Каноническое представление стабильной нелинейной связности и оператора базисного дифференцирования в расслоении реперов высших порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СОТИНА Ольга

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СТАБИЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ И ОПЕРАТОРА БАЗИСНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В РАССЛОЕНИИ РЕПЕРОВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре геометрии Московского педагогического государственного университ ета.

Научный руководитель:

доктор физико-ма I ('магических наук, профессор ЕВ ГУШИК Л.Е.

Официальные оппоненты:

доктор физико-ма I ематических наук, профессор ПОПОВ А. Г.

кандидат физико-м;п ематических наук, доцент БУРЛАКОВ М.П.

Ведущая организация - Москоиский городской педагогический университет.

на заседании диссертационного Сонета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, а,уд. .2/2/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ.

'инета К 0Й.01.

Защита диссертации состоится

-1997 г. в. 7.9.......час.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссерта щ 1 о иного совета

КАРАСЕВ ГА.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Быстрое развитие многомерной дифференциальной геометрии в двадцатом веке было тесно связано с ее приложениями к теоретической физике. Многочисленные попытки построения единой теории гравитационного и электромагнитного поля, для которой риманова геометрия являлась недостаточной, привели к развитию геометрии аффинной, а затем проективпой связности.

Большое внимание уделяется приложениям многомерной дифференциальной геометрии к другим областям математики, в первую очередь к анализу, в особенности к вариационному исчислению и теории дифференциальных уравнений. При этом появляется необходимость в построении новых, более общих теорий, а именно, теории расслоенных многообразий и теории геометрических объектов ( структур) высших порядков. Исследование таких структур началось в середине ЗО-х годов этого столетия.

Понятие связности, возникшее у Леви-Чивита как параллельное перенесение касательных векторов многообразия нашло продолжение в работах Э. Картана [10], [11], [16], Ш. Эрисмана [17], но уже в более обобщенных многообразиях, которые обладают особой расслоенной структурой. Задачу определения связности в векторных расслоениях различными эквивалентными способами, рассматривал Шмид [18].

Номидзу [15], в случае общего однородного расслоения, связность вводил как дифференцируемое распределение, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Другие способы определения связности указываются в более ранних работах В.В. Вагнера [2] и Г.Ф. Лаптева [12].

Вебленом и Уайтхедом [3] введены понятия составного многообразия, как множества локальных пространств, ассоциированных с точками базисного пространства и понятия связпосга, в этом многообразии, как задание отображений локальных пространств вдоль кривых базисного пространства. Теория составного многообразия была развита в работах В.В. Вагнера [!]•

Инвариантное определение связности дает Г.Ф.Лаптев [11].Он ограничивается рассмотрением линейных связностей, определяя их как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющих определенным условиям.

Исследование связностей в однородных расслоениях продолжены Ю.Г.Лумисте [13], [14]. Связность (вообще говоря, нелинейная) в однородном расслоении вводится как отображение множества путей в

базе в множество диффеоморфизмов слоя на слой, удовлетворяющих определенным условиям. Доказывается, что она порождает некоторые связности, называемые ассоциированными с ней.

Дальнейшим исследованием нелинейных связностей аппаратом, разработанным Г.Ф.Лаптевым, занимался Л.Е. Евтушик [4] - [9]. В этих работах сформулировано строгое определение нелинейной связности, доказано ее глобальное существование в главных расслоенных пространствах и существование нелинейной связности в расслоении реперов, инвариантно определяемое системой обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

Данная работа посвящена изучению сплетения структур оператора базисного дифференцирования, стабильной нелинейной связности и системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Изучение нелинейной связности во многих случаях приводит к задаче инвариантного присоединения к связности различных геометрических объектов и структур. При этом процесс получения инвариантов и инвариантных объектов значительно ускоряется при помощи канонизации репера.

Одной из таких геометрических структур является оператор базисного дифференцирования, связанный с системой обыкновенных дифференциальных уравнений приводимого типа, с помощью которого описывается геометрия системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В ходе изучения геометрии этих структур выяснены условия их сплетения.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности темы исследования .

Методы исследования.

Основным аналитическим аппаратом исследования является инвариантный метод дифференциальных продолжений и охватов, сопровождаемый поэтапной канонизацией главного расслоения реперов высших порядков. Исследование опирается также на понятия и методы современной теории связностей в главных и ассоциированных с главным расслоенных пространствах, на дифференциально-алгебраический аппарат структурных форм и структурных уравнений расслоенных пространств.

Цели диссертационного исследования.

Цель работы заключается в том, чтобы изучить геометрию оператора базисного дифференцирования, стабильной нелинейной связности над пространством скоростей Тр (X п), поэтому возникает необходимость в исследовании канонических, тождественных по базе отображений (охватов), которые связывают изучаемые структуры.

Выявить условия сплетения структур: стабильной нелинейной связности, оператора базисного дифференцирования и приводимых дифференциальных структур в каноническом репере.

Исследовать существование линейной присоединенной, порожденной нелинейной связностью ур . Новизна результатов.

Основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Выделим важные из них:

1. Изучена геометрия структур стабильной нелинейной связности, оператора базисного дифференцирования.

2. Доказано существование охватов

<р:Зр(Хп ,т (Хп))-> Тр^(Х„), <РГ. Уг(Тр(Хп),Т^1(Хп)) ->Р-1Т(Хп), уг : Зу(Тр(Хп),Тр^(Хп)) ->3 (Хп, Тр(X„)), <Р2'^ , Тр(Хп)) -> Т(Гр(Хп)).

3. В каноническом репере для изучаемых структур оператора базисного дифференцирования и стабильной нелинейной связпости в получены новые формы, доказано, что они являются главными на этом расслоении.

4. Найдено каноническое представление морфизма стабильной связносга на структуру оператора базисного дифференцирования.

5. Доказано существование линейной присоединенной связности, порожденной нелинейной связностью ур для Нр (X ^ . Найдены структурные уравнения этой связности и получены формы кривизны этой связности для р=2.

Теоретическое и практическое значение.

Работа носит теоретический характер и имеет теоретическое значение, как новый опыт в исследовании приложений нелинейных связностей высших порядков и может быть использована как бескоординатный метод описания некоторых структур математического анализа, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

Также материалы диссертации могут быть использованы при чтении специальных курсов для студентов математических специальностей, где ведутся исследования по близкой тематике.

ь

Апробация работы результатов исследования.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа МГУ им. М.В. Ломоносова, на геометрическом семинаре Пензенского

государственного педагогического университета.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Она изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 55 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы, приводятся основные результаты, полученные в ней, сформулированы научная новизна и научно-практическая значимость работы, оговорены условия и обозначения, используемые при изложении материала, а именно

НР(Х„)- главное расслоение р-реперов на дифференцируемом многообразии Х„ со структурной группой

Тр (X „) - расслоение регулярных р-скоростей,

$Р(Х„) - 1 расслоение элементов р-касания,

^{Хп,Т(Хл))- векторное расслоение р-струй сечений Т(Х „),

J(Xn ,Тр{Хп))- расслоение 1 -струй сечений Тр(Хп),

./^(Тр(Хп),Гр+1(Хп)) - расслоение вертикальных компонент элементов расслоения 1-струй сечений Т Р+1 (X „ ) над Тр (Х„),

РТ ( X „ )- р-степень касательного расслоения над общей базой Х„.

Первая глава. Дифференциально-геометрические структуры высших порядков.

В параграфе 1 приводятся определения реперов р-порядка, дифференциально-геометрического объекта, присоединешюго расслоенного пространства на котором вводится система линейных дифференциальных форм вида

0>',Фа= {й)'к в>Кк, А ^ = с/ У1 + Ф'а (У) <о а.

В параграфе 2 вводится понятое охвата и в качестве примера рассматривается отображение факторизации

Ф : Нр(Хп)хР ¥(НР (Хп)= Нр (Хп)хр/Ьрп.

Здесь же дано определение процесса канонизации репера.

В 3 параграфе рассмотрены примеры дифференциально-геометрических структур:

а) Расслоегаюе над базой X „ пространство Т р (X „ ) присоединенное к Н р (X п) . Приведены структурные формы этого расслоения

¿У'р- с1У'р+Р> Е~ X "Г -

г=1г! а1+...+а-=раА 1 а,- "г

б) Пространство элементов касания Xп) = Т(X„)/Ьрп .

в) Пространство объектов перенесения с относительными координатами( х>V',, Г \к1 )•

Здесь же доказана

Теорема. Расслоение объектов перенесения ¿Р(Х„,Т (X„)) есть фактор-расслоение расслоения ТНР(Х „)

^(ХЙ,Т(Х„)) =ТНР(х"Ур '

где структурная группа расслоения НР(Х 1г).

Доказано одно из фундаментальных свойств объектов перенесения, то есть морфизм наГР^!(Х„)

(р: .]р (Xп, Т (X„)) —> Тр+1 (X,-,), определяемый следующими формулами охвата:

У^ГР/Етт X г^-^Г* ...

г=1 а1+...+аг=р а\1 а г ■

Вторая глава. Общая структура нелинейной связности и оператора базисного дифференцирования произвольного порядка.

В параграфе 4 дается определение нелинейной связности Определение. Нелинейной связностью порядка с] в расслоении НР(Х п) р-реперов называется тождественное по Т (X „) отображение

ГР:Т%Х„)-> Г(Х„,Т(Хп)).

Приведены структурные уравнения этой связности. Сформулирован критерий стабильности, что в относительных координатах объекта перенесения и р- скорости записывается следующим образом:

С/

Определяемая стабильно!! связностью ур дифференциальная

система имеет геометрический смысл: ее

интегральные кривые и только они имеют автопараллельную р-

скорость = (]р(х (())) =0.

В параграфе 5 рассматриваются обыкновенные дифференциальные системы порядка р +1 , приводимого типа. Доказана Теорема. Формулы

,/ _ <Р + 1>! тД- _ V тгк V

+ Р+2-е ^£В\{з-еуУ

определяют морфизм

ф хиУ(Тр(Хг), Тр"1(Хг)) жТР+\хп) Тр+1(Хп)

Показано, что

у:Зг(Тр(Хп),Тр*1(Хп)) -±J (Хп, Тр(Хп))

является обратимым охватом (изоморфизмом) и определяются следующими соотношениями:

У

] — ^(г^' -с^ ЛV' р~'+л~] н

1 р+1) р+Ь '

Доказано предложение о приводимых дифференциальных системах.

Дифференциальная система приводима, тогда когда и только тогда, когда при подходящей нормировке все отображения /£ совпадают с канонической проекцией

тР}: Тр (Xп) -> Т(Хп),

то есть найдутся такие функции /ие, что

^(Ур)-/е(Ур)- тР,(ГР), ТР(Х„),

В б параграфе вводится определение оператора базисного дифференцирования 8Р.

Определение. Оператором базисного дифференцирования др над пространством р-скоростей называется любое сечение расслоения 3(Хп,Тр(Х„))шжТр(Хпу.

5>:Т"{Хп)->^Хп,Тг{Хп)).

Приведены структурные уравнения 8Р . Доказана теорема: отображение

ср2:,) (X „ , Тр(Хп))->Т( Тр (Хп))

является отображением охвата.

Вводится понятие ассоциированного оператора как

отображение 8Р = у/ °6 р, при этом сам оператор базисного дифференцирования называется дифференциально-порожденным. Показано, что ассоциированный оператор порождается дифференциальной системой /,+',а именно:

8p=jv^■.Tp(Xn)-*Jv(Tp(Xn),TpH(Xn)).

Доказаны следующие предложения о взаимосвязи точных операторов и сильно приводимых дифференциальных систем, а именно:

Предложение. Точность оператора базисного

дифференцирования 8Р эквивалентна тому, что отображение ()р, =

(ро °8Р является сечением на Тр+1 (X „) расслоения (р+1)-скоростей, задающем сильно приводимую дифференциальную систему

5р<=Г1:Тр(Хп)^Тр'1(Хп).

Предложение. Дифференциальная система /рЧ:Тр(Хп)->ТрН(Х„)

является сильно приводимой, тогда и только тогда, когда порожденный дифференциальной системой / оператор 6 р является точ1шм, а определяемая им дифференциальная система 5 Р1 совпадаете /р+1 .

Условие точности оператора базисного дифференцирования 8Р является достаточным признаком того, что он является дифференциалыю-порождешшм, дифференциальная система которого порождает ассоциированный оператор.

Третья глава. Канонизация стабильной нелинейной связности и ее базисного дифференцирования.

Продолжено изучение этих структур в каноническом репере. В 7 параграфе доказано, что в каноническом репере

г*с - •

с учетом допустимой канонизации компонент оператора базисного дифференцирования

ряд форм из Н Р{Х ^ становится главными и удовлетворяют соотношениям

../ г-./ 5 ,,/Л

(р+1) ~ 1 р\ т & ($)>

' _ Т-' *

(0к(р)~Трк т(0 ^^

В параграфе 8 рассмотрены структурные уравнения нелинейной связности в кано1шческом репере

И^ 8*1, у'2^о,..., Гр^о.

Доказано, что с учетом условий стабильности

и дополнительной допустимой канонизации, формы

(б),а)\ >•••> СО(р) ,(0^ . )

становятся главными и выполняются следующие соотношения

(О (р+1) - 1 {р) т <*> (*),

<°(_р-\)к~ Тк(р-2) т <° <*>'

С0т(!), (я,а=0,1,...,р).

ю{.Р-\)к

I

кикр-\

В 9 параграфе исходя из построенных ранее морфизмов, при поэтапной канонизации объектов оператора базисного дифференцирования и стабильной нелинейной связности получаем, что морфизм

Тем самым выявлена связь между оператором базисного дифференцирования, стабильной нелинейной связностью и приводимыми дифференциальными системами.

В 10 параграфе показано наличие линейной присоединенной связности. Доказана

Теорема. Формы ¿у^. , ... , ¿у^ ^ определенные в Н(ТР(Х,)) по формулам

Р

задают в Н ( Гр) линейную связность.

Доказано, что связность определяемая вдоль всякого голономного пути а пространства Т Р(Х „ ) линейной присоединенной связностью, совпадает при проектировании этого пути на базу X „ со связностью, определяемой ур на его проекции.

Получены структурные уравнения форм линейной присоединенной связности, и также получены формы кривизны этой связности. Показано, что линейная присоединенная связность содержит в себе всю информацию о нелинейной связности на расслоении р-реперов 1Р(X „).

ЛИТЕРАТУРА.

1. Вагнер В.В. Теория составного многообразия.//Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу., 1950, т.8, с. 11-72.

2. Вагнер В.В. Теория геометрических объектов и теория конечных и бесконечных групп преобразований. ДАН 46, N 8,1945

3. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. М., И. Л. 1949

4. Евтушик Л.Е. Категории изоморфизмов в геометрии расслоенных пространств. // Математика. Четвертая Прибалт, геом. конфер.. Тарту ,1973, с.32-34.

5. Евтушик Л.Е. Нелинейные связности высших порядков.// Изв. Вузов Математика, 1969,N2, с.32-44.

6. Евтушик Л.Е. Связности и дифференциальные системы высших порядков. // Всес. школа теории функций. Тезисы докладов . Кемерово, 1983, с.137.

7. Евтушик Л.Е. Стабильные нелинейные связности высших порядков и редукция к ним обыкновенных дифференциальных систем соответствующего порядка . // Теория функций и ее приложения. Сб. научных трудов Кемеровского ГУ ,1985, с.48-56.

8. Евтушик Л.Е. Неевклидовы геометрии на основе обыкновенных дифференциальных систем высших порядков. // Вестн. МГУ, сер. 1, Математика, Механика ,1994 , N 2 . с.86-98.

9. Евтушик Л.Е., Третьяков В.Б. Инвариантное описание обыкновенных систем в терминах нелинейных связностей . // Изв. вузов, Математика, 1986, N 1, с. 21-32.

10. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связностей. / Казань ., 1962 , с.210.

11. Картан Э. Группы голономии обобщенных пространств. / Казань, 1939.

12. Лаптев Г.Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований. // Труды 3- го Всесоюз. матем. съезда М., АН СССР , 1958 ,т.З, с.409-418. 13. Лумисте Ю.Г. Однородные

расслоения со связностью и их погружения. II Труды геом. семинара., Т.1,1966, с. 191-237.

14.Лумисте Ю.Г. Теория связпостей в расслоенных пространствах. В сб . " Алгебра. Топология. Геометрия. 1969. / Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР/"- М., 1971, с. 123-168.

15. Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. // М.,1960 г.

16. Cartan Е. Les espaces a connexion projective. Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу., 1937, т.4, с.147-159.

17. Ehresmann С. Les prolongements d'une varíete differentiabile. / Calcul dts jets, prolongement principal CRAS Paris, t.233, 1951, p.598-600.

18. Schmid ]., Zum Begriff des linearen Zusammenhanges. Monatsh. Math., 1964,68, N 4, p.326-367.

1. Сотина О.Г. Линейная присоединенная связность над пространством ТР(Х„). //М., Моск. пед. гос. ун-т., Деп. В ВИНИТИ., от 17.12.96., 3698-В-96., 8с.

2. Сотина О.Г. Каноническое представление морфизма стабильной нелинейпой связности на структуру оператора базисного дифференцирования. // М., Моск. пед. гос. уп-т., Деп. в ВИНИТИ., от 17.12.96., 3694-В- 96., 16с.

3. Сотина О.Г. Каноническое представление оператора базисного дифференцирования. // Тезисы докл. междунар. геом. семинара им. Н.И. Лобачевского., Казань, 1997, с.27.

4. Сотина О.Г. Объект перенесения как структура нелинейной связности. // Тезисы докл. конфер. " Содержание и технология разноуровневого образования "., Новокузнецк, 1995, с.51-53.

Публикации автора по теме исследования: