 4 - 8 September 1990, p. 109 - 110.

5. Shifrin E,I. Semi - analytical solution of the problem of elastic wave scattering by elliptical cracks, - ICIAM 95. The Third International Congress on Industrial and applied Mathematics. Book of Abstracts. Hamburg 3-7 July, 1995. p. 438.

6. Шифрин Е.И. Аналитический метод решения статических и динамических задач об эллиптических трещинах. -1-й Семинар " Неклассические проблемы теории упругости и механики разрушения", 9 -14 июля 1995, М., Тезисы докладов, с. 26 - 27.