Модели непертурбативных эффектов в квантовой хромодинамике с участием кварков тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Тарасов Олег Владимирович

МОДЕЛИ НЕПЕРТУРБАТИВНЫХ ЭФФЕКТОВ В КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКЕ С УЧАСТИЕМ КВАРКОВ

01 04 02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ имени М В Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В Ч Жуковский

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, с н.с. К Г Клименко, кандидат физико-математических наук, доцент Б В Магницкий

Ведущая организация: Московский Государственный институт электроники и математики (технический Университет)

Защита состоится «12. » _ 2005 года в часов на

заседании диссертационного совета К 501 001 17 в МГУ имени М В Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 11-» (ЯП _ 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Поляков П А

Актуальность темы

Одной из важнейших задач в современной квантовой хромодинамике (КХД) является исследование эффектов, относящихся к низкоэнергетической области теории Примерами являются конфайнмент кварков, спонтанное нарушение киральной симметрии (НКС), возникновение цветовой сверхпроводимости и тд Как правило, теория возмущений над тривиальным (пергурбатив-ным) вакуумом не в состоянии дагь удовлетворительное объяснение этим явлениям Помимо исследования окрестности тривиального вакуума, осуществляемого при помощи теории возмущений, необходим также учет вклада конфигураций глюонного поля, далеких от вакуумной В связи с этим активно развиваются непертурбагивные методы изучения физического вакуума, позволяющие учесть также некоторые коллективные эффекты, лежащие за рамками теории возмущений Одним из методов их исследования является моделирование истинного поля глюонного конденсата при помощи внешнего неабелева поля достаточно простой конфигурации с дальнейшим изучением различных величин на его фоне

В настоящее время вопрос об истинной структуре вакуума КХД остается открытым В последние годы данной теме посвящено множество работ Аналитически рассчитываются различные величины и исследуются возможные эффекты на фоне постоянного хромомагнитного поля, суперпозиции инстан-гонов, магнитных монополей, дионов, центральных вихрей, меронов, фер-миводов Проводятся симуляции в КХД на решетке, позволяющие выявить роль тех или иных калибровочных конфигураций в формировании различных непертурбативных величин Строятся различные модели вакуума КХД основанные на тех или иных конфигурациях калибровочного поля Такой подход может оказаться весьма плодотворным для выяснения природы соответствующих непертурбативных эффектов

Весьма актуальным является учет роли кварков в возникающих моделях С момента открытия в 2000 году кварк-глюонной плазмы адронная материя в состоянии деконфайнмента привлекает особое внимание В некоторых моделях наличие кварков является необходимым и с чисто теоретической точки зрения В диссертационной работе основное внимание уделено изучению фер-

мионного сектора некоторых моделей непертурбативных эффектов

Целью работы

является

1 Построение модели вакуума КХД основанной на калибровочных конфи гурациях, в поле которых реализуется одномерное движение фермионов (фермиводов) и описание явления НКС на основе этой модели

2 Изучение спекгра и собственных функций оператора Дирака на фоне многих пересекающихся центральных вихрей

3 Рассмотрение возможности цветового ферромагнизма в КХД ( кварками и изучение фазового перехода между этим состоянием и фазой цвет овои сверхпроводимости

Научная новизна работы.

В диссертации был исследован спектр оператора Дирака во внешнем поле многих фермиводов и центральных вихрей с целью выяснения роли этих ка либровочных конфигураций в объяснении эффекта, НКС В явном виде по лучены нулевые моды оператора Дирака в поле ортогонально пересекающих ся вихрей Были построены явные примеры фермиводов, явно реализующие важную для НКС идею одномерного движения кварков Спектр оператора Дирака в их поле об падающий свойством сгущения в окрестности нулевых собственных значений демонстрирует возможную роль фермиводов в создании конечной плотности нулевых мод оператора Дирака Построенная модель вакуума с разреженным газом фермиводов предсказывает возникновение конечного кварк-антикваркового конденсата Было также произведено исследование глюонного и фермионного сектора модели основанной на постоянном хромомагнитном поле и описывающей цветовой ферромагнетизм кварков в состоянии деконфайнмента Показано что хромомагнитное поле может быть стабилизировано путем образования заряженного глюонного конденсата При

этом продемонстрировано что условие стабильности поля накладывает также ограничение на его протяженность, те предсказывает доменную структуру в фазе цветового ферромагнетизма На основе рассмотрения кваркового сектора одного домена фиксированных размеров построен термодинамический потенциал системы и исследован переход первого рода между фазой цветового ферромагнетизма и предсказываемой теоретически фазой цветовой сверхпроводимости

Научная и практическая ценность работы.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях квантовых процессов во внешних полях, в различных астрофизических условиях, а также при планировании новых экспериментальных исследований как в лабораториях, так и в решеточных симуляциях квантовой теории поля Большинство полученных результатов могут представлять интерес в квантовой теории непертурбативных эффектов

Результаты могут быгь использованы в НИИЯФ МГУ им М В Ломоносова, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИРАН им П Н Лебедева, ИТЭФ, МИРАН им В А Стсклова МГПУ им В И Ленина, МИЭМ, МИРЭА и др

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях

1 Конференция "Ломоносовские чтения", секция физики МГУ апрель, 2005

2 Конференция секции ЯФ ОФН РФН ''Физика фундаментальных взаимодействий", посвященная 100-летию академика А И Алиханова ИТЭФ, апрель, 2004, а также неоднократно докладывалась на следующих семинарах

3 Семинар кафедры теории поля и элементарных частиц Гумбольдтского университета (Берлин)

4 Семинар кафедры теоретической физики физического факультета МГУ

Публикации

По теме диссертации опубликовано б работ [1 6], список которых приводится в конце автореферата

Структура и объем работы

Работа содержит введение четыре главы, заключение и список литературы из 109 наименований В состав работы входят 10 иллюстраций Обьем работы составляет 117 страниц

Краткий обзор работы

В главе 1 дается обзор ряда известных методов исследования эффектов НКС конфайнменга и цветовой сверхпроводимости, а 1акже дается описание структуры диссертации

Глава 2 диссертации посвящена изучению возможности описания НКС при помощи фермиводов

В параграфе 1 даются основные сведения о фермиводах, а также кратко излагается структура главы

Параграф 2 посвящен мотивации интереса к фермиводам, основанное на том, что эффективное понижение размерности пространства до 1 привело бы, на основании соотношения Бэнкса-Кэшера, к образованию конечного кварк-антикваркового конденсата и в отсутствие внешнего калибровочного поля

Затем, основываясь на результатах предшествующих работ, в параграфе 3 построен явный пример прямолинейного фермивода и отвечающей ему фер-мионной нулевой моды На этом примере показана возможность механизма НКС во внешнем поле фермивода, возникающая благодаря свойству спектра оператора Дирака сгущаться в окрестности нулевых собственных значений Демонстрируются некоторые возможные свойства фермиводов взаимосвязь

с конфигурациями калибровочного поля в поле которых есть трехмерно-нормируемые фермионные моды, возможная связь с абелевой проекцией неа-белева поля, являющегося чистой калибровкой, нетривиальность трехмерной топологии В конце приводится упрощающее предположение о спектре оператора Дирака, важное для дальнейшего вычисления плотности его нулевых мод

В параграфе 4 изучается структура матрицы перекрытий нулевых мод в поле многих фермиводов Применяя метод, уже использованный ранее для исследования инстантонного вакуума, строится спектр оператора Дирака вблизи нуля.

Параграф 5 посвящен модели вакуума основанной на стохастическом распределении прямолинейных фермиводов с разреженной плотностью (газ фермиводов) На основе замены континуального интегрирования конечномерным интегрированием по коллекчивным степеням свободы, вычисляется среднее значение для плотности нулевых мод, показывается наличие ненулевого кварк-антикваркового конденсата а также наличие для него конечною гермодина-мическою предела Данный результат явлляется центральным результатом главы 2.

С целью проверки корректности некоторых из сделанных ранее предположений был проведен компьютерный эксперимент, описанный в параграфе б Он аналогичен предложенному ранее симулированию инстантонного вакуума Выяснилось, что область применимости компьютерной симуляции включает в себя плотности фермиводов, ожидаемые в физическом вакууме Результаты компьютерного эксперимента приведенные в графической форме, согласуются с предсказанными в предыдущем параграфе аналитическими результатами

Глава 3 посвящена изучению спектра оператора Дирака во внешнем поле пересекающихся центральных вихрей.

В параграфе 1 приводится мотивация интереса к данной проблеме Связан он в первую очередь с недавними достижениями в области решеточных симуляций КХД Как известно, блаюдаря разработанным методам централь-

ной проекции была выявлена ключевая роль центральных вихрей в эффектах НКС и конфайнмента. Однако в непрерывной теории механизм НКС на основе вихрей на данный момент не разработан. Исследование спектра оператора Дирака в поле центральных вихрей может выявить их роль в создании кварк-антикваркового конденсата.

В параграфе 2 приводятся двумерные фермионные моды в поле толстого и тонкого вихря.

В параграфе 3 рассматривается уравнение Дирака в поле пары пересекающихся вихрей в абелевой теории. Показано, что при ортогональных вихрях уравнение Дирака для нулевых мод распадается на независимые уравнения для плоскости каждого из вихрей.

В параграфе 4 рассматривается уравнение Дирака в поле неабелевых пересекающихся центральных вихрей. Как выяснено, в поле двух вихрей нулевые фермионные моды отсутствуют, однако в поле многих пересекающихся прямолинейных вихрей они могут существовать. Показано, что теорему Атьи-Зингера о связи между числом нулевых фермионных мод и топологическими характеристиками калибровочного поля можно расширить таким образом, чтобы она выполнялась для случая центральных вихрей.

Параграф 5 посвящен исследованию спектра оператора Дирака в поле многих ортогонально пересекающихся вихрей и антивихрей. Показывается, что в отличие от случая с инстантонами области локализации нулевых фер-мионных мод оказываются более широкими, чем области локализации топологического заряда.

Глава 4 посвящена изучению возможности фазы цветового ферромагнетизма кварков в фазе деконфайнмента в КХД.

Параграф 1 содержит общие сведения о постоянном хромомагнитном поле, о вакууме Саввиди, о его нестабильных модах и методах их стабилизации.

Один из недавно предложенных методов стабилизации развивается в параграфе 2. Он заключается в выделении нестабильной моды и описании ее скалярным заряженным полем. Для него составляется эффективный лагранжиан, включающий хиггсово самодействие и взаимодействие моды с элек-

тромагнитным полем моделирующим абелеву часть хромомагнитного поля Благодаря наличию выделенного пространственного направления удается эффективное понижение размерности К получившейся (2 + 1)-мерной задаче применяется метод, аналогичный использованному при описании квантового эффекта Холла, основанный на введении Черн-Саймоновского поля В результате скалярное поле конденсируется в пространственно-однородное состояние, соответствующее однородному заряженному конденсату в физической модели Показывается, что данный метод корректен при ограничении максимально возможной протяженности хромомагнитного поля те предсказывается доменная струтура цветового ферромагнетизма

Параграф 3 обосновывает необходимость учета фермионов Делаются ос новные предположения, необходимые для расчета термодинамического потенциала фермионов

В параграфе 4 производится расчет полной энергии системы при нулевой температуре Показывается что се минимальное значение может достигаться при ненулевом хромомагнитном поле На основании сравнения термодинамических потенциалов исслсдутся фазовый переход между состояниями цветового ферромагнегизма и цветовой сверхпроводимости системы

В параграфе 5 аналогичный расчет производится при ненулевой температуре Компьютерный расчет, проведенный в параграфах 5 и б, иллюстриру ется шестью графиками

Заключение содержит основные результаты диссертации

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 Построены явные примеры фермиводов доказывающие их существова ние и демонстрирующие некоторые возможные их свойства нетривиальную трехмерную топологию связь с трехмерными калибровочными конфигурациями допускающими нормируемые нулевые моды оператора Дирака

2 Построена модель нарушения киралыюй симметрии, основанная на стохастическом распределении многих фермиводов Показано, что в рамках

данной модели возникает конечный кварк-антикварковый конденсат

3 Исследовано возникновение нулевых фермионных мод во внешнем поле, образованном многими пересекающимися центральными вихрями и антивихрями Установлена связь их числа с топологическими характеристиками калибровочного поля

4 Изучено пространственное распределение в поле центральных вихрей волновых функции возникающих нулевых фермионных мод Выявлено отличие от случая с инстантонами, заключающееся в том что распределение нулевых мод не сконцентрировано в области максимумов плотности топопогического заряда,

5 Показано, что постоянное хромомагнитное поле может быть стабили зировано путем образования постоянного конденсата хромомагнитного поля при условии конечности его протяженности, те предсказана его доменная структура

6 На основании рассмотрения фермионною сектора одною домена системы изучен фазовый переход между ферромагнитной и сверхпроводящей фазами системы кварков и глюонов при нулевой и конечной температy-ре

Список публикаций

[1] В Ч Жуковский, О В Тарасов Фермионы в случайных калибровочных полях и нарушение киральной симметрии // Яд Физ 2004 Т 67 С 2285-2296

[2] В Ч Жуковский, О В Тарасов Нулевые моды оператора Дирака в калибровочных полях вихревого типа// Теоретическая и математическая физика 2004 Т 140 С 410 423

[3] В Ч Жуковский, О В Тарасов Модель нарушения киральной симметрии ( газом фермиводов // Вестник Московского Университета Серия 3 Физика Астрономия 2003 № 6 С 60-65

[4] В Ч Жуковский, О В Тарасов Ферромагнитное состояние SU(2)-вакуума // Вестник Московского Университета Серия 3 Физика Астрономия 2004 № 4 С 60-62

Й' В Ч Жуковский, О В Тарасов Ферромагнитное состояние SU(2)-калибровочной модели теории поля // Вестник Московского Университета 2004 Серия 3 Физика Астрономия 2004 № 6 С 57-60

[6] В Ч Жуковский, О В Тарасов, Д Эберт Цветовой ферромагнетизм SU(2)-калибровочной модели теории поля при конечной температуре// Вестник Московского Университета. Серия 3 Физика Астрономия 2005 № 2 С 60-68

Подписано в печать 07.04.2005 Объем 0,75 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 55 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992, г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. 102

/ /

Введение

1 Непертурбативные методы в квантовой теории поля

1.1 Топологические решения в теории поля.

1.2 Нарушение киральной симметрии.

1.3 Конфайнмент.

1.4 Цветовая сверхпроводимость.

2 Фермиводы как модель нарушения киральной симметрии

2.1 Модели нарушения киральной симметрии

2.2 Постановка задачи.

2.3 Решение уравнения Дирака в поле фермивода.

2.4 Суперпозиция нескольких фермиводов: расщепление уровней оператора Дирака вблизи нуля

2.5 Разреженный газ фермиводов.

2.6 Компьютерный эксперимент.

2.7 Обсуждение результатов.

3 Центральные вихри как модель нарушения киральной симметрии

3.1 Роль центральных вихрей в физике непертурбативных эффектов

3.2 Фермионные моды в двумерном абелевом поле

3.3 Нулевые моды в поле абелевых пересекающихся вихрей в четырех измерениях

3.4 Уравнение Дирака в неабелевом поле.

3.5 Расщепление спектра оператора Дирака.

3.6 Обсуждение результатов.

4 Цветовой ферромагнетизм 8и(2)-калибровочной модели теории поля

4.1 Ферромагнетизм и сверхпроводимость цвета.

4.2 Бозонный сектор.

4.3 Фермионный сектор.

4.4 Фазовый переход: нулевая температура.

4.5 Ферромагнетизм при конечной температуре.

4.6 Обсуждение результатов.

В квантовой теории поля важнейшим методом исследования физических явлений является теория возмущений. Изначально взаимодействующие поля квантуются как свободные, а затем взаимодействие между ними учитывается как некоторая поправка, малость которой характеризуется постоянной связи д. В результате интересующие физические величины определяются в виде рядов по этой константе. Такой подход хорошо зарекомендовал себя в квантовой электродинамике (КЭД), где постоянная связи весьма мала. Однако в квантовой хромодинамике (КХД) на адронных масштабах д ~ 1, и теория возмущений перестает быть применимой.

С точки зрения формализма континуального интегрирования, для расчета той или иной интересующей нас величины необходимо вычислить соответствующий континуальный интеграл, то есть интеграл по всем возможным конфигурациям полей в рамках рассматриваемой теории. На практике строго проделать такой расчет не удается, и приходится использовать приближенные методы. Метод теории возмущений состоит в том, что при континуальном интегрировании рассматривается фактически окрестность пертурбативного вакуума, т. е. решения уравнений свободных полей, минимизирующего действие. В простейших случаях такое решение оказывается тривиальным, т.е. пертурбативным вакуумом, в котором все поля равны нулю.

Однако в КХД есть ряд явлений, объяснить которые методами теории возмущений невозможно. Такие явления называют непертурбативными. Невозможность исследовать их с помощью пертурбативных методов указывает на то, что основную роль в них играет не окрестность пертурбативного вакуума, а конфигурации полей, далекие от вакуумной. В основном непертурбативные явления связаны с низкоэнергетической областью, соответствующей большим расстояниям. Примерами таких явлений могут быть конфайнмент кварков, адронизация материи, приобретение кварками ненулевой массы и т.д.

Существуют различные методы исследования непертурбативных эффектов. Среди наиболее употребимых отметим расчеты на решетке, метод операторного разложения, построение различных эффективных моделей. В частности, некоторые непертурбативные эффекты можно объяснить, используя метод точных решений для волновых функций и функций Грина во внешних полях достаточно простой конфигурации, моделирующих истинное сложное распределение вакуумного поля [1,2] (см. также [3]). Рассматриваемые в настоящей диссертации методы сводятся к тому, чтобы кроме окрестности пер-турбативного вакуума тем или иным способом учесть еще и вклад некоторых нетривиальных полевых конфигураций. Их выбор ограничивается следующими соображениями.

Во-первых, вклад рассматриваемых конфигураций в континуальный интеграл должен быть заметным. С учетом того, что каждая конфигурация подавляется быстро осциллирующим экспоненциальным множителем ехр(—iS) (или exp(-S), если время евклидово), необходимо, чтобы действие было не слишком велико. Желательно, чтобы рассматриваемые конфигурации удовлетворяли уравнениям движения поля, т.е. были седловыми точками в континуальном интеграле. В некоторых случаях экспоненциальный множитель компенсируется энтропийным фактором за счет большого разнообразия рассматриваемых полей. Но, вообще говоря, экспоненциальный множитель является ограничивающим фактором, благодаря которому большинство полевых конфигураций не играет заметной роли в континуальном интеграле.

Во-вторых, рассматриваемые конфигурации должны объяснять возникновение механизма для интересующего нас непертурбативного явления. Например, если речь идет о конфайнменте кварков, описываемом законом площадей для петли Вильсона, то интерес представляют только фоновые поля, для которых петля Вильсона нетривиальна.

Настоящая диссертация состоит из четырех глав. Глава 1 представляет собой введение и литературный обзор основных публикаций по теме диссертации. В главе 2 изучаются вихреобразные калибровочные конфигурации ("фермиводы"), которые обеспечивают одномерное движение кварка без потери амплитуды. Благодаря этому они могут служить моделью для описания явления нарушения киральной симметрии кварков (НКС), образование кварк-антикваркового конденсата и ненулевой массы кварка. В главе 3 рассматривается ситуация, когда вакуум КХД заполнен несколькими парами пересекающихся центральных вихрей. Исследуется возможность описания с помощью такой модели нарушения киральной симметрии и конфайнмента кварков. В главе 4 рассматривается модель, основанная на постоянном хро-момагнитном поле. В ее рамках исследуется возможность возникновения цветового ферромагнетизма при определенных плотностях кварков.

Заключение

В настоящей диссертации были исследованы некоторые модели, описывающие различные непертурбативные явления. В частности:

1. Исследован возможный механизм нарушения киральной симметрии, основанный на идее эффективно одномерного движения фермионов и реализуемый с помощью специальных калибровочных образований — фермиводов.

2. Построены явные примеры фермиводов, доказывающие их существование и демонстрирующие некоторые возможные их свойства: нетривиальную трехмерную топологию при тривиальной четырехмерной, связь с абелевой проекцией чистой калибровки, связь с трехмерно-нормируемыми модами оператора Дирака.

3. Предложена модель нарушения киральной симметрии, основанная на модели разреженного газа фермиводов. Показано возникновение конечного кварк-антикваркового конденсата, аналитически установлена его зависимость от концентрации фермиводов, результаты проверены компьютерным экспериментом.

4. Исследовано возникновение нулевых фермионных мод во внешнем поле, образованном несколькими пересекающимися центральными вихрями и антивихрями. Показано, что теорему Атьи-Зингера, связывающую топологический заряд с числом нулевых мод, можно распространить на случай многих пересекающихся вихрей при условии целости топологического заряда и четности числа вихрей.

5. Показано, что нулевые фермионные моды не концентрируются вблизи области пересечения вихрей. Продемонстрировано отсутствие связи между размерами фермионных мод и толщиной вихрей. Это демонстрирует отличие вихревой модели нарушения киральной симметрии от ин-стантонной.

6. Предложен метод стабилизации тахионных мод однородного хромомагнитного поля путем наложения ограничения на его максимальную протяженность. Предложенная конфигурация может служить моделью домена, внутри которого хромомагнитное поле постоянно. В рамках данной модели продемонстрирована возможность образования пространственно-однородного конденсата.

7. На основании рассмотрения фермионного сектора, наличие которого необходимо в рамках предложенной модели, изучен фазовый переход между ферромагнитной и сверхпроводящей фазами системы. Показано, что при нулевой температуре фаза определяется химическим потенциалом кварков. При достаточно высоких химических потенциалах имеет место сверхпроводящая фаза. При понижении химического потенциала возможен ряд фазовых переходов, когда ферромагнитная и сверхпроводящая фазы поочередно сменяют друг друга.

8. Исследовано влияние конечно-температурных эффектов на структуру фазового перехода между ферромагнитной и сверхпроводящей фазами в рамках модели домена постоянного ферромагнитного поля. Показано, что при достаточно высоких температурах структура фазового перехода упрощается: при значении химического потенциала выше критического имеет место сверхпроводящая фаза, при значениях ниже критического — ферромагнитная.

По теме диссертации опубликовано 6 статей [103-108], а также тезисы доклада [109]. Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на юбилейной научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РФН "Физика фундаментальных взаимодействий", посвященной 100-летию академика А. И. Алиханова и на Ломоносовских чтениях МГУ 2005 г.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук В. Ч. Жуковскому за помощь в выборе темы, большую помощь в работе и многочисленные стимулирующие обсуждения. Автор весьма признателен А. В. Борисову за многочисленные ценные замечания, сделанные в процессе работы над всеми главами диссертации.

1. Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Квантовые процессы в сильном внешнем поле - М.: Изд. Моск. Ун-та, 1989.

2. Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Эминов П. А., Борисов А. В. Эффекты внешнего поля и среды в неабелевой калибровочной теории. -М.: Физический факультет МГУ, 2001.

3. Славное А. А., Фаддеев JI. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1988.

4. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Борисов А. В. Калибровочные поля, М., 1986.

5. Рубаков В. А. Классические калибровочные поля М.: Эдиториал УРСС, 1999.

6. Райдер JI. Квантовая теория поля М.: ПЛАТОН, 1998.

7. Abrikosov A. A. On the magnetic properties of superconductors of the second group // Sov. Phys. JETP. 1957. V. 32. p. 1442-1452.

8. Nielsen H. B., Olesen P. Vortex line models for dual strings // Nucl. Phys. B. 1973. V. 61. p. 45-61.

9. Higgs P. W. Broken symmetries and the masses of gauge bosons // Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. p. 508-509.

10. Дубровин Б. A., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы и приложения М: Эдиториал УРСС, 1998.

11. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я. А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию М: Наука. Физмаилит 1995.12. t'Hooft G. Magnetic monopoles in unified gauge theories // Nucl. Phys. B. 1974. V. 79. p. 276-284.

12. Belavin A. A., Polyakov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Yu.S. Pseudoparticle solutions of the yang-mills equations // Phys. Lett. B. 1975. V. 59. p. 85-87.

13. Engelhardt M., Reinhardt H. Center projection vortices in continuum Yang-Mills theory // Nucl.Phys. B. V.57. 2000. p. 249-313. hep-th/9907139.

14. Steele J., Negele J. Meron pairs and fermion zero modes // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. p.4207-4210. arXiv:hep-lat/007006.

15. Steele J. Can merons describe confinement? // Phys. Rev. Lett. 2000. V.85. p.4207-4210.

16. Tiktopoulos G. Fermion guides: a mechanism for spontaneous breakdown of chiral symmetry in QCD // Phys. Rev. D. 1987. V. 35. p. 732-769.

17. Adam C., Muratori B., Nash C. Hopf instantons in Chern-Simons Theory // Phys. Rev. D. 2000. V.61. p. 105018-105028. arXiv:hep-th/9909189.

18. Greensite J. The confinement problem in lattice gauge theory // Prog. Part. Nucl. Phys. 2003. V. 51. p.1-127. arXiv:hep-lat/0301023.

19. Banks T., Casher A. Chiral symmetry breaking in confining theories // Nucl. Phys. B. 1980. V.169. p.103.

20. Atiyah M. F., Patodi V., Singer I. M. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 1976. V. 78. p. 405-413.

21. Konishi K., Takenaga K. Confinement, chiral symmetry breaking and Faddeev-Niemi decomposition in QCD // Phys. Lett. B. 2001. V.508. p.392-398. arXiv:hep-th /9911097.

22. Diakonov D. I., Petrov V. I. Quark propagator and chiral condensate in an instanton vacuum // Sov. Phys. JETP. 1985. V.62. p.204-214., Zh. Eksp. Teor. Fiz. V.89. 1985. p.361-379.

23. Sharan U. Topology and chiral symmetry breaking in QCD// arXivrhep-lat/9910038. 171 pp.

24. Langfeld K., Reinhardt H., Tennert 0., Magnetic monopoles and topology of Yang-Mills theory in Polyakov gauge // Phys.Lett. B. 1999. V. 446. p.290-299.

25. Faber M., Greensite H., Olejnik S. First evidence for center dominance in SU(3) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 2000. V.474. p.177-181.

26. Engelhardt M., Quandt M., Reinhardt H. Center vortex model for the infrared sector of SU(3) Yang-Mills Theory vortex free energy // Nucl. Phys. B. 2004. V. 685. p.227-243.

27. Engelhardt M. Center vortex model for the infrared sector of SU(3) Yang-Mills Theory baryonic potential // Phys. Rev. D. 2004. V. 70. p.074004-074017. arXiv:hep-lat/0406022.

28. Lange J. D., Engelhardt M., Reinhardt H. Energy density of vortices in the Shroedinger picture // Phys. Rev .D. 2003. V.68. p.025001-025026. arXiv:hep-th/0301252.

29. Bordag M., Kirsten K. Vacuum energy in the spherically symmetric background field // Phys. Rev. D. 1996. V. 53. p. 5753-5760. hep-th/9608070.

30. Bordag M., Kirsten K. The ground state energy of a spinor field in the background of a finite radius flux tube // Phys. Rev. 1999. V. 60. p. 105019105044.

31. Gies H., Langfeld K. Loops and loop clouds: a numerical approach to the worldline formalism in QED I j Int. J. Mod. Phys. A. 2002. V. 17. p.966-978.

32. Gits H., Langfeld К. Quantum diffusion of magnetic fields: a numerical worldline approach // Nucl. Phys. B. 2001. V. 163. p.253-365.

33. Diakonov D., Maul M. center vortex solutions of the Yang-Mills effective action in three and four dimensions // Phys. Rev. D. 2002. V.66. p.096004-096021. arXiv:hep-lat/0204012.

34. Diakonov D. Vortex solution in (2+l)-dimensional pure Yang-Mills theory at high temperatures. Mod. Phys. Lett. A. 1999. V. 14. p. 1909-1916. arXiv:hep-th/9905084, hep-th/9908069.

35. Langfeld K., Moyarets L., Gies H. Fermion-induced quantum action of vortex systems // Nucl. Phys. B. 2002. V.646. p. 158-180.

36. Bordag M. On the vacuum energy of a color magnetic vortex// Phys. Rev. D. 2003. V.67. p. 065001-065029. arXiv: hep-th/0211080.

37. Reinhardt H. Topology of the center vortices // arXiv:hep-th/0112215, 31 pp.

38. Reinhardt H., Ток Т., Schroder О., Zhukovsky V. Ch. Quark zero modes in intersecting center vortex gauge field // Phys. Rev. D. 2002. V. 66. p.085004-085024. hep-th/0203027.

39. Shovkovy LA. Two lectures on color superconductivity // arXiv:nucl-th/0410091. 56 pp.

40. Yakovlev D. G., Kaminker A. D., Haensel P., Gnedin O. Y. The cooling neutron star in 3c 58. // Astron.&Astrophys. L. 2002. V. 24. p. 389-392.

41. Walter F. M., Lattimer J. M. A revised parallax and its implications for rx j 185635-3754 // Astrophys. J. L. 2002. V. 576. p. L145-L148.

42. Ebert D., Kaschluhn L., Kastelevicz G. Effective meson-diquark lagrangian and mass formulas from the Nambu-Jono-Lasinio model // Phys. Lett. B. 1991. V. 264. P. 420-425.

43. Ebert D., Klimenko K. G., Ток H. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity in a (2+l)-dimensional Nambu-Jono-Lasinio model // Phys. Rev. D. 2001. V. 64. P. 014038-014051.

44. Ebert D., Khudyakov V. V., Klimenko K. G., Zhukovsky V. Ch. The influence of an external chromomagnetic field on color supercoductivity// hep-ph/0106110. 27 p.

45. Ebert D., Klimenko K. G., Ток H., Zhukovsky V. Ch. Chromomagnetic catalysis of color superconductivity and dimensional reduction // Prog. Theor. Phys. 2001. V. 106 P. 835-849. hep-th/0106049. 12 p.

46. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, часть 1 -М.: Наука, 1976.

47. Reinhardt Н., Ток Т. Merons instantons in Laplacian abelian and center gauges in continuum Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 2001. V. 505. p. 131-140.

48. Жуковский В. Ч., Мамсуров И. В. Магнитные поля нетривиальной спи-ральности и фермионные нулевые моды // Вестник Московского Университета. Физика. Астрономия. 2001. № 3. с. 31-34.

49. Jackiw R., So- Young-Pi Dimensionally reduced Chern-Simons terms and their solitons // arXiv:hep-th/9808036.

50. Mandelstam S. Vortices and quark confinement in nonabelian gauge theories // Phys. Rept. 1976. V.23. p.245-249.

51. Schilling K., Bali G. S., Schlichter C. Ginsburg-Landau analysis of the color electric flux tube // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1999. V.73. p. 638-640.

52. Baker M. and Steinke R. An effective string theory of Abrikosov-Nielsen-Olesen vortices // Phys. Lett. В 2000. V. 474. p. 67-72. arXiv:hep-ph/9905375.

53. Del Debbio L., Faber M., Greensite J., Olejnik S. Center dominance and Z(2) vortices in SU(2) lattice gauge theory // Phys. Rev. D. V. 55. 1997. p. 2298-2306.

54. Del Debbio L., Faber M., Giedt J., Greensite J., Olejnik S. Detection of Center Vortices in the Lattice Yang-Mills Vacuum // Phys. Rev. D. 1998. V. 58. p.094501. hep-lat/9801027. 28 pp.

55. Langfeld K., Reinhardt H. Tennert O. Confinement and scaling of the vortex vacuum of SU(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1998. V. 419 p. 317-321. arXiv: hep-lat/9710068.

56. Engelhardt M., Langfeld K., Reinhardt H. Tennert 0. Interaction of confining vortices in su(2) lattice gauge theory // Phys. Lett. B. 1998. V. 431. p. 141-146.

57. Alexandrou C., DElia M., de Forcrand P. The relevance of center vortices I/ Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. V. 83 p. 437-439.61. 't Hooft G. On the phase transition towards permanent quark confinement 11 Nucl. Phys. B. 1978. V. 138. p. 1-13.

58. Aharonov Y., Casher A., Yankielowicz S. Instantons and confinement // Nucl. Phys. B. 1978. V. 146. p. 256-282.

59. Cornwall J. M. Quark confinement and vortices in massive gauge invariant QCD 11 Nucl. Phys. B. 1979. V. 157. p. 392-431.

60. Ambjorn J., Olesen P. A color magnetic vortex condensate in QCD. // Nucl. Phys. B. 1980. V. 170. p. 265-299.

61. Cornwall J. M. Center vortices, nexuses, and the Georgi-Glashow model // Phys.Rev. D. 1999. V.59. p. 125015-125027. arXiv:hep-th/9901039.

62. Antonov D. Ebert D. Confining properties of Abelian (-projected) theories // arXiv: hep-th/9812112.

63. Жуковский В. Ч. Эффективное действие в SU(2) калибровочной модели с вихрем // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. №5. с. 8-13.

64. Zhukovsky V. Ch. Regular and stochastic configurations of gauge fields with nontrivial topology // Int. J. Mod. Phys. A. 2002. V. 17. p. 914-919.

65. Skalozub V., Bordag M. Once more on a color ferromagnetic vacuum state at finite temperature // Nucl. Phys. B. 2000. V. 576. p. 430-444.

66. Schafer T., Shuryak E. V. Instantons in QCD // Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. p.323-466.

67. Engelhardt M. Center vortex model for the infrared sector of Yang-Mills theory: quenched Dirac spectrum and chiral condensate // Nucl. Phys. B. 2002. V. 638. p. 81-100.

68. Reinhardt H., Ток Т. Spectrum flow a Dirac spectrum in intersecting vortices // arXiv:hepth/0302100. 17pp.

69. Fry M. P. Fermion determinant for general background gauge fields // Phys. Rev. D. 2003. V. 67. p.065017. arXiv:hep-th/0301097-0301102.

70. Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Мидодашвили П. Г., Татпаринцев А. В. Точные решения уравнения Дирака в постоянных полях хромо-магнитного типа // Изв. вузов. Физика. Т. 5. С. 47-51.

71. Brown L. S., Weisberger W. I. Vacuum polarization in uniform nonabelian gauge fields // Nucl. Phys. B. 1979. V. 157. P. 285-364.

72. Вшивцев А. С., Перес-Фернандес В. К., Татаринцев А. В. Свойства точных решений массивного классического поля Янга-Миллса // Изв. вузов. Физика. 1985. Т.5. С. 96-100.

73. Жуковский В. Ч. Суперсимметрия уравнения Дирака в неабелевом хро-момагнитном поле // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1138-1140.

74. Борисов А. В., Вшивцев А. С., Жуковский В. Ч., Эминов П. А. Фотоны и лептоны во внешних полях при конечной температуре и плотности.// УФН. 1997. Т. 167. с. 241-267.

75. Savvidy G. К. Infrared instability of the vacuum state of gauge theories and asymptotic freedom. // Phys. Lett. B. 1977. V. 71. P. 133-141.

76. Matinyan S. C., Savvidy G. K. Vacuum polarization induced by the intense gauge field // Nucl. Phys. B. 1978. V. 134. p. 539-552.

77. Nielsen N. K., Olesen P. A quantum liquid model for the QCD vacuum: gauge and rotational invariance of domained and quantized homogeneous color fields // Nucl. Phys. B. 1979. V. 160. P. 380-417.

78. Nielsen N. K., Olesen P. An unstable Yang-Mills field mode // Nucl. Phys. B. 1978. V. 144. P. 376-416.

79. Starinets A. O., Vshivtsev A. S., Zhukovsky V. Ch. Color ferromagnetic state in SU(2) gauge theory at finite temperature // Phys. Lett. 1994. V. 322. P. 403-412.

80. Ebert D., Zhukovsky V. Ch., Vshivtsev A. S. Thermodynamic potential with condensate fields in an SU(2) model of QCD // Int. J. Mod. Phys. A. 1998. V. 13, P. 1723-1742.

81. Iwazaki A., Morimatsu O. Color ferromagnetism in quark matter // arXiv:nucl-th/0304005.

82. IwazakiA., Morimatsu 0., Nishikawa Т., Ohtani T. Color ferromagnetism of quark matter and quantum Hall states of gluons in SU(3) gauge theory j I Phys. Lett. В. 2004. V. 579. p. 347-354. arXiv:hep-ph/0309066.

83. Jain J. K. Composite Fermion Approach to the quantum Hall effect // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. p. 199-213.

84. Zhang S. C. The Chern-Simons-Landau-Ginsburg theory of the fractional quantum Hall effect // Int. J. Mod. Phys. B. 1992. V.6. p.25-38.

85. Myrthy G., Shakar R. Field theory of the fractional quantum Hall effect-1 // arXiv: hep-lat/9802244. 18 pp.

86. Zhang S. C., Hanson T., Kivelsson S. Effective model for the fractional quantum Hall effect // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. p. 82-96.

87. Iwazaki A., Morimatsu 0., Nishikawa T., Ohtani T. Quantum Hall states of gluon quark matter // arXiv:hep-ph/0404201. 12 pp.

88. Ebert D., Zhukovsky V. Ch. Chiral phase transitions in strong chromomagnetic fields at finite temperature and dimensional reduction // Mod. Phys. Lett. A. 1997. V. 12. P. 2567-2576. arXiv:hep-ph/970132.

89. Gusynin V. PMiransky V. A., Shovkovy I. A. Dimensional reduction and dynamical chiral symmetry breaking by a magnetic field in (3 + 1)-dimensions // Phys. Lett. B. 1995. V. 349. P. 477-483.

90. Вшивцев А. С., Магницкий Б. В., Жуковский В. Ч. Клименко К. Г. Динамические эффекты в (2+1)-мерных теориях с четырехферми-онным взаимодействием // ЭЧАЯ. 1998. Т.29. С. 1259-1318.

91. Klimenko К. G., Vshivtsev A. S. ,Magnitsky В. V. Three-dimensional (фф)2 model with an external nonabelian field, temperature and chemical potential 11 Nuovo Cim. A. 1994. V.107. P. 439-452.

92. Вшивцев А. С., Клименко К. Г., Магницкий Б. В. Трехмерная модель Гросса-Нэве во внешнем хромомагнитном поле при конечной температуре // ТМФ. 1994. Т. 101. С. 391-401.

93. Вшивцев А. С., Клименко К. Г., Магницкий Б. В. Глюонный конденсат и трехмерная (фф)2 теория поля // ЯФ. 1994. Т. 57. С. 2260-2264.

94. Alford М. Dense Quark Matter in Nature // Prog. Theor. Phys. Suppl. 2004. V. 153. p. 1-14. nucl-th/0312007.

95. Dunne Gerald V. Aspects of the Chern-Simons Theory // arXiv:hep-th/9902115. 76 pp.

96. Semenoff G. W. Canonical quantum field theory with exotic statistics // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 517-526.

97. Rajagopal K., Wilczek F. The condensed matter physics of QCD // hep-ph/0011333v2. 91 pp.

98. Zhukovsky V. Ch, Vshivtsev A. S., Eminov P. A. Thermodynamic potential and oscillations of the magnetization of a relativistic electron positron gas in a constant magnetic field // Phys. Atom. Nucl. 1995. V.58. p. 1195-1201.

99. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов Фермионы в случайных калибровочных полях и нарушение киральной симметрии. // Яд. Физ. 2004. Т. 67. С. 2285-2296.

100. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов Нулевые моды оператора Дирака в калибровочных полях вихревого типа// Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 140. С. 410-423.

101. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов Модель нарушения киральной симметрии с газом фермиводов // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2003. № 6. С.60-65.

102. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов Ферромагнитное состояние SU{2)-вакуума // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. № 4. С.60-62.

103. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов Ферромагнитное состояние SU(2)-калибровочной модели теории поля // Вестник Московского Университета. 2004. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. № 6. С. 57-60.

104. В. Ч. Жуковский, О. В. Тарасов, Д. Эберт Цветовой ферромагнетизм 8и(2)-калибровочной модели теории поля при конечной температуре// Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2005. № 1. С. 60-68.

105. Жуковский В. Ч., Тарасов О. В. Цветовой ферромагнетизм SU(3)-калибровочной модели при конечной температуре // Ломоносовские чтения-2005. Секция физики. Подсекция 5. Теоретическая и математическая физика. Тезисы докладов. С. 84-86.