Качественный анализ модельной задачи о движении тела в среде со струйным обтеканием тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ШАМОЛИН Максим Владимирович

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В СРЕДЕ СО СТРУЙНЫМ ОБТЕКАНИЕМ

(01.02.01 — теоретическая механика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1991

Работа выполнена на кафедре 'теоретической механики механико-математичеокого факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель, - доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник В.А.Самсоноз

Официальные оппоненты :доктор физико-математических наук,

профессор С.Я.Секерж-Зенкович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.Н.Каликов ведущая организация - Московский авиационный институт

им. С.Орджоникидзе

Защита состоится "ЛТ " О^к^^Р*-^ 199 "/г. в 16 час. на заседании специализированного Совета по механике Д 053.05.01 при МГУ по адресу: 119699, Москва, Ленинские горы, МГУ, мохааико-математичгския факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 1А этзж).

. Автореферат разослан " № 199"/ г.

Ученый секретарь спсциализироианного Совета Д 053.05.01 при МГУ

к.ф.-м.н. • Д.В.Тре^ез

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальнооть темы. Неоколько столетий проблема двиае-пкя тала э ородв интересует и исследователей, и инженеров, п различных научных работников - механиков и математиков.

Уже в средние века баллиотичеокая задача была достаточно актуальной« Зот основные вехи зарождения баллистики в оредние века. Николо Тарталья из Брести (1499-1537) продолжал разработку теории ооставных баллистических траектория Леонардо да Зинчи. Его современник Иеронино Кардано (1501 - 1576) попользовал принцип геометрического сложения горизонтального движения о отвесным еотеотвенно ускоренным« Подобными вопросами занимался Французский учения Юлия Цезарь Скалигер (1464 - 1558), а также иопаиския ученый Доминико Сото (1494 - 1560).

3 более позднее время начинает развиваться так называемая внешняя баллистика. Ранние опиты по исследованию движения в воздухе л жидкости приели Х.Гюйгенса к установлению эмпирического закона сопротивления, пропорционального квадрату скорости движения тела в воздухе (1669). Ньютон на основе опытов (Ф.Гоуксби, Й.Дезагюлье и собственных) ооздал математическую теорию сопротивления воздуха, разработку которой продолжали в XVIII в. Зариньон, Д. Бернулли, Даламбер, Эйлер и др.

3 результате глубокого анализа опытного материала англичанина Б.Робинса Эйлер запенил в 1745 г. квадратичный закон сопротивления двучленны»: первое слагаемое пропорционально квадрату скорооти, второе - четвертой степени окорооти. Правда, в настоящее вреия пользуются дизь кза-

дратичноя зависимостью.

Эйлер разработал ч коленные нотоди реаенкя оонозной задачи баллистики - интегрирования дифференциального уравнв- . ния движения онаряда, в частнооти, иопользуя медленно сходят и ас я ряды. Для прицельной стрельбы он предложил другую методику, ооглаоно которой движение снаряда разделялось на составляющие, одна из которых отвечает за силу сопротивления.Позже Эйлер кап ел другие методы решения основной задачи баллистики.

Усилия ученых были направлены не только на реавнив основной задачи б ал л котики, но и на возможно более полный учет дополнительных явлений, приводящих к важнейшим поправкам к оонозной теории. 3 XVIII в. Робино заметил, что центр масо вращающегося онаряда описывает проотранотвенную кривую. 3 XIX в. Пуаооон, затем Оотроградокий пытались дать математическую трактовку этого явления. Они исследовали дз изгони® вращающегося о на ряда, рассматривая его как твердое тело. На оонове обцей теории движения твердого тела было установлено, что продолговатый вращающийся онаряд имеет собственное быстрое вращение около продольной оон динамической и геометрической симметрии, прецессию около вектора окорооти снаряда и нутационное движение около вектора опрокидывающего момента.Таким образом, модель усложнялась, решение задачи баляиотики становилось вое более объяснимым.

Как видно, в иоторкчеоком пройдой в ооновном был затронут лиаь один аспект раоомотрения задачи движения тела • сопротивляющейся среде. А именно, интересы иоследовате-

хай направлены на получение траектория пусть и в приближенном, ко з*?о в явном виде. При этом параллельным образом з более позднее время вставала задача более точного описания модели взаимодействуя о сопротивляющейся средой. Последнею проблему разумно начать последовать для более простых тел.

Плоская пластинка - наиболее простое тело, позволявшее исследовать различные оообеянооти движения в ореде. Так оф-фекты, связанные о влияние» присоединенных наос (классическая задача Кирхгофа), демонстрируются з учебнике Г.Лаи-ба jj[] на примере движения тел а-пластинки в идеальной неодима опоя жидхооти (исследование начато Томсоном, Тэйтом и Кирхгофом).

Попутно и кратко заметим, что задача Иирхгола, начатая во второй полозине провлого века, заложила второй аспект рассмотрения поставленной задачи. Он связан о вопросами интегрируемости системы диЭДренциальаых уравнений, опи-оыващих данное движение (вопросы существования аналитических (гладких, мероморркых) интегралов).

До оегодияшнвго дня задача Кирхгора почти всегда рао-сматривалаоь о точки зрения проблемы интегрируемооти, и, лишь в некоторых олучаях проведен качественный анализ ряда траекторий.

В работах Кирхгофа, Клебва, Стеклова, Ляпунова, Чаплыгина указаны уоловия существования дополнительного аналитического первого интеграла. 8 наши дни репение этой проблемы оовервенотвовалооь. Так в работе [2] построена

iJ - Ламб Г. Гидродинамика. - Я., 1941. - 928 с.

^ - Переломов A.M. Несколько замечаний об кнтегрирова-

- -

теория интегрируемых олучаев (построение Ь - Д пары), а з [з] указаны условия насущсстволання дополнительного парного интеграла уравнения Кирхгофа.

Укажем на трзтия аспект рассмотрения указанной проблещи, а именно, на качественный анализ систем дифференциальных уравнений» опиоывающих данное двикенио (топология фазового пространства« его расслоение, качественное расположение фазовых траектории). И здесь названный аспект, активное рассмотрение которого начато в последнее гремя, предполагал для начала исследование тела более простоя формы, ввиду недостаточного развития качественного анаякткчеекого аппарата, К примеру, извеотная задача Н.Е.Чуковского об исследован«« симметричного полета саиолета в вертикальной плоскости была подвергнута точному качественному анализу лишь в пооледнеа время.

Одним из первых прямолинейные движения материальной точки а сопротиалявцевся средз иссявдозад Н.Е.Зуксзокиа, который акалкзироваз падение тела в сопротиалясаейся среде, падзниэ тела, браненного под углом к горизонту в ареде, движение маятника в среде и т.д. Н.Е.ЗуковсккЯ, наряду с интегрированная уравкешш двшьекия, совзраеногаоваг недель взаамодеяствся тел о ооиротдохявдезся средой. Он утверавдая, что кснатичзская энергия тела тратится не образование них-рзаьк двикзака воздуха, а, кроае того, на преодолевав:» ко-лекулкрнше ок2 арааштзюы воздуха к даннуцемуся тезу; сооро-

нии уравяеаий двкжекиа твердого теха в идеальной жидкости.

луш££Г. «яаигкз и его пршюх. 1Э31. т.15, вып.2. С.83-85. ^ ~ Козлаз .Снцдешсо Д. А. Неинтегрируемость уравнения Кирхгора // ДАН СССР. 1982. Т.266, № б. С. 1298-003;

тивление зависит не только от скорооти движения, но и ст Форми тела. Если скорость мала, то о достаточной точностью можно принять сопротивление пропорциональным первой отепо-ни скорости; при больших окороотях сопротивление пропорционально квадрату скорооти. Лооледниэ два утверждения H.E.Iy-ковокия часто использовал. Он показал, что при движении тела, брошенного под углом к горизонту о небольшой скоростью, траектория тела лежат а плоскости и имеет вертикальную асимптоту.

Труднее оботояло дело для движения брошенного тела со значительной скороотыо. Траектория в явной вид» не выписывается, и был предложен некий табличный метод. По данный углу наклона, начальной скорооти и коэффициенту сопротивления в таблицах находили значения ряда неэлементарных функций» пооле чего на каждом отрезке пройденного пути можно было приближенно найти выооту, окорооть, что помогало как-то проочитывать траектории. Табличная метод в первой половине XX в. бая мощным оредотвом в баллиотике; он также был включен в ооновные учебные курсы по теоретической механике.

Известны эксперименты по самозроценио падающих в воздухе плаотинох опять же Н.Е.Яуковокого [4.52 • Здесь при-ходитоя учитывать такие овойотва воздействия среды на тало как оилу сопротивления и подъемную силу. Именно азро-___

J - Жуковский Н.Е. О падении легких, продолговатых тел, вращающихся вокруг своей продольной оои // П.с.о., т.5, 0.72-80, C.I03-IIS. - М.ДЗЭТ.

® - 2уковокий Н.Е. О парении птиц // П.с.е., т.5. - М., 1937, 0.49-59.

- б -

динамические характеристики пластинки использованы и для

В соответствии о этим, Н.Е.луковский провел анализ ряда задач, а именно: скольжение птицы в вертикальной плоскости при спокойном воздухе; скольжение птицы в спокойном воздухе з олучае, когда горизонтальная проекция ее траектории -кривая линия; парение птицы в воздуха, текущем горизонтальным'/! олений, скорость которых возрастает о выоотоя; парение птицы при порывистом ветре; парение птицы в восходящем ветре.

Н.£..Кукозскии предполагал существование такого "динамического равновесия" "тела птицы" относительно центра масс, при которой угол между скоростья центра масс и плоскостью крыла пластинки (угол атаки) служит управляющим парамагром, т.о. ыокет быть задан произвольным образом. Очевидно, что это предположение равнозначно предположению о таком разделении движений тела, при котором характерное время движения относительно центра масс существенно меньше характерных времен движения самого центра.

Представляет ингзрео исследование движения тела в среде при уоловиях, когда его пооуупатальнов движение связано о вращательным. Упомянутая выие задача Кирхгафа далеко не исчерпывает всех возможностей подобного типа.

Зыделим здесь задачу о двинеяии тела при условии, что линия действия силы, приложенной к телу, не меняет своей ориентации относительно тела, а лишь может смещаться параллельно оамои овбе в зависимости от угла атаки. Подобные условия возникают при движении пластинки, так оказать, о "боль-

нодвлирования полета птиц

аюти" углами атаки, в о ре до оо струйным обтеканием 6,7,8 или при отрывном «

В иаотоящее время а овязи о развитием математического аппарата, а именно, качественной теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и др., качественный анализ динамичеоких оиотем, описывающих различные процас-сы в механике, электродинамике, оптике, технике, значительно оовериенотвуетоя. 3 чаотностм, анализ систем уравнений движения твердого тела а сопротивляющейся оредо либо моает быть проведен доотаточно глубоко имеющимися методами качественной теории, либо может выдвинуть овоеобразные проблемы, имеющие самостоятельный интерео.

3 соответствии о этим, в работе 10 построен фазовый портрет физического маятника, помещенного в поток ореды.Ок*-

^ - Гуревич Г. И. Теория струй идеальной жидкости. - М.: Наука, 1979, 322 о.

- Седов Л.И. Механика оплошной среди, т.1. - 'Л.: Наука, 1983. - 528 о.; т.2. - М.:Наука, 1984. - 560 о.

- Чапдигиг! С.А. Избранные труда. - М.: Наука, 1976. - ^95 о.

^ - Табачников З.Г. Стационарные характеркатикк крыльев на малых скоростях во воем диапазон» углов атаки // Труды ЦАГЙ, вып.1621. - М., 1974. - с.10-2*.

^ - Локлкн Б.Л..Привалов З.А.,Самоонов З.А. Зведекие в задачу о движении тела в сопротивляющейся оредо. - М., 1985. - 86 о.

- Ерояин З.А..Привалов З.А.,Самооноа З.А. две модель-

залооь, что такая дикамичеокая онотома обладает весьма нетривиальным» нелинейными свойствами.

а работе [и! разобран вопроо об устойчивости некоторых стационарных прямолинейных движении свободного тела в ороде оо струйным обтеканием. Исследование проведено на базе линеаризованных уравнений движения тела.

Некоторая аналогия между овояотвами уотойчивооти ете-ционарного движения тела я равновесием маятника в среде выдвигает вопроо о возможности перенесения нелинейных свойств движения маятника на движение свободного тела. Ранее известны численные результаты исследования движения тела при струйном обтекании [12^ . Настоящая работа содержит теоретические результаты исследования этого вопроса.

Цель работы;

- качественное исследование некоторых классов плоскопараллельных движения тела в среде оо струйным обтеканием;

- построение разовых портретов в двумерном и трехмерном фазовых пространствах систем дифференциальных уравнений, описывающих плоокопараллельное движение тела в сопротивляющейся ореде;

- доказательство структурной уотойчивооти (грубоо-ти) иоходных динамических систем над классами допустимых Функций; доказательство топологической эквивалентности

то задачи о движении тела в сопротивляющейся среде // Сб. научн.-метод. статей по тооретич. механ. - Вып. 18. - М., 1987, с.75-78. :

- Сычза З.З.,Рубан А.К..Сычев Зик.8.,Королез ГЛ. Асимптотическая теория отрывках течений. Под ред. В.З. Сычева. - М.:Наука, Гл. ред. фаз.-мат. лит., 1987. - 256 о.

соответствующих фазовых портретов;

- исследование некоторых качественных вопросов теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных

на двумерных поверхностях.

Научная новизна. Основные результаты диосертации таковы:

- указано на достаточное уоловие понижения порядка динамичеокок системы, в результате чего исследование сво-дитоя к динамичеоким сиотзмам на плоокооти;

- показано, что точки покоя могут заполнять одномерные многообразия - прямые. Даны механические интерпретации еоответотвущкм отационарним движениям, топологическая классификация оообых точзя исходной и укороченной систем;

- благодаря цилиндрической природе поля о истомы, возможно построение фазового портрета з трехмерном фазовом пространства путем поднятия траекторий о плоокооти в пространство;

- при некоторых условиях проведена топологическая классификация фазовых портретов задачи. Показана их отрук-турная устойчивость;

- указаны уолоаия полного интегрирования двух классов динамических систем. Причем один интеграл аналитичан и выражается элементарными функциями , а второй трансцзвдентен к выражается через элементарные функции лишь в счетном множестве точек параметров задачи;

- при некоторых уолозиях показано наличие бифуркации рождения предельного цикла. Исследованы вопросы существования монотонных предельных циклов; ,

- сделаны замечания о существовании замкнутых кри- . вых из траекторий как отягизаемых, так и нестягиваемых

по фазовому циливдру в точку;

- сделаны замечания о существовании топографических оютзм Пуанкаре и удобных систем в равнения для иоходних динамических систем;

- разобраны вопрооы существования и единственности траектория на плоохооти, имеющих в качеотве предельных кио-жеств бескойзчно удаленные точки;

- разобраны элементы теории монотонных векторных

полай.

Научная и практическая значимость. Диосертация носит как чисто теоретический, так и прикладной характер. Ее методы и результаты могут битв использованы как при изучении различных дкссипативных систем, так и при изучении произвольных оистем дифференциальных уравнения, заданных на двумерных поверхностях.

Достоверность подученных результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, а также использованием отрогих математических методов решения.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.

Апробация работы. Результат^ диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем, а аэродинамике * феврале 1988 г., на Воесоизной конференции по современным проблемам механики и технологии машиностроения в апреле 1989 г., ма II Всесоюзной конференции по нелинейным колебаниям ыехаяичаоких

оиетем в оентябра 1990 г,, на Седьмом воесотэноч съезде по теоретической я прикладной механике в августе 1991 г., на общегородском семинаре по теоретической механике под руководством В.З.Румянцева и Ю.А.Архангельского в апреле IS30 г., на оеминаре "Динамика твердых тел, взаимодействующих со орвдой" под руководство« З.А.Самоонова в 1983 -1991 г.г.

Структура диосертдции. Диосертация состоит ни введения, четырех глаз, разбитых на 21 параграф, заключения и сяиоха литературы, который о одержит 65 наименования. Работа содержит 2/ риоунков. Объгя диссертации - 147 чапль полисных страниц (без заключения, иллиотраций и опчока литературы - 122 машинописные отраницы).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Зо введении дается исторический обзор рассматриваемых далее проблем, проводится постановка задачи, вводится понятие отруктурной устойчивости оистемы относительно некоторого класса функций, а также затрагивается вопроо понижения порядка иоходной динамической системы.

Постановка_задачи. Будем предполагать, что вое взаимодействие среды о телом оооредоточеко на той чаоти поверхности тела, которая имеет форму плоской пластинки АЬ (рио.1). Сила этого взаиаодейотаия направлена по нормали к пластинке, причем точка приложения А/ отой силы определяется ять одним параметром - углом атаки Ы. * который измеряется от вектора окороотк v оерздиы dD плаотияки до нормали а этой точке (прямая СЯ) ) против часовой стрелки (таким образом -^л/ С**) )•

Рио. I. I

Величину оили сопротивления примем в виде

о Vх , где У - модуль скорости центра пластинки, а есть Функция только угла атаки оС ( о = з О*-) ). Коэффициент назовем коэффициентом оопротивлояия.

Предпо^оаиа, что по прямой С» на тело действует дополнительная вила Т (рясЛ), которус назовем силой тяги. Введение этой сила используется для обеспечения некоторых заданных клаоооэ движений.

Распределение маоо примем таким, чтобы центр маоо С тел» располагало* на орвдинкод перпендикуляр» СЙ » пластинке.

Для описания положения тела мгано выбрить декартовы координаты Хо , центра пластинки и угол поворота У , которой будем отсчитывать а плоскооти от прямой С2) по чаоогоа сгрзлке до т<ой-н.1буд& оои шгерциаль-нол сиотзмы координат. При этом (разовое состояние оисте-мы будет характеризоваться шестью величинами:

( Хо, ^ , у , и , у )€ . Выразим модуль скорооти точки 2) и утог атаки Ы.

т »

через фазовые переменные , Чо , ^ . Таким об-

разом, величины V я oi. зададутся неинтегрируемимн соотношениями от переменных Хо , » ^ * Можно фазовое соотоянла системы задавать величинами ( V , oi ,

f » Ко . J« » (J ). а Функции V и oi рассматривать как кзазиокорооти отчтш. Координата ( Хо , ^, 'р ) являются циклическими. Это позволяет рассматривать систему меньшей размерности.

Записывая теорему о движении центра масс в проекциях на подвижные оси X , ^ (рио.1), и, присоединяя урзо-неняа об изменении пинотичеокого момента относительно оси Kemira, получаем оладуюиув систему дифференциальных ураэ-нений

... » Т л

rvcosot--o(VSLHot -tcJVStK^-taw = - -j^r v

' «/^U^+'olv/COS^-WvTCo&oi = 0 CO

Зту динамически систему дополним хикеизаическяш соотношениями: , jce=-Vcos (_<£-*) .je^^^Cy-^). едесь взедени елвдугацйэ обозначения: б* - расстояние Я) С , X - центральный момзит инэрцик тела, lYl ~ мооса.

3 динамическую систему (I) входят Функция ,

-3 , для качественного описания которых используем зве- • п»рииентал&ную информации о озойствах струйного обтекания. Будем считать, что функция ^ достаточно гладкая, нечетная,

Z7T - периодическая, зависящая от oi tt удоалетзорящая следующим уоловияи: пря оСС (О/К^ при-

- и -

чей ^¿(о)?о . .

функция 0 - достаточно гладкая четная, - пе-

риодическая, удовлетворявшая следующим условиям: при ^(0,^) , при .при-

чем V . Класс , оодержадий вышеописанные

Функции, будем обозначать ^ . Таким образом,

С2)

Рассмотрим произведение ^С*) (с*. Приходим к выводу, что - достаточно гладкая нечетная 7Г- периодическая функция (если о^итг)^-^, ^^ в )» удовлетворяющая уоловиям: при

причем Т'(о)>о , Клаоо {'?},

еодернаций только что описанные функции, будем обозначать «¿Г . Таким образом,

Те & о)

О ст£укущрнод лотоячивости^ Под структурно уотойчияой оистечой дифференциальных уравнений обычно понимают такую оистему, малые деформации в С < ) - топологии которой топологически эквивалентны (хотя бы топологически еопряжены) данной системе. Таким образом, деформация берется во воем классе гладких векторных полей.

Мокно рассматривать деформацию векторных полей не тд всем классом полей, а над некоторым подклассом ^ С ^с' (З*801»гладкие векторные поля класса СЛ О

Определение. Систему дифференциальных уравнений, задающих доотаточно .гладкое векторное поле ЯГ , назовем отрук-

турно устойчивой (грубой) ПО ОТНОИВЯЧК) к ппэссу фуНКЦКЙ

2ГС • во*" юбое векторное пола Та/ , получвю-

цезоя деформацией поля %г в С - топологии относительно клаооа функций 2Г , топологически эквивалентно пола .

Пря естественных уоловнях оиотема (I) (при этом выполнены условия (2),(3)) чмает фазовый портрет, который не меняет овоего топологического типа при деформации функций Ч~ и 3 вдоль оаооов $ и соответственно; тех«» образом, оиотема (I) структурно устойчива (груба) по отношении к классам функция $ и 2 . Кроме т№о, люб о о векторное поле, отвечящеа классам функций $5 к 2 » структурно устойчиво (грубо).

Заметим, что о чаотнооти выполнены условия

£>60= АВ-^ЛсОБ^е ^ 1-ЗоС-О« ^СОБ^еЗ (5)

О понижении порядка. Утверждение. Если выполнено условие

Т-т&ч)^ (б)

то порядок системы (I) понижается.

Заметим, что при этом замена переменных (независимого переменного) производится по формуле

С7)

Новая нэзэзиорм»* переменная Я - "натуральный параметр"

траектории - путь, пройденный центром пластинки. После замены (7) система (I) эквивалентна

Уравнения (10),(II) оистеки (8 - II) образуют замкнутую подойотему второго порядка.

Б первой главе диссертации рассмотрен клаоо ¿видении, при которых выполнено уоловие

При этом тело оовершает свободнее торможение в сопротивляющейся ореде.

Вопрос о точках покоя системы разбиваетоя на два: о точках покоя оиотеми (9) - (II) в фазовом пространстве

Точки покоя трехмерного фозозого пространства ооотзет-отвувт таким стационарным движения», при которых либо тело движется а любую оторону о любой поотоянной екероетыз аозту-патеаьно и аар&мельпо плоокой пластинке, лцбо тело вращается вокруг кепедвнкнего центра масс в любую сторону о любой поотоянной угловой скоростью. Первые из этих движений неустойчивы, а вторао - уотайчиви.

Т = о

и о точках покоя укороченной оис-

Точки покоя укороченной оистекы на плоокооти являются проекциями либо прямых, оплоиь заполненных точками покоя трехмерного фвзоясго проотранотва, либо прямых, являющкхоя неособаки траекториями в трехмерном проотранотве. Последние траектории соответствуют таким отационарным движениям, при которых тело ооаершает поотупателшое движение в любую сторону или о нулевым углом атаки, или с углом атаки равяам /Г • Скорость данного поступательного движения убивает как -fc_<.

Ввиду проотота механической интерпретации отацаонарних движений, опиоанньис выше, последние будем называть тривиальными положениями равновесия (ÎTIP). Наряду о ТПР могут существовать точки покоя, соотватотаущие нетривиальным частным решениям система.

Нетривиальными положениями равнопеоия (НЛР) оистечы на плоскости назнваятоя точхи покоя, не лежащие на прямых

Механическая интерпретация НИР слчдущая. Тело ооэер-аае* двяяение в ораде с постоянным углом атаки, постепенно замедляя овое движима. При этом тело но останется в ограниченной области плоскооти.

яазсвнв траектории вветемм в трехмерном фазовом пространстве лежат на аоаерхнсояяк, явпящпкая хвуиартт цилиндрами. Бячгол«рз фаиндрчческой природе з исторг ого поля скатзаа, становятся возиезаам поднятие увзозах траектория с плоскостей в пространство.

Тоаолог«чеою» озсйягаостя гясдаяшсго фазового портрета заладят о» поэедеяяя поля ойatmt возле течки (7Г Для некагорах областей параметров задаю ярсзссуггея

полная топологическая кяяооификация фазовых портретов. При этой фгзозыв портреты вн»теда бео.чоиечно иного рае меняет оной топоюгичеокий тип. При некоторых уодовиях показана структурная уотоачивооть данной динамической опотоми.

Во второй главе работы рассмотрен класс движении» при которых выполнено условие

При атом центр маос тела движется равномерно и прямолинейно. :

Аиейогвчныя образом разбирается вопросы о точках покоя и стационарных движениях систем второго или третьего порядков. Показано отсутствие ШР при условиях (2) и (3). Геометрические замечания» оделенные в глазе первой, в некоторыми уточнениями остается в еихе.

Проведена полная топологическая классификация фазовых портретов системы. При отом возможны три топологически различных типа фазового портрета. Показана отруктурная устойчивость данной динамической системы.

Приведен явный вед одного аналитического интеграла. Второй (дополнительный) интегрел выражается через элементарны*, Функции лишь £ счетном, множеств» параметров задачи.

Дана механическая интерпретация особой фазовой траектории, которая уходит ча бесконечность. Центр масс движетоя прямолинейно и равномерно, при этой траектория центра пластинки есть циклоида о точкой возврата.

В третьей главе диооартацхи рассмотрены движения тела, при которых величина скорости центра плаотинки постоянна. При стационарном движении тело движется поступательно парах-

лельно срединному перпендикуляру к пластинке, либо совершает вращение вокруг но которой 'неподвижной точки V/ с постоянней угловой скоростью; при этой, прямая СаО непременно проходит через точку •

На многообразии 0= у сис-

темы нарушается теорема единстзениости. Каждым различным траекториям, проходящим черэз одну и ту же точку фазовой плоскости, соответствуют различные значения управляющей тяги.

Показано, что фазовый портрет системы имеет один и тот же топологичбекил тип при деформациях системы в классе ' допустимых Функций. '

Для случия Т=¥° (см-00) предъявлен в явном виде первый интеграл системы, который внражается через элементарные Функции.

Показано, что существует аналогия между маятником, в потоке ореди и дэюхением тела в сопротивляющейся среде, при условии постоянства модуля скорости центра пластинки. При этом угол попорота маятника и угол атаки свободного тела «вменяются по одинаковым законам.

О четвертой глаао диссертации разобран ряд вопросов иэ качественной теории обыкновенных дифференциальна* уравнений, к-эк в приложении к данной проблеме, так.и представляющие самостоятельный интерес.

Автор выражает иокрзкнш благодарность своему руководителя д.ф.-м.н., ведущему научному сотрудншсу Самсонову. Б.А. за постоянную поддержу, а такйе Чернышевой С.Д. за помощь при ксерокопйреэашш, Шамолину 3.А. и Гуоькозу Ю.ГС. за по-

моць при подготовке плакатов.

Опубликованные работы по теме диссертации:

1. Самоонов В.А. .Шамэлин M.S. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде. Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1989, КЗ, с.51-54.

2. Самсонов В.А..Шамолин М.В. Отчет Ин-та механики МГУ ft 3969. - 80 с.

3. Самсонов В.А..Шамолин М.Л. О движении тала в сопротивляющейся оредз // Современные проблемы механики и технологии машиностроения. Всесоюзная конференция (16-18 апреля) 1989 г. Тезисы доклада. Изд. ВИНИТИ, 1969, с.128-129.

4. Ерошин В. А. .Самооков З.А. .Шамолин М.В. О движении тела в среде при струйном обтекании // Всесоюзная конференция по устойчивости движения, колебаниям механичеоких систем и аэродинамике (2-4 февраля 1988 г.). Тезисы доклада. Деп. в ВИНИТИ 22.12.88, № 8Е86-В-88.

5. Рыжова З.Е..Шамолин М.В. О некоторых аналогиях з задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Седьмой всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике (15-21 августа 1931 р.). Тезисы доклада. Под ред. руководства подсекций съезда. М., 1991, с.305.

6. Самсонов В.А., Оамолин М.В. Модельная задача о движении тела в ореде оо струйным обтеканием // Нелинейные колебания механичеоких оистем. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции (сентябрь 1990 г.), ч.2. Нижн. Новгород, 1990, с.95-96.

Подп. в печ. 18.11.91 г.- Тирах 100 экз. Заказ № 9507 Централизованная типография ГА "Союзстройматериалов"