Кинетические закономерности теории нуклеации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КУРАСОВ Виктор Борисович

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТЕОРИИ НУКЛЕАЦИИ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006 г.

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики Санкт-Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Воронцов-Вельяминов Павел Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Кукушкин Сергей Арсеньевич

доктор физико-математических наук, профессор Слезов Виталий Валентинович

Ведущая организация — Лаборатория Теоретической Физики им. H.H. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований

Защита диссертации состоится " » _2006 г. в ^

_час,

на заседании диссертационного совета Д212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9, ауд. N ^ .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. /?

Автореферат разослан " ' " _2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук , профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Фазовые переходы первого рода представляют собой сложные нелинейные многостадийные процессы в различных'физических системах, характеризующиеся зарождением частиц новой фазы а ыетастабильной исходной фазе, дальнейшим ростом образовавшихся частиц и истощением метастабильной фазы. Описание этих процессов во времени вдали от фазового перехода второго рода дает, кинетическая террия нуклеаиии. Самосогласованное общее кинетическое рассмотрение теории нуклеации в аналитическом виде до последнего времени отсутствовало, хотя за последние 50 лет были получены важные результаты: И.М.Лифшицем и В.В.СлезоВ!,ым - по асимптотикам па стадии переконденсации; Ф.М.Куни - по гомогенной, гетрогенной и неизотермической нуклеации; Дж.С.Лангером - в области многокомпонентной нуклеации. Начатое работами Ф.М.Куни и А.П.Гринипа строгое анали-шческое изучение кинетики фазового перехода первого рода было продолжено в данной работе. . ...

В результате проведенных автором теоретических исследований кинетики нуклеации оказались выявленными важные универсальные черты фазовых переходов. В частности, обоснована полная универсальность решения при гомогенной нуклеации со степенным законом роста зародышей, найдена приближенная схожесть форм спектров размеров зародышей новой фазы, установлено естественное соответствие между кинетикой протекания гомогенного и. гетерогенного фазовых, переходов. ГЛАВНАЯ ЦЕЛЬ РАБОТЫ

. Целью представленной работы является установление общих закономерностей протекания фазового перехода, первого рода., выявление универсальных черт кинетики нуклеации, не зависящих от конкретных термодинамических параметров конденсирующегося вещества, и интенсивности внешнего воздействия на систему, разработка методов описания кинетики фазового перехода и получения нестационарного решения уравнения Зельдовича-Фольмера-Френкеля, согласующего, рост образований новой фа.зы и потребление имя метастабильной фазы со скоростью нуклеации в системе.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Все результаты, перечисленные в разделе «Защищаемые научные результаты и положения» и в основных выводах диссертации, являются новыми. Все защищаемые по-

.гсожения аналитически обоснованы в условиях применимости капиллярного подхода, к описанию критического зародыша.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Достоверность положений и результатов диссертации обеспечивается использованием строгих методов теоретической физики, математического анализа, асимптотических методов и методов приближенных вычислений. Полученные в работе закономерности подтверждены численным решением соответствующих уравнений. Достоверность результатов подтверждается в ряде случаев сравнением с материалами независимых работ других авторов, появившимися в более позднее время. Достоверность также подтверждена тестовым применением развитых подходов к модельным задачам с известным решением, согласием полученных результатов с доступной совокупностью теоретических и экспериментальных данных, внутренней непротиворечивостью теоретических построений. Если в предельном переходе теория сводится к задаче с- уже известным решением, то наблюдается полное согласие результатов.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Научная значимость проведенных теоретических исследований состоит главным образом в установлении закономерностей протекания фазового перехода первого рода при медленно меняющейся интенсивности непрерывного внешнего воздействия на систему на основе решения кинетических уравнений нуклеадии. Оказываются установленными как приближенная универсальность полученных решений, носящая весьма общий характер, так и ряд точных универсальных зависимостей с более узкой, но, однако, весьма значительной областью применения. В работе представлены методы аналитического и численного решения нелинейных эволюционных уравнений, возникающих в кинетике фазового превращения первого рода. -

Практическая ценность результатов диссертационной работы определяется возможностью использования разработанных в диссертации методов для решения других теоретических задач кинетики нуклеадии, возможностью поставить ряд новых экспериментальных задач, получением компактных аналитических зависимостей для основных характеристик фазового перехода, возможностью единого подхода к фазовым превращениям первого ро- • да, происходящим с различными веществами и инициированным внешними воздействиями на систему различной интенсивности. Обнаруженные закономерности позволяют лучше

понять процессы, управляющие кинетикой фазового превращения.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ПОЛОЖЕНИЯ .

/На. защиту выносятся -следующие положения: ■

• Концепция приближенной универсальности формы спектра размеров частиц новой фазы;

• Точная универсальность решения кинетического уравнения в псевдогомогеиной си-туацпи;

.• Методы решения эволюционного уравнениям различных характерных ситуациях протекания фазового перехода; ■■. .

■ • Методы модельных приближений и модифицированный метод перевала в решении задал по построению кинетики фазового перехода;

• Подход к построению кинетики при наличии профилей плотности метастабильной фазы; ;.

• Методы аналитического описания перехода от случая наличия профилей плотности

" к коллективному поглощению метастабильной фазы.

Также в работе получены точные универсальные решения в раде характерных ситуаций протекания фазового перехода первого рода и содержатся результаты решения ряда задач кинетики фазового перехода в различных физических системах.'

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертационной работы и ее основные положения ежегодно (в течение .последних 6 лет) докладываются в форме пленарных докладов на международном совещании "Nucleation theory and applications", проходящем в Лаборатории Теоретической Физики ОИЯИ, Дубйа. По результатам работы сделано более двадцати докладов на отечественных и зарубежных конференциях. Различные разделы работы излагались на приглашенных лекциях' я университетах Стокгольма. Тронхейма, Люлео. Берлина и др.

ПУБЛИКАЦИИ

Основное содержание диссертации опубликовано в 32 статьях в рецензируемых журналах, как отечественных, так и заграничных-. Список публикаций приведен в конце автореферата. . ■

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА

Все защищаемые положения и новые результаты получены алтором лично.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, шести глаз, заключения. Полный объем диссертации составляет 300 страниц, включая 10 рисунков, 3 таблицы и список литературы из. 152 групп наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение вкратце отражает историю развития представлений о кинетике нуклеации. Обоснована актуальность выполненного исследования, сформулированы основные проблемы, описана структура диссертации.

Первая глава диссертации обрисовывает проблемы, стоящие перед теорией нуклеации, и намечает пути решения некоторых из них.

Классическая теория нуклеации, созданная работами Беккера, Деринга, Крамерса, Зельдовича, Френкеля, дает величину скорости нуклеации - числа закритических зародышей, образующихся за единицу времени в единице объема системы. Данная величина является функцией пересыщения (," - отношения плотности избыточного числа молекул местастабильной фазы к плотности числа ее молекул при фазовом равновесии при тех же температуре и давлении в системе. При зтом центральным объектом исследования становится величина работы образования критического зародыша, взятая в тепловых единицах кТ (к-постоянпая Больцмана, Т - абсолютная температура), экспоненте от которой и оказывается обратно пропорциональной скорость нуклеации.

Проблеме вычисления свободной энергии'критического зародыша посвящено значительное количество работ, большинство из которых дают рецепт приближенного нахождения свободной энергии критического зародыша. Однако выражения, действительно обеспечивающего нахождение скорости нуклеации с высокой точностью, не найдено. Причин этого, по мнению автора., достаточно много. Они'и'проанализированы в первой главе.

Приведем лишь некоторые, напрямую бросающиеся в глаза, причины отсутствия адекватного теоретического выражения для скорости нуклеации: '

Недостаточная точность капиллярного приближения привела, к активному испольэо-

. ванию подходов, основанных на функционале плотности. Однако в работе показано, что поскольку корреляционная функция в приповерхностном слое зародыша, неизвестна, то точное нахождение свободной энергии зародыша затруднено.

Другим возможным источником ошибки является cynxecTBOBamte .точки перевала, у •рельефа работы, образования, Скрытой от непосредственного наблюдения в эксперименте, . поскольку асимптотический канал роста, зародыша, напрямую соответствующий этому перевалу, может отсутствовать.

Наряду с эффектами термодинамической природы возникают и чисто кинетические эффекты, связанные с тем, что "световой конус" прикритической области может быть особым неизвестным образом развернут в пространстве характеристик зародыша.

При вычислении работы образования зародыша, предполагается, что он образуется равновесным образом. Отход от этого предположения приводит к изменению величины свободной энергии критического зародыша. В 'рамках разумных предположений можно придти к некоторым характерным перенормировкам этой величины.

Кроме отмеченных сложностей в определении скорости нуклеации следует отметить и проблему 'неэквивалентности статистических ансамблей при описании зародыша., и проблему способа, фиксации центра- зародыша, и другие. Важным же фактом, и в этом состоит основной вывод, первой главы, является сохранение применимости Г-аппроксимации (Куни Ф.М., Гринин А:П. // Коллоядн.журн., 1984, Т.46, С.460) для скорости нуклеации J в виде

- ./(0 = ЛСо)ехр(гЦ^) (1)

<,0

для ва-риаций (,", отвечающих изменению частей равенства, в несколько раз, с большим и приблизительно постоянным значением параметра Г, приближенно равным числу молекул критического зародыша. .Число, обратное параметру Г, будет являться малым параметром теории. Только в этом случае и возможно говорить о термодинамическом подходе к описанию критического зародыша.

. Анализ экспериментальных данных позволил группе Дж. Кэтца. (Katz J.L., Fisk Л.А., Riidek М.М. // Nucleation of single component supersaturated vapors In: M.Kulmala., P.Wagner Nucleation and atmospheric aerosols 1996, Pergamon, Elsevier, 1996, p.1-11) на основе наиболее представительных в статистическом смысле экспериментов получить эмпирическую подгоночную формулу для скорости нуклеации паров алканов. Теоретическое рассмотре-

пие с приближенным учетом невозможности плотной упаковки при определенных числах молекул зародыша и разумном проведении поверхности натяжения приводит к приближенному оправданию указанной формулы. Таким образом, применение классической теории нуклеацин с привлечением микроскопических поправок к работе образования критического зародыша является вполне оправданным. Разумеется, в этом случае аппроксимация (1) имеет место.

Вторая глава диссертации посвящена построению кинетики конденсации на гетерогенных центрах одного типа в условиях медленно изменяющейся скорости непрерывного воздействия на систему. Режим роста сверхкрптических зародышей вплоть до пятой главы предполагается свободномолекулярным, .соответствующим отсутствию существенных профилей метастабилыюсти. В более ранних работах автора совместно с Ф.М.Куни и А.П.Грининым была, получена система, эволюционных уравнений для количества д молекул в новой фазе и доли 9 гетерогенных центров, оставшихся свободными

Ф) = я I' (г - *)30(Г) ехр(с* - ■ С{д%в), (2)

в = ехр(—Ь [ -; ехр(с* - »(*))<&) я Н(д). (3)

./—оо

Здесь а, 6, с - некоторые известные функции пересыщения, взятого в момент, к которому образовалась ровно половина от полного количества капель. Этот момент и служит базовой точкой разложения в аппроксимации (1). Таким образом, й, 6, с являются функционалами от решения системы {д.в}. Переменные являются здесь и в дальнейшем величинами, пропорциональными смещенным значениям характеристики зародыша; ненулевая скорость роста которой не зависит от самого значения этой характеристики.

Оказывается, что можно рассмотреть вначале итерационное решение — 0>+1 = Н[д/),да = 0, 0о = 1 системы (2) - (3} с постоянными а, 6, с, построив несколько первых итераций, последняя из которых будет у же с хорошей точностью аппроксимировать форму спектра размеров зародышей, а затем найти конкретные значения этих величин из решения алгебраического уравнения на параметры процесса конденсации. Кроме того, система (2) - (3) возникла из одного эволюционного уравнения путем специального разбиения. Оно позволяет построить итерационную процедуру решения, в которой несколько первых итераций вычисляются аналитически, и получить строгие оценки сверху и снизу для точности итерационных приближений.

Указанная процедура-уже дает в целом приемлемый результат, но возможно еще более уточнить решение следующим образом:

• Допустимо перенести базовую точку разложения с момента, в который зародилась . . половина от общего количества, капель, в точку максимума, пересыщения, достигаемого в модельной зада.че с 8 = 1 (псевдогомогенный случай). Данный перенос может быть строго обоснован, несмотря на то, что в ряде случаев базовая точка оказывается весьма, далеко от моментов времени, соответствующих интенсивному образованию зародышей новой фа-зы.

• Уравнение (2) с в = 1 допускает универсальное решение, т.е. возможно вообще ликвидировать все параметры в псевдогомогенном случае при новом выборе базовой точки. Уравнение (2) перестает зависеть как от параметров конденсирующегося вещества, так и от интенсивности изменения внешних условий.

• На основе псевдогомогенного решения как начального приближения можно постро-

. -ить ряд итерационных приближений, причем после некоторых вспомогательных разложений решение будет представлено в виде комбинаций универсальных функций. Тогда для полного числа' зародышей новой фазы получим выражение через комбинацию параметров о, Ь, с и универсальных констант - интегралов от универсальных функций.

■ Уже первые два приближения по указанному способу дают практически точные решения системы (1), (2).

Рассмотренный способ является стержнем второй главы работы. Перечислим дальнейшие построения, проведенные в этой главе:

Аппроксимацией, аналогичной (1), является аппроксимация типа

' до - лсо)(4-)"'(<°\ (4)

где является числом молекул критического зародыша. В работе развиты подходы к решению задач при использовании аппроксимации (4). Данная аппроксимация точнее (1) и позволяет получать аналитические приближения более высокого порядка, однако они оказываются крайне громоздкими и не допускают прозрачного анализа.

На. основе полученного решения и аппроксимаций (1). (4) было дано теоретическое . обоснование закона фон Веймарна (von Weimarn P.P. '// Chem.Rev. 1926. Vol.2, P.217.), гласившего, что при распаде метастабнльного состояния средний радиус капель, образующихся в системе, является степенной функцией от создаваемого в ней в начальный момент времени пересыщения, и остававшегося необъясненным с- 1920-х годов, причем теперь для параметров этого закона получены конкретные выражения. '

Отдельной задачей является решение уравнения на параметры процесса нуклеации. В работе приводятся подходы к решению этой задачи, связанные с построением внешних и внутренних итераций, что целесообразно в связи с разной скоростью их сходимости. Даны строгие оценки погрешностей приближения, и разобран ряд модельных ситуаций.

Также во второй главе исследована дальнейшая эволюция системы после окончания зарождения на гетерогенных центрах. Особую сложность вызывает описание процесса при.малом количестве гетерогенных центров, когда все они исчерпаны в процессе зарождения, а пересыщение продолжает возрастать. Для этого случая была развита итерационная процедура, причем погрешность итераций строго оценивается сверх}'. В данном случае возможно последующее интенсивное протекание гомогенной нуклеации, поэтому теория обобщена на случай совместного действия гомогенного и гетерогенного механизмов зародыщеобразова.пия. Данное обобщение не является формальным, поскольку воздействие гетерогенно образованных капель приводит к существенно нелинейному поведению эффективных внешних условий для гомогенного зародышеобразования и требует модификации методов решения эволюционного уравнения.

В экспериментах по гомогенной конденсации всегда присутствует хотя бы малое число гетерогенных центров. Они становятся помехой при определении характеристик гомогенной конденсации. В работе получен критерий малости этого влияния и приведено выражение для ошибки в числе гомогенно образованных капель из-за присутствия в системе гетерогенных центров.

Особым вопросом, нашедшим свое решение во второй главе, является доказательство существования и единственности универсального решения. Поскольку в результате многочисленных перенормировок и переносов опорных точек разложений могли бы возникнуть побочные решения, как раз бы и обеспечившие универсальность уравнения, подобный вопрос отнюдь не лишен оснований. Решение его положительно, но громоздко.

Также во второй главе аналитически обосновало применение квазнстацмонарпого при-■ ближения и асимптотического закона регулярного роста отдельного сверхкритического зародыша при действительной малости указанного параметра теории.

Третья глава диссертации посвящена. исследованию нуклеации в многокомпонентных системах.

Наряду' с проблемами получения и решения эволюционных уравнений в данном случае возникает достаточно большое количество проблем термодинамического описания. Так в уже нанпизшем допустимом порядке капиллярного приближения должны быть учтены адсорбционные избытки компонентов нк. поверхности зарождающихся капель, без этого теория наталкивается на "парадокс"- Реннингера (Renninger R.G., Hiller F.C., Bone R.C. J.Chem. Plnys., 19S1, Vol.75, p.1584). .Корректному построению глобального рельефа работы образования зародыша посвящена первая часть главы. При анализе термодинамического описания удалось выявить свойство независимости каналов нуклеацин и выпуклость каналов как функции числа молекул зародыша. Найдены переменные, в которых каналы нуклеации прямолинейны.

Для построения теории целесообразно получить обоснование аппроксимации, аналогичной (1) для стационарной скорости нуклеации. При получении скорости нуклеации оказалась выявленной иерархия времен релаксации в прикритической области - по устойчивым переменным всегда успевает устанавливаться квазиравновесие. Данное свойство с одной стороны делает ненужным рассмотрение прикритйческой области в квадратичной аппроксимации,' а с другой стороны- серьезно расширяет класс задач по получению скорости нуклеации, допускающих приближенное аналитическое решение. В этой связи в работе развиты следующие подходы: 1. итерационное решение кинетического у равнения; 2.. конечноразностная форма, записи кинетического уравнения и соответствующее решение по некоторым из устойчивых переменных; 3. аппроксимация "эффективной работы обра^ зования" и "эффективных характеристик" зародыша. Особое внимание уделено поискам начального приближения, близкого к предполагаемому решению.

Оказались выявлены характерные, ситуации соотношения компонентов, при которых обращать оператор в упомянутой итерационной процедуре особенно просто при помощи семейств известных ортогональных полиномов.. Соответствующие приближения построены для случая соизмеримой концентрации компонентов и для случая малой концентрации

некоторых компонентов.

Исследование кинетического уравнения в существенно закритической области позволило установить иерархию его членов по различным переменным и построить приближенное решение в квазистационарном случае. Распределение по концентрациям чисел. молекул компонентов в зародыше остается достаточно узким, и это позволяет говорить в Дальнейшем о характерной •концентрации компонентов в закритическом зародыше.

Проделанные построения позволяют сформулировать систему уравнений кинетики конденсации как в ситуации распада- метастабильного состояния, так и в случае постепенного изменения внешних условий, которые характеризуются величинами идеальных пересыщений, т.е. пересыщений, которые возникли бы в системе без зарождения и роста, образований новой фазы. Оказывается, что перенормировками все уравнения баланса в числе, равном числу компонентов, могут быть сведены к одному уравнению с перевормированны-ми значениями параметров. Так, в псевдогомогенном случае при непрерывном изменении внешних условий эволюционное уравнение выглядит как

»(«) = «< Г (г,- - :г,-)асхр(^; - .. (5)

У - -х-

где .

. И^ЛЫУ3 __• Е,-г,•»>,€,-

с.<3

- параметры и суммы берутся по всем компонентам, причем являются коцентрациями компонентов (доля числа молекул данного сорта), п,- - плотности числа молекул разных компонентов и р; - величины, пропорциональные производным'идеального пересыщения по я,-. Величины т,-,г/ аналогичны ».г из второй главы. Видно, что (5) по функциональ- . ному виду совпадает с (2), а, значит, все дальнейшие, выводы становятся аналогичными выводам второй главы.

Существенно отличается от анализа второй главы рассмотрение эволюции после окончания собственно стадии нуклеации - интенсивного зарождения образований новой фазы. В этом случае для описания последующей эволюции развиты итерационные и асимпто- . тические методы, также приведенные в третьей главе. С их помощью удалось достичь аналитического описания дальнейшего течения процесса. При этом методы построения решения для ситуации распада мета стабильной фазы и для конденсации при медленно меняющейся скорости изменения внешних условий будут различными.

Четвертая глава диссертации посвящена, исследованию процессов нуклеалии на гетерогенных центрах с. различными-активностями. Представляется очевидным ожидать . в системе наличия 'разных по своей природе .гетерогенных центров с разными высотами активационных барьеров и разной вероятностью возникновения на. них .закрнтических зародышей. В силу того, что на активных центрах зарождение в целом произойдет раньше, ■ образования новой фазы на таких центрах будут влиять на зародышеобразование на центрах с меньшей активностью. Это не позволяет описать данную ситуацию формальным обобщением методов из предыдущих глав работы.-

В качестве предва.рителы-юй задачи, объясняющей специфику влияния образований новой фазы на активных центрах на гомогенное зарождение, была выбрана задача совместного учета гомогенного и гетерогепного' распада метастабнльной фазы. Для получения решения пришлось перестроить стандартную итерационную процедуру, разделив ее на. две последовательных итерационных процедуры, причем параметр, отвечающий за влияние гетерогенно зародившихся образований, находился по результатам первой процедуры, а затем фигурировал во второй как известная величина.

Перейдем к общей: ситуации. Будем характеризовать каждый гетерогенный центр величиной активности ш - параметра, пропорционального отклонению высоты активацион-иого барьера от некоторой опорной величины.' Имеющийся произвол в выборе ги будет в дальнейшем использован для получения универсальных выражений.

Когда у различных типов гетерогенных центров с близкими высотами разница в высотах активационных барьеров существенно меньше тепловой единицы, то можно говорить о псевдонепрерывном спектре активностей, и ввести плотность распределения полного числа гетерогенных центров по активностям, которая считается плавно меняющейся функцией.

Для демонстрации возможностей описания кинетики нутчлеа-ции на гетерогенных центрах различной природы были решены четыре характерные задачи:

1. распад метастабильного состояния на нескольких типах гетерогенных центров;

■ 2. распад метастабильного состояния на псердонепрерывном спектре активностей центров; ''..•■

3, нуклеация на нескольких типах центров при медленно меняющейся скорости внешнего воздействия на систему.

4. нуклеация на центрах с псевдонепрерывным спектром активностей при медленно . меняющейся скорости воздействия на систему.

Первая задача была вначале решена в предельных ситуациях, хара-ктризующихся малыми и большими значениями отношений характерных длин спектров, полученных только при истощении гетерогенных центров и только при истощении метастабильнойфазы. Значения параметров вначале вычисляются без учета нуклеации на центрах других сортов. Показано, что решение может быть дано последовательным применением.нескольких соответствующим образом перестроенных итерационных процедур из второй главы с. параметрами, определяемыми специальным образом.

В промежуточном случае, который выделен соимеримыми с единицей значениями отношений первоначальных параметров, приходится построить "эффективное моноднсперс-ное приближение", достаточно хорошо описывающее эволюцию на стадии нуклеации и имеющее фиксированную функциональную структуру. После этого следует решить алгебраическое уравнение на параметры этой аппроксимации.

В процессе решения задачи о распаде на центрах с псевдонепрерывным спектром оказался выявленным инвариант эволюции, а именно: 1п(<?(«\ .г))/ехр(и>) (при коэффициенте пропорциональности в определении активности, равном единице).

Выделим промежуточную область активностей как область, для которой, доля истощенных центров отлична от нуля или единицы. Эта область и является действительно интересной. Размеры этой области совсем невелики - две-три тепловых единицы. Если плотность распределения числа свободных гетерогенных центров в этой области приближенно постоянна, то возможно получить решение на основе псевдогомогенного решения по способу, аналогичному рассмотренному во второй главе.. В случае широкого спектра активностей (ширина области активных центров существенно превосходит ширину промежуточной области) в определенным образом перенормированных переменных можно получить явное решение

<?(.-) = ехр(— к'2 ехр(и') [ схр(-х3)Н1-).

.1 и <?хр(-* )«■>' Уо

То же выражение сохранится и в произвольном случае при применении "эффективной монодисперсной аппроксимации", вот только на-ходить параметры перенормировки будет сложнее. : .

. Описание кинетики нуклеации на нескольких типах гетерогенных центров требует коренного пересмотра способа решения кинетического уравнения, поскольку процесс нукле-•ации на разных типах центров происходит в разные моменты времени. 'Это существенным образом усложняет описание нуклеации.. В то же время .можно доказать ряд упрощающих свойств: 1. нуклеация на отдельном типе гетерогенных центров носит относительно кратковременный характер; 2. зарождение на центрах'с меньшей активностью не может повлиять на стадии их нуклеации на. скорость роста образований на центрах с большей активностью; 3. спектр размеров образований на центрах с относительно большой активностью при изучении нуклеации на центрах с меньшей активностью может описываться в эффективном монодисдерспом приближении..

Сделанные упрощения позволяют трактовать образования новой фазы на более активных центрах как своеобразный источник, формирующий эффективные внешние условия для образования сверхкритических зародышей на менее активных центрах. Эти условия Носят нелинейный во времени характер, но удается доказать, что он может быть приближенно описан линейным, и квадратичным членами. В этом случае итерационный метод, аналогичный изложенному во второй главе, не столь эффективен, следует применить модифицированный метод перевала, развитый в этой главе.

Описание нуклеации на псевдонепрерывном спектре активностей гетерогенных центров при медленно меняющейся скорости внешнего воздействия на. систему требует проведения корректной регуляризации - выделения в спектре активностей области истощенных центров, которая учитывается при помощи эффективных внешних условий. После этого оказывается возможным построение, итерационной процедуры решения эволюционных уравнений, причем приближенное решение достаточной точности может быть получено аналитически для'случая полиномиальной аппроксимации плотности распределения полного числа гетерогенных центров по активностям в промежуточной области.

Далее рассмотрен случай, когда. область истощенных центров оказывает умеренное влияние, на нуклеацию на центрах с промежуточной активностью. При этом справедлива линеаризация эффективного внешнего воздействия. В ситуации, когда в промежуточной области активности плотность распределения полного числа гетерогенных центров приблизительно постоянна, можно путем некоторых перенормировок, в том числе и для активности центров, а также введения корректного обрезания области активных центров

получить следующий универсальный вид системы эволюционных уравнений:

Цг) = J ¿№«(г,и>). ¡улезу :г'2 ехр(с5)0{и\а')с/.г:ехр(и')]^ = <5(~) + ¿(с)

г) = у" (г — а')3ехр(<5(г))#(го. т)Лг ехр(и>)

= ехр(—[ 1п* ]ехр(ш) Г ехр(г(^)№-).

У-«

решением которой будут универсальные функции.

Для альтернативной к изученной ситуации спектра с "длинным хвостом" получено явное решение, промежуточная ситуация может быть изучена при помощи модифицированного метода перевала, использованного при решении предыдущей задачи.

В ходе решения данной задачи был выведен припшт самосогла-сованности спектров активности, определяющий аналитическую структуру обрезания.функции распределения капель по активностям со стороны активной области как

в ~ ехр(—со?г«4ехр(и'))

и позволяющий рассматривать очередной процесс, нуклеадии.как сдвиг указанного обрезания по шкале активностей.

Пятая глава диссертации посвящена изучению кинетики гомогенной нуклеации при наличии профилей плотности мета-стабильной фазы вокруг растущих зародышей новой фазы. Несмотря на очевидность существования таких профилей, подобная ситуация оставалась практически неизученной, и пришлось начать рассмотрение с построения профиля плотности метастабильной фазы вокруг уединенного растущего зародыша. Это удалось легко сделать, доказав, что зародыш может быть рассмотрен как точечный поглотитель вещества, и использовал функцию Грина уравнения диффузии. Достоинство далного метода - в его применимости к достаточно различным системам. При этом закон роста, как правило, известен.

. Также удалось показать, что на стадии нуклеации скорость роста подавляющего числа образований новой фазы оказывается не возмущенной воздействием профилей плотности от соседних образований новой фазы.

Профиль плотности инициирует профиль скорости нуклеации. Например, в случае диффузионного режима роста профиль скорости нуклеации с хорошей точностью огшеы-

вается при помощи функции

которая выражается через гипергеометрическую функцию. Здесь /32 представляет аргумент экспоненты в функции Грина в неограниченном простралстве для уравнения диффузии, Оказалось, что скорость иуклеации как функция времени в данной пространственной точке (почти из всего объема) хорошо аппроксимируется быстрым (по сравнению с временем ожидания) переходом от невозмущенного значения до пренебрежимо малой величины. Тогда приближенно Профили плотности можно трактовать как сферы истощения нукле-ации. Для роста радиуса сферы во времени было получено явное выражение. Задача свелась к взаимодействию растущих во времени сфер и нуклеацви в такой системе.

Для решения этой'задачи были предложены несколько "оценивающих" моделей эволюции. Их достоинство в том, что они оценивают'временное поведение, решения сверху и снизу. Таким образом, оно оказалось-установленным с хорошей точностью. Физической причиной такой возможности явился быстрый, все нарастающий во времени рост числа молекул в образовалиях новой фазы. Кроме "оценивающих моделей" были построены "промежуточные модели" - модели, близкие к оценивающим и обладающие важным свойством: после соответствующих масштабирований и замены диффузионного механизма па свободномолекулярный они оказываются идентичными точному псевдогомогенному решению и первой итерации п'з второй главы работы. Помимо возможности получить решение в этой ситуации указанное свойство позволяет проследить переход от случая наличия профилей плотности к случаю их полного отсутствия - к "коллективному поглощению метастабильной фазы", причем сделать это на уровне уже известных функциональных зависимостей, только изменяя параметры в уравнениях.

В данной главе исследован кал случай распада метастабильной фазы, так и случай медленно изменяющейся скорости внешнего воздействия на систему:

Шестая глава диссертации посвящена обобщению разработанных методов на различные системы и установлению общих закономерностей протекания в них нуклеации.

Рассмотрен случай неизотермических эффектов и наличия профилей температуры вокруг зародыша. Задачу удалось свести к уже изученной в пятой главе путем анализа профиля пересыщения ка.к.суперпозиции профилей плотности и температуры, установления

его свойств и формулировки уравнений, которые оказываются аналогичными изученным.

Рассмотрен случай гетерогенной конденсации при наличии профилей, сформулировала и решена, система эволюционных уравнений в различных моделях, аналогичных гомогенному случаю. Фактически здесь полностью выполнена, программа пятой главы.

Далее исследования гетерогенной нуклеации были распространены .на. случай псевдонепрерывного спектра активностей, и вновь были выявлены некоторые универсальные закономерности. Теперь универсальность следовало обосновывать для "промежуточных" моделей. Были исследованы и случай медленно меняющейся скорости внешнего воздей-^ ствия на систему, и случай распада. В обеих ситуациях получены универсальные решения. Важно отметить, что их получение связано с введением корректной регуляризации спектра активностей.

Было показано, что при гетерогенной нуклеации, происходящей на одном типе центров, полученное распределение зародышей по размерам является сечением по активности плотности распределения зародышей по размерам и активностям р(.г,и!), которая является универсальной в определенным образом подобранных координатах.

Обратимся теперь к универсальности первой итерации, которая является основой для построения уже достаточно хороших приближений к решению. Замечательным свойством этой функции является ее независимость от режима поглощения Зародышами вещества. Действительно, при любом виде функции от : -поставленной вместо (г — г)3 в интегральном члене в (2), результатом первой' итерации в определенным образом отнормированных координатах с определённым условием на. выбор ба-

/

0.4. 0.3. 0.2. 0.10

-2 -1 0

зовой точки разложения в (1) будет являться функция

/ ~ ехр(я — ехр(х)),

(6)

представленная на рисунке. Данная кривая является универсальным приближением к спектру размеров в фазовом переходе первого рода. , Следует, однако, отметить, что ее непосредственное вычисление в рамках итерационной процедуры не является точным, а должно сопровождаться определенными перенормировками.

Рассмотрим гетерогенную нуклеацию на одном тине центров в условиях медленно меняющейся. скорости воздействия на систему. Можно заметить, что в случае гетерогенной конденсации спектр размеров зародышей по своей форме лежит между точным решением в псевдогомогенном случае и первой итерацией - его форма слабо меняется в зависимости от степени истощения центров. Для функции распределения р(и>,х) можно тогда получить. свойство приближенного подобия сечений по активности.

Проведенное рассмотрение нуклеадии при приближении к безбарьерному зародыше-образовалшо привело к эволюционным уравнениям, в целом аналогичным уже рассмотренным, однако с. другим членом вместо сх, отвечающим за изменение внешних условий. Решение в этом случае также было получено. Оно оценивается универсальной кривой в предельной ситуации, которая была получена численно. Удалось показать, что отличие в форме спектров достаточно мало, спектр размеров по форме близок к уже полученному ранее. , ■ .

■ В качестве, примеров, расширяющих круг применимости найденных решений, были исслйдованы задачи о стационарной нуклёацин в'системе под действием силового поля и нуклеации в системе с источником гетерогенных центров.

В задаче о стационарной нуклеации в однородном силовом поле необходимо рассматривать процессы диффузии. Вместо сфер истощения зародьгшеобразования возникают цилиндры истощения нуклеадии приблизительно постоянного сечения в пространстве, что ослабляет вертикальную диффузию. С течением времени данные цилиндры расплываются в пространстве. Эволюционное уравнение оказывается похожим на изучавшееся ранее и, соответственно, спектр размеров зародышей также представим после перенормировок в виде, близком к. (G).

В задаче с источником гетерогенных центров наблюдается большое разнообразие ситуаций, связанное, с. различными интеисивнс ;ями процессов накачки и рекомбинации центров, но все ситуации распадаются либо ни имеющие явное достаточно простое решение, либо на те, которые могут быть описаны при помощи найденных ранее форм спектров как анзаца.

Заключительные замечания относятся, к расширению применимости построенных решений и их достоверности. Текст диссертации и его расширенный вариант могут быть высланы по запросу на. адрес victor Jiurasov®yahoo.wm.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Доказала универсальность спектра размеров частиц, повой фазы в гомогенном фазовом переходе в динамических условиях - условиях приближенного постоянства на стадии вуклеации скорости изменения внешних условий.

2. Предложен новый метод нахождения характеристик гетерогенного фазового перехода в динамических условиях.

3. Построена кинетика многокомпонентной нуклеации, показано сведение многокомпонентного случая к однокомпонеятному, обоснована универсальность спектра размеров образований новой фазы в этом случае.

4. Построена кинетика нуклеации на дискретном и ква-зинепрерыввом спектре размеров гетерогенных центров, в этом случае получен ряд универсальных зависимостей для спектров размеров зарождающихся образований новой фазы.

5. Показано естественное включение спектра размеров зародышей, образованных при гетерогенной нуклеации на одном типе центров, в семейство спектров размеров, зародышей при нуклеации на семействе типов гетерогенных центров.

6. Решена задача построения кинетики нуклеации при возникновении профилей плотности метастабильной фазы вокруг зародышей новой фазы.

7. Показано приближенное совпадение форм спектров размеров образований новой фазы при наличия профилей плотности метастабильной фазы вокруг зародышей и при коллективном поглощении метастабильной фазы зародышами.

Э. Построена кинетика нуклеации при наличии профилей температуры вокруг зародышей новой фазы, показано сохранение формы спектра размеров зародышей новой, фазы при учете профилей температуры.

9. Показана приближенная универсальность формы спектра размеров зародышей по отношению к режиму роста- зародышей новой фазы.

10. Показана, приближенная универсальность формы спектра размеров зародышей по отношению к степени истощения гетерогенных центров в процессе нуклеации на од-

ном типе гетерогенных центров. Показано приближенное подобие сечений по активности у распределения зародышей по размерам и активности.

11. Решена задача описания стационарной нуклеации в однородном силовом поле, и показано приближенное совпадение формы спектра размеров частиц'новой фазы со случаем нестационарной конденсации в отсутствии поля. Обоснован приближенно универсальный вид спектра размеров новой фазы в случае нестационарной нуклеации в квазиоднородном поле. . •

12. Продемонстрировано применение универсальной формы спектра размеров зародышей как анзаца при решении задачи нуклеации при наличии источника гетерогенных центров.

13. Установлена'иерархия устойчивых и неустойчивой переменных при эволюции в при-критической области размеров Зародышей новой фазы, развиты методы получения скорости нуклеации в многокомпонентном случае.

14. Исследован случай нуклеации при наличии активациониого барьера малой высоты, получены новые зависимости характеристик процесса нуклеации в этом случае, но вновь установлено приближенное сохранение формы спектра размеров зародышей

■ повой фазы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Гринин А.П., Куни Ф.М., Курасоа В.Б. , Метод моментов в кинетике гомогенной конденсации. // Вестник Ленингр. ун-та, сер. физика,химия. 1937. Вып.2. С.28-31.

2. Куни Ф.М., Гринин Л.П., Курасов В.Б. Квиетическая теория конденсации в динамических условиях. 1.Система уравнений кинетики конденсации.// Коллоидн. журя.

■ 1990. Т.52! Вып.З. С.430-436.

3. Куни Ф.М., Гринин А.П.,Курасов В.Б. Кинетическая теория конденсации в динамических условиях. .З.Спектр размеров капель.// Коллоидн. жури. 1990. Т.М. Вып.З. С. 137-412.

4. Kymi Ф.M., Грнннн А.П.,Курасов В.Б. Кинетическая теория конденсации в динами- . ческих условиях. 3.Конденсация избыточного вещества.. Неизотермические эффекты конденсации.// Коллоидн. журн. 1990. Т.-52. Вып.-З. С.443-449.

•5- А.А.Мелихов, Курасов В.Б., Ф.М.Куни, Ю.Ш.Джикаев, Двухкомпонентная нуклеа-ция.// Химическая физика, т.9, N 12, 1990 с. 8-12

6. А.А.Мелихов, Курасов В.Б., Ф.М.Куни, Ю.Ш.Джикаев, Кинетика двухкомпонент-ной нуклеации.// Журнал технической физики, т.61, N 1, 1991, с. 61-65

7. Ф.М.Куни, А.П.Гринин Курасов В.Б., Гетерогенная нуклеация в условиях стабилизации идеального пересыщения.// Вестник СПбГУ, Сер.4, вып.2, 1992, C.76-S1.

8. Kurasov V., Kinetic theory for condensation 'in dynamic conditions.// Physical Review E, vol 49, 1994, p.394S-3956.

9. Kurasov V., Kinetic theory for condensation of multicomponent vapor in dynamic, conditions.// Physica A, vol.207, 1994, p.541-551.

10. Курасов В.Б., Михайлова А.Б., Гетерогенная конденсация в динамических условиях при произвольных числах Кнудсена (приближение среднего поля).// Вестник СП6-ГУ Сер.4, 199S, Вып. 4 (25) с. 5-9.

11. Kurasov V.В., Density profiles in the theory of condensation.// Physica A, vol. 226,1996, p.l17-137 "

12. Курасов В.В., Стационарные профили конденсации.// Вестник СПбГУ, Сер. 4, 1999, вып. 2 (N 11) 80 - S3

13. Курасов В.Б., Павлов Л.В., Алгоритм расчета основных характеристик процесса гетерогенной конденсации в закрытой системе при наличии нескольких типов гетерогенных центров.// Вестник СПбГУ, Сер. 4 , 1999, вып. 2 (N 11), С. 76 - 79

14. Курасов В.Б., Павлов А.В. Описание стадии зарождения капель на одновременно присутствующих в системе ионах разного знака.// Коллоидн. журн. Т. 62, 2000, N 3, С. 381-3SS

15. Kurasov V.B.. Multicomponeut. nonisothermal nuclealion.// Physica A 2S0, 2000, p.219-255

16. Kurasov V., Heterogeneous condensation in dense media.// Physical Review E vol. 63, 2001, N 056123, 10 p.

17. Курасов В.Б., Перекрытие характерных областей и кинетике нуклеации.// Вестник СПбГУ, Вып.2 (12), 2002, с 27-35.

18. Курасов В. В., Метод определения формы спектра зарождающихся частиц при нуклеации на непрерывном спектре активностей гетерогенных центров.// Вестник СЛ16ГУ, сер. фнз-хим. Вып. 1 (2), 2002, с.72-77.

19. Курасов В.В., Вычисление профиля плотности пара около растущей капли.// Вестник СПбГУ, Вып. 3 (20) 2002, с. 19-31

20. Курасов В.Б., Павлов А.В., К вопросу о нуклеации в пересыщенном паре в присутствии гетерогенных центров различной природы.// Коллоидн. журн. т. 64, 2002, с. 1-7.

21. Курасов В.Б., Форма спектров размеров зародышей в фазовых переходах первого рода.// Теоретическая и математическая физика, т. 131. 2002. N 3 , с.503-528.

22. Курасов В.Б. Описание конденсации в динамических условиях при полиномиальной аппроксимации спектра активностей вакансий.// Весгник СПбГУ Вып. 4 (2S), 2003, с.23 - 30.

23. Курасов В.Б., Энергия Гельмгольца многокомпонентного зародыша..// Химическая физика, т. 77 дополнительный выпуск (suppl.l). 2003, с.154-157

24. Курасов В.Б., Применение монодисперсной аппроксимации при сильной несимметричности спектра активностей.// Вестник СПбГУ, Вып. 3 (20), 2003, с. 3-15.

25. Курасов В.Б., Кинетика процесса нуклеации на нескольких типах центров. Построение внешнего пересыщения.// Вестник СПбГУ Вып. 2 (12), 2003, с. 3-21.

26. Курасов В.Б., Параметры распределения зародышей.// Химическая физика, том 77, 2003, N 10, с. 154-157.

27. Курасов В.В., Кинетика, конденсации на нескольким типах гетерогенных центров в предельных ситуациях.// Вестник СП6ГУ, Сер.4. 2001, Вып. 1 (N 4) С. 14-22.

28. Kurasov V., Kinetic effects of multi-component nucleation.// Physica A, vol.353, 2005, p.159-216.

29. Курасов В.Б., Сокращенное описание в кинетике многокомпонентной нуклеации.// Вести. СПбГУ, Сер. 4, 2005, Вып. 4, C.94-9S.

30. Курасов В.В., Кинетика распада, и конденсация в динамических условиях для многокомпонентной системы.// Вести. СПбГУ, Сер. 4. 2005, Вып. 4, С.42-47.

31. Курасов В.Б. Гетерогенные центры как помеха в эксперименте по гомогенной конденсации в динамических условиях.// Вестник СПбГУ, Сер. 4, 2005. Вып. 3 , С. 3-S.

32. Курасов В.Б. Метод разбалансированных итераций на. основе универсального решения для описания гетерогенной нуклеации.// Вестник СПбГУ, Сер 4, 200-5, Вып. 3, С. 85-89.

Тирах; 70 экз. Подписано к печати 20.03.2006

Ри кон ww w. п 1<оп. с! а. ni 195176, Санкт-Петербург, пр.Металлистов, 62

1. Becker, R. and Doering, W., Kinetische behandlung der Keimbildung in ubersaettingen Daemphen Ann.Phys. vol. 24, p.749-752 (1935)

2. Frenkel, J., Kinetic theory of liquids, Oxford University Press, New York, 1977

3. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы. Кавитация ЖЭТФ 1942 т. 12 номер 11/12 с. 525-538

4. Lothe J., Pound G.M. J.Chem.Phys. vol.36, 2082 (1962)

5. Ф.М.Куни, А.П.Гринин Курасов В.В., Гетерогенная нуклеация в условиях стабилизации идеального пересыщения Вестник СПбГУ, Сер.4, вып.2, С.76-81, 1992

6. Volmer, М., Kinetic der Phasebildung Drezden und Leipzig: Verlag von Theodor Steinkopf p.2209; Z.Phys.Chem. vol.25, p.555 (1929)

7. Гринин А.П., Куни Ф.М., Курасов В.Б., Совков В.Б. Кинетика конденсации и свойства жидкостей в малом объеме Сб.¡Физика жидкого состояния, Вып. 13, Киев, 1985, С.3-15

8. Куни Ф.М., Статистическая физика и термодинамика, М., Наука, 1981, 348 с.

9. Renninger R.G., Hiller F.C., Bone R.C. J.Chem. Phys., 1981, Vol.75, p.1584

10. Reiss H, J.Chem Phys., Vol.18, 1950, p.840

11. Stauffer D., J.Aerosol Sci., vol.7, p.319 (1976)

12. V.Kurasov Structure of the Embryo free energy in frames of Gibbs dividing surfaces in the theory of condensation 14 International Conference on Chemical Thermodynamics in Russia, St. Petersburg, 2002 p. 487 -488

13. Курасов В.Б., Энергия Гельмгольца многокомпонентного зародыша Химическая физика, том 77 дополнительный выпуск (suppl.l) 2003 г., с.154-157

14. J.-S. Li, К Nishioka, I.Maksimov J. Chem. Phys. 107 460 (1997)

15. S.P.Fisenko, G.Wilemski Kinetics of binary nucleation in size and composition space, Physical Review E 70 (2004) 05619

16. G.Wilemski, B.E.Wysloyzil J. Chem. Phys. 103 1127 (1995) G.Wilemski, B.E.Wysloyzil J. Chem Phys 105 1090 (1996) G.Wilemski, B.E.Wysloyzil J. Chem Phys 110 1202 (1999)

17. J.-S.Li I.Maksimov G.Wilemski Genuine saddle point and nucleation for binary systems PhysRevE 61 number 5 R4710 R4613

18. D.J.Adams , Mol.Phys. 32,647 (1976)

19. D.W.Oxtoby and R.Evans, J.Chem.Phys. 89, 7521 (1988)

20. X.C.Zeng and D.W.Oxtoby, J.Chem.Phys. 94, 4472 (1991)

21. R.Evans in Inhomogentous fluids edited by D.Henderson (Dekker, New York, 1991)

22. J.D.Weeks, D.Chandler, and H.C.Andersen, J.Chem.Phys. 47, 4714 (1971)

23. B.Q.Lu, R.Evans, and M.M.Telo da Gama, Mol. Phys. 55, 1319 (1985)

24. Katz J.L., Fisk J.A., Rudek M.M. Nucleation of single component supersaturated vapors In: M.Kulmala, P.Wagner Nucleation and atmospheric aerosols 1996, Pergamon, Elsevier, 1996, p.1-11

25. Tolmen R.C. J. Chem. Phys. vol. 17, p.333 (1949) Tolmen R.C. J. Chem. Phys. vol. 16, p.758 (1948)

26. Gibbs J.W. Collected Works (Longmans Green and Company, New Yourk, 1928), Vol.1, pp. 55-353

27. Reiss H., Katz J.L., Cohen, E.R. // J.Chem.Phys. 1968, Vol.48. P.5553.

28. Гринин А.П., Курасов В.Б. К кинетике гомогенной конденсации в открытых системах Вестник Ленингр. ун-та, сер. физика,химия. 1984. Вып.2. С.100.

29. Курасов В. В., Описание гомогенной и гетерогенной нуклеации в динамических условиях, Деп. в ВИНИТИ N 5147-В, от 1.06.1989. 50с.

30. Гринин А.П., Куни Ф.М., Курасов В.Б. , Метод моментов в кинетике гомогенной конденсации, Вестник Ленингр. ун-та, сер. физика,химия. 1987. Вып.2. С.28.36. von Weimarn P.P. // Chem.Rev. 1926. Vol.2, P.217.

31. Курасов В.В., Теоретическое обоснование закона фон Веймарна ВИНИТИ N 2805-В95 от 24.10.1995 6 стр.

32. Kramers, Н., Physica vol.7, N 4, p.284 (1940)

33. Twomey, S., Geofis. pura e appl., vol. 43, number 2, p.243 (1959)

34. Мелихов A.A., Смирнова И.А., Куни Ф.М. Вестник ЛГУ, Физика-химия, Серия 4, Вып. 2, С.13 (1986)

35. Амелин А.Г., Яшке Е.В., Кургин Ю.С., Температура капли в пересыщенном паре, Коллоидн.ж., Т.23, С.652-657 номер 6 (1961)

36. H.M.Ellerby, C.Weakliem, H.Reiss, J.Chem.Phys. vol.92, p.9209 (1991) H.M.Ellerby, H.Reiss, J.Chem.Phys. vol.97, p.5766 (1992) C.Weakliem, H.Reiss, J.Chem.Phys. vol.99, p.5374 (1993) C.Weakliem, H.Reiss, J.Chem.Phys. vol.101, p.2398 (1994)

37. Гринин А.П., Автономов П.С. Эффект конденсации на каплях в стационарных условиях термодиффузионной камеры, Материалы 15-ой Всесоюзной конференции по актуальным вопросам физики аэродисперсных систем, Одесса, 1989, том 1, С.12

38. Куни Ф.М., Щекин А.К., Русанов А.И., Коллоидн.ж. Т.55, N 2, С.34 , 1993

39. Katz J.L. J. Chem. Phys. 1970. Vol. 52. P. 4733.

40. Райзер Ю.П. О конденсации в облаке испаренного вещества, расширяющегося в пустоту, ЖЭТФ, Т.37, С.1741

41. Куни Ф.М., Гринин А.П., Курасов В.Б. Гетерогенная нуклеация в потоке газа. В сб. Механика неоднородных систем, 1985, С.86

42. Grinin A.P., Kuni F.M., Kurasov V.B., Sovcov V.B. The kinetics of the homogeneous condensation in the materially open system, Kiev, 1984, -36p. / Preprint Institue for Theoretical Physics Acad, of Sci. UkrSSR: ITP-84-123E /•

43. Kuni F.M. The kinetics of the condensation under the dynamical conditions, Kiev, 1984, -65p. / Preprint Institue for Theoretical Physics Acad, of Sci. UkrSSR: ITP-84-178E /.

44. Курасов В.В., Куни Ф.М., Гринин А.П. Определение основных параметров процесса гетерогенной конденсации пара на ядрах в динамических условиях Вестн. ЛГУ, Вып.4, N4, 1986, С. 8-12

45. Курасов В.Б., Куни Ф.М., Гринин А.П., Простой метод определения характеристик гетерогенной конденсации в динамических условиях Вопросы физики формообразования и фазовых превращений, Калинин, 1986, С. 3

46. Лифшиц И.М., Слезов В.В., О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов, ЖЭТФ, 1958, Т.35, С. 4791.fshitz I.M., Slyozov V.V. The kinetics of precipitation from supersaturated solid soluitons J.Phys.Chem.Solids, 1961, v.19, N 1/2, p.35

47. Курасов В.Б. Описание конденсации в динамических условиях при малом числе гетерогенных центров, Деп. в ВИНИТИ 8321-В от 5.12.1986, 40 с.

48. Kurasov V., Simultaneous action of heterogeneous and homogeneous mechanisms in nucleation under the dynamic conditions in atmosphere Materials of the 12-th international Symposium on Gas Kinetics, Reading, United Kingdom, 1992 p. E3 (3 pages)

49. Мелихов А.А., Куни Ф.М. Кинетика нуклеации при произвольных числах Кнудсена Киев, 1983, 20 с. / Препринт Иститута теор. физики АН УССР: ИТФ-83-81Р /.Мелихов А.А., Куни Ф.М., Коллоидн.ж. Т. 47, С.77 (1985)

50. Тодес О.М. Кинетика процессов кристаллизации и катализа. В кн. Проблемы кинетики и катализа. -M.-JL: Изд-во АН СССР, 1949, Вып.7, С.91

51. Туницкий Н.Н. О конденсации пресыщенных паров. Журн. физ. химии, 1941, Т.15, С. 1061

52. Куни Ф.М., Гринин А.П. Время установления стационарного режима гомогенной нуклеации. Коллоидн. журн., 1984, Т.46, С.28

53. Фукс H.A. Испарение и рост капель в газообразний среде. -М.: Изд-во АН СССР, 1958, 91с.

54. H.Reiss The statistical mechanical theory of irreversible condensation. J.Chem. Phys., v.20, N 6, p.1216, 1952

55. Fisher M. The theory of condensation and critical point Physica, v. 3, N 5, p.255

56. Langer J.S. Theory of nucleation rates Physical Review Letters v.21.nl4 p.973-976 (1968)J.S.Langer Statistical theory of decay of metastable states, Annals of physics, v. 54, p.258, 1969

57. Kantrovitz A. Nucleation in very rapid vapor expansions. J. Chem. Phys., v. 19, 1951, N 9, p.1097

58. Куни Ф.М., Гринин А.П., Кабанов А.С. Кинетика гомогенной конденсации при больших начальных пересыщениях. Коллоидн. журн., Т.46, С.440

59. Куни Ф.М., Гринин А.П. Кинетика гомогенной конденсации на этапе образования основной массы новой фазы Коллоидн.журн., 1984, Т.46, С.460

60. Pesthy A.J., Flagan R.C., Seinfeld J.H., J.colloid Interface Sei 82, 465 "(1981) 91 525 (1983)

61. Куни Ф.М., в кн. Проблемы теоретической физики (Под ред. Демкова Ю.Н., Новожилова Ю.В., П.П.Павинского) Вып. 3 (JL, Изд-во ЛГУ, 1988) с.192

62. Гордиец Б.Ф., Шмоткин Ю.С. Аналитическое описание конденсации в охлаждающихся потоках газов. М., 1983, -35с. / Препринт института физики им. Лебедева N 226 /.

63. Курасов В.Б., Теория гомогенного и гетерогенного распада метастабильной фазы ВИНИТИ N 2588-В95 от 19.09.1995 16 стр.

64. Курасов В.Б. Кинетика гетерогенной конденсации на центрах с непрерывной активностью в динамических условиях Депонировано в ВИНИТИ 2593В95 от 19.09.95, 23с.

65. Курасов В.Б., Метод определения формы спектра зарождающихся частиц при нуклеации на непрерывном активностей гетерогенных центров Вестник СПбГУ, сер. физ-хим. Вып. 1 (2) 2002 г., с.72 77

66. Курасов В.Б. Описание конденсации в динамических условиях при полиномиальной аппроксимации спектра активностей вакансий Вестник СПбГУ Вып. 4 (28), 2003 г., с.23 30

67. Курасов В.Б., Кинетика распада метастабильного состояния на нескольких типах гетерогенных центров, Депонировано в ВИНИТИ 2594В95 от 19.09.95, 28с.

68. Курасов В.Б. Кинетика конденсации на нескольких типах гетерогенных центров в предельных ситуациях Вестник СПбУ, Сер.4 2004 Вып. 1 (номер 4) С. 14-22

69. Курасов В.Б. Кинетика конденсации аэрозоля под действием радиации Международный симпозиум стран СНГ "Атмосферная радиация" МСАР-02 Сборник тезисов с. 67, Санкт-Петербург, 2002

70. Курасов В.Б. Применение монодисперсной аппроксимации при сильной несимметричности спектра активностей Вестник СПбГУ, Вып. 3 (20), 2003 г., с. 3-15

71. Курасов В.Б., Кинетика распада метастабильной фазы на гетерогенных центрах с непрерывной активностью Депонировано в ВИНИТИ 2589В95 от 19.09.95, 23с.

72. Курасов В.Б., Гетерогенная конденсация на нескольких типах гетерогенных центров в динамических условиях Депонировано в ВИНИТИ 2591В95 от 19.09.95, 21с.

73. Курасов В.Б., Кинетика процесса нуклеации на нескольких типах центров. Построение внешнего пересыщения. Вестник СПбГУ Вып. 2 (12) 2003 г., с. 3-21

74. Курасов В.Б., Скрытые параметры в теории нуклеации Депонировано в ВИНИТИ 464В97 от 12.02.97 10 с.

75. Курасов В.Б., Нестационарное зародышеобразование Депонировано в ВИНИТИ 462В97 от 12.02.97 15 с.

76. Курасов В.Б., Теоретическое описание скорости нуклеации паров алканов Депонировано в ВИНИТИ 459В97 от 12.02.97 17 с.

77. Курасов В.Б., Различные подходы в бинарной нуклеации Депонировано в ВИНИТИ 463В97 от 12.02.97 12 с.

78. Vitaly A. Shneidman, Asymptotic relations between time-lag and higher moments of transient nucleation flux, The Journal of Chemical Physics Vol. 119, Issue 23, pp. 12487-12491

79. Курасов В.Б., Гетерогенная нуклеация с системах с источником гетерогенных центров Депонировано в ВИНИТИ 2318В96 от 11.07.96, 47 с.

80. Kurasov V., The influence of the binary surface characteristics on the process of nucleation Materials of the 12-th European Conference on Surface Science (ECOSS-12), Stockholm, 1991, Europhysics abstracts 1991 volume 15F, p. T 172

81. Курасов В.Б., Нестационарные эффекты в кинетике конденсации ВИНИТИ N 2807-В95 от 24.10.1995 14 стр.

82. Курасов В.Б., Распределение зародышей в процессе конденсации ВИНИТИ N 2809-В95 от 24.10.1995 15 стр.

83. Курасов В.Б., Кинетика бинарной конденсации после мгновенного создания Курасов В.Б., Депонировано в ВИНИТИ 4440-В от 1.08.1990, 48 с.

84. Курасов В.Б., Кинетика бинарной конденсации в динамических условиях Курасов В.Б., Депонировано в ВИНИТИ 4439-В от 1.08.1990, 47 с.

85. Kurasov V.B., Density profiles in the theory of condensation. Physica A, vol. 226, p.117-137 (1996)Курасов В.Б., Профили плотности в теории нуклеации ВИНИТИ N 2590-В95 от 19.09.1995 47 стр.

86. Курасов В.Б., Приближенная автомодельность в фазовом переходе первого рода. 1.Системы с простой структурой Депонировано в ВИНИТИ 460В97 от 12.02.97 45 с.

87. Курасов В.Б., Приближенная автомодельность в фазовом переходе первого рода.2.Системы со сложной структурой Депонировано в ВИНИТИ 461В97 от 12.02.97 46 с.

88. Курасов В.Б., Павлова А.Б., Гетерогенная конденсация в динамических условиях при произвольных числах Кнудсена (приближение среднего поля) Вестник СПбГУ Сер.4, 1998, Вып. 4 (25) с 27

89. Курасов В.Б., Перекрытие характерных областей в кинетике нуклеации Вестник СПбГУ, Вып.2 (12) 2002 г. с 27-35

90. Kurasov V. В., Universality in kinetics of the first order phase transitions, Chemistry Research Institute of Sankt-Petersburg State University, St.Peterburg, 1997, 400 p.

91. Kurasov V.B., Development of the universality conception in the first order phase transitions, Chemistry Research Institute of Sankt-Petersburg State University, St.Peterburg, 1998,25 p.

92. Kurasov V, Heterogeneos decay of metastable phases Nucleation Theory and Applications Ed. J. Schmelzer, G. Roepke, V. Priezzhev, Dubna JINR, 2002, p.177 214

93. Курасов В.Б., Распад метастабильного состояния на исчезающей границе спектра активностей гетерогенных центров Естественные и антропогенные аэрозоли, 3. Сборник трудов, НИИХ СПбГУ, 2001 г. ред. Ивлев Л.С. с. 250256

94. Курасов В.Б., Форма спектров размеров зародышей в фазовых переходах первого рода. Теоретическая и математическая физика, т. 131, номер 3 , с.503-528

95. Cahn J.W., Hillard J.T., J.Chem.Phys. 28 258 (1958); 31 688 (1959)

96. Kurasov V.,Computational problems in the density functional approach to the first order phase transitions, Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev St.Petersburg 2003, Book of Abstracts p. 16

97. Kurasov V., Heterogeneous condensation in dense media Physical Review E 63056123 (2001) 18 p.

98. Колмогоров A.H. К статистической теории кристаллизации металлов Изв. АН СССР, сер. Математическая, 1937, номер 3, с.355-360 (В сб. Теория вероятностей и математическая статистика. М. Наука, 1986, с. 178-182)

99. Y.S.Djikaev, A.P.Grinin, F.M.Kuni, Kinetics of homogeneous binary condensation at the stage of formation of the bulk of the liquid phase., Physica A 305 (2002) 387-403

100. V Garrido and D Crespo Physical Review E 56 no 3 p 2781 (1997)

101. A Grinin, A Shhchekin, F Kuni, E Grinina, H Reiss J Chem Phys 121 no 1 p 387 (2004)

102. A Grinin, I Zhuvikina, F Kuni H Reiss J Chem Phys 121 no 24 p 12490 (2004)

103. S.Jun H Zhang, J Bechhoefer Physical Review E vol 71 011908 (2005)

104. H N W Lekkerkerker В Widom Physica A vol 285 (2000) p 483-492

105. S M Oversteegen, H N W Lekkerkerker Physica A vol 310 (2002) p 181-196

106. I Avramov, К Avramova, С Russel Journal of Non-crystalline Solids vol 285 p 394-399 (2005)

107. V Fokin О Potapov E Zanotto F Spiandorello V Ugolkov В Pevzner Journal of Non-crystalline Solids vol 331 p 240-253 (2003)

108. Курасов В.Б. Гетерогенные центры как помеха в эксперименте по гомогенной конденсации в динамических условиях, Вестник СпбГУ Сер 4, Вып. 3 , 2005, С. 3-8

109. Курасов В.Б. Метод разбалансированных итераций на основе универсального решения для описания гетерогенной нуклеации, Вестник СпбГУ Сер 4, Вып. 3 , 2005, С. 85-89

110. Kinetic effects of multi-component nucleation Physica A, 8612, 2005 58 c.wo