Теория нестационарных фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кузьмин Михаил Кузьмич

ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И ДВИЖЕНИЯ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ В ТЕПЛОВЫХ ПОЛЯХ

Специальность- 01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ООЗОВ1425

Москва — 2007 г

003061425

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского государственного областного университета

Научный консультант: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Яламов Ю И.

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор Геворкян Э.В,

доктор физико-математических наук, профессор Соколов В В ;

доктор физико-математических наук, профессор Аристов В М

Ведущая организация Военная Академия РВСН

имени Петра Великого

Защита состоится «12» сентября 2007 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 155.07 в Московском государственном областном университете по адресу 105005, г Москва, ул Радио, д 10е.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета

Автореферат разослан « 7*» а&ъ^с+гь2007г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор У ДЛ Богданов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Аэрозольные системы, или аэрозоли, состоящие из взвешенных в газообразной среде твердых или жидких частиц, играют весьма большую роль в природе и жизни человека В настоящее время все большее значение приобретают научные исследования по различным проблемам физики аэродисперсных систем Это обстоятельство не случайно, так как с каждым годом увеличивается применение аэрозолей в практической области — промышленности, технике, сельском хозяйстве, медицине и т д Изучение аэрозолей представляет интерес и потому, что они являются естественными катализаторами фотохимических и иных реакций в атмосфере и конечными продуктами ряда процессов Образующиеся в результате различных процессов аэрозоли могут с одной стороны, содержать ценные вещества и приносить пользу, с другой, — оказывать вредное влияние на людей и окружающую среду В связи с обострением экологической ситуации все большего внимания требуют вопросы очистки промышленных отходов от аэрозольных частиц, природа образования которых может быть произвольной Возникает практическая задача снижения содержания взвешенных частиц в газовой среде или же создания условий процесса конденсации пара в объеме, при которых образуется аэрозольная система, состоящая из легко выделяемых крупных частиц

Одной из основных проблем физики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных частиц в неоднородных газовых средах Без знания закономерностей этого поведения невозможно проводить исследование эволюции аэродисперсных систем и решить вопрос целенаправленного воздействия на аэрозоли

Важными научными направлениями, развиваемыми в рамках физики аэродисперсных систем, являются теоретические и экспериментальные исследования закономерностей фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях.

Как испарение, так и конденсационный рост аэрозольной капли главным образом обусловлены двумя противоположно направленными процессами переноса диффузией пара и теплопроводностью, инициированной скрытой теплотой испарения или конденсации соответственно Во многих областях науки и техники, как физика атмосферы, теплотехника, энергетика, химия, медицина, где рассматриваются диффузионные процессы, существенным оказывается учет нестационарных полей температуры и концентрации Следует обратить особое внимание на то, что когда окружающая среда меняется быстро, как при стремительном адиабатическом охлаждении, то стационарная или квазистационарная трактовки процесса неадекватны К

сожалению, учет нестационарности процессов в данной области исследования до сих пор разработан недостаточно, не лучше обстоят дела с наличием экспериментальных данных, хотя испарение и конденсационный рост капель остаются темой обширных исследований

В механике аэрозолей существенное место занимает исследование закономерностей движения твердых частиц в неоднородных по температуре газах, то есть термофоретического движения Такое движение происходит во внешнем поле градиента температуры Термофоретическое движение может быть определяющим в динамике аэродисперсных систем. Явление термофоретического переноса аэрозольных частиц играет большую роль в атмосферных процессах, в химической технологии, экологии и медицине Теория нестационарного термофореза до сих пор остается неразработанной, несмотря на то, что в реальных условиях градиент температуры во внешних полях не может быть постоянным Он зависит от времени

Таким образом, построение теорий нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) аэрозольной капли, а также нестационарного термофореза аэрозольной частицы носит актуальный характер

В построении общей теории нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) аэрозольной капли особое значение приобретает физически корректная постановка граничных условий на поверхности раздела капля — внешняя среда При определенных значениях числа Кнудсена приходится учитывать влияние слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс Учет одних и тех же факторов, существенно влияющих на процесс, при этом может происходить по-разному Это в полной мере относится к учету такой важной величины как коэффициент испарения (конденсации) вещества капли, оказывающей существенное влияние на скорость протекания нестационарного процесса испарения (конденсации) аэрозольной капли Одной из основных задач диссертационной работы является построение общей теории нестационарного испарения неподвижной аэрозольной капли сферической формы при прямом учете влияния коэффициента испарения, а также с учетом скачков концентрации и температуры вблизи поверхности капли в слое Кнудсена В последнем случае учет коэффициента испарения происходит косвенно через соответствующие коэффициенты скачков концентрации и температуры В обоих подходах к построению теории проведено исследование влияния поля температуры внутри капли на рассматриваемый процесс

Построение общей теории нестационарного термофореза является сложной задачей Это связано с тем, что для этого приходится рассматривать решение дифференциальных уравнений с частными производными высоких порядков Решение задачи о нестационарном

термофорезе твердой сферической частицы нам удалось несколько упростить, предположив при ее постановке, что при нулевом значении времени имеет место стационарный термофорез

Цель данной работы

1. Построение общей теории нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической аэрозольной капли с учетом влияния слоя Кнудсена

2 Построение теории нестационарного термофореза крупной твердой (нелетучей) аэрозольной частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде

Научная новизна работы заключена в следующих положениях.

1 Построена теория нестационарного процесса испарения неподвижной сферической капли при двух новых подходах к постановке граничных условий, позволяющих учет влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс, первый из которых заключается в прямом учете коэффициента испарения (конденсации), а второй — в учете скачков концентрации и температуры вблизи поверхности капли В обоих случаях постановки граничных условий получены общие выражения для распределения относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности Найдены выражения для скорости нестационарного изменения радиуса капли

2 Исследовано влияние поля температуры внутри капли на скорость нестационарного изменения ее радиуса, как при прямом учете коэффициента испарения, так и при учете скачков концентрации и температуры Проанализированы все полученные формулы для скорости изменения радиуса капли Из них выделены удобные для проведения численных расчетов формулы при малых и больших значениях времени

3 Построена теория нестационарного термофореза крупной твердой (нелетучей) частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде Получена формула, описывающая зависимость нестационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы от строго нестационарного градиента температуры при малых и больших значениях времени.

4 Проведено исследование нестационарного термофореза в случае, когда строго нестационарный градиент температуры задан аналитическим выражением, таким, что с возрастанием времени этот градиент стремится к постоянному вектору

5 Выявлены закономерности изменения термофоретической скорости крупной твердой сферической частицы и факторы, влияющие на это изменение в вязкой газовой среде, в которой задан нестационарный градиент температуры

Практическая и научная ценность

Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при исследовании скорости протекания нестационарного процесса испарения или конденсационного роста аэрозольных капель

Построенная теория нестационарного термофореза может служить основой для исследования движения аэрозольных частиц в вязкой газовой среде под действием любого заданного нестационарного градиента температуры

Найденные в работе формулы-приближения для скорости нестационарного изменения радиуса капли и нестационарной составляющей термофоретической скорости, выраженные через исходные физические величины, позволяют получать численные значения, характеризующие соответствующий процесс для аэрозольных частиц, состоящих из любых конкретных материалов

Разработанная в этой работе методика по решению систем уравнений с частными производными или отдельных уравнений высокого порядка с применением интегрального преобразования Лапласа может быть использована при решении аналогичных задач теоретической и математической физики Могут быть полезными и конкретные формулы обратного преобразования Лапласа, впервые полученные в этой работе

Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что использованы физические подходы и математические методы, адекватные природе явлений Достоверность результатов построенной теории нестационарного процесса испарения подтверждена согласием результатов, полученных при двух различных подходах к постановке граничных условий, при которых реализованы два разных метода учета коэффициента испарения Достоверность формул теории нестационарного термофореза проверена рассмотрением возможных предельных случаев этих формул Так как основным математическим методом решения уравнений в работе является метод интегральных преобразований Лапласа,

то при использовании асимптотических приближений функций из пространства изображений проверена корректность получаемых оригиналов при малых и больших значениях времени

На защиту выносятся:

1 Теория нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической капли с учетом влияния слоя Кнудсена при прямом учете влияния коэффициента испарения, а также при учете скачков концентрации и температуры

2 Выражения, определяющие распределения относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности, формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли

3 Результаты, полученные исследованием влияния поля температурь» внутри капли на скорость нестационарного изменения ее радиуса, как при прямом учете коэффициента испарения, так и при учете скачков концентрации и температуры

4 Решение задачи о движении крупной твердой частицы сферической формы в вязкой газовой среде под действием нестационарного градиента температуры, включающей в себя нестационарную гидродинамическую и тепловую задачи

5 Формулы для нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой частицы, когда строго нестационарный градиент температуры задан с помощью функции где А к со —

положительные постоянные величины

6 Численные расчеты, проведенные по формулам-приближениям для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли и для нестационарной составляющей термофоретической скорости аэрозольной частицы

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на заседаниях и научных семинарах кафедры теоретической физики, а также на ежегодных научных конференциях Московского государственного областного университета (2003 — 2007 г г ),

Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, 2006 г ),

5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика — 2006» (Москва, 2006 г ),

III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006 г ),

Региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (Чебоксары, 2006

г.),

XIII Международной конференции «Методы аэрофизических исследований» (Новосибирск, 2007 г.)

Публикации. По теме диссертации имеется 33 публикации, в том числе 13 статей в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 300 наименований Содержит 5 рисунков и 26 таблиц Объем работы составляет 242 страницы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дан общий анализ состояния проблемы, обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели исследования, охарактеризованы научная новизна, а также практическая и научная ценность работы

Первая глава диссертации, посвященная обзору литературы, состоит из двух парафафов В первом из них проведен анализ работ по квазистационарному и нестационарному испарению (конденсационному росту) аэрозольных капель, в большей части из которых исследуется испарение капель, состоящих из чистых жидкостей При этом учтено отсутствие обзоров работ последнего времени В этом обзоре большее внимание уделено работам, в которых рассматриваются исходные понятия, выводы, формулы, имеющие прямое отношение к решаемым в диссертации задачам В нем дан анализ максвелловской теории испарения капель Отмечены последующие теоретические исследования, внесшие существенный вклад в уточнение и развитие теории испарения Речь идет об исследованиях Ленгмюра, В Срезневского, Стефана, Н А Фукса и др Обращено внимание на работы, в которых исследуется влияние слоя Кнудсена [1] на процесс испарения (конденсации)

Особо следует сказать о работах по нестационарному испарению капель, выполненных в конце шестидесятых и в начале семидесятых годов XX века Исследованием процесса нестационарного испарения

занимались М В Буйков, С С Духин, О М Тодес, И Я Колесник, Ю И Яламов, Э К Рейтер, Л М Пикков, Э К Сийрде, М В Товбин, Б В Савинова, Г М Стрелков, Н Нике, Н.Фукута и др Многие из работ этих исследователей, не попадавшие в какие-либо обзоры ранее, отмечены в нашем обзоре

Из работ обзорного характера отметим работу НА Фукса [1]. заметно повлиявшую на ход развития дальнейших исследований. Он? посвящена освещению вопросов кинетики испарения и роста капель чистых жидкостей В ней подробно рассмотрен квазистационарный случай испарения капель как неподвижных, так и движущихся по отношению к среде и затронуты лишь отдельные вопросы нестационарного испарение капель

Основоположником теории испарения и конденсационного роста одиночной капли в газообразной среде считается Дж К Максвелл, который в 1877 году дал решение задачи стационарного испарения крупной [2] неподвижной сферической капли Он, используя для сферически симметричной геометрии уравнения диффузии и непрерывности потока молекул, получил формулу для потока испаряемых частиц от капли Важно отметить, что задача решалась Максвеллом в предположении, что концентрация пара у поверхности капли равна концентрации насыщенного пара

В реальных условиях для вычисления скорости испарения капель необходимо учитывать много факторов, оказывающих существенное влияние на величину этой скорости Например, нужно учитывать изменение температуры капли в процессе фазового перехода на ее поверхности, наличие слоя Кнудсена на поверхности капли Скорость испарения капли может существенно зависеть от значения коэффициента испарения (конденсации) вещества капли [1 — 4] Как известно [1], классическая теория испарения Максвелла не позволяет учитывать влияние коэффициента испарения на скорость протекания этого процесса

В 1934 г Фуксом были получены формулы, позволяющие приближенно учитывать влияние слоя Кнудсена на процесс испарения [5] Он, определил поток в слое Кнудсена для сферической капли, применив для этого коэффициент испарения (конденсации), и приравнял этот поток диффузионному потоку во внешней области слоя

Исследование влияния слоя Кнудсена на процесс испарения капли можно проводить путем включения в число граничных условий задачи соотношений, позволяющих учитывать скачки концентрации и температуры вблизи поверхности капли Проблеме скачков концентрации и температуры посвящена весьма обширная литература [2, 6] Скачки концентрации и температуры изучались в работах М Смолуховского, Ленгмюра, Грегори, Кеннарда, Р Я Кучерова и Л Е Рикенглаза, Ю И Яламова с сотрудниками и многих других исследователей

Многие авторы, исследовавшие нестационарный процесс испарения капель, указывали на недостатки стационарных решений при диффузионном испарении сферической капли Они приходили к общему выводу о том, что испарение и конденсационный рост капель являются существенно нестационарными процессами и что заметное отступление от квазистационарности имеет место в самые начальные моменты времени

Ряд вопросов теории нестационарного испарения и роста капель рассмотрен в работе Н А Фукса [1] В этой же работе им высказана мысль о том, что для теории испарения капель важным является вопрос о влиянии уменьшения размера испаряющейся капли на скорость процесса Исследование этого вопроса проведено И Я Колесником и Ю И Яламовым, которые при условии, что насыщающая концентрация значительно меньше плотности вещества капли, пришли к следующему выводу, что вклад, вызванный постепенным изменением размера капли, в скорость ее испарения или конденсационного роста, весьма мал Ими же было выяснено, что при малых временах квазистационарное решение неправильно описывает процессы испарения и конденсационного роста капель, а для больших значений времени наблюдается квазистационарный режим

Второй параграф первой главы посвящен обзору работ по движению аэрозольных частиц в неоднородных средах Этому вопросу, имеющему важный научный и практический интерес, посвящено большое число теоретических и экспериментальных работ отечественных и зарубежных авторов Из монографий и других книг, посвященных вопросам движения аэрозольных частиц, заслуживает быть отмеченной книга Н А Фукса [7], изданная более полувека назад, в которой собран и критически рассмотрен почти весь имеющийся на то время теоретический и экспериментальный материал, относящийся к механике аэрозолей Изучение движения аэрозольных частиц с учетом возрастающего числа факторов продолжается Об этом свидетельствует значительное число диссертационных работ, защищенных в последние годы Принимая во внимание, что каждая из этих работ содержит обзор близких к теме соответствующей диссертации публикаций, включая статьи самого последнего времени, в нашем обзоре рассмотрены более обстоятельно работы, имеющие лишь непосредственное отношение к теме нашего исследования

Теория термофоретического движения частиц является составной частью более общей теории движения аэрозольных частиц в неоднородных средах [7] В развитие этой теории существенный вклад внесли Эпштейн, Б В Дерягин, С П Баканов, Ю И Яламов, Брок, И Н Ивченко, М Н Гайдуков, Е Р Щукин, В Г Черняк, А А Юшканов, О А Барсегян, А Б Поддоскин и др

Впервые выражение для определения термофоретической силы, действующей на крупную сферическую частицу, было получено Эпштейном Им же получена формула для скорости термофореза крупных частиц

Формула для скорости термофореза умеренно крупной [2] нелетучей сферической частицы была получена И Н Ивченко и ЮИЛламовым В этой формуле они учли коэффициент теплового скольжения, выражение которого было получено ими ранее

Из проведенного анализа работ следует, что общая теория стационарного термофореза крупных нелетучих аэрозольных частиц является достаточно разработанной частью общей теории термофоретического движения аэрозольных частиц Нестационарная теория термофореза даже для крупных аэрозольных частиц до сих пор остается неразработанной

В работах [8, 9] рассматривался приближенный метод решения задачи о нестационарном движении крупной нелетучей частицы сферической формы в неоднородно нагретом газе. К сожалению, начатые в этих статьях исследования, представляющие значительный научный интерес, не нашли продолжения и формулы для проведения численных расчетов не были получены

Вторая глава диссертационной работы посвящена построению теории нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической аэрозольной капли при прямом учете влияния коэффициента испарения (конденсации) а При этом реализуется по существу метод Н А Фукса [5] для учета влияния слоя Кнудсена вокруг аэрозольной капли на рассматриваемый процесс.

В первом параграфе этой главы формулируется постановка задачи, приводятся основные уравнения, начальные и граничные условия

Рассматривается нестационарный процесс испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической капли, находящейся в бинарной газовой смеси, первый компонент которой образован молекулами вещества капли, а второй компонент — молекулами несущего газа При этом, следуя Максвеллу [1], концентрация пара у поверхности капли предполагается равной концентрации насыщенного пара при температуре ее поверхности, причем, эта концентрация значительно меньше плотности вещества капли Кроме того, полагаем, что радиус рассматриваемой капли Я много больше средней длины свободного пробега молекул окружающей ее газовой среды л, то есть число л

Кнудсена Кп = — мало, но полагаем, что оно не настолько малое, чтобы

л

пренебрегать влиянием слоя Кнудсена вокруг капли на рассматриваемый процесс Распределение (относительной) концентрации пара сх и

температура парогазовой смеси Те удовлетворяют следующей системе нестационарных уравнений с начальными и граничными условиями

дг [дг1 г дг) w

дТ (д2Т 2 дТ '

д( -\дг2 ■ г дг '' (2)

С, С'', 0|„о = СЮ. с, (г, = <?,„ = с,а, (3)

т>л,-о = =?:«= (4) а-- аг

йщпд-^- |г_д = - к-, (5)

где г —• радиальная координата сферической системы координат с началом в центре капли, г — время. В уравнения (1), (2) входят И = пт2 Эи / р„, где £>ц — коэффициент взаимной диффузии компонентов бинарной смеси, п = п1+пг, щ и пг — концентрация и масса молекул первого и второго компонентов соответственно, ре — плотность парогазовой смеси; ас— коэффициент температуропроводности бинарной смеси Далее, в граничное условие (5) входят д — удельное тепло фазового перехода вещества капли, ке— коэффициент теплопроводности парогазовой смеси

К условиям (1) — (5) присоединяется граничное условие, дающее возможность прямого учета коэффициента испарения а вещества капли

=<*К<^-С, )„,,!,

где V = ^кТ0г / 2ящ (к —постоянная Больцмана) Кроме того, используется линейное приближение уравнения Клапейрона — Клаузиуса

си (0 = С1,0 I1 + По (0 ~ тч, ]}. где Т,=Т,(0 = Т.(г,0 |г,я, си(0=с1(Т1) = п1(Т!)/п, ^(7]) — концентрация насыщенных паров вещества капли при температуре ее поверхности 7 причем,

С М =с V = ^~кТ<" V -'|(=0 1-и0> "¿О ,т2

К10е

Решение поставленной задачи проведено методом интегральных преобразований Лапласа [10]

о

где р — комплексный параметр. В результате найдены выражения, определяющие распределение концентрации пара и поле температуры в окружающей каплю среде, а также зависимость концентрации

насыщенных паров на поверхности капли от времени В этом же параграфе получено общее для всех значений времени выражение для скорости нестационарного изменения радиуса капли, соответствующее прямому учету влияния коэффициента испарения а (этот факт отмечен символом

Л J ~ р.Е1

лДЧ ^

Здесь р! — плотность вещества капли,

1

1

Далее,

С(Р,)

еа=ау(с, 0-си0)

ЯгР) - Д(УД + + >/¿4

г

(7)

где

- корни квадратного трехчлена

= ехр {р]1)еф[р177),

2 00

еф{г) = 1 - ег/ (г) = -= [ехр(-и2Уы ^ =

Выражением (7) характеризуется скорость протекания процесса испарения (конденсации) аэрозольной капли Недостатком этой формулы является ее громоздкость для проведения численных расчетов, дополнительные неудобства доставляют корни многочлена Р1 Поэтому рассмотрены асимптотические приближения выражения (7) при больших и малых значениях времени причем, они выражены через исходные физические величины Для этого использованы соответствующие асимптотические приближения функции <р(Р^1), которая входит в выражение (7) В результате получены приближенные формулы для вычисления скорости изменения радиуса капли при малых и больших значениях времени соответственно

Ге

\

2аукп,г + О,

'м •л«) _ еапт, 1-

.а I р,

савпт ке

л; А*2«!

1-2ау(1 + в1).

1 +

2g1tJлËtaJ

(8) (9)

где

°2 =—[«™D,{gog2-g¡)-gigг{go^Щ-Rгgг)], 82

кВе = К0у[5 + кеЛ[сГе .

Формулы (8) и (9) могут дать значительную часть информации о нестационарном процессе испарения (конденсации) аэрозольной капли, поскольку в исследовании нестационарного процесса наиболее важными являются знания об этом процессе при малых и больших значениях времени Используемые в обозначениях асимптотических приближений (8) и (9) выражения (7) нижние индексы имеют следующий смысл1 первый индекс указывает предельное значение, при стремлении к которому переменной г, получено это приближение, а второй индекс равен порядку выбранного приближения

В последнем третьем параграфе этой главы проведен анализ всех полученных решений и формул.

Для численного анализа полученных формул рассмотрен процесс нестационарного испарения (са<0) одиночных капель воды в сухом воздухе (с,а = 0) при различных значениях начальной температуры, когда давление среды Р = 0,1 МПа

Из всего проведенного анализа формул для скорости изменения радиуса испаряющейся капли сделан общий вывод, который заключается в следующем Абсолютная величина этой скорости при нестационарном испарении аэрозольной капли от довольно высокой величины в начале процесса в течение короткого промежутка времени резко падает, а потом происходит медленное снижение к некоторой постоянной величине Причем, последняя величина существенно зависит от размера капли, а именно, чем крупнее капля, тем меньше абсолютная величина конечного значения скорости изменения радиуса испаряющейся капли

На основе анализа численных результатов сделан вывод о том, что величины, на которые убывают температура испаряющейся капли и концентрация насыщенных паров на ней по истечению довольно большого промежутка времени, зависят существенным образом от начальной температуры поверхности капли, а рассмотренное изменение размера капель оказывает очень малое влияние на эти величины

В третьей главе строится общая теория нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) аэрозольной капли, когда учет влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс осуществляется с использованием хорошо разработанной теории скачков концентрации и температуры вблизи поверхности частицы [2,6]

Постановка задачи этой главы имеет немало общего с постановкой задачи, изложенной в первом параграфе предыдущей главы, в то же время имеются существенные отличия в использовании граничных условий

К условиям (1) — (5) присоединяются для учета скачков концентрации и температуры на слое Кнудсена вблизи поверхности капли следующие граничные условия [2]

где К(сс\ К'-р, К{р, К'тс] — газокинетические коэффициенты скачков концентрации и температуры Некоторые из них зависят от коэффициента испарения (см [2]) Следовательно, при учете скачков концентрации и температуры происходит косвенный или неявный учет коэффициента испарения Кроме того, присоединяется соответствующее линейное приближение уравнения Клапейрона — Клаузиуса

Решение поставленной задачи в этой главе проводится также методом интегральных преобразований Лапласа [10] В результате найдены общие выражения, определяющие распределение концентрации пара и поле температуры в окружающей каплю среде, а также зависимость концентрации насыщенных паров на поверхности капли и температуры на ней от времени

Далее получено следующее общее для всех значений времени выражение для скорости нестационарного изменения радиуса капли, соответствующее учету скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности (этот факт отмечен символом ( К )),

(10)

Здесь

£ = сю ~с1,о -Тл), тл = ГДО,,.

С(/?,) =

~Р] — корни квадратного трехчлена

а = г2 + \2 + Иг,

где

Хс = К\с) —А2П. = кр

■V

Г

Формуле (10) присущи те же недостатки, которые отмечены у общей для всех времен формулы для скорости изменения радиуса капли, полученной при прямом учете коэффициента испарения в предыдущей главе Поэтому рассматриваются соответствующие формулы-приближения для вычисления скорости изменения радиуса капли при малых и больших значениях времени, которые имеют вид

<ЖТ> _ еРпщк, л )о, рД

2Я,

/к

(И)

еВпт1кеЛ[Ба~

РЛК

1 +

Г.-

я,

(12)

где

Я, = кв%[а1 + ке~Л5, #2 = ^ {ко +ке)1ко

Отметим, что известные формулы [1]

= (д, -съа-)Рпщ

л)

рЛ

0)Рптх (

Я

(13)

(14)

рЛ у[лШУ

обычно получаемые из решения только одного стационарного или соответственно нестационарного уравнений диффузии без учета скачка концентрации (а также без учета процесса теплопроводности, следовательно, и скачка температуры), можно рассматривать как частные случаи формулы (12)

В последнем третьем параграфе этой главы проведен анализ всех полученных решений и формул

Из проведенного анализа формул для скорости изменения радиуса испаряющейся капли при рассматриваемом способе построения теории сделан общий вывод, который в общих чертах схож с выводом из предыдущей главы

Важно отметить согласие численных результатов при больших значениях времени для соответствующих выражений, полученных при двух различных подходах к учету влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс

Представляющий интерес детальное сравнение численных значений, полученных в результате исследования соответствующих выражений, в том числе и для скорости изменения радиуса капли, при различных способах построения теории нестационарного процесса испарения продолжено в следующей главе

В первом параграфе четвертой главы строится теория нестационарного процесса испарения неподвижной сферической

аэрозольной капли с учетом изменения температуры внутри капли как при прямом учете коэффициента испарения, так и при учете скачков концентрации и температуры Здесь к нестационарным уравнениям диффузии и теплопроводности в газовой среде добавляется нестационарное уравнение теплопроводности для температуры внутри капли т через а, обозначается коэффициент температуропроводности

Вместо граничного условия (5) теперь рассматривается условие

Как и в предыдущих двух главах решение задачи проводится методом интегральных преобразований Лапласа [10]

Показано, что если нестационарная теория испарения сферической аэрозольной капли строится при прямом учете коэффициента испарения, то поле температуры внутри испаряющейся капли не оказывает существенного влияния на скорость нестационарного изменения радиуса капли как при очень малых, так и при очень больших значениях времени Если же теория строится с учетом скачков концентрации и температуры, то влияние поля температуры внутри капли на скорость нестационарного изменения радиуса капли может быть малым только при больших значениях времени, а при малых значениях времени с этим влиянием пренебрегать нельзя Причем, с ростом температуры среды влияние этого поля также растет

Исследованы предельные выражения (при г да) для полей температур и распределений концентрации паров в окружающем каплю пространстве и на ее поверхности, а также поля температуры внутри капли Установлено, в нестационарном процессе испарения капли по истечению достаточно большого значения времени устанавливается постоянная температура капли Для обоих из рассматриваемых способов построения нестационарной теории испарения справедлив вывод о том, что при большей начальной температуре поверхности капли температура внутри капли в результате процесса испарения убывает на большую величину. Отметим, что влияние размера капли на значения рассматриваемых величин весьма мало Выяснено, что в нестационарном процессе испарения и конденсационного роста аэрозольной капли влияние поля температуры внутри капли на другие поля температур и распределений концентраций паров на поверхности капли и в окружающей ее среде при достаточно большом значении времени становится мало заметным

Во втором параграфе этой главы, используя асимптотические приближения соответствующих функций из пространства лапласовых изображений, найдены приближенные формулы для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли, учитывающие

влияние внутреннего поля температуры Эти формулы имеют следующий вид (для их выделения использованы символы (ш), (й) соответствующие способу построения рассматриваемой теории при прямом учете коэффициента испарения а или же с учетом скачков концентрации и температуры)

где

¿ЯГ" £„ПЩ

Л

р,

Р< к.

Я&г

ЪхукЛ + б,

гг(Г)£нот,

РАк

¿К У*4 =Рпщ4ЁшАек, л и рЯ 1 к2

1 — 21 мх

ак -крк(тс\

(15)

(16)

£,=0, 1

. о,

в2 =—\сСУКВе^о82 -gí)-glg2(goy|Щ-R2g2)~\>

'

м.

~ сио)

М)

, м2 = -

Ч е

ек^

Ю

В третьем параграфе этой главы проведен совместный анализ всех приближенных формул для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли К этому анализу подключены и хорошо известные формулы (13), (14) го предыдущих теорий Отмечено, что правые части формул (8), (11), (15), (16), полученных для определения скорости нестационарного изменения радиуса капли при малых значениях времени, не зависят от радиуса капли

Из анализа численных результатов получено, что если теория нестационарного процесса испарения капли строится с прямым учетом коэффициента испарения, то учет изменения температуры внутри испаряющейся капли дает плавное стремление скорости нестационарного изменения капли к постоянному значению Если же теория указанного процесса строится с учетом скачков концентрации и температуры, то наблюдается едва заметная, но противоположная картина

Относительно формул (13), (14) сделан вывод, что они не могут быть использованы при малых значениях времени, а их использование при больших значениях времени без должного учета условий их применения может привести к существенным ошибкам

Полученные численные результаты по различным формулам-приближениям для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли представлены в виде графиков, а также отражены с помощью большого числа таблиц

В четвертом параграфе этой главы исследовано влияние коэффициента испарения а на величину скорости нестационарного изменения радиуса сферической аэрозольной капли при обоих методах учета этого коэффициента, как при прямом, так и при косвенном его учете через коэффициенты скачков концентрации и температуры В последнем случае использованы выражения для коэффициентов скачков концентрации и температуры, приведенные в монографии [2], где они получены для случая бинарной газовой смеси обобщением подхода Лоялки, предложенного им для однокомпонентного газа

На основе анализа формул-приближений выяснено, что влияние коэффициента испарения а на скорость нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли является существенным, как при малых, так и при больших значениях времени, независимо от выбранного способа построения рассматриваемой теории

Различными способами исследования показано, что с увеличением размера аэрозольной капли влияние коэффициента испарения а на скорость изменения ее радиуса уменьшается Причем это касается обоих из рассмотренных здесь методов учета коэффициента испарения Можно заметить, что при прямом учете коэффициента испарения его влияние уменьшается несколько быстрее, чем при косвенном его учете через коэффициенты скачков концентрации и температуры. Замеченная разница зависит от размеров рассматриваемых капель Чем крупнее капля, тем меньше расхождение между скоростями изменения ее радиуса, вычисленными для одних и тех же значений а при различных методах учета коэффициента испарения.

Пятая глава посвящена построению общей теории нестационарного термофореза твердой (нелетучей) сферической частицы

В первом параграфе этой главы формулируется постановка задачи и приводятся основные уравнения, начальные и граничные условия

Рассматривается одиночная твердая (нелетучая) частица сферической формы радиуса К, взвешенная в неоднородной по температуре вязкой несжимаемой газовой среде Как известно [7], выбор метода решения задач, связанных с термофорезом, зависит от отношения средней длины свободного пробега молекул газа Л к характерному размеру аэрозольной частицы, то есть от числа Кнудсена Кп=Л/ X

Полагая, что число Кнудсена мало, в исследованиях привлечены классические методы динамики сплошной среды. При использовании уравнения Навье — Стокса предполагается, что число Рейнольдса мало

Для частицы, имеющей сферическую форму, математические выкладки удобно проводить в сферической системе координат (г,в,<р) с началом в центре частицы На относительно большом удалении от частицы предполагается наличие во внешней газовой среде градиента температуры [УГе(0]я, где (— время Его направление выбирается противоположно полярной оси Далее, частица считается покоящейся, а центр инерции внешней среды движущимся относительно частицы при г-*» со скоростью й = 5(0 При этом скорость термофореза частицы относительно центра инерции внешней среды будет равна йг(/) =-«(/)

Векторы йг(0 и [УГ,(01„ имеют противоположные направления Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой среды в сферических координатах при ее осесимметричном течении без учета действия массовых сил, пренебрегая квадратичными членами инерции, можно представить в виде [11]

— соответственно радиальная и касательная компоненты локальной среднемассовой скорости газовой среды у(г,0,г), у — кинематический коэффициент вязкости, р, —плотность среды, Р=Р(г,в,х) —давление

Распределения температур во внешней газовой среде Те(г,в,1) и внутри твердой сферической частицы Т, (г, 0,0 удовлетворяют соответственно дифференциальным уравнениям

где

г\Т ЯГ

где ае, а,—коэффициенты температуропроводности Здесь и далее будем снабжать индексами «е» и «I» величины, характеризующие одно и то же физическое свойство для областей, расположенных соответственно вне и внутри частицы Например, к,, к; — коэффициенты теплопроводности Из граничных условий задачи выделим следующее условие

Кт,удТ т0я дв1-*'

связанное с учетом явления теплового скольжения газа вдоль поверхности частицы. Здесь Кп, — коэффициент теплового скольжения [2], Та— средняя температура газа и частицы

При построении теории нестационарного термофореза предполагается, что при нулевом значении времени имеет место его стационарный случай, а при значениях времени / > 0 происходит наложение строго нестационарного термофореза на имеющийся стационарный процесс Градиент температуры [V ГД/)], представляется в виде суммы стационарного и строго нестационарного градиентов

где (УТ^Х, = {[УГДОЦ,.,,, следовательно,

{^Г2е(/)Ц„0=0. (17)

В соответствии с указанным предположением термофоретическая скорость частицы «г(0 состоит также из суммы стационарной и нестационарной составляющих

йг(г) = «1г+й2г(0, где й]т -ит (0|„0, следовательно,

«2Г(0„_0 =0

Во втором и третьем параграфах для крупной сферической частицы проводится соответственно решение гидродинамической и тепловой задач Причем, каждая из этих задач разбита на стационарную и строго нестационарную части

В результате решения стационарных частей указанных задач получена окончательная формула для определения стационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы

2 V. (УГ)

,г Та{к1+2к,)К

При решении строго нестационарных частей гидродинамической и тепловой задач используется интегральное преобразование Лапласа вида (6) В результате решения этих частей получена следующая формула для определения нестационарной составляющей термофоретической скорости

рассматриваемой частицы, записанная через изображения соответствующих величин

^ = (18)

где

6 рАУ + Я^Р) Ри{р) =-----------1

ад.---, (19)

к -к,

Кщ ~4Р

Ке г Г' К' /' К

~Г=1г1гл-г1г /—1зплл2 у.а. л/а.

2И

р, — плотность вещества частицы В выражение (19) входят модифицированные функции Бесселя [12] первого и второго рода /э/2 и Къп, а также производные от них Они зависят от параметра р следующим образом

Ьп - Л/зОО. Цп =^з/2(2,)> КИ2 = К'1/2 = К'1П(2е\

г, = Я^р/а,, г, = Я^р/а, Ради упрощения формы записи в дальнейшем часто будем использовать обозначение неотрицательной функции |[УГ2(/)]«,| через g0(t) По этой же причине отношение положительных величин /с,! /се будем обозначать одной буквой к При этом безразмерную величину к будем называть относительной теплопроводностью (вещества) частицы

В этой же главе выяснены асимптотические соотношения, существующие между функциями ¡«2Г(0| и £„(/) Эти функции при асимптотически пропорциональны, можно сказать, что нестационарная составляющая термофоретической скорости сферической частицы и строго нестационарный градиент температуры имеют один и тот же порядок при больших значениях времени (независимо от соотношения между ре, р.,) Далее, функции |й2Г(г)), (г) при г ->0 имеют один и тот же порядок, если Ре~Р,= О

При р,-р,* О |«2Г(0| является функцией более высокого порядка малости чем g^(t) А именно, если gn(0 является бесконечно малой

порядка п при ?-*0, то |ы27(г)| будет бесконечно малой порядка +

относительно g„(t)

Рассматривая предельные равенства, существующие между векторами й2Г(0 и [УГ2,(г)]о) при больших и малых значениях времени, выяснены факторы, влияющие на величину скорости й2Т(') при соответствующих значениях времени При больших значениях времени нестационарная составляющая термофоретической скорости частицы определяется не только строго нестационарным градиентом температуры, а также зависит от величины относительной теплопроводности частицы Если рассматривать две одиночные сферические частицы, относительные теплопроводности которых кг,, кг различны и ^ <кг, при одном и том же градиенте температуры \уТ2< (г)]я для больших значений времени нестационарная составляющая термофоретической скорости первой сферы будет больше аналогичной величины для второй сферы При малых значениях времени величина й2Т (г) существенно зависит как от соотношения между ре, р,, а также от значения величины к^ае /а,

В последней шестой главе диссертации проведено исследование нестационарной составляющей термофоретической скорости крупной твердой частицы сферической формы в конкретном случае термофореза, когда известно аналитическое выражение строго нестационарного градиента температуры При этом решается задача выявления закономерностей изменения нестационарной составляющей термофоретической скорости такой частицы и факторы, влияющие на это изменение в вязкой газовой среде, в которой задан нестационарный градиент температуры

С этой целью из предыдущей главы используется формула (18), полученное в пространстве изображений для определения нестационарной составляющей термофоретической скорости крупной твердой частицы сферической формы

Отыскание оригинала правой части равенства (18) является весьма проблематичным из-за того, что сюда в качестве сомножителя входит довольно сложное выражение (19) Однако соотношение (18) позволяет получить приближенные формулы для вычисления значений нестационарной составляющей термофоретической скорости частицы при больших и малых значениях времени по известному строго нестационарному градиенту температуры Для этого рассматриваются асимптотические приближения функции Г0(р) как при 0, так и при р —> 00

В первом параграфе шестой главы собраны основные исходные формулы для последующего исследования

Во втором параграфе этой главы рассматриваются асимптотические приближения функции ^ (р) как при р -> 0, так и при р оо.

г, + Зг. + 3 гвг+(А: + 2)(гв+1)

г2+3г,+3

(р->оо)

г,2 +2(1-лт)]

Используя эти асимптотические приближения функции (р), получены соответствующие асимптотические приближения выражения (18), включая в последние приближения выражение функции Ри(р) без изменения и нераскрытое выражение С?„(/>) Далее используя соответствующие правила из операционного исчисления [10], получены оригиналы для последних асимптотических приближений Предварительно проведено исследование ПОЛЮСОВ функций (г2), (г2), Р^б)(г2) .

В третьем параграфе этой главы рассматривается конкретный случай термофореза, когда нестационарный градиент температуры задан с помощью функции, имеющей следующее аналитическое выражение

£.(0=|^Г2в(01| = 41-е-»'), (20)

где А и со — положительные постоянные величины, имеющие размерности К/м, 1 /с соответственно -Очевидно, что функция (20) удовлетворяет начальному условию (17) А при г-юо для этой функции имеем

limg„(t) = hmA(l-e"") = A (21)

(-»во г-м V '

Следовательно, нестационарный градиент температуры [УГ2г(0]„ ПРИ ' ™> 00 стремится к постоянному вектору А, длина которого равна А

Используя результаты предыдущего параграфа, здесь получены приближенные формулы для вычисления величины нестационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы Справедливы асимптотические равенства

|"27-(0|=И01(0 |"2Г({)| = «02 (О С->0), |И2Т(0| = Ц.(0 СГ->0О),

где

«0,(0 =

4 ^ Зл/яг + 4Л

«02 (0 =

лЯ 2

9Д Л-Р.

2 +

2л:-1

«.(0 =

2КТ!,УА\ Л*

Т0(к + 2)\

1 + -

ЗК

2 +

1 Iа, ,

2*Г-1

, А "А

(22)

(А * А). (А = А,). (23) (24)

Отметим, что формулы (22) — (24) выражены через исходные обозначения физических величин Заметим, что выражение (24) можно использовать при любом соотношении между р„, р,

В последнем четвертом параграфе главы проведен анализ функций (22) — (24) Для исследования нестационарной составляющей термофоретической скорости по приближениям (22), (24) использованы численные значения, которые получены для твердых сфер, состоящих из различных материалов При этом выполняется соотношение р, > ре

Рассматриваются одиночные частицы сферической формы (К = 1(Г! м), взвешенные в воздухе, состоящие из различных твердых веществ 1) золы древесного топлива, 2) каменного угля, 3) парафина, 4) перлита марки 75 и 5) речного песка Используя формулу (22), построены графики, отражающие изменение скорости движения сферических частиц, состоящих из указанных выше материалов, при малых значениях времени (рис 1)

Как видно из рисунка 1, движение сферических частиц при малых временах является ускоренным Причем, ускорение существенно зависит от свойств вещества частицы Исследованиями установлено, что величина ускорения сферической частицы при малых временах существенно зависит от плотности вещества частицы и величины к/ а,

Далее проведено исследование термофоретической скорости сферической частицы при больших значениях времени по формуле (24) Имеем

1ши„(0 = 1т|й,,(0| = ^2^ = Я (25)

Значение величины в для различных частиц зависит от значения относительной теплопроводности вещества этих частиц Согласно равенствам (25), символ в обозначает не только конечную предельную величину скорости |й2Г(г)| Он определяет также ординату асимптоты графика функции и„(г) при г со Картина изменения нестационарной составляющей термофоретической скорости для частиц, состоящих из разных веществ, представлена графиками функций для них по выражению К (О-В (что соответствует совмещению асимптот с осью времени)

Рис 2

При больших временах происходит замедление движения сферических частиц Из рисунка 2 видно, что это замедление происходит по-разному от свойств вещества частицы Установлено, что здесь величина ускорения существенно зависит от плотности и теплопроводности вещества частицы

В наших рассмотрениях значения функции им(г) (V/ <«) больше величины В, определяемой формулой (25) Причем, на величину разности ««,(')- в оказывает заметное влияние плотность вещества частицы А именно, частицы с большей плотностью вещества имеют и большие отклонения нестационарной составляющей термофоретической скорости

от ее конечного предельного значения. Заметим, что величиной В характеризуется основной вклад действия строго нестационарного градиента температуры на термофоретическую скорость частицы

В заключении перечислены основные результаты работы и сформулированы вытекающие из нее выводы

1 Поставлена и решена задача о нестационарном испарении (конденсации) аэрозольной капли при совместном рассмотрении нестационарных уравнений диффузии пара и теплопроводности окружающей каплю среды, когда учет влияния слоя Кнудсена на процесс осуществляется с помощью коэффициента испарения вещества капли при его прямом учете, а также с использованием коэффициентов скачков концентрации и температуры

2 В каждом из этих подходов к учету влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс получены общие для всех значений времени выражения для распределения относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности Найдены также выражения для скорости нестационарного изменения радиуса капли

3 Установлено, что поле температуры внутри испаряющейся капли может оказывать на скорость изменения радиуса капли при прямом учете коэффициента испарения лишь малое влияние при очень малых и очень больших значениях времени Если же нестационарная теория испарения капли строится с учетом скачков концентрации и температуры, то малым влияние поля температуры внутри капли на скорость изменения радиуса капли может быть только при очень больших значениях времени, а при малых значениях времени влияние этого поля может быть значительным и пренебрегать его влиянием нельзя

4 Используя асимптотические приближения функций, найдены удобные для проведения численных расчетов приближенные формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли при малых и больших значениях времени Проведен анализ всех полученных выражений и формул с привлечением численных значений для процесса испарения капель воды в воздухе Установлено, что абсолютная величина скорости нестационарного изменения радиуса испаряющейся капли от довольно большого значения в начале процесса в течение короткого промежутка времени резко падает, а потом происходит медленное снижение к некоторому постоянному значению.

5 Поставлена и решена задача о движении крупной твердой частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде под действием нестационарного градиента температуры, включающая в себя нестационарную гидродинамическую и тепловую задачи

6 Решением стационарных частей гидродинамической и тепловой задач из общей постановки единой задачи получена формула для стационарной составляющей термофоретической скорости рассматриваемой частицы Для определения нестационарной составляющей термофоретической скорости частицы получена формула, выраженная через лапласовы изображения соответствующих функций

7 Использованием асимптотических приближений функций из пространства изображений найдены соответствующие оригиналы, составляющие основу при получении формул для нестационарной составляющей термофоретической скорости при любом нестационарном градиенте температуры Сказанное реализовано получением формул для скорости нестационарной составляющей термофоретической скорости частицы, когда строго нестационарный градиент температуры задан с помощью функции 1-е"®'), где А и

а — положительные постоянные величины

3 Проведен анализ всех соотношений и формул, полученных в ходе решения задачи о нестационарном термофорезе По полученным формулам-приближениям для нестационарной составляющей термофоретической скорости при конкретно заданном строго нестационарном градиенте температуры проведен анализ этой скорости при малых и больших значениях времени, проведя численные расчеты для частиц, состоящих из различных твердых веществ Установлено, что величина нестационарной составляющей термофоретической скорости аэрозольной частицы в зависимости от строго нестационарного градиента температуры и свойств вещества частицы и окружающей ее среды может быть значительной и поэтому ее следует учитывать

Цитируемая литература

1 Фукс Н А Испарение и рост капель в газообразной среде — М Изд-во АН СССР, 1958 —91 с

2 Яламов Ю И, Галоян В С Динамика капель в неоднородных вязких средах —Ереван Луйс, 1985 —208 с.

3 Хирс Д, Паунд Г Испарение и конденсация — М • Металлургия, 1966 —196 с

4 Волков А Н Введение в кинетическую теорию разреженного газа Ч II — СПб , Изд-во Балт гос. техн ун-та, 2006 — 276 с

5 Фукс Н А О скорости испарения капелек в атмосфере газа // ЖЭТФ, 1934 — Т 4, вып 7 —С 747—759

6 Щукин Е Р , Яламов Ю И , Шулиманова 3 Л Избранные вопросы физики аэрозолей —М Изд-во Моск. пед ун-та, 1992. —297 с

7. Фукс НА Механика аэрозолей —М Изд-во АН СССР, 1955 —321 с

8 Яламов Ю И, Дьяконов С Н Неустановившееся движение твердой сферы в неоднородно нагретом газе при малых числах Рейнольдса Гидродинамическая задача // Теплофизика высоких температур, 1996 — Т 34,№ 1 —С 40—45

9 Яламов Ю И, Дьяконов С Н Неустановившееся движение твердой сферы в неоднородно нагретом газе при малых числах Рейнольдса Тепловая задача Определение скорости термофореза // Теплофизика высоких температур, 1996 —Т 34, № 2 —С 250—254

10 Деч Г Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 2-преобразования — М Наука, 1971 — 288 с

11 Хаппель Дж, Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса — М Мир, 1976 —631 с

12 Коренев Б Г Введение в теорию бесселевых функций — М Наука, 1971, —288 с

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1 Кузьмин М К, Яламов Ю И Теория нестационарных фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях Монография М МГОУ, 2007 — 232 с

2 Яламов ЮИ, Кузьмин МК Обобщение теории нестационарного изменения размера сферической капли при испарении и конденсации // Вестник МГОУ, Серия Физика, химия, география — М 2003 — №1 —С. 6-14

3 Яламов Ю И, Кузьмин М К Влияние кинетических граничных условий на нестационарный рост и испарение капель // Докл АН 2003 —Т 392,№1 —С 44-47

4 Яламов Ю И, Кузьмин М К К проблеме нестационарного роста и испарения капель // Теплофизика высоких температур, 2003 — Т 41, №5 —С 779 — 784

5 Яламов Ю И, Кузьмин М.К Особенности нестационарного испарения и конденсационного роста капли в неоднородной бинарной газовой смеси при постоянной температуре ее поверхности

// Вестник МГОУ Серия «Естественные науки» — М 2004 — № 1—2 —С 5 — 12

6 Яламов Ю И, Кузьмин М К Скорость нестационарного испарения сферической капли с учетом скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности // Журнал технич физики, 2005 — Т 75, вып 3 —С 30 — 35

7 Яламов ЮИ, Кузьмин МК Влияние коэффициента испарения на нестационарный процесс изменения размера аэрозольной капли // Докл АН 2005 —Т.402, №41 —С 484-487

8 Яламов Ю И, Кузьмин М К О методах учета коэффициента испарения и исследование его влияния на скорость нестационарного изменения радиуса сферической аэрозольной капли // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл , 2005 — № 1 —С. 5 —14

9 Яламов Ю И, Кузьмин М К Решение гидродинамической задачи неустановившегося движения крупной сферической частицы в неоднородной по температуре вязкой среде при малых числах Рейнольдса // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл , 2006 — № 1 — С. 13 — 22

10 Яламов Ю И, Кузьмин М К Тепловая задача, связанная с движением твердой сферической частицы под действием нестационарного градиента температуры // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл , 2006 — № 1 — С. 23 — 33

11 Яламов Ю И, Кузьмин М К Прямой учет коэффициента испарения в нестационарном процессе испарения и конденсационного роста аэрозольной капли // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл , 2006 —№2 —С 5 —15

12 Кузьмин МК Асимптотика и оригиналы асимптотических приближений для получения формул, определяющих нестационарную составляющую термофоретической скорости // Вестник ЧГГТУ —Чебоксары 2006 —№5(52) — С 80 — 86

13 Яламов ЮИ, Кузьмин МК Об учете изменения температуры внутри аэрозольной капли при ее нестационарном испарении // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл Физика, 2007 — № 1 —С 5 — 18

14 Кузьмин МК Анализ формул для скорости нестационарного изменения радиуса сферической аэрозольной частицы // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл Физика, 2007 — № 1 —С 19—29

15 Кузьмин М К , Яламов Ю И Учет влияния коэффициента испарения на скорость изменения радиуса капли // Теплофизика высоких температур, 2007 — Т 45, № 3 —С 415 — 421

16 Кузьмин МК, Яламов ЮИ Теория нестационарного термофореза твердой сферической частицы // Журнал технич физики, 2007 — Т 77,вып 6 —С 3 — 9.

17 Яламов ЮИ, Кузьмин МК О нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой сферической частицы // Вестник МГОУ Труды Центра фундаментальных научных иссл Физика, 2007. — № 2. — С. 27 — 36

18 Кузьмин МК, Яламов ЮИ Обобщение формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли с учетом скачков концентрации и температуры // Материалы ежег научно-теор конф преп , асп истуд физико-матем фак-та МГОУ, 2005 —С 50-—51

19 Кузьмин МК, Яламов ЮИ О двух методах учета коэффициента испарения и исследование его влияния на скорость нестационарного изменения радиуса капли // Материалы ежег. научно-теор конф преп , асп истуд физико-матем фак-та МГОУ, 2005. — С 48—49

20 Кузьмин М К. О нестационарном процессе испарения и конденсационного роста аэрозольных капель // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» — Екатеринбург УрО РАН, 2006 — С. 66 — 67

21 Кузьмин МК, Яламов ЮИ К анализу формул для определения скорости нестационарного термофореза сферической частицы // Труды Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» Т 2 — Орел Изд-во ОГУ, 2006 — С. 122 — 126

22 Кузьмин МК К исследованию нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой аэрозольной частицы // Труды Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» Т 2 —Орел Изд-во ОГУ, 2006 —С 118 — 122

23 Кузьмин МК Движение твердой сферической частицы в вязкой газовой среде под действием нестационарного градиента температуры // Тезисы Региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела». Чебоксары Изд-во ЧГПУ, 2006 — С. 21 — 22

24 Кузьмин МК О нестационарном термофорезе сферической аэрозольной частицы // 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика — 2006» —М Изд-во МАИ, 2006 —С 35—36

25 Kuzmin М К Research of influence of the coefficient of evaporation on the rate of the nonstationary change of the aerosol drop radius // Труды XIII Международной конференции «Методы аэрофизических исследований» —Новосибирск, 2007 —Т 1 —С 143

Подписано в печать 11 07 2007 г Бумага офсетная Гарнитура «Times New Roman» Печать офсетная Формат бумаги 60/84 им Уел п л 2

_Тираж 100 экз Заказ № 196_

Изготовлено с готового оригинал-макета в Издательстве МГОУ 105005, г Москва, ул Радио, д 10-а,тел 265-41-63, факс 265-41-62

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ОБЗОР РАБОТ ПО ФАЗОВОМУ ПЕРЕХОДУ И

ДВИЖЕНИЮ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ

§ 1.1. Обзор работ по квазистационарному и нестационарному испарению (конденсационному росту) аэрозольных капель.

§ 1.2. Обзор работ по движению аэрозольных частиц

Глава II. ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ИСПАРЕНИЯ (КОНДЕНСАЦИОННОГО РОСТА) НЕПОДВИЖНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ АЭРОЗОЛЬНОЙ КАПЛИ ПРИ ПРЯМОМ УЧЕТЕ КОЭФФИЦИЕНТА

ИСПАРЕНИЯ

§2.1. Постановка задачи. Основные уравнения, начальные и граничные условия

§ 2.2. Решение задачи о нестационарном процессе испарения сферической аэрозольной капли

§ 2.3. Анализ полученных решений и формул

Глава III. ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ИСПАРЕНИЯ НЕПОДВИЖНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ АЭРОЗОЛЬНОЙ КАПЛИ С УЧЕТОМ СКАЧКОВ

КОНЦЕНТРАЦИИ И ТЕМПЕРАТУРЫ

§3.1. Постановка задачи. Основные уравнения, начальные и граничные условия

§ 3.2. Решение задачи о нестационарном процессе испарения сферической аэрозольной капли

§3.3. Анализ полученных решений и формул

Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОЛЯ

ТЕМПЕРАТУРЫ ВНУТРИ КАПЛИ И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ ФАКТОРОВ НА СКОРОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ИЗМЕНЕНИЯ РАДИУСА

АЭРОЗОЛЬНОЙ КАПЛИ

§ 4.1. Учет изменения температуры внутри капли при различных способах построения теории нестационарного процесса испарения аэрозольной капли

§ 4.2. Приближенные формулы для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли, учитывающие влияние внутреннего поля температуры

§ 4.3. Совместный анализ всех приближенных формул для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли

§ 4.4. Исследование влияния коэффициента испарения на скорость нестационарного изменения радиуса капли в зависимости от ее размера при различных методах учета этого коэффициента

Глава V. ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕРМОФОРЕЗА КРУПНОЙ ТВЕРДОЙ (НЕЛЕТУЧЕЙ) АЭРОЗОЛЬНОЙ

ЧАСТИЦЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

§5.1. Постановка задачи. Основные уравнения, начальные и граничные условия

§ 5.2. Решение стационарной и строго нестационарной частей гидродинамической задачи для крупной сферической частицы

§ 5.3. Решение стационарной и строго нестационарной частей тепловой задачи

§ 5.4. Анализ полученной в пространстве изображений формулы для определения нестационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы

Глава VI. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ

СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ТЕРМОФОРЕТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ

КРУПНОЙ ТВЕРДОЙ ЧАСТИЦЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ ФОРМУЛАМ

ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЕЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 6.1. Основные исходные формулы

§ 6.2. Асимптотические приближения в пространстве изображений и соответствующие им оригиналы

§ 6.3. Приближенные формулы для нестационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы в конкретном случае нестационарного термофореза

§ 6.4. Исследование нестационарной составляющей термофоретической скорости по ее приближенным формулам для сфер, состоящих из конкретных материалов

Аэрозольные системы, или аэрозоли, состоящие из взвешенных в газообразной среде твердых или жидких частиц, играют весьма большую роль в природе и жизни человека. В настоящее время все большее значение приобретают научные исследования по различным проблемам физики аэродисперсных систем. Это обстоятельство не случайно, так как с каждым годом увеличивается применение аэрозолей в практической области — промышленности, технике, сельском хозяйстве, медицине и т. д. Изучение аэрозолей представляет интерес и потому, что они являются естественными катализаторами фотохимических и иных реакций в атмосфере и конечными продуктами ряда процессов. Образующиеся в результате различных процессов аэрозоли могут с одной стороны, содержать ценные вещества и приносить пользу, с другой, — оказывать вредное влияние на людей и окружающую среду. В связи с обострением экологической ситуации все большего влияния требуют вопросы очистки промышленных отходов от аэрозольных частиц, природа образования которых может быть произвольной. Возникает практическая задача снижения содержания взвешенных частиц в газовой среде или же создания условий процесса конденсации пара в объеме, при которых образуется аэрозольная система, состоящая из легко выделяемых крупных частиц.

Одной из основных проблем физики аэродисперсных систем, активно разрабатываемой как в нашей стране, так и за рубежом, является проблема теоретического описания поведения взвешенных частиц в неоднородных газовых средах. Без знания закономерностей этого поведения невозможно проводить исследование эволюции аэродисперсных систем и решить вопрос целенаправленного воздействия на аэрозоли.

Важными научными направлениями, развиваемыми в рамках физики аэродисперсных систем, являются теоретические и экспериментальные исследования закономерностей фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях.

Как испарение, так и конденсационный рост аэрозольной капли главным образом обусловлены двумя противоположно направленными процессами переноса: диффузией пара и теплопроводностью, инициированной скрытой теплотой испарения или конденсации соответственно. Во многих областях науки и техники, как физика атмосферы, теплотехника, энергетика, химия, медицина, где рассматриваются диффузионные процессы, существенным оказывается учет нестационарных полей температуры и концентрации. Следует обратить особое внимание на то, что когда окружающая среда меняется быстро, как при стремительном адиабатическом охлаждении, то стационарная или квазистационарная трактовки процесса неадекватны. К сожалению, учет нестационарности процессов в данной области исследования до сих пор разработан недостаточно, не лучше обстоят дела с наличием экспериментальных данных, хотя испарение и конденсационный рост капель остаются темой обширных исследований.

В механике аэрозолей существенное место занимает исследование закономерностей движения твердых частиц в неоднородных по температуре газах, то есть термофоретического движения. Такое движение происходит во внешнем поле градиента температуры. Термофоретическое движение может быть определяющим в динамике аэродисперсных систем. Явление термофоретического переноса аэрозольных частиц играет большую роль в атмосферных процессах, в химической технологии, экологии и медицине. Теория нестационарного термофореза до сих пор остается неразработанной, несмотря на то, что в реальных условиях градиент температуры во внешних полях не может быть постоянным. Он зависит от времени.

Таким образом, построение теорий нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) аэрозольной капли, а также нестационарного термофореза аэрозольной частицы носит актуальный характер.

В построении общей теории нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) аэрозольной капли особое значение приобретает физически корректная постановка граничных условий на поверхности раздела капля — внешняя среда. При определенных значениях числа Кнудсена приходится учитывать влияние слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс. Учет одних и тех же факторов, существенно влияющих на процесс, при этом может происходить по-разному. Это в полной мере относится к учету такой важной величины как коэффициент испарения (конденсации) вещества капли, оказывающей существенное влияние на скорость протекания нестационарного процесса испарения (конденсации) аэрозольной капли. Одной из основных задач предлагаемой работы является построение общей теории нестационарного испарения неподвижной аэрозольной капли сферической формы при прямом учете влияния коэффициента испарения, а также с учетом скачков концентрации и температуры вблизи поверхности капли в слое

Кнудсена. В последнем случае учет коэффициента испарения происходит косвенно через соответствующие коэффициенты скачков концентрации и температуры. В обоих подходах к построению теории проводится исследование влияния поля температуры внутри капли на рассматриваемый процесс.

Построение общей теории нестационарного термофореза является сложной задачей. Это связано с тем, что для этого приходится рассматривать решение дифференциальных уравнений с частными производными высоких порядков. Решение задачи о нестационарном термофорезе твердой сферической частицы нам удалось несколько упростить, предположив при ее постановке, что при нулевом значении времени имеет место стационарный термофорез.

Цель данной работы

1. Построение общей теории нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической аэрозольной капли с учетом влияния слоя Кнудсена.

2. Построение теории нестационарного термофореза крупной твердой (нелетучей) аэрозольной частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде.

Научная новизна работы заключена в следующих положениях:

1. Построена теория нестационарного процесса испарения неподвижной сферической капли при двух новых подходах к постановке граничных условий, позволяющих учет влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс, первый из которых заключается в прямом учете коэффициента испарения (конденсации), а второй — в учете скачков концентрации и температуры вблизи поверхности капли. В обоих случаях постановки граничных условий получены общие выражения для распределения относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности. Найдены выражения для скорости нестационарного изменения радиуса капли.

2. Исследовано влияние поля температуры внутри капли на скорость нестационарного изменения ее радиуса, как при прямом учете коэффициента испарения, так и при учете скачков концентрации и температуры. Проанализированы все полученные формулы для скорости изменения радиуса капли. Из них выделены удобные для проведения численных расчетов формулы при малых и больших значениях времени.

3. Построена теория нестационарного термофореза крупной твердой (нелетучей) частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде. Получена формула, описывающая зависимость нестационарной составляющей термофоретической скорости сферической частицы от строго нестационарного градиента температуры при малых и больших значениях времени.

4. Проведено исследование нестационарного термофореза в случае, когда строго нестационарный градиент температуры задан аналитическим выражением, таким, что с возрастанием времени этот градиент стремится к постоянному вектору.

5. Выявлены закономерности изменения термофоретической скорости крупной твердой сферической частицы и факторы, влияющие на это изменение в вязкой несжимаемой газовой среде, в которой задан нестационарный градиент температуры.

Практическая и научная ценность

Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при исследовании скорости протекания нестационарного процесса испарения или конденсационного роста аэрозольных капель.

Построенная теория нестационарного термофореза может служить основой для исследования движения аэрозольных частиц в вязкой газовой среде под действием любого заданного нестационарного градиента температуры.

Найденные в работе формулы-приближения для скорости нестационарного изменения радиуса капли и нестационарной составляющей термофоретической скорости, выраженные через исходные физические величины, позволяют получать численные значения, характеризующие соответствующий процесс для аэрозольных частиц, состоящих из любых конкретных материалов.

Разработанная в этой работе методика по решению систем уравнений с частными производными или отдельных уравнений высокого порядка с применением интегрального преобразования Лапласа может быть использована при решении аналогичных задач теоретической и математической физики. Могут быть полезными и конкретные формулы обратного преобразования Лапласа, впервые полученные в этой работе.

Достоверность полученных результатов обеспечена тем, что использованы физические подходы и математические методы, адекватные природе явлений. Достоверность результатов построенной теории нестационарного процесса испарения подтверждена согласием результатов, полученных при двух различных подходах к постановке граничных условий, при которых реализованы два разных метода учета коэффициента испарения. Достоверность формул теории нестационарного термофореза проверена рассмотрением возможных предельных случаев этих формул. Так как основным математическим методом решения уравнений в работе является метод интегральных преобразований Лапласа, то при использовании асимптотических приближений функций из пространства изображений проверена корректность получаемых оригиналов при малых и больших значениях времени.

На защиту выносятся:

1. Теория нестационарного процесса испарения (конденсационного роста) неподвижной сферической капли с учетом влияния слоя Кнудсена при прямом учете влияния коэффициента испарения, а также при учете скачков концентрации и температуры.

2. Выражения, определяющие распределения относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности, формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли.

3. Результаты, полученные исследованием влияния поля температуры внутри капли на скорость нестационарного изменения ее радиуса, как при прямом учете коэффициента испарения, так и при учете скачков концентрации и температуры.

4. Решение задачи о движении крупной твердой (нелетучей) частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде под действием нестационарного градиента температуры, включающей в себя нестационарную гидродинамическую и тепловую задачи.

5. Формулы для нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой частицы, когда строго нестационарный градиент температуры задан с помощью функции А^ l-e'^'J, где А и со — положительные постоянные величины.

6. Численные расчеты, проведенные по формулам-приближениям для скорости нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли и для нестационарной составляющей термофоретической скорости аэрозольной частицы.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на заседаниях и научных семинарах кафедры теоретической физики, а также на ежегодных научных конференциях Московского государственного областного университета (2003 — 2007 г.г.);

Международной конференции «Современные методы физико-математических наук» (Орел, 2006 г.);

5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика — 2006» (Москва, 2006 г.);

III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006 г.);

Региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твердого тела» (Чебоксары, 2006 г.);

XIII Международной конференции «Методы аэрофизических исследований» (Новосибирск, 2007 г.).

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Решена задача о нестационарном испарении (конденсации) аэрозольной капли при совместном рассмотрении нестационарных уравнений диффузии пара и теплопроводности окружающей каплю среды, когда учет влияния слоя Кнудсена на процесс осуществляется с помощью коэффициента испарения вещества капли при его прямом учете, а также с использованием коэффициентов скачков концентрации и температуры.

2. В каждом из этих подходов к учету влияния слоя Кнудсена на рассматриваемый процесс получены общие для всех значений времени выражения для распределений относительной концентрации пара и полей температуры в окружающей каплю среде и на поверхности. Найдены также выражения для скорости нестационарного изменения радиуса капли.

3. Установлено, что поле температуры внутри испаряющейся капли может оказывать на скорость изменения радиуса капли при прямом учете коэффициента испарения лишь малое влияние при очень малых и очень больших значениях времени. Если же нестационарная теория испарения капли строится с учетом скачков концентрации и температуры, то малым влияние поля температуры внутри капли на скорость изменения радиуса капли может быть только при больших значениях времени, а при малых значениях времени влияние этого поля может быть значительным и пренебрегать его влиянием нельзя.

4. Используя асимптотические приближения функций, найдены удобные для проведения численных расчетов приближенные формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли при малых и больших значениях времени. Проведен анализ всех полученных выражений и формул с привлечением численных значений для процесса испарения капель воды в воздухе. Установлено, что абсолютная величина скорости нестационарного изменения радиуса испаряющейся капли от довольно большого значения в начале процесса в течение короткого промежутка времени резко падает, а потом происходит медленное снижение к некоторому постоянному значению.

5. Решена задача о движении крупной твердой частицы сферической формы в вязкой несжимаемой газовой среде под действием нестационарного градиента температуры, включающая в себя нестационарную гидродинамическую и тепловую задачи.

6. Решением стационарных частей гидродинамической и тепловой задач из общей постановки единой задачи получена формула для стационарной составляющей термофоретической скорости рассматриваемой частицы. Для определения нестационарной составляющей термофоретической скорости частицы получена формула, выраженная через лапласовы изображения соответствующих функций.

7. Использованием асимптотических приближений функций из пространства изображений найдены соответствующие оригиналы, составляющие основу при получении формул для нестационарной составляющей термофоретической скорости при любом нестационарном градиенте температуры. Сказанное реализовано получением формул для скорости нестационарной составляющей термофоретической скорости частицы, когда строго нестационарный градиент температуры задан с помощью функции где А и со — положительные постоянные величины.

8. Проведен анализ всех соотношений и формул, полученных в ходе решения задачи о нестационарном термофорезе. По полученным формулам-приближениям для нестационарной составляющей термофоретической скорости при конкретно заданном строго нестационарном градиенте температуры проведен анализ этой скорости при малых и больших значениях времени, проведя численные расчеты для частиц, состоящих из различных твердых веществ. Установлено, что величина нестационарной составляющей термофоретической скорости аэрозольной частицы в зависимости от строго нестационарного градиента температуры и свойств вещества частицы и окружающей ее среды может быть значительной и поэтому ее следует учитывать.

1. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — 91 с.

2. Фукс Н.А., Сутугин А.Г. Высокодисперсные аэрозоли. — М.: ВИНИТИ, 1969. —84 с.

3. Maxwell J.C. Collected Scientific Papers. — Cambridge: 1890, 11, 625.

4. Коган M.H. Динамика разреженного газа. — М.: Наука, 1967. — 440 с.

5. Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. — Ереван: Луйс, 1985. — 208 с.

6. Topley В., Whytlaw-Gray R. // Phil. Mag., 1927, 4, 873.

7. Houghton H. G. // Physics, 1933, 4,419.

8. Уайтлоу-Грей P., Паттерсон X. Дым. — M.: Госхимиздат, 1934.

9. Hasen W. // Rev. Sci. Instr., 1939,13,247.

10. Barret E.O., Germain L.S. // Rev. Sci. Instr., 1947,18, 84.

11. Нужный B.M, Шиманский Ю.И. // Коллоидный журнал, 1965. — Т. 27. —С. 3.

12. Кирюхин Б.В. // Труды научно-иссл. учреждений Гидрометслужбы. Сер. 1,1945. — Т. 7. — С. 35.

13. Morse // Proc. Amer. Acad. Sci., 1910, 45, 362.

14. Langmuir J. //Phys. Rev., 1918,12,368.

15. Срезневский В. //ЖРФХО, 1882,14,420, 483.

16. Stefan J. // Wien. Ber., 1881, 83, 943.

17. Facy L. // Arch. Meteor. Geophys. Bioklim., 1955, 8 A, 229.

18. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. — М.: Металлургия, 1966. — 196 с.

19. Баранаев М. // Усп. хим., 1938. — Т. 7. — С. 1231; ЖФХ, 1939. — Т. 13. —С. 1635.

20. Alty F., Mackay С.А. The accommodation coefficient and the evaporation coefficient for water // Proc. Roy. Soc., London, 1935, A 149, 104—116.

21. Kappler E., Hammeke K. Forschungsber. Wurt-Schafts und Verkermin., 1955. NRW 125.

22. Hickman K.C.D. //Ind. Eng. Chem., 1954, 46, 1442.

23. Delaney L.J., Houston R.W., Eagleton L.C. // Chem. Eng. Sci., 1964, 19,105.

24. Wyllic G. // Proc. Roy. Soc. (London), 1949, A 197,383.

25. Баранова А.И., Амелин А.Г., Антонова H.M. // Коллоидный журнал, 1966. — Т. 28. — С. 14.

26. Trevoy D.J. // Ind. Eng. Chem., 1953, 45,2366.

27. Mortenson E.M., Eyring H. // J. Chem. Phys., 1960, 64, 846.

28. Knudsen M. // Ann. Phys, 1915, 47, 697.

29. Knudsen M. // Ann. Phys, 1916, 50, 472.

30. VolmerM, Esterman J. IIZ. Phys, 1921, 7, 13.

31. Baer E, McKelevey J.M. //A. J. Ch. Journal, 1958, 4, 218.

32. Birks J, Bradley R.S. // Proc. Roy. Soc. (London), 1949, A 198,226.

33. Hertz H. //Ann. Phys, 1882, 17, 177.

34. Knudsen M. // Ann. Phys, 1911, 29, 179.

35. Козырев A.B, Ситников А.Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // Успехи физич. наук, 2001. — Т. 171, № 7. — С. 765—774.

36. Козырев А.В, Ситников А.Г. Испарение малых сферических капель в газе // Изв. ВУЗов. Физика, 2004. — № 3. — С. 66—73.

37. Волков А.Н. Введение в кинетическую теорию разреженного газа. Ч. И. — СПб., Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2006. — 276 с.

38. Амелин А.Г. Теоретические основы образования тумана при конденсации пара. — М.: Химия, 1972. — 304 с.

39. Mache Н. // Z. Phys., 1937,107, 310.

40. Hickman C.D., Forpey W.A. // Ind. Eng. Chem., 1954, 46, 1446.

41. Берман Л.Д. // Труды НИИхиммаш, 1961. — Т. 36. — С. 66.

42. Jer Ru Май. // Ind. Eng. Chem. Fund., 1967, 6, 504.

43. Zunjing W., Min C., Zengyuan G. Исследование методом молекулярной динамики испарения и конденсации // ХГап jiaotong daxue xuebao / J. Xi'an Jiaotong Univ., 2001, 35, N 11, 1126—1130.

44. Vietti M.A., Schuster B.G. Laser Scatering Measurements of Droplet Growth in Binary Mixtures // J. Chem. Phys., 1973, 58, N 2, 434— 441.

45. Sinarwalla A.M., Alots D.J., Carstens J.C. Measurements of Growth Rate to Determine Condensation Coefficient for Water Drops Growth of Natural Cloud Nuclei // J. Atmosph. Sci., 1975, 32, 592— 599.

46. Неизвестный А.И. Результаты экспериментального определения коэффициента конденсации воды. Обзор // Обнинск: Изд-во ВНИИГМИ МЦД, 1976. — 51 с.

47. Неизвестный А.И., Котов Г.Б., Онищенко Л.Н. Определение коэффициента конденсации воды при росте капель микронных размеров на гигроскопических ядрах конденсации // Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана, 1979. — Т.15, № 1. — С. 74—81.

48. Иванченко JI.B. Определение коэффициента конденсации молекул водяного пара при росте капель на гигроскопических частицах // Тр. Укр. НИГМИ, 1977. — Вып. 156. — С. 58—63.

49. Wakeshima Н., Tokata Н. // Japan J. Appl. Phys., 1963,2, 792.

50. Okuyama M., Zung J. // J. Chem. Phys., 1967, 46, 1580.

51. Paul B. Compilation of evaporation coefficients // ARS Journal, 1962,32, N 12,1321.

52. Courtney W. G. //ARS Journal, 1961,31, 751.

53. Shen C. The concentration-jump coefficient in a rarefied binary gas mixture//J. FluidMech., 1983,137, 221—231.

54. Яламов Ю.И., Гайдуков M.H., Мелкумян M.A. Обобщенная теория скачка температуры и концентрации в бинарной газовой смеси у поверхности жидкости // Докл. АН СССР, 1983. — Т. 270, №6. —С. 1384—1388.

55. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Шулиманова 3.JI. Избранные вопросы физики аэрозолей. — М.: Изд-во Моск. пед. ун-та, 1992. —297 с.

56. Gyoko N., Takaharu Т. A general expression for the condensation coefficient based on transition state theory and molecular dynamics simulation // J. Chem. Phys., 2003,118, N 3, 1392—1399.

57. Maurice В., Henning S. Mean evaporation and condensation coefficients based on energy depended condensation probability // Phys. Rev. E., 2004, 70, N 6,4.1. 061605/1 — 061605/21.

58. Карташов И.Н., Орлов C.B., Самохин A.A. Влияние коэффициента конденсации на испарительные граничные условия и устойчивость фронта испарения // Кратк. сообщ. по физ. ФИАН, 2003. — № 4. — С. 30—41.

59. Бутковский А.В. Влияние коэффициента конденсации на сильное испарение перегретых капель // Теплофизика высоких температур, 1991. — Т. 29, № 4. — С. 745—749.

60. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Интенсивное испарение со сферической поверхности в вакуум с учетом коэффициента испарения // Теплофизика высоких температур, 2000. —Т. 38, №5.

61. Кузнецова И.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Влияние коэффициента испарения на сильную конденсацию одноатомного газа // Журнал технич. физики, 1997. — Т. 67, № 10. —С. 21—25.

62. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. — М.: ИЛ, 1960. —510 с.

63. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. — М.: ИЛ, 1961. — 930 с.

64. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976. — 554 с.

65. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. — М.: Мир, 1973. —245 с.

66. Langmuir I. /Я. Amer. Chem. Soc., 1915,37, 426.

67. Smoluchowski M.V. Uber den Temperatursprung bei Warmeleitung in Gasen // Akad. Wiss. Wien , 1898 (Abth 2a) Bd.107. — S. 304— 329.

68. Smoluchowski M.V. Uber Warmeleitung in Verdunnten Gasen // Ann. Phys., 1898. Bd. 64. — S. 101—130.

69. Smoluchowski M.V. Weitere Studien uber den Temperatursprung bei Warmeleitung in Gasen // Akad. Wiss. Wien , 1899. Bd.108. — S. 5—23.

70. Knudsen M. Die Molekular Warmeleitung der Gase und Akkomodations Koeffizient // Ann. Phys., 1911. Bd. 34. — S. 593— 656.

71. Schafer K. // Z. Phys., 1932, 77,198.

72. Фукс H.A. О скорости испарения капелек в атмосфере газа // ЖЭТФ, 1934. — Т. 4, вып. 7. — С. 747—759.

73. Смирнов В.И. Скорость коагуляционного и конденсационного роста частиц аэрозолей // Труды ЦАО. Вып. 92, 1969. — 106 с.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. Ч. 1. — М.: Физматлит, 2002. — 616 с.

75. Лазарев П.П. //Ann. Phys., 1912, 37, 233.

76. Кучеров Р.Я., Рикенглаз Л.Э. Скольжение и температурный скачок на границе газовой смеси // ЖЭТФ, 1959. — Т. 39, вып. 6. —С. 1758—1761.

77. Gregory H.S. The Determination of the Coefficient of Accommodation from Aspects of the Temperature Drop Effect // Phil. Mag., 1936. — V. 22, N 146. P.p. 257—265.

78. Kennard E.H. Kinetic Theory of Gases // New York, McGraw-Hill Book, Co., 1938.

79. Yeh B.T., Frohn A. Heat Conduction between Parallel Flat Plates in Binary Gas Mixture // Phys. Fluids, 1973. — V. 16, N 2. — P.p. 330—332.

80. Yeh B.T., Frohn A. Heat Conduction in Binary Gas Mixture between Concentric Cylinders // Phys. Fluids, 1973. — V. 16, N 6. — P.p. 801—805.

81. Lees L., Liu C.Y. Kinetic Theory Description of Conductive Heat Transfer from a Fine Wire // Phys. Fluids, 1962. — V. 5, N 10. — P.p. 1137—1148.

82. Lees L. Kinetic Theory Description Rarefied Gas Flow // J. Indust. Appl. Math., 1965. —V. 13, N1. — P.p. 278—311.

83. Brock J.R. On the State of Binary Gas Mixture near a Catalytic Surface // J. Catalysis., 1963. — V. 2, N 3. — P.p. 248—250.

84. Гайдуков M.H., Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. О скачке концентрации газа над плоской поверхностью жидкости // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1972. — № 2. — С. 199—203.

85. Метелкин Е.В., Яламов Ю.И. О скачке плотности температуры одного из компонентов бинарной газовой смеси над плоской поверхностью жидкости // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1973. — №5. —С. 142—148.

86. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Об испарении с плоской поверхности жидкости в бинарную газовую смесь // В сборнике «Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика». — Калинин: 1975. — С. 49—57.

87. Коган М.Н., Макашев Н.К. О граничных условиях при течении с химическими реакциями на поверхности // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1972. —№2, —С. 129—138.

88. Oppenheim A. Nonlinear model of Boltzmann equation for a many component gas // Phys. Fluids, 1965. — V. 8, N 5. — P.p. 992—993.

89. Алехин Е.И. Граничные условия в динамике разреженных неоднородных многокомпонентных газов // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — М., 1990.

90. Loyalka S.K. Approximate method in the kinetic theory // Phys. Fluids, 1971. —V. 14, N 11.— P.p. 2291—2294.

91. Loyalka S.K. Temperature jump in the gas mixture // Phys. Fluids, 1974. — V. 17, N 15. — P.p. 897—899.

92. Sone Y., Onishi Y. Kinetic Theory of evaporation and condensation // J. Phys. Soc. Japan, 1973. — V. 35, N 6. — P.p. 1773—1776.

93. Onishi Y., Sone Y. Kinetic Theory of evaporation and condensation

94. Hydrodynamic equation and slip boundary condition // J. Phys. Soc. Japan, 1978. —V. 44, N6. —P.p. 1881—994.

95. Onishi Y., Dohara N. The behavior of a vapor gas around its spherical droplet // J. Phys. Soc. Japan, 1984. — V. 53. — P.p. 178—186.

96. Гайдуков M.H., Татевосян A.M., Яламов Ю.И. О газокинетическом выводе граничных условий на поверхности жидкости // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика: Сборник / Моск. обл. пед. ин-т. М., 1979. — С. 138— 148. Деп. в ВИНИТИ, № 30142—79.

97. Осипов А.П., Семина М.Г., Сергеев Ю.Ю. О температурном скачке при фазовом переходе чистых жидкостей на плоской границе раздела фаз // Инж. физич. журнал, 1988. — Т. 54, № 5.1. С. 793—797.

98. Алехин Е.И., Яламов Ю.И. Математические основы решения граничных задач кинетической теории многокомпонентных газов вблизи конденсированной фазы. — М.: Изд-во Моск. обл. пед. ин-та, 1991. — 150 с.

99. Shen С. The concentration-jump coefficient in a rarefied binary gas mixture//J. Fluid Mech., 1983. —V. 137. —P.p. 221—231.

100. Яламов Ю.И., Гайдуков M.H., Мелкумян M.A. Обобщенная теория скачка температуры и концентрации в бинарной газовой смеси у поверхности жидкости // Докл. АН СССР, 1983. — Т. 270, №6. —С. 1384—1388.

101. Шен Цин. Коэффициент скачка концентрации в разреженной бинарной смеси // Журнал технич. физики, 1985. — Т. 55, № 9.

102. Алехин Е.И, Яламов Ю.И. Приближенные формулы для вычисления скачка концентрации // Избранные вопросы физики аэрозолей: Сборник / Моск. обл. пед. ин-т. М, 1989. — С. 3—9. Деп. в ВИНИТИ, № 862—В 89.

103. Волков И.В, Галкин B.C. Анализ коэффициентов скольжения и температурного скачка в бинарной смеси газов // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1990. — №6. — С. 152—159.

104. Волков И.В, Галкин B.C. Анализ коэффициентов скачков температуры и парциальных давлений бинарной смеси испаряющихся газов // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1991. — № 6. — С. 150—159.

105. Коган М.Н, Макашев Н.К. О роли слоя Кнудсена в теории гетерогенных реакций и в течениях с реакциями на поверхности //Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1971. — № 6. — С. 3—11.

106. Макашев Н.К. Испарение, конденсация и гетерогенные химические реакции при малых значениях числа Кнудсена // Уч. зап. ЦАГИ, 1974. — Т. 5, № з. с. 49—62.

107. Яламов Ю.И, Попова Н.Е, Лебедева А.Л. Испарение умеренно крупной сферической капли с учетом скачка концентрации парав слое Кнудсена. // М., 2002. — 7 с. Деп. в ВИНИТИ, № 142—В 2002.

108. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке концентрации при испарении бинарной смеси // Письма в ЖТФ, 2004. — Т. 30, вып. 24. — С. 12—19.

109. Щукин Е.Р., Санасарян А.С., Яламов Ю.И. О квазистационарном испарении капель при произвольных перепадах температуры и концентрации // Журн. технич. физики, 1982. — Т. 52. — С. 581—582.

110. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р., Кутуков В.Б., Малышев В.Л. О диффузионном испарении капель в поле электромагнитного излучения при произвольных перепадах температуры // Теплофизика высоких температур, 1977. — Т. 15, № 2. — С. 434—436.

111. Алексеев И.М., Сверкунов П.Н. Испарение твердых частиц под действием лазерного излучения // I Всесоюзное совещание по атмосферной оптике. Тезисы докл., ч 2. Томск, 1976. — С. 200— 202.

112. Яламов Ю.И., Силин И.А., Сидоров А.Н., Баринова М.Ф., Щукин Е.Р. Об испарении капель тугоплавких веществ в поле электромагнитного излучения // Журнал технич. физики, 1980.1. Т. 50, № 2. — С. 380—384.

113. Букатый В.И., Погодаев В.А. Испарение водяной капли под действием инфракрасного излучения // Изв. ВУЗов. Физика, 1970. —№ 1, —С. 141—142.

114. Кузиковский А.В., Погодаев В.А., Хмелевцов С.С. Испарение водной капли под действием светового импульса // Инж. физич. журнал, 1971. —Т. 20. —С. 21—25.

115. Зуев В.Е., Кузиковский А.В., Погодаев В.А., Хмелевцов С.С., Чистякова JLK. Тепловое воздействие оптического излучения на водные капли малого размера // Докл. АН СССР, 1972. — Т. 20.1. С. 1069—1072.

116. Стрелков Г.М., Рудаш В.К. Конвективное испарение водяной капли в поле излучения, Препринт № 20(132). — М.: Изд-во Инта радиотехн. и электрон. АН СССР, 1973. —28 с.

117. Грачев Ю.Н., Стрелков Г.М. Влияние коэффициента аккомодации на процесс испарения // Изв. ВУЗов. Физика, 1975.1. П. —С. 27—33.

118. Щукин Е.Р., Санасарян А.С. К вопросу об испарении капель чистых веществ в многокомпонентных газовых смесях // Физика дисперсных систем и физическая кинетика: Сборник / Моск. обл. пед. ин-т. М., 1983. Вып. 7, ч. 2. — С. 85—89. Деп. в ВИНИТИ, № 5982—89.

119. Щукин Е.Р., Красовитов Б.Г., Яламов Ю.И. Испарение и конденсационный рост крупных и умеренно крупных капель в газообразных средах при произвольных перепадах температуры // Моск. обл. пед. ин-т. М., 1991. — 142 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3706—В 91.

120. Щукин Е.Р. Квазистационарное испарение и рост капель чистых веществ при значительных перепадах температуры в их окрестности // Объединенный ин-т высоких температур РАН. М., 1995. — 87 с. Деп. в ВИНИТИ, № 412—В 95.

121. Щукин Е.Р., Яламов Ю.И., Красовитов Б.Г. Испарение одиночных капель при малых перепадах относительной концентрации несущего компонента // Изв. ВУЗов. Физика, 1991. — 128 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1662—В 91.

122. Курасов В.Б. Вычисление профиля плотности пара около растущей капли // Вестник С-Петербургского ун-та. Сер. 4, 2002. —№3, —С. 19—30, 128—129.

123. Арефьев К.М., Белостоцкий Ю. Г., Кошелев A.M. Теория и расчет конденсационного роста капли в чистом паре и в парогазовой смеси // Инж. физич. журнал, 2001. — Т. 74, № 2. — С. 164—170.

124. Козырев Д.В., Ситников А.Г. Испарение заряженных капель // Изв. ВУЗов. Физика, 2003. — 46, № 7. — С. 10—17.

125. Jiang L., Min Y., Le-ren Т., Ji-zhe Z. Анализ испарения отдельной капли воды и исследование времени испарения // Shanghai ligong daxue xuebao / J. Univ. Shanghai Sci. and Tecnol., 2002. — 25, N 1,36—38,44.

126. MaPnev V.N., Nuzhnyi V.M., Verbinskaya G.N., Zagorodnya O.A. Peculiarities of water droplet evaporation at a constant temperature // Укр . физич. журнал, 2003. — 48, № 9. — С. 944—949.

127. Reiss C.N. Evaporation of small water drops maintained at constant volume // J. Appl. Phys, 1989. — 65, № 12. — C. 5235—5237.

128. Буйков M.B. Нестационарный рост капли раствора. 1. Концентрационная релаксация // Коллоидный журнал, 1962. — Т. 24, № 5. — С. 522—529.

129. Watts R.C. The maximum relaxation times for evaporating liquid droplets//The J. Atmosph. Sci, 1972. —V. 29. —P.p. 208—211.

130. Буйков M.B. Нестационарный рост капли раствора. Тепловая релаксация // Коллоидный журнал, 1963. — Т. 25. — С. 9—16.

131. Буйков М.В, Духин С.С. Диффузионная и тепловая релаксация испаряющейся капли // Инж. физич. журнал, 1962. — Т. 5, № 3.1. С. 80—87.

132. Буйков М.В, Духин С.С. // Сборник. Тепло- и массоперенос. — Минск, 1962. —Т. 11. —С. 65.

133. Буйков М.В. Диффузионная и тепловая релаксация испаряющейся капли // Инж. физич. журнал, 1962. — Т. 5, № 4.1. С. 78—81.

134. Яламов Ю.И, Уварова J1.A, Щукин Е.Р. Диффузионная и тепловая релаксация капли, испаряющейся в конвективном режиме // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика: Сборник / Моск. обл. пед. ин-т. М, 1979. Вып. 4, ч. 2.

135. С. 27—36. Деп. в ВИНИТИ, № 3829—79.

136. Рейтер Э.К, Пикков J1.M, Сийрде Э.К. Температурная релаксация испаряющихся капель жидкости // Труды Таллин, политехи, ин-та. Сер. А, 1972, № 319. Сборник статей по химии и хим. технологии, 29. — С. 9—16.

137. Рейтер Э.К, Пикков JI.M, Сийрде Э.К. Измерение нестационарных температур испаряющейся капли // Труды

138. Таллин. политехи, ин-та. Сер. А.,1972, № 319. Сборник статей по химии и хим. технологии, 29. — С. 17—22.

139. Рейтер Э.К, Сийрде Э.К. Нестационарная модель испарения капель // Труды Таллин, политехи, ин-та. Сер. А, 1973, № 344. Сборник статей по химии и хим. технологии, 33. — С. 3—7.

140. Товбин М.В, Савинова Е.В. Кинетика нестационарных процессов на границе раздела жидкость — газ. I. Кинетика нестационарного процесса испарения воды // Журнал физич. химии, 1957. — Т. 31, вып. 11. — С. 2445—2452.

141. Товбин М.В, Савинова Е.В. Кинетика нестационарных процессов на границе раздела жидкость — газ. II. Влияние адсорбционных слоев на скорость нестационарного процесса испарения воды // Журнал физич. химии, 1957. — Т. 31, вып. 12.1. С. 2717—2719.

142. Дерягин Б.В, Баканов С.П, Кургин Ю.С. Кинетика испарения жидких капель, покрытых нерастворимой пленкой постороннего вещества // Коллоидный журнал, 1961, — Т. 23, № 3. — С.262271.

143. Колесник И.Я. Об одном из методов решения уравнения диффузии // Инж. физич. журнал, 1967. — Т. 12, № 2. — С. 234—239.

144. Колесник И.Я. Некоторые вопросы теории испарения и роста капель // Коллоидный журнал, 1968. — Т. 30, № 4. — С. 527— 532.

145. Яламов Ю.И., Колесник И.Я. О нестационарном испарении и конденсационном росте капель // Коллоидный журнал, 1972. — Т. 34, №2. —С. 284—288.

146. Nix N., Fukuta N. Nonsteady-state theory of droplet growth //J. Chem. Phys, 1972. —V. 58, N4. —P.p. 1735—1740.

147. Стрелков Г.М. О диффузионном испарении водяной капли // Ин-т радиотехн. и электрон. АН СССР. Препринт № 92. — М.: 1972. —12 с.

148. Гордин М.П., Стрелков Г.М. О диффузионном испарении водяной капли // Ин-т радиотехн. и электрон. АН СССР. Препринт. — М.: 1973. — 16 с.

149. Стрелков Г.М. Об испарении водяной капли в поле излучения // Ин-т радиотехн. и электрон. АН СССР. Препринт № 93. — М.: 1972.

150. Стрелков Г.М. К вопросу о диффузионном испарении водяной капли в поле излучения // Ин-т радиотехн. и электрон. АН СССР. Препринт № 108. — М.: 1973. — 24 с.

151. Стрелков Г.М. Нестационарное диффузионное испарение водяной капли в поле излучения // Ин-т радиотехн. и электрон. АН СССР. Препринт № 4(117). — М.: 1973. — 33 с.

152. Carstens J.C, Zung J.T.Theory of droplet growth in clouds //J. Colloid and Interface Sci, 1970. — V. 33, N 2. — P.p. 299—311.

153. Stefan S, Borsan D. Evaporation of raindrops in an unsaturated subcloud layer // Rev. roum. Phys, 1990. — T. 35, N 3. — P.p. 269—278.

154. Fukuta N., Walter L.A. Kinetics of hydrometeorological growth from a vapour spherical model // J. Atmos. Sci., 1970. — V. 27, N 8.1. P. 1160.

155. Лыков M.B., Леончик Б.И. Распылительные сушилки. — М.: Машиностроение, 1966.

156. Красовитов Б.Г. Испарение и конденсационный рост крупных и умеренно крупных капель в газообразных средах при произвольных перепадах температуры // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. —М., 1991. — 134 с.

157. Щукин Е.Р. Влияние нелинейных характеристик газообразной среды на движение, улавливание и кинетику фазовых переходов аэрозольных частиц // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. — М., 1998.287 с.

158. Головин A.M. Скорость испарения капли с внутренним тепловыделением при ее движении в вязком потоке пара // Вестник МГУ. Сер 1, 2000. — № 6. — С. 29—33.

159. Титов А.К. Интенсивное испарение и плазмообразование под действием лазерного излучения на мелкую частицу // Дисс. . канд. физ.мат. наук. — М., 1991. — 110 с.

160. Пономарев А.Н. Исследование динамики диффузии в каплях и выделения в вакуум паров летучих компонентов // Теплофизика высоких температур, 2005. — Т. 43, № 6. — С. 927—932.

161. Ивченко И.Н., Мурадян С.М. Об испарении сферических капель в бинарной газовой смеси при произвольных числах Кнудсена // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1982. — № 1. — С. 112—118.

162. Ивченко И.Н. О тепломассопереносе при испарении или конденсационном росте сферических капель // Теплофизика высоких температур, 1985. — Т. 23, № 4. — С. 787—791.

163. Onishi Y. The spherical-droplet problem of evaporation and condensation in a vapor-gas mixture // J. Fluid Mech., 1986. — V. 163. —P.p. 171—194.

164. Маргилевский A.E., Черняк В.Г. К кинетической теории испарения аэрозольной частицы // Теплофизика высоких температур, 1989. — Т. 27, № 4. — С. 751—757.

165. Деревич И.В. К кинетической модели конденсации микрокапель в присутствии инертного газа // Теор. основы химич. технологии, 1998. — Т. 32, № 5. с. 536—546.

166. Яламов Ю.И., Алехин Е.И. Об испарении сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // Докл. РАН, 2001. — Т. 377, №5, — С. 613—617.

167. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. — М.: Изд-во Моск. гос. обл. ун-та, 2004. — 286 с.

168. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. — М.: Изд-во АН СССР, 1955.321 с.

169. Грин X., Лейн В. Аэрозоли — пыли, дымы и туманы. — Л.: Химия, 1972. —427 с.

170. Райст П. Аэрозоли: Введение в теорию. — М.: Мир, 1987. — 278 с.

171. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998.— 322 с.

172. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. — 700 с.

173. Островский Г.М. Прикладная механика неоднородных сред. — СПб.: Наука, 2000. —359 с.

174. Яламов Ю.И. Теория движения аэрозольных частиц в неоднородных газах // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. — М., 1968. —343 с.

175. Кутепов A.M., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д.А. Химическая гидродинамика: Справочное пособие.

176. М.: Бюро Квантум, 1996. — 336 с.

177. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Теория движения сублимирующих и взаимодействующих твердых сферических неоднородных аэрозольных частиц во внешних полях. — М.: Изд-во Моск. гос. обл. ун- та, 2006. — 221 с.

178. Вальдберг А.Ю., Исянов Л.М., Яламов Ю.И. Теоретические основы охраны атмосферного воздуха от загрязнения промышленными аэрозолями. — СПб.: «НИИОГАЗ— ФИЛЬТР», 1993, —235 с.

179. Шулиманова 3.JI. Влияние Термодиффузиофоретического и теплофоретического механизмов на перенос и осаждение частиц из неоднородных ламинарных газовых потоков // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. — М, 1998. — 363 с.

180. Юшканов А.А. Влияние кинетических процессов в газе и плазме на динамику и свойства аэрозолей // Дисс. . докт. физ.-мат. наук.—М, 1999. —259 с.

181. Еремчук Т.М. Термо- фото и диффузиофоретическое движение крупных и умеренно крупных неоднородных по теплофизическим свойствам сферических и цилиндрических частиц // Дисс. канд. физ.-мат. наук. — М, 2001. —127 с.

182. Малай Н.В. Влияние нелинейных характеристик среды и форм-фактора на движение твердых частиц и капель в жидких средах при малых числах Рейнольдса // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. — Белгород, 2001. — 394 с.

183. Лебедева А.Л. Движение аэрозольных частиц в стационарных и периодических полях // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — М, 2002,—106 с.

184. Баринова М.Ф. Теория улавливания аэрозольных частиц в каналах различной геометрии // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. — М., 2003. — 205 с.

185. Яламов Г.Ю. Теория термодиффузиофореза аэрозольных частиц при прямом влиянии коэффициента испарения // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. — М, 2005. —100 с.

186. Дерягин Б.В, Баканов С.П. Теория движения малых аэрозольных частиц в поле диффузии // Докл. АН СССР, 1957. — Т. 117, № 6. — С. 957—962.

187. Баканов С.П, Дерягин Б.В. О теории термопреципитации высокодисперсных аэрозольных систем // Коллоидный журнал, 1959. — Т. 21, № 4. — С. 377—384.

188. Waldmann L. Uber die Krafteines inhomogenen Gases auf kleine suspendierte Kugeln // Z. Naturforsch, 1959. — Bd. 14 a, Heft 7. — S. 589—599.

189. Brock J.R. The Thermal Force in the Transition Region // J. Colloid and Interface Sci, 1967. — V. 23. — P.p. 448-452.

190. Brock J.R. Experiment and Theory for the Thermal Force in the Transition Region // J. Colloid and Interface Sci, 1967. — V. 25. — P.p. 392—395.

191. Ивченко И.Н, Яламов Ю.И. О термофорезе аэрозольных частиц в почти свободно молекулярном режиме // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1970. —№ 6. — С. 3—7.

192. Ивченко И.Н, Яламов Ю.И, Рабинович Я.И. Теоретическое и экспериментальное исследование явления термофореза аэрозольных частиц при больших числах Кнудсена // Журнал физич. химии, 1971. —Т. 45, №3. —С. 583—587.

193. Яламов Ю.И, Щукин E.P. Теория термодиффузиофореза мелких аэрозольных частиц при произвольном характеревзаимодействия // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1972. —№ 3. — С. 186—188.

194. Яламов Ю.И, Щукин Е.Р. Теория термофореза высокодисперсных летучих аэрозолей // Журнал физич. химии, 1973. — № 5 — С. 1288—1290.

195. Springer G.S. Thermal Force of Particles in the Transition Regime // J. Colloid and Interface Sci., 1970. — V. 34, N 2. — P.p. 215—220.

196. Яламов Ю.И, Бахтилов В.И. К теории диффузиофореза аэрозольных частиц при всех числах Кнудсена // Журнал физич. химии, 1978. — Т. 52, № 7. — С. 1825. Деп. № 88—78.

197. Яламов Ю.И. О влиянии коэффициента испарения на диффузиофорез крупных капель. — М, 1990. — 23 с. Деп. в ВИНИТИ, № 4120 —В 90.

198. Яламов Ю.И, Хасанов А.С. Термофорез неоднородных по теплопроводности сублимирующих аэрозольных частиц // Журнал технич. физики, 2004. — Т. 74, вып. 7. — С. 13.

199. Яламов Г.Ю. О влиянии на скорость диффузиофореза крупной летучей капли коэффициента испарения и ее размера // Журнал технич. физики, 2004. — Т. 74, вып. 2. — С. 41—45.

200. Яламов Г.Ю. Особенности диффузиофореза аэрозольных капель с учетом влияния коэффициента испарения (прилипания) и внутренних течений // Инж. физич. журнал, 2004. — Т. 77, № 1. — С. 135—140.

201. Tyndall J. // Proc. Roy. Inst, 1870, 6, 3.

202. Watson H. // Trans. Farad. Soc, 1936, 32, 1073.

203. Epstein P.S. Zur Therrie des Radiometers // Z. Phys, 1929. — Bd. 54,N4. — S. 537—563.

204. Rosenblatt P, LaMer V. //Phys. Rev, 1946, 70, 385.

205. Saxton R., Ranz W. //J. Appl. Phys.,1952, 23, 917.

206. Дерягин Б.В., Рабинович Я.И. Экспериментальная проверка теории термофореза больших аэрозольных частиц // Докл. АН СССР, 1964. —Т. 157,№ 1, —С. 154—157.

207. Дерягин Б.В., Старожилова А.И. Исследование термофореза аэрозольных частиц в ламинарном потоке методом струи // Коллоидный журнал, 1964. — Т. 26, № 5. — С. 583—588.

208. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. 10. Физическая кинетика. — М.: Физматлит, 2002. — 536 с.

209. Maxwell J.C. On Stresses in Rarefied Gases Arising from Inequalities of Temperature // Philos. Trans. Roy. Soc., 1979. — V. 170, N1. — P.p. 231—256.

210. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Гидродинамический метод расчета скорости термофореза умеренно крупных нелетучих аэрозольных частиц // Журнал физич. химии, 1971. — Т. 45, № 3. —С. 577—582.

211. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение неоднородно нагретого газа вдоль твердой плоской поверхности // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1969. —№ 6. — С. 59—66.

212. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Кинетическая теория течения газа, находящегося над твердой стенкой в поле градиента скорости // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1969. —№ 6. — С. 59—66.

213. Brock J.R. On the Theory of Thermal Forces Acting on Aerosol Particles // J. Colloid. Sci., 1962. — V. 17. — P.p. 768—770.

214. Yalamov Yu. I., Yushkanov А.А. Theory of Thermal slip Along the Spherical Surface of a Binary Mixture of Gases // Phys. Fluids, 1977.

215. V. 20, N 11. — P.p. 1805—1809.

216. Яламов Ю.И., Юшканов А.А. Тепловое скольжение бинарной газовой смеси вдоль искривленной поверхности // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика: Сборник / Моск. обл. пед. ин-т. М., 1978. Вып. 2. — С. 162—175.

217. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу о термофорезе умеренно крупных аэрозольных частиц // Журнал технич. физики, 1980. —Т. 50, № 1. —С. 158—161.

218. Поддоскин А.Б. Теория теплофизических и кинетических явлений на межфазных границах в аэрозольных системах в простых и молекулярных газах // Дисс. . докт. физ.-мат. наук.1. М., 2002. — 354 с.

219. Дерягин Б.В., Баканов С.П. Теория термофореза больших твердых аэрозольных частиц // Докл. АН СССР, 1962. — Т. 147, № 1. —С. 139—142.

220. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно больших аэрозольных частиц // Докл. АН СССР, 1964. — Т. 155, №4. —С. 886—889.

221. Deriagin B.V., Yalamov Yu. I. Theory of Thermophoresis of Large Aerosol Particles // J. Colloid. Sci., 1965. — V. 20, N 6. — P.p. 555—570.

222. Гайдуков M.H. Применение методов термодинамики необратимых процессов и физической кинетики в физике аэрозолей // Дисс. канд. физ.-мат. наук. — Калинин, 1975.

223. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Два метода построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Коллоидный журнал, 1976. —Т. 38, №6. —С. 1149—1155.

224. Баканов С.П., Ролдугин В.И. О двух методах построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Коллоидный журнал, 1977. —Т. 39, №6, —С. 1027—1038.

225. Яламов Ю.И., Дьяконов С.Н. Неустановившееся движение твердой сферы в неоднородно нагретом газе при малых числах Рейнольдса. Гидродинамическая задача // Теплофизика высоких температур, 1996. — Т. 34, № 1. — С. 40—45.

226. Яламов Ю.И., Дьяконов С.Н. Неустановившееся движение твердой сферы в неоднородно нагретом газе при малых числах Рейнольдса. Тепловая задача. Определение скорости термофореза // Теплофизика высоких температур, 1996. — Т. 34, № 2. — С. 250—254.

227. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика — М.: Физматлит, 2001. — 736 с.

228. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса — М.: Мир, 1976. — 631 с.

229. Oseen C.W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodinamik1.ipzig: Aked. Verlagsgesellscaft, 1927.

230. Burgers J.M. Second Report on Viscosity and Plasticity // Kon. Ned. Akad. Wet. 1 st Sec. Amsterdam: N.V. Noord-Hollaudsche, 1938. — V. 16, N4, —P. 1.

231. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования — М.: Наука, 1971.288 с.

232. Румер Ю.Б, Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та: Сиб, унив. изд-во, 2001. — 608 с.

233. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. — М.: Наука, 1972. — 720 с.

234. Диткин В.А, Прудников А.П. Операционное исчисление. — М.: Высшая школа, 1975. — 407 с.

235. Штокало И.З. Операционное исчисление. — Киев: Наукова думка, 1972. —304 с.

236. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. II. —М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. — 416 с.

237. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

238. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.1. М.: Наука, 1982. —332 с.

239. Янке Е, Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968. —344 с.

240. Бейтмен Г, Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.1. М.: Наука, 1974.—296 с.

241. Прудников А.П., Брычков Ю.А, Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. — М.: Физматлит, 2003. — 632 с.

242. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987. —544 с.

243. Диткин В.А, Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. — М.: Высшая школа, 1975. — 467 с.

244. Бейтмен Г. Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. —М.: Наука, 1969, —344 с.

245. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. —600 с.

246. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. — М.: Гостехиздат, 1955. — 520 с.

247. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. — М.: Наука, 1971, —288 с.

248. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987. — 840 с.

249. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — 798 с.

250. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 2001. — 550 с.

251. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев и др. Под ред. И.С. Григоьева, Е.З.Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.

252. Справочник по теплопроводности жидкостей и газов / Н.Б.Варгафтик и др. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 352 с.

253. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. — М.: Атомиздат, 1968. — 484 с.

254. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. К теории нестационарного испарения и конденсационного роста неподвижной сферической капли. — М.: 2003. — 19 с. Деп. в ВИНИТИ, № 121—В 2003.

255. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. Обобщение теории нестационарного изменения размера сферической капли при испарении и конденсации // Вестник МГОУ, Серия: Физика, химия, география. — М.: 2003. — № 1. — С. 6 14.

256. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. Влияние кинетических граничных условий на нестационарный рост и испарение капель // Докл. АН. 2003. — Т. 392, № 1. — С. 44 47.

257. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. К проблеме нестационарного роста и испарения капель // Теплофизика высоких температур, 2003. — Т. 41, №5. —С. 779 — 784.

258. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. К вопросу о нестационарном испарении и конденсационном росте неподвижной аэрозольной капли в неоднородной по концентрациям бинарной газовой смеси. — М.: 2003. — 17 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2063—В 2003.

259. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. Особенности нестационарного испарения и конденсационного роста капли в неоднородной бинарной газовой смеси при постоянной температуре ее поверхности // Вестник МГОУ. Серия «Естественные науки». — М.: 2004. — № 1—2, —С. 5 —12.

260. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. К обобщению теории нестационарного изменения размера аэрозольной капли при ее испарении и конденсационном росте. —М.: 2004. — 15 с. Деп. в ВИНИТИ, № 630—В 2004.

261. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. Скорость нестационарного изменения радиуса аэрозольной капли при прямом учетекоэффициента испарения. — М.: 2004. — 19 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1694—В 2004.

262. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Особенности влияния коэффициента испарения на скорость нестационарного изменения радиуса неподвижной сферической капли в зависимости от ее размера. — М.: 2004. — 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 2012—В 2004.

263. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Скорость нестационарного испарения сферической капли с учетом скачков концентрации и температуры вблизи ее поверхности // Журнал технич. физики, 2005. — Т. 75, вып. 3. — С. 30 — 35.

264. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Влияние коэффициента испарения на нестационарный процесс изменения размера аэрозольной капли // Докл. АН. 2005. — Т. 402, № 41. — С. 484 487.

265. Кузьмин М.К., Яламов Ю.И. Обобщение формулы для скорости нестационарного изменения радиуса капли с учетом скачков концентрации и температуры // Материалы ежег. научно-теор. конф. преп., асп. и студ. физико-матем. фак-та МГОУ, 2005. — С. 50 — 51.

266. Кузьмин М.К., Яламов Ю.И. О двух методах учета коэффициента испарения и исследование его влияния на скорость нестационарного изменения радиуса капли //

267. Материалы ежег. научно-теор. конф. преп., асп. и студ. физико-матем. фак-та МГОУ, 2005. — С. 48 — 49.

268. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. К нестационарной гидродинамической теории движения твердой сферической частицы в вязкой несжимаемой среде под действием градиента температуры. — М.: 2005. — 16 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1464—В 2005.

269. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Решение тепловой задачи нестационарного термофореза твердой сферической частицы. — М.: 2005. — 18 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1559—В 2005.

270. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Тепловая задача, связанная с движением твердой сферической частицы под действием нестационарного градиента температуры // Вестник МГОУ. Труды Центра фундаментальных научных иссл., 2006 — № 1. — С. 23 —33.

271. Яламов Ю.И., Кузьмин М.К. Прямой учет коэффициента испарения в нестационарном процессе испарения и конденсационного роста аэрозольной капли // Вестник МГОУ. Труды Центра фундаментальных научных иссл., 2006. — № 2. — С.5 —15.

272. Кузьмин М.К. Асимптотика. Формулы для вычисления нестационарной составляющей термофоретической скоростисферической частицы. — М.: 2006. — 38 с. Деп. в ВИНИТИ, № 361—В 2006.

273. Кузьмин М.К. О нестационарном процессе испарения и конденсационного роста аэрозольных капель // Тезисы докладов III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики». — Екатеринбург: УрО РАН, 2006. —С. 66 — 67.

274. Кузьмин М.К., Яламов Ю.И. К анализу формул для определения скорости нестационарного термофореза сферической частицы // Труды Международной конференции «Современные методы физико-математических наук». Т. 2. — Орел: Изд-во ОГУ, 2006.1. С. 122— 126.

275. Кузьмин М.К. К исследованию нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой аэрозольной частицы // Труды Международной конференции «Современные методы физико-математических наук». Т. 2. — Орел: Изд-во ОГУ, 2006.1. С. 118 — 122.

276. Кузьмин М.К. О нестационарном термофорезе сферической аэрозольной частицы // 5-ой Международной конференции «Авиация и космонавтика — 2006». — М.: Изд-во МАИ, 2006.1. С. 35 —36.

277. Кузьмин М.К. Асимптотика и оригиналы асимптотических приближений для получения формул, определяющихнестационарную составляющую термофоретической скорости // Вестник ЧГПУ. — Чебоксары: 2006. — № 5(52). — С. 80 — 86.

278. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. Об учете изменения температуры внутри аэрозольной капли при ее нестационарном испарении // Вестник МГОУ. Труды Центра фундаментальных научных иссл. Физика, 2007. — № 1. — С. 5 — 18.

279. Кузьмин М.К. Анализ формул для скорости нестационарного изменения радиуса сферической аэрозольной частицы // Вестник МГОУ. Труды Центра фундаментальных научных иссл. Физика, 2007. —№ 1. —С. 19—29.

280. Kuzmin М.К. Research of influence of the coefficient of evaporation on the rate of the nonstationary change of the aerosol drop radius // Труды XIII Международной конференции «Методы аэрофизических исследований». — Новосибирск, 2007. — Т. 1. — С. 143.

281. Кузьмин М.К, Яламов Ю.И. Учет влияния коэффициента испарения на скорость изменения радиуса капли // Теплофизика высоких температур, 2007. — Т. 45, № 3. — С. 415 — 421.

282. Кузьмин М.К, Яламов Ю.И. Теория нестационарного термофореза твердой сферической частицы // Журнал технич. физики, 2007. — Т. 77, вып. 6. — С. 3 — 9.

283. Яламов Ю.И, Кузьмин М.К. О нестационарной составляющей термофоретической скорости твердой сферической частицы // Вестник МГОУ. Труды Центра фундаментальных научных иссл. Физика, 2007. — № 2. — С. 27 — 36.

284. Кузьмин М.К, Яламов Ю.И. Теория нестационарных фазовых переходов и движения аэрозольных частиц в тепловых полях. Монография. М.: МГОУ, 2007. — 232 с.