Киральные фермионы на решетке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗВЕРЕВ Николай Витальевич

КИРАЛЬНЫЕ ФЕРМИОНЫ НА РЕШЕТКЕ

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на кафедре теоретической физики физического факультета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН А. А. Славнов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник М. И. Поликарпов

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В. Г. Борняков

Ведущая организация - Объединенный институт ядерных исследований (г. Дубна Московской области)

Защита состоится " (ДОНЯ 1998 г. в /(э~часов на заседании диссертационного совета К 053.05.18 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова в аудитории Оф/1 физического факультета по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан '05" М&Я 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета в МГУ им. М. В. Ломон доктор физико-математ:

^ П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Мощным методом для исследования моделей в квантовой теории поля, не связанным с теорией возмущений, является метод решеточной аппроксимации квантовых полей. Но в настоящее время не существует приемлемой достаточно проверенной формулировки киральной калибровочной теории на решетке. Это связано с тем, что в такой теории имеется проблема вырождения фер-мионного спектра. Хотя предложен ряд способов устранения вырождения спектра фермионов, каждый из них приводит к новым трудностям. Перспективным путем построения киральных решеточных моделей является введение дополнительной регуляризации Паули -Вилларса, что было продемонстрировано для ряда моделей в рамках теории возмущений. Дальнейшее исследование моделей с такой регуляризацией в пертурбативной и непертурбативной областях и выяснение их пригодности для получения новых теоретических результатов в квантовой теории поля при использовании современных вычислительных средств является весьма необходимым и своевременным.

Цель работы состоит в исследовании моделей фермионов на решетке на основе модели с Вильсоновским действием и ЯГАС-модели, улучшенных регуляризацией Паули - Вилларса.

В задачи работы включены:

- вычисление детерминантов векторной и киральной неаномальной 11(1) решеточных теорий с Вильсоновским действием, регуляри-зованных по Паули - Вилларсу, на двумерном торе в постоянном и неоднородном калибровочных полях;

- вычисление детерминантов векторной и киральных и(1) решеточных БЬАС-теорий, регуляризованных по Паули - Вилларсу, на двумерном торе в постоянном и неоднородном калибровочных полях;

- вычисление значений коэффициентов в контрчленах векторного и кирального действий и(1) решеточных моделей с Вильсоновским

действием на двумерном торе;

- исследование моделей фермионов с регуляризацией Паули - Вил-ларса на четырехмерной и двумерной бесконечных решетках.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на. защиту:

1. Доказательство подавления эффектов нарушения калибровочной симметрии в векторной и киральной неаномальной решеточных теориях с Вильсоновским действием на двумерном торе в постоянном и неоднородном калибровочных полях путем регуляризации Паули -Вилларса.

2. Доказательство устранения эффектов нарушения локальности для векторного детерминанта в постоянном поле и кирального неаномального детерминанта в неоднородном поле 11(1) решеточных БЬАС-моделей на двумерном торе путем их регуляризации по Паули

- Вилларсу.

3. Вычисление значений коэффициентов в контрчленах векторного и кирального решеточных действий с Вильсоновским действием, которое привело к одинаковым численным и аналитическим результатам.

4. Обнаружение и объяснение причин особенностей детерминанта и(1) ЭЪАС-моделей на двумерном торе в постоянном калибровочном поле с регуляризацией Паули - Вилларса, состоящих в спаде векторного решеточного детерминанта вблизи границы зоны Бриллюэна и в расхождении аргумента кирального решеточного детерминанта с непрерывным значением.

5. Доказательство калибровочной инвариантности абелевой аномалии в киральной 80(10) модели с Вильсоновским действием на бесконечной четырехмерной решетке при наличии регуляризации Паули

- Вилларса.

6. Доказательство релятивистской и калибровочной инвариант-

ности в непрерывном пределе векторной и(1) БЬАС-модели на бесконечной двумерной решетке при наличии регуляризации Паули -Вилларса и использовании процедуры частичного пересуммирования диаграмм.

О достоверности полученных результатов свидетельствует согласие результатов компьютерных вычислений с данными аналитических исследований решеточных моделей, а также переход компьютерных и аналитических результатов на решетке в пределе ее малого шага к результатам непрерывных моделей.

Научная и практическая ценность. В диссертации исследованы векторные и киральные неаномальные теории фермпонов на решетке на основе модели с Вильсоновским действием и ББАС-модели, улучшенные регуляризацией Паули - Вилларса. Показано, что эти улучшенные модели целесообразно использовать для получения новых теоретических результатов в квантовой теории поля с применением современных вычислительных средств.

Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены и обсуждены на рабочем совещании Международного проекта ШТАБ - РФФИ по моделям на решетке в Институте теоретической и экспериментальной физики, а также на научном семинаре по квантовой теории поля в Математическом институте РАН и на физическом факультете МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 научные работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, изложена па 92 страницах и включает 16 рисунков, 1 таблицу и 44 наименования цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актульность темы, сформулирована цель, охарактеризованы научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены данные по апробации и объему работы.

В первой главе рассмотрена основная проблема решеточных моделей фермионов, дан обзор ряда решеточных теорий и рассмотрен способ устранения их недостатков путем регуляризации Паули - Вил-ларса. В п. 1.1.1 указано, что основной проблемой является невозможность построения решеточных моделей с необходимым невырожденным спектром при одновременном сохранении всех физических свойств фермионов: киральной инвариантности, локальности и других. Эта проблема непосредственно следует из "no-go" теоремы Нильсена и Ниномии. В настоящее время известно несколько решеточных моделей фермионов с невырожденным спектром, но каждая из этих моделей имеет определенные недостатки.

В п. 1.1.2 рассмотрена локальная решеточная модель фермионов с Вильсоновским действием, введение которого устраняет вырождение фермионного спектра, но вместе с тем нарушает киральную симметрию. Эта модель требует дальнейшей доработки и непертурбатив-ного исследования. В п. 1.1.3 рассмотрена кирально-инвариантная модель SLAC-фермионы, предложенная Дреллом и др. Дираковская производная этой модели в импульсном пространстве, совпадающая с производной непрерывной теории внутри зоны Бриллюэна, обеспечивает отсутствие вырождения спектра. Но одновременно эта производная приводит к нелокальности модели и ее несогласию с непрерывной теорией. В п. 1.1.4 обсуждены некоторые другие решеточные формулировки киральных теорий: модель "перекрытий" по Нараяна-ну и Ньюбергеру, модель Зенкина и модель Смита и Свифта.

Материал п. 1.2 посвящен обсуждению регуляризации непрерывных и решеточных моделей фермионов. В непрерывных моделях с

целью устранения расходимостей при вычислении диаграмм выполняют промежуточную регуляризацию и применяют процедуру перенормировки. Распространенным методом регуляризации непрерывных калибровочных теорий является регуляризация Паули - Виллар-са, при которой в исходное действие фермионного поля вводят дополнительные бозонные и фермионные поля. Славнов и Фролов показали, что необходимая киральная инвариантность непрерывных четырехмерных неаномальных 80(2п) моделей обеспечивается введением киральных полей Паули - Вилларса с Майорановскими массовыми слагаемыми. Применение указанной кирально-инвариантной регуляризации к таким же моделям, но на четырехмерной бесконечной решетке, согласно Славнову и Фролову, в рамках теории возмущений устраняет в непрерывном пределе недостатки решеточных моделей и обеспечивает их согласие с непрерывными теориями.

В заключении первой главы в п. 1.3 отмечено, что решеточные ре-гуляризованные модели фермионов исследованы недостаточно, в связи с чем была выполнена данная работа.

Вторая глава посвящена исследованию моделей фермионов с Виль-соновским действием на двумерной конечной решетке. В п. 2.1 рассмотрен и вычислен детерминант векторной модели с Вильсоновским действием на двумерной конечной решетке в постоянном внешнем калибровочном поле 11ц(х) в виде

где Нц - постоянный вектор, N - число узлов решетки по одному из двух измерений.

Для выбранного поля фермионная матрица в импульсном пространстве становится диагональной, что существенно упрощает компьютерные расчеты.

Выражение для векторного решеточного детерминанта с Вильсо-

(1)

новским действием в постоянном иоле имеет ъид где

/1=0

Вр(р, К) и (р) - ковариантная производная и Вильсоновское слагаемое в импульсном пространстве:

2тг ¥

В^р, h) = sin (рц - h,t - 1/2),

W(p)= E (l-cos^(pM-l/2)).

Нами были выполнены компьютерные вычисления значений решеточного детерминанта по формуле (2) и непрерывного детерминанта Dye по формуле, установленной Альварес-Гауме и др. Типичные результаты представлены на рис. 1 (кривые 1 и 2). Видно, что решеточные значения не согласуются с непрерывными. Это несогласие вызвано нарушением калибровочной симметрии неинвариантным Вильсоновским слагаемым.

Для обеспечения согласия решеточной и непрерывной теорий мы исследовали два способа улучшения решеточной модели: регуляризацию Паули - Вилларса и введение контрчлена. В п. 2.1.2 вычислен векторный решеточный детерминант Dvr в постоянном поле при регуляризации Паули - Вилларса. Сначала было показано, что вследствие сходимости диаграмм третьего и более порядков в непрерывном пределе к соответствующим диаграммам на двумерном торе, ре-гуляризованный детерминант Dvr согласуется с непрерывной величиной Dye при тех же значениях массы Паули - Вилларса М, при которых регуляризованный решеточный поляризационный оператор Пул(0) равен непрерывному значению Пус(0) = 2я. Для согласия достаточно одного поля Паули - Вилларса. По компьютерным расчетам

1.0

?

0.6

0.8

1,6

0.4

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 h.

Рис. 1. Векторные детерминанты Dy в зависимости от h\ при

3, 4 -DVr с PV полем, М = М2: 3-7V = 32, 4 - 160; 5,6 - DVK

величина П-/я(0) оказалась равной Пус(О) ПРИ двух значениях масс Mi(iV) и AI2, причем при большей массе Mi согласие теорий является более стабильным.

Компьютерные вычисления регуляризованного детерминанта Dyn в зависимости от hi были выполнены при М — М2. Примеры расчетных зависимостей даны на рис. 1. Видно, что решеточная регуляри-зованная (кривые 3, 4) и непрерывная (кривая 1) векторные теории согласуются в непертурбативной области полей /г;1, и согласие улучшается с ростом числа узлов N. Это свидетельствует о подавлении в непрерывном пределе эффектов нарушения калибровочной симметрии одним регуляризующим полем Паули - Вилларса.

В п. 2.1.3 рассмотрен способ обеспечения согласия решеточной и непрерывной моделей, состоящий, согласно подходу группы Roma, во введении в решеточное действие калибровочно-неинвариантного

Д0 = 0.2:

1 - Dyc на торе; 2 - Dvw без PV поля, N = 160;

с контрчленом: 5 - N — 32, 6 - 160

контрчлена. Векторный решеточный детерминант с контрчленом имеет вид

Dyk = Dvw exp [kv{h20 + h\)], (3)

где ky - постоянный коэффициент.

Значение коэффициента ку было найдено нами двумя способами: путем компьютерного при N= 160 и аналитического при 7V —> оо вычислений. В результате получено ку = —1.6877 и -1.6884 соответственно. Из рис. 1 видно, что значения детерминанта с контрчленом Dyk при этом значении ку (кривые 5, 6) хорошо согласуются с данными непрерывной теории (кривая 1).

Способ регуляризации Паули - Вилларса имеет следующие прие-мущества по сравнению с введением контрчленов:

- при регуляризации, в отличие от введения контрчленов, для ряда моделей, например SLAC, сохраняется явная калибровочная инвариантность;

- при регуляризации в случае многомерных пространств не нужно вводить большое количество контрчленов, определение которых затруднительно.

В п. 2.2 рассмотрен и вычислен детерминант киральной неаномальной модели с Вильсоновским действием на двумерной конечной решетке в постоянном поле вида (1). Нами выбрана U(l) 11112 ки-ральная неаномальная модель, состоящая из четырех положительно-киральных фермионов с зарядом 1 и одного отрицательно-кирального фермиона с зарядом 2. В этой модели сокращаются аномальные слагаемые - диаграммы, включающие аксиальный ток. Но остается расходящимся поляризационный оператор. С целью подавления эффектов нарушения калибровочной симметрии в поляризационном операторе необходимо либо регуляризовать эту модель, либо ввести в ее действие контрчлен.

В п. 2.2.1 рассмотрена данная 11112 модель с регуляризацией Паули - Вилларса и приведены результаты аналитических и компью-

терных вычислений ее детерминанта. Решеточный детерминант этой модели в постоянном поле вида (1) определяется выражением

Dot = Dcw[h]DPV[h], (4)

где

Dew = Dlw[h]D*+w[2h],

D+w[h] - детерминант положительно-киральной модели с Вильсонов-ским действием, Dpv[h] - детерминант регуляризующего поля Паули - Вилларса.

Регуляризация этой модели затрагивает только модуль детерминанта на решетке, не изменяя его аргумент, т.е.

Arg DCr = Arg Dew-

Аналитические оценки в рамках теории возмущений показали, что регуляризация 11112 модели одним полем Паули - Вилларса приводит при N оо к правильным непрерывным результатам. Было показано, что в аргументы решеточного Arg Den и непрерывного Arg Dec детерминантов дают вклад только диаграммы с тремя и более внешними линиями, и эти решеточные и непрерывные диаграммы совпадают в непрерывном пределе. Поэтому

Arg Dcr -> Arg Dec при N оо.

Выполненные нами компьютерные вычисления значений аргументов решеточного и непрерывного детерминантов в непертурбативной области также показали согласие этих величин.

В силу сходимости диаграмм третьего и более порядков наилучшее согласие модулей решеточного регуляризованного и непрерывного детерминантов 11112 модели достигается при тех же значениях массы М, при которых регуляризованный поляризационный оператор Псл(О) меньше всего отличается от непрерывного значения

2

0.8

ч

/

0.6

0.2

0.4

-3 - 4

1,6

0.0

-5

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 h.

Рис. 2. Модули детерминантов 11112 моделей \Dc\ в зависимости от hi при ho = 0.2: 1 - \Dqc\ на торе; 2, 3, 4 - с PV полем,

M — Mq: 2 - N — 32, 3 - 160, 4 -320; 5, 6 -\DCk\ с контрчленом:

Псс(0) = 87г. Выполненные расчеты показали, что минимальное отличие этих поляризационных операторов наблюдается при одной экстремальной массе М = Mq(N). Были выполнены компьютерные вычисления величин \Dcr\ и \Dcc\ 11112 модели в зависимости от поля hi при разных N для указанных масс Mo(JV). Результаты этих вычислений, приведенные на рис. 2 (кривые 1-4), говорят о согласии в определенном непертурбативном интервале модулей детерминантов. Из установленного согласия модулей и аргументов детерминантов следует согласие решеточной регуляризованной и непрерывной U(l) 11112 моделей. Это свидетельствует о подавлении, как и в векторной модели, эффектов нарушения калибровочной симметрии одним регуляризующим полем.

В п. 2.2.2 рассмотрен способ обеспечения согласия решеточной и непрерывной теорий, состоящий во введении в решеточное действие

5-JV = 32, 6-160

11112 модели калибровочно-неинвариантного контрчлена по формуле, аналогичной (3), с постоянным коэффициентом кс. Такое введение контрчлена не меняет аргумент решеточного детерминанта, т.е.

Arg Dck = Arg Dew-

В результате компьютерного при N — 160 и аналитического при N->oo вычислений коэффициента кс получены значения кс = 6.4005 и 6.3948 соответственно. Из рис. 2 видно, что модуль детерминанта решеточной 11112 модели с контрчленом \Dck\ при этом значении кс (кривые 5, 6) согласуется с непрерывной величиной (кривая 1).

Материал п. 2.3 посвящен исследованию U(l) киральной неаномальной 11112 модели с Вильсоновским действием на двумерном торе. Но, в отличие от изложенного в п. 2.2, внешнее поле выбрано неоднородным с постоянным двумерным импульсом к. Решеточная конфигурация такого поля, по данным Нараянана и Ньюбергера, имеет вид

Uß{x) = exp j-^/i/i cos jjr (ках0 + k&i + кц/2) j , (5)

где а:„,*„ = -N/2 + 1, -N/2 + 2,..., N/2.

В неоднородном поле (5) фермионная матрица не диагонализуется, что значительно усложняет и увеличивает продолжительность компьютерных расчетов. В таком неоднородном поле, как и в постоянном поле, неинвариантность Вильсоновских слагаемых в решеточной 11112 модели приводит к нарушению калибровочной симметрии и к несогласию этой модели с непрерывной теорией. Аналогично изложенному выше, были рассмотрены два способа подавления эффектов нарушения калибровочной симметрии: регуляризация Паули - Вил-ларса и введение контрчлена.

В случае регуляризации Паули - Вилларса решеточный детерминант этой 11112 модели в неоднородном поле вида (5) определяется формулой (4), в которой детерминанты Dew и Дру выражаются как

Dew = (detD[J7]D_1[l])4 (det D^D^l])*,

DPV = det (М2 - В[и2]Ъ1)Ци2}Ъ) 1 (М2 - D[l]75Dt[l]75) .

где D[[/] - положительно-киральная фермиопная матрица Дирака с Вильсоновским слагаемым в поле {7, 75 - киральная матрица, М -регуляризующая масса одного поля Паули - Вилларса. Регуляризация Паули - Вилларса не меняет аргумент решеточного детерминанта, т.е.

Arg DCr - Arg Dew-

Были выполнены компьютерные вычисления величин Mo, Arg Den и \Dcr\ при разном числе узлов N в поле с фиксированными значениями hp и kß. Расчеты величины \Dqr\ были выполнены при массе Mo = Mo(iV, к), для которой решеточный регуляризованный поляризационный оператор Пся(&) меньше всего отличается от непрерывной величины Псс(^) = 87г. Результаты этих вычислений показывают, что в пределе 1 /N —> О

М0 ->■ 0, Arg DCr -> Arg Dec = 0, \DCR\ \DCc\,

т.е. решеточная регуляризованная 11112 модель согласуется с непрерывной теорией. Рис. 3 иллюстрирует согласие величины \Dcr\ при 1/JV—>0 (кривая 2) с \Dcc\ (точка 1).

В случае введения в решеточное действие 11112 модели контрчлена ее решеточный детерминант в неоднородном поле вида (5) определяется формулой

DCK[h, к] = DcwiK к] exp (hg + h\)} ,

Введение контрчлена не изменяет аргумент решеточного детерминанта, т.е.

Arg Dck = Arg бескомпьютерные вычисления величины \Dck\ пРи вычисленном в п. 2.2 значении ке = 6.3948, приведенные на рис. 3, свидетельствуют о согласии при 1/iV —>• 0 решеточной модели с контрчленом (кривая 3)

-в—.

1.2

1.0

0.8

в-.. 3

0.6

- в _

0.00

0.04

0.08

0.12 MN

Рис. 3. Модули детерминантов 11112 моделей \Dc\ в зависимости от

2 - |-0(;л| с Вилъсоновским действием и полем PV, 3 - \Dck\ с Виль-соновским действием и контрчленом, 4 - \Dcr\ SLAC с полем PV

и непрерывной теории (точка 1).

Третья глава посвящена исследованию SLAC-моделей фермионов на двумерной конечной решетке. В п. 3.1 рассмотрен и вычислен детерминант векторной модели в постоянном внешнем поле вида (1). Величина этого векторного детерминанта Dys определяется формулой, аналогичной (2), в которой отсутствует слагаемое W(p), а кова-риантная производная К) имеет вид

В п. 3.1.1 было исследовано поведение различных диаграмм этой векторной ЭЬАС-модели в пределе N оо. Оказалось, что поляризационный оператор П 1/5(0) и диаграмма с четыремя внешними лини-

1/N в поле с h0 = 0.2, /ii = 0.4 и ko = ki — l: 1 - [-Deel на торе,

(6)

ями Гцооо(О) расходятся пропорционально Лг, т.е. БЬЛС-действие не дает правильного непрерывного предела. Перенормировка массы, в отличие от непрерывной теории, является недостаточной для обеспечения согласия с непрерывной теорией. Введение контрчленов в 8ЬАС-действие приведет к нарушению калибровочной инвариантности, и расхождение ЯЬАС-модели с непрерывной теорией останется.

С целью получения согласия решеточной и непрерывной теорий нами выполнена, регуляризация этой векторной йЬАС-модели полями Паули - Вилларса, при которой сохраняется явная калибровочная инвариантность модели. Оценки асимптотического поведения диаграмм показывают, что для такого согласия необходимо не одно, а по крайней мере три поля Паули - Вилларса. Согласно выполненным компьютерным расчетам, величина векторного решеточного регуляри-зованного детерминанта Оук оказалась равной непрерывному значению Бус, взятому из работы Альварес-Гауме и др., в диапазоне масс М\ <М< Мг для случая трех полей Паули - Вилларса. Типичные результаты компьютерных вычислений детерминантов Буц и Бус в зависимости от поля даны на рис. 4. Видно, что решеточная и непрерывная теории согласуются в непертурбативной области поля /¡■1, за исключением узкой области вблизи = 1/2, ширина которой уменьшается с ростом N.

В п. 3.1.2 было выполнено аналитическое исследование нефизического вклада в детерминант Оуп векторной регуляризованной БЬАС-модели импульсов вблизи границы зоны Бриллюэна. С учетом поведения ковариантной производной согласно (6), величина Иуд была разбита на три сомножителя. Каждый из этих сомножителей определялся своей областью импульсов: или по внутренней части зоны Бриллюэна, или по ребрам, или по вершинам этой зоны. Выполненные оценки показали, что в пределе N->00 сомножитель детерминан-. та с импульсами по внутренней части зоны стремится к непрерывной величине £>ус, сомножитель с импульсами на вершинах стремится к

Рис. 4. Векторные детерминанты Dy в зависимости от поля h\ при ho — 0.2: 1 - Dye на торе; 2, 3, 4, 5 - Dyn с тремя полями PV: 2, 3-iV=32: 2-M=Afi = 0.15, 3-М=М2=0.4; 4, 5 - JV = 160: 4 - M — Mi — OM, 5 - М=М2 — 0Л5

1, а сомножитель с импульсами на ребрах резко уменьшается при —» 1/2. Из-за такого поведения сомножителей согласие с непрерывной теорией нарушается вблизи |/г(1| = 1/2. Для значения поля /г*, начиная с которого детерминант Г>ул резко уменьшается с ростом /1/1; и согласие теорий нарушается, получена следующая оценка:

1/2-|й;|~(М4Л01/3.

Эта оценка величины согласуется с данными компьютерных расчетов (см. рис. 4).

В п. 3.2 приведены результаты аналитического исследования и компьютерных расчетов аргумента детерминанта Аг^ положи-тельно-киральной нерегуляризованной БЬАС-модели на двумерном торе в постоянном поле вида (1). Ранее в п. 3.1 было показано, что вследствие особенностей ковариантной БЬАС-производной импульсы

на граничном участке зоны Бриллюэна дают существенный вклад, способный нарушить согласие решеточной и непрерывной теорий. Оценки, выполненные при линейной аппроксимации формулы (6), показали, что в пределе N —> оо вклад ребер зоны Бриллюэна в Arg D+s является малым, но вклад вершин примерно равен вкладу внутренней части зоны. Поэтому решеточная величина ArgD+s, представляющая сумму этих вкладов, становится примерно в 2 раза больше непрерывной величины ArgZ>+o Эти аналитические оценки хорошо согласуются с результатами выполненных компьютерных расчетов величин ArgD+s и Arg D+c в зависимости от полей h/t.

В случае 11112 SLАС-модели аргумент ее детерминанта складывается из аргументов детерминантов четырех положительно-кираль-ных фермионов с зарядом 1 и одного отрицательно-киралыюго фер-миона с зарядом 2. Так как решеточные аргументы детерминантов этих фермионных моделей в постоянном калибровочном поле примерно в 2 раза больше непрерывных значений, то решеточная величина Arg D+cs 11112 SL АС-модели в постоянном поле также не согласуется с соответствующей непрерывной величиной.

В п. 3.3 исследована U(l) киральная неаномальная 11112 SLAC-модель на двумерном торе в неоднородном внешнем поле вида (5). Для такой модели в данном поле в рамках теории возмущений расходится только поляризационный оператор. С целью устранения этой расходимости 11112 SLAC-модель была регуляризована по Паули -Вилларсу путем введения в действие одного бозонного поля с зарядом 2. В результате было получено выражение для регуляризованно-го решеточного детерминанта Dcr, аналогичное формуле (4). В этом выражении детерминанты Des (вместо Dew) и Dpy определяются как

Des = (det B[t/]B-1[l])4 (det B[{72]B-1[1])*, DPV = det (BÎ[U2]B[U2] + M2)"1 (Bt[l]B[l] + M2) , где B[f7] - матрица кирального оператора ковариантной SLAC-произ-

водной в поле U, М - регуляризующая масса.

Данная регуляризация не изменяет аргумента решеточного детерминанта, т.е.

Arg Dcr = Arg Des-

Были выполенеы компьютерные вычисления величин Мд, Arg Dcr и \Dcr\ этой регуляризованной 11112 модели в неоднородном поле с фиксированными значениями hfl и к^. Расчеты величины \Dqr\ были выполнены при массе Mo = M(,{N, к), для которой решеточный регуляризованный поляризационный оператор Псд(&) согласуется с непрерывной величиной Псс(&) = 8я\ Согласно этим вычислениям, в пределе 1/iV —)• 0 решеточные величины совпадают с непрерывными значениями:

М0 -> 0, Arg DCr ArgDCc = 0, \DCr\ -> \DCC\-

Из рис. 3 видно, что при одинаковых значениях N величина \Dcr\ регуляризованной SLAC-модели (линия 4) значительно лучше согласуется с непрерывной величиной (точка 1), чем значения \Dcr\ и \Dck\ моделей с Вильсоновским действием (кривые 2, 3).

Четвертая глава посвящена исследованию в рамках теории возмущений моделей фермионов с регуляризацией Паули - Вилларса на бесконечной решетке. В п. 4.1 получено решеточное выражение для абелевой аномалии в киральной SO(10) модели с Вильсоновским действием на бесконечной четырехмерной решетке при регуляризации бесконечным числом полей Паули - Вилларса с Майорановскими массами М, где М = пМ для ферми-полей, М = (2п+1)М для бозе-полей. Здесь М - регуляризующая масса, определяемая согласно Славнову и Фролову как

М = а-1 = АЛ/", 0 < S < i, (7)

где а - шаг решетки, Л - массовая шкала, N - безразмерный параметр.

В процессе сделанных выкладок решеточное внешнее поле было разложено в ряд по константе связи, найдены вершины взаимодействия фермионов с калибровочным полем, найдены пропагаторы и вершины тока, исследованы выражения для среднего по вакууму абелева тока с применением оценок во внутренней и внешней частях области интегрирования по импульсу согласно Славнову и Фролову. Выполненные оценки показали, что в пределе шага а —> 0 вклад в средний ток дают только диаграммы, совпадающие с непрерывными. С учетом этого были выполнены выкладки для однопетлевых корреляционных функций, и в пределе а —> 0 получены аномальные тождества Уорда и выражение для абелевой аномалии, совпадающее с известной непрерывной калибровочно-инвариантной величиной.

В п. 4.2 в рамках теории возмущений исследованы диаграммы векторной и(1) 8ЬАС-модели на бесконечной двумерной решетке при регуляризации одним полем Паули - Вилларса с применением процедуры частичного пересуммирования диаграмм. Регуляризующая масса М связана с шагом решетки а соотношением (7), в котором 0<5<1. Действие этой регуляризованной модели было разложено в ряд по константе связи, и в результате найдены пропагаторы и вершины взаимодействия с калибровочным полем.

Для устранения недостатков, вызванных разрывностью БЬАС-про-изводной на границе зоны Бриллюэна, была выполнена процедура частичного пересуммирования диаграмм. При этом, согласно Раби-ну, разрывная вЬ АС-производная заменяется на сглаженную производную. С учетом поведения такой сглаженной производной были получены асимптотические решеточные выражения поляризационного оператора и аксиального тока. Эти выражения в пределе шага решетки а 0 дают правильные релятивистские и калибровочно-инвариантные соотношения для величин непрерывной модели Швин-гера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе в результате выполненных аналитических и численных исследований получено новое решение задачи по изучению фермионов на решетке на основе моделей с Вильсонов-ским действием и БЬАС-моделей, улучшенных регуляризацией Паули - Вилларса. Эти улучшенные модели целесообразно использовать для получения новых теоретических результатов в квантовой теории поля с применением современных вычислительных средств.

В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Установлено, что введение в решеточное действие векторной и киральной неаномальной теорий с Вильсоновским действием на двумерном торе регуляризации Паули - Вилларса подавляет эффекты нарушения калибровочной симметрии в пертурбативной и непертур-бативной областях как в постоянном, так и в неоднородном калибровочном полях, и приводит к правильным непрерывным результатам для детерминантов.

2. Показано, что введение в калибровочно-инвариантное нелокальное действие 11(1) решеточных ЭЬАС-моделей на двумерном торе регуляризации Паули - Вилларса устраняет эффекты нарушения локальности для векторного детерминанта в постоянном поле и кираль-ного неаномального детерминанта в неоднородном поле как в пертурбативной, так и в непертурбативной областях.

3. Вычислены значения коэффициентов в контрчленах векторного и кирального действий 11(1) решеточных моделей с Вильсоновским действием на двумерном торе, вводимых для согласия с непрерывными теориями. Эти значения, полученные аналитически и численно, совпадают.

4. Установлено, что для решеточных и(1) БЬАС-моделей на двумерном торе в постоянном калибровочном поле в результате большо-

го аномального вклада импульсов на границе зоны Бриллюэна векторный регуляризованный детерминант резко спадает вблизи этой границы, а аргумент кирального детерминанта отличается от непрерывного значения. Эти особенности U(l) SLАС-моделей на двумерном торе отсутствуют в неоднородном калибровочном поле.

5. Получено выражение для абелевой аномалии в киральной SO(IO) модели с Вильсоновским действием на бесконечной четырехмерной решетке при регуляризации Паули - Вилларса, которое согласуется с непрерывным значением.

6. Показано, что в векторной U(l) SLAC-модели на бесконечной двумерной решетке регуляризация Паули - Вилларса с применением процедуры частичного пересуммирования диаграмм приводит к правильным релятивистски и калибровочно-инвариантным непрерывным результатам.

Основные научные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Зверев Н. В., Славнов А. А. Вычисление абелевой аномалии в киральной 80(Ю)-модели на решетке // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т.103, N 2. С.192-199.

2. Зверев Н. В., Славнов A.A. Частичное пересуммирование диаграмм в двумерной решеточной модели фермионов, регуляризованной по Паули - Вилларсу // Теоретическая и математическая физика. 1996. Т.106, N 3. С.401-406.

3. Slavnov A. A., Zverev N. V. Fermion theories on a 2d torus with Wilson action improved by Pauli - Villars regularization // Physics Letters B. 1998. V.420, N 3-4. P.323-332 // hep-lat/9708022. 1997. P.l-17.

4. Зверев H. В., Славнов А. А. Нелокальные решеточные модели фермионов на двумерном торе // Теоретическая и математическая физика. 1998. Т.115, N 1. С.93-105. // hep-lat/9710093. 1997. Р.1-16.