Качественный анализ ограниченных сферически-симметричных решений нелинейных уравнений теории поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА г_ , і

На правах рукопису

ПРОЦАК Людмила Віталіївна

ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ ОБМЕЖЕНИХ СФЕРИЧНО СИМЕТРИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТЕОРІЇ ПОЛЯ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття наукового ступеня кандидата фіоико-математичних наук

Дисертацією е рукопис.

Роботу виконано на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Київського університету ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник — академік НАН України,

доктор фіоико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО А.М.

Офіційні опоненти — доктор фіоико-математичних наук, провідний науковий співробітник КУЛИК В.Л.

кандидат фіоико-математичних наук, доцент ДАНИЛОВ В_Я.

Провідна установа — Львівський державний університет ім. І. Франка

Захист відбудеться 1996 року о годині

на оасіданні спеціалюованої вченої ради К 01.01.21 у Київському університеті ім. Ткраса Шевченка оа адресою:

252127, Київ-127, просп. Гпушкова, 6, корпус механіко - математичного факультету, ауд. 42 .

» '

З дисертацією можна оонайомитись у бібліотеці Київського університету оа адресою: и. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат рооіслано ^ 1996 року.

Вчений секретар .

спеціалюованої ради КУРЧЕНКО О.О.

Ахтуальність теми. Для типових багатовимірних нелінійних рівнянь теорії поля на даний час немає систематичних методів відшукання роов’яоків о довільними початковими Даними у аналітичному вигляді, У овяоку о цим важливою і актуальною оадачею є дослідження окремих фіоично цікавих роов’яоків оаоначених рівнянь. Такими, наприклад, є роов’язки типу “біжуча хвиля”, солітони, класичні інстан-тонн рівняння Янга-Мілса, автомодельні роов’яоки рівнянь нелінійної теплопровідності, тощо.

Багатовимірні нелінійні рівняння класичної теорії поля, як правило, є інваріантними відносно групи обертань SO(ra). В силу цієї обставини особливо важливим об’єктом дослідження виступають сферично симетричні роов’яоки відповідних польових рівнянь, тобто роов’яоки, які € функціями часу t та радіуса || *||, де х Є R“ — просторові омінні. Мабуть найбільш вивченим о цієї точки оору є стаціонарне нелінійне рівняння Au + д(и) = 0, яке виникає у різноманітних задачах математичної фіоики.

Цілі радіальні роов’яоки цього рівняння (тобто сферично симетричні роов’яоки, визначені в усьому просторі), а також нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків, зокрема, нелінійних бігармонічних рівнянь типу Емдена, досліджували B.C. Буслаєв, Б.А. Маломед, A.A. Панков, С.І. Похожаєв, M.S. Berger, H. Berestycki, P.L. Lions, C.V. Cofman, S. Coleman, R. Dalmasso, N. Fukagai, T. Kusano, M. Naito, C.A. Swasson,

H. Usami, W. Walter та інші. .

До одного о основних методів аналізу оаоначених роов’яоків належить метод звичайних диференціальних рівнянь. Останній є ефективним засобом дослідження інших багатовимірних рівнянь у ситуації, коли відповідні редуковані рівняння містять лише одну незалежну змінну, і отже, з’являється можливість залучення добре роовиненої якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь для вивчення властивостей їх роов’яоків. Саме такий підхід і лежить в основі даної дисертації.

Досить часто проблема існування регулярних в початку координат і спадних на нескінченності роов’яоків редукованих рівнянь може бути оведена до деякої сингулярної крайової оадачі. Теорія крайових оа-дач для овичайних диференціальних рівнянь інтенсивно розроблялася А.М. Самойленком, Н.В. Аобслсвим, O.A. Бойчуком, Г.М. Вайнікко,

І.Т. Кігурадзе, А.Ю. Лучкою, М.О. Перестюком, М.Й. Ронто та багатьма іншими.

Мета роботи полягає у проведенні якісного аналіоу сферично симетричних (щодо просторових змінних) розв’язків нелінійних рівнянь Шредінгера та Клейна - Гордона, вивченні явища біфуркації сферично симетричних роов’яоків нелінійного бігармонічного рівняння.

Загальна методика досліджень. Використовуючи відомі сферично симетричні щодо просторових змінних аноаци, багатовимірні рівняння теорії поля редукувались до овичайних диференціальних рівнянь. Останні досліджувались на предмет існувавші обмежених, спадних на нескінченності розв’язків оа допомогою методів асимптотичного аналізу, функцій Ляпунова, нормальних форм, теорії біфуркацій, методу інтегральних рівнянь розв'язування сингулярних крайових задач. •

Наукова новвава результатів роботи. •

- Встановлено існування обмежених та спадних на нескінченності сферично симетричних щодо просторових змінних роов’яоків багатовимірного нелінійного рівняння Шредінгера оа відсутності умови достатньої малості їх модуля. Одержано уточнені оцінки асимптотики зазначених роов’яоків при ||*|| —► оо.

- Вперше описано якісні властивості одного класу автомодельних

сферично симетричних роов’яоків рівшганя Клейна - ГЪрдона о кубічною нелінійністю. 1 .

- Вперше досліджено явище біфуркації малих сферично симетричних роов’яоків нелінійного бігармонічного рівняння у просторі R3. Знайдено біфуркаційні значення параметрів рівнянні та умови на неліній-

ність, при виконанні яких від. тривіального роов’яоку відгалужуються один або пара нетривіальних, розв'язків солітонного типу.

- Розроблено техніку розв'язування проблеми розгалуження для сингулярної крайової задачі о похідними четвертого порядку. Застосування цієї техніки дозволило строго довести існування тривимірних солітонів у модельному рівнянні самоузгодженого поля намагніченості.

Теоретична та практична цінність дисертації. Результати роботи дозволяють одержати більш повне уявлення про якісні властивості розв’язків нелінійних рівнянь теорії поля. Вони можуть бути використані для теоретичного пояснення явищ, які спостерігаються у фі-оичних системах, що описуються нелінійними рівняннями. У роботі запропоновано ефективну методику дослідження регулярних на півосі [0, оо) розв’язків нелінійних неавтономних рівнянь о особливого точкою. Вона може бутп застосована для дослідження сферично симетричних розв'язків інших нелінійних рівнянь теорії поля.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на конференції ’’Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-Вторые Боголюбовскпе чтения” (Київ, 1993), на семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського університету ім. Тараса Шевченка, щорічних конференціях професорсько - викладацького складу Українського державного педагогічпого університету ім. М.П. Драгоманова.

Публікації.Основні результати дисертації опубліковано в 8 роботах, список яких наведенй в кінці автореферату. У спільних роботах [1

- 5] співавторам належить постановка задач, зведення відповідних сингулярних крайових задач до інтегральних рівнянь о параметром. Інші результати автором одержано самостійно.

Об’єм та структура роботи. Дисертація складається о вступу, двох розділів, кожен о яких вміщує по 3 параграфи, висновку та списку літератури, який налічує 90 назв. Загальний обсяг роботи 108 сторінок.

з

У першому рооділі дисертації рооглядаються комплексне нелінійне хвильове рівняння (нелінійне рівняння Клейна-Гордона) та нелінійне рівняння Шредінгера, які відповідно мають вигляд

Тут і = л/-ї; Д — тривимірний оператор Лапласа, Ф : [0,оо) *-* R

— оадана неперервна функція, с, т — дійсні параметри, Ф({,х) — скалярне комплексне поле. Всюди надалі бео обмежень оагальності покладаємо с = 1, т — 1.

У §1.1 наведено оагальний реоультат про існування обмежених роов’яоків виду Ф(<,г) = ^"'«(ЦжЛ), v Є R, для рівнянь (1), (2) та виду Ф(1,ж) = и((12 — ЦхЦ2)1*2) для рівняння (1) (теорема 1.1.1). Покапано, що роов’яоки такого типу утворюють сім’ю, оалежну від одного комплексного параметра. Умови, які накладалися у теоремі 1.1.1 на функцію -Ф, близькі до тих , що сформульовані в роботах П.Є. Жидкова (Препр. ОИЯИ, Дубна. - №£-82-68), H. Berestycki, P.L. Lions, L.A. Peletier (Indiana Math. J. - 1981. - 30, №-1. - P. 141 - 157), де, однак, вивчалися лише дійсні роов’яоки редукованого рівняння.

У §1.2 досліджуються автомодельні роов’яоки виду Ф(1,*) = = tr(||*||/i)/||*|| рівняння (1), у якому Ф(и) = —Au*. Бео обмежень оагальності вважаємо, що параметр А набуває значень +1 або -1. Основний реоультат §1.2 складає

Теорема 1.2.1 Рівнянні (1) при А = — 1 має сім’ю автомодельних сферично симетричних розв’язків виду

класу CJ(6(c),oo) змінної т, 6(c) = (ch (üT (1/2) /с)]—1, K(m) —

(d*/dt7 - <?Д) Ф + Ф(|Ф|)Ф = 0;

(1)

повний еліптичний інтеграл 1-го роду. При цьому функція іо(т,с) задовольняє умови w(l,с) =f с, sup |ш(г, с)| < с і в околі точки

Т-Є[1,00)

т — оо зображається збіжним рядом ги(т,с) = ао(с) + аі(с)т~1 + +а3(с)і—2 + • • •. '

Якщо А = 1, то рівняння (1) мас сім’ю розв’язків виду (3) з функцією из(т,с), яка при кожному с Є [—2К(1/2)/к,2К(1/2)/п] належить класу С2(0, оо) і задовольняє такі умови: ш(1,с) = с; шахНт,с)| < |е|; •

ГЄ[0,11

|w(r, с)| < с[сп (с(тr/2 — arcsin(l/r)))]-1, т Є [1,оо),

де сп(г) — еліптичний косинус; при т —► +0 або має місце асимптотична формула

ш(т,с) = (\Æ|lnr|)-1/2(l + о(1)),

або знайдеться таке со(с) Є R, що w(r,c) = со(с)(т + о(т)); іи(т,с) монотонно прямує до границі Ь(с) при т —*■ оо.

Цю теорему доведено на основі аналізу дійсного рівняння ((г2 — l)u/)' — Ar~2w3 = 0, основні труднощі дослідження якого обумовлені наявністю у нього двох особливих точок т = 0 і т = 1 на півосі [0,оо). Досить віддаленим аналогом зазначеної теореми є результат K. Hayashida, M. Nakatani (Math. Japónica. - 1994. - 40, №-3, p. 561 -584).

У §1.3 досліджено обмежені сферично симетричні роов’яоки рівняння Шредінгера (2) о степеневою нелінійністю. В роботах В.І. Фущича та його учнів були побудовані сферично симетричні щодо просторових змінних анзаци, які редукують це рівняння до звичайних диференціальних рівнянь. Мета параграфу полягає у проведенні якісного аналізу тих розв’язків зааначених рівнянь, яким відповідають глобальні обмежені щодо просторових змінних роов’яоки вихідного рівняння Шредінгера.

Теорема 1.3.1 встановлює існування при А > 0 сім'ї розв’язків рівняння (2) о Ф(и) = Au* вигляду

®(t,æ) = ((+ b)~l/kz ((* + í)2/(< + h)<c) .

де Ь, ( = ((і,... ,£„) — дійсні, с — комплексний параметри. При кожному с Є С функція г(г,с) належить класу С1[0,оо)РС2(0,оо) і має властивості г(0, с) = с, 1ітт_,огг"(г,с) = 0,

с) = (°(ТІ/к~П/(М)) ПРИ кА<ТГ^’ ■ Т-+ОС.

’ | 0(т~11к) при к > п 5-^ ^ = я>

Дала теорема суттєво посилює аналогічні реоульТати В.І. Фущича таї.О. Парасюка (Укр. мат. журн. - 1990. - 42, N-10. - С. 1344 - 1350; Укр. мат. журн. 1991. - 43, №6. - С. 821 - 828), одержані оа умови достатньої малості параметра с.

Подальші дослідження рівняння (2) стосуються випадку критичного похаоника нелінійності к = 4/п.

У п.1.3.2 доведено теорему 1.3.2, яка стверджує, що рівняння (2) при Ф(и) = Аи4/П і А > 0 має сім’ю обмежених, спадних до нуля на нескінченності роов’яокіб виду .

Ф (і,*) = («+ Ь)~п/Іех р

;/(*+о2, л] ,((*+& Л

42(1 + 6) + N. 'U + W’j*

де b, £ = (&,..., ?»), с> 00 — дійсні параметри. Реоультатп п.1.3.2 . уточнюють відомі раніше твердження: додатково встановлено що функція р(т,с) має нескінченну ПОСЛІДОВНІСТЬ нулів Ti.Tj,... , причому Тк -» -♦оо, к -+ оо, і lim г*/т4+1 = 1; показано, що умова А > 0 є в певному

fc—»CO

сенсі необхідною для того, щоб функція р{т,с) була визначена на всій півосі [0,оо).

У п.1.3.3 в результаті якісного аналізу рівняння z" + nj(2т)z1 + z + А/(2г)|2|4/"г = 0 доведено таке твердження Теорема 1.3.3 Нехай А > 0. Тоді рівняти (2) при Ф(и) = AiW* має сім’ю розв'язків виду

Ф(і, х) = (l-(f+b)J)-n/<exp

1\2((i + b)2-l)+0oJJPll-(t + b)2,CJ’

де Ь, £ ■= (£і,...,£п), с, во — дійсні параметри. При кожному с € И функції р{т,с) належить класу С1[0,оо)Р)С2(0,оо) і задовольняє

умови

р(0,с) = с, limrp"(r, с) = 0, р(т,с) = 0(т~"!*) при г -+ оо.

г-*0

Ця теорема при Л > 0 узагальнює результати, одержані іншими авторами, де вимагалася достатня малість параметра с. Цікаво відзначити, що, наприклад, при 6 = 0 функція Ф(1,ж) о теореми 1.3.3 дає приклад розв’язку нелінійного рівняння Предінгерао двома моментами загострення £ = -Ы і і = —1.

У п.1.3.4 вперше досліджено якісні властивості анзацу, який одержується о анзацу теореми 1.3.3 шляхом оамінп виразу (і -І- б)2 — 1 на (і + Ь)2 + 1, і який редукує (2) при Ф(и) = Au^n до рівпяння

d?z п dz А , , .

17> + ГгТг~’ + = 0 <4>

Аналіз цього рівняння на предмет виявлення обмежених на додатній півосі розв’язків, які задовольняють умову limr_o rz"(r) = 0, значно складніший, ніж у попередніх випадках. Розв’язки зазначеного типу яже не утворюють одпопараметричної сім’ї. Причина цього явгаца полягає в тому, що система, яка відповідає даному рівнянню, є гіперболічною в околі тривіального розв’язку. Показано, що при А < 0 жоден регулярний в точці т = 0 розв’язок не може бути продовжений па піввісь [0, оо). Якщо ж А > 0, то іспує принаймні один дійсний розв’язок z[r) £ С1 [0, оо) f)C2(0,oo), який задовольняє зазначену умову в точці г = 0 і має асимптотику z(t) = 0(т~'ІАе~т) при т —*■ оо. Цей розв’яоок породжує глобальний у Rt х RJ уособлений роов’язок рівняння Шредін-гера. Наскільки відомо автору, розв’язки такого типу для нелінійного рівняння Шредіпгера о критичним показником нелінійності к = 4/п раніше не були відомі.

У другому розділі дисертації досліджується нелінійне тривимірне бі-гармонічне рівняння

Л% + «Д„ + h = Ф(*.„..........., ...), (5)

де Ф — нелінійна гладка функція всіх своїх аргументів, Ф(®,0,... ,0) = = 0, а,Ь — дійсні коефіцієнти. Воно виникає при математичному моделюванні цілого ряду фізичних явшц (утворення просторових структур у суцільних середовищах, солітонн у тривимірному магнетику, тощо). Часто ці явища мають сферичну симетрію. Будемо припускати, що таку ж властивість май рівняння (5). Основна оадача роодіпу 2 полягає у встановленні умов існування нетривіальних сферично симетричних роов’яоків рівняння (5), які б прямували до нуля при |]ж]| —♦ оо. Ця оадача роов’яоувалась у даній дисертації в рамках теорії біфур-каців/^такоиу підході коефіцієнти а, b рооглядаються як параметри. Шукаються точки (а., 6,) в просторі R2a ^ о властивістю: існує є. > 0 таке, що для довільного є £ (0,£.) можна вкаоати точку (af,6c) в є-околі топки (о.,6,), для якої рівняння (5) має нетривіальний сферично симетричний роов’яоок ut(|[x||), де функція vc(r) оадовольняє умови limr_„o ve(r) = 0, 1ітг_о sup |ve(r)| = 0. Виявилось, що вкаоану вшце

г€[0,оо) '

властивість мають точки, що належать вітці параболи b = а2/4, а > 0, а біфуркація роов’яоку солітонного типу відбувається в той момент, коли параметри сходять о цієї вітки і потрапляють в область b > а.2/4. Звичайно, описане явище має місце при певних обмеженнях на функцію Ф.

Слід відоначити, що на даний час досить грунтовно роороблена теорія біфуркацій роов’яоків крайових оадач для нелінійних еліптичних рівнянь вищого порядку в обмежених областях. В цьому випадку біфуркаційні оначення параметрів, як правило, відповідають дискретному спектру лінеариоованої задачі, в той час як у ситуації, що рооглядається в даній дисертації, можна говорити про відповідність таких значень параметрів "неперервному” спектру. На жаль, жоден іо о гаданих вшце реоультатів, які стосуються нелінійних бігармонічних рівнянь, не має прямого оастосування до сформульованої оадачі. ’

У §2.1 розглянуто рівняння (5) о кубічною нелінійністю Ф = v3. Відшукання солітонних роов’яоків після оаміни v = y{r)/r, r = [[ж||, ово-

диться до сингулярної крайової оадачз .

<Ру <Ру . ї/3 , ч

1? + а7^ + Ьу~^' (6)

у(0) = 0, у"(0) = 0, у(оо) = 0, (7)

для якої встановлено біфуркаційну теорему та вивчено аналітичні властивості роов’яоків, їх асимптотику прі: г —* оо.

У §2.2 розглянуто рівняння (5) о неліпійністю досить загальної структури, для якого рівняння, аналогічне (6), мас гптхяд

■ 2% + аІ% + Ьу = *'(г<Ш (8)

де Р{т, [у]) = Лг, У/г, (у/г)', (у/г)'\ (у/г)'"),

Лг, «0 = (^(г, и>), и?) := £ .„(г, ш)ш?‘ • • • №«*, р> 2.

її!-?

На р-форму Тр накладено умови типу лішшцевих, а також обмеження

|^(г,0)|<Л/оГр-2, гє[0,оо),

/ зіп і (^(*,0), (віп </«, —, (зтг/г)"')*) & / 0.

2 Уо

У припущенні, що корені полінома Р(г) мають вигляд ±є ± і, де є > > 0 досить мале, доведено існування принаймні одного малого розв'язку уе(г) оадачі (8)-(7), коли р — парне, і принаймні двох малих роов’яоків у*(г) цієї оадачі, коли р — непарне, &J>0.

У заключному параграфі де твердження було застосоване до оадачі про сферично симетричні екстремалі функціоналу

?М = £ [\ ((д«)а - «(V«)’ + ь«1) - ОЯІНІ...(V«)2)

СІХ,

висновки

- Метод редукції нелінійних рівпянь теорії поля до овичайних диференціальних рівнянь у поєднанні о методами якісного аналіоу останніх виявився ефективним інструментом відшукання фіоично цікавих глобальних полів. Користуючись таким підходом,в дисертації досліджено якісні властивості деяких класів локаліоованих сферично симетричних роов’яоків нелінійних рівнянь Шредінгера та Клейна - Гордона, а також нелінійного бігармонічного рівняння.

- Встановлено асимптотичні оцінки швидкості спадання оаоначених роов’яоків на нескінченності.

- При дослідженні питадь продовжуваності та асимтотичної поведінки роов’яоків редукованих рівнянь було ефективно використано гамільтоновість останніх.

- Серед досліджених роов’яоків рівняння Шредінгера виявились такі, що описують режими о оагостренням (процеси самофокусування, "blow-up” solutions). Покаоано, що поряд о такими розв'язками у нелінійному рівнянні Шредінгера о критичним показником нелінійності можуть існувати уособлені роов’яоки, глобально визначені щодо часу.

- В дисертації вперше досліджено явище відгалуження малих

сферично симетричних локаліоованих роов’яоків від тривіального роов’яоку у нелінійному бігармонічному рівнянні в R3. '

Автор висловлює щиру подяку своєму, науковому керівникові академіку НАН України А.М. Самойленку оа постійну увагу та підтримку.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Антошшган И.О., Парасюк И.О., Процак JI.B. Бифуркация централь-

но-симметричных решений солитонного типа в нелинейном бигармо-ническом уравнении. - Киев: 1989. - 24 с. - (Препр./ АН УССР, Ин-т математики; №59.33) .

2. Антоншпин И.О., Парасюк И.О., Процак JI.B. О ветвлении решений одной нелинейной сингулярной краевой оадачи // Асимптотические

методы в оадачах математической фиопкп. - Кпев: Ип-т математики АН УССР, 1989. - С. 4 - 8.

3. Антонишин И.О., Парасюх И.О., Процак Л.В. Бифуркация центрально-симметричных решений солитонного типа в нелинейном бигармо-ническом уравнении // Мат. фиоиха и нелинейная мсхапнка. - 1989.

- 15. - С. 54 - 59.

4. Антонишин И.О., Процак Л.В. О бифурхации решений одной нелинейной сингулярпой краевой оадачи // Нелинейные краевые оадачп математической фиоики и их приложения. - Киев: Нн-т математики АН УССР, 1990. - С. 8 - 9.

5. Антонишин И.О., Процак Л.В. Асимптотика локалиоованного решения нелинейного уравнения, содержащего трехмерный бигармоничс-ский оператор // Конф. "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической фиоики - Вторые Боголюбовские чтения" (Кпев, 14 - 18 сент. 1992 Г.). - Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992. - С. 10.

6. Процак Л.В. Об ограниченных сферически-симметрических решениях нелинейных уравнений теории поля // Дифференциальнофункциональные уравнения. - Киев: Киев. гос. пед. ин-т, 1991.

- С. 70 - 76.

7. Процак Л.В. Асимптотика деяких сферично симетричних роов’яоків . нелінійного рівняння Шредінгера Ц Асимптотичні методи в диферен-

ціальпих рівняннях. - Київ: Вища шх., 1993. - С. 117 - 122.

8. Процак Л.В. Біфуркація малих сферично-симетричних роов’яоків нелінійного бігармонічного рівняння. - Київ: Укр. держ. пед. унт, 1995. - 12 с. - Деп. в ДНТБ України 02.11.1995, №2350- Ук95.

Процак Л.В. Качественный анализ ограниченных сферически-симметричных решений нелинейных уравнений теории поля. рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравпения. Киевский университет им. Тараса Шевченко. Киев, 1996.

Защищается диссертация, в которой содержатся реоультаты 8 работ по качественному исследованию сферически симметричных решений нелинейных уравнений теории поля. Установлено существование ограниченных и убывающих на бесконечности сферически симметричных по пространственным переменным решений нелинейного уравнения Шредингера. Получены оценки асимптотики этих решений. Описаны качественные свойства одного класса автомодельных сферически симетричных решений уравнения Клейна - Гордона о кубической нелинейностью. Исследовано явление бифуркации малых сферически симметричных рещений нелинейного бигармонического уравнения в трехмерном пространстве.

Protsak L.V. Qualitative analysis of spherically symmetric solutions of nonlinear field theory equations. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D) in Phisics and Mathematics, speciality 01.01.02 — Differential equations. Kiev University. Kiev, 1996.

Thesis containing the results of 8 works on the qualitative investigation of spherically symmetric solutions of nonlinear field theory equations is defended. The existence of bounded and decreasing at infinity spherically symmetric (with respect to spatial variables) solutions of nonlinear Schrödinger equation is established. The estimates for the asymtotics of the above solutions are obtained. The qualitative properties of a class of self-similar spherically symmetric solutions of Klein - Gordon equation with cubic nonlinearity are described. The bifurcation phenomenon for the small spherically symmetric solutions of three-dimensioned nonlinear biharmonic equation is investigated.

Ключов! слова: нелшшне рлвняння Шредорнгера, неяшйие р]вняния Клейна - Гордона, нелшшне б1гармонзчне р)внянвя, агоац, сферично симетрнчлий роов’яоок, асимптотика, б1фуркацш.

Підписано до друку 29.0і*.1996 р'.Об.О.б.Форнат 60x8%

Друк офсетний.Тир. ІОО.ВаиіІІО.Бевпмтно.

ДОД УДПУ Ім.Драгоманоіа,їиїв,Пирогова,9.