Многомерные солитоны в нелинейных моделях с гравитацией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

од

ОРДЕНА ДРУХбЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖбЫ НАРОДОВ

на пробах рукописи ,

Бидаан Саха

УДК 539.12 : 530.12 » 531,51

Многомерные солитокы в нелинейных цоделях с гравитацией.

(01.04.02- теоретическая физика)

Авторефорат

диссертация на соискание гченоЗ стелена кандидата {изнхо-ыатеыа'лггесгаи пауя

1£осква-1993

, ,• Работа вылольнена на кофе¿ре теоретической физики орДена Друкбы народов Российского Университета дружбы народов.

, Научные руководители: Кандидат физико-математических наук, доцент Ю.П.Рыбаков Доктор физико-математических наук, профессор Г.Н.Шикин

' Официальные опоненты: Доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Мельников Кандидат физико-математических наук, В.Ю.Колосков

Ведуцзя организация Московский педагогический государствешшй университет

Зашита диссертации состоится -¿Р 1993г.

в часов мин. на заседании специалтаированного совета ' к в Российском Университете дру*:бы народов по адресу:

117198 г. Москва, ул.-Орджоникидзе. д.З. зал N1.

■ С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198 г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан Зс&иГря 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук, доцент Ю.И.Запарованный

0£щзя характеристика работы. Актуальность темы1 После создания общей теории

относительности и квантовой теории поля возник интерес, к исследовании роли гравитационных взаимодействий в физике елементарных частиц. В этом смысле представляет значительный интерес получение н исследование частицеподобных решений, совместных систем волновых и гравитационных полей.

Нахождение и исследование свойств регулярных локализованных решений нелинейных классических полевых уравнений ( солитоно- или частицеподобных решений ) связано с надеждой создать свободную от расходимоотей теорию элементарных частиц, которая могла бВ" описывать сложную пространственную структуру частиц, наблюдаемую вкспершент&льно. При этом надо иметь в виду, что нелинейное обобщение теории поля .необходимо независимо от вопроса О расходагостях, т.к.„учет взаимодействия полей о неизбежностью приводит к появлению в уравнениях поля нелинейных членов. Следовательно, нелинейность надо рассматривать не только как один из способов устранения трудностей теории, но и как отражение' объективных свойств поля. Поскольку элементарная частица является квантовым объектом, то попытки построения классических моделей частиц являются предварительным, но необходимым этапом исследования при переходе к квантовой теории поля. Цель работы состоит:

- а использовании стабильных солитонных решений для моделирования

поведения электрона в простейшем атоме (водорода); , /. ■.

1

- в нахождении и исследовании свойств точных решений уравнений., взаимодействующих полей с учетом гравитационного поля для; изучения

а) роли гравитационного поля в формировании дроплетоподобных (каплеобразных) конфигураций систем взаимодействующих скалярного-и векторного полей; ^

б) влияния нелинейных членов в уравнении сгопюрного поля, взаимодействующего с внешнем-космологическим полем типа Бианки-1, на возможность устранения сингулярности начального состояния;

в) влияния нелинейных членов в уравнении сгопюрного поля на начальное состояние и изотропизацию . процесса расширения космологической модели типа Бианки-1. ,/

Научная новизна. В работах, лежащих' в основе 'диссертации,' впервые 1 " /

• - построена солитонная модель атома водорода; -получены точные сферически-симметричные ращения нового типа -дрошгеты;

- получены самосогласованные решения нелинейных спинорных уравнений;

Выяснена роль массового члена для обосиоппния режимч иаотропизацяи в космологии.

: Научная и практическая ценность. Основные .результаты, изложенные в диссертации, основаны на точных решениях систем нелинейных/ уравнений, что дает возможность количественного исследования конкретных моделей и строгого вычисления физических величин, невОЕУ.эасюго в рамках теории возмущений. Большинство точных решений получено для уравнений, содержавших произвольную функцию, описывающую самодействие и взаимодействие полей, что позволяет моделировать различные'.распределения плотностей массы и > еффйктивного заряда системы, в также формулировать общие вывода в рамках рассматриваемых типов нелинейных уравнений. Найденные точные самосогласованные решения уравнений Эйнитейна и ^раицодейсТвутаих материальных полей могут быть использованы в исследованиях по теории елементарных частиц и в космологии.

4я|>0б8ция. Результаты работы докладывались и обсуждались на Ш>учМк семинарах МГУ , им. М.В.Ломоносова, кЬфедры■ теоретической 4изаки РУДН, на ШН (13-18 мая 1991 г) и XXVIII (18-25 мая 1992) научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Изложена на страницах машинописного текста, содержит список цитированной литературы наименований). ■ Публикации. Результаты диссертации отражены в 6 научных публикацях.

Содержание работы.

Во введении содержится обзор работ, которые наиболее непосредсатвенным образом связаны с проблемой поиска солитоноподобных решений и необходимостью учета влияния гравитации на их структуру.

В первой главе рассматривается задача, основанная на идеях,.

выоказанных ещё Луи де Бройлем. Изучается модель, в рамках ,12] . . \

которой атом водорода выглядит следующим образом. Ядро атома аппроксимируется неподвижным кулоиовским центром, а точечный электрон заменяется локализованным объектом - солитоноы. Модель задается лагранжианом Синга:

1= (1/2)[(в^- 1е^)ф] (д^- 1е#)ф -<п>г/2)<р\р +

+ (А./3)(ф,<р)Э/2 - (1/16*)?^*. (1)

Из (1) для полей ф= ф exp[imo2t/h], AQ и А получается сиотвиа уравнений (tl=o=1):

1ф - й ф = -0/2m)[2meAQ + íe dlv А - ег А2]ф - .

-Це/пОА^ф - (Х/2т)|ф|ф, (2)

' " ' oAq= 8ТОп5|ф12а -4Хр, ■'..■'' ' (3)

оА = АХ [í6(\*Jm|> - ф*<?ф) + 2егА|ф|2 ] в -4xJ, . (4).

..............й =-(1/2т)^ - Ze2/r.

которая согласуется о условием Лоренца.

Решение уравнения (2) ищется в виде ф= СХ)>0+ф1, где ф0-решвши>

однородного уравнения, а ф1 оценивается асимптотически, считая'

правую часть уравнения (2) 0- образной.

Рассматривая решения уравнений (3) и (4) в виде шлуоуммн

запаздывавших и опережающих потенциалов, найдены асимптотические.

выражения для вектора Пойнтинга в сферических координатах« '

Sr ~ (е2а2П4/1бто3г2) в1п2в aln2(a-flt> в1п(2Пг/о), (5) S0 « (егаПг/41Ссг3) оов9 ein(a-fit) ein(í2r/o), 1 (б)

SQ « (вгаПг/41Ссг3) ooa(a-nt) eln(flr/o),/ ,..'. (7) Далее строятся векторные линии S, которые имеют асимптотический вид (при г»а): / > '. " /

|tg9 oos(a- nt)|=PlP Р,= oonst. у(8)

(С3/С13<гг>)ln| tg(x/4+ Qr/2o)|=» -Р1 oosQ +Рг, Pgeoonat, (9) Как видно, рассмотренная конфигурация' относится к чисду, неизлучаюадих, т.е. атом стабилен. . . /

Во второй главе рассмотрены точные регулярные статические сферически- , и далиядрически-симметричныа. решети о, резкой границей для системы уравнений взаимодействующих /скалярного <р и векторного Ац полей в рамках общей теории относительности.' > ■

В ¿1 исследуется дроплетоподобное. решение в модели*- о индуцированной нелинейностью скалярного С поля; Лф^рапааан

[3J

взаимодействующих скалярного и векторного полей выбирается в виде:

ь= (й/гэе)+ (1/1б7о[гч>^ф,а-р^г^ ф(ф)). (ю)

где ф» 1+ ЛД(ф), х- гравитационная постоянная Эйнштейна, Ф(ср)-нвкоторая произвольная функция аргумента ф. Если выбрать Р(ф)=1/ф(ф) в виде:

. Р(ф)= Лф, \>0, о=2п+1. п=1,2,Э.. (11)

то в плоском пространстве-времени для ф(г) получим

• ф(г)= (1/\)[1- охр[-(2дХ/0){(1/г)- (1/г0))]]о/г 9(1-г0),(12) где 6(г)~ функция Хевисайдя, q=oonst.

Цри таком выборе Р(ф) плотность внергии конечна, в полная енергия системы равна

Гх=21СА(0-1). (13)

Во внешнем гравитационном поле, соответствующем квадрату интервала

Лвг= <Пг- (1 -гг /йг Г1 йтг -г2 (46г+в 1пг0с1фг), Н=0опз<;. (14) функция ф(Г) имеет вид:

ф(г)=(1А)[1-ехр[-(2ЧЯ/0){У(1/гг-1/Кг)-У(1/г§-1/Нг)})]0/2(15) Оказывается, что при г0-*да в плоском пространстве-времени дроплет переходит в обычное солитонное решение.

В ¿2 исследуются дроплетоподобные решения уравнений скалярной влектродинамики в общей теории относительности. В атом случае лагранжиан системы полей выбираетоя в виде:

: 1= (Я/2*)- (1/161С) [2ф>аср'аф<Г)+ ^сф^]. (16)

где ф(1)- некоторая функция от инварианта 1=Д^а, характеризующая взаимодействие скалярного поля ф с электромагнитным

Тензор енергии-импульса взаимодействующих полей определяется выражением

-(1/1бтс)й^[2фаф'аф(Г)+ Рдр^), ф^аф/аг. (17)

В сферически-симметричном случае метрика выбирается в форме:

йвг= ега(£)аЕг- егР(?)(<1вг+ в1пг6 4фг). (18)

Область значений пространственной координаты ? определяется координатным условием:

<х= 7. (19)

'Если выбрать Р(Г)=1/ф(Г) в виде:

Р(Г)= J1_2/°[(1- J)l/0- «r1/0)](1-J-). (20)

J= GI, 0=2n+1, n=1,2,3.. то для A(£) получим выражение :

ii(Ç)= 0M?)[l- expt-(2CVG/o)(Ç-£0)]]0/2 0(|-ÇO), 0=oonst. (21) Плотность энергии в этом случае ограничена, а полная энергия системы является отрицательной величиной.

В цилиндрически-симметричном случае метрика выбирается в форме

<ta2= eaT(*>ats- e2a(3c,dx2- eeP(xV - e^^'ta2, (22) где используется координатное условие:

а= 7+ р+ ц. (23)

При выборе Р(I) в виде (20) для Л(х) получается

Л(х)= (1/VG)[l- ехр[-(2СУ(7/а)(х-х0)]]а/г Q(x-xq), C=oonst. (24)

Принципиальное отличие сферически-симметричных

дроплетоподобных решений от цилиндрически-симметричных решений с резкой границей состоит в том, что в первом случае существует непрерывный переход к обычным солитонным решениям, а во втором случае такого перехода нет.

В третьей главе рассматриваются нелинейные спииорные поля во внешнем космологическом поле типа Бианки-I. Исходный лагранжиан имеет вид:

Л= Ц/2)(фАцф- V^)- тЭДн- (25)

где ^-нелинейный член, описываквдий самодействие спинорного поля

я представляющий собой функцию от инвариантов, построенных из

ut

вещественных билинейных форм. Из пяти простейзцих основных инвариантов спинорного поля,- согласно теореме Паули-Фирца,

независимыми являются только два: Ig= (фф)2 и 1р= (1ср75ф)2, остальные же, т.е. Гт> и 1у= -1д, выражаются через них. С учетом этого рассмотрены частные случаи, когда L^ выбирается н форме:

Flla), C(Ip). Ddy), Е(ГТ), Р(Г3)+ 0(Гр), Р(1в)С(Гр), где F, G, D и Е произвольные функции своих аргументов.

Внешнее космологическое поле задается метрикой

ds2= dt2- a2(t)dx2- b2(t)dy2- o2(t)dz2, (26)

где, конкретный вид функции a(t), b(t) и o(t) определяется источником гравитационного поля.

Решение уравнения спинорного поля, соответствующее лагранжиану

С51

(25). ищется в виде

ф=

°з <>1

Фа(х.у,гД)= УаШ ехрЕИ^х11] (27)

а=1-4; п=1-3; х1=х, х2=у, х3=г. Рассматриваются два типа решений: зависящие только от времени, т.е. при 1^=0, и от времени и пространственшх координат, т.е. при к^ 0. Указанные решения позволяют получить регулярную эволюцию рассматриваемой системы полей.

В четвертой главе рассматриваются самосогласованные решения нелинейных уравнений спинорного поля о членом самодействия,

являющимся произвольной функцией от инварианта 5'=фф, в пространстве типа Бианки-1.

Лагранжиан самосогласованной системы спинорного и гравитационного полей имеет вид (25), а метрика пространства типа Бианки-1 выбирается в форме (26), где метрические функции аШ,Ъ(1;) и о(1) подлежат определению. Рассмотрим только безымпульсное решение:

ф= УаШ. (28)

В атом случае при а 5=фф, решение имеет вид:

Уг(1;)= (Сг/Ух) ехр[-1(т1;- ^Р^&Ь)], г=1,2;1

У^)» (С^Уг) ехрШпИ;- /Р^)]. 1=3,4;|

аШЬ(1;)о.(1;) и Сг ^-постоянные интегрирования.

Решая уравнения Эйнштейна для метрических функций, получим,

*

(29)

где Т^й^/ОБ, -г

а(Ю» <ф3)1/э т;1/3ехр[(1/3) (2X^X3

Ъ(Ю= (Вэ/П1)1/Зх1/Звхр

(-(1/3) (X,-

о

•ь tл

•м

(30)

о (1; )= (в1 в| )~1 /Зг1 /Зехр[-(1 /3) (X, +2Х3)рГ1«•].

где начальный момент времени и 3 и Х1 3~ постоянные. Далее рассматриваются конкретные виды линейного и нелинейных членов 1М=ХЛП, если п<0; 0<п<1;' п>1; а также Изучаются

решения Как при т=0, так и при ш^О. " Исследуется ^возможность изотропизации процесса расширения пространства типа Бианки-1 при

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

Основные результаты работы.

1. В рамках модели Синга для взаимодействующих скалярного и электромагнитного полей получена система интегральных уравнений, описывающая взаимодействие заряженного солитона с кулоновским центром. С помощью интегральных уравнений получены асимптотические выражения для физических полей, описывающих солятон, движущийся вокруг неподвижного кулоновского центра. Построена картина векторных линий для вектора Пойнтинга в асимптотической области. Доказано существование сферических поверхностей, отвечакщих нулевому потоку вектора Пойнтинга.

2. Получены дроплетоподобные решения уравнения нелинейного скалярного поля с 'индуцированной нелинейностью, которые имеют ограниченную плотность энергии и конечную полную эиергию.

3. Получены точные регулярные статические сферически- и цилиндрически-симметричные решения с резкой границей (дроплетоподобные решения) уравнений скалярной йлектроДИнамию? в

'общей- теорта относительности. Показано, что в области вне дроплета отсутствуют гравитационное и электромагнитное поля, что еквивалентяо исчезновению полной внергии и полного заряда конфигураций. Установлено принципальное отличие

сферически-симметричных дроплетоподобных решений от аналогичных цилиндрически-симметричных, которое состоит в том, что в первом случае существует непрерывный переход к обычным солитонным решениям, а во втором случае такого перехода нет.

4. Получены точные решения уравнений спинорного поля во внешнем космологическом гравитационном поле типа Бианки-1 в линейном, и нелинйном случаях. Показано, что зависящие только от времени решения как линейного, так и нелинейных уравнений спинорного поля сингулярны в начальный момент времени. Введение нелинейных членов в уравнение спинорного поля в этом случае не устраняет сшггулярности начального состояния, существующую в решегзда уравнения линейного спинорного поля. Влияние нелинейных членов в уравнении спинорного поля на решение проявляется в том, чтосгошоряая полевая Функция приобретает некоторый множитель, /изменяющий только фэау спинорного поля, но не его амплитуду. : Показано, что —вследствие анизотропии космологического •

[П

гравитационного поля типа Бианки-1 решения с ненулевым импульсом (к^О) могут быть как сингулярными, так и несингулярными в начальный момент времени в зависимости от выбора направления импульса спинорного поля, причем существование или отсутствие -сингулярности не связано с линейностью или нелинейностью спинорного поля. .Этим анизотропная модель Вселенной существенно отличается от изотропной, где все решения сингулярна.

5. Получены точные самосогласованные решения нелинейных уравнений спинорного поля с членами самодействия, являющимися

произвольными функциями инварианта Э=ЦЗф» в пространстве типа Бианки-1. Показано, что если рассмотреть нелинейный член в лагранжиане спинорного поля в виде где К- параметр

нелинейности, п: п<0;, 0<п<1; п>1, или 1^= X з1пЗ, то указанные уравнения имеют как ограниченные, так и сингулярные в начальный момент времени решения, причем, сингулярность отсутствует у решений,' Списывающих системы полей с нарушешшм условием енергодойинантности (например п>2 и т=0). Далее показано, что при 1;-ка происходит изотропизация процесса расширения пространства, иша Бианки-1 когда а) 0<п<1; Ь) п=1 или л-0 (линейный случай); о) 1<п<2; (1) п=2; е) п>2, т^О и 1) 2^= \stnS. ¿днако изотропизация отсутствует когда а) п<0; Ь) п>2, т=0.

Основное содержите диооертации опубликовано а работах!

[1] Рыбаков Ю.П., Саха В., Шикин Г.II. Само согла сов анше дроплетоподобные решения уравнения электромагнитного поля с индуцированной нелинейностью.//Известия ВУЗов.Физика.-1992.-No 10.- о.112-116.

£2} Rybakov Yu.P., Saha В., Shikln О.И. Soalar-eleotromagnefcio

droplet-like solutions In General Relativity.// In: 13 Intern. * Conl. on General Relat. and Згаv., Abotraote.- Cordoba,

Argentina.- 1992.- p.6S.

[3]Саха Б. Движение солитона в кулоновском поле.//Тезисы докладов 27 научней конференции факультета физико-математических п естественных наук РУДН.- М: Изд-во РУДГ1,19910.5.

[4]Рыбаков D.n., Саха Б., Шикин Г.Н. Нелинейные сттор:шв поля во внешнем гравитационном поле йота Вианки-I.//Тезисы докладов 28 научной конференции факультета физико-математических л естественных наук РУДН.- М: Изд-во РУДН,1992.- Часть-1о.43.

15) Рыбаков Ю.П., Саха Б., НЬаоти Г.Н. Самогравитирущие струноподобные решения о резкой границей в нелинейной скалярной елэктродзна?шке.//Тезисы докладоз Э Российской Гравитационной Конференции. М: Изд-во РТА, 199Э-- 0.197.

{б] Рыбаков Ю.П., Саха В., Шикни Г.Н. Точпз:э самосогласованные решения нелинейных уравнений енппорного шля в пространстве Бианки-I.// В 'at.: „Неевклидовы пространства и новые проблемы физики" ( сб-к статей, посвященный 200 лэтшэ со дня ровденпя . Н.И.Лобачевского), fi: Изд-во „Белка", 1993-- о.30-34.

З.А

ЗакЧ бГ? Объем -/// У-_Тираж

. Типография РУДН, Орджоникидзе 3i