К геометрии регулярных конусов в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.98

КОРОБОВА КАРИНА ВАЛЕРЬЕВНА

К геометрии регулярных конусов в банаховых пространствах

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2006

Работа выполнена в Северо-Осетинском государственном

университете им. К. Л. Хетагурова

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Кусраев Анатолий Георгиевич.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Магарил-Ильяев Георгий Георгиевич; доктор физ.-мат. наук, профессор Фетисов Валерий Георгиевич

Ведущая организация: Институт математики Сибирского

отделения РАН

Защита состоится 14 декабря 2006 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета К 212.203.04 по физико-математическим наукам при Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 497 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан 10 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук " Куценко И.Л.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время теория упорядоченных векторных пространств составляет важное математическое направление, фактически один из основных разделов современного функционального анализа.

Необходимость привлечения структуры порядка в функциональном анализе была осознана в начале 1930-х годов почти одновременно рядом математиков (Ф. Рисс и несколько позже М. Г. Крейп, Л. В. Канторович, Г. Бирк-гофф, Г. Фрейденталь, X. Накано). Честь выделения класса порядково полных векторных решеток принадлежит Л. В. Канторовичу. Им была выдвинута фундаментальная идея изучения общих пространств, наделенных структурой условно полной векторной решетки. Выделенный Л. В. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов. Теория таких пространств — их называют теперь пространствами Канторовича или К-пространствами — стала одним из основных разделов функционального анализа.

Теории /¿"-пространств была посвящена монография «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах», написанная Канторовичем со своими учениками Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером и вышедшая в свет 1950 году [Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.— Москва: Гостсхиздат.—1950].

С середины 1960-х гг на математихо-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупорядоченных пространств, который возглавлял Б. 3. Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Л. В. Канторовича. В конце семидесятых годов вышли две фундаментальные книги Б. 3. Вули-ха [Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин: Изд-во КГУ, 1977], [Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.—Калинин: Изд-во КГУ, 1978], в которых детально излагалась общая теория конусов в нормированных пространствах.

Близкую к этому теорию пространств с конусами положительных элементов развил М. Г. Крейн и его ученики во главе с М. А. Краспосельским. В большом цикле работ М. А. Красносельского совместно с П. П. Забрей-ко, Е. А. Лифшицем, Ю- В. Покорным, А. В. Соболевым, В. Я. Стеценко в новых направлениях развивается теория М. Г. Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т.д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики.

Включение упорядочения в исследование объектов функционального анализа значительно обогащает и разнообразит их. Кроме того, элементы полу-

упорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа по своим свойствам.

Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов. Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория бапаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом — банахова решетка. Поэтому пе лишено интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах, чему и посвящена данная работа.

Существует ряд книг, в том числе персведенпая на русский язык книга Х.Шефера «Топологические векторные пространства», в которых излагается общая теория конусов в линейных топологических пространствах. Однако развитие более общей теории конусов не лишает интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах. Во-первых, многие результаты имеют в нормированных пространствах более простой вид и получаются значительно проще, чем в общем случае, а в то же время в ряде приложений функционального анализа нормированные пространства продолжают играть основную роль. Во-вторых, в нормированных пространствах конусы поддаются более детальному изучению и здесь удается установить ряд специальных результатов, пока еще не перенесенных на общий случай.

Особое значение имеет определение регулярного конуса, которое впервые ввел Дэвис. Оно нашло широкое применение в теории тензорных произведений и теории банаховых решеток. Понятие строго регулярного конуса было впервые подробно исследовано в работах В. Т. Худалова. Ему удалось описать регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве, установить, что в гильбертовом пространстве регулярность равносильна самосопряженности. Он впервые изучил аппроксимативные свойства положительной и отрицательной части элемента в банаховом пространстве. Кроме того, ему удалось описать все регулярные круглые конуса в пространстве В монографии [Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.— Владикавказ: Иристоп, 1999] изложены свойства пространств со строго регулярными конусами, приведены соответствующие примеры, рассмотрено приложение этой теории.

Регулярные и строго регулярные конусы являются основным объектом изучения данной работы.

Цель работы. Целью диссертации является изучепие геометрических свойств конкретных банаховых пространств, упорядоченных строго регулярными конусами.

Методы исследования. Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теория упо-

рядоченных банаховых пространств.

Научная новизна. Перечислим основные результаты, выносимые па защиту.

(1) Рассмотрен класс конусов Демарра-Красносельского специального вида. Получено описапис копуса, сопряженного к конусу Демарра-Красносельского специального вида. Описаны все строго ре1улярные конусы Демарра-Краспосельского специального вида в гильбертовом пространстве.

(2) В пространстве i" рассматриваются все нерешеточпые круглые строго регулярные конусы. Для произвольного элемента этого пространства вычислены множество его метрических модулей, множества положительных и отрицательных частей. Рассчитана величина расстояния от произвольного элемента до конуса и указан ближайший элемент конуса. Установлена связь между нормой элемента и величиной расстояния от пего до конуса. Для произвольного элемента пространства описано множество элементов конуса, на которых реализуется расстояние. Исследована связь этого множества со множеством положительных частей элемента. Доказано, что введенный конус — н-дизъюнктно разложим. Для произвольного элемента указано его разложение в виде ортогональных по Робсру элементов конуса.

(3) Получено полное описание всех регулярных конусов Демарра-Красносельского в пространстве Г^. Для произвольного элемента выведены формулы множеств его метрических модулей и, как следствие, множеств положительных и отрицательных частей. Показано, что введенные конусы являются вполне достижимыми и вполне регулярными.

(4) Рассмотрено пространство К х Н = {(а, h) :аеЕ,Ле II} с введенной на нем операцией (а, h) о (ß, /) = (aß + (h, /), а/ + ßh) (а, ß G R; h, f € H). Показано, что конус Л+ = {z2 : z 6 А} совпадает с конусом вида А+

{(,"!. [) е А : ß ^ II/II}- Доказано, что он является круглым строго регулярным конусом, а также н-дизъюнктно разложимым. Кроме того, доказано, что алгебраическая ортогональность эквивалентна ортогональности по Роберу. Рассчитана величина расстояния от произвольного элемента до конуса и указан ближайший элемент конуса. Указана формула, определяющая ближайший квадрат произвольного элемента. Описаны множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей, множество элементов наилучшего приближения для произвольного элемента; исследованы их свойства.

(5) В пространстве ограниченных функций введен круглый конус, определяемый функционалом 6Х0 (/) : / —* }(xq). Доказано, что такой конус является строго регулярным только при а — 1, а также обладает важными свойствами: вполне регулярностью, вполне достижимостью и н-дизъюнктной разложимостью. Установлено, что упорядоченное пространство ограниченных функций обладает свойством единственности конуса. Описаны множества метрических модулей, положительных я отрицательных частей для про-

изволыюй ограниченной функции. Определена величина расстояния от произвольного элемепта до конуса. Показало, что результаты, полученные для пространства ограниченных функций, могут быть перенесены на пространство непрерывных функций.

Теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть полезными при исследовании порядков в различных пространствах, в том числе в пространствах операторов. Они позволяют получить явные формулы расстояния от точки до конуса и применяются в теории приближения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па семинаре «Алгебра и анализ» в Северо-Осетинском государственном университете им. К. Л. Хетагурова; на I, II и III международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2003, 2004 и 2006); на семинаре «Математический анализ» в Российском университете Дружбы народов (2005).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6].

2. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается литературный обзор по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории упорядоченных векторных и нормированных пространств, определены различные виды ортогональности. Кроме того, рассмотрен метод построения круглого регулярного конуса в произвольном банаховом пространстве, приведены необходимые сведения и результаты о регулярных конусах, рассмотрен случай гильбертова пространства. Приведены некоторые определения и факты из теории приближений, а также известное описание всех регулярных круглых конусов в пространстве Излагаемые в этой главе факты не являются новыми и включены для полноты изложения.

Во второй главе рассмотрен класс конусов Демарра-Красносельского специального вида. Получено описание всех регулярных конусов Демарра-Краспосельского в пространствах п > 1 и гильбертовом пространстве (§2.1). Приведены формулы для рассчета расстояния от произвольного элемента до конуса (§2.3). Описало множество элементов наилучшего приближения (§2.4). Для произвольного элемента указано его разложение в виде ортогональных по Роберу элементов конуса (§2.5). Приведем основные результаты этой главы.

Для произвольного а 6 (0,1] и произвольного непрерывного линейного функционала / € X* такого, что ||/|| — 1, определен конус

2Г[/,а]:={хеХ: /(х) > а\\х\\},

который называется круглым.

Рассмотрим Соп[а,г} — K{B[a,r]) = [J^o f¿B[a, г], где В[а,г] — замкнутый шар с центром в точке а радиуса г, г < ||а]|. Конус Соп[а,г] называют конусом Демарра-Красносельского специального вида (в дальнейшем будем его называть просто конус Демарра-Красносельского). Опишем конус, сопряженный к нему. Имеет место теорема:

Теорема 1. В произвольном банаховом пространстве сопряженный к конусу Демарра-Красносельского специального вида является круглым:

Con* [а, г] = К[а,г].

Для гильбертова пространства этот результат допускает существенное уточнение, а имспно справедлива следующая цепочка равенств:

К[а,г\ — Соп[а, л/1 — г2] = Con*[а, г].

В рефлексивном пространстве справедлив обратный результат, т. е. сопряженный к круглому конусу является конусом Демарра-Красносельского.

Используя описание всех регулярных круглых конусов в гильбертовом пространстве и в пространствах í™, n > 1 и приведенные выше результаты, получаем описание всех регулярных конусов Демарра-Красносельского в этих пространствах. Так, в гильбертовом пространстве конус Соп[а, г] является регулярным тогда и только тогда, когда г — т. е. когда конус Соп[а, г] самосопряжен. Если же рассматривать пространство то имеет место теорема:

Теорема 2. Пусть f = (/i,/2,...,/„) G и ||/|| = 1. Конус Con[f,r] является регулярным в ¡J,, n > 1 только при двух значениях г 6 (0,1]:

1) г — 1; в этом случае каждая координата вектора f = (/ь/2, /п) равна 1 или —1. При этом получаем 2П конусов, которые порождают по-рядково изоморфные и изометричные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изометричные банаховой решетке

с естественным конусом положительных элементов);

2) г = 1/2; в этом случае одна координата вектора / = (/ь/2,...,/п) равна ±1, а все остальные — пули. Получаем 2n конусов, порождающих порядково изоморфные и изометричные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изометричные пространству с конусом:

К, = {ж = (ж1,ж2,...,х„) : Xj ^ sup{|arfc| : k ^ j, к = I7ñ}})-

Известно, что если пространство Е упорядочено строго регулярным конусом Е+, т. е. (Е, Е+) е (9î), то для любого элемента х 6 Е можно определить

множество элементов у 6 Е+ таких, что ±х ^ у и ||х[| = ||у||, и, как следствие, два множества:

X+ = \x+\\X\-, Х-=-±х+\\Х\.

По аналогии с бапаховыим решетками, множества Х+ и называются множествами положительных (соответственно, отрицательных) частей элемента х.

Для элемента х пространства упорядоченного конусом Kj из теоремы 2, эти множества имеют вид:

1*1 е I: yj = ||а||, - INI + \xj +хк\ < ук < ||х|| - \xs - хк\, к ф ¿};

v -L.cz 7« .„ IN+SJ =(2/ е гто : % = —-—,

- 1И + kl +xft| +xfc) «S Ук < ¿(N1 - |xi - Xfcl +Xfc), к ф j};

11*11 + I®1 +®fc| ~Xk) ^(M - |X1 -Xfe| ~Xh), кф]}.

Известно, что круглый перешеточный копус K[f, а] в пространстве I" является регулярным только при а = 0.5, при этом одна из координат (j- я координата) вектора / = (/ь/г, • • • ,/п) равна ±1, а все остальные — пули. Таким образом, при fj — 1 он имеет вид:

п

Kj = {х= (хьх2,...,х„) :Xj > |xfc]}.

k^l.k^j

Для элемента х пространства (l™, Kj) справедливо следующее описание множеств его метрических модулей, положительной и отрицательной частей:

1*1 = |у= (Уъ---,Уп) - У] = X + A|xj|, ук — signxjAfcXfc, к ф j,

Afc|xfc| = |Xj|(l — А), 0 ^ А, Afc < ll;

Х+ = jy = (yi,...,yn) : yj = ^(X+XjCl+signxjA)),^ = ixfcil+signXjA/t),

к*3> ¿ Лк|х*| = |®Ж1-А), 0<A,Afc<l|;

fc=l ,кфз '

Х- = |у= (у1,...,уп) = = ^ф^а^А*,-!),

где X = Iх* I-

Пусть пространство упорядочено круглым регулярным конусом К^, тогда возникает задача из теории приближений об определении меры приближения фиксированного элемента х 6 I" множеством К^, т. е. величины й(х,Кз) = тГц,=к\{||а; — и\\}. Используемый в работе подход позволяет получить явные формулы для нахождения расстояния от точки до конуса.

Расстояние от произвольного элемента х пространства до конуса К^ определяется по формуле:

<1{х,К})

О, если х принадлежит конусу К у,

¡[лесли х принадлежит конусу —Ку,

Iхк\ ~ Х]1 если х не принадлежит конусам ±.Ку

Кроме того, в данном случае устанавлсиа связь между нормой элемента и величиной расстояния от него до конуса:

если х2 > 0; если X] < 0.

Конус Е+ в упорядоченном банаховом пространстве (Е, Е+) называется достиоюимым (или множеством существования), если для любого х 6 Е существует ближайший элемент Рх. Множество всех таких Рх обозначается символом М(х). Одной из задач данной работы является описание множеств Рх для любого х. Получено, что конус К^ является достижимым. При этом

1) если х принадлежит конусу, то множество элементов наилучшего приближения одноточечно и состоит из него самого, т. е. М{х) = {ж}.

2) если х^ > 0 и х <£ К^, то

( п

^ > хз [•

3) в остальных случаях

( п м(х) = ^ апх„),

В этой главе получен ответ и на вопрос о расположении множества положительных частей элемента и множества элементов, на которых достигается расстояние от элемента до конуса. В случае пространства (¿™, К^) их пересечение не пусто и описывается следующим образом:

1) если X] — 0, то

Е ы

2) если ¡г,- > 0, то

( п

к=1,кф}

1 + А " 1

ак = —Е — хз^к € [0,1] к=1,кф} >

3) если х-} < 0, то

Г п

М(х)П^+=и

= Е А*|*к| = -х,(1-А),А*е[0,1]).

к=1,кфз '

Для изучаемых пространств рассматривается, так называемая, ортогональность по Роберу: элементы х, у 6 Е+ называются ортогональными по Роберу (обозначается х 1. у), если ||х + Ау|| = ||х — Ау[| для любого А > 0.

Для любого элемента х £ (Я™,Ксуществуют ортогопальпые по Роберу элементы конуса такие, что х — х+ — х_, т. е. конус К] — н-дизъюнктно

разложим

При этом ортогональные по Роберу элементы, являющиеся метрически положительной и отрицательной частями элемента х, имеют вид:

_ X + Xj fX1 Xj-1 Xj+i xn\

X+~~ 2 \Х,ШШ" X ' ' X '■••'ХУ'

_ X — Xj / —Жх —Xj-1 — д„\

X- ~ 2 V * '"'' * ' ' X X J'

где X = ELi.ft/j \xk\-

Исследования конуса K[f, 1], введенного в пространстве Z^, показали, что K[f, 1] является вполне достижимым и вполне регулярным конусом, т. е. Х+ = М(х) и для любого i е ¡° найдутся ортогональные по Роберу элементы Х- G Х_ и G Х+.

В третьей главе в пространстве M х Я = {(а, Л) : а G M, /i G H} со специально введенной на нем операцией (спин-факторе) изучается конус положительных элементов. Исследованы свойства этого конуса (§3.1). В § 3.2 доказано, что алгебраическая ортогональность эквивалентна (с некоторыми ограничениями) ортогопальности по Роберу. Описаны и исследованы множества метрических модулей, положительных и отрицательных частей, множество элементов наилучшего приближения для произвольного элемента (§§3.3-3.4). Изложим вкратце результаты этой главы.

Рассмотрим пространство ЕхЯ = {(а, Л) : a G M, h G Я} с введенной на нем операцией о:

{a, h) о {fi, /) = (а/3 + (Л, /), а/ + 0h) (а, 0 G R; Л, / G Я).

Норма на К. х Я определяется по формуле:

||(а,Л)|| = И + л/(М0 (а G К;/г G Я).

Известно, что А = Ш х H является JZJ-алгеброй.

Конус положительных элементов в А = M х Я вводится формулой

Л+ = {z2 : z G Л}.

Справедливо равенство А+ = {(/3,/) G А : ¡3 > ||/||}. Кроме того, имеет место теорема:

Теорема 3. Конус Л+ = {(/3, /) € А : /3 ^ ||/||} является строго регулярным конусом в M X Я.

Сформулируем свойства этого конуса:

1. Пространство (М х Н) с конусом А+ является пространством ограниченных элементов с единицей и = (1,0) и и-нормой.

2. Произведение двух элементов из конуса вновь попадает в конус тогда и только тогда, когда выполнено условие

а в

ИМ + Ш ^+ sin где v угол между h и

3. Конус является круглым конусом K[F, где F С A*,F = (1,0).

4. Конус является н-дизъюнктно разложимым.

Рассчитана величина расстояния от произвольного элемента х — (а, К) до конуса А+:

0, если х £ А+;

d(x,A+) = ||/t|[ + |а|, если х е — А+;

J|7i¡|—а, если х £ ±А+.

Так как А+ = {z2 : z € А}, то для любого элемента х = (a, h) € А ближайший квадрат находится по формуле:

РгА+{х) =

.г2 = х, если х € А+;

z2 = 0, если х £ — А+;

кг2 = |(а+||Л||)(1,1^]Г), если a• £ ±А+.

Интересно отмстить, что алгебраическая ортогональность в спин-факторе эквивалентна ортогональности по Роберу, т. е. справедлива теорема:

Теорема 4. В произвольном спин-факторе алгебраическая ортогональность равносильна (с некоторыми ограничениями) ортогональности по Роберу, т. е. для любых двух элементов х = (а, К), у = (/?, /) € А таких, что сн(3 ^ О и / ^ О, справедливо:

х о у — 0 х ± у.

" Л

Если же элементы принадлежат конусу, то данный результат справедлив без ограничений.

§ 3.3 посвящен описанию множеств метрических модулей, положительных и отрицательных частей, а также множества элементов наилучшего приближения М(х). Получены их представления для различных элементов пространства, так в случая, когда х ф. ±А+, они имеют вид:

\Х\ = {((1 - ЩЦ + М, АювпоА) : 0 < А < М};

= l{(d - д)W + « + или,:о < М Ц; '

Х- = §{ (<1 - MM - а + ||h||, : 0 < „ < l};

М{х) = {(Л||Л||,АА) : < * < 1 }•

Выяснено (§ 3.4), что для каждого х € А множество Х+ (~) М(х) не пусто. Для а: е А+ их}! ±А+, х — (a, h), а ^ 0 мпожсство Х+ f)M(x) состоит из одного элемента, в остальных случаях представляет собой линейный сегмент.

Цель четвертой главы — изучение геометрических свойств регулярных круглых конусов в пространствах ограниченных и непрерывных функций. В §4.1 установлены условия строгой регулярности круглого конуса, определенного функционалом 5Хо; изучены его важные свойства. Показапо, что данное пространство обладает свойством единственности копуса. Описание множества элементов наилучшего приближения ограниченной (непрерывной) функции получено в §4.2. §4.3 посвящен выводу формулы, определяющей величину расстояния от произвольной ограниченной (непрерывной) функции до копуса.

В пространстве ограниченных на [0,1] функций для любого xq € [0,1] введем конус вида К[6Хо,аj = {/ € В{0,1] : Sxo(f ) > а • ||/||} = {/ е Я [О,1] :

/Ы^а-И/Н}-

Справедлива теорема:

Теорема 5. В пространстве Z?[0,1] круглый конус К [6Х0, а], определенный функционалом SXo(f) : f —> f{xо), является строго регулярным только ври a — 1.

Конус К [5Х0,1] в пространстве ограниченных функций является:

1) строго монотонным, т. е. если u, v € K[Sxot 1] и и > и, то |ju(| > |ju||;

2) вполне достижимым, т. е. для любой / справедливо равенство M(f) —

F+,

3) вполне регулярным, т. е. для любой / и любых /+, /_ таких, что / = /+ - /_ и II/+ + /_|| = II/+ - /-II, следует, что |J/+ + i/_|| = ||/+ - t/_(| для любого t > 0;

4) н-дизъюпктно разложимым.

Для произвольной ограниченной функции / определено множество функций g е |.F|, называемых метрическими модулями функция /, таких, что

И H

{/}, если / € К[6Хо, 1];

{-/}, если / G

{9 G -В [0,1] : д(хо) = Ц/!1

и при X Ф Жо 1 /(ж) + /(хо)S - 11/11 <

<?(*) < li/ll - !/(*) - /(*о)|}, если / £ ±ЛГ[5х„ 1].

Наибольший в смысле поточечной упорядоченности элемент из |.Р| имеет вид д(х) = ¡|Л1 — |/(х) — /(хо)). Он позволяет определить положительную и отрицательную части функции /:

= |(|1/1|-

|/(*)-/(*о)1+/(*)

\ 1(11/11 + /(«о», если /(«) ^ /(аго),

\/(®) + КИ/И - /(«о)), если /(«) < /(х0).

/-(в) = | (|!/|| - I/(«) - /(аг0)| - /(*)) -

{

-/(в) + 5(11/11 + /(®о)), если /(*) > /(х0),

1(11/11+/Ы),

если /(х) < /(х0).

Элементы /+ и /_ ортогональны по Роберу. При этом

\\и | tf_\\-m + f{xo) | ¿»Л ~/(»о) ^ (1 + <)Н/11 + (1-«)/Ы-2 2 2

Все полученные результаты справедливы и для произвольной непрерывной функции.

В §4.3 определена величина расстояния от произвольной ограниченной (непрерывной) функции до конуса:

d(f,K[6Xo, 1]) =

О, если/еЛфх0,1];

И/Ц, если / е —[5Х0,1];

1(11/11 ~ /Ы)/2, если / £ ±К[6Х0,1].

Нормы элементов из равны между собой и совпадают с с?(/, [¿ос0, 1)). Нормы элементов из .Р+ также равны между собой и совпадают с (¡( -ЪК{5Х0,1]) = т-4{ЪК[6Хв,1)).

Кроме того, показано, что норма аддитивна на рассматриваемом конусе, вследствие чего пространства (В[0,1},К\8Х0,1]) и (С[0, l),Ä"[5;c0,1]) обладав ют свойством единственности конуса, т. е. существование строго регулярного конуса Е+ такого, что К{5Х0,1] С Е+ или К[8Хо, 1] D Е+1 влечет за собой равенство К[6Хо, 1] = Е+.

3. Аннотация

Диссертация посвящена рассмотрению некоторых задач теории приближений в упорядоченных банаховых пространствах. В работе используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств.

Изучена возможность введения в конкретном банаховом пространстве строго регулярного конуса специального вида. Получено описание всех таких конусов. Для введенных строго регулярных круглых конусов изучен вопрос о расположении проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных частей, получено описание этих множеств. Получены новые формулы для вычисления наилучшего приближения произвольного элемента пространства строго регулярным круглым конусом. Исследованы геометрические свойства строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы).

Работа носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области теории полуупорядоченных пространств, а также теории экстремальных задач.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Кусра^ еву Анатолию Георгиевичу, а также Худалову Владимиру Темирсолтановичу, с которым обсуждались поставленные задачи и методы их решения.

4. Публикации по теме диссертации

1. Коробова К. В. О геометрии регулярных круглых конусов в пространствах и Ii.—Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, № 3.—С. 46-50.

2. Коробова К. В., Худалов В. Т. О порядке в абстрактном спин-факторе—Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, Л* 1.—С. 46-57.

3. Коробова К. В. Геометрические свойства пространства упорядоченного произвольным регулярным круглым конусом.—Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Ростов-на-Дону: Иэд-во ООО "ЦВВР".—2004.—С. 118.

4. Коробова К. В. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве .- Труды мол. ученых.—2005.—Вып.1—С. 11-24.

5. Коробова К. В., Худалов В. Т. О регулярных конусах Демарра-Красно-сельского.—Владикавк. мат. журн.—2006.—Т. 8, Я* 2,—С. 39-44.

6. Коробова К. В. Регулярные круглые конусы в пространствах ограниченных и непрерывных функций.—Вестник Тамбовск. универ-та.— 2006—Т. 11, Вып 3.—С. 278-280.

Подписано в печать 08.11.2006. Усл.п.л. 0,93 Формат бумаги 60x 84l/ie- Тираж 100 экз.

Издательство Владикавказского научного центра РАН 362025, г. Владикавказ, пр. Коста, 93.

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Конусы в векторных пространсгвах.

1.2. Упорядоченные нормированные пространства.

1.3. Различные виды ортогональности

1.4. Регулярные и строю регулярные конусы

1.5. Элементы теории приближений.

1.6. Описание всех регулярных круглых конусов в пространстве

Глава 2. Геометрия регулярных конусов в пространствах I" и

2.1. Круглый конус и конус Демарра-Красносельского.

2.2. Описание множеств Х+, X.

2.3. Нахождение расстояния от элемента до конуса.

2.4. Описание множества элементов наилучшего приближения.

2.5.11-орто1 опальная разложимость.

Глава 3. О порядковой структуре абстрактного спин-фактора

3.1. Изучение конуса в абстрактном спин-факторе.

3.2. Эквивалентность алгебраической ортогональности и ортогональности по Роберу.

3.3. Описание множеств |Х|, Х+, М{х)

3.4. Исследование множества Х+ П М(х).

3.5. К определению спин-фактора.

Глава 4. Регулярные круглые конусы в пространстве ограниченных и непрерывных функций

4.1. Описание строго регулярного круглого конуса.

4.2. Описание множеств Г-.

4.3. Определение расстояния от элемента до конуса.

В настоящее время теория упорядоченных векторных пространств составляет важное математическое направление, фактически один из основных разделов современно1 о функционально! о анализа.

Честь выделения класса порядково полных векторных решеток принадлежит Л. В. Канторовичу. Работая над дескриптивной теорией функции вещественной переменной, Л. В. Канторович решил вводить дескрипцию с позиции функционального анализа. Однако в банаховых пространствах отсутствовало упорядочение. Тогда и возникла идея обогащения аппарата функционального анализа — введения пространств, в которых определено отношение порядка. В 1935 году была опубликована первая заметка Л. В. Канторовича о линейных полуупорядоченных пространствах в Докладах Академии наук СССР, в которой он писал: "В этой заметке я определяю новый тип пространств, которые я называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих пространств позволяет изучать линейные операции одною общею класса (операции, значения которых принадлежат такому иросхранству) как линейные функционалы". Выделенный Л. В. Канторовичем класс упорядоченных векторных пространств, обладающих порядковой полнотой, имеет ряд принципиально важных специфических свойств, позволивших предложить новые методы исследования функциональных объектов. Теория таких пространств — их называют теперь пространствами Канторовича или /^-пространствами — стала одним из основных разделов функционального анализа.

В 1940 г. Л. В. Канторович приступил к подготовке итоговой монографии. Однако работа над этой монографией была завершена совместно с Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером лишь к концу 40-х годов. В книге «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (1950) впервые дается систематическое изложение теории К- пространств [24]. Она до сих пор является ценным пособием для специалистов в этой области.

С середины 1960-х гг на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета работал городской семинар по теории полуупорядоченных пространств, который возглавлял Б. 3. Вулих, заведующий кафедрой математического анализа и ученик Л. В. Канторовича. В конце семидесятых годов вышли две фундаментальные книги Б. 3. Вулиха [16], [17], в которых детально излагалась общая теория конусов в нормированных пространствах. В [16] рассмотрены нормированные пространства "с одним конусом", а более тонкие вопросы теории конусов приведены в [17].

Близкую к этому теорию пространств с конусами положительных элементов развил М. Г. Крейн и его ученики во главе с М. А. Красносельским. В книге [33] содержится сравнительно небольшое количество материала по теории конусов в банаховых пространствах, получившей значительное развитие в более поздние годы. В большом цикле работ М. А. Красносельского совместно с П. П. Забрейко, Е. А. Лифшицем, Ю. В. Покорным, А. В. Соболевым, В. Я. Стеценко ([34], [40]) в новых направлениях развивается теория М. Г. Крейна конусов и положительных операторов. Здесь выделены новые классы операторов с ведущими простыми собственными значениями, оценены спектральные зазоры, решен ряд геометрических задач и т.д. Выделенные классы охватывают, как оказалось впоследствии, операторы многих задач математической физики.

Теория полуупорядоченных пространств интенсивно разрабатывалась и на Западе, где этих вопросов касались работы Гаррета Биркгофа, X. Фрейденталя, Дж. фон Неймана, Ф. Рисса.

Все рассматриваемые обычно в функциональном анализе пространства естественным образом подходят под определение полуупорядоченного пространства. Существенное отличие таких пространств состоит в том, что здесь приходится рассматривать две сходимости. В 1964 г. американский математик Р. Демарр [52] опубликовал теорему о том, что в любом нормированном пространстве можно ввести такое частичное упорядочение, при котором сходимость по упорядочению (о-сходимость) совпадает со сходимостью по норме (Ь-сходимостью). При этом, если исходное нормированное пространство полно, то по отношению к вводимому упорядочению оно оказывается дедекиндово полным. Однако детальный анализ книги М. А. Красносельского [33], вышедшей еще в 1962 г., показывает, что в существенной своей части теорема Демарра уже содержится в этой книге, хотя и не сформулирована явно. При этом теорема оказывается верной и при гораздо более общем способе введения упорядочения, чем у Демарра, что показано в статье Б. 3. Вулиха и И. Ф. Даниленко [18]. Там рассмотрен конус вида К = ид>0 AF, где ^ - произвольное выпуклое множество. Естественным образом возникает задача исследования конусов данного вида, чему и посвящена одна из глав данной диссертации (задачи 1 и 2 см. ниже).

Включение упорядочения в исследование объектов функционального анализа значительно обогащает и разнообразит их. Кроме того, элементы полуупорядоченного пространства во многом очень близки к понятию числа по своим свойствам.

Ряд авторов рассматривали пространства, в которых введены две полуупорядоченности, т. е. определено два конуса. Соответствующие задачи рассматривали В. Я. Стеценко [40], И. А. Бахтин [7], Б. С. Кубекова [36] .

Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные раннее в нормированных пространствах. В начале 1970-х годов началось интенсивное изучение выпуклых операторов со значениями в упорядоченных векторных пространствах. В этот период произошел синтез методов выпуклого анализа с теорией упорядоченных векторных пространств. Изложение локальной теории выпуклых операторов имеется в книге Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [6]; современное состояние теории представлено в монографии А. Г. Кусраева [38].

Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов. Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом — банахова решетка. Существует ряд книг, в том числе переведенная на русский язык книга X. Шефера «Топологические векторные пространства» [46], в которых излагается общая теория конусов в линейных топологических пространствах. Однако развитие более общей теории конусов не лишает интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах. Во-первых, многие результаты имеют в нормированных пространствах более простой вид и получаются значительно проще, чем в общем случае, а в то же время в ряде приложений функционального анализа нормированные пространства продолжают играть основную роль. Во-вторых, в нормированных пространствах конусы поддаются более детальному изучению и здесь удается установить ряд специальных результатов, пока еще не перенесенных на общий случай.

Особое значение имеет определение регулярного конуса, которое впервые ввел Дэвис [51]. Оно нашло широкое применение в теории тензорных произведений и теории банаховых решеток. Понятие строго регулярного конуса было впервые подробно исследовано в работах В. Т. Худалова. Ему удалось описать регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве [43], установить, что в гильбертовом пространстве регулярность равносильна самосопряженности [44]. В [45] он впервые изучил аппроксимативные свойства положительной и отрицательной части элемента в банаховом пространстве. Кроме того, в [14] дано описание всех регулярных круглых конусов в пространстве Основные результаты В. Т. Худалова собраны в его монографии [42]: изложены свойства пространств со строго регулярными конусами, приведены соответствующие примеры. Отдельные главы посвящены изучению тензорных произведений банаховых пространств с конусами и исследованию порядков в различных подклассах непрерывных линейных операторов.

Под руководством В. Т. Худалова изучением некоторых свойств регулярно упорядоченных банаховых пространств занималась Энеева Л. М. В ее работе [47] устанавливается изометрия банаховых пространств определенных операторов, следствием которой является ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с введенной кросснормой.

Исследуя свойства упорядоченных банаховых пространств, В. Т. Худалов рассматривал примеры разложения конкретных элементов на положительную и отрицательные части, вычисления проекций элементов, тогда же возникла задача описания этих множеств для произвольного элемента, а также изучения расположения проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных элементов (задача 3 см. ниже).

Эта задача перекликается с одной из основных задач теории аппроксимации: Приближение фиксированного элемента х Е X фиксированным множеством F из X. В работах [25] и [41] доказаны условия существования и единственности элемента наилучшего приближения, общие критерии ближайшего элемента в выпуклом замкнутом множестве, в качестве частных случаев рассмотрены пространства С и Ьр. Однако редко можно встретить вывод явных формул, определяющих проекцию произвольного элемента на множество, а также величину наилучшего приближения. Данный вопрос для случая, когда F — круглый строго регулярный конус, решается на протяжении всей работы для различных пространств (задача 4 см. ниже).

Кроме того, при решении упомянутых задач возникает необходимость изучения геометрических свойств строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы), что является одним из основных вопросов, поставленных и решенных в этой работе (задача 5 см. ниже).

Теория полуупорядоченных пространств широко используется при исследовании экономических систем [39]. Например, при изучении производственного процесса А. И. Абакумов в [1] рассматривает модель Неймана-Гейла, которая представляет собой выпуклый замкнутый конус 2 С Я" х Я". При выводе достаточных условий равновесия модели "затраты-выпуск,,К. С. Демченко опирается на понятия и факты теории конусов [22].

Основным объектом изучения данной работы являются регулярные и строго регулярные конусы.

Целью диссертации является изучение геометрических свойств конкретных банаховых пространств, упорядоченных строго регулярными конусами.

Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств.

Интерес к пространствам, упорядоченным такими конусами, обусловлен тем, что:

1) рассматриваемый класс пространств является досхаточно широким, он содержит класс банаховых решеток и, кроме того, каждое банахово пространство эквивалентной перенормировкой можно превратить в пространство с регулярным конусом. В то же время известно, что существуют банаховы пространства, которые нельзя превратить в банахову решетку переходом к эквивалентной норме;

2) в этом случае норма и порядок согласованы наилучшим образом, что компенсирует в известном смысле отсутствие хорошего порядка;

3) в случае строго регулярного конуса удается найти аналоги положительной и отрицательной части элемента в банаховой решетке, а именно, определить множества положительных и отрицательных частей для произвольного элемента. При этом для некоторых пространств обнаруживается связь между проекцией элемента на конус и множеством его положительных частей и возникают вопросы об изучении расположения этих множеств.

Таким образом, в данной диссертации решаются следующие задачи:

1) Изучить возможность введения в конкретном банаховом пространстве строго регулярного конуса специального вида. В настоящей работе выделен класс конусов Демарра-Красносельского [52]. Доказано, что сопряженным к нему является круглый конус; выяснены условия, при которых конус Демарра-Красносельского является строго регулярным в гильбертовом пространстве и в пространствах п > 2.

2) Описать все такие строго регулярные конусы. В данной работе получено описание всех строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в гильбертовом пространстве и в пространствах п > 2. Кроме того, доказано, что в гильбертовом пространстве сопряженным к конусу Демарра-Красносельскою является снова конус Демарра-Красносельского.

3) Для введенных строго регулярных конусов изучить вопрос о расположении проекции произвольного элемента на конус и множества его положительных частей, получить описание этих множеств. В диссертации это сделано для:

1. Всех строго регулярных нерешеточных круглых конусов в пространствах I", п> 2.

2. Для всех нерешеточных строго регулярных конусов Демарра-Красносельского в пространствах п > 2.

3. Для конуса положительных элементов в абстрактном спин-факторе.

4. Для класса строго регулярных круглых конусов, порожденных функционалом 5Хд, в пространстве ограниченных на [а, Ь] функций, а также в пространстве непрерывных на [а, Ь] функций.

4) Получить явные формулы расстояния от произвольного элемента до произвольного строго регулярного конуса. Для всех перечисленных в пункте (3) пространств данные формулы найдены. Установлена интересная связь между нормой элемента и расстоянием от него до конуса.

5) Исследовать геометрические свойства строго регулярных конусов (н-дизъюнктная разложимость, вполне регулярность, вполне достижимость, наличие сильной единицы и единичной нормы). Данные вопросы решаются в диссертации для всех упомянутых выше строго регулярных конусов.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Приведем краткое содержание каждой из глав. Первая глава — вводная, в ней собран необходимый для дальнейшего изложения материал по теории упорядоченных векторных и нормированных пространств (§§ 1.1 - 1.2), определены различные виды ортогональности (§ 1.3). Кроме того, рассмотрен метод построения круглого регулярного конуса в произвольном банаховом пространстве, приведены необходимые сведения и результаты о регулярных конусах, рассмотрен случай гильбертова пространства (§ 1.4). Приведены некоторые определения и факты из теории приближений (§ 1.5). В § 1.6 приведено известное описание всех регулярных круглых конусов в пространстве /".

1. Абакумов А. И. Модели Неймана-Гейла.—ДГУ.—2004.—44 с.

2. Абрамович Ю. Ф. О максимальном нормированном продолжении полуупорядоченных нормированных пространств.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1970—К01—С. 7-17.

3. Абрамович Ю. Ф. Некоторые теоремы о нормированных структурах.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1971—Я» 13— С. 5-11.

4. Абрамович Ю. Ф. Инъективные оболочки нормированных структур—Докл. АН СССР.—1971.—Т 194.—№ 4.-С. 743-745.

5. Абрамович Ю. Ф. Об одном критерии Амемия полноты по норме нормированных структур.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1973.— Я» 7.-С. 150-152.

6. Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства,— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

7. Бахтин И.А. Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.— Учебное пособие для спецкурса. Воронеж: Изд-во ВГПИ.— 1984.

8. Бухвалов А. В. О пространствах со смешанной нормой.—Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия.—1973.—№ 19.—С. 5-12.

9. Бухвалов А. В. Приложения методов порядково ограниченных операторов к теории операторов в пространствах Ьр— Успехи мат. наук.—1983.—Т 38.— № б.-С. 37-83.

10. Бухвалов А. В. Порядково ограниченные операторы в векторных решетках и пространствах измеримых функций.—Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.:ВИНИТИ, 1988-Т 26.-С. 3-63.

11. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Гейлер В. А. Нормированные решетки.—Итоги науки и техники. Математический анализ.—М.¡ВИНИТИ, 1980.—Т 18.— С. 125-184.

12. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Лозановский Г. Я. Банаховы решетки — некоторые банаховы аспекты теории.—Успехи мат. наук.—1979.—Т 34.—№ 2.— С. 137-183.

13. Бухвалов А. В., Короткое В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М. Векторные решетки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1992.-214 с.

14. Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в /".—Вестник СОГУ. Естественные науки.—1999.—№ 1,—С. 5-6.

15. Власов Л. П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах.—Успехи мат. наук.—1973.—Т 28.—Вып. 6.—С. 3-66.

16. Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.— Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.-84 с.

17. Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.—84 с.

18. Вулих Б. 3., Даниленко И. Ф. Об одном способе частичного упорядочения нормированного пространства.—Вест.Ленинг.ун-та, 1970.—Вып. 19.—С. 18-22.

19. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: Физ-матгиз, 1961.—407 с.

20. Гейлер В. А., Чучаев И. И. Общий принцип локальной рефлексивности и некоторые е1 о применения в теории упорядоченных пространств,—Докл. АН СССР.—1980.—Т 254, № 1-С. 17-20.

21. Гейлер В. А., Чучаев И. И. Общий принцип локальной рефлексивности и некоторые его применения в теории двойственности конусов.—Сиб. мат.журн.—1982.—Т 23, № 1-С. 32-43.

22. Демченко К. С. Теоремы о неподвижной точки отображения и равновесие в экономических системах,—Воронеж: Вестник ВГУ.—2001.—№ 2—С. 93-95.

23. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—Москва.: Изд-во "Наука"-1977.-742 с.

24. Канюрович JI. В., Вулих В. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—Москва.: Гостехиздат.—1950.—548 с.

25. Корнейчук Н. П. Эксремальные задачи теории приближения.—Москва.: Изд-во "Наука".—1976.—320 с.

26. Коробова К. В О геометрии регулярных круглых конусов в пространствахи /i-Влад. мат. журн.-2003.-Т. 5, № З.-С. 46-50.

27. Коробова К. В. Геометрические свойства пространства /", упорядоченного произвольным регулярным круглым конусом,—Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР".—2004.—С. 118.

28. Коробова К. В. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве /".—Труды мол. ученых.—2005.—Вып.1—С. 11-24.

29. Коробова К. В. Регулярные круглые конусы в пространствах ограниченных и непрерывных функций.—Вестник Тамбовск. универ-та.—2006,—Т. 11, Вып З.-С. 278-280.

30. Коробова К. В., Худалов В. Т. О порядковой структуре абстрактного спин-фактора.-Влад. мат. журн.-2004.-Т. 6, № 1.-С. 46-57.

31. Коробова К. В., Худалов В. Т. О регулярных конусах Демарра-Красносельского .—Влад. мат. журн.—2006.—Т. 8, № 2—С. 39-44.

32. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений.— Москва.:Физматгиз—1962.—394 с.

33. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. И. Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов.—М:Наука, 1985.—255 с.

34. Крсйн М. Г. Основные свойства нормальных конических множеств в пространствах Банаха.—ДАН СССР, 1940.-ДО 4.-С. 13-17.

35. Кубекова Б. С. Приближенные решения операторных уравнений с монотонными операторами в пространствах с двумя полуупорядоченностями.— ННГУ, 2001.-20 с.

36. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. II.-Новосибирск: Наука, 2003.-372 с.

37. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

38. Макаров В. JJ., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия—М.: Наука, 1973.—336 с.

39. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.-145 с.

40. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.—Москва.:ДАН СССР, 1960.-81-120 с.

41. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.— Владикавказ: Иристон, 1999,—200 с.

42. Худалов В. Т. Регулярные конусы в гильбертовом пространстве.— Сиб.мат.журн., 1996.—Т 371.-С. 193-196.

43. Худалов В. Т. В гильбертовом пространстве регулярность конуса равносильна самосопряженности.—Матем. заметки., 1998.—Т 64— Вып. 4.—С. 616-621.

44. Худалов В. Т. Аппроксимативные свойства положительной и отрицательной частей элемента в упорядоченных банаховых пространствах.—Мат. заметки. 1996.—Вып. 5.-С. 793-798.

45. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—359 с.

46. Эпеева Лейл а М. О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств .—Влад. мат. журн,—1999.—'Т 1, № 4,— С.55 -59.

47. Aliprantis C. D., Burkinshaw 0. Locally solid Riesz spaces.—New York ets.: Acad.press, 1978.-xii.-198 p.

48. Aliprantis C. D., Burkinshaw 0. Positive operators.—New York: Acad.press, 1985.-xvi.-367 p.

49. Ando T. On fundamental properties of a Banach space with a cone.—Pacific J. of Math., 1962.-12.-P. 1163-1193.

50. Da vies E. B. The structure and ideal theoy of the predual of a Banach lattice.— Trans.Amer.Math.Soc., 1968.-V 131.—P. 544-555.

51. DeMarr R. E. Order convergence in linear topological spaces.—Pacific J. of Math., 1964.-M -P. 17-20.

52. Jameson G. J. 0. Ordered linear spaces.—Berlin ets.: Springer, 1970.—194 p.— (Lecture Notes in Math.; 141).

53. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V.2. Function spacesBerlin ets.: Springer, 1979-x, 243 p.

54. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces.—Berlin ets.: Springer, 1973.

55. Meyer-Nieberg P. Banach lattices.—Berlin ets.: Springer, 1991.

56. Peressini A. I. Ordered topological vector spaces.—New York: Harper&Rovv, 1967.-228 p.

57. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984.—208 p.

58. Wong Y.-Ch., Ng K.-F. Partially ordered topological vector spaces.—Oxford: Clarendon press, 1973.-217 p.

59. Zaanen A. C. Riesz spaces. V/2—Amsterdam ets.: North-Holland, 1983.-720 p.