Качественное исследование решений некоторых полулинейных эллиптических и параболических неравенств второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ К А У К ТУРКМЕНИСТАНА

Институт математики и механики

На правах рукописи

ХЛЛЛАЕВ Мутамматбшш Хыдарович^

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ - . . ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА "

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Авто реф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АШГАБАТ - 1992г.

Работа выполнена в Туркменской политехническом институте.

Научный руководитель

д.ф.-м.н. i чл.-корр. ЛИ Туркменистана, Худай-Веренов О.Г.

Официальные оппоненты

д.ф.-м.н. Атдаев С.

к.ф.-м.н. Овезова M.U.

Ведущее предприятие - механико-математический факультет

МГУ им. Ы.В. Ломоносова

Защита состоится " X " СсюлЛ 1992г. в ££ часов на заседании

в

специализированного Совета К 014.12.01 по защите кандидатских диссертаций при Институте математики и механики АН Туркменистана: 744000, г.Ашхабад, ул.Гоголя, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке АН Туркменистана.

Автореферат разослан " " JLlglX 1992г.

Ученый секретарь

специализированного Совета xdh+J.J'< Ашралыев Ч.

Актуальность темы. Классическая теорема Фрагнепа-Линдалзфа закается в тем, что либо иояашкитольвая ва сторонах волоса |у(<х) гармоническая функция и(1,у) гопшхяигаяьва всиду в П, о

11ш

сир и(г,у) |у|<х

е)ж|

> О

г->я

т факт Емэвт езюпявсязншю щемзеэеяя п вбо&дхеп ееюпгз евто-з на рзгеняя лжсйизх аашгпачастад урашоткЭ и скстез я на кезэ-2Ш15221Э ЗЛЕЗПдавСЗЕГЭ ургШЕКЗЗЯ СЭ СЕЕбаЭ ЕЭЕЗгЗЙШСТЫЗ. В этоЗ аста ипш отаэтать еезеев ргбоет Е-"!.Л£зсгса, ВЛМЬггьз, .Оиэйяга:, 1^а.Е5ярузпва.

В|1Я ЗЖНЗ В Е2ВЭЕТЕ23Х |ХЭЗ®ТёЖ <Я5НЯЯ рСГЗШЭ'СиЮ ОЦЦККЯПИЗЭ!

влах обзаоаай, Ераяягззгигт грстщгу (шю> коэде^, нму— гзфетств!), ждал а йзл> егш, чеа зет ейазепь, тел <йетраз ют зршпвют ЕЗ йаезпзя'ивзста.

В этгсЭ гааега йзгст Еаввципвя еэиездъ Ошзз тоэзв я2езе22Жкягв> свс от геожетргз ©йгзстз.

Чзго тахаютет взарвйоисзтасвиц; уршзпзЕгЗ, то в гаышемгпг рзЯЬтаж,, нзшшпь чслзроста уйшЕгим ¡решгшзЭ .яежйшж уртгетЕзЭ! ирт й-жэ ЙЗЙЦЕЕЕЩЗЯ ¡ПИШШЕЗ}- В ЕЗСОТИЩЙ!' рЭЙОТ® ОЩЯЗКВЖЭТСТГ рЖНГ рзЖЖЙЗ

зазииаЯетж. етретгаств шря >-в с ез&еш ишадчвааал ишрет, родечт— ш. ниарижет иезэ врштяш^Еаддошфа . доя шпижшзшавк вераь та.

ВЗ^Дйр сшзшэшх резств рошншйВ ШЗШ'ДОПШЕВЗ&ШЙ'Я' Э-ЛИЯТ-

гаиж шржаюетв уэшютзгацда ршзжврвг тео-

шгаа З^изгинш-ДЕвддалв^э дш ртщниа шщулиикйПЕК иадеабЬшияискиж

неравенств.

Методы исследований. Основным методом исследований является построение для рассматриваемых дифференциальных операторов суперре швний, имеющих нужную особенность. Этот метод оказался очень удобн при доказательстве теорем типа Фрагмена-Линделефа как для линейных ток и для квазилинейных эллиптических и параболических неравенств недивергентной главной частью.

Научная новизна. В настоящей работе впервые получены оценки роста решений полулинейных эллиптических неравенств со степенными : слабыми нелинейностями, существенно учитывающие геометрию области. Сформулированы и доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа для полу линейных параболических неравенств. Из сопоставления результатов первой и второй глав диссертации четко видны аналогия в различив мегаду поведениями решений эллиптических и параболических даравенст;

г

на бесконечности. ^

О

Применения. Работа носит теоретический характер. Результаты р. Соты могут найти применение в качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, в математической физике.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (г.Ашхабад, 1990г.), а также на ашхабадском городском математическом семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-Ш, список которых приведен в конце автореферата.

00'ем и структура работы. Работа изложена на 93 страницах и состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 23 наименов; шш.

- 5 -Содержание работы

Пусть (t) и ф2Ш - функции, определенные и непрерывно иф$еронцируемые при t€(-«,+ce). Положим

p(t)= - [ф2(Х) - (J),(t)]

2

обозначим через K(t) кривизну линия Z=<l>2(t). Пусть функции p(t) К(t) удовлетворяют требованиям:

v

) 0< p(t)<h, h=const; 2) |p'(t)|< — , где v - достаточно малая 1 10

энстанта; 3) K(t)S

4p(t)

Пусть в неограниченной области

D= {xeR" (ф, <r)<x1«t>2 (г), ня<х±<+«, 1=2,п } ,

» ,

59 i-

/г

.определен равномерно эллиптический оператор

Г « 2 11У

I <V >

4=г }

вг

L = У a. . и)

ограниченными измеримыми коэффициентами а^, в±]= а константой эллиптичности Л..

Теорема 1.1. Пусть заданы произвольные константы С^О и а>0. ществует С2*0, что справедливо следующее, сть и 00 - решение задвчи

^(^¡ти!1^., .

= О

в области D. Тогда

либо 1 ) и = 0 в D ,

либо 2) 3 N=N(n,X,a): для достаточно больших г г

с dt

И(г)> И

1/а

о

где

Ii(r) = sup |U<r)| , X' = (X2.....Ха).

xeD П f|2'|<rJ

ЯЕОРЕЗД 1.2. Пусть задана постоянная 11>!. Существуют С, >0 и С££0, что справедливо следующее. Пусть и (г) - решение задачи

С1|Ги|.1п№! + С2 = 0

ОТ

в области В. Тогда

либо 1) ц = О в В ,

либо 2) для достаточно большое г

г н

Г 1

и (г) >

1 г Cit Ч

30 J pit) J о

Эашчшпго. В случаэ, когда D - суживающаяся область, константы С, е Сг могут быть проазвольпшн.

Пусть p(t) - непрерывно дифференцируемая, положительная, шш-юш1о возрастающая, выпуклая вверх функция и

Половим

p(t)= o(t) • при t -> о ' p(t) -> га при t -> «j .

X(C)?íe*p-[- — p(ln£)]

r d?

--

o

а обозначим через Ф(г) функцию, обратную Р(£):

(Нетрудно убедиться, что функция О(г) является монотонно возрастающей функцией). ■ ]_• ; ТЕОРЕМА 1.3. Пусть и(х) - реиение задачи

|Ьи| * | уи | р С ШI ти I

и =0 60

в области Б. Тогда

либо 1) и = О в 0,

либо 2) для достаточно больших г

,г

кг) > фГ — f — ]. I 30 j p(t) J

pit)

о

Следствие. Пусть задана постоянная а, 0<а<1. Найдется такое число 6>0, что справедливо следующее. ■

Пусть u(x) - решение задачи

(Lu| s ô|7uj|ln|ln'vul|

u| =0 I AD

в области D. Тогда

либо 1 ) и = 0 в D ,

либо 2) для достаточно больших г

M (г) > ехр

i-ï —1

I 30 J p(t) J

Во второй главе доказаны нижеследующие теоремы типа Фрагмена Линделефа для решений некоторых полулинейных параболических неравенств .

Пусть й - некоторые положительные постоянные. Пусть

функции ^ (а) и 1))2(1) определены и дифференцируемы при а £(-«,+«) и, если обозначить

p(t)= [ф2(х) -^,(1) ]

2

удовлетворяют условиям:

v

1) 0< p(i) <h ; 2) р(-т)= р(т) ; 3) |р'(т)|< — ,где v и b

bh

достаточно малые константы;

Пусть в неограниченной области G = {(t.DeR^1 Jt<0, (tXx^it), чп < +<а, 1= 2.П ] определен оператор

а " в2 в L - = I - - —

с ограниченными измеримыми коэффициентами а^, a1^=aJ1 и имеется константа too , такая, что

п

Я|£|г S I a.,(t,x) £,g. * r'lEI2 Y£eRn

i.J=1 J 3

Обозначим

g'c = {(t,x)«| -Ki<t<o , Jdj)2 < ^ Kij

M(t) = sup|u(t,x)|. aG"1

ТЕ0РЕ1Л 2.1. Пусть заданы произвольные числа С>0 и а>0. Пусть u(t,x) - решение задачи

|т - —-Is C|yu|1+a , I dt •

u| = u ba

в области 0, Тогда либо 1) и = О в G ,

либо 2) 3 N=N(n,X,a): для достаточно больших It!

м(г> >

ш

М

йт

1+1/а

ТЕОРЕУА 2.2. Пусть задано произвольное число N>1. Зафиксируем константу в, столь малую, что

8 *

60011 (N+1)

Пусть ии.х) - решение задачи ви

Ьц -

аг

5 а|9и| |1п|уи| | ,

во.

в области в. Тогда либо 1) ц = О в С , либо 2) для достаточно больших Ш

|г| и

мч - I "Дт;) •

Замечание. Если С есть суживающаяся область, то константа в ыокет быть произвольной. . .

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть и(X.,х) - решение задачи

Хи - |ти|р[1лд?и|) ,.

и = О

90

в области в. Тогда либо 1) и = 0 в в , либо 2) для достаточно большее Ш

и1

МШ > С

о

I т;|

■И

Функция Ф- строится по х так, как это было указано выше, а

Г 20

з!--

I Ь\

Г 20

%Ю= ?ехр1- — р(1п£)

Следствие. Пусть задана постоянная а , 0<а<1. Ш5дется тшссо чпело 5>0, что справздлто слэдущоо. Пусть ц(г,х) - ранение задачи

1т- 61711! |1п|1п|?и|||

О ,

ва

в области Тогда лнбо 1) ц = 0 в 0 , либо 2) для достаточно больших

а

мсг) > ехр

I Р2сг)]

Рассмотрим следующий частный случай области б : *

п

5 =[г,х)йР+1 ¡ио, % ^^ ъ.г)

Пусть ф(£) определена на СО,«), положительна на (0,в) и при всяком с1>0 удовлетворяет условию Липшица на [0,си. Пусть ср(0)=0. ТЕОРЕМА 2.4. Пусть 1Щ:,х) - решение задачи

ви

Ьи--- ф(|7и|) , и| „ « О

ОХ |вв

А А

в области б. Если в в существуют точки ^'.х') и и",х"), такие, ;

что 0>г>гп и и(г",х")>и(1,,х,)>0 , то для иц.х)

— M(t) 11m -> о ,

t->-0J 111

где _

H(t) = вир . |u(t,x)| . , .

(t,x)eG t=const

Кроме сформулированных теорем во второй главе приведены теоремы, аналогичные теоремам 2.1-2.3, для областей более общего вида.

В обеих главах приведены примеры, показывающие, что существенно улучшить полученные оценки невозможно.

В диссертации теоремы и леммы снабжены двойными номерами. Первый из них указывает главу, а второй - порядковый номер теоремы или леммы в этой главе. Нумерация формул - своя в какдой главе.

Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю, профессору'Худай-Веренову О.Г. и профессору московского университета Ландису Е.М., с которым неоднократно обсуждались полученные результаты.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Халлаев М.Х. О росте решений: квазилинейных эллиптических неравенств в неограниченных областях./ Рукопись деп. в ТуркмеиШШНГИ, 14.09.87, ШЭ-Ту87.

Z. Халлаев U.Z. Оценка роста решений некоторых квазилинейных эллиптических неравенств. - Диф.уравнения, 1990, т.26, £3, с.501-507.

3. Халлаев М.Х. Некоторые теоремы типа Фрагмена-Линделефа для решений полулинейных параболических неравенств. - Мат.заметки, 1990, т.48, вш.З, с.151-153.

4. Халлаев М.Х. Поведение решений некоторых параболических неравенств. - Тезисы докл.всесоюзн.конф. "Диф.ур-я и оггтим.улр. Ашхабад, 1990, с.126-128.

работах: