Нелинейные связности в геометрии обыкновенных дифференциальных уравнений высоких порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

' ¡/ЯСШіЗСіШ ГОС/ДАРСШШЯ ШйіРСПМ' '

. №/01!!! В ЛОМОНОСОВА ■

і■

По:<;иглко *• мгтснатичзсш.І /кпсудьтег , •

. На. правах рукописи

. ІЇІБОШІп йя Дяемалогяа ■ ’

. Ш 514.73

НЗЛПШ&СЕ СВЯЗНОШ В. ГШЗТРИИ ОЕДКНОВЗНШХ • '

Жйершщшшх уражіш шсошіх пскідюе'

01,01.04 - гвомзтрия зі топология

А В Т-0..Р Е ї> Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена ка ка^одро адге&рн н гоо^Зч’рг.ц > • " ' -Тбилисского государсгшиного университета т. И. Дуаэажптили.

Научный руководитель - дсжгор физико-иаг'сшгичаснк наук,про- .

. , . ¿Ьэссор Л.Е.Ев^уш» '

■ Офищшяышо оппонента : доктор физи«о-ма*виатичоакйх н&у^проь,'

. Н.М.Оотшу ‘ . - ' . ,

■ . ’ доктор (!>изикО“1!а1оиатачзс1а!зс наук,пред.

' Е.В.Ийкш ' . -

Вздувая 'организация -'МПГУ им. З.И.Лошша . ' ■ ■ ■ ,

Запрета диссертации состоится 16 оетнзря 19иг» г; 16 «а заседании специалазнровашюго сонета Д.ОьЗ.05,05 пр;-. {.«скояскэм рооударстдиов ушшерсихото »~м, М«В.Лэ::ож>оой% пэ здр-эг-у : '

. 119893, ГО1-гК0С1ша,Лвишюкй0 те1адД1№,изшшконш7а!тиш^;;к11а.§а~ кулагог,аудитория 14-03. . . • ■

. С диссортш;ие£! мохпо озпажкштсл » библиотека «охышко-цйта« катического факультета МГУ / 14 этаг. /. '

’ Авгорефвраг разослал ' 1952 г. • . '

Учошй секретарь ■. • . > .

специализированного соаота ' : . . ■

Д.053.05,05 при МГУ '. . ' ...... '

доктор фкаако-матсттичесвих наук '

• В.Н.Чубарцков *

ЛетУЛШЮСТЬ ТКЙ . Цдсгт связности остаётся одной па цзнт-ральгегс идо Я диЭДерсициалыгаЯ геометрии,а роль и удельный вес исследований по геометрии пнсаего порядка в мирово,'! геометрической литературе о послодніїв гецн наукломио возрастает.Поэтому теория структур Еисшге лор.тдкео и связностей на этцх структурах явля-стся одним из па-отіх направлений з современной дифференциальной геоштрии. Настоящая работа а по тематике- я по методу -исследования принадлежит атому налравлешп>. .

Інтенсивная работа а исследований структур вчетя порядков и связностей на тяс качалась в середине нашого Еока работами . З.В. Взгкера / і / 'л 13.Эрес;.'.ала / 3 / и продолжает бурно раз-

виваться я з аків вреїхя. Появление Аувдалеяталышх работ „'Лаптева /3 / и Л,12.Васильева ¡4 / позволило ставить и резать сяогяые задач:!,резегея» яоторнх ргяее едвргавалось из-за иесо-гераенстза методики исследования. Одаим из возможны* обобщений ■

. структури связности являются ”-зг2£ейі-:е связности произвольного порядка,строгое оар-здележ» готорзис Епервкэ бнло с&ормудтіровано Л.Е.Звтуииком в его работах / 5 , & /, .

Предлагаемая работа касается структуры нелинейной связности присоединенной ~ данной системе с^цйивешпис дифференциальных уравнений. При .эгоа задача пссяэдозаиия геометрии уравнения формулируется следуя^! образен ; пусть на дійференцируемом ¡сгогообразки V задано*ялф$еренциальноо уравнение Г .

действует группа ; требуется -отыскать свойства совокупности интегральных шогообразий уравнения і*"* • инвариантам

тносительно группа ^ • . Уравнение {<* , истолкопнТ>і?тся

как уравнение подмногообразия л/ пространства T(V,) кагателышк

элементов /'необходимого порядка / многообразия • V . Разу-

ыеетсл на действует соответственно продолженная группа .

Продолжая фундаментальный объект многообразия Ñ , палу чао и

последовательность продолженных объектов,которая и описывает

гвоматрию шегообразия 'г/ ,т,е» геометрия уравнения F ,

Первой cy^ocracHHoÜ работой рассматриваемого характера • ,

едодуеї считать статью Д. Картона / S /,опубликованную в ISC4

году»в котороп с уравнением - ~í'(~ ‘с/ ’¿‘О связана

так называемая нормальная проективная связность. В JOtl году

Э.Картшюк опубликовала работа і 3 /в которой с диіфорзнци-

алышн уравнением уже третьей степени

т Р / г н\

связывается псевдоэвялидова связность. -

В работах Дюбурдьо ' и Чтеня }посвпцёишх

геометрическим проблемам уравнений первого,второго и третьего-порядка также возникают вполне определённее связности присоеди- • ценные к исходному уравнении. • ' •

Геометрические идеи Э. Нартанаг на шогомарнні'. случай били поренасены Дугласом .которий' считал, что геодезические

лишш пространства эго решения системі . • •

. , ,

где п " произвольные однородные функции относительно ,

К геометрии таких систем дигЬференциачышх уравнений относя1 са наследования Всблена ,Р.З> .Лаптева ,Н,В;Сте~

пшюва ,Чжевд к др. 1 . %

,• ■ Редукциями обыкновенных длрферонцнальних систеы к структур подшейной связности занимались.Л.Е.Евтушик,В.Б.Третьяков,С.ЇО.Іі о'акога / сы. АС, Л, ÍZ , ÍS / - по структуре систеїаі '

диМ'вренциалыых урашсниіі іишаришггішм образом строится структурі наянлз:1і;л:і спяэиосгп соогоотств,у«-(аго порядка,в свою очередь проакгируичо!! о исходную систему. Работ»»’ проиодснн для систем до чстг.ортаго порад;«, лкяочіггяльно.но полученніпс результатом оказалось і!едс»с7ато«ио дюі оЛобдояд их на произвольнші порядок. Возникла ПОТр'їбНООТЬ р^СНИП ЭПДЛ’Г.! родукции систем обыкновенных

п>4 .

дііі‘о;.")іш.:іп.»ьі«4Х уравнений порядка к структуре нелинейной связности, чг о и решается а предлагаемой работе для систем пятого и шестого порядка. ’

ЦлДЬ РЛБО'И. Цель работа заключается э следующем :

\ *

а)- прозеспг редукцию структуры системи обыкновенных да$ферен-циалыих уравнений пятого и шестого порядков к структуро нели- ' кеМиоЙ связности соответственно четвёртого и пятого порядка ; определить к г?п.ко:іу виду нелинейных связностей относится связности получаемо для уравнений сильно приводимого типа ; найти геометрический ег.кел угайшшоЯ редукции !

\

. 6J - по ггрипздешгьы дифференциальным системам пятого и пэстого порядка найти связность Картона к соответствующую группу прзобра-oodshhíU .

ШТОД ИССЩОЗАНйЯ. В основа иссяедоиаиия летдт понятия и >;стедч современной теории--связностей' а главных: и ассоциированных с г-лапккми расслоенных пространствах,таких,как струи отображений игезих порядков,касательное расслоения и операции над. і г, тми ; ■ дг.Ьрерзнциально - геометричэский аппарат структурных форм ¡I структурных уравнений расслоенных пространстз . Суцостаешо используется МЄТОД Продолжений И охватов ДК^ЗерЭНЦнаЛЬПО _ PQO-ї'.етрНЧООІГ.ІХ структур и общем или каноническом репере

НАУЩАЯ НОВИЗНА .

а) - ИроеаДєна радукцяя структури систем обикножіннііх да^оран-цкалылк ураїнаїшП пятого и шестого по редко и и структур гм нели-не.шой связности соотастстнонмо чатвёртого и пятого порядка ;

б) - для систем сильно приводимого типа доказала стабильность

пояучазинх связностей ; ' ‘

^ - найден гсоматричаский сшсл редукции : кнуогрояьшо линий іісходіїоіі р-системы и только они обладают автопарадлсг ыаши р~1 -

- скоростям:! в смисли пол/чаацой нелинейноЛ связности р»5;б ;

і) - по приводенннм д^еровдалыга систимші п.чтого и шостого порядков оосстаиовлзни соотватеї'ауігуїа структури;^ уриииекия сильно приводимых систем, получена связность Кар?дна и найдена сосгватстоущая группа преобразований. .

ПРАКМЧЗСЖЯ И ТВОРВПММЛИ 1£ФЮ?ГЬ РЛЕ0Ш . продлагаашл работа (.тот быть использована в болоо датальиоч исслодоиыма приложений нелшюйных связностей высших порядков К їсорил Д«КрО-ренциальньпс уравнения на осмосе построенной штодиіш. Крома того настоящая работа может рассматркнагся как дополшгїольиніі опит‘в ИССЛОДОБОІШП структур шекк порядков па гладких многообразиях, Ч£о представляется важнілі эвзду отсутствия достаточной практики ксслодовашш в этой области. . *

АЛР0ВАЩ1Н РАБОГі . Результати диссертации докладывались и обсувдаллсь па Ш Всесоюзной школо / Кемерово,1930г. /,иа иаучне семинара кафедри алгебри н гсомэтрга ТГУ / руководитель про',и Чэгоиашш Г. С* /. ,

ПУШШіСАЩШ . Зсо оенэшме результати диссертации опуожико ршіи а работах /16, ¡7, Я13/.

СОДЕРЖАНИЙ ДЯСЖРТЛ.ШГЛ

диссертация изложена на 101 страницах шиинописного текста и шмочаот введение,две глаш и сгшсок :гатературн из 44 найменованії;!. .

Для рассмотрения основных результатов представленной работы пообходимо вспомнить и©котор»о определения и известные ранее факты .

Если двести обозначения : Н - главное расслоение р-ропо-

роэ на дифференциальном многообразии 1{ со структурной группой

* ГТНГ(\£) ” ТН^Ул)/- пространство объекта перенесения порядка ' р ; ЛН\Ч) , ГША1 - его фактор по группе гомотетий; г^и). т(и)/ц - фактор расслоо- '

нив р~ элементов касания на V*. то существует коммутативная ди-

. і

аграмиа послойных отображений / охватоз /:

Диаграмма 1• '

Определение Г. Баз.чсшм да’^еренцлро.'Зашюм над пространством ТГ(7.) р - скоростей назовём любое сечения пространства Ч(Уя,Тг) над Т‘(\0 иок над базой': ‘

- в -

<Гг-. Тг(м) —~ у(\'п, гґ(и.}

гдо расслоенио і - струй СОЧ-ЗИП!! • '"Г^ч) 1ШД и. О

Детально об этом читайте в ! \к /. ,

■ Определение 3. Класс П прііводц,\ах дя^е рснци алъних енгтем

составляют ди£$врснцаальныо систоиы ,проок?!;руе^::д и

скисло диаградши I в еечонпе •

: £<•(«.)_ ^'(к) которую назовём приведённой, '

Определенно 4. Класс Пі сильно прибоднул х дифференциальных систем составляют системи оператор базисно!1, ароипьодной

которой ЯШШЄРСЯ- ТОЧНИМ / СМ. /)<(//. •

р «л I

Верна хсоромз 2. ДиЭДаронцлальная система а [~1( п тон и только п то« случае,если . '

(л-<-7-0. ^-.г> V,1

гл° ПС ¿ііт . гг-л Г^' /гл Г*Л

І а.ік “¿__і ' Ур»< е '/ Н' о*- *«*•/

суть компоненты оператора базисной иронзводно!;«

Определенно 5, Общий класс I • полшюПшіх связности:! порядка р составляют нсевогмо-ягос отображения

ГМ-^Г^М-УСгЮ ■

нроэктируоша в тоздоствешое отобратеїша •

«Ьт(у.)—т(У.) '

Определение б, Класс ГГ Р ~ стабильных связностей составля Юг’ У^е Г" ,проекї11русшо I

(¿¿ТгЫ)~Тг(и) ( .

В работах / *" ! изложен общпП аппарат налинзіїшх си.із-

ноохей применительно к расслоен.:ям рзгіеров,

РйССЛООНШЭ .1 Г(}/г) сгвечао^ система СіруКГурКНХ фора

<*>', Ц >-ріУ^-к^ с< ь

ґп- Гр)

л расслоеіпт 'З ('Г(У*'!) обгочта пьраносопил

,.о‘, ау; , ¿п.», +£:г(;,...ыи>1,.. »,> -

_ Х:г! СО|,.| "• * V*! (¿у, , , (<}• *.р)

Тягой с5рлгзс.!,з силу опрпцолеш'л і>,сплзкосп, уг ой^еі'о ?і:пг>. &п\н«,№‘"їаі скстеїоЗ сгруктурги« урашюний

• д ті. ц - гі-ц с ду?, (лу; - </), (у* .

ИооЗходіп.зд и достаточные условия р - стабильности нолішой-• Ґ

по.'і склзнозта у и огносителыга координатах пмоэт шщ

7»1 ■ ^£г*£г„4<-ДО Г‘‘ ‘- “’•

Опродояпє’,'ля р - стабильной овязизоіьо в силу дкаг. І .дкЗДаран-циальигя система ■$' ; Т^К.)—

'■імуо? геохоурітскя.'І с:-.иол і сё ітоградмто ліш:м и только они ы/ггзг штжррзялалыгу.э р - скорое/;1!., что в относиталывгс коордк*

п.тгах шрмаэтся ¡гак 91^* )/рі ці^*' Д' *

* Гу*- V, = 0. ■ ' ' ' 1 Р

возникает принципиальная задача научиться іЗшариантнш .

способом присоединят!! К заряноэ ЭЯД!1ШгофнаТ9',3 связность

, у1" стабильного типа,проектируем/о я сястоиу а указан-

ном шш с:.!Усл?,радуц«РУЛ таким образом ди^оронцчзльнуп систегіу К ЧЗЇСТО ГООІіЗтрИЧбСКОІІ структуро нолинойноЯ связности,дли кото-. ро!і і::і уг-'рои строить диЭДтроициальнш инвариант«. В рогнзшш этой задачи суцостпзнну» роль ирраог порэддошгнМ системой дкр. опарл» тор $г . Исходіпзд яшгаогел то,’¡то оператор ,Ґ: Тг(\'0>'’'Ч(Му1Т(к))

. ПрО«;;тиру«ГСЯ з ОТОбрг.Г-.МЦ'Л ^ •' . 7'(^) ’

котороо лпляотс.т свляїость.'з п расслоен:« ропероо

пзреоге порядка, !.'о'.и:о обпаруг!п,ь,ч?о ^ ость применение о«"-

ратора ^ к ttpooKijmi

V: Т’М— Г(\{) , f - сг; Гг)

Обратимся к случае систем проя?вольного порядка

, * <-г

вообще гонор»: р “ кратное аримонз.-ш оператора о к *. кв-

ллегся отображением ц пространство йодуголономник р - струп /см.

бгОТт): T'(V-)—J'(V..T(V.i) . ■

Определенно 7 . ДнЭДеренциальную систему ¡1, назо-

вем провальной,если (6Г)Г (с) действует в пространство голо-номных сгруй „ , . , „ . '

, (Srf(t)n-,(v.)—j(V..rM

Т.П. является НОЛШІОіІНОЙ связностьо ^» (^У^) порлдка р ,

Яспользуетай о данной работе общий путь построоикл по сио-

If* ^ Т ’

тема і искомой нилинойноЯ сеязности У стабіїльґ^по

jl’ll

типа,проектируемся в изначальную систему <j f nor.no сфор^ мулкровать следущірг образш. Искодш^ объектом является ysi щаяея у нас нелинейная сиязность в расслоении рвпоров парзогі}.

т J

порядна у., .объект порвяосеяия которой

Г'*1 г-'t і \/к Р * І Є “ 1 * рТ *[>•* е ,

определяется из формул

гіи-^ср;.,.,>с^-Ун <г*'г£н- (>■<■

. jr ’

и удовлетворяет структурним уравнениям '

г; - г; ик, ■ г’ Л. vTui. -¿Ь гс‘ 1 avs"

Если система 4** сильно приводима,то из критерия сильной Приводимости В частности следует,'¡TO V* - Г*с Vj - О .

ДальниПияЯ процесс будог состоять в применении к последим услсвкям (р О- раз оператора полной производной Я~ ,

, Рг< *

внраяонного в силу енлыю;: приводимости систем -г через

базнснуя производную. Получоншгл ?аки;л образом соотношения» с иочощью условлл Сіїлиоа приводимости удается придать ^орыу уело-іній стабильности, ¡гос-ЭДициэнти которых, пира*зит;о ч-зрез баяисіше

* г—. *

производило от ! е ,образуют обьогст ис.чоиоЛ нэлннейноЛ епчзноо-ти.Реиенно задач для р “ 5 н р « 4 поспті'аиц §1 глД и гл.й,

Конвчша результата о'юрмулировзш а ввдо еладущих творен СООТВОТСТЕОІШО ДЛЯ р » й И р » 6 !

Гсороіла. Дифференциальная системи ^ є Г]< ■

4Р: гг'М~тг(и)

в полоцьч струп /р-!)- го порядна ,

,ігЧг-тг'Ту.)-Л'"І(тг(і,.).тгЛ0)

опродолле? нэлино.шум стаоильиуг» связность р-1 порядка проекти-РУИЧУЯСП н исходную '¡^ - СИСТОЧУ *

которая в евоо очэродь ггыполцлаг функция систем.1; диМоренциаль-них уравнений лімііїй н:і многообразия \4 с актопараллальшии относительна .чолучаїшо/І связности скоростями (р- /) - порлдка, Оглоткм ?'пяо,что а.птором приведет; и улрсіяс-іпшо пзрианти указании* теорем, справедливих для, правильні« диЭДоренциэлыи« систем ; сопутствующий результатом моето считать получешшИ признак правильности дифференциальной системі пятой и кастой стопок1!.

Кроно указанных задач радугами и предлагаемо.? работа рошп-отсд задачі! построения связности ¡(артана л о заранее заданной приподонной диф^вронциальноЯ слстеиз пятого и шестого порічна. Поимка таїс-о соотаатстпукцад группа прообраэоанниЯ. «Задача решена пути?! соотпатстаукцого продолжения исходного уравнения и нтддездацих квноштциЛ рзпороп. Днзлагичшэ задачи розаэтся з работах Л.Б.Евг/яш:а и С.Я.іЦзрІагопзД Д’"і пр'лводекшк систем третього и четвертого иорядкоя.

- îh - . Конош!н0 рад^іьтаті: оЬо{%улироаали и §2 глЛи гл.Й п г>:«дв .слвдущих wopasi дл>; р « 5 н р « 6,

Toop'.i.v.a , &іКЬораіщпоямізя енська 1 : $' (X*J каноітчссгаї порогдает. д) сильно приводочул скот«\у j --*• 7 '(%•) ,про«стирувм.ую в исходаую ; б) жшоїшуа езяаиость іїар-

Ґ'И/Ч' ■> 'її/

тала с балол с> \Лл/ ,с формами епязносгн бі> , t*>* , соч ,

' і с t С

¿Ое « *^0 , * •' » CO{,.»î

it сгруктуриай Х'Р/ППОЯ г '

■ ) І

1 - * ^ * J г 1 р* ґ1 Ге ~ V

^ ~ 7 г»в * i-e **'vc ц

С і Я +• Cv

X

«* І <1 й І (\>.j / і у5“* , * ч

^ * -* Cj + Çfjc ■» - + rrfyjxL fai T /~л)

(LU^ctf ’ 1 '

Автор гяракаот глубокто пріізиптсльноот:-. uay^jiov.y рукаводигеяк пра'і. Л.г’.К.итулщку зч цечнно совога и.постоинзюо внит'ляио к робото. ’

- Использовмїіш: лмторатур^ ■ ,

1. Загнер Ь. à. Теория состпвлого >,шогосбрат,іа//Тр. сомжіара г.о ввіїторному и тензорному штюу.Вал, 6ІлЮ,с, 11-72. г. EUC г>К>Л.ПП. С. Us' P'iûhfitjt!rtenls. d'une vaiieie 4eailûiifc. CVÎîuJ Je і j'tts , profoyemcni principal

CRPS Раче s , і ¿33 , №i , p. S32 ~ 600,

b. Л-чптсв Г.т. іамфереициакьиан гвомстрия погру’кониих миогсобра

зиїЦ Теоретико-группош.! могол ду.'фйрс!г.иіахьно-геоузтр;;чзсї!и:< нсследоваш.У/їр. Иоск. мате.чатического сбцесгва.ІЗЗЗ.т.й.о. 27ї -.382,

4,. Васильев A.M. Обцие иивариантше мат оду в дифференциальной гооно'гр:ш//Дог(. АН СССР,19о[,ШХ,1,с. ñ-7.

5. Евтушик Л.Е. Нелинейныэ святости шспих порядков//Иэв, ВУЗ-ов,!.!атеиатшса, 1939,2, с. 32-44.

6. Евтушшс Л.К. О но-яинсЛних связностьях/ЛМ^т. Ш1,!Я2,Ы62,

о. I¿o-I'J7. '

7. Евтушк Л.Е. НслинеПииз свллцосш и расслоениях реперов гасяих порядков и ди^зренциалышо олератори//Прибалти!1ская гоои, кон’Ьорешдея по вопросам дифференциальной гоояатрии,5-я,таз. докладов.г ДрускшшнкаЯ, 177В.-С. 25.

, 8. Кар-ган 3. Пространства гф»иi о а,проок г н вио а и кон^орьаюЯ связ-яосуой//11орввод с (рранц. Казанский ушшорентвт.-Казань, 1932, с, 210. 9» Сал1й.ч. £, J-x yeoinel'и.0. ¡Je JLas c^uac^ones

_ 'leiiCtß. fes Je íc-z сег ordtn , Rev. rrai. -/iiiy> ~0/»é-'t . J.9U , Sex 4a. I ,

10. Евтушик Л.Е. Сплзности и да^еренциаяътю систеш! висшнх

породков/УТозиси докладов ВсосоязноЯ и.тоет Toop:iii фунщш1.1£еиеро-во,1‘ЛЗ,с. 137. ' ■ ‘

11. Евтугаш Л. Третьяков В.Б. О структурах,опрэдеяяешх системой обыкновенных дкЬ^оренцналышх уравнений еыспого порядка//

Тр. геометрического соишарн, 1974,т.6,с. 256-250. -

12. Евтушик Л.Е.,Тратьлкоэ В.Б. Инварнантшо описяшо обыкно-

венных систем в тертчгк кояинййшх спязностеЯ//Изв. ВУЗ-od, Математика,1985,т.1,о. 2I-3Ü, ■ • '

> ,13. ЦерЗакопа С.Ю, Нелинейная связность свободного ачта,ассоцин~ рованнал с дифреретмалымЛ системой третьего порядка// Рку. депонировала п ВМНПГИ ¡Я 265Г-85,22.04.19&5г.

14. Евтушик Л.Е. Оператор базисного Дії^оронцировашш над прос-

транством р - скоростей и его геометрические пршюкснші//Тартус-кий Г/,Теоротичзские и прикладные вопросы математики,1935,о. £8-33. , . . - .

15. Евтуашк Л.Б. Геометрия системы $ (X»)—* Ь'|х,)//Ш Всесоюзная % * ' ’

скола,"Понтрягкнскио чтенияУОптималыюв управление. Пвокетрия и анализ.Тезис» доклэдсш.Квмарова,1590,0. 24. .

Публикации автора по тгаггэ дассортаціш

16. Мабоння «.Д?» Редукция сильно привод-ясіх слотом пятого па-'

рядка к структур« стабильной нелинейной связности// ¡'«оматркчос-кий сборник, іСалияиніфздскиі! ГУ, 1990,с. Ш-23. •

17. Мобонкя И .А*. Редукция сильно приводимых ді'і’с -з ре нда алькы<

систем шестого порядка к структуро стабильной нелинейной связное-тк//іі1 Бсас, школа,Пснтрягннскио чтения.гОптималькоз управление. Гоометрая и анализ.Тезисы докладов, Кемерово, 1990, с. 45, *

18. Мобоиия Л.Дх. Линейная связность обыкновенной ди^ферскциаль*

nc.ii системи $*(**)// Рук. деп. п г. Тбилиси,ГрузіШНТ)

Р 773-гек от 05.03.SRp.

19. Цобония И.Дж. Структура линейной связности дифференциальной

системы шестого порядка// ?ук. деп. в г, Тбилиси,ГрузНИИНГД, Г7?4-Г32 от 05.03,Шг. " ' ’