К вопросу о существовании и единственности периодических решений для дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Белоусов Федор Анатольевич

К ВОПРОСУ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Москва-2014

005554360

005554360

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Центральном йкономикс^математическоммеггитуге Российской^ академии наук (ЦЭМН РАН)

Научный руководитель: Бёкларян. Лёва Андреевич,

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Центрального экономикой математическогоииетитута Россййской академии наук (ЦЭМИРАН)

Официальные Ьшюийгш: Вслолипецкий Александр Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГВУН Вычислительный центр им. А. А. Дороницына Российской академии наук (ВЦ РАН), заведующей сектором «Математического моделирования технических систем»

Безяев Владимир Иванович, кандидат физико-математических: наук, доцент; кафедры <гПрик/1адаой1матема'щки*, ШУВЦО; «Российский ¡университет дружбы иародрв» Всдун'зя организация: ФГВУН Институт системного анализа Российской академий Шук(ЙСА РАН)

Защита состоится 17 ноябри 2014 г. в 10:00 часов на заседании диссертационного совета по защите докторских и каидидатсюос диссертаций Д 002.013.02 по адресу: 117418,, Москва, Нахимовский нр, 47, аудитория 520.

Сведши« о защите и автореферат размещены на сайте. Высшей аттигшшвднной комиссии при Министерстве образования; и наук Российской Федерации http://4-ak.ed.gov.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке или на сайте инетитутанбадресу: 117418, Москва, Нахимовский ир, 47, комн. 717 или ттхепм.гакьги.

„5Г.

Автореферат разослан < 13- * ^''^2014 г.

Ученый секретарь

диссертацжишого совета Д 002.013,02, кандидат физико-математических наук

Борисова С. В,

Общая характеристика работы

Актуальность темы; Диссертаций посвящена периодическим решениям нелинейных обыкновенных: дифференциальных'уравнений и функционалыю-диффергаь цнальлых уравнений точечного типа. Периодические решения ш-рактг; важную роль; как в качественной;Теории дифференциальных уравнений, так п но многих других научных, областях и прикладных задачах. Существуют разделы физики и техники» которые полностью базируются на колебательных явлениях, Это задачи, электромагнитных колебаний, которые включают в ссбя оптику, учение о звуке, радиотехнику И: прикладную акустику и т.д. Задачи, анализа периодических решений дифференци-альиих уравнений также возникают в химии, при: изучении биологических систем, в задачах; небесной механики и астродинамики и при моделировании экономических процессов,

Унинереального подхода для изучения периодических решений дифференциальных уравнений не существует. Имеется несколько основных методов, которые ^предлагают различные способы решения данной задачи. В качестве основных; методов доказательства существования периодических: решений дифференциальных. уравнений следует отметать метод точечных отображений Пуанкаре-Андронова, топологический метод, метод направляющих функций, усреднение Крылова-Вого.'шбопо, вариационные методы и т.д. Метод Нуанкаре-Лвдронова применим и том случае, »когда известно в какой части фазового пространства может располагаться периодическая траектория, а также трансверсальная к ней гииерпов^хчноств. В этом случае изучается отображение (локальное) трансперсалыюй гиперповерхности и себя, ло-рожденное движением вдоль фазовых траекторий, и поиск неподвижной точки для. та№1т^0и>бражеит1,:$(»твеиот

ющих функций основан на наличии функций сзаданнымнабором.услоний, которые; гарантируют существование периодической траектории, Метод усреднения Крылов на-Боголюбова (Х'иоваи на том, что некоторые классы уравнений допускают усреднение, которое порождает принципиально более простое уравнение, чем исходное п сохраняет периодическое решение. Однако, большую часть -яз. перечисленных методов достатбчнЬ сложно применять, на практике,, они требуют, выполнения: целого* ряда трудно проверяемых условий и значительной: предварительной работы; Одним .из глгвных результатов этой дкссодтационно работы является изучение легко про; вериемых условий, выполнение которых обеспечивает существование единствег-ного периодического:, решен тгдля.дифференщи^ш^ура

Объектом:,исследования в диссертации являются различные классы.'дифференциальных' уравнений.

Предметом исследования в диесертации являются систма условий, обеспечи-ваюших существование и еданственностмгериодических решений для рассматриваемых ; ¡лассов дифференциальных уравнений:

Методы исследования включают методы интегральных уравнений, методы оптимизации и линейной алгебры.

Цель и задачи исследования. Целыо работы являетта нахождение легко проверяемых условий, сформулированных »терминах правых частей, которые обеспечи-вакгт существование и единственность периодических решений для различных клае-

сои дифференциальных уравнений. Для достижения поставленной в работе цели были сф.рйулированы следующие задачи:

• Получите условия существовашш и единстветности периодических: решений дня обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка;

■»I Получить :усяоййя существования и единственности периодических решений для одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений н-го порядка ("> 1);

• Получить условия существования и единственности периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений точечного тина.

Научная новизна.Предлщ'авмый в работе подход по своей сути наиболее близок к методу- шггегральных уравнений^ который детально: изложен в монографии В, II, Розенвяесера однако ок существенно модифицирован. Такой. Подход ¿идя изучение периодических и ограниченных решений-дифференциальных уравнений, был исноль-зоваи 13 работах А. И. Перова и его учеников. Основной особенностью перечисленных работ'пзлнется процедура построения операторной функции Грина, с помощью кото-Iю" и строится периодическое решение. Сама процедура построения функции! Грипп, а также проверка условнй, которым она должна удовлетворять, яатаются сложными; Решение каждой конкретной.задачи требует проведения нетривиальной большой: предварительной-работы. ПодхоД{ развиваемый в диесертациониой работе, позволят' обойти эти сложности.

Одним из наиболее важных результатов данной работы является получение: тео-реи: су1цест]юна11ия и единственности периодических решений, условия и которых «(юрмулнрованы п термииах нравой части дифференциального уравнения (константа Липшица, неличина отклоненияуущфункционально-дифференцияльного уравнения). Такие условия,легко проверяемы. В диссертационной работ«; псе полученные для проверки условия, кроме одного, вычисляются:« конечное число операций и пс-полюуот характеристики: правой части дифференциального уравнения. Оставшееся условие имеет тин ряда от тех же характеристик, остаток которого легко оценивается. -

Другой особенностью раесматриваемоговработе подхода является н)юцедуря линеаризации правой часги уравнении, необходимого для исследования периодических решений. Как правило, наиболее распространенным способом выделения линейной частисчитаетсятсйдоро искал линеарнзация.Существуютнримеры.которы« показывают, что тейлоровская линеаризация не всегда I юзволяет установ!ггь существование периодического решения, хотя при иных линеаризациях это удается. Для одномерных обыкновенных дифференциальных уравнений дается алгоритм оптимального, г точки зрения предлагаемого в диссертационной работе подхода, выделения линейной части.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены при исследовании периодических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений й нелинейных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа.

'В. II. Ршснваесср. Колебания нелинейных систем. - М-.: Наука, - 57В

В физике: очень часто фигурируют полковые: явления различного характера, которые описываются периодическими .функциями. Поэтому задача нахождения це-риодических; решений .для дифференциальных уравнений встречаются достаточно: часто. Как ужо было отмечено нише, эти задачи., возникаютв электромги-нитной динамике, небесной механике а также других разделах физики.

Задачи, подобного класс» таюкевстречаютсп в биологии. В качесттн^примера мож»-ИО привести модели типа. «хнщник-жертва», в которых количество особейкаждон из понулышй может описываться системо!! дифференциальных уравнений {как линейных, так и не линейных). Равновесными (»стояниями в этих моделях очень часто являются периодические решения таких систем, которые, в; частности, можно искать и предложенным в данной диссертации способом.

Данная работа может- быть использована в качестве дополнительного материала при прочтении курса дифференциального уравнения в,высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на конференции «Воронежской весенней- математической школы «Понтря-пшекие чтения - XXIII» (Воронежский, государственный университет; Московский государственный университет им. Ломоносова, Математический институт им.- В.А. Стеклрва РАН, г. Воронеж, 3-9. мая 2012 г.), на VI] международном симпозиуме «Ряды-Фурье и их приложения» (Южный федеральный университет,- т. Росгои-на-Допу. 27 мая - 3 нюни 2012 г.), на: м(»кдународной конферйщии;,Ш«гШ.юпа1 roidbreu«! iledicatetl to 12t)-th: aiuiivKrsary о£ Slefan Baimdi" (Ипцишииьний университет им. Ивана" Франко, ЛьвонскиЙ политехнический национальный университет, Институт прикладной математики л механики (г. Донецк), Институт математики НАН Украины, 'У Kpairaa¿. г. Львов, 17-21 сентября 2012 г.), на международной конференции «Крымская осенняя математическая школа» (КРОМЩ-2012) (Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Филиал Московского государственного: университета йм. Ломоносова в Севастополе, Крымский научный центр НАН Украины, Крымский математический фонд. Крымская академия наук, Украина, г. Севастополь, 17-29 сентября 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 Печатных работ общим об'ь-емом 3,5 и.-л, (вклад автора - 2,91), из них 2 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ, объемом 1,7 н.л.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из нведения, трех, гдй п- и списка использованной .'щтературы. Общий объем диссертации составляет 1 1« i-границ машинописного текст..Список использомшшой литературы содержит ЙО нанмс-нованГй,

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, определяются объекты, предмет и методы исследования, характеризуются научная новизна, приводятся сведения об аиробации работы, структуре, и объеме диссертации.

Первая глава посвящена изучению условий существования и-единственности периодического решения для обыкновенных дифференциальных уравнений норного порядка. Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение с нелинейной

правой частью общего вида

•ВДР 6 С(0'(К х К",К") - некотараи и-периодическая но времени функция, Решением /раинелия(1) называется всякая: ненрерытю-дифференцируемая'функция х(>), удовлетворяющая этому уравнению, Следует сформулировать: условия сущбствоиа-ния и единствешгости периодического решения ж(-) ур&внешш (!)( а также описать процедуру построения: такого решения.

Всюду ниже будетнодразумеваться, что 11равая часть уравнения (1) удовлетворяет условию Лигштцп но второй переменной,т.е, для любых г и 5 из К" и произ-водыпго фиксированного I 6 [0, ы] будет справедлива оценка

- 5^2)11,,, < Ла||х-Т1|я-. (2)

оде некоторая положительная константа.

Процедура линеаризации. Из правой части уравнения (1) линейная часть может быть выделена несколькими способами

д(!,х) = ах + №,т), =л({) х+Д1,х), д(1,х.) = Ах +

где а 6 Н\{0}, а( ) е С(Ч(Ж, К) -ненулеваяш-периоднческяя функция, А - ненулевая (т1,п)-матрица, удовлетворяющая специальным условиям, о которых будет сказано ниже,

Очевидно, в силу справедливости условия Липшица (2) для функции >),,для функции/О, •) па всех трех оучаях атоуслови^такжс будет выполнено относительно некоторой своей: константы Липшица Щ.

Гл.ша разбита на три основные части, каждая из которых посвящена своему способу е адедеиия линейной части.

В первой ■^аапи рассматривается линеаризация следующего' нйда

¿(1) = ах -г /((,х), Щ

где а € К\{0}.

Вводится в рассмотрение два оператора. Для введения первого оператора, оператора периодических. решений Р; роесматриваетсясоответстиующее лшгеИное неоднородное дифференциальное уравнение

х(1)=ах + №), (.1)

где а 6 К\{0},€ - амгериодическая функция, Формулируются усло-

вия отсутствия резонанглостн, при которыхдля произвольной Апериодической фупк-ции б С(0)(К, Я") существует единственное ы-пернодическое решат« т(-)

уравнения (4). При этих условиях корректно определяется оператор периодических реше1шй.Р[У'(-)] =-*(•)> который каждой функции уЪ(-) ставит в соответствие единственное периодическое решение уравнения (4). Определим пространства

С£0)'п = {5(ОеС!"!([0,и],Я")| 5(0) = 1(и.')},

с[!>'" = {*(•) € С<Ч([0,а.'1.К")| 5(0) = ¿М, ¿(0) = ¿(и*)}.

с нормами как в пространствах С'0'([0,и],Н"), С(15(';0.^]гН"), соответственно.

Вм' хгго оператора Р рассматривается ограничение этого оператора, на интервал [О, 27г]; Ограничение оператора бу;кгг обозначаться через Р. 'И действует как Р : С2',п *-4 С[1,'п. Вводится оператор : естественного вложения! : с!"'" -4. В :

д^ьнейшем/будег изучаться оператор Л Р: С«-'"'-» С*''", .который'-таюио' б#мдаг шь зывать оператором периодических решений. Очевидно, такой оператор 1Р кв-шето! линейным.

Определим второй оператор Г г/.С^'" Сш''п, который:каждой функции: £(') .€ 'ставит в еоотаетствнеГфушиуш

где [{■;) - функция из прано(1 части уравнения (3).

Если некоторая функции £(•) € С£?1п Для отображения, заданного суперпозицией ,ХРР, является неподпижной точкоП. т.е. справедливо равенство.

то периодическое продолжение этой функции на всю числовую ось ¡-.является пери, одическим решением уравнения: (3), а значит и исходного уравнения (1). Удается, вычислить норму оператора.Л? и она имеет следующее значение || ЛР ||— Получен следующий результат:

Теорема 1 Ваяй выполняется условие

И*1'

то для уравнения (3) (фртветапвенно, для уравнения (1)^ сущёствуст ы-перт?. Л1ЧВСКОК решение х( ) и г^еС^Ой,®"). Такое решение, является единственным. Валсхтого, для любой исходной функции г°(') е С£0)'п последовательность -= (Щ)1 (:)]: стрЫится к функции ¿(') 6 С!'1'", справедлива оценка сходниости

ЯрВДр.Ш -.¿011^- < ©'Р3« - (5)

а:пф1одинеско£ рсии:нис х[-)'индуцируется функцией-х{-) путем се периодичтто. продолжения на всю числовую ось Я. ■

Очевидно, что н (5) сходимость зависит от значения отношении ¿//|а|. Чем оно меньше, тем больше скорость сходимости; Само отношение Ь//\а\ определяется выбором параметра а. Поэтому возникает вопрос о наилучшем выборе значения а. В' одномериом случаеудается найти ответ на этот вопрос;^ Для этого, наряда с клиетшь той Липшица > 0, определяются понятия верхней и нижней констант Липшица /у„1 и £.„2. соответственно.

Определение 1 Верхней и нижней константами Липшица одномерной -функции д(1, д;). называются такие величины 1,1 и ил К (¿„1 < ¿„г),,для,которых при любом £ € [0, и.'] и произвольных. х1'и х2,.х1< х'2 выпол}Мотся щр(шритва

Очевидно, Аа1> -Ь„ <1Я и I, = тах{|/,,1|, Подучен следующий результат.

Теорема 2 Пусть для верхней и. нижней констант. Липшица Ь„\ и 1з1 функции !>( •■) «.Э одномерного уравнения (1) выполняется неравенство > 0. Тогда су-

ществуют такие константы а, для которых выполнено неравенство Л//|п| < ] к, о силу теоремы 1, для уравнения (3) (соответственно, для уравнения (\)) суще-стоуе.п ш-периодическое решение х(-) и х(-) е С(1'(К,К"). Такое решение является единственным.. Более того, для любой ¡¡сходной: функции £°(-) е последовательность .-г'(-) - стрШится ¡к фунщий е траведлша оценка сходимости

- < >(•) (5«)

я периодическое решение х(-) индуцируется функцией }{■) путем ее. периодического продолжения на вею чхи-ловую ось X. Величина Ь11\а\ будет достигать своего ми-тщального значения (т.е. итерационный метод-будет сходиться;быстрее всего)' при а - (/.„ + /,5г)/2. ■

Сформулируем одно лгвдетвие из теоремы 2.

Следствие 1 Пусть функция д{1,х) вд одномерного уравнения (!) удовлетворяет условию Липшица (2), принадлежи^:простраН/Шу х К, Л), а пройз-водна,- ^функций д(1,х) по второму аргументу либо строго положительная, либо строго отрицательная при всехф 6 [0,и<]. Тогда для уравнения (1) существует ш-периодтеекое решение. Такое решение единственно. ■

В диссертации рассматриваются несколько примеров^ -которые дсмшГга^руюТ различные аспекты применяемого подхода; Наиболее важным нвлясггс}1 пример, который показывает, что при тейлоровской линеаризации ио всегда удается показать существование периодического решении, Вместе с тем; можно подобрать динеариза-цию, представленную п правой части уравнения (3), при которой; удается показать существование, периодического решения..Приведем этот пример.

Пример. Рассматривается уравнение вида {1). а яогорой фуИ1«щя д^) ^исот только от второго аргумента, т.е. п^.х) = {¡(х)

*(0=з(*), <6 Я, (й)

гдезЮ еСр>(К,3?) имеет следующий вид

С 31 + 2, х а (-оо,-1) о(х) = { х, 16 [-1,1]

I З.Т- 2, хе (1, +оо)

Легки видеть, что единственным периодическим решением уравнений (С) является функциитож^десгвенноравная нулю,= 0. Очевидно, применивгейлоровсхук.) линеаризацию относительно нулевого решения, получим уравнение следующего вида

¿(¿н * + /,(*),

где/Цх) = 5(1) — х. Здесь.функция /1(2:) имеет вид

С 2г + 2, 3- е (-00,-1) Ш = { 0, г С [-1,11

V 2х - 2, гС (1,-гоо)

Выберем п качестве начальной функции постоянную функцию, которая лежит » пределах от —1 до 1. Легко ввдстъ, что итерационный метод (5) сойдется к нуленоМ)< решению за одну итерацию. Однако, если в качестве начальной функции взять также постоянную функцию, но уже лежащую впределахда;2 :до плюс бесконечности, то легко проверить, что рассматриваемый итерационный метод будет уже расходиться и нулевое решение найдено не будет.

С другой стороны, если использовать результат теоремы 2, учитывая, что верхняя и ниж" !яя константы Липшица принимают значения Ь91 — 1 и --- 3. то линеарп-зонаниое уравнение можно подобрать следующего вида

¿(() = 2х + /2(х),

где /2(г) = д(х) - \{1д\ + 1яъ)х = д(х) - 2х. Вы:ш:ием эту функцию в явном виде

( 1 + 2,. х. € (-оо,-1) Л(х) = < -X, х е [-1,1]

V х - 2, X е (1,+ос).

Легко: убедиться, что. при любой начальной функции у°(-) из пространства С*»'1 .итерационный метод (5а) будет сходиться к единственному периодическому решению:

Во второй часты главы изучается линеаризация вида

х(()-а(г)х +/(¿,х), (7).

где и(-) 6 С1°'(1йД") не является нулевой;

Также, как и в первой части главы, определяются оператор естественного шю-жбния 1 : СЙ''" -> Си''"', оператор периодически;реше1шй 1Р ? <й'!'" С!"?'" и оператор Р : с£с),п С^?'". Удаета вычислить значение нормы оператора ¡ЦРк Получен 1>езультнт, аналогичный тторсме 1.

Теорема 3 Если выполняется условие

¿/РР|| < 1,

Тпо, для уравнения (7):; (соответственно, для уравнения (1)^) существует ы-пгрио-Лгческое решение х(') о х(-) 6 С<1!(Н,КП). Такое.решение являстгм сОинсгпвенпши Более;того, для любой исходной фунщии Xя {') 6 С£?),п 1Юследоватыъноеть хк[:) — уРЕ^х'Ч')].стремится к функции х(-) еС^Л. справедлива оценка ехо^илосШ

а периодическое, решение х(-) индуцируется функцией х(') путем ее периодического продолжения Ы вао •числовую, ось К. ■

В третьей части главы изучается линеаризация вида

• i(l) = Ax + f(t,x), (8)

где А ' невырожденная («, п)-матрица, для которой все собственные значения дей-; ствительные и все жордановы клетки имеют единичную размерность.

•Для функции /(i,x) - (/i((,2:),...]/n(i,x))' 6'C(0)(R kfR",!^) из правой части уравнения (8) условие Липшица распишем для каждой; координаты, то есть для ли> 6oroi е {1,..,,«}, любого i е Rir. любых-!1 = (i[,...,a:i)' и*«2 (г?,.,..,.^)' ira-R" выполняются неравенства

о)

Дня дшшнеДшего анализа необходимо; впеьта : новую норму в пространств!? R". Эта норма имеет вид;

||x|[a=m1|xi|-HOTj|xj|-+.-- + mn:|i»l, (10)

где m, — 1, trij > 0, j 6 {2,3, ...,ti] • весовые параметры. Причем, в пространствах с*?"1 и cii),n

нормы также преобразуются в соответствии с нормой (10). Пространства с новой нормой переобозначим какC^'i1 и соответственно. Нормы « этих пространствах:примут следующий вид

Х'ЗНс^- = max {N011«. HjaXjPiOI!»;}. (12)

Для того, чтобы условие Липшица (9) в позой норме ||'[|е преобразовалось в условие вида

!I/(Î.*')-fitУ)Ев< (¿"Чк-М*1 -*Jlls.

J-V

нужисч специалышм образом-подобрать параметры nij, j 6 {2,3.....п). Параметры

Щн ï £{2,3,..., п} спадет выбирать тагами, чтобы они удовлетворяли системе; (п-1) уравнений

■уЧп л [

° mt, ЧЩ (13)

Щ'зЛ

Легко увидеть^ что разрешая эти уравнения относительно m,- получим квадратное уравк?ние; дискриминант ко-горою всегда неотрицателен и поэтому всегда cymcv ствует по крайней мере один положительный кореиьэтого уравнения. Матрица А и уравнении (8) может быть предстаплена как Л = QAQ'1, где Л = Ли.9({А,};^,), а Л,, i е {1,2,..:.,«} собственные значения матрицы„А. Получена оценка нормы оператора, действующего в пространстве R" с нормой Ц-Ци и нерожденного* матрицей Q '1.

В дальнейшем, норму линейного оператора G, действующего в пространстве R" с нормой !1'|'с, будем обозначать через ||{ G ¡||с; В случае произвольной размерности п^-М-цолучмг-слсдугощий/результат.'.

Теорема 4 Пусть А - невырожденная (п,п)-матрица, асе собственные значения которой вещественны, экохлкновы клетки имеют единичную размерность, а параметры т^ } е {2,35...1п} являются решениями'систем (13). Если выполнено условие

? (Х>*'я) ¡11 !1|с хпаос НЛ-^Ь < 1, (И)

где Мл - множество точек, которые являются вершинами 2п~угалъника Л щ {г; € И*-: |Ф'/|а та существует ы-периодическое решение для уравнения (&)/со* ответственно, &1я уравнения (1),) х() ия(0 6 С(,)(К, К"). Такое решение является единапвегтым. Более, тога, для ,любой исходной функции х°(<) 6 С®^" последит-телънояпр $*(') •= {11№)*[£0(-)] стремится к фунщии,/£(■)' Е С^", сп]швсдлща оцтиса сходимости

{(ЕтЛ>) III <Г111Ь: (т^ЦЛ-ЧЬ)}* ]!5°(0-£( )ИСЙ.,

а периодическое решение х( ) индуктируется функцией 2( ) путем се периодического продолжения на всю числовую ось Я. ■

В случае размерности г» = 2, полученную оценку удастся уточнить.

Замечание .1 Отметим, что величины Ь/1\а\в теоремах 1 и из телре.-

мы Зл1лсбал частпь нграве1«:тва (1'1) теоремы. не зависят от пентода и. Поэтому ¡п1 лученное единственное периодичсскберешениев слу^ще автономных' уравнений окажется стационарным состоянием. Такие решения гораяда легче получить, приравняв правую часть уравнения (15) к нулю. Таким обрааом, полученные результаты имеют ценность лишь в случае неавтономных уравнений. ■

Вторая глава посвящена изучению одномерного дифференциального ураннення п-го порядка, п 6 N

/ей, (14

гае^ф^С^деосК";^ - ^перж^ейюя но времени функций; Решением -урайшь. ния (15) нмывастсяветюисненрерывно-дифференцнруемая функция .т(.),удо1шотпо-ряющая этому уравнению. Будут сформулированы условия существовании и единственности периодического решения х( ) уравнения (15), а также описана процедура построения такого решения.

Пр" ¡ведем линеаризацию правой части "уравнения следующим обратом

х(")(') = ~ + "1^(0 + <»о*(0 + XV,т,г,...,*<п-,>), ¿ен, (Ю)

аде *(;) = »(•) - 1п-1 г<п~1}(1) - --■>—ЛФ) - оо^С)- Коэффициенты ав 6 %{(>} » О];....Оп-1 £ 3, должны удовлетворять специальным свойствам, о которых будет сказано ниже.

Зд'хь, как и в, предыдущей, главе, будут изучаться условия, которые необходимо итожить на во, (11,,.... „ап_ 1 и функцию х(-). чтобыдая:'уравнения (16) (а значит и уравнения (15)) обеспечить существование единственного ш-периодического решения.

Преднола1,аеМ( что функция я{<) из уравнения (15), а соответственно и функция уравнения (16), удовлетворяет условию Липшица, т.<\ для любого I б 8:11 любых л1 = (ж),...,а,')' и X1 = {х}{—,х1У из К" должны выполниться неравснсгва

О")

Уравнение (16) может быть приведено к системе из п уравнений первого порядка специальным образом. Выпишех! эту систему в явном М1де. Для эгиго сделаем замену

40 = ^(0,^(0=^(0.....¿„-1(0 = ^(0-

¿1(0 - -2 ¿2(0 =-3

¿«(0 = ~ао*1 ~ М» ~ - - Оп-1^п - .г„).

В матричном виде это уравнение примет, вид

¿(0 = Лг-!-/(«, г), « 6 [0,ы].

.Здесь-

0

\ -"а —<?1

/

0 \ -"п-1 /

V

(18)

у Л ) I

Коэ<1)фмц1енты I выбйрайтся такими, чтобы все собственные значения:

Ад, ...,Л„ ит^^'^б^й^деМяпитешлЫйа,:а

размерность. В таком случае можно составить матрицу (}, {-ыЯ столбец которой является собственным вектором соответствующего собственного значении А„» 6 {1,..., н}. Тогда матрица будет диагональной матрицей с собственными значениями А,-.

1 е {1, ...,п}. Найдена норма оператора порожденного матрицей.0 «действующего: в пространство. Я" с нормой Для того, чтобы условие Липшица (17) преобразовалось в условия Липшица для функции /( , ) в норме. Ц'Це значения -констант должны быть выбраны: следующим образом

ТН2 :

ТПз ==

,тпп 5

ь

II

(19)

'Вводится оператор естественного вложения 1 : С^ц" -+ С)

«в..

риодичсских решений 1Р С,

(0),п

С^В (корма: й: йррстраиствах Ч^"

и оператор не» ОТ'» „ г!')-«

определяются по .формулам (11) и (12)). В дальнейшем нам понадобится еще одно пространство, которое обозначим через С.

В- « {у(-) е С^" ] 0, г 6 {1.....(7.-1)}}.

Вводится оператор : по следующему правилу К[г(')](0 = /С, :('))•

Ог-юсительно нормы пространства С^" найдена оценка нормы оператора периодических решений др|0» ::в" ^ .сц'е'1- Так как в просгрш1ствах функцйй о" и -с|^'1;п образы функций принадлежат К" с нормой ¡|.|Ь, та норму оператора 1Р|в» будем обозначать следующим образом |||ЛР|в»|||с.

Чер ез А^ обозначим множество точек {г;р, з € {1,2,...,2«} в пространстве 11", которое определяется сяедукицпм образом

„й-т „ I ссли = * = «»« !' = к

| 0, если {¿к ' '' ^ 0, если'г 4- к ' где к С {1,.,.,п}, ¿ 6 {1,...,2п},

Теорема 5 Пусть ш-периодическая функция £ С(0?(К:х К") е

уравнений (16) удовлетворяет условию Липшице {17} с константами ^»' € {1;..., «}, а коаффициенты а(, «' б {0, ...,(п — 1)} выбраны так, что сотнветстнующая матрица (18) имеет вещественные собственные значения, жорданоаы клетки тй» собственных значений имеют единичную размерность, а Щ,:г = (2,..., п} определяются по правшу (19). Если справедливо неравенство

где матрица С? такая, что (¿АС}'1 = <Наг{А(}"_1г д„ - последний столбщ матрицы (}, то существует ш-псриодическое решение уравнения (16) (соответственно, уравнения (15)) х(-) и х(-) £ С'"(К,К). Такое решениеявлястся единственным.

Более того, для любой шчальной функции ё последовательность

г*(-) = (1Р?)*[г°(-)1 стремится по норлиС'^" к функции >(•) 6 Кроме зтпго.

справедлива оценка сходимости

штпти-Шс^

При 5,пом и-периодическим рехиснием т(-) задачи (16) (соответственно, задачи (15),) .является периодическое продолжение »м всю числовую ось первой коордиш-тыЛ{(-) £ функции^ = (Ь(■)>*'■ ,?«{0)' 6 С^'е*.. Такое решение яфляепгся

единственным. Я

Замечание 2 Выражение, стоящее в левой части ^неравенства (20) в теореме Л,, не зависит от периода ш. Поэтому, полученное единственное периодическое рсии* ние в.случае автономных уравнений окажется стационарным состоянием. Такие решения гораздо легче¡получить приравняв правую часть уравнения (15) к нулю.. Таким образом, полученные результаты имеют-- цетаятьяшпю случае )"эт«тп-намних уравнений, ■

В третьей главе изучаются условия, обссисчивающие существование и единственность периодического решения для функцноналыкьдифференцнальных уравнений с запаздавающим аргументом. Рассматриваются функциональио-дифферси-ниильные уравнения вида.

г ШЯ- (21)

Не ограничивая общности, будем полагать, что правая часть р(-). € С'1' (И х й") является 27г-нериодичсской повремени функцией, «отклонения ту,} а {1,..,.»} лежат в пределах [0.2?г}. Кроме этого предполагается, что отклонения соизмеримы,,!', е.; для любых питу, б {1,..,я} должны существовать »и и пг из Ми {0} такие, что Щ + г3 0 и Я]|п| = я2|»>|.

Будут сформулированы условия обеспечивающие существование и единственность 2)г-нсриодического решения я(-) уравнения (21), описан итерационный процесс построения такого решения, а также указана скорость сходимости процесса.

Такой тип функционально-дифференциальных уравнений исследовался п работах Л^ Л. ВекларяшА В роботе приведены условия, обеспечивающие существование иединственность решения из специального класса функций для соответствующей задачи Коши. Всюду далее будет считаться, что эти условия выполнены.

Регсматриваются такие значения параметров (аь -.., а„ г,,..., г») ■■£ К.* .х- [0,2тг) х .„ х [0,27т), для которых;вьшолнены соотношения

.Д Я '.Я'

/0, | £ а} со» + ~ £ а} 8'п ^ 0 да: всех к е N. (22)

I

Условие (22) является условием остутствия ¡иионансности.

Вы «еляется Линейная часть правой части функционально-дифферекпи.члг.кот уравш ния (21) в следующем виде

х(0 = £<Ъ*(< + ч) + Я*.+-!)■• •••.*('• + ГП)). .¿6л, (23)

з°> 1

где (а,, ...,а,,т\, ...,т.) х [0,2я-) х ... х [0,2ж) удовлетворяют условию (22), /(■) е С<Ч'п(К. х КПХ*;КП) - 2)г-псрнодичсская по времени функция ( /(') •«». {^отклонения Гц ад т» соизмеримы нлежат « пределах

[0,2тг). ' .................................... '

Правая часть д(-) уравнения (21) удовлетворяет условию Липшица, т.е. для любых

( С [0,2гг], и х^, } ,6 {!,...,«} ил Н" имеет место оценка

*

!1Я(£,21.....— .....С-М)

где ¿„ некоторая положительная константа Липшица. Очевидно, что для функции /(•) также будет выполниться условие Липшица с некоторой константой > 0.

иБск;тр«н Л.А. Ваедотшо в теорию функщшнально-аи^к|)ерснципльнмх урашкпшй. .ГрушЮшй: подход. М.: Факториал: Просе, 2007. -2?8 с. - (Методы современно!! математики: Вып. 5)

По аналогии с тем как это делалось-выше, вводится оператор естестношют вложения I : С^'" С^?'" и оператор периодических, решений 1Р: СЩ?.'а -> С™'"^ а также, оператор К : С^'" Сз»'" по следующему правилу 1'[х(-)](Л) = /(¿.¿((( + Т|)(гпоо[2х))( • • • ,£((( + т^)(тЫ2ж))), где/(•) - функции лз правой части уравнения (23). •

Вводятся обозначения

1 00 1

где йеЬ Ак = ( аз соз 2 + (ь - , к =Д, 2,...

Теорема в Пусть:

я нелинейном уравнении (21) функция </(•) € С(1)(Е х Я"*', И") является 2тг-перш1-дической (¡гункцией и удовлетворяет условию.Липшица (24), а соответственно, константа Липшица функции /(•),■ Эля не*второго £ (0,1) выполнено неравенство

идля (а1,....а,,т,,...,т,) е К' х [0,2я-) х ... х ¡0,2т) справедливы соотношения (22): Дсш оппадкстю условие

«¿/\/Аг + 2Ю2 < 1,

гоо ¿ля уравнения. (21) сущестауетп2ж-периодичеаме решение. Такое решение является единственни/и и оно принадлежат! пространству С!:"(й, Я").

Более того, для любой начальной функции ¿°(-) € С^'" последовательноапь £'(•) = (3№)1[гв(")] сгпрелштся к единственной функции х(-) € С®'", и справедлива оценка сходимости:

Периодическое решениеиндуцируется функцией:с(-) яут<м продолжения ее по пе}пюдинности 2* на всю числовую ось К. ■

Отметим, что в линейной части уравнения (23) берутся только те отклонения, которые присутствуют в правой части исходного функционально-дифференциального уравнения (21). И это по существу. Если при выборе линеаризации окажет««, что в фуцщш1./(-) есть хотя бы одно отклонсиио т", не совпадающее ни с одаикг из отклонений Т[,...,г,, тогда нетрудно убедиться, неравенство + 2И3 < 1, как правило, нарушается.

Предикации по теме диссертации

Статьи в изданиях, рекомендованных, ВЛК:

h Белоусов Ф. А, Существование и единственность периодических решений для обыктоврных дафференциалытых уравнений; // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородныхсистем / :юд ред. Ю. О. Попкова. -M.:URSS, 2010,56(1), is. 5-19. (1,27 н.д.)

2, Асмусов Ф. А. Достаточные условия существования единственного периодического решения для одномерных дифференциальных; уравнений второго порядка. // Вестник РУДН, сер. «Математика. Информатика. Физика», 2013, А» 1, с. 27-37. (0,56 Ц.л.):

Статьи в других журналах:

3; Bcklaryan L.A., Belousov F.A. Existence of Periodical Solutions for Rmctional Dif> fcrcntial Equations ofPointwisc Typo.. // Functional Pifferc.n.tial Equations. 1(1). ¿009. (1,17 н.л., доля автора - 0,59 н.л.)

Публикации тезисов докладов научиыхконференций:

4. Белоусов Ф. А. Существование периодических решений функциональпо-диф-ференциальных уравнений точечного типа. // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конкуренции, - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. - с. 25-26; (0,1 ил.)

б. 1'елоусов Ф. А. Об одной теореме существования и единственности периодических .решений дат обыкновенных дифференциальных уравнений. // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинскис чтения - XXIII» / Воронежский государственный университет, Московский государственный'университет им. Ломоносова, Математический институт им; В.А. Огеклова РАН. - Воронеж: Издаткльско-нолиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. -с. ¿9-30. (0,1 н.л.)

6. Яслоусоо Ф. А. Линеаризация правой части ОДУ. Существование и единственность периодических решений. //'XX Международная конференция «Мнтсм«.-тика. Экономика, Образованис». VII международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». VI МсждисциПлинарлый семинар «Фундаментальные проблемы информационных и коммуникациошшх технологий». Тгсжси докладов. Изд-во СКНЦ BUI ЮФУ, Ростов н/Д, 2012. -с. 47-48. (0,1 п.л.)

7. Belousov F.A. On a theoietn ofejdsteflce and uniqueness of periodical solutions for' functional-differential equations with deviating arguments. International conference dedicated to the 120th anniversary of Stefan Bahach, Lvov, 2012. -c. 178. (0,1 н.л.)

8. Белоусов Ф. А. Условие существования периодических решений. Линеаризация правой Части ОДУ. // Крымская осенняя математическая школа (KPOMIII-2012). Двадцать третья ежегодная .международная конференции. Тгаисы докладов. Сим(1>иропол1.: издательство КНЦ НАНУ, 2012. -с. 9. (0,1 п л.)

Белоусов Федор Анатольевич

К ВОПРОСУ О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Заказ №33_Объем п.л. 1.0

ЦЭМИ РАН

Тираж 100 экз.