Кинетика нестационарной бинарной конденсации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

эл.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛЕЗОВА Александра Андреевна

КИНЕТИКА НЕСТАЦИОНАРНОЙ БИНАРНОЙ КОНДЕНСАЦИИ

Специальность - 01 04 07 - физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

003168895

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научные руководители доктор физико-математических наук, профессор[Гринин Александр Павлович) доктор физико-математических наук, профессор Куни Федор Максимилианович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор Антонов Николай Викторович

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Бойко Галина Григорьевна

Ведущая организация Физико-технический институт имени А Ф Иоффе РАН

Защита состоится «3» СпырЛ 2008 г в// часов на заседании совета Д 212 232 33 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Ульяновская 1, НИИФ СПбГУ, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета

Автореферат разослан «^Г» ил£а$1_ 2008 г

И О ученого секретаря диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор

А А Трусов

Актуальность темы исследования Зарождение частиц конденсированной фазы в пересыщенном паре — сложное физическое явление, относящееся к области фазовых переходов первого рода Оно протекает в естественных \ словиях, в разнообразных технических устройствах и наблюдается в лабораторных у становках

Во многих практически важных ситуациях два (или более) пара в присутствии пассивного газа конденсируются одновременно Это приводит к формированию смешанных (бинарных) капель Значимость кинетики бинарнои конденсации определяется, в частности, интересами изучения состояния земной атмосферы, интересами предсказания дождей, а также размеров и состава выпадающих капель, потребностями современных технологических процессов, в которых образование новой фазы вещества может быть как желательным, так и нежелательным явлением Теоретическое описание кинетики бинарнои конденсации является, таким образом, актуальным направлением физики конденсированного состояния

Важной составляющем всей кинетики бинарной конденсации является пробтема роста отдельной капли бинарного раствора, которая находится в атмосфере из пассивного газа и смеси конденсир) емых каплей паров Решение этой проблемы необходимо для глубокого понимания эволюции ансамбля капель бинарного раствора, конкуриру ющих в потреблении избыточных паров из окружающей их атмосферы

Цели работы. Большим недостатком всех исследований по конденсации, в том числе и исследований по конденсации однокомпонентного пара было то, что концентрация пара вокруг растущих капель находилась лишь в стационарном (точнее, квазистационарном) приближении Этот недостаток проявлялся уже и на уровне рассмотрения одиночной расту щей капли (а не всего ансамбля растущих капель)

Строгое решение нестационарной задачи диффузии однокомпонентного пара к растущей в диффузионном режиме капле чистой жидкости было найдено с привлечением идеи подобия в недавней работе [1] Обобщение работы [1] на случаи диффузии двухкомпонентнои смеси паров к растущей в диффузионном режиме капле бинарного раствора является первой из задач предлагаемой диссертации Актуальность поставленной задачи явствует из важности нестационарных эффектов в кинетике конденсации смеси паров

Постатейная задача не является тривиальнои Построение автомодельной теории бинарной конденсации возможно, как показано в диссертации, лишь при соблюдении определенного условия Это условие имеет вид уравнения на концентрацию бинарного раствора в капле Уравнение, как тоже показано в диссертации, однозначно определяет

постоянную во времени концентрацию раствора Последняя имеет смысл стационарной концентрации, при которой баланс количеств молекул, выведенных диффузией из смеси паров вокруг капли, и количеств молекул, вошедших в раствор в растущей капле, поддерживается неограниченно долго

Хотя построенная в диссертации автомодельная теория бинарной конденсации и дает по.шч ю информацию о нестационарных полях концентрации пароЕ вокруг капли и росте капли при стационарной концентрации раствора в ней, однако, естественно встает вопрос будет ли стационарная концентрация раствора в капле действительно устанавливаться'' Ответ на этот вопрос является второй из задач диссертации Актуальность данной задачи явствует из важности для кинетики конденсации смеси паров понятия о стационарной концентрации раствора в капле Значение поставленной задачи выходит за рамки самой автомодельной теории

Научная новизна В диссертации показано, что стационарная концентрация раствора в капле неизбежно устанавливается во времени, а именно устанавливается по степенному закону, причем даже и за времена, за которые радиус капли не успевает заметно измениться Оценено и время, спустя которое после зарождения капли вступает в силу данный закон

Степенной закон установления во времени стационарной концентрации раствора в капле при дифф\ знойном режиме ее роста подтвержден в диссертации независимым способом безотносительно к автомодельной теории При этом уравнение для стационарной концентрации вводится не как условие существования автомодельной теории, а как непосредственное следствие определения концентрации раствора в капле при} словии постоянства концентрации во времени

В таком смысле уравнение для стационарной концентрации может быгь получено и без предположения о диффузионном режиме роста капли, необходимом для автомодельной теории Это позволяет распространить результаты диссертации на кинетику бинарной конденсации при свободно — молекулярном режиме роста капли и, тем самым, значительно расширить вторл ю из решаемых в диссертации задач Уравнение для стационарной концентрации раствора в капле становится тогда иным Тем не менее стационарная концентрация по - прежнему устанавливается во времени по степенному закону, однако уже с другим показателем степени По - прежнему установление стационарной концентрации происходит за времена, за которые радиус капли не \ спевает заметно измениться Оцененное в диссертации время, спустя которое после зарождения капли вступает в силу степенной закон установления стационарной концентрации,

оказывается существенно меньше аналогичного времени при дифф\зионном режиме роста капти

Наиденные в степенных законах >становления во времени стационарной концентрации показатели степени равны в случаях диффузионного и свободно -молек\ тярного режимов роста капли соответственно 3/2 и 3 Эти показатели отвечают павному приближению предюженного в диссертации метода возмущения по отклонению нестационарном концентрации раствора в капле от стационарной концентрации При у чете в данном методе поправочных вкладов показатели степени становятся, как показано в диссертации, несколько больше Это означает, что показатели степени 3/2 и 3 отвечают преде тьно медленному установлению во времени стационарном концентрации бинарного раствора в расту щей капле

То, что уже и минимальные показатели степени 3/2 и 3 все же в 3 раза ботьше показатетеи степеней в степенной зависимости от временн радиуса капли в случаях диффузионного и свободно - молекулярного режимов роста капли является жетанным фактором Действительно, чем быстрее устанавливается во времени стационарная концентрация, тем ботьшую часть времени капля растет при стационарной в ней концентрации, когда только и известна аналитически зависимость радиуса двухкомпонентной капти от времени

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы мог)т быть испотьзованы при изучении состояния земной атмосферы, предсказании дождей а также размеров и состава выпадающих капель Кроме того, они могут быть применены при разработке современных технологических процессов в которых образование новой фазы вещества может быть как полезным (влияние на свойства поверхности твердых тел напыления на нее постороннего вещества) так и вредным (образование конденсированных скоплении в соплах реактивных двигателей, радиационное распухание и старение металлов) явлением

Сделанные в диссертации выводы для одкночнои растущей капти бинарного раствора применимы и к ансамблю таких капель, конкурирующих в потреблении избыточных паров из окружающей их атмосферы Эти выводы применимы в классическом подходе к проблеме конденсации, в котором предполагается, что концентрации паров постепенно меняются со временем в рез\ льтате поглощения паров ансамблем капель, однако, в каждый текущий момент времени концентрации остаются в среднем одинаковыми во всем ансамбле капеть Этот классический подход успешно

развивался на кафедре статистической физики Санкт - Петербургского университета в проблеме однокомпонентной конденсации [2,3]

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Третьей конференции молодых ученых ИБС - 2007 (Санкт - Петербург, 2007 г) 11th, 12th Research Workshop Nucleation Theoiy and Applications (Dubna, Russia, 2006 2007)

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 работ, из них 4 статьи и тезисы докладов на Международной конференции

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, выносимых на защиту основных результатов диссертации, 3-х приложений и списка цитируемой литературы из 57 наименований Работа изложена на 104 стр, содержит 4 рисунка

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении сформулированы акт\альность, цель и задачи работы, а также приведен обзор результатов современных исследований кинетики бинарной конденсации

В первой главе диссертации исследовано установление стационарной концентрации раствора в растущей или испаряющейся капле идеального бинарного раствора Режим обмена молекулами между каплей и парами считается диффузионным Капля растет в диффузионном режиме, когда ее радиус R значительно превышает длину свободного пробега А молекул паров в пассивном газе (R»X) Здесь и далее предполагается, что пассивного газа в парогазовой смеси достаточно, чтобы эффектами выделения теплоты фазового перехода, а также стефановским течением парогазовой смеси и взаимовлиянием диффузионных потоков молекул разных паров друг на друга можно было пренебречь

Выражения, позволяющие рассчитать зависимости от времени концентрации раствора в капле, чисел составляющих каплю молекул и ее радиуса были получены на основе формул Ф\кса [4] для скорости изменения числа JC молекул I — го компонента в капле

лО.Ь-ииМ]* 0 = 1,2) (1)

Здесь t - время, Д - коэффициент диффузии молекул (— го компонента в пассивном газе, п^^с^ — плотность числа мотекул пара i—го компонента, находящегося в равновесии с каплей, п - плотность числа молекул пара i — го компонента в парогазовой

смеси на бесконечном удалении от капли, ¿7 - относитечьная концентрация 1-го компонента в капле с, з х1 /(х, + х„), с2э1 —с, нг х,/(л:, + х,)

Численный анализ соотношении (1) позволяет сделать вьшод о существовании в общем случае достаточно продолжительного периода времени, в течение которого при заметном изменении радиуса капли концентрация раствора в ней приближается к стационарному значению В течение этого периода рост или испарение капель не могут описываться в приближении стационарной концентрации раствора Для испаряющихся капель изменения, происходящие в них при установлении стационарной концентрации раствора, могут существенно влиять на их время жизни

В Главе 1 также обосновано предположение, согласно которому бинарный раствор в растущей капле молено считать однородным Эффект неоднородности раствора не проявится в случае растущей в диффузионном режиме капли, еста за время диффузионного сглаживания неоднородности раствора в объехш капли будет относительно мало изменение чисел X, и X, составляющих каплю моле>с\ ч Принимая для вреУ1ени 1В оценку ~ /О, где О - коэффициент взаимной диффузии компонентов 1 и 2 раствора в капле, запишеУ! названное \ словце как неравенство

сЬс. К2

—1— « Л", (2)

<11 В 1

(аналогично для коущонента 2) В диссертации показано, что неравенство (2) будет выполнено, если выполнено неравенство

V, (с,)]« 10", (3)

где V, - парциачьный обьеу! молекулы 1-го компонента в растворе Неравенство (3) обычно соблюдается вдали от критических точек веществ, образу ющих бинарную каплю, и при не С1ИШКОУ1 больших значениях разности И,—Предположение об

однородности раствора будет использоваться и в последу ющих главах диссертации

Также сформулированы условия уютастабильности двучкоушонентнои сУ1еси паров Уже из формул (1) видно, что необходимыми и достаточными устовиями роста капли бинарного раствора являются два неравенства

и1>"1-(с1)' пг>пгХс^) (4>

Лишь при соблюдении обоих условии (4) числа молекул каждого из двух компонентов бинарного раствора в капле будут расти со временем Лишь тогда будет расти со

временем и радиус капли /? В дальнейшем считаем, что условия (4) соблюдаются Заметим, что условия метастабильности (4) имеют место и при любом, а не только диффузионном режиме обмена молекулами между каплей и смесью паров

Во второй главе диссертации построено точное автомодельное решение задачи о нахождении нестационарных потей концентрации паров вокруг капли бинарного раствора, растущей вследствие конденсации паров из парогазовой смеси

Плотность числа молекул пара Я ( /", /) компонента I на расстоянии г от центра растущей кати в момент времени / (об И (г,/) будем кратко говорить как о концентрации компонента I пара) подчиняется уравнению дпффу зил

Э/ г2 Эг

,Эи(г,г)' Эг

(г>Л(/),|=1,2),

удовтетворяет начальному усчовию однородности потя концентрации пара

0 = 1,2)

и равновесному' граничному' условию на поверхности капли

/г'(,"'/)и(г)="-(с) о=1>2)

(5)

(6)

(7)

Концентрация с, понимаемая как с = с1 з я^ /(л^ + д:2), подлежит нахождению Следуя [1], вводим автомодельную переменно ю /7 с помощью

р = г/Д(/) (¿>>1) (8)

Решение П (>*,?) у равнения (5) ищем в виде

и,(г,/) = и1(р) (( = 1,2) (9)

Из уравнения баланса количества конденсирующегося вещества тогда следует, что радиус капли растет со временем по корневому закону

я(0=Рг,/2 (Ю)

Время / отсчитывается от момента зарождения капли Параметр ¡5 определяется с помощью

(с,) - [сх) ¿/р

0=1.2).

(П)

Р=1

(С1) ~ плотность числа молекул компонента I в капле

Соотношения (8) - (11) позволяют путем решения уравнения диффузии (5) при граничном у словии (7) потучить строго для потен концентрации паров выражения

„,(р) = ^(с,) + б[п«(с1)-п„(с1)>хр^|^«р(-|*2} {р>1), (12)

где параметры /), определяются соотношенияущ

Ь=/32/2П1 (/ = 1,2) (13)

Из (12) и граничных условии п, (р)| _ — ",0 вытекают для параметров й трансцендентные уравнения

- = Ь,ехр\^ ехр -^дг (, = 1,2) (14)

»¡"(с-)-», (с,) ' Я2;ь2 я 2

В приближении п^ (с,) » П10,и)'' (с,) » п^ (с,) большой плотности жидкого раствора вну три капли решениями трансцендентных у равнений (14) являются

0 = 1.2) (15)

Поскольку по (13) справедливо то из (15) с учетом очевидного

равенства и*''(с,)/«!,'1 (с,) = с,/(1 — с,) следуетуравнение

(16)

А К-"2-0-^)] 1-СЬ

для стационарной концентрации с, = (П1 = и0 величина записана как функция от 1 — с,) Согласно (16) отношение диффу зионных потоков коушонентов 1 и 2 смеси паров к капле равно отношению стационарных концентрации компонентов 1 и 2 в капле Это и раскрывает смысл понятия о стационарной концентрации Соблюдение уравнения (16) является условием существования автомодельной теории

По смысту величин с и \\ как относительных концентрации и парциальных

молекулярных объемов в растворе внутри капли имеем для величин И® (с,) равенства

^(<0 = —Г7Г-Г- !'С1 , (")

Согласно (13), (15) - (17) справедливы для параметра ¡} в законе (10) эквивалентные соотношения

С. V, + (1 — С, )v, г , чП

Р

= 2 А*', [п. - ('..)] + 2 ДV, [п2 - (1 - си)]

На основании (10) и (18) выяснены условия, при которых построенная автомодельная теория двухкомпонентной конденсации переходит в аналогичную теорию однокомпонентной конденсации Если сиУ,/(1 —cb)v2 »1 то рост капли происходит практически в результате конденсации компонента 1 из смеси паров При этом концентрация сь в капле близка к единице, так что капля состоит практически из

компонента 1 Ести же cuV', /(1— ) t'2 «1, то рост капли происходит в основном в результате конденсации компонента 2 из смеси паров При этом концентрация c]s в капле близка к нулю, так что капля состоит практически из компонента 2

В третьей главе диссертации получено на основе автомодельной теории релаксационное уравнение, по которому концентрация бинарного раствора в растущей в диффузионном режиме капле необратимо стремится с ростом времени к стационарной концентрации

Из (17) и очевидных равенств х

= (4л"Л3/3)«(,) следуют

4 XR' 4лКъ 1-е,

X, =---1---,Хг =--;-L-T--(19)

3 ^v.+íl-cjvj 3 c^+íl-cjv,

Полагая С, = с1а, дифференцируя (19) по времени, используя затем (10) и (18), получаем строго в автомодельной теории

^ = 4Щ[и, -^ (си)]R, ^= 4яД [и, -и2. (1 ■- си)]R (20)

Непосредственно из определения относительной концентрации с, следует (1 — c¡) Xj = clx2 Дифференцируя это по времени, получим общее соотношение

v 1 г) di v х> dt 1 dt В частности, при сх когда dch /dt = 0. соотношение (21) приводит в силу (20) к уравнению (16) полученному ранее в качестве условия существования автомодечьной

теории Описываемое соотношением (21) отклонение концентрации с, от стационарной концентрации будем рассматривать как возмущенное При этом для величины X, + X в зевой части (21) можем использовать невозмущенные, т е относящиеся к стационарной концентрации си формулы (19), (10) и первое из соотношений (18) Имеем тогда

[>>-»Ж)] (22)

3 си

Аналогично, для производных с1хк / ¿Л и (1к2 / сЛ в правой части (21) можем использовать невозмущенные формулы (20) и (10) Переписав предварительно второе из соотношений (20) с помощью \ равнения (16) тождественно как

^ = 4 (23)

Ш си

полу чим

= (24)

(выражение (24) линеино по отклонению с, — си, что подтверждает метод возмущения по с, — Подставим (22) и (24) в соотношение (21) Сокращая на общие множители, придем к релаксационному уравнению

Л 1 *

Пусть /0 и — такие значения времени X и ради\ са К, при которых предположенный в законе (10) диффузионный режим роста капли уже с запасом соблюдается Для этого требуется / А ~ 10 20 (Я - длина свободного пробега молекул паров в пассивном газе) Действительно, лишь тогда диффузионный режим будет осуществляться еще задолго до того, как становится справедливым сам закон (10) при

Решая уравнение (25) при начальном условии с,|( = с,с. находим

(26)

Решение (26) выражает степенной закон установления стационарной концентрация во времени Из (26) видно, что стационарная концентрация компонента 1 в капле устанавливается во времени даже и весьма быстро по сравнению с относительно

медленным ростом радиуса капли, происходящем согласно (10) и = Яп по

степенному закону

(27)

в котором показатель степени при / в три раза меньше, чем показатель степени при 1// в

Из (10) при / = 10 следует /0 = / Р~ Величина /р = //?2 соответствует характерному времени, спустя которое после зарождения капли вступают в силу степенной закон роста радиуса капли (27), релаксационное уравнение (25) и его решение (26) При 1(0/Л~ 10 — 20 и Л~3 10~5С1/ для <0 с учетом (18) имеем оценку

В Главах 2 и 3 предположение об идеальности раствора в капле не требовалось В четвертой главе диссертации вывод релаксационного уравнения (25) проведен независимым способом При этом сведения, даваемые автомодельной теорией, заменяются сведениями, даваемыми формулами Фукса (1), а уравнение (16) понимается не как условие существования автомодельной теории а как стационарное следствие общего соотношения (21)

В Главе 4 сделано также уточнение соотношения (24) важного для вывода релаксационного уравнения Производные ¿1х1 / ¿1/ и г/х, / с11 в (24) находятся, как то и щжно, при концентрации с, а не при концентрации си Это возможно по форм) лам Фукса (1), справедливым при с, Ф В правой части (24) возникает тогда дополнительное слагаемое, содержащее в себе множителем отклонение с,— си Знак этого слагаемого противоположен знаку отклонения с]~си что обязано термодинамическим условиям устойчивости растворов [5] В результате вместо (25) и (26) имеем

(26)

2(

(28)

где

л =

ДЬ-^ЛО]

(30)

и - вводимые формулами идеальных растворов плотности чиста молекут

насыщенных паров чистых жидкостей из компонентов 1 и 2 С помощью уравнения (16) можно записать (30) и в виде, показывающем симметрию величины 1} относительно компонентов 1 и 2

Согтасно (29) снова имеем степенное по времени установление стационарной концентрации раствора Поскотьку Т) > 0 в силу (30) и (4), то показатель степени при Хй!% в (29) больше в 1 + 1} раз аналогичного показателя в (26) Таким образом, > становление стационарной концентрации происходит по (29) даже и быстрее, чем по (26) Формула (26) описывает, следовательно, предельно медленное во времени \ становление стационарной концентрации раствора

Наконец, в Гтаве 4 результаты диссертации распространяются на кинетику бинарной конденсации при свободно - молекулярном режиме роста капли Условием осуществления этого режима является К«Л Капля предпотагается заметно заьритическои, те такой, что справедливо И > (3 — 4) где К - радиус критической капли, удовлетворяют!!« весьма сильному неравенству 11с « Л Лишь при соблюдении 1{ > (3 — (что в силу 7? «Л совместимо с условием Я «Л) капля после

зарождения в момент времени ? = 0 растет уже необратимо Тогда же величины (с,) и (] — с,) уже не зависят от радиуса капли Н и справедливы формулы

где С1{ и а2 (а; <1,а2 < 1)- коэффициенты конденсации каплей молекул компонентов 1 и 2 смеси паров, и И', - средние тепловые скорости этих молекул

Из (31) при с, =с,5 и из общего соотношения (21), справедливого при свободно -молекулярном режиме роста капли, след> ет уравнение для стационарной концентрации

^ = ЯИМ = ЩРг [«2 -"2.(1-^, )]«'. (31)

С,

С,

Из (31) также следует линейный по времени закон

Я = р, (33)

где постоянная у дается равенством

1 1

/ = + -И2.(1-Си)] (34)

Обычно ~ 10~7 см и Л~3 10"5ск Тогда закон (33) справедлив при Г0 </< 3"Г0, где Т0 ~ ЗОЛ / у Действительно, лишь тогда по (33) будет 30< \\ < 90Й., так что капля уже задолго была заметно закритической, однако, еще продолжает удовлетворять у словию Л « Л К временам Т0 < / < Зт0 и будет относиться последу ющее рассмотрение

Применяя метод возмущения к соотношению (21), используя (32) - (34), получим релаксационное уравнение

¿¡с, З(с-с)

—1- =--—-^ (35)

Л Г

Решая уравнение (35) при начальном условии | ^ = сш, находим

С,-Си=(С.О-Сь)(7-„/03 (36)

Решение (36) выражает степенной закон установления стационарной концентрации во времени В полной аналогии с (28) - (30) можно было бы уточнить уравнение (35) и его

решение (36) Тогда вместо множителя (Т"0 / ^) в (36) мы бы имели множитель (г0 П^их\ где X находится по равенству (30) заменой в нем 01 и П2 на Се1\г1 и

Оценивая у с помощью (34), а затем оценивая Г0 с помощью Г0 =* ЗОЛ. / полагая К ~ 10~7см, имеем Т „~ 10~5с

С ' О

Выносимые на защиту основные результаты диссертации:

1 Построена автомодельная теория бинарнои конденсации и на ее основе найдены нестационарные поля концентрации паров вокруг растущей в диффузионном режиме капли бинарного раствора Эти поля точно учитывают эффект движения поверхности капли Выявлено условие существования автомодельной теории Оно имеет вид уравнения на концентрацию бинарного раствора в капле Показано, что это уравнение однозначно определяет постоянную во времени концентрацию раствора Последняя имеет смысл стационарной концентрации, при которой баланс количеств молекул, выведенных

диффузией из смеси паров вокруг капли, и количеств молекул вошедших в раствор в растущей капле поддерживается неограниченно долго

2 В автомодельной теории при стационарной концентрации раствора найдены скорости роста чисет молекут и радиуса капли а также получено корневое по времени выражение для радиу са капли Выяснены условия перехода автомодельной теории двухкомпонентной конденсации в аналогичную теорию однокомпонентной конденсации

3 Для нахождения отклонения нестационарной концентрации раствора в капле от стационарной концентрации предложен метод возмущения, в котором стационарная концентрация и полученные для нее в автомодельной теории сведения рассматриваются в качестве нулевого приближения Этим методом найдено релаксационное уравнение, согласно которому концентрация бинарного раствора в растущей в диффузионном режиме капле стремится с ростоУ! времени к стационарной концентрации по степенному закону с пока;атетем степени 3/2 Поту чена оценка времени, спустя которое после зарождения капли всту пает в силу релаксационное уравнение

4 Вывод релаксационного уравнения проведен также и независимым способом без использования автомодельной теории При этом уравнение для стационарной концентрации вводится не как условие существования автомодельной теории, а как непосредственное следствие опредетения концентрации раствора в капле при условии постоянства концентрации во времени В таком смысле уравнение для стационарной концентрации может быть получено и без предположения о диффузионном режиме роста капли, необходимом для автомодельной теории

5 Полученные в диссертации результаты распространены на кинетику бинарной конденсации при свободно - молекулярном режиме роста капли, когда автомодельный подход в принципе неприменим Уравнение для стационарной концентрации раствора в капле оказывается тогда иным Тем не менее, согласно полученному при этом релаксационному уравнению, концентрация бинарного раствора в растущей в свободно -молекулярном режиме капле по - прежнему стремится с ростом времени к стационарной концентрации по степенному закону, однако, с показателем степени 3 Найдена оценка времени, спустя которое после зарождения каши вступает в силу релаксационное уравнение Это время существенно меньше аналогичного времени при диффузионном режиме роста капли

6 Как при диффузионном, так и при свободно - молекулярном режимах роста капли учтены методом возмущения поправочные вклады в релаксационное уравнение Показано, что концентрация раствора стремится с ростом времени к стационарной концентрации

опять по степенном) закону но показатели степени в этом законе становятся больше чем в отсутствие поправочных вкладов Таким образом, показатель степени 3/2 в случае диффузионного режима роста капли и показатель степени 3 в случае свободно -молекулярного режима роста капли соответствуют предельно медленному установлению во времени стационарной концентрации бинарного раствора в растущей капле Основное содержание диссертации изложено в следующих работах

1 А Л Гринин, А А ЛезоваН Установление стационарной концентрации в растущей или испаряющейся капле идеального бинарного раствора Коллоидный ж> рнал 2006 Т 68 №6 С 759-768

2 АЛ Гранин, А А Лезова, А В Козырев// Рост капли идеального бинарного раствора в смеси паров составляющих ее веществ и пассивного газа Вестник СПбГУ Сер 4 2006 Вып 2 С 29-36

3 Гришин А П. Купи Ф М, Лезова А А //Нестационарные поля концентрации паров вокру1 растущей капли бинарного раствора Коллоидный журнал 2008 Т70 №1 С 17 -25

4 Купи Ф М, Лезова А А // Стационарная концентрация бинарного раствора в растущей капле и закон ее установления во времени ДАН 2007 Т415 №5 С 1-3

5 Купи Ф М, Лезова А АН Стационарная концентрация бинарного раствора в расту щей капле и закон ее установления во времени Третья конференция молодых ученых ИБС -2007, Санкт - Петербург Тезисы докладов С 213

Список цитируемой литературы

1 Аджемян ЛЦ, Васильев АН, Гринин АП, Камнскии А К Автомодельное решение задачи диффузии пара к зародившейся и растущей в парогазовой среде капле Коллоидным журнал 2006 Т 68 №3 С 418

2 Купи ФМ Кинетическая теория конденсации в динамических условиях Сборник Проблемы теоретической физики III Изд-во Ленингр Унив 1988 С 192

3 Куни Ф.М, Щекин АК, Гринин АП Кинетика нестационарного обмена веществом между зародышами и раствором при произвотьнои скорости поглощения растворенного вещества зародышами Коллоидныи журнал 2000 Т 62 №2 С 191

4 // А Фукс Испарение и рост капель в газообразной среде Итоги науки Физико -математические на> ки Изд АНСССР Москва 1958 г

5 Ландау ЛД, Лившиц ЕМ Статистическая физика Часть 1 Изд-во «Наука» Главная редакция физико - математической литературы Москва 1976

Подписано в печать 23 04 2008 г Формат 84 X 90 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Объем 1,0 печ л Тираж 100 эга Заказ 4185

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химическою факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр 26

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА 1.

СТАЦИОНАРНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ИДЕАЛЬНОГО БИНАРНОГО РАСТВОРА В РАСТУЩЕЙ ИЛИ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ В ДИФФУЗИОННОМ РЕЖИМЕ КАПЛЕ.

§1. Изменение во времени параметров капли идеального бинарного раствора.

§2. Рост и испарение капель идеального бинарного раствора.

§3 Обоснование однородности раствора внутри капли.

§4. Условия роста капель.

ГЛАВА 2.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ КОНЦЕНТРАЦИИ ПАРОВ ВОКРУГ РАСТУЩЕЙ В ДИФФУЗИОННОМ РЕЖИМЕ КАПЛИ

БИНАРНОГО РАСТВОРА.

§5. Автомодельная теория бинарной конденсации и условие существования этой теории.

§6. Приближение большой плотности жидкого раствора внутри капли.38'

§7. Скорости роста чисел молекул и радиуса капли со временем в автомодельной теории.

§8. Учет времени вступления в силу автомодельной теории после начального зарождения капли.

ГЛАВА 3.

КИНЕТИКА БИНАРНОЙ КОНДЕНСАЦИИ НА ОСНОВЕ

АВТОМОДЕЛЬНОЙ ТЕОРИИ.

§9. Стационарная концентрация раствора в капле как условие существования автомодельной теории бинарной конденсации.

§10. Автомодельная теория и закон установления стационарной концентрации бинарного раствора в растущей капле.

§11. Нахождение корней уравнения для стационарной концентрации идеального раствора в капле.

ГЛАВА 4.

УСТНОВЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ РАСТВОРА В УСЛОВИЯХ КВЗИСТАЦИОНАРНОГО РОСТА

КАПЛИ.1.

§12. Исходные соотношения кинетики бинарной конденсации.

§13. Стационарная концентрация раствора в капле и рост капли при этой концентрации.

§14. Релаксационное уравнение для концентрации раствора в капле и решение этого уравнения.

§15. Кинетика бинарной конденсации при свободно -молекулярном режиме роста капли.

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

Зарождение частиц конденсированной фазы в пересыщенном паре - сложное физическое явление, относящееся к области. фазовых переходов первого рода. Оно протекает в естественных условиях, в разнообразных технических устройствах и наблюдается в лабораторных установках.

Во многих практически важных ситуациях два (или более) пара в присутствии пассивного газа конденсируются одновременно. Это приводит к формированию смешанных (бинарных) капель. Значимость кинетики бинарной конденсации определяется, в частности, интересами изучения состояния земной атмосферы, интересами предсказания дождей, а также размеров и состава выпадающих капель, потребностями современных технологических процессов, в которых образование новой фазы вещества может быть как желательным, так и нежелательным явлением. Теоретическое описание кинетики бинарной конденсации является, таким образом, актуальным направлением физики конденсированного состояния.

Обычно различают три стадии фазового перехода первого рода. В течение первой из них формируются зародыши новой фазы (эту стадию также называют стадией нуклеации), которые впоследствии становятся центрами конденсации. В течение второй стадии происходит собственно фазовый переход - основная часть метастабильной фазы переходит в жидкое состояние. Именно ко второй стадии относится настоящая диссертация. В течение третьей стадии рост больших капель происходит за счет испарения малых капель, т.е. происходит переконденсация.

В настоящее время существует сравнительно полное и адекватное теоретическое описание всех трех стадий однокомпонентной конденсации, начатое еще в [1-5] и [6-8]. Это описание было продолжено в работах [9-17].

Теория бинарной конденсации развита в гораздо меньшей степени. Исходными в теории бинарной нуклеации послужили работы [18] Рейса, который основывался на результатах Флуда [19] и на классической теории однокомпонентной нуклеации Беккера и Деринга [1], Вольмера [2], Крамерса [3], Зельдовича [4] и Френкеля

5].

Важный вклад в теорию бинарной нуклеации был сделан Стауффером [20]. В его работе была исправлена скорость бинарной нуклеации, полученная ранее Рейсом [18].

Последовательный метод полного разделения переменных в кинетической теории бинарной нуклеации был предложен Куни Ф. М. и его учениками в [21-23], где был также найден новый нормировочный множитель равновесного распределения.

Важные вклады в развитие стационарной теории бинарной нуклеации были сделаны Мирабель и Катцем [24] , Хирсшфелдером [25], Шугардом и Рейсом [26], Велимски [27,28], Рай [29], Окуйама [30], Ши и Сейнфельдом [31], а также Грининым А.П., Джикаевым Ю.С. иКуниФ.М. [32].

Много интересных и важных результатов было получено Велимски и Вислоузил [33-36]. Фактически они предложили новое самосогласованное распределение по размерам для бинарных капель, которое удовлетворяет правилу действующих масс и сводится к одномерному распределению для однокомпонентных капель. Изучая переход от бинарной к однокомпонентной нуклеации, Велимски и Вислоузил предложили [34] модифицированное выражение для скорости нуклеации, предписание которого лежит в пределах 10 -20% точного численного значения. Они также исследовали [35] переходное поведение кинетики бинарной нуклеации посредством численного решения уравнений возникновения и исчезновения для фазового перехода из пара в жидкость.

Кинетическая теория второй стадии двухкомпонентной конденсации была разработана Джикаевым Ю.С. [37,38] с помощью метода итераций предложенного Куни Ф.М. и Грининым А.П. [39].

Важной составляющей всей кинетики бинарной конденсации является проблема роста отдельной капли бинарного раствора, которая находится в атмосфере из пассивного газа и смеси конденсируемых каплей паров. Решение этой проблемы необходимо для глубокого понимания эволюции ансамбля капель бинарного раствора, конкурирующих в потреблении избыточных паров из окружающей их атмосферы.

В общем случае сменяющихся режимов роста капли от свободно - молекулярного до диффузионного проблема роста капли бинарного раствора все же весьма сложна. При ее решении в случае диффузионного режима роста капли в [40,41] использовалось предположение о достаточно быстром выходе концентрации бинарного раствора в капле на стационарное значение. В подтверждение правильности этого предположения в [41] приведены результаты численного расчета зависимости от времени концентрации идеального бинарного раствора в капле для нескольких вариантов начального ее состава. Несмотря на показательность приведенных результатов, общий закон установления стационарной концентрации бинарного раствора во времени не был получен в [40,41].

Большим недостатком всех исследований по конденсации, в том числе и исследований по конденсации однокомпонентного пара, было то, что концентрация пара вокруг растущих капель находилась лишь в стационарном (точнее, квазистационарном) приближении. Этот недостаток проявлялся уже и на уровне рассмотрения одиночной растущей капли (а не всего ансамбля растущих капель). Особенно он 1 проявляется при диффузионном режиме обмена молекулами между паром и каплей. Внимание на данный недостаток было обращено в работах [42,43]. В [42] было показано, что стационарное решение уравнения диффузии для концентрации пара в присутствии зародившейся и растущей в нем капли при обычных начальном и равновесном граничном на поверхности капли условиях не обеспечивает равенства на больших временах числа молекул, выведенных к текущему моменту времени из пара, и числа молекул, составивших растущую каплю. Разность полных чисел молекул пара в начальный момент времени зарождения капли, в который пар обладал заданной однородной концентрацией, и в текущий момент времени, в который размер растущей капли много превышает ее начальный размер, отличается множителем 3/2 от полного числа молекул в капле.

Интерес к нестационарному распределению пара вокруг растущей капли возник и в связи с предложенным Грининым А.П. вероятностно - статистическим подходом [44-47] к проблеме конденсации пара. В этом подходе считается, что зарождение новой капли, ближайшей к уже зародившейся, происходит в паре, возмущенном зародившейся каплей. Концентрация пара в области, в которой возможно зарождение новой капли, не является, вообще говоря, стационарной и ее нахождение представляет задачу. Эта задача тесно связана с учетом эффекта подвижности поверхности капли.

Строгое решение нестационарной задачи диффузии однокомпонентного пара к растущей в диффузионном режиме капле чистой жидкости было найдено с привлечением идей подобия в недавней работе [48] Аджемяна Л.Ц., Васильева А.Н., Гринина А.П. и Казанского А.К. Полученное решение строго учитывает движение поверхности капли. Построенное нестационарное поле концентрации пара удовлетворяет уравнению диффузии, равновесному граничному условию на поверхности растущей капли и однородному начальному условию. В найденном решении выполняется корневой по времени закон роста радиуса капли. Вдали от критической точки жидкость -пар при малости отношения плотности избыточного пара к плотности жидкой капли коэффициент в этом законе совпадает с аналогичным коэффициентом, получаемым на основе приближенных решений [45,46]. Баланс числа молекул, выведенных диффузией к текущему моменту времени из пара, и числа молекул, составивших растущую каплю, соблюдается в полученном решении точно.

Обобщение работы [48] на случай диффузии двухкомпонентной смеси паров к растущей в диффузионном режиме капле бинарного раствора является первой из задач предлагаемой диссертации. Актуальность поставленной задачи явствует из важности нестационарных эффектов в кинетике конденсации смеси паров.

Поставленная задача не является тривиальной. Построение автомодельной теории бинарной конденсации возможно, как будет показано в диссертации, лишь при соблюдении определенного условия. Это условие имеет вид уравнения на концентрацию бинарного раствора в капле. Уравнение, как будет тоже показано в диссертации, однозначно определяет постоянную во времени концентрацию раствора. Последняя имеет смысл стационарной концентрации, при которой баланс количеств молекул, выведенных диффузией из смеси паров вокруг капли, и количеств молекул, вошедших в раствор в растущей капле, поддерживается неограниченно долго.

Хотя построенная в диссертации автомодельная теория бинарной конденсации и дала полную информацию о нестационарных полях концентрации паров вокруг капли и росте капли при стационарной концентрации раствора в ней, однако, естественно встал вопрос: будет ли стационарная концентрация раствора в капле действительно устанавливаться? Ответ на этот вопрос является второй из задач диссертации. Актуальность данной задачи явствует из важности для кинетики конденсации смеси паров понятия о стационарной концентрации раствора в капле. Значение поставленной задачи выходит за рамки самой автомодельной теории.

В диссертации будет показано, что стационарная концентрация раствора в капле неизбежно устанавливается во времени, а именно устанавливается по степенному закону, причем даже и за времена, за которые радиус капли не успевает заметно измениться. Будет оценено и время, спустя которое после зарождения капли вступает в силу данный закон.

Степенной закон установления во времени стационарной концентрации раствора в капле при диффузионном режиме ее роста будет подтвержден в диссертации независимым способом безотносительно к автомодельной теории. При этом уравнение для стационарной концентрации будет вводиться не как условие существования автомодельной теории, а как непосредственное следствие определения концентрации раствора в капле при условии постоянства концентрации во времени.

В таком смысле уравнение для стационарной концентрации может быть получено и без предположения о диффузионном режиме роста капли, необходимом для автомодельной теории. Это позволит распространить результаты диссертации на кинетику бинарной конденсации при свободно - молекулярном режиме роста капли, расширив тем самым значительно вторую из решаемых в диссертации задач. Уравнение для стационарной концентрации раствора в капле становится тогда иным. Тем не менее, стационарная концентрация по - прежнему устанавливается во времени по степенному закону, однако, уже с другим показателем степени. По - прежнему установление стационарной концентрации происходит за времена, за которые радиус капли не успевает заметно измениться. Оцененное в диссертации время, спустя которое после зарождения капли вступает в силу степенной закон установления стационарной концентрации, оказывается существенно меньше аналогичного времени при диффузионном режиме роста капли.

Найденные в степенных законах установления во времени стационарной концентрации показатели степени равны в случаях диффузионного и свободно - молекулярного режимов роста капли соответственно 3/2 и 3. Эти показатели отвечают главному приближению предложенного в диссертации метода возмущения по малому отклонению нестационарной концентрации раствора в капле от стационарной концентрации. При учете в данном методе поправочных вкладов показатели степени становятся, как будет показано в диссертации, несколько больше. Это означает, что показатели степени 3/2 и 3 отвечают предельно медленному установлению во времени стационарной концентрации бинарного раствора в растущей капле.

То, что уже и минимальные показатели степени 3/2 и 3 все же в 3 раза больше показателей степеней в степенной зависимости от времени радиуса капли в случаях диффузионного и свободно -молекулярного режимов роста капли, является желанным фактором.

Действительно, чем быстрее устанавливается во времени стационарная концентрация, тем большую часть времени капля растет при стационарной в ней концентрации, когда только и известна аналитически зависимость радиуса двухкомпонентной капли от времени.

Сделанные в диссертации выводы для одиночной растущей капли бинарного раствора применимы и к ансамблю таких капель, конкурирующих в потреблении избыточных паров из окружающей их атмосферы. Эти выводы применимы по крайней мере в классическом подходе к проблеме конденсации, в котором предполагается, что концентрации паров постепенно меняются со временем в результате поглощения паров ансамблем капель, однако, в каждый текущий момент времени концентрации остаются в среднем одинаковыми во всем ансамбле капель. Этот классический подход успешно развивался на кафедре статистической физики Санкт - Петербургского университета в проблеме однокомпонентной конденсации [37, 49-52].

Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х статьях и тезисах докладов Международной конференции:

1. А.П. Гринин, А.А. Лезова, А.В. Козырев// Рост капли идеального бинарного раствора в смеси паров составляющих ее веществ и пассивного газа. Вестник СПбГУ. Сер. 4.2006. Вып. 2. С. 29 - 36.

2. А.П. Гринин, А.А. ЛезоваН Установление стационарной концентрации в растущей или испаряющейся капле идеального бинарного раствора. Коллоидный журнал. 2006. Т. 68. №6. С. 759 -768.

3. Гринин А. П., Куни Ф. М., Лезова А. А.П Нестационарные поля концентрации паров вокруг растущей капли бинарного раствора. Коллоидный журнал. 2008. Том 70. №1. С. 17 - 25.

4. Купи Ф. М., Лезова А. АЛ Стационарная концентрация бинарного раствора в растущей капле и закон ее установления во времени. ДАН.

1 2007. Т. 415. №5. С. 1-3.

5. Купи Ф. М., Лезова А. А. Стационарная концентрация бинарного раствора в растущей капле и закон ее установления во времени. Третья конференция молодых ученых ИВС - 2007, Санкт - Петербург. Тезисы докладов. С. 213.

Для облегчения понимания диссертации приведены три Приложения.

Рисунки приводятся в конце глав, к которым относятся рисунки. 1

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена автомодельная теория бинарной конденсации и на ее основе найдены нестационарные поля концентрации паров вокруг растущей в диффузионном режиме капли бинарного раствора. Эти поля точно учитывают эффект движения поверхности капли. Выявлено условие существования автомодельной теории. Оно имеет вид уравнения на концентрацию бинарного раствора в капле. Показано, что это уравнение однозначно определяет постоянную во времени концентрацию раствора. Последняя имеет смысл стационарной концентрации, при которой баланс количеств молекул, выведенных диффузией из смеси паров вокруг капли, и количеств молекул, вошедших в раствор в растущей капле, поддерживается неограниченно долго.

2. В автомодельной теории при стационарной концентрации раствора найдены скорости роста чисел молекул и радиуса капли, а также получено корневое по времени выражение для радиуса капли. Выяснены условия перехода автомодельной теории двухкомпонентной конденсации в аналогичную теорию однокомпонентной конденсации.

3. Для нахождения отклонения нестационарной концентрации раствора в капле от стационарной концентрации предложен метод возмущения, в котором стационарная концентрация и полученные для нее в автомодельной теории сведения рассматриваются в качестве нулевого приближения. Этим методом найдено релаксационное уравнение, согласно которому концентрация бинарного раствора в растущей в диффузионном режиме капле стремится с ростом времени к стационарной концентрации по степенному закону с показателем степени 3/2. Получена оценка времени, спустя которое после зарождения капли вступает в силу релаксационное уравнение.

4. Вывод релаксационного уравнения проведен также и независимым способом без использования автомодельной теории. При этом уравнение для стационарной концентрации вводится не как условие существования автомодельной теории, а как непосредственное следствие определения концентрации раствора в капле при условии постоянства концентрации во времени. В таком смысле уравнение для стационарной концентрации может быть получено и без предположения о диффузионном режиме роста капли, необходимом для автомодельной теории.

5. Полученные в диссертации результаты распространены на кинетику бинарной конденсации при свободно -молекулярном режиме роста капли, когда автомодельный подход в принципе неприменим. Уравнение для стационарной концентрации раствора в капле оказывается тогда иным. Тем не менее, согласно полученному при этом релаксационному уравнению, концентрация бинарного раствора в растущей в свободно -молекулярном режиме капле по - прежнему стремится с ростом времени к стационарной концентрации по степенному закону, однако, с показателем степени 3. Найдена оценка времени, спустя которое после зарождения капли вступает в силу релаксационное уравнение. Это время существенно меньше аналогичного времени при диффузионном режиме роста капли.

6. Как при диффузионном, так и при свободно -молекулярном режимах роста капли учтены методом возмущения поправочные вклады в релаксационное уравнение. Показано, что концентрация раствора стремится с ростом времени к стационарной концентрации опять по степенному закону, но показатели степени в этом законе становятся больше, чем в отсутствие поправочных вкладов. Таким образом, показатель степени 3/2 в случае диффузионного режима роста капли и показатель степени 3 в случае свободно -молекулярного режима роста капли соответствуют предельно медленному установлению во времени стационарной концентрации бинарного раствора в растущей капле.

1. Becker. R. and Doring. W. Kinetishe Behandlung der Keimbildung in ubersattigten Damphen. Ann. Phys. 1935. 24, 719.

2. Volmer M. Kinetic der Phasenbildung. Verlag von Theodor Steincopff, Dresden. 1939.

3. Kramers. H. Browian motion in a field of force and a diffiisional model of chemical reaction. Physica 7. 1940. P. 284.

4. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы. Кавитация. ЖЭТФ. 1942. Т. 12. Вып. 11-12. С. 525 538.

5. Frenkel J. Kinetic Theory of Liquids. Oxford University Press, London. 1946.

6. Туницкий H.H. О конденсации пересыщенных паров. Журнал физической химии. 1941. Т.15. №10. С. 10 61.

7. Тодэс О.М. Кинетика процессов кристаллизации и конденсации. Проблемы кинетики и катализа. 1949. Вып.7. С. 137 142.

8. Лившиц И.М., Слезов В.В. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов. ЖЭТФ. 1958. Т.35. №2. С. 479-487.

9. Купи Ф.М. Эффекты теплоты перехода в кинетике конденсации: 1. Стационарный поток и стационарное распределение околокритических капель. Коллоидный журнал. 1984. Т.46. №4. С. 682.

10. Купи Ф.М. Эффекты теплоты перехода в кинетике конденсации:

11. Скорость свободно молекулярного и диффузионного роста закритических капель. Коллоидный журнал. 1985. Т.47. №2. С. 284.

12. Куни Ф.М. Эффекты теплоты перехода в кинетике конденсации:

13. Спектр размеров закритических капель и время его формирования. Коллоидный журнал. 1985. Т.47. №3. С. 498.

14. Гринин А.П., Купи Ф.М. Тепловой и флуктуационный эффекты неизотермической нуклеации. Теор. и мат. физика. 1989. Т.80. №3. С. 418-434.

15. Купи Ф.М., Огенко В.М., Ганюк JI.H., Гречко Л.Г. Термодинамика распада пересыщенного газом раствора. Коллоидный журнал. 1993. Т.55. №2. С. 22 27.

16. Купи Ф.М., Огенко В.М., Ганюк JI.H., Гречко Л.Г. Кинетическое уравнение распада пересыщенного газом раствора. Коллоидный журнал. 1993. Т.55. №2. С. 28-33.

17. Kuni F.M., Schekin А.К., Rusanov A.I., Widom V. Role of surface forces in heterogeneous nucleation on wettable nuclei. Advances in Colloid and Interface Science. 1996. V.65. P.71 124.

18. Kuni F.M., Grinin A.P., Schekin A.K. The microphysical effects in nonisothermal nucleation. Physica A. 1998. V.252. P.67 84.

19. Куни Ф.М., Щекин A.K., Гринин А.П. Теория гетерогенной нуклеации в условиях постепенного создания метастабильного состояния пара. Успехи физ. наук. 2001. Т. 171. №4. С. 345 -385.

20. Reiss Н. The kinetics of phase transitions in binary systems. J. Chem. Phys. 1950. 18, 840.

21. Flood. H. Drop formation in supersaturated ethyl alcohol - water vapor mixtures. Z. Phys. Chem. 1934. 170 A, 286.

22. Stauffer. D. Kinetic theory of two component ("heteromolecular") nucleation and condensation. J. Aerosol Sci. 1976. 7. P. 319.

23. Kuni F.M., Kurasov V.B., Djikaev Yu.Sh. and Melikhov A.A. Thermodynamics and kinetics of binary nucleation. Preprint Freie Universitat of Berlin, FUB TKM. 1990. P. 12 - 90.

24. Melikhov A.A., Kurasov V.B., Djikaev Yu. Sh. And Kuni F.M. Two -component nucleation. Khim. Fizika (USSR). 1990. 9. P. 1713.

25. Melikhov A.A., Kurasov V.B., Djikaev Yu. Sh. And Kuni F.M. Kinetics of two component nucleation. Sov. Phys. Tech. Phys. 1991. 36. P. 14.

26. Mirabel P. and Katz J.L. Binary homogeneous nucleation as a mechanism for the formation of aerosols. J. Chem. Phys. 1974. 60. P. 1138.

27. Hirschfelder J.O. Kinetics of homogeneous nucleation of many component systems. J. Chem. Phys. 1974. 61. P. 2690.

28. Shugard W.J. and Reiss H. Transient nucleation in H20-H2S04mixtures: a stochastic approach. J. Chem. Phys. 1976. 65. P. 2827.

29. Wilemski G. Composition of the critical nucleus in multicomponent vapor nucleation. J. Chem. Phys. 1984. 80. P. 1370.

30. Wilemski G. Revised classical binary nucleation theory for aqueous alcohol and acetone vapor. J. Chem. Phys. 1987. 91. P. 2492.

31. Ray A.K., ChalamM. and Peters L.K. Homogeneous nucleation of binary vapors partially miscible in liquid state. J. Chem. Phys. 1986. 85. P. 2161.

32. Okuyama K., Kousaka Y., Kreidenweis S., Flagan R.C. and Seinfeld J.H. Studies in binary nucleation: the dibutylphthalate/dioetylphthalate systems. J. Chem. Phys. 1988. 89. P. 6442.

33. Shi G. and Seinfeld J.H Kinetics of binary nucleation: multiple pathways and the approach to stationarity. J. Chem. Phys. 1990. 93. P.9033.

34. Grinin A.P., Djikaev Yu.Sh. and Kuni F.M. The kinetics of two -component nucleation beyond the confines of the Fokker Planck approximation. Microscopic effects of nucleation. Sov. Phys. Techn. Phys. 1992. 37. P. 589.

35. Wilemski G. and Wyslouzil В. E. Binary nucleation kinetics. 1. Self consistent size distribution. J. Chem. Phys. 1995. 103. P. 1127.

36. Wyslouzil В. E. and Wilemski G. Binary nucleation kinetics. 2. Numerical solution of the birth death equations. Binary nucleation kinetics. J. Chem. Phys. 1995. 103. P. 1137.

37. Wyslouzil В. E. and Wilemski G. Binary nucleation kinetics 3. Transient behavior and time lags. J. Chem. Phys. 1996. 105. P. 1090.

38. Wyslouzil В. E. and Shuyu Chen. Binary nucleation kinetics. 6. Partially Miscible Systems. J. Phys. Chem. B. 2001. 105. P. 11566 -11573.

39. Djikaev Yu.Sh. Kinetics of two component condensation during formation of the bulk of the liquid phase: reduction of two -dimensional theory to one dimension. Sov. Phys.Techn. Phys. 1992a. 37. P. 771.

40. Djikaev Yu.Sh. Kinetics of two component condensation during formation of the bulk of the liquid phase: the Kuni - Grinin iteration method. Sov. Phys.Techn. Phys. 1992b . 37. P. 775.

41. Купи Ф.М., Гринин А.П. Кинетика гомогенной конденсации на этапе образования основной массы новой фазы. Коллоидный журнал. 1984. Т.46. №3. с. 460-465.

42. Kulmala М., Vesala Т. and Wagner P. An analytical expression for the rate of binary condensational particle growth. Proc. R. Soc. bond. A. 1993. 441. P. 589 605.

43. Vesala T. and Kulmala M. Comparisons of uncoupled, film theoretical and exact solutions for binary droplet evaporation and condensation. Physica A. 1993. 192. P. 107 123.

44. Купи Ф.М., Гринина E.A., ГЦекин A.K. Диффузия пара в присутствии растущей в нем капли. Коллоидный журнал. 2003. Т.65. №6. С. 809.

45. Grinin А.Р., Schekin А.К., Kuni F.M., Reiss H. and Grinina E.A. Study of nonsteady diffusional growth of a droplet in asupersaturated vapor: Treatment of the moving boundary and material balance. J. Chem. Phys. 2004. V. 121, №1. P. 387.

46. Гринин А.П., Куни Ф.М., Жувикина И.А. Вероятностно -статистические закономерности процесса гомогенного вскипания пересыщенных газом жидких растворов. Коллоидный журнал. 2002. Т. 64. № 2. С. 769 774.

47. Гринш А.П., Жувикина И.А., Купи Ф.М. Вероятностно -статистический подход к учету истощения метастабильной фазы в кинетике гомогенной нуклеации в парогазовой среде при мгновенном создании пересыщения пара. Коллоидный журнал. 2004. Т.66. №2. С. 317.

48. Grinin А.Р., Zhuvikina I.A., Kuni F.M. and Reiss H. Role of the nearest neighbor drops in the kinetics of homogeneous nucleation in a supersaturated vapor. J. Chem. Phys. 2004. V. 121. № 23. P. 12490 - 12498.

49. Жувикина И.А., Гор Г.Ю. Вероятностно статистический подход к описнию гомогенной нуклеации в парогазовой среде. Эффекты теплоты фазового перехода. Коллоидный журнал.2005. Т. 67. №5. С. 782-789.

50. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гринин А.П., Казанский А.К. Автомодельное решение задачи диффузии пара к зародившейся и растущей в парогазовой среде капле. Коллоидный журнал.2006. Т. 68. №3. С. 418.

51. Куни Ф.М., Гринин А.П., Кабанов А.С. Кинетика гомогенной конденсации при больших начальных пересыщениях. Коллоидный журнал. 1983. Т.45. №3. С. 440 445.

52. Куни Ф.М., Мелихов А.А. Кинетика конденсации при смене свободно молекулярного поглощения пара диффузионным. Коллоидный журнал. 1985. Т.47. №1.С. 77.

53. Купи Ф.М. Кинетическая теория конденсации в динамических условиях. Сборник Проблемы теоретической физики. III. Изд-во Ленингр. Унив. 1988. С. 192 236.

54. Купи Ф.М., Щекин А.К., Грипип А.П. Кинетика нестационарного обмена веществом между зародышами и раствором при произвольной скорости поглощения растворенного вещества зародышами. Коллоидный журнал. 2000. Т.62. №2. С.191 198.

55. Н. А. Фукс. Испарение и рост капель в газообразной среде. Итоги науки. Физико математические науки. Изд. АНСССР. Москва. 1958 г.

56. Р. Рид, Дж. Праусниц, Т. Шервуд. Свойства газов и жидкостей. Л.: Химия, 1982.

57. А. P. Grinin, F. М. Kuni and Y. S. Djikaev. Statistico probabilistic approach to taking account of the vapor depletion in the kinetics of homogeneous nucleation: A free - molecular regime of droplet growth. J. Chem. Phys. 2004. V. 120. №4. P. 1846.

58. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. Изд-во «Наука». Главная редакция физико математической литературы. Москва. 1976.

59. Ф.М.Куни. Статистическая физика и термодинамика. Изд-во «Наука». Главная редакция физико математической литературы. Москва. 1981.