Качественные свойства стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова

На правах рукописи

Шапошников Станислав Валерьевич Качественные свойства

стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 2 СЕН 2011

Москва, 2011

4853352

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор А.Ю. Веретенников доктор физико-математических наук, профессор A.A. Гущин доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Радкевич

Ведущая организация: Владимирский государственный

гуманитарный университет

Защита диссертации состоится " #» тгифл 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8, 9-й этаж, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического ииститута им. В.А. Стеклова.

Автореферат разослан 11 СУкЛ-Pj^Lv20 Ц г,

года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова, доктор физико-математических наук, профессор

В.А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть xt - диффузионный процесс с производящим оператором L, заданным формулой

d d Lu = aijdXidXju -f

i'j'=i i=i

Хорошо известно,что переходные вероятности Р(х, t, s, U) удовлетворяют уравнению Фоккера-Плапка-Колмогорова dtP = L*P, где L* - формально сопряженный оператор к L. Более того, если д - инвариантная мера процесса xt) то ц удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова Ь*ц = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова1,2, в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в Rd, так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книге3). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса в Rd в случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьмипского4, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и С.Р. Варадана3 изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккера-Плапка-Колмогорова и мартингальными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными производными такие уравнения исследовались в работах Д. Аронсопа, А. Фрид-

'Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи .чагем. huvk, 1918, т. 5, с. 5-41.

2Kolmogoroff A.N. Zur Umkchrbavkeit de.r statistischcn Natwycsctze. Math. Aim., 1937, D. 113, S. 760772; русский пер.: Колмогоров А.Н. Об обраочшоспш статистических законов природы. Теория вероятностей и математическая статистик! (сб. статей), Наука, М., 1986.

3Ватанай>* С,, Икэда II. Стохастические дифференциальные ¡/¡мвиения и диффузионные, процессы. Мир, М., 1980.

' Хасьминский Р.З. Эргодические свойства рекуррентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория верояги. и ее пршеи., 1000, т. 5, с. 179-190.

°Stroock D.W., V'aradhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag, Berlin - New-York, 1979.

мана, С.Д. Эндельмаиа, Ф.О. Порпера и многих других авторов. 6.'<8.9-10 Перечисленные работы касаются в основном случая ограниченных коэффициентов оператора L или коэффициентов, имеющих линейный рост. Однако хороню известно (см., например, работы4'5), что диффузионный процесс существует, даже если коэффициенты имеют значительный рост при |х| -> -boo. Достаточно, например, чтобы существовала функция Ляпунова. Кроме того, коэффициенты могут быть локально иеограничепы. Отметим также, что необходимость в исследовании уравнения Фокксра-Планка-Колмогорова с неограниченными и даже с неиптегрируемыми относительно меры Лебега коэффициентами появляется при изучении бесконечномерных диффузионных процессов.

Итак, в настоящей работе исследуются вероятностные меры ц на Kd или Rd X (0,1), удовлетворяющие эллиптическому уравнению

L'u = О,

понимаемому в смысле интегрального тождества

[ Lud/j. = 0 Vu € C¡f(Rd), JRd

или параболическому уравнению

дф = L"ß,

которое также понимается в смысле интегрального тождества

f1 f [dtu -f Lu] dfi = 0 Vií€C0°°(Rdx (0,1)). Jo Jíf

Такие уравнения интенсивно изучались В.И. Богачевым, Н.В. Крыловым, К.Ле Бри, П.Л. Лионсом, Г. Метафупе, Д. Паллара, Дж.Да Прато,

6Aronson D.G., Bésala P. Uniqueness of solutions of the Cauchy pivblem for parabolic equations. J. Math. Anal. Appl., 1DGC, v. 13, p. 51G-32C.

7Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa,

Classe di Sei., 1968, v. 22, p. 607-691. - ----------------------- ---------------------------------------------

8 Aronson D.G., Serrín .1 .Local behavior of solutions of quasilinear parabolic equations. Arch. Rational Moch. Anal., 19G7, v. 23, p. 81-122.

'' Фрпдмап А. Уравнения с. частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

10Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Двусторонние, оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и нскопюрш их приложения. Успехи матеы. наук, 1984, т. 39, и 3, с.. 107-156.

A. Ранди, М. Рек пером, А. Фигалли, В. Штаппатом и другими математиками разных стран (см., например, раТюты11,12'13'14-13'16'17,18'19). Основные проблемы, которые ЯЕЛяютея предметом исследования при изучении вероятностных мер, удовлетворяющих эллиптическим или параболическим уравнениям, состоят в следующем.

1. При каких условиях (возможно более общих) на коэффициенты решение ц имеет плотность д относительно меры Лебега? Когда можно утверждать, что у плотности есть непрерывная по Гёльдеру версия или что плотность лежит в соболевском классе? Хорошо известны классические результаты Вейля, Хёрмандера, Маллявэна о гладкости решения уравнения с гладкими коэффициентами. Если мера уже обладает соболевской плотностью д, то уравнения Ь*ц = 0 и дф = L*ц можно рассматривать как уравнения па плотность q и применять результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для функций. Такого рода результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для мер можно найти в работе

B.И. Богачева, Н.В. Крылова, М. Рёкнера12, в которой, в частности, доказано, что в случае невырожденной матрицы диффузии А = (аи) ено-трицателыюе решение /г имеет плотность относительно меры Лебега, а

"Богачев В.И., PoKiiqi М. Обобщение теоремы Хасьминского об инвариантных, мерах. Теория вероятн. И ОС примем., 2000, т. 43, п 3, с. 363-378.

12 Bogachev V.I., Krvlov N.V., Rockner М. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 20, n 11-12, p. 2037-2080.

13Богачев В.И., Рекпер M., Штанцат В. Единственность решений хыиптичсских уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матом. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.

"Metafune G., Pallara D., Rhatuli A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223. p. 390-424.

1,1 Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M. Existence of solutions to weak parabolic equations for measure.!. Proc. London Math. Soc,., 2004, v. 88, и 3, p. 703-774.

"Bogachev V.I., Da Prato G., Riickiier M.. Stannat W.Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures. Bull. Loudon Math. Soc., 2007, v. 39, a 4, p. 631-640.

''Rockner M., Zhang X. Weak uniqueness of Fokker-Planck equations with degenerate and bounded coefficients. C.R. Math. Acad. Sci. Paris, 2010, t. 348, и 7-8, p. 433-138.

"Le Bris C., Lions P. L.Existence and uniqueness of solutions to Fokker-Planck type equations with irregular coefficients. Conun. Partial Differential Equations, 2008, v. 33 p. 1272-1317.

"Figalli A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients. J. Funct. Anal, 2008, v. 254, n 1, p. 109-133.

если A и 6 достаточно регулярны, то плотпость лежит в соболеводам классе и имеет непрерывную версию.

2. Когда можно утверждать, что у непрерывной версии плотности решения нет нулей? Если матрица А не вырождена и а4 6 W^, a коэффициент сноса Ь интегрируем относительно меры Лебега в степени р, где р > d в эллиптическом случае и р > d + 2 в параболическом случае, то для плотности g выполняется неравенство Харпака, из которого немедленно вытекает строгая положительность функции р. Однако если коэффициент b не интегрируем относительно меры Лебега, то неравенство Харпака, вообще говоря, может не выполняться.

3. Как оцепить поведение плотности решения при \х\ —> оо? Хорошо известны гауссовские оценки плотности в случае ограниченных коэффициентов8,10, а также в случае коэффициента сноса специального вида20. Представляет интерес получение оценок плотности в случае неограниченных коэффициентов. Основная идея состоит в применении метода функций Ляпунова в сочетании с локальными оценками соболевской нормы решения через //-норму коэффициентов относительно самого решения, а не меры Лебега.

4. Единственны ли решение стационарного уравнения Колмогорова и решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе вероятностных мер? Этот вопрос тесно связан с корректностью мартингальной задачи. Исследованию единственности в различных классах решений посвящены работы6,9'5,16,17,18'19. Хорошо известно, что единственность нарушается в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, что неединственность может иметь место даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Типичные условия, при которых доказана единственность в классах, близких к классу вероятностных решений (например, интегрируемые решения или неотрицательные решения), состоят в ограничении роста |Ь| или предполо-

2<|Жиков C.B. Об оценках типа Иэша-Аронамя d« доштения диффумт с несимметрической матрицей и их приложении к yq>c(hu-niLK>. Матем. сб., 2006, т. 197, п 1'2, с. 65-91.

жениях об интегрируемости |6|. Интересно, что для сдинствешюсти вероятностного решения не требуется ограничений абсолютной величины коэффициента сноса, а достаточно, например, оценить сверху величину (Ь(х), х). В более общем виде такие условия формулируются в терминах функции Ляпунова. Кроме того, если говорить о единственности решения задачи Коти, то важно получить достаточные условия единственности, допускающие в качестве начального распределения произвольные вероятностные меры, а не только тс, у которых есть плотность относительно меры Лебега.

5. При каких условиях вероятностное решение стационарного уравнения Колмогорова или задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является единственным интегрируемым решением (в терминах мер: решение с ограниченной вариацией)? Единственность в классе интегрируем!,ix решений исследовалась в работах6'9,18. Отметим также статью21, где в случае единичной матрицы диффузии, локально ограниченного сноса и начального условия, заданного плотностью, было показано, что для единственности интегрируемого решения достаточно потребовать, чтобы величина (Ь(х),х) не слишком быстро стремилась к -эо при |а:| -»• оо. Представляет интерес получение достаточных условий единственности интегрируемого решения в терминах функции Ляпунова, по аналогии с вероятностным случаем. Отметим также, что классы вероятностных, интегрируемых и неотрицательных решений действительно различны.

Цель работы. Получение достаточных условий положительности плотностей и вывод нижних оценок плотностей стационарных и переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост коэффициента сноса. Вывод верхних оценок для плотностей переходных вероятностей в случае неограниченного коэффициента сноса. Получение достаточных условий единственно-

L., Zhang "Y. A new topological approach to the -uniqueness of operators and L1 -uniquenc.su of Fokkcr-rianck equations. J. Fiinct Anal.. 200G, v. 241, p. 557-610.

сти вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова и уравнения Фоккера-Плаика-Колмогорова. Построение примеров неединствеиности в классах вероятностных, неотрицательных и интегрируемых решений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены нижние оценки плотности стационарного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

2. Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

3. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.

4. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.

5. Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности итерационная техника Мозера и метод функций Ляпунова, теории диффузионных процессов, теории меры, теории пространств Соболева, используются средства функционального анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, ИПИ РАН, Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете, Владимирском Гуманитарном государственном университете.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались па семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева и H.A. Толмачева (МГУ, 2005-2011); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (МГУ, 2007), на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством A.A. Шка-ликова, A.A. Владимирова, A.M. Савчука, И.А. Шсйпака, (МГУ, 2011); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.А. Кондратьева (МГУ, 2008); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, A.C. Ша-маева, Т.А. Шапошниковой (МГУ, 2011); на семинаре «Теория функций многих действительных переменных и ее приложения к задачам математической физики» под руководством академика РАН С.М. Никольского и член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2011); на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете Билефельда (Германия, 2005-2011); па семинаре университета Гейдельберга (Германия, 2009); па семинаре в Пекинском Нормальном университете (Китай, 2007); на семинаре в Институте Миттаг-Леффлера (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007, 2011), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007); на международной конференции

"Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models" и на международной конференции "Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Хиросима, Киото, Япония, 2008); на Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, РУДН, 2009); на международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С.М. Никольского (Москва, МГУ, 2010), па семинаре Отдела теории вероятностей Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введении, пяти глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 196 страниц.

Краткое содержание диссертации Глава 1.

Пусть /i - стационарное распределение диффузионного процесса с производящим оператором заданным формулой

Си(х) = dXi(aij(x)dXju(x)) + Ь1(х)дХ(и{х);

где ведется суммирование по повторяющимся индексам. В настоящей главе рассматриваются следующие вопросы.

1. При каких условиях на коэффициенты мера /i имеет плотность относительно меры Лебега и на всяком шаре плотность отделена от пуля?

2. Как оценить поведение, плотности на бесконечности?

Основная идея состоит в изучении свойств стационарного распределения ß как решения стационарного уравнения Колмогорова

С'ц = 0,

где С* - формально сопряженный оператор к С. Тем самым задача сводится к исследованию вероятностных мер, удовлетворяющих стационар-

пому уравнению Колмогорова, что позволяет рассматривать сформулированные выше вопросы без предположения о существовании диффузионного процесса с данным стационарным распределением.

Предположим, что матрица диффузии А(х) = (aij(х))i<i,j<d симметрична и удовлетворяет следующему условию:

(С1) при некотором р > d функции aij в ходят в класс Wf£(Rd) и существуют такие числа тп, М > О, что для всех х,у€ Rd имеем

m\y\2< J2 aij(x)m < М\у\2. \<ij<d

В работе12 показано, что если в дополнение к условию (С1) потребовать включения b% G Lfoc(Rd), то мера ß задается непрерывной плотностью в € Wg{Rd). Из первенства Харнака немедленно следует, ч то у непрерывной Персии плотности д нет нулей. Более того, в случае локально ограниченного коэффициента Ъ в нашей статье22 были получены следующие оценки снизу для плотности п при \х\ +оо (ранее в работе14 были получены более специальные оценки экспоненциального типа). Пусть задана непрерывная возрастающая функция W на [0, оо) и W(0) > 0. Предположим, что |6(ж)| < W{\x\/6), где в > 1. Тогда существует такое положительное число С = C(d,m.M,0), что непрерывная версия функции в удовлетворяет неравенству

ff(^) > е(0)ехр{-С(1 + W(M)H)}.

Однако такой подход невозможен в том случае, когда коэффициент сноса b локально неинтегрируем относительно меры Лебега или нет оценки роста |Ь(а;)| при |я| -> +оо. Одним из возможных способов исследования стационарного уравнения Колмогорова с сингулярным коэффициентом сноса является замена меры Лебега па меру /1. т. е. условие интегрируемости b относительно меры Лебега заменяем на условие интегрируемости b относительно самого решения ц. Условия интегрируемости подходящей функции Ф относительно решения ß стационарного уравнения

Богатев B.II., Pi 'Ktifip М., Шапошников C.B. Оценки плотностей ептцшнарных распределений

и переходных вероятностей диффутоппых процессов. Теория версятн. и ее пршюн., 200?, т. 52,

п 2, с. 240-270.

Колмогорова естественным образом появляются в теории диффузионных процессов и формулируются в виде конечности величины E$(it), где xt - диффузионный процесс с соответствующим генератором. Для переформулировки этого условия в терминах коэффициентов оператора С используются априорные оценки с функцией Ляпунова. Отметим, что необходимость исследования свойств решений стационарного уравнения Колмогорова при условии интегрируемости коэффициентов относительно самого решения ц появляется также при рассмотрении бесконечномерных диффузий.

В работе12 показано, что, если в дополнение к условию (Cl) вместо условия Ь1 € ¿f0C(Rd) пот}>ебовать включения Ь' 6 Цос{ц), то ß также задается непрерывной плотностью g 6 В дальнейшем мы будем работать именно с такой версией плотности Q.

Следующий пример показывает, что даже в том случае, когда V входит в LP{p) для всякого р > 1, плотность g может иметь нули, следовательно, неравенство Харнака не выполняется. Пусть d = 1. Положим д{х) = cex'2~j2, р(0) = 0, где с - такая нормирующая константа, что g является вероятностной плотностью. Пусть Ь(х) = д'{х)/д[х) = 2аГ3 — 2х. Легко проверить, что мера ß = gdx удовлетворяет уравнению с оператором Си = и" + bu'. Заметим, что b € для всякого р > 1, но непрерывная версия g имеет пул!..

В настоящей главе даны ответы па следующие вопросы.

• Для каких функций Ф включение Ф(|Ь|) £ Цос{^) влечет отсутствие нулей у непрерывной версии плотности д!

• Как оценить снизу плотнос-гь д, зная лишь, что Ф(|6|) S Ь1{ц)1

В том весьма специальном случае, когда b = Vg/g, такие вопросы исследовались в работах23-24'23. Однако методы, применяемые в этих ра-

33Schcutzow M-, von Wcizsîickcr H. Which momenta of a logarithmic derivative imply guasiinvariance? Doc. Math., 1098, v. 3, p. 261-272.

"Nualart E.Exponential divergence estimates and heat kernel tail. C. R. Acad. Soi. Paris, Ser. I, 2004, t. 338, p. 77-80.

"Malliavin P., Nualart E.Density minoration of a strongly non-degenerated random variable. J. Fund. Anal., 2009, v. 256, n 12, p. 4197-1214.

ботах, существенно используют то обстоятельство, что Ь является логарифмической производной меры /х. Фактически в этом специальном случае оказывается возможным свести многомерный случай к одномерному. Основные результаты главы 1 состоят в следующем.

Теорема 1. Пусть функция / е С2 ([0, оо)) и неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция ■ф, отображающая [0, +оо) на [0, +эо), удовлетворяют следующим уыовиям:

(Н1) /(г) > О, Г [г) > 0. /"(2) > О при 2 > 0;

(Н2) функция выпукла (т.е. (е-/)" > 0) при г > г0 для

некоторого г0 > 0, причем она убывает к 0 на [г0, +оо);

(НЗ) ф~1{г) < Л^/'(/_1(г)) для всех л > 0 и некоторого числа N.

Тогда для отсутствия нулей у непрерывной версии плотности д достаточно в дополнение к (С1) потребовать выполнения локального условия:

(С2) |6| ехр(^(|6|)) € Ьр1ос{ц), где р > шп{2, <1).

Более того, если выполняется глобальное условие

(С?) \Ь\ ехр(г/>(|6|)) € //(/г), где р > тт{2, то существуют такие числа с{ > 0 и с2 > 0; что имеет место оценка е{х) > + с2).

Приведем несколько типичных примеров функций / и ф. Пусть задано число 5 > 0. Если /(г) = ег, то в качестве ф можно взять ф(г) = 6- г. В этом случае получаям оценку

<?(."£) > ехр(-с, ехр(с2]ж|)).

Если /(г) = гг при г > 1, то подходит -ф(г) = 3 ■ ¿г1(т~1). Тогда д(х) > с! ехр(-с2|ж|г/('-1)).

Данные оценки являются в определенном смысле точными. Действительно, пусть д(х) = сехр(—Тогда мера ц = дйх удовлетворяет уравнению = 0 с

Си = А« + (6, Чи), Ь(х) = = -к/3\х\в~2х.

Легко видеть, что для достаточно малого 6 > 0 функция ех интегрируема относительно /х. Следовательно, имеет место оценка

д(х) > с1ехр(-с2|х|/}),

которая, как видно, точно описывает поведение д.

Отметим также, что указанное выше достаточное условие отсутствия пулей у непрерывной версии плотности д близко к оптимальному. Положим /(г) = ее* и ф{г) = г/Ыг при г > 2. Функции / и ф удовлетворяют (Н1), (Н2) и (НЗ). Согласно сформулированным выше результатам включение ехр((5^(|6|)) € ¿1(/х) влечет отсутствие пулей у плотности д. Однако в работе23 показано, что уже в случае (1= 1иЬ = д'/д в качестве функции ф нельзя взять с к > 1.

В конце данной главы мы сравниваем полученные оценки с верхними оценками и переформулируем условие, интегрируемости относительно решения /и в терминах коэффициентов оператора £. Кроме, того, приводится пример использования полученных результатов при исследовании бесконечномерных диффузий.

Глава 2.

В настоящей главе исследуется пространство решений стационарного уравнения Колмогорова

Ь*ц = О,

где оператор Ь задан формулой

Ьи{х) = а?{х)дх,дх,и{х) + Ь\х)дх,и{х),

в которой предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Пусть р > (I. Предположим, что матрица А(х) = (а'Цх))симметрична и удовлетворяет следующему условию:

(С1) функции аг} входят в класс и для всякого шара V С

существуют такие два числа т = т(и) > 0 и М = М((7) > 0, что для всех х 6 и и у еМ? имеем

т\у\2< £ ¿>{х)ут<М\у\2. 1<и<<1

В дополнение! к (С1) предполагается, что коэффициент сноса удовлетворяет условию

(С2) |6|€¿L(Rd).

В работе12 доказано, что при выполнении условий (С1) и (С2) мера ц задается непрерывной плотностью д класса ^¿^(К^), с которой мы и будем иметь дело. Как и в предыдущей главе, вероятностным решением называем неотрицательное решение ц = gdx такое, что /i(Kd) = 1. Из неравенства Харнака следует, что д > 0. Множество вероятностных решений обозначим через V.

Интегрируемым решением мы называем решение ц (возможно, знакопеременное) с ограниченной вариацией, т. е. < оо или, что то же, В 6 ¿'(R1'). Множество интегрируемых решений обозначим через М.

Основные вопросы, на которые мы отвечаем в данной главе, состоят в следующем:

1. При каких условиях на коэффициенты оператора L множество V состоит из не более чем одного элемента?

2. При каких условиях па коэффициенты оператора L множество М состоит только из одного элемента fi = 0?

3. При каких условиях данное вероятностное решение является единственным интегрируемым решением в том смысле, что всякое интегрируемое решение ему пропорционально?

Единственность вероятностного решения тесно связана с существованием и единственностью полугруппы Т(, генератор которой совпадает на C,f (Rd) с дифференциальным оператором L. Хорошо известно, что с диффузионным процессом xt можно связать полугруппу операторов Tt, заданных на ограниченных борелсвских функциях формулой Ttf(x) = Ex/(xt). Если вероятностная мера ц является стационарным распределением процесса xt. то она является инвариантной мерой полугруппы Tt. Тогда Tt продолжается до полугруппы па Ll{¡i). Кроме того, мера /i удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова. В определенном смысле верно и обратное. Как доказано в работе13, если вероятностная мера ц удовлетворяет уравнению Колмогорова и выпол-

няются условия (Cl), (С2), то существует субмарковская сжимающая Со-полугруппа операторов Tt на Ь1(ц), генератор которой совпадает с L на Coc(]Rd). Мера ц, вообще говоря, является для полугруппы Tt не инвариантной, а субинвариантной мерой. Однако если мера ц оказалась инвариантной мерой, то полугруппа Tt является марковской и единственной полугруппой на Ь1{рь), генератор которой продолжает L, а мера (i является единственным вероятностным решением стационарного уравнения Колмогорова. В статье13 также установлено, что инвариантность меры ¡i и единственность полугруппы Tt равносильны существенной т-диссипативности оператора (L, C§c(Rd)) в Ll(fi). Следовательно, достаточные условия m-диссипативности оператора L являются достаточными условиями единственности вероятностного решения. Такие условия получены в работе13. В главе 2 доказана единственность вероятностного решения при менее обременительных условиях на коэффициенты оператора. L, чем в работе13, причем для доказательства единственности предлагается другое, в определенном смысле более простое, рассуждение, не использующее m-диссинатнвность. Кроме того, до сих пор оставался открытым такой вопрос: достаточно ли включение Ь € Ь1(ц) для единственности вероятностного решения? Дается положительный ответ на этот вопрос. Логарифический градиент /í = §dx относительно метрики, порожденной А, задастся как отображение ^ в Rd с компонентами

Теорема 2. Пусть коэффициенты а'-' и Ьг удовлетворяют, условиям (С1) и (С2). Если выполняется хотя бы одно ш следующих условий:

(i) а4'. Ь* € Ll(fi) для некоторой меры fi € V,

(ii) а'', (6* — Р' ) 6 ¿H/í) для некоторой меры ц € V.

(iii) для некоторого числа С > 0 выполняются неравенства

|%/Í4(x)VV(i)| < С, LV(x) < С,

то уравнение Ь"ц — 0 имеет не более одного вероятностного решения.

Пусть А - единичная матрица и V(x) = ln(ln(l + |а;|)) при |х| > 1. Для выполнения условий теоремы достаточно иметь оценку

(Ь(х), х) < С\х\21п(1 + |х|) + С для всех х <= Rd.

Отмстим, что проблема неединственности вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова исследовалась в работах13,26'27. В частности, в работе27 построен пример стационарного уравнения Колмогорова с единичной матрицей диффузии и гладким коэффициентом сноса, симплекс вероятностных решений которого имеет бесконечную размерность.

Предположим теперь, что стационарное уравнение Колмогорова имеет единственное вероятностное решение ц. В этом случае пространство М интегрируемых решений содержит одномерное подпространство Ад, где А € R1. Появляется естественный вопрос: может ли М. содержать что-нибудь еще, кроме этого одномерного подпространства? Следующий пример дает утвердительный ответ на этот вопрос. Пусть d = 1. Положим

Здесь cj - такое положительное число, что мера /х = gdx - вероятностная. Тогда /х является вероятностным решением стационарного уравнения Колмогорова. Легко проверить, что мера и. заданная плотностью и(х) = ж(1 + 4а;4)_1 относительно меры Лебега, является интегрируемым решением, причем ц и v линейно независимы. Однако вероятностное решение единственно, так как d = 1 и b локально интегрируемо по мерс Лебега13. Нами получены достаточные условия отсутствия интегрируемых решений, не пропорциональных данному вероятностному решению.

-6ГГ[апопшнков C.R. О неединственности решений ¿кьштпичсских уравнений для вероятностны.!: мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, и 3, с. 320-323.

27ShaposImikov S.V. On nonuniqucness о/ sotutions to elliptic equations for probability measures. J. Fuuet. Anal. 2008, v. 254, p. 2690-2705.

Теорема 3. Пусть выполняются условия (С1) и (С2) с р > d при d > 2 и р = 2 при d = 1, при чем существует татя полоокитпелъшя функция V 6 C2(Rd), что V{x) —► +оо n/ш |ж| —> +оо и для некоторого числа С > 0 выполняются неравенства

\\/A{x)VV(х)\ < С, LV(x) > -С.

Тогда вероятностное решение уравнения L*ц = 0 является сдипствеп-пьи.1 с точностью до пропорциональности интегрируемым решением.

Пусть А - единичная матрица и V(x) = ln(ln(l 4- |ж|)) при |ж| > 1. Для выполнения условий теоремы достаточно иметь оценку

(Ь(х), х) > ~С\х\21п(1 + |ж|) - С для всех г е Rd.

Более того, в настоящей главе получены достаточные условия отсутствия нетривиальных интегрируемых решений, причем условия формулируются в терминах функции Ляпунова.

Теорема 4. Пусть выполняются условия (С1) и (С2) с р > d при (¡>2и р = 2 при d = 1, причем существует такая положительная функция V е CP(Rd), что V(x) +оо при |i| —> +оо и для некоторых чисел С > О, R > 0 и почти всех х, для которых V(x) > R. выполняются неравенства LV{x) > 0 и A(x)W(x)\2 < CV(х). Тогда уравнение Ь*ц = 0 пс имеет опыичных от нуля интегрируемых решений.

В заключение данной главы рассматривается случай единичной матрицы диффузии А и градиентного коэффициента сноса b = Vv, где v € C00(R<i). Мы находим достаточные условия того, что вероятностное решение g имеет вид g = Cev. Эта задача тесно связана с проблемой построения по заданному векторному нолю b вероятностной меры fi = gdx такой, что 6 = Vg/g. Один из возможных подходов, следуя работе28, состоит в построении такой меры как стационарного распределения соответствующего диффузионного процесса с коэффициентом

^Кириллов А.П. О dcujj: математических проблемах канонического квантования. I, //, Я/, IV. Теор. мат. физ., 1991, т. 87, n 1, с. 22-3.3; 1991, т. 87, п 2, с. 1G3-172; 1992, т. 91, п 3, с. 377-393; 1992, •г. 93, п 2, с. 249-263.

сноса b. Другой способ - построение такой меры ¡1 как решения стационарного уравнения Колмогорова.

Глава 3.

Настоящая глава посвящена исследованию свойств переходных вероятностей диффузионного процесса с производящим оператором

Lu(x, t) = а'3(х, t)dXsdXiu(x, t) + b'(x. t)dXiu(x, t).

Основной интерес представляет случай неограниченных коэффициентов оператора L. Хорошо известно (см., например, работы4 5), что если коэффициенты оператора L локально ограничены, матрица диффузии невырождена и липшнцева по х равномерно по t и существует функция Ляпунова V класса С2^®^ х [0, +оо)), такая, что для всякого Т > 0 и всех (х, t) е Rd х [0, +оо) и некоторого числа С > 0 имеем

lim inf V(x. t) = +00. dtV(x.t) +LV(x,t) < CV(x.t).

|x|-wc te[0,T] ' v ' _ 4

то для всяких (у, s) € x [0, + oo) существует единственное решение Pyj мартингальной задачи с оператором L такое, что Pys(x(s) = у) = 1. Легко видеть, что условие с функцией Ляпунова допускает сколь угодно большой рост коэффициентов. Например, мартиигальпая задача корректна в случае единичной матрицы диффузии А и коэффициента сноса b(x,t) = — xß(\x\), где ß - произвольная непрерывная положительная функция на [0, +оо). Действительно, в качестве функции V можно взять V(x) = \х\2. В случае невырожденного коэффициента диффузии переходные вероятности P(y,s,t,B) = PVtS(x(t) € В) задаются плотностью относительно меры Лебега. Основная задача состоит в изучении поведения плотности при |ж| —> оо и вблизи t = s. Если коэффициенты глобально ограничены, то для плотностей хорошо известны двусторонние оценки г-ауссовского типа 8-9-10. Однако в случае неограниченных коэффициентов результаты из перечисленных работ неприменимы. В настоящей главе доказывается глобальная ограниченность и выводятся верхние оценки плотности без предположения об ограниченности коэффициента

сноса. Кроме того, условия, при которых получены верхние оценки, выражаются в терминах функции Ляпунова, что согласуется с достаточными условиями существования соответствующей диффузии. Нижним оценкам посвящена четвертая глава.

Как и в работах8,9,10, мы исследуем переходные вероятности как решения уравнения Фоккера-Плаика-Колмогорова

дф = Ь*ц.

Мера /х = щ[йх)йЬ, где В) = Р(у, в, £, В), удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова на К"* х (в, Т) для всякого Т > з, причем /х| 1=3 — 63. Более того, для всякой вероятностной меры 1> мера ц = где

щ{В)= / Р{у,з,иВ)р{<1у), л*

удовлетворяет уравнению Фоккера-Плаика-Колмогорова и начальному условию /х|{=5 = и. Таким образом, исследование переходных вероятностей сводится к исследованию вероятностных решений уравнения, которое можно рассматривать даже при более широких предположениях о коэффициентах, чем те, при которых существует соответствующей диффузионный процесс.

Следующее наблюдение позволяет исследовать уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова с неограниченными коэффициентами. Пусть мера Ру,з - решение мартипгальной задачи с оператором Ь. Через Е обозначим математическое ожидание относительно Руз. Тогда, используя неравенство Гронуолла, для функции Ляпунова V можно получить оценку

еу{хЦ).. £) < с{ + с2т{х(5), й), г > е.

В терминах меры /х эта оценка переписывается следующим образом:

/ У{х: г) <1ц% <С\ + С2 / У(х, а) ¿ц,.

Следовательно, используя функцию Ляпунова, можно проверять условия вида V 6 Ь1(ц). Таким образом, при исследовании решений уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова будет предполагаться не ограниченность или интегрируемость коэффициентов оператора Ь относительно меры Лебега, а интегрируемость относительно самого решения ц. Отметим также, что такой подход позволяет не только рассматривать растущие па бесконечности коэффициенты, но и дает возможность исследовать случай коэффициентов, локально нешгтегрируемых относительно меры Лебега.

Перейдем к описанию основных результатов данной главы. Пусть матрица диффузии А = (а4'(ж, является симметричной, а ее коэффициент!,I удовлетворяют следующим условиям:

(С1) для некоторого А > 0 и для всех х € К<г и I £ (0,1)

\а<*{х,1)-а?(у,г)\ <А|х-у|;

(С2) для некоторых т, > 0 и М > 0 и для всех х, у и 4 £ (0,1) т|г/|2< £ а^{х,1)угу^ < М\у\2.

Тем самым матрица диффузии А является ограниченной. Ограничений роста па коэффициента Ь не накладывается. Если в дополнение к (С1) и (С2) выполняется локальное условие Ь в Ьр1ос(^,Ж'1 х (0,1)) для некоторого р > <1 + 2, то, как показано в работе12, мера д имеет плотность д относительно меры Лебега. Всюду далее через ^ обозначаем меру д(х, ¿) с1х. Тогда ц( йхМ) = цг( ¿х) <й. Именно изучению локальных и глобальных свойств плотности д посвящена данная глава, состоящая из нескольких параграфов.

Первый параграф - введение. Во втором параграфе подробно обсуждаются априорные оценки с использованием функции Ляпунова. В третьем параграфе уточняются результаты о локальной регулярности решения, полученные в работе12. Особенно нас интересуют локальные оценки соболевской нормы решения, из которых выводятся глобальные оценки плотности. В частности, здесь получен следующий результат.

Теорема 5. Пусть р > й+1 и [Г0, Ц] С [0,1]. Предположим,, что коэффициенты ау удовлетворяют, условиям (С1). (С2) и мера ц = д (1х <11 является вероятностным (т. е. ц > 0 и ¡л(ЖЛ х (0,1)) = 1) решением уравнения дф = Ь*ц. Пусть задана функция Ф 6 С2'1 (К1* х (0,1)) со следующими свойствами: Ф(х, ¿) > С0 > 0 и

ф, |6|рФ, ИУФ^Ф1^, |а4Ф + ¿ФрФ1-? 6 [}{ц,в*х [Т0,Т1]).

Тогда для каждого отрезка [т0,п] С (То, 71) найдется такая константа С > О, что

в{х, г) < сЦх, гу1, (X, г) е к<г х [г0, п].

Более того, если [То, Т\] = [0,1] и

вир / Ф(х, Ь)д{хЛ)дх < оо,

<€(0,1) J№

то для всякого т е (0,1) найдется такая константа С = С(т) > О, что

в(х, г) < сгл'Ч{х, {х, г) е к* X (о, т).

Четвертый параграф посвящен верхним оценкам решения задачи Коши

д^ = Ь*ц М|(=0 = V,

где V - борелевская локально конечная мера на

Напомним, что //( = д(х, £) (1т. Если все меры где £ е [0,1), вероятностные, то в этом случае мы говорим, что мера ц является вероятностным решением задачи Коши.

При исследовании задачи Коши нам потребуется более сильное условие на матрицу А = (о4'), а именно, заменим (С1) следующим условием: (Р1) для некоторого Л > 0 и всех х,у еМ4 iit.se (0,1)

¿) - а%, ,5)| < А(|аг ~у\ +

Используя информацию о начальном условии, мы выводим более точные результаты, чел? в предыдущем разделе.

Теорема 6. Пусть коэффициенты а4 удовлетворяют условиям (Р1) и (С2). Пусть также b € Lp(/i:IRd х (0,1)) для некоторого р > d+2. Предположим, что мера ц является вероятностным решением задачи Коши с начальным условием v{dy) = Qo{y)dy; причем q¡¡ 6 Lx(R.d). Тогда мера fi имеет плотность Q относительно меры Лебега и для всякого 0 < т < 1 справедливо включение g € х [0,т]), npioiCAi

существует такая константа С(т) > 0, что

Пенимо,,» ^ c(T)llft)IU-(R') + c{T)&-d-vi\i +

Теорема 7. Пусть функции аг} удовлетворяют условиям (PI), (С2) и мера ¡i является вероятностным решением задачи Коши с начальным условием ¿o, ¿de ¿o - дираковская мера в нуле. Пусть р > d + 2 и существует функция Ф 6 C2(Rd), для которой выполняются следующие условия: Ф, |6|?Ф, |£Ф|'Ф1-р € х (0,1)),

Ф{х) > С0 > 0. sup / Ф(х)д(хЛ)дх < оо.

(6(0,1) Jr*

Тогда для всякого 0 < г < 1 найдется такая константа С = С(т) > О, что для всех t € (0. т) и х € Rd выполняется неравенство

в(х, t) < СФ(х)-1(&"1-^2 + rd/2exp(-K\x\2/2t)), К = тМ~К

Применяя априорные оценки с функцией Ляпунова, приходим к следующему результату.

Теорема 8. Пусть г > 2. а > 0 и р > d + 2. Предположим, что матрица А удовлетворяет условиям (PI). (С2) и

(b(x,t),x) < с i -с2|а;|г, |&0М)1 ^ с3 ехр(к|ж|г).

где ci,C:í,k > 0 и сг > (рк 4- а)гМ. Тогда для всякого т 6 (0,1) найдется такая константа С(т) > 0; что для всех t 6 (0, т) и х € выполняется неравенство

g(x,t) < С(т)Г^2 ехр(—а|ж|г - K\x\2/2t) + С(г)^~л~2)'2 ехр{-а\х\Г).. где К = тМ~1.

В конце четвертого параграфа приведен результат, уточняющий характер сходимости к начальному условию при t 0. А именно, показано, что если начальное условие задано локально ограниченной плотностью до относительно меры Лебега и для всякого шара U с Rd выполняется включение b б W{ß,U х (0.1)) с р > d + 2, то имеет место локальная сходимость во всех Iß, т. е. для всякого q> 1 выполняется равенство

lim J |ß(a;, t) - дй(х)\чdx = 0.

В пятом параграфе главы 3 приводятся достаточные условия, при которых вероятностное решение, ß задачи Коши имеет плотность д такую, что g(-.t) € W1'1^) и для всякого т € (0,1) верно неравенство

/ / -;-гт—dxdt< 00,

Jo Jw e{x,t)

т.е. логарифмическая производная Vp/p квадратично интегрируема относительно меры ¡1. В отличие от предыдущего раздела, от коэффициента сноса требуется лишь включение |6| € L2(//,Rd х (0,1)), но предполагается, что начальное условие имеет конечную энтропию.

Глава 4.

В настоящей главе получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей. Как и в предыдущей главе, исследуются переходные вероятности как решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова

dtß = С*р,

но с оператором £ в дивергентной форме

Си{х, t) := dXi(aij(x, t)dXju(x, t)) + b\x, t)dXiu(x, t).

Предполагается, что матрица А = (aij(x, t))1<ij<d является симметричной, а ее коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

(С1) существует такое положительное число А, что для всех х € Rd и t G (0,1) выполняется неравенство |агЦх, t) - £)| < Х\х - у\\

(С2) существуют такие числа m > 0 и М > 0, что для всех х, у 6 JRd и

t 6 (0,1) выполняются неравенства тп\у\2 < £ ^ Щу?-

1 <ij<d

При таких условиях па матрицу А пет принципиальной розницы между рассмотрением диффузии с генератором в дивергентной или недивергентной форме. Мы исследуем неотрицательные решения р.. Э то более общая ситуация, чем случай ц = Ht{dx) dt, где щ - вероятностные меры для почти всех £. Напомним, что если в дополнение к условиям (С1) и (С2) выполняются включения b € £f0C(Rd х (0,1)) или b £ L*M([i, х (0,1)) с р > d + 2, то мера /х имеет плотность д относительно меры Лебега, причем можно выбрать непрерывную версию д. В настоящей главе рассматриваются два типа условий на коэффициент сноса:

1. Коэффициент |6| локально ограничен и есть оценка роста величины |6(х, £)| при \х\ —> +оо.

2. Для некоторой непрерывной строго возрастающей функции Ф, отображающей [0, +оо) на [0, +оо), имеет место включение Ф(|6|) S Ll(fi).

Пусть коэффициент сноса Ь локально ограничен. Тогда для д выполняется неравенство Харнака. Мы исследуем зависимость константы в неравенстве Харнака от коэффициента b и выводим нижние оценки плотности д при —> +оо. В частости, получен следующий результат.

Теорема 9. Пусть \b{x.t)\ < W(\х\/в), где в > 1 u W - непрерывны положительная возрастающая функция на [0,оо). Тогда существует такое положительное число К K{d,m,M,0), что непрерывная версия g при 0 < s < £ < 1. ж € удовлетворяет неравенству

g(x..t) > £(0,s)exp{-K(l + \х\)2 + ^W2)}-

Полученные оценки сравниваются с верхними оценками из третьей главы. Кроме того, найдены достаточные условия того, что при £ > О мера pit = g{x, t) dx имеет конечную энтропию.

Пусть теперь не предполагается никакой интегрируемости b относительно меры Лебега, а предполагается лишь включение Ф(|Ь|) 6 L}oc([i), где Ф - возрастающая положительная функция на [0, +оо). Как уже отмечалось выше, если Ф(г) = zp с р > d + 2, то мера fi имеет плотность g относительно меры Лебега на х (0,1). Кроме того, можно выбрать

непрерывную версию плотности д. Однако неравенство Харнака может не выполняться даже для стационарного решения (см. соответствующий приме]) из первой главы). Как и в первой главе, нас интересуют следующие вопросы:

• Пусть 0 < т < 1 и sup(lii)gE<ix(0 т) д(х, t) > 0. Для каких функций Ф условие Ф(|6|) б Ljoc(fi, Rd х (0,1)) влечет отсутствие нулей у непрерывной версии плотности д па х [г, 1)?

• Как оценить снизу плотность д, зная лишь, что Ф(|6|) € ^(ц)?

Следующая теорема дает ответы на эти вопросы.

Теорема 10. Пусть функция / € С2([0, оо)) и неотрицательная строго возрастающая непрерывная функция ■ф, отображающая [0, +оо) па [0, +оо), удовлетворяют следующим условиям:

(HI) f(z) > 0 f'(z) >0и f"(z) > 0 при z > 0;

(Н2) существуют числа 0 < у < I и z() > 0. при которых функция е-(1 -т)/(г) явЛяется выпуклой вниз (т. е. > 0) при z > zq;

(НЗ) ф~1[г) < N -у/ f'{f~l(z)) для всех z > 0 и некоторого N > 0.

Если в дополнение к (С1) и (С2) выполняется условие.

(СЗ) \Ь\ ехр(^(|6|)) g tfjfi, Rd х (0,1)), где р > d + 2, то мера д имеет непрерывную плотность g относительно меры Лебега па. х (0,1) и у плотности g ист нулей на Rd х [т, 1) как только suP(*,i)eR'x(o,T) е(х, t) > 0, где т > 0.

Если Dice, в дополнение к (Cl) и (С2) выполняется условие

(СЗ') |Ь|ехр(^(|6|)) е Win), где р >d + 2. и плотность g положительна на Rd х (0,1) (так. например, будет в том. случае, когда fit = g(x, t) dx - вероятностные меры, что следует из предыдущего утверждения), то для всякого отрезка [r0, п] С (0,1) существуют такие числа с\ > 0 и с2 > 0, что

е{х,t) > е-/(с'М' + <*), ХЕЖd,te [г0,п].

Например, условиям (Н1), (Н2) и (НЗ) удовлетворяют /(г) = е~ и ф(г) = г2. Из сказанного выше получаем, что условие ехр(Й|6|2) 6 Ь1(ц) на каждом отрезке [ть, Т]] гарантирует оценку

д(х, ¿) > схр(—71 ехр(72|а;|2)), для некоторых чисел 71,72 > 0 " всех (х. ¿) £ х [го, ц].

Глава 5.

Настоящая глава посвящепа исследованию пространства решений задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Исследуются два класса решений: интегрируемые и вероятностные. Для каждого класса решений приведены достаточные условия единственности и построены примеры, показывающие точность условии и различия между классами. Итак, рассмотрим задачу Коши

дф = /'■ |(=0 = V,

где дифференциальный оператор Ъ задан следующим образом: а &

Ьи{х,«) = Ь)дх.д^и{х, () + ^ Ь\х, г)дх.и(х, £).

1=1

Предполагается, что матрица А = (ау)1<;^<</ является симметричной и удовлетворяет условиям:

(С1) для всякого шара (I С Ш? существует такое число А = А(£/) > О, что для всех х. у 6 и н Ь € [0,1] выполнено неравенство

Им)-ау(1,,01<А|а:-у|;

(С2) для всякого шара (I С существуют такие числа то =■ гп(и) > О и М = М{11) > 0, что для всех х в и, у е К*' и £ € [0,1] выполнено неравенство

т|;у|2< £ а«(1,%й<М|!,|2.

1

В работе12 доказано, что при этих условиях мера /4 задается плотностью § относительно меры Лебега. Положим /хД йх) = д(х, £) <1х. Тогда

/1{ dx dt) = fj,t(dx) dt, т. е. мера ц задана семейством локально конечных борелевских мер щ на IRd.

Мы рассматриваем два класса решений: вероятностные и интегрируемые. Определим класс V„ вероятностных решений.

Пусть Vv - множество мер ц = fit{ dx) dt па Rd х (0,1), удовлетворяющих задаче Коши с начальным условием г/, таких, что

Мг > nt{Rd) = 1

и для всякого шара U имеет место включение \b\ е L2{/j,, U х [0,1]).

Определим класс Ти интегрируемых решений.

Пусть Ти - множество борелевских мер ц = /j,t{dx)dt на Rd х (0,1), удовлетворяющих задаче Коши с начальным условием и, таких, что

sup |Ai|(Md) < оо ¡е[0Д]

и \b\ е LP(\n\, U х [0,1]) для всякого шара U С Rd и некоторого р > d + 2.

В определениях классов Vv и Tv предполагается выполнение включений |Ь| 6 L2(fx, U х [0,1]) и |6| € V(\n\,U х [0,1]) с р > d + 2. Легко видеть, что если снос b ограничен на U х [0,1], то эти условия выполняются. Более того, вместо этих условий можно предполагать, что решение ц задало плотностью q и q <5 Lr{U х [0,1]), а 6 е LS(U х [0,1]), где \ 4- -s = 1 в случае класса Vv и ^ + | = 1 в случае класса 1„.

В диссертации построены примеры, показывающие, что эти классы действительно различны в том смысле, что задача Коши может иметь единственное вероятностное решение и несколько интегрируемых.

Хорошо известны примеры неединственности в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, вероятностное решение может быть неединствеиным даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Более того, симплекс вероятностных решений задачи Коши может иметь бесконечную размерность.

Проблема единственности решения задачи Коши для параболического уравнения исследуется уже несколько десятилетий. Здесь надо отме-

тить классические работы А.Н. Тихонова и Д.В. Виддера, посвященные единственности решения задачи Кошн для уравнения теплопроводности в классе функций растущих не быстрее ес1х'2 и в классе неотрицательных функций соответственно. Достаточные условия единственности в классе интегрируемых решений, в классе неотрицательных решений и в тихоновском классе для общих параболических уравнений второго порядка получены в статьях6,7,8 Д. Аронсона, П. Бесала и А. Фридмана. Исследованию существования и единственности интегрируемого решения задачи Когни для уравнения Фоккера-Планка посвящены работы18*19. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова тесно связаны с корректностью соответствующей мартингалыюй задачи.5,17,19 Во всех перечисленных работах предполагается, что начальное условие задано плотностью относительно меры Лебега, а коэффициент сноса b либо глобально ограничен, либо на |6| накладываются ограничения роста. В работах21'29 получены достаточные условия единственности решения задачи Коши в классе С([0.1], Z,1(Kd)) в терминах поведения скалярного произведения (б(ж).а;) в предположении, что коэффициент b локально ограничен и не зависит от t. Существование вероятностного решения задачи Коши при широких предположениях о коэффициентах уравнения доказано в работе15. Единственность вероятностного решения задачи Коши исследовалась в работах16,17.

Основные результаты пятой главы можно сформулировать следующим образом.

• Построен пример задачи Коши с гладким начальным условием, единичной матрицей диффузии и гладким сносом, имеющей несколько вероятностных решений.

• Получены достаточные условия единственности в классах вероятностных и интегрируемых решений.

В частности доказаны следующие утверждения.

29L. Dan Lrnnle £i1(RJ, dx)-uniqueness of weak solutions for the Fokker-Planck equation associated with a class of dirichlct oi>erators. Elocl;. Research Armnime. Math. Sei., 2008, v. 15, p. 65-70.

Теорема 11. Пусть выполнены условия (С1), (С2) и дано включение 1> £ ¿[0с(®<г>< (°> 1)) для некоторого р > й + 2. Предположим, что существует положительная функция V 6 С2(Ксг) такая, что У(х) +оо при \х\ +00. Если для некоторого числа С > О верпы неравенства

ЬУ(хЛ)<С, < С, (ат,«) С К*1 х [0,1],

то множество состоит из не более чем одного элемента.

Пусть А - единичная матрица и ¥(х) - 1п(1п(1 + |х|)) при |аг| > 1. Для выполнения условий теоремы достаточно иметь оценку

(Ь(х,Ц,х) <С|з;|21п(1 + |х|) + С

для всех х €

Теорема 12. Пусть выполняются условия (С1). (С2) и функции ау непрерывны на К^х [0,1]. Пусть Ь € Ц0С{Ш,1х(0,1)), гдер> ¿+2. Если для некоторого числа С > О верпы неравенства

IV(х, £) > -С, | | < С, где (х, ¿) е К* х [0,1],

то множество Х„ состоит из не более чем одного элемента.

Пусть А - единичная матрица и У(х) = 1п(1п(1 + |ж|)) при |ж| > 1. Для выполнения условий этой теоремы достаточно иметь оценку

О6(х, 0, х) > -С|х|21п(1 + |х|) - С

для всех ос €

Список ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Шапошников C.B. О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Теория вероятн. и се примсн., 2011, т. 5G, № 1, с. 71-95.

[2] Шапошников C.B. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 439, № 3, с. 323-328.

[3] Шапошников C.B. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и ее примсн., 2011, т. 50, № 2, с. 318-350.

[4] Шапошников C.B. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, № 4, с. 454-458.

[5] Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, № 5, с. 600-604.

[6| Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников C.B. О вероятностных и интегрируем!,IX решениях стационарного уравнения Колмогорова. Докл. РАН 2011, т. 438, № 2, с. 154-159.

[7] Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2009, т. 426, jV- 2, с. 15G-1G1.

[8] Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее прпме.п., 2008, т. 53, К'- 2, с. 213-239.

[9] Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примсн., 2007, т. 52, № 2, с. 240-270.

[10] Богачев В.И., Рекнер М., Шапошников C.B. Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примсн. 2005, т. 50, № 4, с. G52-C74.

Кроме того, по теме диссертации автором опубликованы следующие работы:

[11] Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников C.B. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН 2010, т. 434, № 6, с. 731-734.

[12] Агафоицев Б.В., Богачев В.И., Шапошников C.B. Условия положительности плотности инвариантной меры. Докл. РАН, 2011, т. 438, № 3, с. 295-299.

[13] Шапошников C.B. О единственности интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Тезисы международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» посвященной 110-й годовщине со дня рождения выдающегося математика И.Г. Петровского, МГУ, 2011, с. 390-391.

[14] Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Тезисы докладов Российской школы конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», М.: РУДН, 2009, с. 74-75.

[15] Шапошников C.B. Стационарное уравнение А.Н. Колмогорова с градиентным коэффициентом сноса. Материалы Международной научной конференции «Современные, проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика Сергея Михайловича Никольского. МГУ имени М.В. Ломоносова, 2010, с. 58.

Подписано в печать 26.08.2011 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1125 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение.

Глава 1. Нижние оценки плотности стационарного распределения

1.1. Введение

1.2. Априорные оценки.

1.3. Нижние оценки плотности.

Глава 2. Единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова

2.1. Введение.

2.2. Вспомогательные леммы

2.3. Единственность интегрируемого и вероятностного решения

2.4. Случай градиентного сноса.

Глава з. Локальная регулярность и верхние оценки плотностей переходных вероятностей

3.1. Введение

3.2. Априорные оценки с функцией Ляпунова

3.3. Локальная регулярность и верхние оценки

3.4. Верхние оценки решения задачи Коши

3.5. Квадратичная интегрируемость логарифмической производной решения

Глава 4. Нижние оценки плотностей переходных вероятностей

4.1. Введение

4.2. Неравенство Харнака

4.3. Неограниченный коэффициент сноса.

Вывод основной оценки

4.4. Положительность и нижние оценки плотности

Глава 5. Единственность вероятностного

И ИНТЕГРИРУЕМОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА-ПЛАНКА-КОЛМОГОРОВА

5.1. Введение

5.2. Примеры неединственности

5.3. Единственность вероятностного решения

5.4. Доказательство основной леммы

5.5. Единственность интегрируемого решения.

5.6. Доказательство вспомогательных лемм

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть xt - диффузиоииый процесс с производящим оператором L, заданным формулой d d Lu = aPdXidXju + bldxu. j = l i—1

Хорошо известно,что переходные вероятности P(x,t, s,U) удовлетворяют уравнению Фоккера-Плапка-Колмогорова dtP = L*P, где L* - формально сопряженный оператор к L, Более того, если ц - инвариантная мера процесса xt, то // удовлетворяет стационарному уравнению Колмогорова L*¡1 = 0. Исследование таких уравнений восходит к классическим работам А.Н. Колмогорова1'2, в которых выводятся и исследуются дифференциальные уравнения для переходных вероятностей и стационарных распределений диффузионных процессов как в так и в компактном многообразии (современное изложение см., например, в книге3). Однако в этих работах коэффициенты предполагались гладкими и глобально ограниченными. Достаточные условия существования диффузионного процесса в M.d в случае неограниченных локально липшицевых коэффициентов получены в работе Р.З. Хасьминского4, в которой также указаны достаточные условия существования стационарного распределения. В работе Д. Струка и O.P. Варадана0 изучаются глубокие связи между уравнениями Фоккера-Плапка-Колмогорова и мартингаль-ными задачами. В теории дифференциальных уравнений с частными

1 Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, т. 5, с. 5-41.

2Kolmogoroff A.N. Zur Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze. Math. Ann., 1937, B. 113, S. 766772; русский пер.: Колмогоров А.Н. Об обратилюсти статистических законов природы. Теория вероятностей и математическая статистика (сб. статей), Наука, М., 1986.

3Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.

4Хасьминский Р.З. Эргодические свойства рекуррентных диффузионных npouficcoe и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятн. и ее примен., 1960, т. 5, с. 179-196.

5Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag. Berlin - New York, 1979. производными такие уравнения исследовались в работах Д. Аронсона, А. Фридмана, С.Д. Эйдельмана, Ф.О. Порпера и многих других авторов (см. работы6'7'8,9'10). Перечисленные работы касаются в основном случая ограниченных коэффициентов оператора L или коэффициентов, имеющих линейный рост. Однако хорошо известно (см., например, работы4'5), что диффузионный процесс существует, даже если коэффициенты имеют значительный рост при |ж| —> +оо. Достаточно, например, чтобы существовала функция Ляпунова. Кроме того, коэффициенты могут быть локально неограничеиы. Отмстим также, что необходимость в исследовании уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова с неограниченными и даже с неинтегрирусмыми относительно меры Лебега коэффициентами появляется при изучении бесконечномерных диффузионных процессов.

Итак, в настоящей работе исследуются вероятностные меры ß на M.d или M.d X (0,1), удовлетворяющие эллиптическому уравнению

L*ß = О, понимаемому в смысле интегрального тождества Ludfj, = 0 Vu е C0°°(Rd),

JRd или параболическому уравнению которое также понимается в смысле интегрального тождества [ [ [dtu + Lu]dß = 0 \/и € Co°(Rd х (0,1)).

J 0 JRd

Такие уравнения интенсивно изучались В.И. Богачевьш. Н.В. Крыловым, К.Ле Бри, П.Л. Лионсом, Г. Метафуне, Д. Паллара, Дж.Да Прато.

6Aronson D.G., Bésala P. Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations. J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 13, p. 516-526.

7Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classe di Sei., 1968, v. 22, p. 607-694.

8Aronson D.G., Serrín 3.Local behavior of solutions of quasilinear parabolic equations. Arch. Rational Mech. Anal., 1967, v. 25, p. 81-122.

Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

10Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. Успехи матем. наук, 1984, т. 39, п 3, с. 107-156.

A. Ранди, М. Рёкнером, А. Фигалли, В. Штаннатом и другими математиками разных стран (см. работы11'12'13'14'10'16'1''18'19). Основные проблемы, которые являются предметом исследования при изучении вероятностных мер, удовлетворяющих эллиптическим или параболическим уравнениям, состоят в следующем.

1. При каких условиях (возможно более общих) на коэффициенты решение ц, имеет плотность Q относительно меры Лебега? Когда можно утверждать, что у плотности есть непрерывная по Гсльдсру версия или что плотность лежит в соболевском классе? Хорошо известны классические результаты Всйля, Хсрмандера. Маллявэна о гладкости решения уравнения с гладкими коэффициентами. Если мера уже обладает соболевской плотностью д, то уравнения L*\i — 0 и дф = L*¡1 можно рассматривать как уравнения на плотность q и применять результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для функций. Такого рода результаты о регулярности решений эллиптических и параболических уравнений для мер можно найти в работе

B.И. Богачева, Н.В. Крылова, М. Рёкнера12, в которой, в частности, доказано, что в случае невырожденной матрицы диффузии А — {аР) неотрицательное решение ¡1 имеет плотность относительно меры Лебега, а иБогачев В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хасъмгтского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и ее примсн., 2000, т. 45, п 3, с. 363-378.

13Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner Ы. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26, n 11-12, p. 2037-2080.

13Богачев В.И., Рекнер M., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб., 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.

14Metafune G., Pallara D. Rhandi A. Global regularity of invariant measures. Л. Funct. Anal. 2005, v. 223, p. 396-424.

Bogachev V.I., Da Prato G., Rocknci M. Existence of solutions to weak parabolic equations for measures. Proc. London Math. Soc., 2004, v. 88, n 3, p. 753-774.

16Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M., Stannat W.Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures. Bull. London Math. Soc., 2007, v. 39, n 4. p. 631-640.

17Rockner M., Zhang X. Weak uniqueness of Fokker-Planck equations with degenerate and bounded coefficients. C.R. Math. Acad. Sri. Paris, 2010, t. 348, n 7-8, p. 435-438.

18Le Bris C., Lions P. L.Existence and uniqueness of solutions to Fokker-Planck type equations with irregular coefficients. Comm. Partial Differential Equations, 2008, v. 33 p. 1272-1317.

I0FigalIi A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients. Л. Funct. Anal., 2008, v. 254, n 1, p. 109-153. если А и Ь достаточно регулярны, то плотность лежит в соболевском классе и имеет непрерывную версию.

2. Когда можно утверждать, что у непрерывной версии плотности решения нет нулей? Если матрица А не вырождена и а13 £ а к0~ эффициепт сноса Ь интегрируем относительно меры Лебега в степени р, где р > в в эллиптическом случае и р > (1 + 2 в параболическом случае, то для плотности д выполняется неравенство Харнака, из которого немедленно вытекает строгая положительность функции д. Однако если коэффициент Ь не интегрируем относительно меры Лебега, то неравенство Харнака, вообще говоря, может не выполняться.

3. Как оценить поведение плотности решения при \х\ —ь оо? Хорошо известны гауссовские оценки плотности в случае ограниченных коэффициентов8,10'0, а также в случае коэффициента сноса специального вида20. Представляет интерес получение оценок плотности в случае неограниченных коэффициентов. Основная идея состоит в применении метода функций Ляпунова в сочетании с локальными оценками соболевской нормы решения через //-норму коэффициентов относительно самого решения, а не меры Лебега.

4. Единственны ли решение стационарного уравнения Колмогорова и решение задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в классе вероятностных мер? Этот вопрос тесно связан с корректностью мартингальной задачи. Исследованию единственности в различных классах решений посвящены работы6,9'0116'17'18,19. Хорошо известно, что единственность нарушается в случае вырождающегося коэффициента диффузии и недостаточно гладкого коэффициента сноса. Оказывается, что неединственность может иметь место даже в случае единичной матрицы диффузии и бесконечно гладкого коэффициента сноса. Типичные условия, при которых доказана единственность в классах, близких к классу вероятностных решений (например, интегрируемые решения или неотрицательные решения), состоят в ограничении роста \Ь\ или предполо

20Жиков В.В. Об оценках типа Нэша-Аронсона для уравнения диффузии с несимметрической матрицей и их приложении к усреднению. Матем. сб., 2006, т. 197, и 12, с. 65-94. жсниях об интегрируемости |6|. Интересно, что для единственности вероятности ого, решения не требуется ограничений абсолютной величины коэффициента сноса, а достаточно, например, оценить сверху величину (Ь(х), х). В более общем виде такие условия формулируются в терминах функции Ляпунова. Кроме того, если говорить о единственности решения задачи Коши, то важно получить достаточные условия единственности, допускающие в качестве начального распределения произвольные вероятностные меры, а не только те, у которых есть плотность относительно меры Лебега.

5. При каких условиях вероятностное решение стационарного уравнения Колмогорова или задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова является единственным интегрируемым решением (в терминах мер: решение с ограниченной вариацией)? Единственность в классе интегрируемых решений исследовалась в работах6'9'18. Отметим также статью21, где в случае единичной матрицы диффузии, локально ограниченного сноса и начального условия, заданного плотностью, было показано, что для единственности интегрируемого решения достаточно потребовать, чтобы величина (Ь(х),х) не слишком быстро стремилась к —оо при |ж| —> оо. Представляет интерес получение достаточных условий единственности интегрируемого решения в терминах функции Ляпунова, по аналогии с вероятностным случаем. Отметим также, что классы вероятностных, интегрируемых и неотрицательных решений действительно различны.

Цель работы. Получение достаточных условий положительности плотностей и вывод нижних оценок плотностей стационарных и переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост коэффициента сноса. Вывод верхних оценок для плотностей переходных вероятностей в случае неограниченного коэффициента сноса. Получение достаточных условий единственно

21 Wu L., Zhang Y. A new topological approach to the L°°-uniqueness of operators and L1 -uniqueness of Fokker-Planck equations. J. Funct. Anal., 2006, v. 241, p. 557-610. сти вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова и уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова. Построение примеров неединственности в классах вероятностных, неотрицательных и интегрируемых решений.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получены нижние оценки плотности стадион арного распределения диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

2. Получены нижние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположения локальной и глобальной регулярности коэффициента сноса относительно меры Лебега и ограничений на рост этого коэффициента.

3. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения стационарного уравнения Колмогорова: получены достаточные условия единственности и построены примеры неединственности.

4. Исследована единственность вероятностного и интегрируемого решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Плапка-Колмогорова: построены примеры неединственности и получены достаточные условия единственности.

5. Получены верхние оценки плотностей переходных вероятностей диффузионного процесса без предположений об ограниченности коэффициента сноса.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, в частности итерационная техника Мозера и метод функций Ляпунова, теории диффузионных процессов, теории меры, теории пространств Соболева, используются средства функционального анализа, а также некоторые оригинальные конструкции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории меры. Результаты диссертации могут найти применение в научных исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН. ИПИ РАН, Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете, Владимирском Гуманитарном государственном университете.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева и H.A. Толмачева (МГУ, 2005-2011); на научно-исследовательском семинаре по теории функций под руководством член-корр. РАН B.C. Кашина (МГУ, 2007), на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством A.A. Шпаликова, A.A. Владимирова, A.M. Савчука, PI.А. Шсйпака, (МГУ, 2011); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.А. Кондратьева (МГУ, 2008); на семинаре «Уравнения с частными производными» под руководством В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, A.C. Ша-маева, Т.А. Шапошниковой (МГУ, 2011); на семинаре «Теория функций многих действительных переменных и ее приложения к задачам математической физики» под руководством академика РАН С.М. Никольского и член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2011); на семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ» в университете Билефельда (Германия, 2005-2011); на семинаре университета Гсйдсльберга (Германия, 2009); на семинаре в Пекинском Нормальном университете (Китай, 2007); на семинаре в Институте Миттаг-Леффлсра (Швеция, 2007). Кроме того, результаты диссертации докладывались на международной конференции им. И.Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, МГУ, 2007, 2011), российско-японской конференции по теории вероятностей (МИАН, 2007); на международной конференции

Stochastic Analysis of Advanced Statistical Models" и на международной конференции ''Recent Developments in Statistics and Econometrics" (Хиросима, Киото, Япония, 2008); на Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Москва, РУДН, 2009); на международной научной конференции «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященной 105-летию академика С.М. Никольского (Москва, МГУ, 2010), на семинаре Отдела теории вероятностей Математического института им. В.А. Стеклова РАН (2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях автора в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации составляет 196 страниц.

1. Богачсв В.И., Рёкнер М. Обобщение теоремы Хаеьминского об инвариантных мерах. Теория вероятн. и се примон., 2000, т. 45, п 3, с. 363-378.

2. Богачсв В.И., Рёкнер М., Штаннат В. Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий. Матем. сб. 2002, т. 197, п 7, с. 3-36.

3. Богачсв В.И., Крылов Н.В. Рёкнер М. Эллиптические и параболические уравнения для мер. Успехи матем. наук, 2009, т. 64, п 6. с. 5-116.

4. Богачсв В.И., Рскнср М., Шапошников C.B. Глобальная регулярность и оценки решений параболических уравнений. Теория вероятн. и се примен. 2005, т. 50, в. 4, с. 652-674.

5. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и ее примен., т. 52, п 2, с. 1-29.

6. Богачсв В. И., Рёкнер М., Шапошников С. В. Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов. Теория вероятн. и се примен., 2008, т. 53, п 2, с. 213-239.

7. Богачсв В.И., Рёкнер М., Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2009, т. 426, п 2, с. 1-6.

8. Богачсв В.И,, Кириллов А.И., Шапошников C.B. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН, 2010, т. 434, п 6, с. 731-734.

9. Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников C.B. О вероятностных и интегрируемых решениях стационарного уравнения Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 438, п 2, с. 154-159.

10. Богачсв В.И., Да Прато Дж., Рскнер М. Инвариантные меры обобщенных стохастических уравнений пористых сред. Докл. РАН, 2004, т. 396, и 1, с. 439-444.

11. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Мир, М., 1986.

12. Веретенников А.Ю. О полиномиальном перемешивании и скорости сходимости для стохастических дифференциальных и разностных уравнений. Теория вероятн. и ее примсн., 1999, т. 44, и 2, с. 312-327.

13. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Наука, М., 1989.

14. Григорьян A.A. Об одной лиувиллевой теореме на многообразии. Успехи матем. наук, 1982, т. 37, п 3, с. 181-182.

15. Григорьян A.A. О лиувиллевых теоремах для гармонических функций с конечным интегралом Дирихле. Матем. сб., 1987, т. 132(174), п 4, с. 496-516.

16. Григорьян A.A. Стохастически полные многообразия и суммируемые гармонические функции. Р1зв. АН СССР. Сер. матем., 1988, т. 52, п 5, с. 1102-1108.

17. Григорьян A.A. О размерности пространств гармонических функций. Матем. заметки, 1990, т. 48, п 5, с. 55—61.

18. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. Успехи матем. паук, 2005, т. 60, п 4, с. 145-212.

19. Жиков В.В. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами. Фупкц. анализ и его прил., 2004. т. 38, п 3, с. 15-28.

20. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Матем. сб., 1998, т. 189, п 8, с. 27-58.

21. Жиков В.В. Об оценках типа Нэша—Аронсопа для уравнения диффузии с несимметрической матрицей и их приложении к усреднению. Мат. сб., 2006, т. 197, п 12, с. 65-94.

22. Кириллов А.И. О двух математических проблемах канонического квантования. I, II, III, IV. Тсор. мат. физ., 1991, т. 87. n 1, с. 22-33; 1991,т. 87, п 2, с. 163-172; 1992, т. 91, п 3, с. 377-395; 1992, т. 93, п 2, с. 249-263.

23. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Успехи матем. наук, 1938, вып. V, с. 5-41.

24. Кондратьев В.А., Ландис Е.М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 1988. т. 32, с. 99-215.

25. Ладыженская O.A., Уральцсва H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Наука, М., 1973.

26. Ладыженская O.A., Солоппиков В.А., Уральцсва H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., Наука, 1967.

27. Мазья В.Г. Пространства, С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985.

28. Олсйник O.A., Радксвич E.B. Метод введения малого параметра для исследования эволюционных уравнений. Успехи матем. паук, 1978, т. 33, п 5, с. 6-76.

29. Порпср Ф. О., Эйдсльман С. Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. Успехи матем. наук, 1984. т. 39, п 3, с. 107-156.

30. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., Мир, 1968.

31. Хасьминский Р.З. Эргодичсскис свойства рекурентных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболических уравнений. Теория вероятп. и ее примсп., 1960, т. 5, с. 179-196.

32. Шапошников C.B. Положительность инвариантных мер диффузионных процессов. Докл. РАН, 2007, т. 415, п 2, с. 174-179.

33. Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Докл. РАН, 2008, т. 420, п 3, с. 320-323.

34. Шапошников C.B. О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Теория ве-роятн. и се примсн., 2011, т. 56, n 1, с. 77-99.

35. Шапошников C.B. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фокксра-Планка,-Колмогорова. Докл. РАН, 2011, т. 439, n 3, с. 331-335.

36. Шапошников C.B. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 56, n 2, с. 271-290.

37. Шапошников C.B. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, n 4, с. 454—458.

38. Шапошников С.В. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, п 5, с. 600-604.

39. Albcverio S., Bogachev V., Rockncr М. On uniqueness of invariant measures for finite- and infinite-dimensional diffusions. Comm. Pure Appl. Math., 1999, v. 52, p. 325-362.

40. Agracliev A., Kuksin S., Sarycliev A., Shirikyan A. On finite-dimensional projections of distributions for solutions of randomly forced PDE's. Ann. Inst. H. Poincare, 2007, v. 43, p. 399-415.

41. Aronson D.G., Besala P. Uniqueness of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations. J. Math. Anal. Appl., 1966, v. 13, p. 516-526.

42. Aronson D.G., Scrrin J. Local behavior of solutions of quasilinear parabolic equations. Arch. Rational Mcch. Anal., 1967, v. 25, p. 81-122.

43. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classe di Scicnze, 1968, v. 22, p. 607-694.

44. Bass R.F. Diffusions and elliptic operators. Springer, New York, 1998.

45. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockncr M. On regularity of transition probabilities and invariant measures of singular diffusions under minimal conditions. Comm. Partial Diff. Equations, 2001, v. 26. n 11-12, p. 20372080.

46. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockncr M. Elliptic equations for measures: regularity and global bounds of densities. J. Math. Purcs Appl., 2006, v. 85, n 6, p. 743-757.

47. Bogachev V.I., Rockncr M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, n 1, p. 168-223.

48. Bogachev V.I., Rockner M. Elliptic equations for measures on infinite-dimensional spaces and applications. Probab. Theory Related Fields, 2001, v. 120, n 4, p. 445-496.

49. Bogachcv V.I. Rockner M. Regularity of invariant measures on finite and infinite dimensional spaces and applications. J. Funct. Anal., 1995, v. 133, n 1, p. 168-223.

50. Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M. Existence of solutions to weak parabolic equations for measures. Proc. London Math. Soc., 2004, v. 88, n 3, p. 753-774.

51. Bogachev V.I., Da Prato G., Rockner M., Stannat W. Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures. Bull. London Math. Soc., 2007, v. 39, n 4, p. 631-640.

52. Bogachev V.I., Krylov N.V., Rockner M. Regularity of invariant measures: the case of non-constant diffusion part. J. Funct. Anal., 1996, v. 138, n 1. p. 223-242.

53. Bogachcv V.I., Mayer-Wolf E. Absolutely continuous flows generated by Sobolev class vector fields in finite and infinite dimensions. J. Funct. Anal, 1999, v. 167, n 1, p. 1-68.

54. DiPerna R.J., Lions P. L. On the Fokker-Planck-Boltzmann equation. Comm. Math. Phys., 1988, v. 120, p. 1-23.

55. DiPerna R.J., Lions P. L. On the Cuachy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability. Annals of Math., 1989, v. 130, n 2, p. 321-366.

56. DiPerna R.J., Lions P. L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaccs. Invent. Math. 1989, v.98, n 3, p. 511-547.

57. Ebcrlc A. Uniqueness and non-uniqueness of singular diffusion operators. Lecture Notes in Math. V. 1718. Springer, Berlin, 1999.

58. Figalli A. Existence and uniqueness of martingale solutions for SDEs with rough or degenerate coefficients. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, n 1, p. 109-153.

59. Fornaro S., Fusco N., Metafune G., Pallara D. Sharp upper bounds for the density of some invariant measures. Proc. Royal Soc. Edinburgh: Sect. A Math., 2009, v. 139, p. 1145-1161.

60. Gyongy I., Krylov N. V. Existence of strong solutions for Ifco's stochastic equations via approximations. Probab. Theory Related Fields. 1996, v. 105, p. 143-158.

61. Ishige K., Murata M. Uniqueness of nonncgativc solutions of the Cauchy problem for parabolic equations on manifolds or domains. Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, Classc di Scienzc, 2001, v. 30, n 1, p. 171-223.

62. Krylov, N.V. An analytic approach to SPDEs, in: "Stochastic partial differential equations: six perspectives" (R. Carmona and B. Rozovskii. eds.), Amer. Math. Soc., Rhode Island, Providence, 1999, p. 185-241.

63. Le Bris C., Lions P.L. Existence and uniqueness of solutions to Fokkcr-Planck type equations with irregular coefficients. Comm. Partial Diff. Eq., 2008, v. 33, p. 1272-1317.

64. L. Dan Lemlc L^M^, (ih)-Uniquencss of weak solutions for the Fokkcr-Planck equation associated with a class of Dirichlet operators. Elect. Research Announc. Math. Sci., 2008, v. 15, p. 65-70.

65. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global regularity of invariant measures. J. Funct. Anal., 2005, v. 223, p. 396-424.

66. Metafune G., Pallara D., Rhandi A. Global properties of transition probabilities of singular diffusions. Theory Probab. Appl., 2009, v. 54, n 1, p. 116-148.

67. Moser J. A new proof of Dc Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1960, v. 13, n 3, p. 457-468.

68. Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations. Comm. Pure and Appl. Math., 1961, v. 14, p. 577-591.

69. Moser J. A Harnack inequality for parabolic differential equations. Comm. Pure Appl. Math., 1964, v. 17, p. 101-134.

70. Malliavin P., Nualart E. Density minoration of strongly non-degenerated random variable. J. Funct. Anal., 2009, v. 256. n 12, p. 4197-4214.

71. Nualart E. Exponential divergence estimates and heat kernal tail. C. R. Acad. Sei. Paris, scr. I, 2004, t. 338, p. 77-80.

72. Nadirashvili N. S. Nonuniqueness in in the martingale problem and Dirichlet problem for uniformly elliptic operators. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4), 1997, v. 24, p. 537-550.

73. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. Amcr. J. Math., 1958, v. 80, n 4, p. 931-954.

74. Pinchovcr Y. On uniqueness and nonuniqueness of positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coeffisients. Math. Z. 1996, v. 233, p. 569-586.

75. Röckner M., Zhang X. Weak uniqueness of Fokker-Planck equations with degenerate and bounded coefficients. C. R. Math. Acad. Sei. Paris, 2010, t. 348, n 7-8, p. 435-438.

76. Safonov M. Nonuniqueness for second order elliptic equations with measurable coefficients. SIAM J. Math. Anal., 1999, v. 30, p. 879-895.

77. Shaposhnikov S. V. On nonuniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures. J. Funct. Anal., 2008, v. 254, p. 2690-2705.

78. Schcutzow M., Weizsäcker H. Which moments of a logarithmic derivative imply quasiinvariance? Doc. Math., 1998, v. 3, p. 261-272.

79. Shirikyan A. Qualitative properties of stationary measures of three-dimensional Navier-Stokcs equations. J. Funct. Anal., 2007, v. 249, p. 284-306.

80. Stannat W. (Nonsymmetric) Dirichlet operators on existence, uniqueness and associated Markov processes. Ann. Scuola Norm. Super, di Pisa CI. Sci. (4), 1999, v. 28, n 1, p. 99-140.

81. Stannat W. Time-dependent diffusion operators on L1. J. Evol. Eq., 2004, v. 4, p. 463-495.

82. Spina C. Kernel estimates for a class of Kolmogorov semigroups. Arch. Math., 2008, v. 91, n 3, p. 265-279.

83. Stroock, D.W., Varadhan, S.R.S. Multidimensional diffusion processes. Springer-Verlag, Berlin New York, 1979.

84. Trudinger N. Pointwisc estimates and quasilinear parabolic equations. Comm. Pure Appl. Math., 1968. v. 21, p. 205-226.

85. Trudinger N.S. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math. 1967, v. 20, p. 721-748.

86. Li X.-D. Liouvillc theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds. J. Math. Pures Appl. (9), 2005, v. 84, n 10, p. 1295-1361.

87. Wu L., Zhang Y. A new topological approach to the L^-uniqucness of operators and Z^-uniqueness of Fokker-Planck equations. J. Funct. Anal., 2006, v. 241, p. 557-610.СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

88. Шапошников C.B. О единственности вероятностного решения задачи Когтти для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Теория всроятн. и се примен., 2011, т. 56, n 1, с. 77-99.

89. Шапошников C.B. О единственности интегрируемых и вероятностных решений задачи Коши для уравнений Фоккера-Плапка-Колмогоро-ва. Докл. РАН, 2011. т. 439, n 3, с. 323-328.

90. Шапошников C.B. Регулярность и качественные свойства решений параболических уравнений для мер. Теория вероятн. и се примен., 2011, т. 56, n 2, с. 271-290.

91. Шапошников C.B. Оценки решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2010, т. 434, n 4, с. 454-458.

92. Шапошников C.B. Нижние оценки плотностей решений параболических уравнений для мер. Докл. РАН, 2009, т. 429, n 5, с. 600-604.

93. Богачсв В.И., Кириллов А.И., Шапошников C.B. Инвариантные меры диффузий с градиентным сносом. Докл. РАН 2010, т. 434, п 6. с. 731-734.

94. Агафопцев Б.В., Богачев В.И., Шапошников C.B. Условия положительности плотности инвариантной меры. Докл. РАН, 2011, т. 438, и 3, с. 295-299.

95. Шапошников C.B. О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер. Тезисы докладов Российской школы конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании», М.: РУДН, 2009, с. 74-75.