Кинетическая теория неравновесных процессов в системах диссипативных частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

004610954

На

п писи

БОДРОВА АННА СЕРГЕЕВНА

КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ДИССИПАТИВНЫХ ЧАСТИЦ

Специальность 01.04.02. Теоретическая физика.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москиа — 2010

004610954

Работа выполнена на кафедре физики полимеров и кристаллов физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук проф. Н. В. Бриллиантов

Официальные

оппоненты:

доктор физико-математических наук проф. Г. Э. Норман, ОИВТ РАН,

доктор физико-математических наук проф. В. В. Белый, ИЗМИРАН РАН

Ведущая организация:

Институт Космических Исследований РАН

Защита состоится "21"октября 2010 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университета имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан " "сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук профессор

Ю. В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В последние 15 лет бурно развивается новое направление неравновесной статистической физики - теория гранулярных сред. Гранулярная среда представляет собой совокупность большого числа макроскопических частиц, размерами ~ 10~б — 101 м. Если гранулярная среда является достаточно разреженной, то есть, расстояние между частицами существенно превышает их размеры, то она носит название гранулярный газ, по аналогии с газом, состоящим из атомов или молекул [1|.

Для поддержания гранулярного вещества в газообразном состоянии в земных условиях требуется воздействие внешней силы. В лабораторных исследованиях эту роль выполняют вибрирующие стенки сосуда. В естественных условиях гранулярные газы образуются при движении вещества с большим градиентом скоростей: при сходе лавин, при увлечении частиц пыли и песка воздушными массами в ядре смерча или торнадо. Другими примерами гранулярных газов являются космические объекты: это планетные кольца (например, кольца Сатурна), протопланетарные диски, а также межзвездные пылевые облака.

Соударение частиц, составляющих гранулярные среды, носит диссипа-тпивный характер: при столкновении часть кинетической энергии движения центров масс частиц переходит в возбуждение их внутренних степеней свободы.

Таким образом, гранулярный газ является существенно неравновесной системой, и для его описания неприменимы стандартные методы равновесной статистической механики, такие как метод ансамбля Гиббса, термодинамических потенциалов и другие. Существующие теории слабонеравновесных процессов также не могут быть использованы. Тем не менее, естественным способом построения теории гранулярных газов представляется обобщение кинетических уравнений неравновесной статистической физики, используемых для описания молекулярных газов, с учетом диссипации кинетической энергии при соударениях частиц.

В предыдущих исследованиях диссипативных газов был обнаружен ряд необычных эффектов, таких как отклонение функции распределения по скоростям от распределения Максвелла, аномальная диффузия,

спонтанное образование пространственных неоднородностей - кластеров и вихрей, нарушение флуктуационно-диссипационных соотношений и равнораспределения энергии по степеням свободы. Была построена теория этих явлений, которая продолжает активно развиваться. Однако, несмотря на значительные успехи, теория гранулярных сред все еще далека от завершения.

Цель диссертационной работы

Целью настоящей диссертационной работы является развитие кинетической теории диссипативных газов. Особое внимание уделяется иследо-ванию эволюции средней кинетической энергии (гранулярной температуры) и распределения частиц по скоростям, диффузии и броуновскому движению. Также изучается кинетика агрегации и фрагментации частиц, а также их распределение по размерам.

Научная новизна работы

Проведено детальное исследование эволюции функции распределения частиц по скоростям для диссипативного газа в отсутствие внешних сил, а также при наличии термостата. В отличие от предыдущих работ, использующих упрощенную модель диссипативных соударений, в настоящей диссертации применяется модель вязкоупругих сфер, в которой учитывается зависимость коэффициента восстановления от относительной скорости частиц при ударе, полученная из первых принципов.

Впервые изучено броуновское движение в газе вязкоупругих частиц, найдены новые режимы движения гранулярной броуновской частицы -супердиффузии и субдиффузии (эффективной локализации), а также исследована взаимосвязь средней кинетической энергии (гранулярной температуры) броуновских частиц и частиц окружающего газа. Предсказания теории подтверждаются в машиных экспериментах.

Впервые построена кинетическая теория гранулярных газов с одновременной баллистической агрегацией и фрагментацией. Изучены различные модели фрагментации, для ряда моделей получены аналитические результаты. Показано, что стационарное распределение по размерам представи-мо в виде произведения степенной и экспоненциальной функций, что хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым для частиц в кольцах Сатурна.

Научная и практическая значимость

Теоретические результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны для качественного понимания и количественного описания процессов с участием гранулярных веществ в газовой фазе: порошков или песка при быстрой транспортировке, пылевых облаков, песчаных бурь.

Результаты работы могут быть также непосредственно использованы для описания космических объектов, таких как планетарные кольца, межзвездные пылевые облака и протопланетные диски, что представляется весьма актуальным в связи с быстрым развитием космической индустрии. В частности, в диссертации предложена модель, объясняющая распределение частиц по размерам в планетных кольцах Сатурна.

Данная диссертационная работа имеет важное фундаментальное значение для развития нового направления неравновесной статистической физики диссипативных сред. Теория гранулярных газов в дальнейшем может послужить основой для создания теории плотных гранулярных систем, имеющих важное прикладное значение во многих отраслях промышленности, включая химическую, строительную и пищевую.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывалось на конференциях "Актуальные проблемы механики АРМ"(Санкт-Петербург, 2008,2009), "Ломоиосов-2009"(Москва, 2009), "ВНКСФ-15"(Кемерово, 2009), "Frontiers in Non-equilibrium Physics"(HrioHHfl, Киото, 2009); на семинарах МГУ им. М.В. Ломоносова, ИКИ РАН, ОИВТ РАН, Университета Лестера (Англия), Университета Киото (Япония) и Университета Потсдама (Германия).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста и заключения. Полный объем диссертации — ¡2 ^стр., рисунков — 3О , список литературы включает ¡02 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность исследуемой проблемы и сформулированы цели исследования.

В Главе 1 рассмотрены основные понятия и методы, используемые в теории гранулярных сред, а также дан краткий обзор исследований в этой области.

Рассмотрим однородную разреженную гранулярную среду, состоящую из одинаковых частиц массой т, диаметром <7, число которых в единице объема п << 1/<т3. По аналогии с молекулярным газом, в гранулярном газе можно ввести величину, называемую гранулярной температуройТ(£):

которая выражается через кинетическую энергию частиц гранулярной системы, усредненную с функцией распределения /({7,^. Следует подчеркнуть, что гранулярная температура Т(() не является температурой в термодинамическом смысле, а характеризует среднюю кинетическую энергию макроскопического движения.

В силу того, что частицы, составляющие гранулярный газ, являются макроскопическими объектами, часть их кинетической энергии при столкновении неизбежно переходит в возбуждение внутренних степеней свободы. Уменьшение относительной скорости частиц «Ь характеризуется коэффициентом восстановления:

Здесь И[2 - относительная скорость частиц после соударения, ае - единичный вектор, соединяющий центры масс частиц в момент удара. Очевидно, коэффициент восстановления может принимать значения 0 < е < 1, причем е = 1 соответствует абсолютно упругому, а е = 0 - абсолютно неупругому удару.

Для упрощения теоретического анализа коэффициент восстановления часто предпологается постоянной величиной, не зависящей от скорости, что, однако, противоречит как экспериментальным наблюдениям, так и общей теории удара. Решая уравнение движения частиц в процессе соударения, можно получить:

е = 1 — С1(5(2и(«))1/10|с12.е11/5 + С2&2{2и{1))115\сп.ф15 Т • • • (3)

(1)

е = \(у[2.е) / {щ2-е}\

(2)

Здесь Ci, С2- численные коэффициенты порядка единицы, u(f) = T(í)/T(Q) - приведенная гранулярная температура, ¿12 = vn/vj - безразмерная скорость, нормированная на термическую скорость^ = у/2T(t)/m. Параме-тер 8 характеризует величину диссипативных потерь в системе и является функцией упругих постоянных и коэффициентов вязкости материала частиц. Возрастание 5 отвечает уменьшению коэффициента восстановления, так что е = 1 при <5 = 0.

Если соударяющиеся частицы вращаются с угловыми скоростямии ¿>2 и их поверхность является абсолютно гладкой, то тангенциальная компонента относительной скорости поверхностей частинД = v12—(Ü12 • е) е-Н а (е X + ¿>2)) /2 остается неизменной как по модулю, так и по направлению. Если поверхность шероховатая, то изменение vt характеризуется тангенциальным коэффициентом восстановления

Здесь v¡ тангенциальная скорость после соударения.

Одним из основных методов исследования гранулярных газов является уравнение Вольцмана, записанное с учетом диссипативного характера соударений между частицами:

p(v,t)=g2(a)I(f,f), (5)

гДе 92(c) - парная корреляционная функция в точке контакта, учитывающая эффект исключенного объема. Интеграл столкновений:

I (/, /) = ff2У dv2 J deQ (—v¡2 ■ е) \ví2 ■ e¡ (6)

[Xf(v(',t)f(v^t)~f(vut)f(v2,t)\

содержит сомножитель

Iv^VWM) Х~ \v12-e\ V{vuü2) ' U

равный произведению отношения длин цилиндров соударения и якобиана преобразования, связывающего скорости частиц до («7", v2") и после (Уи&г) соударения. В случае постоянного коэффициента восстановления е = const, х = 1/í2- Для вязкоупругих частиц х имеет более сложную зависимость; при отсутствии диссипации \ = 1.

Глава 2 посвящена исследованию однокомпонентного гранулярного газа.

В разделе 2.1 изучается функция распределения частиц газа по скоростям. Рассмотрение начинается с гранулярного газа, не подверженного воздействию внешних сил. С течением времени движение частиц, составляющих газ, постепенно замедляется, а гранулярная температура уменьшается: Т = — где £ - коэффициент охлаждения. Приведенная гранулярная температура зависит от времени следующим образом:

и (г) = (т/тоГ5/3 + «16 (т/гоГ11/6 , И1 ~ 3.28 , го"1 ~ 0.555 , (8)

где время т выражено в единицах времени свободного пробега тс(0) в начальный момент времени t = 0:

т~\1) = А^д2{а)а2пу/Т{1)/т (9)

С уменьшением и(т) коэффициент восстановления е возрастает, согласно (3), а в пределе т —> оо, и —> 0 и соударения частиц приближаются по своим свойствам к абсолютно упругим.

Функцию распределения частиц диссииативного газа по скоростям удобно записывать в безразмерном виде:

¡(у,т) = ^1(с,т), (10)

где /(с, г) - приведенная функция распределения по безразмерным скоростям с = у/ут, для которой используют разложение по ортогональным полиномам Сонина (с2) (частный случай присоединенных полиномов Лагерра):

/(с, г) = тг^ехр(-с2) + ¿арт(с2)^ , (11)

Коэффициенты в разложении ар характеризуют степень отклонения /(с, {) от максвелловского распределения. При этом а! = 0, что следует из определения гранулярной температуры, а эволюция первых двух нетривиальных коэффициентов аг(0 и аз(<) представлена на рисунке 1. Из рисунка видна немонотонная зависимость а2 и оз от времени. Физически она отвечает сложному изменению формы функции распределения /(с, (). В начале эволюции распределение частиц по скоростям предполагается макс-велловским. Затем вследствие диссипативных потерь оно отклоняется от

максвелловского, что соответствует возрастанию коэффициентов Сомина. После достижения максимальных амплитуд эволюция и аз происходит по степенному закону согласно аналитическим выражениям, полученным в пределе т >> 1 в линейном приближении по 6:

а2 = ~А25(т/т0у1/й , Л2 ~0.44 (12)

а3 = -А36{т/т0у1/6 , Л3 ~ 0.08 (13)

С течением времени коэффициент восстановления £ стремится к единице, соударения частиц становятся практически упругими, и в системе снова устанавливается максвелловское распределение.

Предсказания теории прекрасно согласуются с результатами "машинного эксперимента"(рис. 1), любезно предоставленными С. Пури и А.К. Дубеем из Университета им. Дж. Неру (Дели, Индия).

Рис. 1: Зависимость от времени второго (слева) и третьего (справа) коэффициентов ог(г) и а2(т) в разложении по полиномам Сонина функции распределения частиц диссипативного газа по скоростям. Линии отвечают теории, точки - данным компьютерного .моделирования системы N = 409С000 частиц (С. Пури и А.К. Дубей, Дели, Индия). Время т = 1/тс(0) выражено в единицах свободного пробега в начальный момент времени эволюции системы.

В предыдущих исследованиях было показано, что при с > с*, где с* -некоторая предельная скорость, функция распределения носит экспоненциальный характер:

/(с, г) ~ ехр{-<р(т)с) , (14)

где</?(т) = (Ь/26)(1+т/то)1/° , Ь ~ 1.129. В диссертационной работе была проанализирована зависимость с*{т) от времени и найдено, что пределе

больших времен в линейном приближении по <$, с*(т) возрастает по степенному закону:

С*(т) - Ф)!2 = (Ь/2б){1 + г/то)1/6. (15)

Далее в работе изучалась функция распределения стационарного гранулярного газа, находящегося в термостате простейшего типа, диссипа-тивные потери в котором компенсируются наличием внешнего стохастического воздействия:

= 6ц5{Ь - I (16)

В этом случае уравнение Больцмана (5) модифицируется добавлением в правую часть дополнительного слагаемого <). Решая (5) для

стационарной функции распределения /(у) в виде ряда Сонина с постоянными коэффициентами о,-, можно получить в линейном приближении по 6:

а2 = -А26, а3 =-А36 (17)

где численные коэффициенты А2 и А3 оказываются такими же, как в (12) и (13). Гранулярная температура системы

Т = Т1{^7Гб) ' п ~0'32 (18)

также не зависит от времени.

В разделе 2.2 исследуются особенности диффузионного движения в гранулярных газах. Введем перемасштабированное время ти(Ь):

йти = Му/уЩ/тс( 0). (19)

Важным свойством данной временной шкалы является независимость характерной термической скорости частиц ьт от времени в этой шкале. Используя марковское приближение, корреляционную функцию безразмерной скорости в шкале т„(£) можно представить в экспоненциальном виде с временем релаксации г„. Тогда среднеквадратичное смещение частицы зависит от времени как:

гЬ / ти(1)-ти(ЬУ

(R2(t)) = 6 / dhDfa) J о

1 - exp I —

(20)

tv {h)

В пределе больших времен последнее уравнение можно записать в обычном виде d (R2) jdt = D(t), где D{t) - коэффициент диффузии, который в

лабораторной временной шкале уменьшается вследствие диссипативных потерь:

T(t)rv(t)

¡и

Здесь rv(t) - время корреляции скорости: 3

Tv(t) = |хе(0 (l + пб (u(i))1/10) , П = 1.465

(21)

(22)

Во временной шкале ти с постоянной термической скоростью коэффициент диффузии не зависит от времени, D = const. В настоящей работе проводилось вычисление коэффициента диффузии как методом градиентного разложения Чепмена-Энскога [1], так и методом Грин-Кубо, основанным на использовании корреляционных функций (21). Было продемонстрировано, что оба подхода дают идентичные результаты.

а 1-2 а

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0 0.5 1.0

р

Рис. 2: Зависимость коэффициента диффузии О от нормального коэффициента восстановления £ (при 0 = 0.9, левый график) и тангенциального коэффициента восстановления /У (при е = 0.9, правый график). О0 - коэффициент диффузии абсолютно упругих гладких сфер. Линии отвечают теории, точки - результатам компьютерного моделирования.

В диссертации также проводилось изучение влияния свойств поверхности частиц диссипативного газа па их диффузионное движение. Свойства поверхности характеризуются величиной тангенциального коэффициента восстановления /3 (4). В случае абсолютно гладких тел /3 = — 1, при наличии шероховатостей на поверхности ¡5 может возрастать до единицы. /3 = 1 отвечает пределу абсолютно шероховатых сфер. Для простоты коэффициенты восстановления предполагались постоянными, не зависящими от скорости соударяющихся частиц величинами.

Была получена следующая зависимость коэффициента диффузии от коэффициентов восстановления е и /3:

где q = ¡та1/А, а I - момент инерции.

С увеличением степени шероховатости поверхности гранулярных частиц коэффициент диффузии О убывает (рис. 2). Наблюдается хорошее согласие с результатами компьютерного моделирования методом молекулярной динамики, полученными в диссертации.

В Главе 3 рассматривается броуновское движение частицы массой та и диаметром сгь в окружении диссипативного газа более мелких и легких вязкоупругих частиц массой т и диаметром а. Предполагается, что число броуновских частиц в единице объема щ намного меньше соответствующего числа п частиц газа.

Раздел 3.1 посвящен краткому введению в теорию броуновского движения.

В разделе 3.2 из уравнения Больцмана выводится уравнение Фоккера-Планка, описывающее эволюцию функции распределения броуновских частиц по скоростям /ь (уь, Ь), справедливое при ть >> т:

д/ьШ д ( д

дЬ дщ

(7(0й + 7(0^г)Л- (24)

Коэффициенты 7(£) и у^) определяются свойствами окружающего газа и являются сложными функциями диссипативных параметров:

7(0 = 7о«? 7(0 = 7о^

1 — 71<5ы10 + 72 52иъ — ... 1 — -ух&и^ + 72(52и^ - ...

(25)

(26)

где 7о и 70 — коэффициенты в уравнении Фоккера-Планка для функции распределения газа упругих броуновских частиц, 71; 72, 71, 72 - численные константы порядка единицы. Как следует из полученных результатов, для диссипативного газа в режиме однородного охлаждения наблюдается нарушение флуктуационно-диссипационного соотношения 7 = [Т/т^т, в пределе 8 = 0 оно остается справедливым.

т

Рис. 3: Зависимость от времени отношения температур броуновских частиц и частиц окружающего газа Ть(С)/Т(1). Сплошная линия соответствует отношению масс броуновских частиц и частиц газа (ш(,/т) = 50, пунктирная - (гщ/т) = 30. Линии отвечают теории, символы - результатам численного моделирования методом молекулярной динамики.

В разделе 3.3 рассматривается эволюция температуры газа броуновских частиц Т(,(4). Зависимость гранулярной температуры от времени выводится из уравнения Фоккера-Плапка:

Также используется более общий подход, основанный на использовании оператора бинарных соударений. На рис. 3 проиллюстрирована эволюция отношения температур броуновских частиц и окружающего газа Ть/Т. В начальный момент времени температуры предполагаются равными. Затем движение частиц газа постепенно начинает замедляться, а их гранулярная температура уменьшается. Газ броуновских частиц также остывает, по из-за разницы в массах и большей инертности броуновской частицы уменьшение Ть происходит существенно медленнее и Ть/Т возрастает. С течением времени соударения частиц газа становятся практически упругими, и средние кинетические энергии частиц различной массы начинают выравниваться, таким образом, Ть/Т —> 1 при т —» оо.

В разделе 3.4 расчитывается среднеквадратичное смещение броуновской частицы (рис. 4).

Ты ~ 2.413 (27)

Рис. 4: Зависимость от времени среднеквадратичного смещения броуновской частицы (Я2(г)) при (ть/тп) = 50 (сплошная линия) и (ть/т) = 30 (пунктирная линия). Точечной линией обозначено среднеквадратичное смещение частицы газа. Символы отвечают результатам численного моделирования. Время выражено в единицах г„(19). Цифрами отмечены различные режимы движения броуновской частицы : 1 - баллистическое движение, 2 - супердиффузия, 3 - субдиффузия или "локализация 4 -диффузия.

Согласно (20), во временной шкале ти (19) при ти ~ тс(0) частицы газа движутся по баллистическим траекториям ({Я2) ~ т„), а при тц » тс(0) движение становится диффузионным ({Я2) ~ т,,). Среднеквадратичное смещение частиц газа показано точечной линией на рис. 4. Среднеквадратичное смещение броуновских частиц рассчитывается аналогично (20). Движение броуновских частиц в начале эволюции также является баллистическим (режим (1) на рис. 4), затем средний квадрат смещения броуновских частиц растет быстрее, чем для баллистического движения газа за счет разницы в температурах (режим супердиффузии (2) на рис. 4). Когда температуры начинают выравниваться, движение броуновских частиц замедляется и практически останавливается (субдиффузия или эффективная локализация (3) на рис. 4). В тот момент, когда температуры выравниваются, массивные частицы, так же, как и окружающий газ, совершают диффузионное движение (диффузия (4)), причем частицы газа движутся быстрее за счет того, что их масса существенно меньше.

Результаты теории подтверждены в компьютерных экспериментах с использованием метода молекулярной динамики, выполненных С. Пури и А.К. Дубеем (Дели, Индия).

В разделе 3.5 исследовано броуновское движение в стационарном гранулярном газе, на частицы которого действует случайная сила (16). В стационарном случае уравнение Фоккера-Планка (24) модифицируется наличием дополнительного слагаемого в правой части, обусловленного воздействием случайной силы, и приобретает вид:

где Г = + а коэффициенты 7 и 7 имеют вид (25) и (26), как и для остывающего газа при и = 1.

В стационарном состоянии температура броуновской частицы постоянна:

Гь = тб(£)=пн1±р. (29)

Это соотношение показывает, что при наличии термостата флуктуационно-диссипационное соотношение выполняется. Справедливость последнего далеко не очевидна, так как речь идет не о равновесном, а только о стационарном состоянии. При этом температуры броуновских частиц и частиц газа существенно отличаются:

£ = + + Т ~ 0.07 (30)

Т V 92 №К/

В Главе 4 рассматривается баллистическая аггрегация и фрагментация в диссипативном газе. В Разделе 4.1 проводится краткий обзор работ, посвященных данной проблеме.

В разделе 4.2 исследуется простейшая бимодальная система, состоящая из крупных тел диаметром <75 и пылевых частиц диаметром а << сгь-Из-за наличия адгезии мелкие частицы пыли оседают на поверхности более крупных тел. При столкновении последних с достаточно большой скоростью, пыль слетает с их поверхности. Показано, что в результате баланса этих двух процессов в системе устанавливается стационарное распределение, при котором все пылевые частицы диаметром меньше некоторой критической величины асг находятся на поверхности крупных, а частицы диаметром а > аа- - в свободном состоянии. Величина асг определяется термической скоростью движения пыли и крупных тел, а также

величиной коэффициента адгезии и другими свойствами материала, со-ставлящего рассматриваемые тела.

Раздел 4.3 посвящен изучению системы частиц с дискретным распределением по массам: т*. = кгпи где к - положительное целое число, mi - масса минимального тела в системе (мономера). Пусть Е¡j = m^v^j/2, где m.ij = miirij/ (mi + rrij) - эффективная масса соударяющихся частиц, a Vij - их относительная скорость. Если Ег] < £аgg, где Eagg - энергия аг-регациии, то тела i и j объединяются в единое целое. Фрагментация тел происходит в случае, если Еу больше некоторого энергетического порога фрагментации Efrag.

В работе рассматриваются различные модели фрагментации. Вначале предполагается, что при столкновении тела массой rrij с телом массой rrii < rrij с вероятностью Pkj-k происходит распад тела тп3 на два осколка массой и .

На основе кинетического уравнения Больцмана можно получить систему уравнений, описывающих временную эволюцию концентраций пk частиц массой тп

2\Пк = | Ci,inin3 ~nkYl Ck,ini

i+j=k г

oo j к

+ "jE^^'4"11^1 ~~ (31)

j=k+1 ¿ = 1 i=l

Здесь ¿¡j = 1 — Sij/2, 6ij - символ Кронекера, Aij, Cij - кинетические коэффициенты фрагментации и агрегации:

Qj = AijCe"^t (l - (l +

При Aij = 0 система (31) переходит в обычное уравнение Смолуховского.

Для простоты рассмотрим монодисперсные начальные условия: гц(0) = ¿¿о- Полагая Aij = А — const, C'tJ = С = const систему (32) можно решить аналитически. В зависимости от соотношения кинетических коэффициентов, наблюдаются различные режимы эволюции. При А < С происходит образование бесконечно большого кластера. Концентрация мономеров уменьшается с течением времени, концентрации кластеров вначале

возрастают, достигают максимальных значений, а затем снова стремиться к нулю в соответствии с асимптотикой Пк ~ t~2l^--Alc),

При С < А в системе наблюдается образование стационарного распределения по массам в виде:

щ ~ к"е~хк (33)

где Л - численный коэффициент, а а = 3/2.

Если предположить Eagg/T = const, Е^/Т = const, то поведение системы с кинетическими коэффициентами (32) аналогично системе с постоянными кинетическими коэффициентами: при Aij < Сц происходит бесконечная агрегация, а при Cij < Ац - формирование стационарного распределения по массам.

Рис. 5: Распределение частиц по массам, полученное при рассмотрении фрагментации на мономеры (левый график) и фрагментации со степенным распределением фрагментов (правый график). Сплошные линии на графике отвечают численному решению системы (35), точечные линии - апроксимации п* ~ к°е~хк, а = 3/2 В случае фрагментации на мономеры А = (А/С)2.

Пусть теперь при столкновении распадаются оба соударяющихся тела, причем число осколков массой гаобразующихся при распаде тела массой ть = Ьт 1 составляет Хк (Ь). Рассмотрим предельный случай фрагментации тел на мономеры, а также фрагментацию со степенным распределением осколков. В первом случае ж* (¿) = Ы^х, а во втором с учетом дискретности системы и закона сохранения массы можно получить:

гк+1/2

кхкЩ=/о(Ь) к^Чк,, (34)

Jk-l|г

где ¡1 - показатель степени для закона фрагментации, /о (Ь) - нормировочная постоянная.

Рис. 6: Распределение частиц по размерам в кольцах Сатурна, полученное при интерпретации данных рассеяния радиоволн (сплошная линия) [2]. Точечной линией показана апроксимация пи ~ Я-*ехр(—XrR3), и — 5/2.

Система кинетических уравнений принимает тогда следующий вид:

= ~ Ciinini _ CkiTli ~nkYl AklTli t1 ~ hi) +

i-t-j=lс i i

к oo j

AijTljXk (i) + 5 AHnini(xk{i) + xkU)) (35) ¿=1 j=k+1 i,j>k+1

Решая систему, можно показать, что формирование стационарного распределения, представимого в виде произведения степенной и экспоненциальной функций (33), происходит при любых соотношениях кинетических коэффициентов /1Ц и Сц (рис. 5). Пусть Лг] — А = const, CVJ = С = const. При фрагментации на мономеры и степенной фрагментации с показателем ц > 2, показатель степенной функции результирующего распределения оказывается универсальным: а — 3/2. В случае распада на мономеры показатель экспоненты связан с кинетическими коэффициентами соотношением Л = (А/С)2.

Учитывая, что масса частиц радиусом R^ и плотностью р, содержащих к мономеров, равна m,t = кгщ = 4/ЗпрЩ., a dk = 3R2dR/Rl, где Ri -радиус мономера, из (33) можно получить распределение по размерам в виде:

пц ~ R~* ехр (—АдД3) , (36)

где показатель степени х и показатель экспоненты \ц связаны с а и Л в (33) следующим образом:

^ = 3« - 2, Ал = А/Я? (37)

Таким образом, и ~ 5/2 соответствует а = 3/2.

Путем анализа данных рассеяния радиоволн в кольцах Сатурна в работе [2] было получено распределение частиц по размерам, представленное на рис. 6 сплошной линией. Пунктирной линией показана апрокси-мация данного распределения функцией (36) при Ад = 0.000, х = 5/2. Видно, что согласие является практически идеальным. Таким образом, можно сделать вывод о том, что стационарное распределение по размерам, представимое в виде произведения степенной и экспоненциальной функций, является универсальным свойством любой системы с баллистической агрегацией и фрагментацией, вне зависимости от детального механизма фрагментации. Более того, степенной показатель оказывается универсальным для широкого класса моделей.

В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Для газа гранулярных частиц с реалистичным коэффициентом восстановления, зависящим от скорости согласно модели вязкоупругих частиц, впервые детально исследована функция распределения по скоростям, представленная в виде разложения по ортогональным полиномам Сонина. Показана сложная немонотонная зависимость от времени первых коэффициентов разложения, отвечающая немонотонной эволюции функции распределения.

2. Впервые построена теория броуновского движения в газе вязкоупругих частиц. Получено уравнение Фоккера-Планка, описывающее эволюцию функции распределения броуновских частиц по скоростям. Показано нарушение флуктуационно-диссипационного соотношения в случае остывающего газа и его выполнение для газа с внешним стохастическим воздействием.

3. Обнаружено нарушение равнораспределения средней кинетической энергии между броуновскими частицами и окружающим газом. Показано, что отношение гранулярных температур различных частиц немонотонным образом меняется с течением времени, что приводит к появлению новых режимов движения броуновской частицы: супердиффузионного и субдиффузионного, отвечающего эффективной локализации частицы.

4. На основе общей кинетической теории гранулярных газов разработана модель баллистической агрегации и фрагментации. Изучены различные модели фрагментации. Для ряда моделей получены аналитические результаты для распределения частиц по размерам. Развитая теория применялась для ряда астрофизических систем. В частности, было показано, что распределение частиц по размерам хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым в кольцах Сатурна.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В., Лоскутов А.Ю. Броуновское движение в гранулярных газах вязкоупругих частиц. — ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136. - № 6. - Стр. 1094-1104.

2. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Krapivsky P.L. A model of ballistic aggregation and fragmentation. Journal of Statistical Mechanics. — 2009. — P06011.

3. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. Granular gas of viscoelastic particles in a homogeneous cooling state. Physica A. — 2009. — Vol. 388. — No. 17. — Pp. 3315-3324.

4. Бодрова А.С., Бриллиантов H.B. Кинетика охлаждения гранулярного газа вязкоупругих частиц. Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. ~ 2009. - № 2. - Стр. 25-28.

5. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems. Proceedings of the XXXVI Summer School Advanced Problems In Mechanics АРМ. - 2008. - Pp. 151-159.

6. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Model of ballistic aggregation and fragmentation".

- XXXVII Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2009".

- Book of abstracts. - Pp. 30. - 2009.

7. Бодрова А.С. — Кинетика диссипативного газа вязкоупругих частиц.

— Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам "Ломоносов-2009". Секция "Физика".

— Сборник тезисов. — Стр. 217-218. — Москва: Физический факультет МГУ, 2009.

8. Бодрова А.С. — Эволюция гранулярного газа вязкоупругих частиц. — Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых "ВНКСФ-15". — Сборник тезисов. — Стр. 41-42. — Екатеринбург-Кемерово: Издательство АСФ России, 2009.

9. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. — "Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. - Pp. 22-23. - 2008.

10. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Translational and rotational diffusion of rough granular particles". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. - Pp. 22. - 2008.

Список литературы

1. Brilliantov N.V., Poschel T. Kinetic theory of Granular Gases. Oxford: Oxford University Press, 2004.

2. Zebker H. A., Marouf E. A., Tyler G. L. Saturn's Rings: Particle Size Distributions for Thin Layer Models. Icarus — 1985. — Vol. 64. — No. 3. — Pp. 531-548.

Подписано в печать 16.09.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1021 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Методы описания систем диссипативных частиц

1.1 Основные характеристики диссипативных газов.

1.2 Кинетическое уравнение Больцмана.

1.3 Оператор бинарных соударений

1.4 Модель вязкоупругих частиц.

1.5 Гидродинамика гранулярных газов.

1.6 Численные методы.

1.7 Выводы.

2 Эволюция однородного гранулярного газа

2.1 Функция распределения вязкоупругих частиц по скоростям

2.1.1 Разложение по полиномам Сонина.

2.1.2 Область высоких скоростей.

2.1.3 Диссипативный газ в термостате.

2.2 Особенности диффузионного движения.

2.2.1 Коэффициент диффузии вязкоупругих частиц

2.2.2 Влияние свойств поверхности частиц на диффузию

2.3 Выводы.

3 Броуновское движение в диссипативном газе

3.1 Общие характеристики броуновского движения

3.2 Вывод уравнения Фоккера-Планка.

3.3 Гранулярная температура броуновских частиц.

3.3.1 Вывод уравнения эволюции температуры из уравнения Фоккера-Планка.

3.3.2 Вычисление гранулярной температуры методом оператора бинарных соударений.

3.4 Новые режимы движения броуновских частиц в остывающем гранулярном газе.

3.5 Броуновское движение в стационарном гранулярном газе

3.6 Выводы.

4 Система гранулярных частиц с баллистической агрегацией и фрагментацией

4.1 Исследования агрегации и фрагментации.

4.2 Бимодальная система: крупные частицы и пыль.

4.3 Полидисперсная система частиц.

4.3.1 Описание модели.

4.3.2 Фрагментация на две части.

4.3.3 Распад на мономеры.

4.3.4 Степенное распределение фрагментов.

4.3.5 Распределение частиц по размерам в кольцах Сатурна

4.4 Выводы.

Диссипативные системы представляют собой системы частиц, полная механическая энергия которых (сумма кинетической и потенциальной) убывает в процессе их эволюции, переходя в теплоту, иными словами, в энергию молекулярного движения. В качестве примера можно привести движение одного из тел по поверхности другого при наличии силы трения или движение тела в вязкой среде. Данные системы являются открытыми в термодинамическом смысле и процессы в них часто происходят вдали от термодинамического равновесия.

Диссипативные потери также наблюдаются при соударении двух макроскопических тел, так как характер их взаимодействий не является абсолютно упругим. Между ними действуют вязкие, адгезивные силы и силы трения. В результате часть кинетической энергии макроскопических тел переходит в возбуждение их внутренних степеней свободы.

Рассмотрим совокупность большого числа макроскопических тел. Подобная система носит название гранулярной. Гранулярные вещества широко распространены как в природе, так и в промышленности, например, в строительной, пищевой и химической. В качестве примеров подобных систем можно привести песок, гравий, пудры, порошки, соль. В отличие от сред, рассматриваемых в термодинамике, которые состоят из отдельных атомов и молекул, составными компонентами гранулярных веществ являются макроскопические частицы: например, песок состоит из отдельных песчинок. Между характерными состояниями гранулярной среды и агрегатными состояниями вещества можно провести известную аналогию. Совокупность камней в земных условиях при приложении небольшой нагрузки сохраняет форму и объем подобно твердым телам за счет действия сил трения. Однако, если величина внешней силы превышает определенный порог, камни приходят в движение, аналогичное потоку жидкости. В случае, если расстояние между гранулярными частицами существенно больше их размеров, а движение происходит по баллистическим траекториям между отдельными столкновениями, носящими дис-сипативный характер, данная система носит название гранулярный или диссипативный газ [1-5].

Из-за силы тяжести для поддержания гранулярного вещества в газообразном состоянии в земных условиях требуется воздействие внешней г силы. В лаборатораных исследованиях эту роль выполняют вибрирующие стенки сосуда [6-10]. В естественных условиях гранулярные газы образуются при движении вещества с большим градиентом скоростей: при сходе лавин или при увлечении частиц пыли и песка воздушными массами в ядре смерча или торнадо. Другими примерами гранулярных газов являются космические объекты: это планетные кольца (например, кольца Сатурна), протопланетарные диски, а также межзвездные пылевые облака [11].

Таким образом, гранулярный газ является существенно неравновесной системой, и для его описания неприменимы стандартные методы равновесной статистической механики, такие как метод ансамбля Гибб-са, термодинамических потенциалов и другие. Существующие теории слабонеравновесных процессов также не могут быть использованы. Тем не менее, естественным способом построения теории гранулярных газов представляется обобщение кинетических уравнений неравновесной статистической физики, используемых для описания молекулярных газов, с учетом диссипации кинетической энергии при соударениях частиц.

В предыдущих исследованиях диссипативных газов был обнаружен ряд необычных эффектов, таких как отклонение функции распределения по скоростям от распределения Максвелла, аномальная диффузия, спонтанное образование пространственных неоднородностей - кластеров и вихрей, нарушение флуктуационно-диссипационных соотношений и равнораспределения энергии по степеням свободы [1,12].

Однако, несмотря на значительные успехи, теория гранулярных сред все еще далека от завершения. В частности, в современных теоретических исследованиях используется предположение постоянства коэффициента восстановления, равного отношению модулей относительных скоростей после и до соударения, что существенно упрощает расчеты, однако противоречит экспериментальным данным и детальному теоретическому анализу соударения двух частиц. Использование подобного предположения зачастую может приводить к ошибочным выводам.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке кинетической теории гранулярных газов. В первой главе описаны методы неравновесной статистической механики, применяемые для изучения разреженных диссипативных сред, дан краткий обзор исследований в этой области.

Вторая глава посвящена исследованию эволюции функции распределения частиц однокомпонентного гранулярного газа по скоростям с коэффициентом восстановления, зависящим от скорости соударяющихся частиц. Также изучаются особенности диффузионного движения в дис-сипативном газе, в частности, влияние свойств поверхности соударяющихся частиц на диффузию.

В третьей главе рассматривается простейший случай двухкомпонент-ной гранулярной системы, состоящей из массивных броуновских частицы, помещенных в окружающий газ более мелких и легких частиц. В исследовании учитывается зависимость коэффициента восстановления от скорости соударяющихся частиц. Найдено необычное поведение температуры броуновских частиц, а также сложный режим их диффузии, в частности, установлено существование режимов супердиффузии, локализации и обычной диффузии.

В четвертой главе построена теория системы гранулярных тел с одновременной баллистической агрегацией и фрагментацией, рассмотрены различные модели ударной фрагментации. Показан универсальный вид функции распределения частиц гранулярного газа по размерам в широком диапазоне параметров: степенная зависимость от размера с экспоненциальным спадом для крупных тел. Распределение частиц по размерам в планетарных кольцах может быть объяснено с помощью указанной зависимости.

4.4 Выводы

1. Построена теория баллистической агрегации и фрагментации в бимодальной системе, состоящей из крупных и пылевых частиц. При движении пылевые частицы могут либо оседать на поверхности крупных, либо покидать поверхность. Показано, что все частицы размером больше некоторого критического радиуса находятся в свободном состоянии, а частицы меньшего размера покрывают поверхность крупных.

2. Впервые исследована аггрегации и фрагментации в полидисперсной системе частиц с дискретным распределением по массам. Изучены различные модели фрагментации. Получена и решена система кинетических уравнений, описывающая эволюцию концентраций компонент системы с различными массами. При фрагментации на две равные части в зависимости от величины энергетических порогов агрегации и фрагментации наблюдаются два режима эволюции системы: рост кластера бесконечного размера либо образование стационарного распределения по массам. При степенной фрагментации и разделении на мономеры система стремится к стационарному распределению при любом соотношении параметров.

3. Для различных моделей фрагментации вид стационарного распределения носит универсальный характер щ ~ к~а ехр (—Хк), согласующееся с распределением по размерам, полученным при анализе данных рассеяния радиоволн в кольцах Сатурна.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Для газа гранулярных частиц с реалистичным коэффициентом восстановления, зависящим от скорости согласно модели вязкоупругих частиц, впервые детально исследована функция распределения по скоростям, представленная в виде разложения по ортогональным полиномам Сонина. Показана сложная немонотонная зависимость от времени первых коэффициентов разложения, отвечающая немонотонной эволюции функции распределения.

2. Впервые построена теория броуновского движения в газе вязко-упругих частиц. Получено уравнение Фоккера-Планка, описывающее эволюцию функции распределения броуновских частиц по скоростям. Показано нарушение флуктуационно-диссипационного соотношения в случае остывающего газа и его выполнение для газа с внешним стохастическим воздействием.

3. Обнаружено нарушение равнораспределения средней кинетической энергии между броуновскими частицами и окружающим газом. Показано, что отношение гранулярных температур различных частиц немонотонным образом меняется с течением времени, что приводит к появлению новых режимов движения броуновской частицы: супердиффузионного и субдиффузионного, отвечающего эффективной локализации частицы.

4. На основе общей кинетической теории гранулярных газов разработана модель баллистической агрегации и фрагментации. Изучены различные модели фрагментации. Для ряда моделей получены аналитические результаты для распределения частиц по размерам. Развитая теория применялась для ряда астрофизических систем. В частности, было показано, что распределение частиц по размерам хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым в кольцах Сатурна.

Благодарности

Автор глубоко благодарен профессору Н.В. Бриллиантову за постановку научных задач, рассматриваемых в данной диссертации и их обсуждение.

Автор выражает искреннюю признательность сотрудникам Лаборатории Нелинейной Динамики А.Ю. Лоскутову, А.Р. Джаноеву и С.Д. Рыбалко за обсуждение данной работы и создание приятной научной атмосферы, И.Н. Павловой за сотрудничество, всему коллективу Кафедры Физики Полимеров и Кристаллов за замечательные лекции, а также зарубежным коллегам Н. Hayakawa, К. Saitoh, F. Spahn, J. Schmidt, S. Puri, A. K. Dubey, C. Saluena, T. Poeschel, P. Krapivsky за плодотворные дискуссии, способствовавшие созданию диссертации.

Автор благодарен оппонентам Г.Э. Норману и В.В. Белому, а также сотрудникам Института Космических Исследований, прежде всего, Л.М. Зеленому и Х.В. Маловой за рассмотрение данной диссертационной работы и ценные замечания.

Автор признателен также родителям за помощь и поддержку, родственникам и друзьям.

1. Brilliantov N. V., Poschel T. Kinetic theory of Granular Gases. — Oxford: Oxford University Press, 2004.

2. Goldhirsch I., Zanetti G. Clustering instability in dissipative gases.— Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 11.- P. 1619-1622.

3. Hinrichsen H., Wolf D. E. The Physics of Granular Media. — Berlin: Wiley, 2004.

4. Poschel T., Luding S. Granular Gases.— Berlin: Springer, 2001.— Vol. 564 of Lecture Notes in Physics.

5. Poschel T., Brilliantov N. V. Granular Gas Dynamics.— Berlin: Springer, 2003. — Vol. 624 of Lecture Notes in Physics.

6. Wildman R. D., Parker D.J. Coexistence of two granular temperatures in binary vibrofluidized beds. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 6.- P. 064301.

7. Feitosa K., Menon N. Breakdown of energy equipartition in a 2d binary vibrated granular gas. — Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 18. — P. 198301.

8. Aranson I. S. Olafsen J. S. Velocity fluctuations in electrostatically driven granular media. — Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66, no. 6. — P. 061302.

9. Rouyer F., Menon N. Velocity fluctuations in a homogeneous 2d granular gas in steady state. — Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 17. Pp. 3676-3679.

10. Losert W., Cooper D. G. W., Delour J., Kudrolli A., Gollub J. P. Velocity statistics in excited granular media. — Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 3. Pp. 682-690.

11. Greenberg R., Brahic A. Planetary Rings. — The University of Arizona Press, 1984.

12. Barrat A., Trizac E., Ernst M. H. Granular gases: dynamics and collective effects.— J. Phys.: Condens. Matter.— 2005.— Vol. 17, no. 24. P. S2429-S2437.

13. Huthmann M., Zippelius A. Dynamics of inelastically colliding rough spheres: Relaxation of translational and rotational energy. — Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 56, no. 6. - Pp. 6275 6278.

14. Luding S., Huthmann M., McNamara S., Zippelius A. Homogeneous cooling of rough, dissipative particles: Theory and simulations. — Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 58, no. 3. - Pp. 3416-3425.

15. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. — М.: Мир, 1980.

16. Schram P. P. J. М. Kinetic Theory of Gases and Plasmas. — AA Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1991.

17. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.

18. Carnahan N. F., Starling К. Е. Equation of state for nonattractive rigid spheres. J. Chem. Phys. — 1969. — Vol. 51, no. 2. — Pp. 635-637.

19. Deltour P., Barrat J.-L. Quantitative study of a freely cooling granular medium. — J. Physique I. — 1997. Vol. 7, no. 1. - Pp. 137-152.

20. Poschel T., Brilliantov N. V., Schwager T. Violation of Molecular Chaos in dissipative gases. — Int. J. Mod. Phys. C. — 2002. — Vol. 13, no. 9. — Pp. 1263-1272.

21. Ernst M. H., Dorfman J. R., Hoegy W. R., van Leeuwen J. M. J. Hard-sphere dynamics and binary-collision operators. — Physica A. — 1969. Vol. 45, no. 1. - Pp. 127-146.

22. Ernst M. H., Dorfman J. R. Non-analytic dispersion relations in classical fluids. I. The hard-sphere gas. — Physica A. — 1972. — Vol. 61, no. 2,- Pp. 157-181.

23. Chandler D. Rough hard sphere theory of the self-diffusion constant for molecular liquids. — J. Chem. Phys. — 1975. — Vol. 62, no. 4. — Pp. 1358-1363.

24. Brilliantov N. V., Revokatov O. P. Relation between momentum and angular momentum correlation times: Analysis of the uncorrelated successive binary collision approximation.— Chem. Phys. Lett.— 1984. Vol. 104, no. 5. - Pp. 444-447.

25. Goldsmit W. The Theory and Physical Behavior of Colliding Solids. — London: Arnold, 1960.

26. Bridges F. G., Hatzes A., Lin D. N. C. Structure, stability and evolution of saturn's rings. — Nature. — 1984. — Vol. 309, no. 5966. — Pp. 333335.

27. Taguchi Y. Powder turbulence: Direct onset of turbulent flow. — J. Phys. II France. 1992. - Vol. 2, no. 12. - Pp. 2103-2114.

28. Kuwabara G., Kono K. Restitution coefficient in a collision between two spheres. J. Appl. Phys. Part 1. - 1987. - Vol. 26, no. 8. - Pp. 12301233.

29. Ramirez R., Poschel T., Brilliantov N. V., Schwager T. Coefficient of restitution of colliding viscoelastic spheres. — Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60, no. 4. P. 4465-4472.

30. Brilliantov N. V., J.-M. Hertzsch F., Spahn and, Poeschel T. Model for collisions in granular gases. — Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, no. 5. — P. 5382-5392.

31. Morgado W. A. M., Oppenheim I. Energy dissipation for quasielastic granular particle collisions. — Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 55, no. 2. — Pp. 1940-1945.

32. Brilliantov N. V., Poschel Т. Velocity distribution in granular gases of viscoelastic particles. — Phys. Rev. E.— 2000,— Vol. 61, no. 5,— P. 5573-5587.

33. Brilliantov N. V., Poschel T. Hydrodynamics and transport coefficients for dilute granular gases. — Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 67, no. 6.— P. 061304.

34. Brilliantov N. V., Saluena C., Schwager Т., Poeschel T. Transient structures in a granular gas. — Phys. Rev. Lett. — 2004. — Vol. 93, no. 13,- P. 134301.

35. McNamara S. Hydrodynamic modes of a uniform granular medium. — Physics of Fluids A. 1993. - Vol. 5, no. 12. - Pp. 3056-3070.

36. Brilliantov N. V., Albers N., Spahn F., Poeschel T. Collision dynamics of granular particles with adhesion. — Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76, no. 5.- P. 051302.

37. Schwager Т., Poschel T. Coefficient of normal restitution of viscous particles and cooling rate of granular gases. — Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 57, no. 1.- P. 650-654.

38. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теория упругости. — M.: Физматлит, 2007.

39. Schwager Т., Poschel Т. Coefficient of restitution for viscoelastic spheres: The effect of delayed recovery. — Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 78, no. 5. P. 051304.

40. Johnson K.L., Kendall K. Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids. — Proc. Roy. Soc. London A. — 1971.— Vol. 324, no. 1558.- Pp. 301-313.

41. Sorace С. М., Louge М. Y., Crozier М. D., С. Law V. Н. High apparent adhesion energy in the breakdown of normal restitution for binary impacts of small spheres at low speed. — Mechanics Research Communications. — 2009. — Vol. 36, no. 3. — Pp. 364-368.

42. Brey J. J., Dufty J. W., Kim C. S., Santos A. Hydrodynamics for granular flow at low density. — Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58, no. 4. — Pp. 4638-4653.

43. Pöschel Т., Schwager Т. Computational Granular Dynamics. — Berlin: Springer, 2005.

44. Smit B. Frenkel D. Understanding molecular simulation from algorithms to applications. — San Diego: Academic Press, 2002.

45. Норман Г. Э., Стегайлов В. В. Метод классичекой молекулярной динамики: вклад в основания статистической физики. — Вестник Харковского национального университета — 2009. — Vol. 870, по. 17.- Pp. 11-51.

46. Kuksin А. Y., Morozov I. V., Norman G. E., Stegailov V. V., Valuev I. A. Standards for molecular dynamics modelling and simulation of relaxation.— Molecular Simulation.— 2005.— Vol. 31, no. 14-15.— P. 1005-1017.

47. Подлипчук В.Ю. Валуев A.A., Норман Г.Э. Метод молекулярной динамики: теория и приложения в сб. Математическое моделирование. Физико-химические свойства веществ под. ред. Самарского A.A., Калиткина H.H. М.: Наука, 1989. — Pp. 5-40.

48. Филинов B.C. Замалин В.М., Норман Г.Э. Метод Монте-Карло в статистической термодинамике. — М.: Наука, 1977.

49. Bird G. A. Molecular Gas Dynamics. — Oxford: Clarendon Press, 1976.

50. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В. Кинетика охлаждения гранулярного газа вязкоупругих частиц. — Вестник МГУ. Физика. Астрономия.— 2009. — по. 2. — Pp. 25-28.

51. Bodrova A. S., Brilliantov N. V. Granular gas of viscoelastic particles in a homogeneous cooling state. — Physica A. — 2009. — Vol. 388, no. 17.- Pp. 3315-3324.

52. Noskowicz S. H., Bar-Lev O., Serero D., Goldhirsch I. Computer-aided kinetic theory and granular gases. — Europhys. Lett. — 2007. — Vol. 79, no. 6. P. 60001.

53. Huthmann M., Orza J. A., Brito R. Dynamics of deviations from the gaussian state in a freely cooling homogeneous system of smooth inelastic particles. Granular Matter. — 2000. — Vol. 2, no. 4. — Pp. 189-199.

54. Brilliantov N. V., Poschel T. Breakdown of the sonine expansion for the velocity distribution of granular gases. — Europhys. Lett. — 2006. — Vol. 74, no. 3. Pp. 424-430.

55. Esipov S. E., Poschel T. The granular phase diagram.— J. Stat. Phys. 1997. - Vol. 86, no. 5-6. - Pp. 1385-1395.

56. Poschel Т., Brilliantov N. V., Formella A. Impact of high-energy tails on granular gas properties. — Phys. Rev. E. — 2006. — Vol. 74, no. 4. — P. 041302.

57. Poschel Т., Brilliantov N. V., Formella A. Granular gas cooling and relaxation to the steady state in regard to the overpopulated tail of the velocity distribution. Int. J. Mod. Phys. C. - 2007. - Vol. 18, no. 4. — Pp. 701-711.

58. Montanero J. M., Santos A. Computer simulation of uniformly heated granular fluids. — Granular Matter. — 1998. — Vol. 2, no. 2. — Pp. 5364.

59. Brilliantov N. V., Poschel T. Self-diffusion in granular gases: Green-kubo versus chapman-enskog. — Chaos.— 2005.— Vol. 15, no. 2. P. 026108.

60. Brilliantov N. V., Poschel Т., Kranz W. Т., Zippelius A. Translations and rotations are correlated in granular gases. — Phys. Rev. Lett. — 2007. Vol. 98, no. 12. - P. 128001.

61. Бриллиантов H.B., Ревокатов О.П. Молекулярная динамика неупорядоченных сред. — М.: Издательство Московского Университета, 1996.

62. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В., Лоскутов А.Ю. Броуновское движение в гранулярных газах вязкоупругих частиц,— ЖЭТФ.— 2009,-Vol. 136, по. 6,- Pp. 1094-1104.

63. Lebowitz J. L., Resibois P. Microscopic theory of brownian motion in an oscillating field; connection with macroscopic theory. — Phys. Rev. — 1965.-Vol. 139, no. 4A.-P. 1101-1111.

64. Bocquet L., J.-P. Hansen Dynamics: Models and kinetic methods for non-equilibrium many body systems. — NATO ASI Series. — 2000.— Vol. 371,- P. 1.

65. Brey J. J., Ruiz-Montero M. J., Garcia-Rojo R., Dufty J. W. Brownian motion in a granular gas. — Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60, no. 6. — Pp. 7174-7181.

66. Dufty J. W., Brey J. J. Brownian motion in a granular fluid. — New J. of Phys. 2005. - Vol. 7. - P. 20.

67. Santos A., Dufty J. W. Nonequilibrium phase transition for a heavy particle in a granular fluid. — Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64, no. 5. — P. 051305.74. ван Кампен H. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990.

68. Belyi V. V. Fluctuation-dissipation dispersion relation and quality factor for slow processes. — Phys. Rev. E. — 2004. Vol. 69, no. 3. — P. 017104.

69. Belyi V. V. Fluctuation-dissipation relations for a nonlocal plasma. — Phys. Rev. Lett. — Jun 2002. Vol. 88, no. 25. - P. 255001.

70. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Krapivsky P.L. A model of ballistic aggregation and fragmentation. — J. Stat. Mech.— 2009. — P. P06011.

71. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems. — Proceedings of АРМ. — 2008. — Pp. 151-159.

72. Dominik C., Tielens A. G. G. The physics of dust coagulation and the structure of dust aggregates in space. — Astrophys. J . — 1997. — Vol. 480, no. 2. Pp. 647-673.

73. Spahn F., Albers N., Sremcevic M., Thornton C. Kinetic description of coagulation and fragmentation in dilute granular particle ensembles. — Europhys. Lett. 2004. - Vol. 67, no. 4. - Pp. 545-551.

74. Longaretti P.-Y. Saturn's main ring particle size distribution: An analytic approach. — Icarus. — 1989. — Vol. 81, no. 1. — Pp. 51-73.

75. Ben-Naim E., Krapivsky P., Leyvraz F., Redner S. Kinetics of ballistically-controlled reactions. — J. Phys. Chem. — 1994. — Vol. 98, no. 30. Pp. 7284-7288.

76. Carnevale G. F., Pomeau Y., Young W. R. Statistics of ballistic agglomeration.— Phys. Rev. Lett.— 1998.— Vol. 64, no. 24.— Pp. 2913-2916.

77. Trizac E., Hansen J.-P. Dynamic scaling behavior of ballistic coalescence. — Phys. Rev. Lett. — 1995. — Vol. 74, no. 21.— Pp. 41144117.

78. Frachebourg L. Exact solution of the one-dimensional ballistic aggregation. — Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82, no. 7.— Pp. 15021505.

79. Trizac E., Krapivsky P. L. Correlations in ballistic processes. — Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91, no. 21. - P. 218302.

80. Brilliantov N. V., Spahn F. Dust coagulation in equilibrium molecular gas. — Mathematics and Computers in Simulation. — 2006. — Vol. 72, no. 2-6. Pp. 93-97.

81. Cheng Z., Redner S. Kinetics of fragmentation. — J. Phys. A: Math. Gen. — 1990. — Vol. 23, no. 7,- Pp. 1233-1258.

82. Krapivsky P., Ben-Naim E. Shattering transitions in collision-induced fragmentation. Phys. Rev. E. - 2003. — Vol. 68, no. 2. - P. 021102.

83. Hidalgo R. C., Pagonabarraga I. Driven fragmentation of granular gases. Phys. Rev. E. - 2008. - Vol. 77, no. 6. - P. 061305.

84. Marsili M., Zhang Yi.-C. Probabilistic fragmentation and effective power law. — Phys. Rev. Lett. — 1996,— Vol. 77, no. 17.— Pp. 35773580.

85. French R. G., Nicholson P. D. Particle sizes inferred from stellar occultation data. Icarus. - 2000. — Vol. 145, no. 2. — Pp. 502-523.

86. Garzo V., Dufty J. W. Dense fluid transport for inelastic hard spheres. Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 59, no. 5. - P. 5895-5911. .

87. Gillespie D. T. A general method for numerically simulating the stochastic time evolution of coupled chemical reactions. — J. Comput. Phys. 1976. - Vol. 22, no. 4. - Pp. 403-434.

88. Poeschel T., Brilliantov N., Frommel C. Kinetics of prion growth.— Biophysical Journal. — 2003. — Vol. 85, no. 6. — Pp. 3460-3474.

89. Cheng Z., Redner S. Scaling theory of fragmentation. — Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 60, no. 24. - Pp. 2450-2453.

90. Leyvraz F. Scaling theory and exactly solved models in the kinetics of irreversible aggregation. — Physics Reports. — 2003. — Vol. 383, no. 2-3. Pp. 95-212.

91. TafF L.G., Savedoff M.P. The mass distribution of objects undergoing collisions with applications to interstellar hi clouds. — Mon. Not R. astr. Soc. 1973. - Vol. 164, no. 1,- Pp. 357-379.

92. Hartmann W.K. Terrestrial, lunar and interplanetary rock fragmentation. Icarus. — 1969. - Vol. 10, no. 2. — Pp. 201-213.

93. Zebker H. A., Marouf E. A., Tyler G. L. Saturn's rings: Particle size distributions for thin layer models. — Icarus. — 1985. — Vol. 64, no. 3. — Pp. 531-548.1. Список публикаций1. Статьи

94. Бодрова А.С., Бриллиантов Н.В., Лоскутов А.Ю. Броуновское движение в гранулярных газах вязкоупругих частиц. — ЖЭТФ. — 2009. — Т. 136. № 6. - Стр. 1094-1104.

95. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Krapivsky P.L. A model of ballistic aggregation and fragmentation. Journal of Statistical Mechanics. — 2009. — P06011.

96. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. Granular gas of viscoelastic particles in a homogeneous cooling state. Physica A. — 2009. — Vol. 388. — No. 17. — Pp. 3315-3324.

97. Бодрова А.С., Бриллиантов H.B. Кинетика охлаждения гранулярного газа вязкоупругих частиц. Вестник МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2009. - № 2. - Стр. 25-28.

98. Brilliantov N.V.j Bodrova A.S., Spahn F. Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems. Proceedings of the XXXVI Summer School Advanced Problems In Mechanics АРМ. 2008. — Pp. 151-159.1. Тезисы конференций

99. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Model of ballistic aggregation and fragmentation". — XXXVII Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2009". Book of abstracts. - Pp. 30. - 2009.

100. Бодрова А.С. — Эволюция гранулярного газа вязкоупругих частиц. — Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых "ВНКСФ-15". — Сборник тезисов. — Стр. 41-42. — Екатеринбург-Кемерово: Издательство АСФ России, 2009.

101. Brilliantov N.V., Bodrova A.S., Spahn F. — "Dynamic equilibrium in aggregating and shattering systems". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. — Pp. 22-23. — 2008.

102. Bodrova A.S., Brilliantov N.V. — "Translational and rotational diffusion of rough granular particles". — XXXVI Summer School "Advanced Problems In Mechanics APM-2008". Book of abstracts. Pp. 22. - 2008.