К теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ч

01

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИК^д ^ЭД]

УЗБЕКИСТАН

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

УДК 517.956

МИРСАВУРОВ Мирахмат

К ТЕОРИИ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ И УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент - -2000

Работа выполнена в Институте математики им. В.И.Романовского Академии Наук Республики Узбекистан.

Научный консультант: академик М.С.САЛАХИТДИНОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.П.СОЛДАТОВ, доктор физико-математических наук М.А.САДЫБЕКОВ, доктор физико-математических наук А.Р.ХОЛМУХАМЕДОВ.

Ведущая организация: - НИИ Лрикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН. г.Нальчик.

Защита состоится 2000г. в 111 часов на за-

седании специализированного совета Д 015.17.01 при Институте математики им.В.И.Романовского АН РУз. по адресу: 700143, Таш-кент-143, Академгородок, ул.Ф.Ходжаева, 29. Институт математики им. В.II.Романовского АН РУз.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В.И.Романовского АН РУз.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат.наук ^^

Ж.О.ТАХИРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория вырождающихся гиперболических п эллиптических уравнений берет свое начало от фундаментальных работ Г.Дарбу, Е.Хольмгрена, п С.Геллгрстедта, опубликованных, соответственно, в 1894, 1927 и 1936 годах.

Для уравнения смешанного типа

Т{и) = уи„ + ип = 0 (1)

первые фундаментальные исследования были выполнены итальянским математиком Франческо Три коми в 1920 году. Ему принадлежит постановка и решение следующей оадачп, носящей в настоящее время название задачи Трпхоми: в области D, ограниченной дугой /Кордана лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках Д(0,0), 2?(1,0), и отрезками АС и ВС характеристик х - (2/3)(-у)3/2 = 0, I + (2/3)(-1/)3/2 = 1 уравнения (1), выходящих из точки С( 1/2, -(3/4)2/3), ищется регулярное решение и(х,у) этого уравнения непрерывное в D и удовлетворяющее условиям

«(*. У) = А*, У), У) € Г, (2)

и(х,у) = ф(х), (х,у) е АС, (3)

ijg,«»8^«». х € (.0,1), (4)

где (р(х,у), ф(х)~ заданные непрерывные функции.

После этой работы теория краевых задач для уравнений смешанного типа стала развиваться в основном в двух направлениях.

Первое направление - это исследование задачи Т^шкоми для более общих уравнений второго порядка, среди которых следует отметить работы С.Геллерстедта (для уравнения угп~1иХ1+ит-си = F(x,y), п € N); А.В.Бпцадзе (для уравнений urx + signyttw = 0, y2nuzz + yuvv +ß0uv = 0, h 6 Ar); К.И.Бабенко (для уравнений A'(y)u,r+t% = 0, j/M„+«ro+c(x,у)и =r 0); Н.И.Кароля (для уравнения второго рода «„ + signy\y\mUy,, = 0, 0 < m < 1); С.П.Пулькпна (для уравнения v„ + signyun + a{x,y)uz + b(x,y)uv+c(x,y)u = 0). В работах А.М.Нахушева, М.М.Зайнулабпдова, М.С.Салахитдинова, А.Толппова п других авторов задача Трнкоми исследуется для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения.

Второе направление - это различные модификации задачи Топкими, средп которых отметим работы Геллерстедта для уравнения

^"-'и,: + иУ11 = 0, n&N

Геллерстедт исследовал видоизмененную задачу Трикомп, когда наряду с (2) носителями данных вместо (3) являются определенным образом подобранные отрезки характеристик этого уравнения. Ф.И.Франкль пришел к важному обобщению задачи Т^лшшп для уравнения К{у)ихг + ию = 0, когда граничные значения искомой функции задаются на Г и некоторой нехарактеристпческоп дуге АЕ, расположенной внутри характеристического треугольника и пересекающей каждую характеристику второго семейства не более одного раза. Точка Е лежит на характеристике ВС уравнения К(у)иТ1 + — 0." В дальнейшем .чту задачу будем называть обобщенной задачей Т^шкоми. Ф.И.Франкль для уравнения (1), затем А.В.Бпцадзе для уравнения игг + вгдпущу = 0 доказал единственность и существование обобщенной задачи Т^икоми. Эту задачу для уравнения гиперболо- параболического типа исследовал Т.Д.Джураев. Г.Каратопраклпев обобщил задачу Т^шкоми для уравнения (1) на случай, когда при переходе Через линию параболического вырождения решение «(х,у) и его производная иу могут иметь разрыв первого рода и на этой линии удовлетворяют условиям склеивания

и(х,-0) = о(х)и(х,+0) + 7(а:), х б /,

В работах Л.Е.Бостровон, Ю.М.Крикунова, М.М.Смирнова исследованы оадачп для уравнения смешанного типа, когда на Г вмё-' сто условия Дирихле (2) задаются производные искомой функции..

Решающим моментом в развитии теории краевых задач для уравнении смешанного типа является принцип окп ремума А.В.Би-цадзе, который широко используется при доказательстве единственности решения задач и дает возможность применить альтернирующий метод Шварца для решения задачи Т^пкоми при довольно общих предположениях на кривую Г.

Исследованию различных модификаций задачи Т^икоми для ура-В1 'зний высокого порядка посвящены работы А.В.Бццадзе и М.С.

Салахптдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, А.И.Кожанова, С.А.Абдпназарова, весьма исчерпывающая библиография по таким задачам содержится в монографиях М.С.Салах~тдинова, Т.Д.Джураева, А.И.Кожанова.

К началу семидесятых годов многие вопросы теории краевых задач для уравнений смешанного типа уже приобрели математически законченный вид, и дальнейшие успехи в этом направлении во многом определялись качественно новыми задачами.

В 1969 году А.В.Бицадзе и А.А.Самарскпй сформулировали и исследовали новую задачу для равномерно эллиптического уравнения. Своеобразие этой задачи состоит в том, что граннчные значения искомого решения повторяются во внутренних точках области, где искомая функция должна удовлетворять уравнению. После этой работы в математической литературе появился ряд работ, посвященных задачам типа задачи Бицадзе-Самарского для многих видов уравнений в различных формулировках, среди которых следует выделить работы А.В.Бпцадзе , М.С.Салахптдинова, А.Толипова, А.М.Нахушева, В.А.Нлыгаа, Е.И.Моисеева и многих других.

Характерной особенностью этих задач для уравнений смешанного типа является то, что в эллиптической части смешанной области условие Бпцадзе-Самарсхого связыв^т значения искомого решения на части границы и на внутренной кривой, параллельно отодвинутой этой части границы во внутрь области, а в гиперболической части области нелокальное условие поточечно связывает значения искомого решения на обеих характеристиках. Здесь в отличие от задачи ТУчшшп обе характеристики равноправны как носители граничных данных. •

Заметим, что наряду с задачами типа задачи Бпцадзе-Самарс-кого развиваются и задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром, это работы Е.И.Мопсеева, Т.Ш.Каль-менова, С.М.Пономарева и др. Задачи со спектральным параметром в краевом условии исследованы в работе Н.Ю.Капустина, Е.И.Мопсеева.

Несмотря на большое количество работ, посвященных задачам типа задачи Б пцадз е-Самарского для уравнении смешанного (эллпптпхо- гиперболического) типа, в математической литературе не встречаются работы, в которых исследовались бы задачи

с условиями, связывающими значения искомого решения на части границы эллиптичности и на произвольной внутренней кривой (не параллельной границе) или на линии вырождения, а также задачи с условиями в виде поточечной связи значений искомого решения на характеристиках одного семейства.

Также не встречаются задачи типа задачи Бицадзе-Самарского, для вырождающихся гиперболических уравнений с условием Бицад-зе-Самарского на характеристике и на произвольной монотонной кривой с концами на отрезке вырождения и на характеристике, лежащей в характеристическом треугольнике.

Долгое время вопрос о корректных постановках таких задач оставался открытым, и настоящая диссертация посвящена исследованию вышеуказанных актуальных вопросов теории краевых задач для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа.

Цель работы. Исследовгние вопросов существования и единственности решения новых задач с аналогами условия Бицадзе-Самарского для вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами.

Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач доказывается методом принципа экстремума. Существование решения рассматриваемых задач доказывается методом интегральных уравнений. При этом широко используется теория линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода, теория Нетера сингулярных интегральных уравнений. Для решения интегро-функционального уравнения используется обычные методы итерации и последовательных приближений. В эллиптичг 'кой части области используется интегральное представление решений задачи Дирихле и видоизмененной задачи Хольмгрена с помощью функции Г^ина, а в гиперболической части области используется формула Дарбу, дающая решение видоизмененной задачи Коши. При решении задачи с у< .гоиием Бицадзе-Самарского на характеристиках одного семейства для уравнения смешанного типа исследуются интегральные уравнения Трикоми со сдвигом в несуммируемой части ядра, получены формулы обращения.

Научная новиона. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Впервые исследована задача Бицадзе-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами

-(-»Г»«« + «» + (а0/(-у)1-п,/2К + (&/»)«» = 0- (5)

Задача изучена в зависимости от изменения параметров с*о и

А,-

2. Построены примеры, указывающие существенность выполнения определенных требований, налагаемых на заданные функции э краевых условиях и существенность выбора класса где ищется решение задач.

3. Исследовано интегральное уравнение Вольтерра со слабой особенностью, содержащей сдвиг.

4. Впервые исследовано сингулярное интегральное уравнение с переменным верхним пределом и с некарлемановским сдвигом, отображающим отрезок интегрирования в себя.

5. Для вырождающегося эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом, построена теория потенциала, с помощью которой решена задача Дирихле и впдоизменная задача Хольмгрена,

6. Изучен аналог задачи Бицадзе-Самарского для вырождающегося эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом, где нелокальное условие связывает значения искомого решения на части границы области и на нескольких внутренних разомкнутых кривых .

7. Исследована задача Бицадзе-Самарского для вырождающегося внутри области эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом, где условие Бицадзе-Самарского связывает значения искомого решения на части границы области и на отрезке вырождения.

8. Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом исследована нелокальная задача, которая отличается от задачи Т^пкоми тем, что на первой части характеристики задается значение искомой функции, а на второй части той же характеристики и параллельной ей характеристике, лежащей внутри области, поточечно связываются значения искомой функции.

9. Найдены формулы обращения сингулярных интегральных уравнений Т^пкоми со сдвигом. Исследованы свойства оператора обращения.

10. Для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом исследована задача, которая отличается от задачи Три-коми тем, что здесь на определенных частях границы эллиптичности вместо условия Дирихле задаются условия, которые поточечно связыгаю* значения искомого решения на этих частях границы и на частях отрезка вырождения. При этом на линии вырождения условия сопряжения задаются в общем виде.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Постановки задач новые. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач типа задачи Бицадзо-Самарского для вырождающихся уравнений и уравнении смешанного типа с сингулярными коэффициентами на линии вырождения, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на общегородском семинаре по дифференциальным уравнениям "Современные проблемы теории дифференциальных уравнений в частных производных" Института Математики АН РУз (Руководители академики Т.Д.Джураев и М.С.Салахитдинов); на семинаре "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" НУУ именп Мирзо Улугбека (Руководитель: член-корр. АН РУз Ш. А .Алимов); на семинаре "Оптимальные процессы и дифференциальные игры" НУУ имени Мирзо Улугбека (Руководитель: член-корр. АН РУз Н.Ю.Сатимов); на научно-исследовательском семинаре МГУ им. М.В.Ломоносова (Руководитель: член-корр. РАН Е.И.Мопсеев); на международных конференциях "Вырождаю'циеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993г.; г.Фергана, 1998г.); "Дифференциальные ура-, вненпя и их приложения" (г. Ашгабат, 1995 г.); "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (г.Нальчик, 1996г.); на 1-съезде математиков Казахстана (г.Шымкент, 1996 г.); на Ш-Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г.Новосн-бирск, 1998г.).

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из вве-

дения, четырех глав и списка литературы. Она изложена на 204 страницах машинописного текста. Список литературы включает 108 наименований.

Перейдем к обоору содержания диссертации.

В 1-ой главе, состоящей из шести параграфов, исследуются задачи Бицадзе-Самарского для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений вида (5), которая рассматривается в конечной односвязной области D комплексной полуплоскоти z = х + iy, Jmz < 0, ограниченной характеристиками

где А = А(-1,0), В =»£(1,0) и отрезком АВ оси у = 0. Уравнение (5) интересна тем, что оно содержит сингулярные коэффициенты при младших членах и для него не выполняется известное условие Проттера:

(б)

нормальной разрешимости задачи Коши для вырождающегося гиперболического уравнения :

К(у)Цх, у)нхх + «то + а(г> У)"» + Ь(х, у)щ+ +c(x,y)U = f(x,y),

где Л(х,у) > 0, А'(0) = 0, К(у) < 0 при у < 0.

Тем не менее при |а0| < т/2, 0q = O задача Коши для уравнения (5) поставлена корр^тно. Это говорит о том, что условие (6) является только достаточным и не является необходимым условием нормальной pat решимости задачи Коши. Кроме того, уравнение (5) при m = 2, «о = -1, Ро = 0 называется уравнением Бицадзе-Лыкова:

-У2«« 4- иуу - иг = 0, (7)

и для этого уравнения в области D справедливы следующие утверждения.

■Теорема 1. Однородная задача, соответствующая неоднородной задаче Дарбу

uy(x,Q) = v(x), xeJ; u\BC = i{>(x), х6[0,1], (8)

где

1/(г)еф)пС2(Л, е С'(7)пС2(/),

для уравнения (7) имеет бесчисленное множество линейно независимых решений, а неоднородная задача Дарбу разрешима тогда п только тогда, когда и(х) = 2VI - х1+''(х), Ух е J.

Все нетривиальные решения однородной второй задачи Дарбу, соответствующей задаче (7), (8), задаются формулой

и(х,у)=т(х + у2/2)-т(1),

где г(х)~ произвольная функция из класса С(7) пС2(7). Для уравнения (7) опять рассмотрим задачу Дарбу с данными теперь на характеристике АС:

иу(х,0)=1/(х), xeJ; и\лс = ф(х), х е [-1,0]. (9)

Теорема 2. Задача (7), (9) в области 2? имеют единственное решение.

Теоремы 1 п 2 позволяют сделать следующие выводы: в отличие от строго гиперболических уравнений, для вырождающихся ги- . перболических уравнений вида (5) из корректности задачи Коши не следует, вообще говоря, корректность соответствующих задач Дарбу, а также равноправие характеристик как носителей данных Дарбу.

Уравнение (5) при а0 = 0 :

-(-у)тигх + "уу + (/УуК = 0, (10)

было объектом исследования многих математиков.

Вообще говоря, обычная задача Коши для уравнения (10) может быть не корректной. А.В.Бнцадзе для уравнения (10) прпво- * дит пример, что при однородных начальных данных Коши уравнение (10) при = - (т/2) имеет нетривиальное решение вида

"()(•£, У) =т0

-т0

- , ^

т + 2 '

где т0(х)- произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. В связи с этим А.В.Бнцадзе исследовал задачу Коши с видоизмененными начальными данными

и(х,0)=г(х), х € Дто(-у)ЛдН = 1/(х), х €

ио{х,у) = I

где -(m/2) < >% < 1.

Заметим, что при ßo > 1 решение и(х,у) уравненпя (10) перестает быть ограниченным в близи отрезка вырождения J. Это видно хотя бы из частного решения вида

(-у)1-^ при А, 5*1, 1п(-у) при 0О - 1.

В случае ßo> I ДЛ-Я корректности задачи Коши начальные данные должны иметь вид

Дшо(-у)А-Ц*,у) = г(х); Дт ((-уГ°~1и(х,у)),

а при ßo = 1 задача Коши корректна при следующем виде начальных данных

А-о /л(-у)<т+2)/2

и(х, у) - А(х, у)

X € J.

Таким образом, конструктивные и дифференциальные свойства решений существенно зависят от параметров г*о и 0о при младших членах уравненпя (5).

В §1 главы I приводится описание основных обозначений и формулировка задачи Г(/?0 < 1,Оо < 0).

На плоскости параметров ftQ0/JQ рассматривается квадрат AqDqBqCq, ограниченный прямыми

A0Dq: 0о-ао = {т + 4)/2, D0B0: 0о + ао = (т + 4)/2,

.BQCq : 0о-ао = -(т/2), Л0С0 : 0О + а0 = -(т/2),

п в зависимости от места нахождения точки Р(ао,0о) в этом квадрате формулируются и-исследуются краевые задачи для уравненпя (5).

Пусть монотонно убывающая кривая у: у = -у(х) е С2[с,Х]] с концами в точках Е = £(с,0) nCi(ji,yi) е ВС, где се [-1,1), х} s (0,1), лежпт внутри области D п здовлетворяет условию

0 <ym/2(x)Y(x) < 1. (11)

Примем обозн< ения

t(T) = U(X,0), xeJ; »/(х) = Дто(-у)А^, х 6 J; (12)

^(1+*о)] , XOZJ,

,2/(m+J)

Г ш 4- 2 iWn+Ч J

0*(xo) = 6(xo)-i[2ip(xo-6(xo))J , х0€М; (13) а = |m + 2(/30 + a0)]/2(m + 2), = [m + 2(Д, - o0)]/2(m + 2),

где 0(хо)(0*(хо))- аффикс тонки пересечения характеристики АС ( кривой у = ~7(я)) с характеристикой, выходящей из токи хц 6 J (х0 е [с, 1]). Заметим, что й(х) < х, VxeJ\{c), 6(c) = с, ¿(1) = I] II в силу условия (11)

2 < 6'(х) < 1. . (14)

На J введем дважды непрерывно дифференцируемую функцию р(х) со свойствами

0<pf(x)<q<l, р(х)>х, Vx€ J\{1),

р(-1) = с, Р(1) = 1, (15)

где q — const. В сййу (14) и (15) функции <р(х) = 26(р(х)) -р(х) и обратимы в области До = {(x,t): V(x) i ' <-1 < х < 1}. Тогда в области До имеют место следующие тождества

t-v(x) = (<p-(t)-x)T;1/a(x,t),

p(x)-< = (x-p'(0)37W(x,<), (16)

где х = ¡p'(t) hi = p'(t) обратные фнук-ди к ф>гациям х = p{t) и х = p(t) соответственно. Г|(х,<) > 0, T2(x,t) > 0 и дважды непрерывно дифференцируема в До.

I. Пусть Р(а0,/30) е АА0С0Е0 и А0С0 и {С0}, где Е0 = Е0(0,1). . . Задача Г(Д> < 1,Оо < 0). Найти функцию и(х,у) со следующими свойтсвамп:

1. u(r.,y) е Сф), причем функция i/(x) € C2(J/

2. и(х,у)- регулярное в области D решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям /

и(х,0) = т(х),' хе J; (17)

г^*)] = М*М0'(я(*))]+Р(*)> xeJ, (18)

где заданные функции т(х),р(х),р(х) е С3(7), причем

Кг) = (1-*№0, /2 (х)еС\1), (19)

г<*>(-1) = 1) = 0, * = 0,1,2; 1 - ,,(х) * 0.

В §2 главы I задача Г(/30 <1, «о < 0) исследована в случае, когда с = -1, р(х) = х, доказана следующая

Теорема 1.1. Пусть Р(а0,Ро) е ДЛ0С0£Ьи Л0С0и {С0}, тогда задача Г(/30 < 1,а < 0) имеет единственное решение.

А. Рассмотрим случай, когда Р(а0,р0) б /\А0С\Е0. Тогда 0 < а, 0 < I, а + /3 < 1, а - 0 = 2а0/(т + 2) < 0. Используя формулу Дарбу:

«(*,») = 71 ) г[х + +1)^(1 - «)-'Л+

+72(-У)1~А + (20)

где

_Г{а + Р)2'-а-0 . Г(2 - а -

71 ~ Г(а)Г(/3) ' 72 (1-Д,)Г(1-а)Г(1-/?)'

дающую в области £> решение видоизмененнрй задачи Коши с начальными условиями (12), в силу краевых условий (17) и (18) получим следующее интегральное уравнение относительно неизвестной функции и(х):

(21) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и вдоль кривой < = 91 (х) его ядро имеет слабую особенность порядка /, где / = 1 + а - Р = 1 + 2а0/(т + 2) < 1, <рх{х) = 26(х) - х. Функция А'1(х,<) е С(До\7о), на кривой у0 : < = ^(х) она терппт разрыв первого рода, ^(х) б С2(</). • Для однозначной разрешимости уравнения (21) достаточно потребовать, чтобы

/х(х) = (1+х)2//1(х), (22)

где ft\(x) 6 C3(J). Если отказаться от требования (22), то решение уравнения (21), вообще говоря, не единственно.

Пример 1. Пусть условие (22) не выполнено и ¡t(x) •= Но - const, а 7 : у = -у(х) = ~{(т + 2)(1 + х)/2А;)2/(т+2), тогда ¿(х) = <Pi(x) -ах-Ь, где а = (к - 1 )/(к + 1), b = 1 - а. При F(x) н 0 и сделанных допущениях уравнение (21) имеет вид

и(х\ - и*сп f F(-q'l - 2 - « - ft W(1 - qg)M-l + "(1 + I

, „ / F(/?,1 -a, 2;a(l - а)/(а + Ьо))и(ах-b + b(l -4- x)a)da J ; а»+—/»(в + ба)Д 1

Нетрудно убедиться, что функция i/(x) = (1 + х)А, А > а - 1 при определенном подборе ро удовлетворяет последнему уравнению, а нетривиальные решения соответствующей однородной задачи Г (А) <1, £*о - 0) °РИ

_ (3k + Z\x F(1 - /?, -А, 2 - a - /7; 2/3) ^-{W+ï) F(1 -р,-\,2-а-0;2/(к + 2))

имеют вид

«(*,») = (-У)1"" | (1 + *+ (1 + <)_Й(1" =

■Г (1 - а, -Л, 2 - а - Л ^/ (-„) V - , -1)).

Пусть выполнено условие (22). Применяя метод итераций к уравнению (21), для п-ой итерации получаем

(23$ ■

-1 |<-рп(*)|

где <р„(х) = р„_1(<(51(х)), <р0(х) = х.'Пусть п = [1од2(4/(/3-а))] ([ж]- антье х, то есть целая часть числа х) тогда 2("-01 _ 2"-1 + 1 < 0. Следовательно, уравнение (23) есть интегральное уравнение ^ольтерра второго рода с ограниченным ядром в До, /п(х) 6

С\3).

B. Пусть Р(а0,/30) б Л0с0, то есть а0 + Л> = ~(т/2)> а = О, О < /3 < 1. В этом случае задача Г(/30 <1, «0 < 0), с использованием соответствующей формулы решения видоизмененной задачи Коши, так же, как и в случае Р(ао,Ро) е АА^СоЕо эквивалентно сводится к решению интегрального уравнения (21).

C. Пусть Р(а0,А)) = С0{0,-т/2), то есть а = /3 = 0. В этом случае, используя формулу Даламбера, задачу Г(Д> = -т/2, а0 = 0) сведем к решению следующего интегро-функциональнрго уравнения г

и(х) = А{х)и(26{х)-х) + В(х) / »{1)<И + С{х). (24)

2<(х)-х

Решение уравнения (24) будем искать в классе функций, ограниченных в точке х —

Заметим, что для однозначной разрешимости уравнения (24) наряду с условием (22) существен и класс решений, где ищется решение уравнения (24). Если отказаться от требования ограниченности решения у(х) в точке х = -1, тогда соответствующее однородное уравнение может иметь нетривиальное решение.

Пример 2. Пусть функции //(х) и -у(х) удовлетворяют требованиям примера 1, тогда уравнение (24), где С(х) = 0, при сделанных предположениях имеет вид

и(х) = ши(ах - Ь), ш = -110Ьа/(1 - ЦоЬ) < 1. (25)

Нетрудно убедиться, что при Л = -1одаи < 0 функция и{х) = (1 +х)А будет нетривиальным решением уравнения (25), которая не ограничена при х = -1. Нетривиальное решение однородной задачи Г(Д> = -т/2, а0 = 0) при

(¿•+1)А

имеет вид

«<*'»> ={1+Х + М ' {1 + « " ¿2^ •

О- Пусть Р(а0,/30) е С0Е0: т.е. о0 = 0, -т/2 < (30 < 1, а = /3. В этом случае интегральное уравнение (21) задачи Г(/30 <1, а0 = 0) имеет вид

Х6<7, (26)

где

rr/r -Ki(x,t) при -1 <t<v(x),

KY{x,t) При <p(x)<t<x,

ф)=<Р1(х), F(x)=Fi(x).

Введем следующий класс обобщенных решений видоизмененной задачи Коши.

Определение. Выражение вида (20), где а = р, будем называть обобщенным решением класса i?i уравнения (5), если г (а:) удовлетворяет условию Гельдера с показателем о>\ > 1-/3 при -1 < t < 1, а функция и(х) удовлетворяет условию Гельдера с показателем а2> 0 при -1 < t < 1.

Лемма 1.1. Если и(х,у)~ обобщенное решение класса i?i уравнения (5), то ut и иу непрерывны в треугольнике 'ADC, а (-уУ1°ии непрерывна вплоть до линии вырождения и liin (-j/J^tiy =

и(х), х е J.

Доказательство леммы 1.1 проводится аналогично доказательству леммы К.И.Бабенко.

Решение задачи Г(/30 <1, о0 = 0) будем искать в классе Ri в . предположении, что r(x),/>(x),/j(x) е C^J), причем

M*) = (1-*V(*)> (27)

где ц'(х) € CH J).

Так как <р(х) < х, то уравнение (26) является сингулярным интегральным уравнением с некарлемановским сдвигом ^(х). Заметим, что сдвиг 9?(х) называется сдвигом карлемановского типа к-то порядка, если для некоторого к >2 <р(<р ■ ■ ■ ¡р(х) ■ ■■) = х. Например, сдвиг у?(х) = (х-с)/(хс-1) является сдвигом карлемановского типа второго порядка.

Теория Нетера для уравнешш с карлемановским и некарлсмано-вскими сдвигами разработана достаточно хорошо. Характерной особенностью сдвига ¡р(х), рассмотренного в этих работах, яв-г ляется то, что сдвиг ¡р(х) отображает линию пи iггрирования на себя. В уравнении (26) сдаиг ^(х) отображает отрезок интегрирования в себя п имеет единственную неподвижную точку х = -1.

Теорема 1.2. Пусть:

1) !-р(х) - монотонно возрастающая непрерывно дифференцируемая функция на J, причем i^'(x) < g0 < 1, у>(-1) = -1 и ip(x) < х VI € //{-1};

2) функция #(х,<) представлена в виде

Я(х,<) = (1-*')#'(*,<), (28)

где Н*(х, <) удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным

3) функция удовлетворяет условию Гельдера на 3 и непрерывна при х = 1, а при х = -1 допускает интегрируемую особенность порядка Л < 1 - р.

Тогда уравнение (26) одназначпо редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции 1>(х).

В §3 главы I исследуется задача Г(Д) — 1,с*о < 0). И. Пусть Р(а0,А>) ^ А0Е0> т.е. Р0 = 1, а + р = 1. В этом случае решение и(х,у) на линии вырождения 3 имеет логарифмическую особенность, с учетом этого сформулирована

Задача Г(/?о = 1, «о < 0)- Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1. и(1,у)6с(адпс2(1)),

2. и(х,у)~ регулярное в области И решение уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям:

= (29)

и(0(х)1 = *|(х)«![0'(а1)1+ *>(*), хе.7, (30)

'заданные функции г(х), ц(х), р(х) е С3(7), причем ц{х) удовлетворяет условию (22).

Заметим, что здесь как и в §2 с = -1.

Решение уравнения (5) в области Б, удовлетворяющее условиям (29) и

ц(х,у)~ А(х,у)

х е У, (31)

где

■(^^[^(-у)^]«, (32)

имеет вид

•а-О-'А + лОг.у). (33)

Задача Р(/?о = 1, ао < 0) в силу краевого условия (30), с учетом (33), сводится к решению интегрального уравнения вида (21), где а = 1 - /9.

В параграфе 4 главы I задача Г(Д) <1, ао < 0) исследуется в случае, когда кривая у = -ч(х) совпадает с характеристикой

ад:

где Е = £(с,0), с е J, С\ е ВС т.е. исследуется аналог задачи Бицадзе Самарского с условием связывающим значения искомого решения на характеристиках одного семейства. В этом случае

<?Чхо) = £о+£_1

т + 2, > —Г~(х о ~ с)

2/(т+2)

х0е [с,1],

т.е. 0*(хо) * аффикс точки пересечения характеристики ЕС\ с характеристикой исходящей из точки (х0,0), х0 е [с,1]. Для простоты исследований положим р(х) = Ьх + а, где а = (1+ с)/2, Ь = (1 — с)/2; ц(х) = (¡а = const.

Пусть Р(а0,р0) е AAqCqE0.

Теорема 1.3. Решение задачи Г(/30 < 1,а < 0) при выполнении условия

l/^1-«-^! (34)

где q е (0,1), существует и единственно.

Задача эквивалентным образом сведена к решеншо функционального уравнения для определения неизвестной функции и(х) :

f(x)=«i/(p(i)) + F(i), xeJ, (35)

где ы = рЬ1-"-", F{x) е C4J).

Решение функционального уравнения (35) будем искать в классе функций, ограниченных в точке х = 1. Если отказаться от этого

требования тогда соответствующее однородное функциональное уравнение (35) может иметь нетривиальное решение вида

и(х) - (1 - х)\ А = -1одьы < О,

а соответствующая однородная задача Г(/?о < 1, ао < 0) при /i = 1, А =» + /?-1 имеет нетривиальное решение

«(*, У) = / (l - * - ¿^ 1 + <)"°(1 - t)~0di =

~¿ Г(2 - а - Р) К У) V х + т + 2{ у> )

■F (l -„, - А, 2 -«-/?; ^ <-y)f / (l- *+ ^ ,

где F(- • •) - гппергеометричесхая функция Гаусса.

Таким образом, решение функционального уравнения (35) будем искать в классе функций ограниченных в точке х = \.

Применяя метод итерации к функциональному уравнению (35), получим следующее решение

v(x) = E<JF(bfx + l-bl) + F(x), (36)

Функциональный ряд (36) в силу (34) сходится равномерно и v(x) е C2{J). В случаях когда Р(а0,/30) € А0С0 и {С0}, задача Г(/?0 < 1, а0 < 0) с использованием соответствующих формул, исследуется аналогично как и в случае Р(а0, А>) € АА0Е0Со. Теорема 1.3 доказана,

В §5 главы I задача Г(/?0 < 1,о0 < 0) исследуется в случае, когда с > -1 и кривая 7 : у = -■у(х) лежит над характеристикой ЕС\. Пусть с > -1, а кривая у = ~7(х) лежит над характеристикой

EC1.P(ao,f30)eAC0E0.

В силу (13) из формулы Дарбу (20) нетрудно вычислить, что

„,<,.«,», =7, (pífbsíii)'-' у гт +

\ 2 > Ja)(t-v(*))°m-w (37)

С учетом (37) из краевого условия (18) получим следующее инте'-ро-фушсциональное уравнение относительно неизвестной функции и(х) : ■ -

Ф)=яфиго)+/ +><*>• <ю»

Решение функционального уравнения (38) будем искать в классе функций C(J), для его нахождения применим обычные способы итераций и последовательных приближений.

Доказана следующая

Теорема 1.4. Задача T(ß0 < 1,а0 < 1), когда < 1, имеет единственное решение. В случае когда Р(a0,ß0) е AqCq и (Со) задача Г(/?о <1, ао < 0) с использованием соответствующих формул исследуется как и выше.

III. Пусть P(a0,ß0) е AE0BqC0uB0C0u{Cq}, в этом случае a-ß = '2oo/(m + 2) > 0, и уравнение (38) имеет подвижную особенность порядка выше единицы, что затрудняет исследование уравнения (38).

В этом случае корректна следующая задача

Задача T*(ßo <1, «о > 0)- Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:

1. и(х,у) е C(D), причем v(x) € C2(J);

2. u{x,y) - регулярное в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

и(х,0) = г(х), х J

«[0,(х)]=,((х)и^(ро(х))]+р(х), xeJ, (39)

где заданные функции причем г(х), ц(х),р(х) е C3(J)

= ¡i(T)zC3(J)

г^>(1) = 0, /><"(1) = 0, 4 = 0,1,2.

Здесь: l)0t(xo) (9f (xq))- аффикс точки пересечения характеристики исходящей из точки (х0.0), х0 е J{x0 б [-1,с]) с характеристикой ВС (г монотонно возрастающей кривой: у — -'¡(г) с концами в точках Со(«о,Ьо) € АС и £(с,0), с е J, причем кривая 7 лежит над характеристикой ECq, Cq € АС);

2) ро(х)- непрерывно дифференцируемая функция на J со свойствами 0 < р'0(х) < q < 1, ро(*) < х, Vx е /\{-1}, Ро(-1) = -1» р0(1) = с.

Д( :азательство корректности задачи < 1,ог0 > 0) следует из того, что уравнение (5) инвариантен относительно замены c.j на — ûq и х на -х. При этой замене краевое условие (39) переходит в условие (18) задачи Г(/30 < 1,а0 < 0). Поэтому задачи < 1,а0 > 0) исследуется аналогично задаче Г(/?о < 1,«о < 0).

Таким образом, в задачах ГиГ^ характеристики АС и ВС не равноправны как носители краевых условий Бицадзе-Самарского.

Заметим, что в случае «о = 0 задачи Г и Г>* корректны одновременно.

IV. Пусть Р{ао,0о) б ДЛоВоА) и B0D0 и D0A0 и {£>0}. В этом треугольнике 0q > I. Нетрудно проверпть, что если «д,- решение уравнения (5), то имеет место соотношение,

«л = (-у)1_а,«2-А> ' (*)

Отсюда следует, что если известно общее представление решений уравнения (5) для < 1, то по формуле (*) получим общее представление решений и для /?о > 1. Учитывая вышеуказанное

свойство решений уравнения (5) и поведение решения на линии вырождения, можно сформулировать и исследовать подобные зададачи, как и в случае 0О < 1.

Глава II посвящена исследованию задач типа задачи Бицадзе-Самарского для вырождающихся эллиптических уравнений

' у"1«« + + (Ро/у)иу = 0, у> 0, (40)

и .....

I УГи*х + ит + (0о/у)иу=О, (41)

где m > 0, -(т/2) < /?0 < 1. Уравнение (40) вырождается На границе области исследования, а уравнение (41) внутри области исследования.

В разделе 1 главы II изучается задача Dp для уравнения (40) в конечной односвязной области П плоскости независимых переменных х,у, ограниченной отрезком [-1,1] осп у = 0 и кривой Г : у = f(x) с концами в точках А(-1,0) и В ( 1,0), лежащей в верхней полуплоскости у > 0.

Характерной особенностю задач типа задачи Бицадзе-Самарс-кого является то, что условие Бицадзе-Самарскогс связывает значения искомого решения на некоторой части границы и на внутренней кривой, параллельно отодвинутой этой части границы во внутрь области пли на концентрических окружностях ( на дугах концентрических окружгостей).

Здесь изучен аналог задачи Бпцадэе- Самарского, где нелокальное условие в виде линейной комбинации связывает значения искомого решения на некоторой части границы Г и на нескольких внутренних разомкнутых кривых.

Относительно кривой Г : у — /(х) предположим, что /(х) € С2(7), }"{х) < 0, Ух е / = (-1 1)- интервал оси у = 0. Пусть в точке (с/,0), где й е /'(¿) = 0. В дальнейшем часть кривой Г, когда х е (а,Ь) с I, обозначим через Г(а,6).

Допустим,' что = 1, п; - некоторые постоянные, удо-

влетворяющие условиям

-1 < с < <1 < ¿1 < ¿2 < • • ■ < ¿п < 1, -1 < С1 ч С2 < • • • < с„ < 1.

Предположим, что прямая ¡¡¡(с) из связки хорд кривой Г, проходящей через центр (с,/(с)) и точку; (<*ь/М0)> где /(с) ^ /(<**), пересекает ось абсцисс в точке (ак,0), к = 1,п.

Пусть непересекающиеся гладкие кривые 7к:у = дк(х) еС1, к — 1 ,п, соответственно с концами в точках ((1к,/(<11)) б Г и (с*,0), лежат внутри области П, и каждая кривая 74 обладает следующими свойствами:

1) в достаточно малой окрестности точки (с*,0) часть кривой 7* совпадает с отрезком прямой х = ск;

2) она целиком содержится в угле между прямой ¡¡¡(с) и осью 2/ = 0;

3) любая прямая из связки прямых с центром в точке (аь0) перссекас г се ( не касаясь) не более чем в одной точке.

Примем обозначения:

£1-Ы=^Ы + «</*Ыхо)), х0е [-1,с], '¿ = 17й:, (42)

где Ек(хо)- аффикс точки Пересечения прямой /*(х0): у = }{ха)(х-ак)/{-со - ак) с кривой 74 : у — дк(х). Отметим, что и^(-1) = сь ик(с)=с1к, ик(х) € С'(-1,с], д'к{и1 (х)) £ /(х)/(х - ак).

Замечание 1. Если для некоторого к = к0, /(<^0) = /(с), тогда Еко(хо)- аффикс точки пересечения прямой у = /(х0), х0 € [-1,с], с кривой 7л„ = У = <?1„(*), 0 < &0(х) < /(с) (прямая у — ■] ух0) и крилая пересекаются только в одной точке).

Таким образом, мы установили диффеоморфизм Ек(х) между точками дуги Г[-1,с] и точками кривой 7*.

Задача Д,. Найти в области П регулярное решение уравнения (40), непрерывное в замкнутой области Й и удовлетворяющее следующим краевым условиям:

«(*,у) = £/Ф)«№(х)] + р(х), (*,у)еГ[-1,с], (43)

4=1

и(*,у) = ¥>!(*), (х,у) еГ[с,1], (44)

Цх)и(х) + £ а}{х)ОХт(*) + ая+1(х)т(х) = х € Л (45)

где

г(х) = и(х,0), хе/; «/(х) = Дш^и^, хе7,

ПЧ\Х- оператор дробного дифференцирования порядка где 0 < сху < 1, ; — 0, п." Для определенности положим, что «о > >•••,>

Заданные функции /ц(х), к = Т^п, р(х), ^(х), 6(х), аДх), ] = 0,п + 1, Фо(х) непрерывно д"фференцируемы в замыкании множества их определения, причем

^М+ЕФ)?4». «с/. (46)

,=0

Задача £),, отличается, от задачи Дирихле тем, что на дуге Г[-1, с] вместо условия Дирихле задается нелокальное условие (43), которое является аналогом условия Бпцадзе-Самарского, а на отрезке вырождения уравнения (40) условие Дирихле заменяется условием (45). Отметим, что при щ,(х) =0, к — 17п, Ь(х) = 0, аДх) =0, ] = 07п, задача £>,, переходит в задачу Дирихле, а при ^к(х) = 0, к= Т7п, Оу(х) = 0, ] = 0,п +1, в задачу Хольмгрена.

В §2 главы II доказывается единственность решения задачи О,,. Доказана следующая

Теорема 2.1. Пусть: 1) Ь(х)аДх) <0, = 0,п + 1, для тех х-ов, где Ь(х) ^ 0, а в точках, где Ь(х) = 0, все функции а;(х)

либо неположительны, либо неотрицательны; 2) функции Цк(х) > О и удовлетворяют неравенству

Х>*(х)<1, хе[-1 ,с]; (47)

*=1

3) функции р(х) = 0, 4"\(х) = 0. Тэгда решение и(х,у) задачи £>,, своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области П достигает на Г[с,1].

По теоремы 2.1 в силу соответствующего однородного условия (44) следует единственность решения оадачи

В зЗ главы II строится теория потенциала для уравнения (40) в области с помощью которой решаются основные краевые оадачи, хотя эта теория тесно связана с теорией потенциала для уравнения Геллерстедта:

Ути„ + иуу = 0, (48) .

однако имеет существенное различие. Рассмотрим также уравнение

£>| = »"»«, + ь„ ~(/УуК + (А>/г/> = о, (49)

которое является сопряженным уравнением к уравнению (40).

Пусть параметрическое уравнение кривой Г имеет вид х = х(з), у = у(в), где е- длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки £(1,0). Относительно кривой Г будем предполагать, что

1) функции х(«),у(з) на отрезке [0,/] имеют непрерывные производные х'(б-),у'($), не обращающиеся одновременно в нуль; производные х"(а),у"(а) удовлетворяют условию Гельдера на [0,/], где I- длина кривой Г;

2) в окрестности точек Л и Б кривой Г выполняется условие

где с- некоторая постоянная. Координаты переменной точки кривой Г будем обозначать через (£,»}). Рассмотрим интегралы

* = 1,2; (50)

^(*,у) = /р*(*М?(*).«?(л = 1,2, (51)

о

где Як(^Щх1У) фундаментальные решения '/равнения (40), пло1^-вости /х^(в), € С[0,/]

конормальная производная.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.2. Если предел значений у) при стрем-

лении точки (х,у) изн} три или извне области П к точке (£(»), т/(з)) кривой Г обозначить через и Исоответственно, то •

имеют место следующие формулы

И',(4)С) = -5^0+} о

о

где

Здесь дуговая абсцисса переменной точки (£,»7) € Г, а в-дуговая абсцисса фиксированной точки {х,у) 6 Г.

Теорема 2.3. Для потенциалов простого слоя имеют место формулы

о

с помощью потенциалов Иг(к)(х,у) и У^х, у) можно построить функции Г[шна задачи Дирихле и видоизмененной задачи N для уравнения (40) в области П.

Регулярные решения уравнения (40) в области П, удовлетворяющие условиям

• «1г = ?(*(»)), 0<5</; Дш у^ = и(х), (52)

или

«Ir = О < s < í; Ф, +0) = r(z) x e J, (53)

соответственно даются формулами

i

-1

- i v(í (s))r]H°)MGi(S (*>, y)]ds, (54)

dt-,=o '

- ! (55)

о

где (4(в),г;(в)) б Г, и С2(£,»?;х,у) соответственно фун- .

кшш Грина видоизмененной задачи N ((40), (52)) и задачи Дирихле ((40) (53)) для уравнения (40) в области П.

В параграфе 4 главы II доказана следухэщая

Теорема 2.4. Пусть;

1) кривая Г удовлетворяет требованиям 1),2) стр. 24

2) имеют место условия 1) и 2) теоремы 2.1;

3) функции /¡¡¡(х), к = 1,п, р(х) и <р1(х) представпмы в виде

Ик(х) = (1 + х)Дь(х), р(х) = {1+х)р(х), <р1(х) = (1 -х)ф(х), (56) где

йь(т), р(х) € С[-1,с], ф1(х)еС[с,1\;

4) либо 6(х) = 0, либо Ь(г) ^ 0, для любого х €'3. В случае, когда Ъ(х) ф- 0, д. полнительно предположим, что ац < 2/(ш + 2). Тогда решение задачи существует.

В разделе 2 главы II изучено одно простейшее обобщение задачи Дирихле для вырождающе- ося внутри области эллиптического уравнения (41).

Пусть Г!- конечная односвязная область плоскости независимых переменных х,у, ограниченная в полуплоскости у > 0 кривой Г+: 2/ = /+(х), а в полуплоскости у < 0 кривой Г" : у = /*~(х), х е 3 = (-1,1)- интервал осп у = 0, причем /+(-1) = /+(1) - /-(-1) = /-(1) = 0, А+ = Пп {у > 0}, = П п {у < 0}.

Относительно кривых Г+ и Г~ предположим, что /+(х), f~(x) б C2( J), (/+(х))" < 0, (/"(х))" > 0 при х е J. Пусть в точках (d+,0), (d-,0), где d+,d~ e (/+(d+))' = 0, (/~(d-))' = 0. Через Г+(а,Ь) обозначена часть кривой Г+, когда х е (а,6) с J.

Пусть гладкая монотонно возрастающая кривая у: у = у(х), х е [-l,rf], с концами в точках Л(-1,0) и (d,f+(d)) е Г+ лежит в области 0+, где d>d+. Положим •

5(xo)=^(xo) + »7+(i(xo)), х0 € J, ■ (57)

где 5(х0) - аффикс точки пересечения кривой у = 7(1 - хо - 1), хо < х < 1, исходящей из точки (х0,0), х0 € J, с дугой r+[d, 1] кривой Г+ : у = /+(х), причем f(-l) = rf, £(1) = 1. S(Xo) - это диффеоморфизм из множества точек на J в множестве точек на

г+И,1].

Задача Найти в области Q/J регулярное решение уравнения (41) непрерывное в замкнутой области П, удовлетворяющее краевым условиям:

.u[S(x))=,i(x)u(x,0)+ />(*), xeJ, (58)

: и|г+' м = Vo (*)> *e[-l,<i], (59)

u|r-=^(x), xeJ, (60)

и условия сопряжения

J&WjS'S&^W xeJ\ (61)

относительно заданных функций предположим, что они предста-вимы в виде ,,

ц{х) = (1 - х)3р{х), р(х) = (1 - х)р(х),

у>0+(х) = (1 + х)^(^), = (1 - (*), (62)

где /¡(х),р(х), ^о (х) € С(/), £0+(x)eC[-l,d].

Так как решение и(х,у) задачи S,, ищется в классе С(З), то из краевых условий (5S) при х = 1 и (59) при х = d согласно (62) следует естественное условие согласованности pj(d) = 0.

Отметим, что задача при ц(х) = 0 переходит в задачу Дирихле'.

Имеет место следующая

Лемма 2.4. Пусть: 1) функция и(х,у) е C(ü) nC2(ityJ) удовлетворяет неравенству L(u) > 0(< 0) в области Q/J и принимает наибольшее положительное (наименьшее отрицательное) значение в некоторой точке (х0,0), х0 б J; 2) значение и(х, у) на öfi = Г+ пГ~ меньше (больше), чем и(х0,0), тогда

при условии, что эти пределы существуют.

Доказательство леммы 2.4 аналогично доказательству леммы 2.1. " ;

В силу приведенной леммы л гко установить следующий аналог принципа экстремума А.В.Бицадзе: регулярное решение задачи. Sp при р(х) = 0 и

О < < 1 (63)

своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области Г2+ достигает на Г+[й,1].

Ио приведенного аналога принципа экстремума А.В.Бицадзе следует единственность решения задачи Sp.

Доказательство существования решения задачи S,,, для упрощения вычислений, проведена в случае, когда кривые Г* совпадают с нормальными кривыми

уравнения (41).

Теорема 2.5. Задача Sp при выполнении условий (62) и (63) одназначно разрешима.

В главе III рассматривается обобщение задачи Трикоми в случае, когда краевое условие на первой части характеристики задается локально, а'на второй части той же характеристики и параллельной ей характеристике, лежащей внутри области, задается условие Бпцадзе-Самарского. . Рассмотрим уравнение

signy\y\mutx + иуу + (ва/у)иу = 0, (64)

хде постоянны т > 0, -m/2 < ß0 f 1, в конечной односвязной области D плоскости независимых переменных х,у, ограниченной

при у > 0 нормальной кривой а: x2+4(m+2)~2ym+2 — 1 с концами в точках Л(-1,0) и £(1,0), а при у < 0 характеристиками АС и ВС уравнения (64).

Обозначим через D+ и D~ части области D, лежащие соответственно в полуплоскостях у > 0 и у < О, ач рез Со и С\ соответственно точки пересечения характеристик АС и ВС с характеристикой, исходящей из точки Е(с,0), где се J = (-1,1)- интервал оси у = 0.

В §1 главы III сформулирована следующая

Задача ТН. Требуется найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую следующим условиям: .

1. и{х,у)еСф)\

2. и(х,у) € С2(Р+) и удовлетворяет уравнению (64) в этой области;

3. и(х,у)- является обобщенным решением класса R\ в области D-;

4. на интервале вырождения J имеет место следующее условие сопряжения

причем эти пределы при х = ±1, х = с могут иметь особенности порядка ниже 1 - 2ß, где ß = (т + 2ßa)/2(m + 2);

5.

«(®,f)k==v(x), -1<х<1, (66)

«Uc. = Ф(х), -1 < * < (с -1)/2, (67.)

«^(x^/xu^Wl+PW. с<*<1, (68)

где (I- некоторая постоянная-; 0(хо)(0*(хо))- аФФ11*0 точки пересечения характеристики АС (ЕС\) с характеристикой, исходящей из точки М(х0,0), где хо € [с, 1]. Заданные функции v?(x), ip{x), р(х) непрерывны в множестве их определения.'

Задача ТН отличается от задачи Т^жкоми условием Бицадзе-Самарского (68), которое нелокально- связьпзает значения искомой функции и(х,у) на параллельных характеристиках СоС с АС и ЕСХ.

Заметим, что задача ТН при р — 0 переходит в задачу Т\эикоми. Обобщенная задача Т^икоми с данными на линии L, которая в

гиперболической части смешанной области £> сначала совпадает с характеристикой, а затем отходит от нее во внутрь области, впервые для уравнения Трпкоми была изучена Ф.И.Франклем, а затем А.В.Бицадзе рассмотрел такую же задачу для уравнения 'Лаврентьева- Бицадзе. Задачи с отходом от характеристики изучались и другими авторами.

Параграф 2 главы III посвящен доказательству единственности решения задачи ТН.

Доказана следующая

Теорема 3.1. (Аналог принципа экстремума А.В.Бицадзе). Пусть г[>(х) н 0, р(х) = О,

Ц < 0, (69)

тогда решение и(х,у) задачи ТН свой положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области £>+ принимает на кривой сто в точке (с,0).

Из доказанной теоремы 3.1 в силу соответствующих однородных краевых условий (66) - (68) следует единственность решения задачи ТН.

В §3 главы III доказывается существование решения задачи ТН. Доказана следующая ~

Теорема 3.2. Пусть ц < 0, а заданные функции

<р(х"\ е С[-1,1], 4{х) € С'[-1,(с-1)/2] лС2(-1,(с- 1)/2), К^еСЧс^пС^с-!). 6>р,

причем 9(1) = (1 - х2)ф(х), где ф(х) е С[—1,1]. Тогда решение задачи ТН существует.

Заметим, что доказательство существования решения задачи ТН эквива~ентно сводится к решению системы сингулярных интегральных "равнений Т^икоми, со сдвигом в "несингулярной" части ядра, относительно неизвестных функций г/0(х) = и(ах - 6), и^х) = и(Ьх + а):

+ Ч Ш'213 - 1 - (ах - V - »)) *«>* ■

= Г Ы - А / (1±±±М\1~213 (. 1 _: 1 \

0К ' _Учо( 1+х)/ \bt-ai +1 1-(ах-Ь)(6< + а)У'

M(t)dt, xeJ; (70)

*<«) + Л / (¡±1)^ - 1_{bx+ba){bt + a}) =

У1 U1+*)/

. +Яо[^о] + Я,M + Fi(x), x € J, (71)

где #o[fo], регулярные операторы.

Уравнения (70), (71) не принадлежат к тому классу уравнений, которые были поучены в работах Ф.Т)эпкомп, С.Г.Михлина, М.М.Смирнова, так как "несингулярные" части ядра в отличие от интегрального уравнения Трикомп имеют сдвиги.

Тем не менее метод Карлемана-Векуа, развитой С.Г.Михлиным для регуляризации пнтегральног > уравнения Ф.Т^икоми, применим к системе (70), (71) и она дает возможность редуцировать систему уравнений (70), (71) к системе интегральных уравнений Винера-Хопфа, что не свойственно задачам типа задачи Т^шсоми (обычно полученные сингулярные интегральные уравнения редуцируются непосредственно к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода). Последние уравнения редуцируются к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, разрешимость которой следует из единственностг решения задачи ТН.

Отметим, что интегральное уравнение Винера-Хопфа также является сингулярным интегральным уравнением. Если сингулярность ядра Кошп j^j заключается в разрыве при t = х, то сингулярность ядра k(t - х) интегрального уравнения Винера-Хопфа вызвана неограниченностью промежутка интегрирования, и это ядро, в отличие от регулярного ядра, не убывает, если двигаться к бесконечности вдоль прямых t - х = const.

В главе VI рассматривается задача с нелокальными краевыми условиями в эллиптической части смешанной области для уравнения

signy\y\muXx + «ук + (А)/У)иу = 0> • (72)

где m > 0, А) е (-т/2,1).

Пусть D конечная односвязная область плоскости независимых переменных х,у, ограниченная кривой Г : у = /(х), лежащей в

верхней полуплоскости у > 0, с концами в точках А = Л(-1,0), В(1,0) и характеристиками АС и ВС уравнения (72).

От функции у = /(х) требуется, чтобы /(х) е C2(J), f'(x) < О Vx € J = (-1,1)- интервал осп у = 0, и пусть в точке (¿,0), где d € J, f'{d) = 0. В дальнейшем часть кривой Г, когда х е (а,Ъ), обозначим чеоез Г(а,Ь).

Эллиптическую и гиперболическую части смешанной области D обозначим соответственно через D\ u D2. Примем обозначения

St(*o) = fc(*o) + «7(fc(*o)), *oeJ, ¿ = 0,1, (73)

где So(xq) и Si(xo) соответственно аффиксы точек пересечения кривой Г с кривыми у = /(х-хо+1), -1 < х <1х0, и у = /(х-хо-1), хо < х < 1, которые имеют общие концы в точке (хо,0), xq е J.

На J введем в рассмотрение возрастающие непрерывно дифференцируемые функции рк(х) и ^¿(х), £ = 0,1, со следующими свойствами:

-1 < Я>00 < 1 - ео, Ро(-1) = -1, Pb(-l) 0,

-1<9о(*)<с, go("-l) =!-1, ii(l) = q (74)

-1+ei <pi(x)<l, pi(l) = l, pi(l) 10,

c<9i(a)<l, 9i(-l) = c, Л(1) = 1; (75)

где постоянные £0)^1 € (0,2), се J.

В качестве примера приведем функции у = ах2"-1 - 6 и у = 6х2"-1 + а, пе N, которые соответственно обладают свойствами (74) и (75), где постоянные а е (0,1), b — 1-a, с = а-Ь.

Задача Тр. Найти функцию и(х,у), обладающую следующими свойствами:

1) и(х,у) непрерывна в каждой из замкнутых областей Di и

A; v

2) и(х, у) е C2(Di) и удовлетг фяет уравнению (72) в этой области; ' .

3) и(х,у) е iii в области Г>2;

4) u(x, у) удовлетворяет краевым условиям:

«[5o(Po(®))]=/io(x)u(g0(x),0) + p0(x),' х е(76) «(Si(pi(xV>] i(x)u(9l(x),0) + Pl(x), х е J, (77)

. «IrifcAd = £(»)• *€[£oo.Éu], (78)

«Uc = #0, * 61-1,0], (79)

где /н(х), Pt(x) к — 0,1,<р(х),ф(х)- заданные непрерывные функций в область их определения, £0о = (fo(Po^))» in = 6(Pi(-l)J;

5) на линии параболического вырождения уравнения (72) выполняются условия склеивания

и(х, -0) = а(х)и(х] +0) + 7(х), х <= J, (80)

где а(х),7(х), Ь(х), 6(.г)- заданные непрерывные функции на J, причем а(х) yt 0, Ь(х) Ф 0 Чх е

Задача отличается от задачи Трпкоми с общими условиями склеивания тем, что на Г[-1,£оо] п Г[£п> 1] вместо условия Дирихле задаются нелокальные краевые условия (76) и (77), которые поточечно связывают значения и(х,у) на Г[-1,£0о] пли Г[£ц,1] со значениям^ и(х,у) на частях отрезка вырождения J. Отметим, что при цо(х) s Hi(x) ~ 0 задача 7), переходит в задачу Трпкомп с общими условиями склеивания.

В §2 главы IV доказывается следующая

Теорема 4.1. Решение и(х,у) задачи Тц, равное нулю на характеристике АС при

ф) s 6(х) s ро{х) s pi (х) =0,

И л '

а'(х)>0, а(х) > 0, Ь{х) > 0, 0</ц(х)<1, *г = 0,1, (82)

свои положительный максимум и отрицательный минимум в замкнутой области Di принимает на Г[£оо>£и] и Л и В.

Из доказанной теоремы 4.1, согласно соответствующему однородному краевому условию (78) с учетом и(А) = и(В) = 0, следует единственность решения задачи T;j.

В §3 главы IV доказывается существование решения падачи Т), в случае, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой его уравнения (72).

Теорема 4.2. Решение задачи Т,, при выполнении следующих условий: ф(х) е О1!—1,0], 7(х) е Cl(J), <5(х), /<t(x),

рк{х) € С(/), к = 0,1, причем ф(-1) = т(-1) = 0, а функции щ(х) и Рк{х) представим и в виде

где рк{х), рк(х) е С(1), существует.

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность и искреннюю признательность академику АН РУэ Махмуду Салахитди-новичу Салахптдпнову за рукоь дство и постоянное внимание к моей научной работе.

Основные результаты диссертации рпубликованы в работах:

1. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. О двух нелокальных краевых задачах для вырождающегося гиперболического уравнения//Дпфференц. уравнения 1982. Т. 18. N0 1. С. 116-127.

2. Мирсабуров М. О задаче содержащий числовой параметр в нелокальном краевом условии для одного класса уравнений смешанного типа.// Докл. АН РУз. 1994. N0 11. С. 3-5.

3. Мирсабуров М. Задача тип" задачи Бицадзе-Самарского для одного класса уравнений смешанного типа.// Дифферент уравнения. 1995. Т. 35. Ко 5. С. 829-834.

4. Мирсабуров М. Задача с нелокальными краевыми условиями в эллиптической части смешанной области для уравнения Геллерстедта.// Узбекский математический журнал. 1996. N0 3. С." 61-67.

5. Мпрсабуров М. • Об одном простом обобщении задачи 1\)Пкоми.// Узбекский математический журнал. -1996. N0 4. С. 46-54.

6. Мирсабуров М. Задача с нелокальными краевыми условиями в эллиптический п гиперболической части смешанной области для уравнения Геллерстедта.// Узбекский мате-матпч екпй журнал. 1997. N0 3. С. 48-55.

7. Салахитдпнов М.С., Мирсабуров М. Об аналоге задачи Бпцадзе-Самарского для одного класса уравнений гиперболического типа.// Узбекский математический журнал.

. 1998. N0 1. С. 91-100.

8. Мирсабуров М. Задача Бицадзе-Слмарского для вырождающегося эллиптического уравнения.// Докл.АН РУз. 1998. N0 2. С. 6-9.

9. Салахитдпнов М.С., Мирсабуров М. Задачи типа задачи Бицарзе- Самарского для вырождающегося внутри области эллиптического уравнения. В сб. "Неклассические уравнения математической физики". (Посвящен, памяти С.Л.Соболева).1998 Новосибирск. Изд-во Института Математики им. С.Л.Соболева СО РАН. С.79-84.

10. Мирсабуров М. Об одном обобщении задач Дирихле и Холмгрена для вырождаю цегося эллиптического уравнения.// Узбекский математический журнал. 1998. N0 4. С. 46-50.

11. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. К теории одного класса сингулярных интегральных уравнений с некарле-мановским сдвйгом// Узбекский математический журнал. 199^. N0 5. С. 85.-91.

12. Мирсабуров М. Об одном простом обобщении задачи Дирихле для вырождающегося внутри области эллиптического уравнения. В сб.: Материалы международной научной конференции, посвященной 1200- летию Ахмада пбн . Мухаммада ал-Фергани. 28-30 сентября 1998 г. Ташкент. С. 87-94.

13. Салахитдпнов М.С., Мирсабуров М: Об одном аналоге задачи Бпцадзе-Самарского для вырождающегося эллиптического уравнения.// Сибирский математический журнал. 1999. Т.40. N0 1. С. 177-182.

14. Мирсабуров М. Краевая задача'для одного класса уравнений смешанного типа с нелокальным условием на параллельных характеристиках.// Узбекский математический журнал. 1999. N0 1. С. 62-68.

15. Мирсабуров М., Салахитдинов М.С. Об аналоге задачи

Бпцадзе-Самарского доя одного класса уравнений гиперболического типа// Докл. РАН. 1999. Т. 366, No 1. С. 10-12.

16. Салагчтдинов М.С., Мирсабуров М. Об интегральном уравнении Т^пкомп со сдвигом // Узбекский математический журнал. 1999. No 4. С.

17 Салахитдннов М.С., Мирсабуров М. Задачи Бицадэе-Самарского для вырождающегося гииерболического уравнения// Узбекский математический журнал. 1999. No 5. С.

18. Мирсабуров М.' Нелокальная краевая задача для уравнения Геллерстедта.// Математические заметки. 2000. Т.67, вып. 5, с.721-729.

19. Салахптдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальная краевая задача для вырождающегося гиперболического уравнения.// Тезчсы докл. Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (INPRIM-98). 1998. Новосибирск Изд-во Института Математики им. С.Л.Соболева. СО РАН. С. 37-38

20. Мирсабуров I !. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе- Самарского в гиперболической части смешанной области.// Тезисы докл. международной научной конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа". (Посвященный 1200 летпю Ахмада ал-Фергани). Фергана. Изд-во Ферганского гос.университета. 1998. С.14-16.

ТУРИ БУЗИЛАДИГАН ВА АРАЛАШ ТУРДАГИ СИНГУЛЯР КОЭФФИЦИЕНТЛИ ТЕНГЛАМАЛАР НАЗАРИЯСИГА ДОИР

Диссертация кирпш, турт боб ва адабиетлар руйхатидан ибо-рат. Биринчи бобда тури бузиладиган сингуляр коэффициент ли гиперболпк тенгламаларнинг бир синфи учун Биацдзе-Самарский масаласи ечилган. Масаланпнг куйилиши тенгламанинг сонли па-раметрларининг узгаришига боглик равишда таърифланган ва ур-ганилган. Чегаравий шартдаги функцияларга куйилган талаблар-нинг ва ечим изланадпган функциялар синфпнинг мухимлигини курсатувчи мисоллар келтирплган.

Иккинчп бобда тури бузиладиган сингуляр коэффициентли эл-липтшс тенглама учун потенцпаллар яазарияси курилган ва улар ердамида Дирихле ва шакли узгарган Хольмгрен масалала^и ечилган. ТУрп соха чегарасида ва ичида бузнладигап сингуляр коэффициентли эллиитик тенгламалар учун Бицадзе-Самарский масала-сига ухшаш мае ала урганилган.

Учинчи бобда сингуляр коэффициентли аралаш турдаги тенглама учун, характерпстлканинг бир кисмида ва соха ичида ету-вчи характеристикада Бицадзе-Самарский шарти берилган умумла-шган Ту>пкомп масала* ¡1 урганилган.

Туртинчи бобда сингуляр коэффициентли аралаш турдаги тен-глама учун Бицадзе-Самарский шарти масала ечими кийматла-рини эллнптик чегара кисмларида ва бузилиш чизиги булакларида богловчи куринишда булган, умумлашган Т^пкоми масаласи урганилган. • ■

Ишда каралган масалалар ягоналигп экстремум принципа ердамида псбо" ланган еки масала ечими мавжудлпгидан бевосита ке-либ чикган. Масалалар ечнмининг мавжудлпгини исботлашда эсг кетма-кет якинлашпш, итерация ва интеграл тенгламалар усуллг • ридан фоидаланплган.

TO THE THEORY OF DEGENERATING EQUATION

AND MIXED TYPE EQUATION WITH SINGULAR COEFFICIENTS.

The dissertation consists of introduction, four chapters and a list or references. In the first chapter the Bitsadze-Samarsky problem for one class of degenerating hyperbolic equations has been studied. The problem has been studied in the depenuence on change of numerical parameters of equation. Some examples, showing the significance of realization of defined requirenunts imposed to given functions at boundary conditions and the significance of a choice of class, where are seeking the solutions df the problems, have been constructed.

In the second chapter the theory of potentials for the degenerating elliptic equation with singular coefficient has oeen constructed. By means of this theory the Dirichlet problem and the Holmgren modified problem have been solved. The analogies of Bitsadze-Samarsky pr. blem for the degenerating on the boundary and within the domain of elliptic equation with singular coefficient has ueen studied.

In the third chapter the problem, which differs from Tricomi equation by that at the first part of. characteristic the value of desired function is given, and at the ™cond part of same cliarteristic and par-alel to it characteristic lying within the domain the Bitsadze-Samarsky condition is given, for tt' mixed type equation with singular coefficient has been studied.

In the fourth chapter the generalization of TVicomi equation, where the Bitsadze-Samarsky condition pointwisely connects the value of desired solution at tlie parts of the boundary of cllipticity and at the parts of degencralization segment, has been studied for the mixed type cquatim with singular coefficient. Uniqueness of the problem solutions line been proved by extrennxm principle method, or they follow directly from the existence of problem solution. Existence of the problem solutions have been proved by applying the methods of succesive approximations, iterated processes and integral equations.