Кардинальные инварианты и бикомпактные расширения топологических пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

РГ6

11 НОВ ^^ На правах рукописи

Грызлов Анатолий Александрович

УДК 515.12

КАРДИНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Москва 1996

Работа выполнена, на кафедре алгебры и топологии Удмуртского го сударственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Архангельский, доктор физико-математических наук, профессор Н.В. Величко, доктор физико-математических наук, профессор В.И. Малыхин.

Ведущая организация:

Томский государственный университет.

Защита диссертации состоится ". . 1996 года

а 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносове по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан ЧШШМI 996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Кардинал ьно-значные инварианты являются одними из важнейших характеристик топологического пространства.

В [l] П.С. Александров и П.С. Урысон ввели основные кардинальные инварианты пространства, получили первые фундаментальные результаты, определившие направления дальнейших исследований.

Новый этап в развитии теории кардинальных инвариантов, начавшийся с конца шестидесятых годов, связан с именами A.B. Архангельского, В.И. Пономарева, В.В. Федорчука, И. Юхаса.

После решения A.B. Архангельским знаменитой проблемы П.С. Александрова о мощности хаусдорфова бикомпактного пространства с первой аксиомой счетности [2] актуальным и важным направлением исследований стало получение оценок мощности пространства при более слабых, чем бикомпактность и хаусдорфовость, условиях.

Исследование бикомпактных расширений топологического пространства, прежде всего стоун-чеховского бикомпактного расширения, как одной из важнейших конструкций, связанных с топологическим пространством, относится к приоритетным направлениям развития общей топологии.

Стоун-чеховские расширения дискретных пространств занимают особое место в этой теории, что определяется простейшей структурой дискретного пространства, универсальностью свойств этого расширения, которая обусловлена возможностью естественного вложения его в различ-

[1] П.С. Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах //М., Наука (1971).

[2] А.В.Архангельский. О мощности бикомпактов с первой аксиомой счетности // ДАН СССР, 187 (1969), 967-970 .

ные бикомпакты, а также широкий набором интересных свойств этой конструкции.

Особый интерес представляет здесь изучение различных типов точек наростов расширений.

После того, как С. Шел ах [3] показал невозможность " наивного" доказательства существования р -точек, одной из главных задач теории стал поиск и изучение точек, близких по своим свойствам к р -точкам.

Эти вопросы и рассматриваются в диссертации.

Цель работы состоит в решении ряда естественных задач общей топологии, относящихся к теории кардинальных инвариантов и бикомпактных расширений топологических пространств, получении оценок мощности пространств, изучении точек наростов стоун-чеховских расширений дискретных пространств, таких как слабые р -точки, 0-точки, исследовании свойств бикомпактных расширений.

Основные методы исследования. Используются методы общей топологии (методы теории кард инальных инвариантов, теории бикомпактных расширений и т.д.), комбинаторной теории множеств ■

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие:

- получена оценка мощности Т\ -бикомпактных пространств через псевдохарактер;

- получена оценка мощности Я-замкнутых пространств через Н-псев-дохарактер;

- получена теорема о структуре точек бикомпакта, как стоун-чеховского расширения своего подмножества;

[3] S. Shelah. On p -point» /9w and other results in general topology jj Not. Amer. Math. Soc., 35 A-365, 87T-G (1978), 49.

-з-

- получена конструкция матричных точек для сцепленных матриц;

- доказано существование 0-точек в пространстве ßuj ;

- получены слабые р -точки, обладающие различными наборами дополнительных свойств;

- доказана теорема о существовании попарно несравнимых матричных точек;

- доказано, что матричные точки являются точками ненормальности нароста расширения дискретного пространства.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории кардинальных инвариантов, в теории бикомпакта их расширений как дискретных, так и общих топологических пространств, п теории ультрафильтров.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на кафедральных семинарах кафедры общей токологии и геометрии МГУ им. М.В. Ломоносова, на семинарах профессора A.B. Архангельского, профессора В.И. Пономарева, профессора В.В. Федорчука в МГУ, на городском топологическом семинаре г.Екатеринбурга, на ряде Всесоюзных конференций и симпозиумов, на международных топологических конференциях в Ленинграде (1982 г.), Баку (1987 г.), а также на топологическом семинаре профессора М.Е. Рудин (Виско ней некий университет, Мэдисон, США), на топологическом семинаре Карлова университета (Прага, Чехословакия), па топологическом семинаре Института математики Вол г. АН (София, Болгария), на Весенней топологической конференции США (Аннаполис, 1982 г.), на Двенадцатой зимней школе по топологии (1984 г., Срни, Чехословакия), Еа Пятом (1981 г.) и Седьмом (1991 г.) Пражском топологическом симпозиуме (Прага, Чехослоаакия), Венгерском топологическом симпозиуме (1993 г., Секзард, Венгрия).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в восемнадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации - 209 страниц, библиография включает 95 наименований.

Краткое содержание работы.

Обозначения в работе стандартны. Так, |Jf| - мощность X, t(X) -теснота, ф{Х) - псевдохарактер, d(X) - плотность пространствах, ßX -стоун- чеховское расширение пространства X.

Глава 1, состоящая из трех параграфов, посвящена вопросам теории кардинальных инвариантов пространств и их бикомпактных и счетно компактных расширений.

§1 содержит теоремы о мощности Т\- бикомпактных и Н- замкнутых пространств.

Вопросы о мощности Т\- бикомпактного пространства с первой аксиомой счетности и Н- замкнутого пространства (они всегда хаусдорфовы) с первой аксиомой счетности возникли после решения A.B. Архангельским [2] в 1969 г. знаменитой проблемы о мощности бикомпакта с первой аксиомой счетности. Первый вопрос был поставлен A.B. Архангельским, второй - Н.В. Величко.

Основными результатами этого параграфа являются ответы на эти вопросы, содержащиеся в теоремах 1.3 и 1.7.

1.8 Теорема. |Х[ < для Т\- бикомпактного пространства X.

1.7 Теорема. Пусть X - II- замкнутое пространство со счетным Я-псевдохарактером . Тогда |Х| < 2Ш.

Несколько изменив доказательство теоремы 1.7, можно получить и теорему для общего случая Я- замкнутых пространств:

< для Я-замкнутых пространств, где грц(Х) - Я-псевдо-

характер X ( теорема 1.9 ).

§2 главы 1 посвящен вопросам, смежный между теорией бикомпактных расширений и теорией кардинальных инвариантов.

Здесь, прежде всего, решается вопрос: когда бикомпакт X является стоун-чеховским расширением споего "не очень большого" всюду плотного подмножества ?

Важность этого вопроса определяется тем, что структура стоуп- чеховского расширения достаточно хорошо изучена и стандартна для различных пространств, что облегчает изучение свойств пространств.

Ответ на поставленный вопрос дает теорема 2.1, являющаяся основной в этом параграфе.

2.1 Теорема . Пусть X - бикомпактное пространство, А С X - всюду плотное подмножество .

Тогда X = рВ для некоторого В С X такого, что Л С В, |Я| < В нормально и счетно компактно.

Из этой теоремы следует, что если мощность бикомпакта А' существенно больше плотности, то есть |Х| > с1(Х)1ГХ\ то "лишние " точки из Х\В имеют стандартную конструкцию, как точки стоун-чеховского расширения "не очень большого" нормального счетного компактного пространства В.

Так, из этой теоремы следует, что бикомпакт В.В. Федорчука [4], то есть наследственно сепарабельный, наследственно нормальный бикомпакт мощности 2е, есть стоун-чеховское расширение некоторого своего подпространства мощности с.

В случае Ы-нормальных пространств (ими являются наследственно нормальные пространства, нормальные пространства со счетным характером и счетно компактные пространства со счетным характером ) множество В из теоремы 2.1 обладает еще одним свойством: всякий бикомпакт К С Х \ В конечен.

С помощью подхода к изучению пространства как стандартного расширения некоторого своего подпространства, мы можем получить некоторые новые оценки различных кардинальных инвариантов как, например, мощности псевдобазы (замкнутого) множества F С X в пространстве X в зависимости от свойств F.

Отметим в связи с этим следующий результат.

2.15 Теорема. Пусть X - регулярное пространство, F С X -М-нор-мальный бикомпакт. Тогда ip(F,X) < ¿""(F) xf(X) s(X), где xf{X) = i«p{x(x,X) :ief}.

Отметим еще один результат, связанный с понятием свободной последовательности, введенным A.B. Архангельским.

Если А{х,Х) - супремум длин свободных последовательностей пространства X \ {х}, (t(x) < А(х,Х) < з(Х)), то получаем:

х{х,Х) < Аы(х,X) для/id-нормального бикомпактах (теорема2.17 ).

[4] В.В. Федорчук. Вполне замкнутые отображения // Матом, сб., 99:1 (1976), 3-33.

§3 главы 1 посвящен следующей проблеме.

Теория кардинальных инвариантов, наряду с выяснением кардизаль-но-значных характеристик тех или иных конкретных типов пространств, по самой своей природе ставит своей задачей также нахождение как можно более общих теорем, объединяющих различные кардинально-значные характеристики различных типов пространств.

Так, А. Хайнал и И. Юхас получили свои теоремы [5] о кардинальных инвариантах типа числа Суслина, как следствия теоретико-множественной теоремы Эрдеша-Радо.

A.B. Архангельский, давая решение знаменитой проблемы [2] о мощности бикомпакта с первой аксиомой счетностн, предложил формулировку основной теоремы в предельно общем ввде, объединяющем целый спектр пространств.

Основными результатами параграфа являются теоремы 3.10 л 3.20.

Теорема ЗЛО сформулирована в терминах , но духу и смыслу близких к партиционному исчислению , частью которого является теорема Эрдеша-Радо, п содержит в себе эту теорему, равно как и теорему A.B. Архангельского, и теоремы Хайнал а-Юхаса, упомянутые ранее.

3.10 Теорема . Пусть р = [F, :» б /}- покрытие Хд3 такое, что:

(1) |/| < 2Г (|/| < т и <р -хаусдорфово);

(2) для всякого (соответственно, ip- псевдозамклугого) подмножества А С X п х £ А существует сеть N, UN С А размера не выше т, покрывающая А , но не захватывающая г;.

Тогда < 2Т.

[5] A. Ilajaal, J. Juhasz. Discrete subspaces of topological spaces // Iadag. math., 29 (1967), 343-346.

Другой подход к получению теорем, объединяющих различные оценки кардинальных инвариантов, представлен теоремой 3.20, в которой рассматривается пространство с тремя топологиями , каждая из которых "отвечает" за свой набор свойств пространства.

Главы 2 и 3 посвящены теории стоун-чеховских расширений Дт дискретных пространств.

Одним из основных вопросов этой теории, с которым так или иначе связаны практически все исследования в этой области, является поиск свойств точек нароста расширения /Зг \ т, которые позволили бы различить точки друг от друга.

Особое место в ряду этих свойств занимает свойство, определяющее р -точки: х €Х называется р -точкой, если для любого счетного семейства замкнутых множеств Л = {Fi: I 6 и}, где х $ ^ выполняется: х $ : »6 о;}).

После того, как С. Шел ах [3] показал невозможность "наивного" доказательства существования р -точек в 0и>\и, существенно возрос интерес к поиску точек, близких по свойствам к р -точкам.

К таким точкам относятся слабые р -точки, 0-точки, которые рассматриваются в главе 3, и другие.

Определение слабой р -точки отличается от определения р -точки тем, что вместо замкнутых множеств Рг (» 6 и) рассматриваются одноточечные множества, то есть слабая р -точка - это точка, не являющаяся предельной дня счетных множеств.

Первые конструкции слабых р -точек в пространстве 0т \ т были получены К.Куненом.

Это г+-хорошие ультрафильтры для г> и, и с - О К-точки для т = ш.

Эти результаты опубликованы К. Куненом в [б] и [7].

Глава 2 посвящена слабым р -точкам стоун-чеховского расширения счетных и несчетных дискретных пространств. {

Она представляет собой единый блок из семи параграфов, последовательно связанных друг с другом. Первые три параграфа - подготовительные.

В них рассматриваются основные понятия и факты техники построения матричных точек в пространстве /?т \ т (г > и).

§4 является центральным в этой главе. В этом параграфе доказывается основная теорема 4.4, позволяющая получать широкий спектр точек, в том числе и слабые р -точки в пространстве /7т \ т.

Эта теорема использует понятие матричной точки сцепленной матрицы.

4.3 Определение. Точка х € г* = ßr \ т называется матричной точкой для сцепленной î — J матрицы в г* {Аар : а е I,ß 6 J}, если для всякой последовательности Г = {Ui : i Е и} окрестностей х существует множество D(T) СI, |£>(Г)| < \1\ такое, что для всяких попарно различных {ai :i eu} С I\ D( Г) и произвольных {/?; : i g и} С J выполняется:

х G [U{Aeift nUi-.ie w}].

4.4 Теорема. Для любой сцепленной 2т —J матрицы в т* существует матричная точка в U(r).

[6] К. Kunen. Ultrafilters and independent sets // Trans. Amer. Math. Soc., 172 (1972), 299-306.

[7] K. Kunen. Some points in 0N // Math. Proc. Cambridge PhiLSoc., 80 (1976), 385-398.

Здесь через II(г) (Д(т)) обозначается множество равномерных (соответственно, регулярных) ультрафильтров.

В дальнейшем матричными точками будем называть матричные точки для независимых 2й - 2Ш матриц, а также, если не возникает недоразумений, для 2Т — г матриц.

Из теоремы 4.4 следует теорема 4.5, доказывающая существование матричных и, следовательно, слабых р -точек в и*.

4.5 Теорема» В пространстве ш* существуют матричные точки.

Отметим некоторые свойства матричных точек в и*:

- матричная точка в ы* является с — ОЯ-точкой ;

- матричная точка £ 6 и>* является строгой Д-точкой;

- ш* существует 2е матричных точек;

-для всякой матричной точки £ б ш* 2(£,и>*) = с.

§5 посвящен матричным точкам пространства /?г при г > и.

Отметим, прежде всего, теорему 5.1, из которой следует существование слабых р -точек в (7(т).

5.1 Теорема. Для всякой независимой 2Г—т матрицы в т* существует матричная точка в 1/[т).

Отметим следующие результаты.

5.7 Теорема. Пусть Т = {Ру : 7 6 т}- дизъюнктное семейство подмножеств тиС = {г7 : 7 6 т}- дискретное подмножество г* такое, что т\т.

Тогда существуют 2Г -т матричные точки пространства г* в ([£)])г- \ О) П Д(т).

-11-

Как следствия этой теоремы, получаем:

- существует 21' 2Т - т матричных точек в Я(т).

- для любого дискретного подмножества Б С т* \ С/(г) такого, что [О] П и(т) ф 0 существует V - т матричная точка £ £ [О] П Д(т).

В отличие от счетного случая, когда всякая матричная точка имела характер 2", для т > и о матричной точке £ для произвольной независимой 2Г - т матрицы можно лишь утверждать, что х(С>т+) > с/2г. Однако, построив специальную матрицу, получаем:

в Я(т) существуют 2г - г матричные точки характера равного 2Г (теорема 5.11) .

§6 посвящен примеру М.Белла [8] бикомпактного расширения счетного дискретного пространства ш, нарост которого удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабелен.

В этом параграфе показывается еще одно свойство этого расширения 6«, позволяющее в дальнейшем получать различные виды точек в наростах расширений.

В §7 строятся слабые р -точки пространства /Зы и /Зг (г > ш), обладающие различными свойствами, и тем самым показывается, что слабые р -точки также далеко " неодинаковы".

Основными результатами этого параграфа являются теоремы 7.2 и 7.4.

7.2 Теорема. В множестве М существует точка х, обладающая следующими свойствами:

(а) х есть матричная точка пространства М;

[8] M.G. Bell . Compact ссс non-separable spaces of small weight // Top.Proc.,5 (1980), 11-25.

-12-

(b) х € [-Р] для некоторого ГСМ, с(^) = и;

(c) х есть слабая р -точка пространствам*.

Для случая же т > и мы можем доказать

7.4 Теорема . В пространстве г* существуют:

(a) матричная точка £ € Мт П и(т) пространства т* такая, что £ £ : 7 е т}], если С Щ и с(^) < у;

(b) матричная точка £ € Мг П и (г) пространства т* такая, что £ € [и{Р7 : 7 е г}] для некоторого и{&у : -Р7 6 т}, ^ С ¿/7 и с(^7) = а>, но С $ [и{1>7 :7 е т}], если 1>7 С !77 и | £>7 |=

(c) матричная точка £ 6 Мт П и(т) пространства т* такая, что £ е [и{^7 :76 т}] для некоторого и{Р7 : 7 6 г}, Е, С [/, , |Р7| = а», но ££ [и{/?7 :7 €т}], если ¿?7 С {/7 и |1>7| <ш;

((1) матричная точка £ 6 Мт П и(т) такая, что £ € [и{07 :76т}], где |Я7П^7| = 1.

Отметим, что точки удовлетворяющие условиям пунктов (а)-(ё) теоремы 7.4, есть и среди регулярных ультрафильтров (теорема 7.4').

Глава 3 работы также посвящена вопросам стоун-чеховских расширений дискретных пространств и состоит из четырех параграфов.

Здесь доказывается существование 0-точек, рассматривается вопрос о ненормальности пространства и>* \ {г}, вопросы, связанные с порядком Рудина-Кейслера, и также рассматриваются различные копии пространства ш*.

§1 главы 3 посвящен 0-точкам пространства (Зш.

Точка хеш* называется О-точкой, если при всякой нумерации а» в х, как ультрафильтре, есть элемент плотности 0.

Е. вал Дауном был поставлен вопрос о существовании 0-точек в

Ответ на этот вопрос дает теорема 1.8, являющаяся центральной теоремой параграфа.

1.8 Теорема. В пространстве и' существуют О-точки .

Ее дополняет: в пространстве ш* существует 2е 0-точек ( следствие 1.11).

Следующая теорема показывает, что О-точки позволяют получать слабые р -точки, обладающие дополнительными свойствами, что, в свою очередь, показывает большую неоднородность как класса 0-точек, так и класса слабых р -точек.

1.20 Теорема. В множестве М существует точка г, обладающая следующими свойствами:

(1) ж есть матричная точка пространства М;

(2) х е [.Р] \ Р для некоторого ГСМ, с(^) = ш, ^ состоит из не 0-точек;

(3) х есть слабая р -точка пространства и*;

(4) ж £ \ ^ для всякого Р С ш*, с(.Г) < из, Г состоит из 0-точек;

(5) а; $ [и{Г, : ; е у}'), где ^ С М- замкнутое в ы* множество, состоящее из 0-точек.

§2 главы 3 посвящен проблеме ненормальности пространства ш* \ {ж}.

В предложении СН, и даже АМ, этот вопрос решается положительно (см. [9]). Без дополнительных теоретико-множественных предположений здесь известно намного меньше.

[9] В.И. Малыхин, Б,Э. Шапировский. Аксиома Мартина и свойства тополгических пространств// ДАН СССР, 213: 3 (1973), 532-535.

Довольно широкий и естественный класс точек ненормальности дает следующее утверждение:

-предельная точка счетного дискретного подмножествам* есть точка ненормальности и* (теорема 2.1).

Этот результат позже [10] независимо получили А. Блащик и А. Ши-маньский .

Вопрос о существовании слабых р -точек х € ы", для которых ш" \ {я} ненормально, решается в теореме 2.6, являющейся основной в данном параграфе.

2.5 Теорема -Если х - строгая /¿-точка, то пространство

и* \ {х} не нормально.

§3 главы 3 посвящен вопросам, связанным с порядком Рудин - Кей-слера. Основным вопросом, который здесь рассматривается, является вопрос о существовании множеств попарно несравнимых ультрафильтров . Этот вопрос глубоко рассматривался в работах [6], [7], где доказано существование попарно несравнимых г "'"-хороших ультрафильтров и с — ОК-точек .

Основной теоремой этого параграфа является теорема 3.5, дающая подход к построению попарно несравнимых точек /?т \ г, позволяющий получать различные множества попарно несравнимых ультрафильтров.

3.5 Теорема. Для независимой 2Г — J матрицы (|./| > 2) существует 2Г попарно несравнимых матричных точек в и (г).

[10] A. Blaszczyk ,A. Szymanski. Some non - normal subspaces of the Cech-Stone compactificatiians of a discrete spaces // Proc.Eighth Winter School on abstract analysis and topology, Prague, 1980.

Как следствия теоремы 3.5, получаются следующие утверждения:

- для всякой независимой 2Ы- 2Ы матрицы на « существует 2Ы попарно несравнимых матричных точек ;

- для всякой независимой 2Т — т матрицы на г ( г > ш) существует 2Т попарно несравнимых матричных точек в ¿/(т);

- существуют независимые 2т — т матрицы, для которых найдутся 2Т попарно несравнимых матричных точек в Д(т);

- в пространстве и* существует 2й попарно несравнимых 0-точек, не являющихся р -точками.

На основе теоремы 7.4 главы 2 и теоремы 3.5 доказывается

3.9 Теорема. В множестве Мт ПII(г) (и Мт П Л(т)), где т > ш существуют:

(a) 2Г попарно несравнимых точек являющихся матричными точками пространства г* и таких, что £ 0 [и{^т : 7 6 т}], если С и7и

с(Яг) < ы;

(b) 2Г попарно несравнимых точек £, являющихся матричными точками пространства т* и таких, что £ € [и{Р7 :76 т}] для некоторого

: 7 б г} , Р7 С [/7 , с(^) = у, но £ £ [и{1>7 :76 т}], если 1>7 С [/7и |Л7| = ы;

(c) 2Г попарно несравнимых точек £ , являющихся матричными точками пространства т* таких, что ( 6 [и{^7 : 7 6 т}) для некоторого и{Г7 : 7 6 г}, ^ С £А7, = и, но { £ [и{£7 : 7 € г}], если О^СЩ и ¡2>7| < «;

(с!) 2Т попарно несравнимых точек являющихся матричными точками пространства т* таких, что £ £ [и{£>7 : 7 £ т}] для некоторого и{С7:7£т>, |1>7ПУ7| = 1.

В §4 главы 3 рассматриваются некоторые способы построения подмножеств гомеоморфных пространству и*, которые мы будем называть

КОПИЯМИ ш*.

Самым простым и естественным способом получения таких подмножеств является следующий:

подмножество X = [D]u,. \ D есть копия ы* для всякого счетного дискретного подмножества D С ш*.

Такие копии мы будем называть простыми.

Копию же, не содержащуюся в замыкании никакого счетного подмножества из lo* , будем называть растянутой.

В этом параграфе представлен способ построения растянутых копий с помощью так называемых фильтрующихся покрытий.

Основной в этом параграфе является

4.11 Теорема (гг(ш') > 2Ш). Если Е = {Г}- максимальная строгая система покрытий М и Ф = П{Ф(Г) : Г € £}, то существует всюду плотное множество С Си* такое, что для всякого £ € С выполняется = 1.

Из этой теоремы и некоторых дополнительных теорем этого параграфа вытекает (СН) :

(a) существует простая копия X и растянутая копия У пространства ш* в UJ* такие, что |Х ПУ| = 1, причем точка пересечения может быть, или р -точкой в X, или не р -точкой в X и является р -точкой в У;

(b) существуют две растянутые копии X и У такие, что \Х П У| = 1;

(c) существуют копии X и У ( растянутые ) такие, что ¡X П У | = 1 и точка их пересечения есть слабая р -точка.

Публикации по теме диссертации.

1. A.A. Грызлов. Две теоремы о мощности топологических пространств // ДАН СССР, 251 N4 (1980), 780-783.

- 172. A.A. Грызлов. О мощности пространств // Третий Тираспольский симпозиум по общей топологии, Штиинда, Кишинев (1973), 29.

3. A.A. Грызлов. К теории кардинальных инвариантов // в кн. Теория множеств и топология, вып. 1, Ижевск (1977),13-1б.

4. A.A. Грызлов. К вопросу о наследственной нормальности экстремально-несвязных бикомпактов // Седьмая Всесоюзная топ. конф., ИМ АН Белоруссии, МИ им. В.А.Стеклова АН СССР, Минск (1977), 58.

5. A.A. Грызлов. О фильтрующихся покрытиях и определяемых ими точках пространства ßu> // В кн. Современная топология и теория множеств, вып.2, Ижевск (1979), 25-36.

6. A.A. Грызлов. Об одном классе точек N* // Ленинградская ме-ждунар. топологическая конф.,Л., Наука, (1982),57.

7. A.A. Грызлов. К вопросу о наследственной нормальности пространства ßio\u! // В кн. Топология и теория множеств, Ижевск (1982), 61-63.

8. A. Gryzlov. Some types of points in N* // Sup. Rend. Circ. Math., Palermo, 2:6 (1984), 137-138.

9. A.A. Грызлов. О кардинальных инвариантах компактных пространств // Бакинская между нар. топологическая конф.,МИ АН СССР им.В.А.Стеклова, ИММ АН Аэерб.ССР. Баку (1987),89 .

10. A.A. Грызлов. К теории пространства ßN // В кн. Общая топология. Отображения топологических пространств, М.,МГУ (1986), 20-34.

11. A.A. Грызлов. О наследственности свойств пространств // В кн. Топологические пространства и их кардинальные инварианты, Устинов (1986), 65-68.

12. A.A. Грызлов. О некоторых свойствах hi - нормальных пространств // В кн. Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств, Ижевск (1989), 89-91.

13. А. Gryzlov. On matrix points in Cech- Stone compactifications of

discrete spaces // Comment. Math. Univ. Carolinae, 32,4 (1991), 775-780.

14. A. Gryzlov. On some theorems of the theory of cardinal invariants and partition calculus // Bolyai. Soc. Math. Studies, 4, (1993), 233-238.

15. A. Gryzlov. On some inequalities in general topology and partition calculus // Докл. БАН, 47: 8 (1994), 9-11.

16. A. Gryzlov. Cardinal invariants and compactifications // Comment. Math. Univ. Carolinae, 35, 2 (1994), 403-408.

17. A.A. Грызлов. О бикомпактных расширениях дискретных пространств // Фундаментальная и прикладная математика, т.2, вып.З (1996), 803-848.

18. A. Gryzlov., D. Stavrova. Topological spaces with a selected subset -cardinal invariants and inequalities // Докл. БАИ , 46:7 (1993), 17-19.