Качественные исследования некоторых уравнений динамики макроскопических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

С

па правах рукописи

Сакбаеп Всеволод Жанопич

КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.02 —дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1998

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита состоится "_" 1998г. в_ч. на заседании Дис-

сертационного совета Д 002.40.03 и Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской Академии наук по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., д.4.

С диссертацией .можно ознакомиться в библиотеке ИПМ РАН.

Автореферат разослан - \и II . 1998г.

Ученый секретарь

специализированного совета \ ( (</' 'V

доктор физико-математических наук ЬЦ^/ и " Галанин М.П.

Яковлев Г.Н. Жидков П.Е.

Латышев А.В. Шерман Е.Я.

Актуальность работы В настоящей работе исследуются свойства решений некоторых дифференциальных уравнений, возникающих в химической кинетике, оптике и при описании других физических явлений.

Качественное исследование начальной или краевой задачи для дифференциального уравнения включает в себя исследование существования и единственности решения задачи и его зависимости от начальных и краевых условий задачи, исследование свойств решений (наличие корней, асимптот и др.) и, если коэффициенты уравнения и условия задачи зависят от параметров, то исследование зависимости решения от параметров задачи.

Хорошо известны примеры задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных первого порядка и нелинейных уравнений теплопроводности, решение которых существует лишь на конечном интервале и не продолжимо на больший интервал.

Краевые задачи для уравнения Пуассона с нелинейно зависящей oi (еизвестной функции правой частью могут не иметь нетривиальных классических решений. В работе С.И. Похожаева показано, что суще-,-твование решения некоторого класса краевых задач накладывает определенные условия на нелинейную функцию.

Расширение понятия решения задачи может принести к неедннствен-юсти решения и для справедливости теорем единственности необхо-цшо сужать классы рассматриваемых решений, подчиняя допустимые >сшения дополнительным условиям. Примеры задач Коши для гидродинамических уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера, имеющих ie единственное обобщенное решение, предложены в работах O.A. Лады-чснской и С.Н. Кружкова соответственно.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными звестен ряд задач, для которых отсутствует непрерывная зависимость ешения задачи Коши от начальных данных задачи.

В данной диссертации проводится исследование описанного выше руга вопросов для некоторых нелинейных уравнений, возникающих ри приближенном описании явлений диффузии, нелинейной он тки, имических реакций, динамики намагниченности магнетиков и друтх ффектов нелинейной физики.

Целью настоящей работы является:

1. Исследование множества решений краевых задач для некочорот ласса нелинейных обыкновенных дифференциальных vpauin-miH ш<>-зго порядка и изучение качественных свойств згнх решений.

2. Исследование связи между решениями нелинейного уравнения с частным ч производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби и- 4- F(x,ur,u) = 0, (x,t) 6 Я" х (О, Т) и стационарными точками интегрального функционала действия, заданного па пространстве функции CHlU.T],/;") соотношением S{x,T) = S{x,t)\t=t, S(x,t) ■-= S(p(t)x{t) -

F{x(t),p{t),S(x,t))dt, ге[0,Т].

3. Построение модели твердого магнетика и вывод замкнутой системы уравнений движения одночастичной функции распределения системы частиц магнетика на основании принципа среднего поля - уравнений среднего поля (УСП). Изучение свойств классических и обобщенных решений задачи Коши для УСП, исследование зависимости решений от параметров задачи. Доказательство корректности задачи с начальными условиями. Обоснование применимости УСП для описания движения модели.

Научная ноиизна

1. Доказано существование счетного множества решений краевой задачи для нелинейного на полупрямой (0, -)-оо) и на отрезке [г, R], 0 < г < R < +00 с нелинейной функцией достаточного общего вида, рассмотрение которого требуется для исследования физических проблем.

2. Получены уравнения, определяющие стационарные точки функционала, заданного неявно соотношением

S(x,T) = J L(x(t),x(t), S(x, t),t)dt.

Предложено некоторое обобщение связи между уравнениями тина Гамилыона-Якоби и вариационными задачами для случая функции Гамильтона, явно зависящей от неизвестной функции.

3. Предлагается модель твердого магнетика, обобщающая модель векторного поля намагниченности. В указанной модели состояние магнетика задается одночастичной функцией распределения частиц магнетика по значениям координат частиц н пространстве и значениям магнитного диполыюго момента (МДМ); движение модели магмстика-опи-сывает система уравнений среднего ноля.

4. В предположении о гладкости парного потенциала взаимодействия МДМ доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных условий. Дан строгий вывод УСГ1 как уравнения, описывающего предельную динамику системы N классических МДМ в пределе при N —f оо.

5. Установлено существование набора интегралов движения - сохра-

няющихся при движении функций состояния системы. Дано определение решения задачи с начальными условиями для УСП с сингулярным потенциалом и доказано, что для ограниченных в существенном начальных данных так определенное решение существует единственно и непрерывно зависит от начальных данных.

Научно-практическое значение

1. При доказательстве теорем 1.1-1.3 о существовании решений краевых задач предложен и обоснован алгоритм применения численных методов для решения широкого класса начальных и краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. В главе 2 предложен метод исследования вариационных задач для некоторого класса определенных на множестве кривых С1([0, Т*], Я") интегральных функционалов. Использование функционалов указанного вида позволит расширить класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка, решения которых допускают описание с помощью вариационного принципа Гамильтона. В частности, с помощью предложенных функционалов можно дать вариационное описание решений дифференциальных уравнений движения некоторого класса диссипативных систем и систем, движение которых зависит от определяемых предысторией системы параметров.

3. В главе 3 предложена модель магнетика, являющаяся обобщением известной в литературе модели магнетика, состояние которого определяется векторным полем намагниченности в области, занимаемой магнетиком. В работе дано математическое обоснование и указана степень соответствия предложенной модели к описанию движения твердого магнетика как совокупности большого числа неподвижных в пространстве классических магнитных дипольных моментов.

Полученные в работе результаты о корректности задачи Коши для системы уравнений движения модели служат обоснованием применимости численных методов (например, метода частиц) для моделирования движения состояния магнетика с помощью ЭВМ.

При изучении задачи о движении взаимодействующих МДМ в рабою были предложены методы исследования, которые могут оказаться полезными при изучении задачи Коши для системы уравнений Власова-Пуассо'-а.для частиц с парным потенциалом взаимодействия с сингулярностью выше, чем в законе Кулона.

Апробация работы, публикации Основные результаты диссертации докладывались на следующих кож}>ерснциях и семинарах, ид се-

минарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна), на Международной Школе "Geometrical and Algebraical Methods in Modern Physics" (Крым, 1093 г.), на семинаре отдела теории функций МИАН, на семинаре "Математические задачи теорфизики и механики" и семинаре кафедры высшей математики в МФТИ, на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения н их приложения" (Самара, 1996 г.), на научной конференции, посвященной 50-летию МФТИ и 199G г., на Международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 1997 г.). По теме диссертации опубликовано 0 работ.

Структура и объем работы: диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований.

Краткое содержание работы 1 Нелинейные краевые задачи

Изучение ряда стационарных физических процессов теплопроводности, химических реакций, оптики и квантовой механики приводит к исследованию краевой задачи

Ли = /(£,и), £ € D С Я", t е Я+ (1)

с краевыми условиями Дирихле на гладкой границе 0D. В случае, если область D является пространством Я" или сферическим слоем, а правая часть /(£, и) обладает радиальной симметрией - является функцией |s| и и, то задача (1) при выполнении определенных условий имеет решения вида и(£) — у(х), х = |£| (радиальные решения) и задача (1) сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

У"+ -—У = }(х,у) (2)

х

либо на отрезке [г, Я], 0 < г < Я < -t oo, с условиями Дирихле на концах

y(r) = y{R) =■ о, (3)

если D = {£ 6 Я" : г < < Я}, либо на интервале (0,+оо), содержащем сингулиркую точку х = 0 как предельную, с краевыми условиями

у'(о) = t/(+oo)-=o, " м;

если D — Я".

Важные свойства задачи (1) с /(£, u) = f(u) были получены в работе С.И. Похожаева, где в качестве П рассматривалась произвольная ограниченная область с гладкой границей. Одним из результатов работы является утверждение, что если область Q является звездной (в частности, выпуклой), то задача (1) не имеет нетривиальных классических решений, если для функции /(и) выполнено некоторое неравенство

н 2 и

- j f{s)ds <0, и ф 0, (;>)

из которого, в частности, следует, что если f(u) = —|и|"1_1и, то задача не имеет решений при выполнении условия: тп > ^ = тп', (п > 3).

Существование решений задач (2),(4) и (2),(3) в случае Q = Rn было детально исследовано в работах И.Т. Кигурадзе при предположении 1(у) — У — М"'~'2Л гДе 1 < m < тп*. Для любого I > 0 доказано существование решения, имеющего на интервале (0, +оо) ровно I корней. Теорема существования счетного числа решений при значительно более общих предположениях об / (но без указания на качественное поведение этих решений) доказывается с помощью вариационного метода. Исследованию уравнений (1) и (2) посвещен ряд других публикаций. Однако вопрос о структуре множества нетривиальных решений краевых задач для уравнения (2) и о качественном поведении этих решений в настоящее время исследован лишь для некоторого класса правых частей уравнения (2). Диссертация дополняет результаты исследований уравнения (2) для функции f(x,y) с другим качественным поведением.

В первой части главы 1 рассматривается краевая задача для уравнения

y = f(y) (5)

X

i.a полуоси (0, -foo) с краевыми условиями у'(0) = îy(+oc) = 0. Результат исследования составляет следующая георема: Теорема 1.1 Пусть п = 2,3,... и выполнены следующие условия: 1: f(y) - непрерывно дифференцируемая нечетная функция; 3: f (у) имеет единственный положительный корень у — у\; 3: /'(0) > 0;

4- f(y) > 0 при х 6 (0, у\); 5; существует l\m_y~lf(y) = А < 0;

+ ОЭ

в: J f(s)ds < 0 (может бить / f(s)ds = — ос).

Тогда для любого целого неотрицательного I существует решение задачи (4), (5), которое имеет на интербале (0, +оо) ровно I корней.

Для доказательства этого утверждения рассматривается семейство задач Коши для уравнения (2) с начальными данными н точке 1 = 0:

у'{+0) = 0, у{0) = в, 5 € Я, (6)

Доказано, что для любого я 6 Я существует единственное решение задачи (5)-(6), определенное на полуоси (0, +ос), и что множество Л/, I = 0,1,... значений параметра в > 0 таких, что решение задачи Коши у(я, х) имеет на полуоси (0, +оо) не менее / + 1 корней, н? пустое для любого I = 0,1,... и для любого натурального I ограничено снизу положительной постоянной. Далее показано, что значению параметра 5(* = тС(Л;) соответствует решение задачи Коши (5),(6), являющееся решением краевой задачи (4),(5), которое имеет на полуоси (0, 4-оо) ровно I корней. Во второй части главы 1 исследуется краевая задача для уравнения

у"+111~У'^9{Х)ПУ) + Н{Х,У) (7)

на отрезке [г, Л], 0 < г < Я < +оо с условиями (3; на концах отрезка. Предполагатся, что слагаемое Л(х,у) в определенном смысле мало по сравнению со слагаемым д{х)/(у). Результаты, полученные во второй части, составляют две теоремы:

Теорема 1.2 Пусть п = 1,2,3,..., д(х) > 0 на [г, Л] и выполнены следующие условия: Р1 : Пу)еС\-эо,+оо). Р2 : 1ип у-'/Ы =-оо.

111 : К(х, у) непрерывно дифференцируема.

112 : пт^ к(х, у)(/(у))~1 = 0 равномерно по х £ [г, Л].

НЗ : Ь'х(х, у)(/{у))~1 — 0 равномерно по х с [г, Л].

Тогда существует Ко > 0 такое, что для любого I > Ко существует решение задачи (3),(7) У1{х), имеющее на (г, Л) ровно I корней.

В случае, если выполнены дополнительные условия 1) с/(х)/(0) + к{х, 0) = 0 и 2) д(х)/'(0) + Ыу(х, 0) > 0 при всех х е [г, Л], то Кь = 0, в частности, существует полоэлигаельнос решение.

В доказательстве теоремы 1.2 показано, что для любого £ > 0 задача Кошн имеет определенное на всем отрезке единственное решение у{$, х),

имеющее на отрезке [г, 7?] некоторое зависящее от в число корней. Далее доказательство теоремы 1.2 повторяет доказательство теоремы 1.1. -

Теорема 1.3 Пусть п = 1,2,..., И(х,у) = 0, о функции /(у) и д(х) удовлетворяют, условиям:

/¡7 : /(у) е С'(-сю,+оо).

: Существуют такие положительные числа а, со, к, что для любого у : |)/| > а выполнено условие у~1{(у) < — с-оМ*.

а : д(х) имеет на [г, Л] конечное число корней а\,а2,..., а^ (быть может, равное нулю), причем д'(а{) ф 0 для любого I = 1, ...,п. 08: д(х)€С1[г,Щ.

СЗ : Существует хо 6 [г, Л] "гакое, что д(хо) > 0.

Тогда существует такое Ьо > 0, что для любого I > Ьо существует решение задачи (3), (7) У1{х), имеющее на {г, Я.) ровно I корней.

Наряду с краевой задачей (3),(7) рассматривается задача Коши для уравнения (7) на отрезке [г, Л] с начальным условием:

у(г) = 0, у'{т) = 5, (8)

где в > 0 - параметр.

В отличие от предыдущего случая, решение задачи Коши продолжимо на весь отрезок [г, Л] не при всех значениях параметра 5. В работе показано, что можно выделить такой интервал I С Я, что для любого в 6 / задача Коши (7), (8) имеет единственное решение у(.ч, х), продол-жимое на отрезок [г, Л], которое непрерывно зависит от параметра 5 для в из внутренних точек интервала I. Кроме того, для любого I € N множество А\ значений параметра 5 из интервала /, при которых решение ц(э,х) имеет на интервале (г, Л) не менее /+1 корней, не пустое и ограничено снизу. Тогда, как и в теореме 1.1, можно показать, что у($^,х), где ¡1 = т^Л;), продолжимо на отрезок [г, Л] и является решением задачи ¡3),(7), которое имеет на интервале (г, Л) ровно I корней. Полученные результаты показывают, что для существования решения

краевой задачи на отрезке [г, Л], г > 0 отсутствуют ограничения типа »•

2 Уравнения с частными производными первого порядка и шриационные задачи.

В главе 2 исследуется связь между решениями уравнений с частными фоизводными первого первого порядка

+ = О, <е(о,Г), гея", (О)

где функция H(x,p,S,t) дважды непрерывно дифференцируема в области Q — IVх х Я" х Я х (0, Т) и существуют такие положительные постоянные Л/, d, D, что

1) sup | —| = М < +оо 2) 0 < d < det -,-^-Ц < D < +оо, о S ox i, их j

и ранениями вариационной задачи определения стационарных точек функционала действия, заданного на пространстве кривых С'([0,71], Л") соотношением

1

S{x,T) = S(x, t)|i=T> S(x,t) = 50+/L(t, x(t), x{t)S(x, r))dr, t 6 [0, 7],

б

(10)

где L(x,v,S,t) функция, являющаяся преобразованием Лежандра функции Н(х,р, S,t) по переменным р.

Как известно, если уравнение (9) не зав! ;ит явно от неизвестной Фикции, ао характеристические кривые уравнения (9) и только они' явля1 1'ся стационарными тччками определенного па пространстве кривых С'([0, Т], Я") функционала действия.

В настоящей работе для произвольного уравнения вида (9) показано, что функционал действия (10) имеет п пространстве С'([0,7'], R") стационарные точки, которые совпадают с характеристическими кривыми уравнения (9).

Показано, что соотношение (10) корректно определяет на пространстве С1 ([0,7'], Я") функционал, непрерывно дифференцируемый по Фреше в каждой -очке.

Стационарной точкой функционала (10) Глдем называть такую функцию х 6 С1 ([0, Т], Я"), что для любого 5х 6 . праведливо соотношение:

6S{x,5x,T) = 0,

где SS(x,Sx,T) - значение дифференциала Фреше в точке х на элементе 6х.

Одним из с.човных результатов главы 2 является следующая Теорема 2.1: Пусть функция H(x,p,S,t) удовлетворяет условиям 1) ■и 2) (см. (9)). Тогда

1) Функция x(t) € С1 ([0, Т], Я") является стационарной точкой функционала S(x,T) тогда и только тогда, когда функция x(t) принад-

— и —

лежит пространству С2([0, Т], Я") и удовлетворяет следующему нелокальному по x(t) дифференциальному уравнению:

d OL(x(t),x(t),S(x,t),t) _ dt дх

dL(x(t),l(t), S{x, Q, Q OL(x(t), x(t),S(x, t), t) + OL{x(t),Ht),S(T,t),t) OS дх dx

(11)

?де величина S(x,t) определяется согласно соотношению (10).

2) Функция x(t) есть решение уравнения (11) тогда и только тогда, когда функции (x(t) и S(t) - S(x,t)) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений и начальному условию:

d OL(x(t). x(t),S(t), Q _

Jt di ~

OL[x{t),x(t),S(t),t)dHx(t),Ht),S(t),t) + OL(x(t),x{t),S(t),t) dS di Dx

jtS(t* = L(x(t),x(t), S(t), O, t e [0,TJ, 5(0) = Sa.

Д uiee в работе уравнения второго порядка (11) для функции x(í) с помощью преобразования Лежандра представлены как уравнения первого порядка для функции (x(t),p(t)).

Теми же методами, что и в доказательстве теоремы 1, можно покачать, что заданная в области Qi = Я2"11 х [ín,íj], где [fo,/i] - некоторый отрезок, и удовлетворяющая условиям 1), 2) функция H(x,p,S,t) определяет на пространстве функций (i(0,?>(0) t С (['о, h], Я") х С([/„, ¿i], Я") функционал

(i

S(x,P,ti) = S0 + /O'(r)iír) - П(р(т), х(т), S(x,p, г),г))</т, (12)

'о

который непрерывно дифференцируем по Фреше в каждой точке у кл taii-ного пространства.

Станиона])ной криво!! функционала действия (12| назовем фшкнию (■МЛ) fe х С([^,^],Я") : х(/„) = mMt,,) д„ на

любом элементе (&x,Sp) £ Cfl([íu, ¿i|, Я") х C([t(h t¡ j. 11") ........... /ш<|)~

ферешшала Фреше ÓS{£,p,ñr,5p,t\} равно нулю. Меюдамп, пр'.-'.м.;-нгнными в теореме 2.1, можно показать, чю функпня (tí/), ¡lílj) С

С?1 ([/о, ¿1], Я") х С([^о, <1], Я") есть стационарная кривая функционала '12) с началом в точке (хо,ри) тогда и только тогда, когда функция

(х(0,р(0) eC2([t0lti],Än) xC'dto,«!!, Л") II функции (!(<),»(<). 5(0), ио

S(t) - S(x,p,t) являются решениями задачи Коши для системы дифференциал ышх уравнений:

Уравнения стационарных точек функционала (12) совпадают с уравнениями характеристических кривых уравнения с частными производными первого порядка типа Гамильтонл-Якоби (У).» Тем самым устанавливается связь между стационарными точками нелокального функционала вида (10) и решениями уравнения с частными производными (9), явно зависящего от неизвестной функции.

Далее в главе 2 показано, что уравнение (9) с начальными условиями 5(х, 4 0) — 5ц(х) на гиперплоскости < = 0 определяют гладко зависящее от параметра I, ( € (0,£.), А 6 (0,7'] преобразование фазового пространства Н"1 : (х,р) —> (х(<),;:(<)), которое задается не только функцией 1!{х,р, 5, ¿), но и начальными условиями Ь'ц{х) и в обшем случае не является гамильтоповым.

Для функционала (10) можно ввести одноточечнучо функцию Гамильтона. В работе доказано, что для произвольных точки' (хц. /„) 6 /I" х (0,7') и числа 5о 6 II существует такая область О £ !1п х [в, 7'], что. для каждой тучки (11,^1) области О существует единственная кривая х{1), ^ 6 [¿о,^], соединяющая точки Хц и Х[ и являющаяся стационарной точкой функционала 5(х, ¿о, ¿1):

Тогда функционал действия ¿'(х,^-^), вычисляемый на стационарной кривой, соединяющей точки (а:о,ЛЛ и (xj.ii), явлнггся функцией точки (а-!,/1), однозначно определенной в области О и. как показано в теореме 2, функция 51(11, ¿1|х0, /о, 50) = 5(х, '|)|£(<1).,Х1 , (х!,^) 6 П удовлетворяет в области 7) дифференциальному уравнению (9).

В работе показано, что некоторому классу приближенных квазиклассических решений квантовою диссипатирного уравнения Коетнча соот-ветстиует уравнение с частными прои:.водными первого порядка типа

ОН ОН дН ■

x{tu) = x0, p{ta) = Po. S(t0) = su.

.Vi

\xMAx) -50 + j L{r,x{T),i{r)S[x,tv,t))dT.

<0

)). В главе, обсуждаются вопросы о взаимосвязи вариационной задачи 10) с задачей Лагранжа и с задачами механики неголономных систем, применении вариационного принципа Гамильтона к описанию дннже-ия диссипатнвных систем классической механики и систем, изменение стояния которых в данный момент времени выражается через ее со-ояние в данный и в нредшевствовавшие моменты времени.

3 Система уравнений среднего поля типа Власопа-Пуасеона, шсывающая модель твердого магнетика

В главе 3 настоящей работы исследуется система интсгродифференци-ibiibix уравнений, описывающая движение модели твердого магнетика. Состояние системы частиц в момент времени t определяется с. иомо-ыо функции распределения в координатном пространстве X ~ Qx. S2 : x,s,t) есть плотность вероятности распределения частиц в простран-ве X в момент времени t. Здесь S2 - двухмерная сфера единичного днуса и Q - ограниченная трехмерная область с гладкой границей. В работе показано, что если модель мг ..етика представляет собой вокупность частиц, обладающих ненулевым механическим моментом S" € S'- и ненулевым магнитным динольпым моментом (МДМ) —5", то гда од: очастичная функция распределения частиц магнетика удовле-оряет следующей системе уравнений:

+ (V./(£, s, 0, s, t) х s]) = 0, (х, S) е X, t б [0, Г], (13) /(f,s,+0) = /0(iI.5)1. (14)

\х, з, 0 - VaV(s)+j w{x-y)M{y, t)dy+V j(VU{x-y), M(y, t))dy, (15) n ft

M(x,l) = J s/(f,s,<)rfs,

s7

- оператор градиента на сфере, рассматриваемой как рнманово мно-юразие, У > 0 - произвольная постоянная, w{x) - гладкая «функция Я?, Vis) - гладкая функция на S2, /«(£, s) - функция распределе-i системы на X в начальный момент времени t — 0, удоплетворяю-я условиям fo{x,s) > 0 и f /„(£, s)ih-(l$ — 1, /(£,.?,() - неизвестная

икцня распределения. В работе рассматриваются различные предно-кения о функции U(x) - либо U(x) - ь.адкая (функция (скщикепная дча), либо U{x) — j|; (несглаженная задача).

Соотношения (13)-(15) выведены из предположения, что каждая частица находится в некоторой точке Q и не изменяет своего положения т, а движение ее механического момента s(x,t) подчин "ч>тся уравнении:

ds

— = -[s х В(х, s, ¿)].

Возможность описать влияние магнитных и электрических полей ш изменение состояния частицы с помощью соотношения (15) обсуждала« в литературе по теории магнетизма. Выводы работы справедливы, i частности, и для систем с чисто магнитным взаимодействием. .

Определение 1. Функция f(x,s,t), определенная на X х [0,Т] называется классическим решением сг'лаженной системы УСП, если

1) j(x,s,t)ec\Xx[o,T}). ■

2) /(.т. s,t) удовлетворяет системе (13)-(14).

Наряду с системой уравнений (13)-( 14) рассмотрим следующую задач} для функции n(t) G С([0, Т], М(Х)), являющейся непрерывным ого брожением отрезка [0,Т] в пространство М(Х) (не обязательно знако определенных) борелевских мер на. множестве X, наделенное нормой d пусть ц £ Л/, тогда

i/(/i) = sup | I n(dxds)f(x,s)\, feD {

где

D = {f\f: X [0,1], |/(f.S)-/(tf,ff)|<|f-!Tl + |s-a|}.

Как показано в работе R. Dudley, норма d порождает тонологш-слабой сходимости в пространстве М: для последовательности /i„ 6 Л условие Jiin rf(/i„) = 0 эквивалентно условию: Шт^ f ftn(dxds)^'(x,s) = i

для любого ifi € С(Х).

Но фиксированном выше отрезке [0, TJ рассмотрим множество слаб непрерывных отображений С([0,Т], Л/).

Определение 2: Пусть iic(dxds) 6 М(X) - неотрицательная борелеь екая мера и / /j0(dxds) = 1. Функция ¡i(t, dxds) G C'([0, T], M) называете

обобщенным решением задачи Коши (13)-(14) с начальными данным //и t М для системы уравнений среднего поля, если она при любо.' 0(х, s) ;с С'(X) удовлетворяет на отрезке [0,Т] следующим уравнению

I

f i,'(.r. ¿)(tt(t, dxds) - ii(0,drdt)) = fdr J(Vsy(x,b),[B x ¿])/j(r, dxds), Л ' b . A'

где

D{x,s,t) = VsV(s)+V f{VU{x-y),s)fi(t,dyds) + J w{x - y)s^{t,dyds).

X X

В работе получены следующие результаты:

Теорема 3.1 Пусть функции w(x), V(s), U{x) являются гприэ/сды непрерывно дифференцируемыми. Тогда

1) Если /¿ц - неотрицательная борелевская мера то;.а я, что

/ )it)(dxds) = 1, то для любого Т > 0 существует единственное обоб-\

щенное решение задачи Коши (13)-(Ц) n{t), причем длялюбого1 € [0,Т] мера n(t) неотрицательна и / ¡x{t,dxds) = 1.

2) Существует такое С > 0, что если p(t) и u(t) есть обобщенные решения уравне.н1*.1 среднего поля с начальными условиями /¿о и ио соответственно, то тогда справедливо неравенство d(fi(t) — i'(i)) < . Cld(fi0 - ¡.-о), для всех t 6 [0,Т], {//о, fo} в М(Х).

Теорема 3.2 Пусть выполнены предполомсения теоремы 1 о свойствах функций U, V и w. Пусть функция fo(x, s) принадлежит пространству С'1 (Л'). Тогда на отрезке [0,Х] существует единственное классическое решение задачи Коши системы уравнений cpedtie?o пом.

В предположении, что парный потенциал взаимодействия частиц является гладкой функцией, получен результат о сходимости решений уравнений динамики N частиц к обобщенному решению уравнения среднего поля при N —> оо.

Рассмотрим последовательность задач Кошн (13)-(14) с зависящими от номера т = 1, 2,... функциями U(x) = Um(x) = и;m * fpf и выражении (15), (назаваемых далее задачами Коши (т)), где * - операция свертки, ц>ш(х) = m3Di(mi), u>i - гладкое ядро усреднения с радиусом носителя, равным 1. Тогда для задачи Коши (гп) справедлива теорема 1.

Определение 3.3. Пусть функция € LP(X) есть плотность ве-

роятностной меры /¿о н пусть р g [1,+оо) или р ~ -foo. Функцию }(x,s,t) 6 C(\Q,T],LP) назовем Lp-решением сглаженной задачи Коши (т) с начальными данными

/(f,s,+0) = <p0(x,s),

если обобщенное решение fi(t) задачи Коши (ш) с начальными условиями р(+0) = /¿о есть мера с плотностью f'v,s,t).

В настоящей диссертации получена следующая теорема:

Теорема 3.3: Пусть функция (ро б ^^(Х). Тогда для любого р : 1 < р < оо и для любых т € N существует единственное Ьр-решение /т(£) задачи Коши (т) с начальными условиями /„,(+0) = у>о, которое для любого Ь 6 [0,Т] удовлетворяет равенству ||/т(<)|Ьр(Л')|| = ||<^о|Ьр(А')||.

Дадим следующее определение:

Определение 3.4 Пусть р е (1,+оо) и у?о 6 ЬР(Х). Функцию /(ж, 6 С([0,Т], Ьр) назовем Ьр - решением задачи Коши (13)-(14), если существует подпоследовательность последовательности /т(х,¿) 1/р-решений задач Коши (ш) с начальными условиями щ(х, в), сходящаяся в пространстве С([0,Т],£р) к функции /(х, я, Г).

Один из основных результатов работы составляет следующая:

Теорема 3.4 Для любого <¿>0 € ^оо(Х) существует функция /(£), которая для каждого р : р. 6 (1, +оо) является Ьр-решением задачи (13)-(14)- Функция /(¿) является отображением отрезка [0, Т] в пространство Ьоо(Х) и для любого I 6 [0,Т] удовлетворяет семейству равегств

||/(0|£,МН = 1ЫЬ,Р0И "Я* я ■ 1 < 9 < +<*> « я = +00.

Для любого р 6 (1,4-оо) Ьр-решение задачи (13)-(Ц) единственно и непрерывно зависит от начальных условий в том смысле, что для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что если функции уо>¥>1 6 £Ж(Х) удовлетворяют условию ||у1—1ро\Ьр(Х)\\ < 8, то д.пя соответствующих начальным данным </?ъ <ро Ьр-решений /1(<), /о(<) справедлива оценка 11/1(0 - /о(<)|С([0,Т],1,р(Х))|| < е.

Заметим, что вопрос о непрерывности отображения /(х, я, <) : [О, Т] —> Ьос(X) остается открытым.

Предлагаемая в работе модель магнетика рассматривается, по-видимому, впервые. Модель магнетика, состояние которой задается функцией распределения /(х, а, ¿), а динамика - уравнениями (13)-(15), является альтернативой применяемой в теории магнетизма модели, в которой состояние задается векторным полем намагниченности М(х, 4), удовлетворяющим уравнению

= [В х М). (16)

Действительно, если величина силового поля В в (15) не зависит от ¿Г, то тогда уравнение (16) следует из у\ авнений (13) и (15). Однако, если поле В зависит от 5", то нельзя получить замкнутую систему уравнений динамики для векторного поля М(г, £)• Различные состояния магнетика я) такие, что / в/о(х, «О^ = Мц(х), определяют различные

движения намагниченности Mix, t) = } sf(x,s,t)ds. Указанное свой-

s2

ство позволяет дать качественное объяснение наблюдаемой зависимости движения намагниченности магнетика от предыстории движения.

Задача, подобная задаче (13)-(15), изучалась при исследовании системы уравнений Власова, описывающей движение заряженной плазмы. В работах A.A. Арсеньева, Г. Спона, П. Лионса и других авторов были введены определения классического и обобщенного решений задачи с начальными условиями, были получены результаты о сущесхвованни, единственности обобщенного решения задччи и, в предположении, что потенциал взаимодействия частиц является гладкой функцией, о непрерывной зависимости обобщенного решения от начальных условий.

В проводимых в работе исследованиях используются методы, разработанные A.A. Арсеньевым и Г. Снопом для системы уравнений Власова-Пуассона. Задача (13)-(15) отличается от задачи Коши для уравнения Власова тем, что фазовое пространство частиц магнетика А' = i) х S2 компактно и тем, что положение частиц в пространстве не изменяется, что упрощает исследование задачи. Но, кроме того, ядро интеграла в выражении для силового поля В имеет более высокую степень сингулярности и . нтегральный оператор В : / В, заданный соотношением (15) не является компактным оператором из Lp(X) в L,,(R3, Л3), в отличие от соответствующего оператора в уравнении Власова. Поэтому адаптация методов из указанных выше работ сталкивается с трудностями и требуется использовать другие методы.

Основные результаты работы

1. Доказано существование счетного множества решений краевых задач на полупрямой и на отрезке для широкого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Отмечено, что для существования решения краевой задан! на отрезке (г, Я], 0 < г < R отсутствуют ограничения типа (р) на вид нелинейной функции в уравнении, которые имеются для задачи на полупрямой. Получены достаточные условия существования положительного решения н существования решения с любым наперед заданным числом корней.

2. Предложен метод вариационного описания решений уравнений с частными производными первого порядка, явно зависящих от неизвестной функции. Этот результат дополняет утверждение о связи уравнений Гамильтона-Якоби с вариационными задачами. IIa пространстве кривых С'([0,Т], Лп) определен интегральный функционал с нелокально зависящей от кривой функцией Лагранжа, стационарные точки которого

являются характеристическими кривыми уравнения с частными производными первого порядка, явно зависящего от неизвестной функции.

3. С помощью вариационного принципа гамильтона получены уравнения движения механических систем с диссипацией и запаздыванием, с помощью примеров показывана связь полученных уравнений с системами с неголономиыми связями и квантовыми диссипативными системами.

4. Предложена модель твердого магнетика, состояние которого задается функцией распределения частиц магнетика по положению в пространстве и магнитному дипольному моменту. Доказаны теоремы о существовании и единственности обобщенного и классического решений задачи Коши для уравнения движения модели с гладким законом взаимодействия, получен результат о непрерывной зависимости обобщенного решения от начальных условий. Дано обоснование применимости предложенной модели к описанию магнетика как системы взаимодействующих классических частиц и сделана оценка точности такого описания.

5. Доказано, что если начальное условие для обобщенного решения задачи Коши для уравнений с гладким законом взаимодействия есть мера с плотностью </?о из пространства Ьр, то обобщенное решение задачи Коши также обладает плотностью /(<) € Ьр (которая называется в работе решением), причем Ьр-норма решения сохраняется.

С. Доказано, что если начальное состояние магнетика есть функция <й) € Ь-Ю(Х), то тогда для любого р € (1, +оо) задача Коши для уравнений с сингулярным законом взаимодействия магнитных диполей имеет единственное Ьр-решеиие, которое непрерывно (в Ьр-норме) зависит от начальных данных задачи.

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям Жидкову П.Е. и Яковлеву Г.Н. за постоянную помощь на всех этапах выполнения работы, сотрудникам МФТИ и ОИЯИ Гочеву И., Манько В.И., Приез-жеву В.В., Яковенко Г.Н. за ряд полезных советов и Полозову А.В. за помощь в оформлении результатов.

Литература:

1. Жидков П.Е., Сакбаев В.Ж. Об одном нелинейном обыкновенном дифференциальном уравнении. Мат. Заметки. 1994. Т. 55 N.4. стр. 25-34.

2. Жидков ГТ.Е., Сакбаев В.Ж. О существовании счетного множества решений некоторой нелинейной краевой задачи. Дифф. Уравнения. 1995. Т. 31 N.4, С. 630-640.

3. Sakhaev V.Zh., Zhidkov Р.Е. Schrodinger operators in space of ■ inultifunctions defined in multiply-connected domains. J. Pliys. A: Math.

Gen. V. 23 (1995), L551-L555.

4. Сакбаев П.Ж. О задаче Коши для уравнения среднего потя, описывающего модель твердого магнетика. Препринт ОИЯИ. Р5-96-226. (направлено в журнал математические заметки).

5. Сакбаев В.Ж. О движении системы, гамильтониан которой зависит от предыстории. Сборник МФТИ "Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики". 1996. 190-200.

(>. Сакбаев В.Ж. О задаче Коши для уравнения среднего ноля, возникающего в физике магнетиков. Тезисы докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и их приложения", Часть 2, Самара, 1990.