Классические и квантовые эффекты в моделях теории поля, связанных со струнами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



Академия наук УССР ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

БЫЦЕНКО

Андрей Александрович

КЛАССИЧЕСКИЕ И КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В МОДЕЛЯХ ТЕОРИЙ ПОЛЯ, СВЯЗАННЫХ СО СТРУНАМИ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КИЕВ — 1991

\

Работа выполнена в Ленинградском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Акулов В. П. (ФТИ, г. Харьков), доктор физико-математических наук Казаков Д. И. (ОИЯИ, г. Дубна), доктор физико-математических наук Климык А. У. (ИТФ, г. Киев).

Ведущая организация — Харьковский государственный университет.

Защита состоится « 30. » 1991г. в .1.1. часов

на заседании специализированного совета Д.016.34.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теоретической физики АН УССР по адресу: 252130, Киев-130, ул. Метрологическая, 14 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики АН УССР.

Автореферат разослан « УР. » ^КЩуьф1. 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. В. Пересыпкип

юя^зк I . з _

t » r f

0Щ1Я ШАКТШЗТИК1 Ш03Н •• иссарта^алЬН0СТЬ те»т. Теория струя, пасчигьюапцая уяа даадгата-летнюэ историю, привлекает вникание последователей, как ваибсиве многообещающая теория, сбъедпнявдзя все фундаментальный взашаода?-С1ЕЗЯ, включая гразатационшш. Последовательная квантовал теория суперструн, органически шслючаксая в себя суперсаыкегрию, идея Калуиы-Клейна я нелокальное™ объектов - носителей фундаментальных взаимодействий, формулируется о пространстве-времени (ПВ) дэ-сятн измерений. Указангая теория монет быть реалистичной в тез случае, если в ней происходят динамическая комтктяфнзашя дополнительных шести измерений некоторого компактного подмногообразия Ш. Такой подход к задачам унификация взаимодействий стгаулируе? изучение топологически сложных мюгсобразиЯ, на. которых формулируются индуцированные пэ (супер) струп расширенные суперграягта-цяя. В построении общей физической картины теория частиц a ях. взаимодействий естественно использовать нз только струны, но в обобщенные нелокальные объекта - (супер)р-брагти (частгща щга р ~ • О, струна при. р и С, мембрана пра р = 2 п т.д.). Ряд своЗстз кглп-toboil теории (супер)р-Орап можно рассматривать, используя кзаос"-ша схеш квантования (супар)струн. Возникает валкая"проблема, построения квантовых еупорегаямтрячяых иоделеП» ассоциированных со сгругп?.я, на топологически нетривиальных шгогсаерпых Ш, Ечзяяовс-кие энергии, которые соответствует квантовой теория (супзр)струп, существовали на ранних стадиях зболщяй ВселэгаюЯ. Таяли образом ' задача, физики частиц и космология сказывайся тесно гаасмосвязап-Hir.ni. Апеллируя к тано.1 взагшоешхзп замзтим» что тополегпязегая структура ранней Вселенной, во-мдииоиу, могла определяться. <Jyn,v.-иенталышми {сулср)р-браппкх еа запзлняяя&а. Пэдадрглем. Eosrotrj . необходимость п цряшапаальяув валкость изучения ргшкз.1 ВселеяЕоЗ ' (ак^яцяоннсЛ я фрадазповскоЗ) в кстепста сэпр2:.тзиг.сго г.аз^;хя. (супзр)р-брап, Таким образов, пссяедоглкяя а отгцогкыа пзаяютгз-чзстаз приложения классячесхгк я пвзнгогзх аспзагов распзреякнг я ¡илябровочния. 'супергравятадЕЯ, колокалыаа шумлеЭ, спязавлкх со саруяамз, диктуют необходймость разработал. ¿&ф8етяв?ш: -теоретико- . полевых когодоз ¡хсслвдо&ыгз, з sea «яма п. натрздгцзонпого авалк-за ва тошяогачесет яв1рп2Еальэ»: айогсгиранх кггогообразаях.

Саль работа, Вазнообразяе связей и фяэических цршюаений ассоциированных со струшлш теорий воля следует ограничит» дяя более глубокого акалаза конкретных задач. Поэтому далью дассертаааокной работа является изучение классических к. квантовых аффектов в полевых моделях (нелинейные сигка-иодели, расширенные и калибровочные сугоргравитации, (супер)р-бранн) на ПВ постоянной кривизна, построение я исследование космологических сценариев с участием этих моделей. Еасс;.:отреяц ЛВ.с топаюгаяыа. Т"*, 1,2,

3, Т\ соответственна и-мерные тор и сфера),

{ЬГ-двумерное пространство Лобачевского, дзскрезгная группа его изскяетрнй Г действует ка Е2 без нелодаианых точек) и их ыногокер-

кае обобщения влда Т * Н/Г ( р = 1,2,...).

ручная повязка. Б диссертационной работе рассмотрены классл-ческаа в квааиклассичестае свойства неляне.'.кых елгма-моделеа. Ыс— следовала двумерные сигма-модела, связанные с релятивистской стру-ео2, е. епарше предлозено креобразоваше. устанавливающее соогвст-сггзе кед^ решениям! кзлеровше сигканиоделеД и нелинейными кат-рдшвая састеггаиа с взыюнзншашши взаямодеДствяш. Дреобраэою-

с^щзстванна обобщаем известное соотнозеше ПолтЯера, поскольку. -йсшяьзуется дая обгззго ¡касса иеркых калеровых сст?.'л-ыоде-' '■

Ел основа тшбровочкоЛ сяшваяентяостп ЬД -пар нелинейных йлшдаошшх уравнений (сягиа-евдель,, иелянейкое ур&шгешиз Щре-дпегара (НЗШ)) впервые состроено функциональное врйобразование, . созвогявдза излучать яз ргсанхЯ ЕУШ с 5Ш2)-изотог£этесксй сяг,г-шзрагШ рошзкая от ого ез уравнения (в той члеле а М-солитошше) с Езреиакнша. ковффютеигама с иг цпального вида.

Дналазарувтой кат од квазикла'ссяческого квантования ноляней-ео2 сето-^оделл. о б 17(2)~фе1ьаона}й1 во внешние палях, определяемых: Еогзкцзалаш о сосредоточенна носителем. А'лтод позволяет хнчяедять го внепнеа предельно неоднородной поле квантовые со правки, рэзнакаквда вследствие падяразапае вакууш.

Иссдадована квантовые свойства суперсньиетрнчках теорлй в расЕзрекшх супзргравпхацай ка четырехмерных ЕВ с топологаяжх Ми. Вдарвна доказана шруиеше тождеств Уорда-Такахаси ара■нулевой в шяудевой ва&гвратура в четырехмерной хсадшти^япнрюваяноЯ 1а тора сушрсЕщетрячно»" кодели Васса-Зушяо, различные''«одз^гхацаа

которой входят как составная часть в те орта суизрграютаогл. в суперскыметричных моделях ка тополсппзста ютрлЕпльнод Ш фока рассмотрен механизм квантового нарушения сулерсшыетриз.

Построены однопетлевыа квантовые эффективнее потенциалы э су-персимметрячных моделях типа Калуцы-Кле:!иэ, поро.здаедах 3 ыг.--:о-энергетическое предела из (супэр)струн га ПВ с топалогяяли*^ • Влсрвиа приведен обяяЛ рецепт шчисления квантовых юкуумшх анаг;-riiiî компонентных полей (эффект Каз;г.::;ра) суперасг&зтраяных моделеД 1и топологически нетривиальное ПВ фоне.

ВглрБые обнаружена возможность сокраяэная вакуушшх энергий в калябровочннх расширенных суперграватациях, псмгактя^идоровашс,'?: i;a торы, прз нулевой а ненулевой температура, что решет для указанных те ори Л проблему космологическо.1 постоянной.

Развит метод квазиилассического квантовакая открытых а заш-нугнх (супер)р-<5рян, а также компактифицированных вз. тора (супзр) р-бран. Впервые вычислена свободные энэргал этих нелокальных объектов, которые записаны з модуллр.чо-я.чварланткоJ фориэ. Д.1Я узких (супор) р-бран впервые наЯдена критическая темтратура (геапзратз?-ра Хагедорка), отвечающая точке фазового пгрзхода.

Рассмотрен класс гиперболических ПБ Кдпф$арда-)Сл£й!П о 'топологиями ЦяНг/Г та которых вычислен эффект Казн?,яра, пгравдаД важную роль п квантовоЯ теории мембран. Вперваэ долучонн явкнз формула для детерминантов лаплассианов над многообразаяг.яТ? л'Н/Г в терминах дзета-футаш Сельберга.

Впервые предложена схека построения ип$шщпонкоД а фРЗДга-новской стадий эеолкцля Вселенной аз любого тяпа кс.'гглхтл&гщфо-ваннах га тори суперструн к вуЕ9|г.тас.<5глк.

I¡пучкая п .практическая пзт;соть; Егзвзтпа з ддсссртацта г.'.2- ' тодн исследован^ а получзшкэ результата .могут ifJixit прзлзнешхе ' ъ построения супзрсккиетрачных ноделей, кванте:»! ГБавэтедка à раеззрекной сувзргразатапдг, кгакговнх теорий xsbosïsskhj»:' ебь-сктов, космологпческдх код елях ранкой Взелегшо;!. Результату дио-сортацл;! могут слуглть ochoeoîi пря исследовании классических я яваптовах айектоа указанных тесргтЯ вз фоно топэлогнчесгл негра-гдальшх многсобрасзй, в чаегкоегл, гхногообрагпй. постоянной-кра-нчзкн. Еалучоятае результата таю» кохяо вассмзгрпвзть над ваашгЗ зтаи прд анализа ociioej-îx иоотчзстгзиних я качественных гаксмо-;.:зрностей квавтовашнх пагэа, которые следуег сжадать в ДВ о as-

трлЕзальной топологией.

Основные положения диссертации, выкосилше на заигегу. •

I. Предложено обобщение преобразования Шлмайера, устанавливающее соогветствяе «езду решениям® 50 (з)-сигш.-модели к. урав -ваяня синус-Гордон, зля общего класса халеровых нелинейных сигма-иоделей, связанных с релягквЕСТской струной. В результате иреоб -разошний, отвечавших кнсгантонному сектору и уравнениям движения кяральяых сагиа-ьюделеЛ, получены нелинейные матричные системы с еаспоненагалькш взаимодействием и явные формулы их решений (ин-стантош, мароны, решения с конечным действием для многообразий €Р с изтрккой Ьубяни-Штудз, кара и поликруга с метрикой Бергмана, промолотого 1фуга с ыетротой Кобаяси). Цредлагаемая конструкция дает тавяа уравнения Буллоу-Додда, Лиувялля, бРь-Гордон.

2- В рамках общей схемы калибровочной эквивалентности 1»А**шр наяннеЯдах эволюционных уравнений, связанных с сягиа-моделью, построено функциональное преобразование, лоэволяшее получить из рс-севи2 алассического НУШ с $Ш2)-азотошческой симметрией резок;:н етого уравнения с сеременньаш коа]4шшентами с печального вед*. Еайдоиы явные [^-солатонные рзвекая КПП с перемешима коаффиид-ентаьз.

. • Б» Р&ЗЕД? Егзтод кваззклассаческого квантования нелинейно,'5, сагаз-седела с $Ш2)-фер:аюна!Д5 во внесних нолях, определяемых Еогоицкакаьа. с сосредоточенным носителем. методом, основанном на Ерадсгавленаа. собственного времени Фока-Швянгера, вычислены квантовые пэпрасга, возникающие вследствзе поляризация вакуума.

4. Доказано нарушение ъовдеств Уорда-Такахаш в чатырахыар-Ш£ шаткгпзряцировавинх га торы суперси&ыетрячкых теориях поля (сушред^зхрзчная ¡¿одаль Весса-Зумано фа нулевой в ненулевой ^гапгхатуре). Исследован механизм квантового нарушения су перс ш-кзтргЕ^-падзпсФУеиый температурой, и натрлааальной Ш топологией.

5. Цхзхсхаыген обдай рецепт вцчяйяегад квантовых вакуумных овзргаЯ кошкзнеюсшх. голеЛ (зф$ест Казшегра) в суперсш^етрцчкь'х кодадях, в рагкшрекшх супзрграютацдях, в теориях гкпа Калуш-КлеЙва, ассоцаированных со струвамг, на четырехмерных к многомерных Ш ыкогосбразлях взда и. М^хТ*1 . Приведены условия вза-ейеого с окрасе еля квантовых вакуумных энергий.

6. Б контексте оба ей, пройдены космологической постоянной, стоящей в фазике частиц, показано, что в кзлкбровочшх распаренных

супергравятациях, к ом па ктлфшшр о и kei х на торы, пра нулавоЗ д ненулевой температуре возможно сокращение вахуу;яшх энергий. В од -нопеглевоа пр;1б.-1кен::;; сокращение вызвано существованием ненулевого агента Казимира»

7» В ражсах метода пвазикласслческого квантования вычислена регуляризованные квантовие вакуумные энергии открытых я заданутпг (еупер)р-#раи, а также, компактлфгсдроБзнккх нз тсри (супгр)р-фая. Свободная энергия (супер)р-оран предстаа^ена в модулярно-инварзан-тноЯ форма. Б пределе- узких (суг.ер)р-Оран найдена критическая те:л-пература Зягедсрна» установлено существование фазового перехода с СолызоЯ скрытой' теплотой.

8. В птантогой. геометрии мембран вычислен (при нулевой, а ез— нулевой тег.же-рнтуре) эффект Казгсчира, отЕечавдиЗ Сезмассовому деЛствятел-шгс^у скалярному полю, для одного класса гнпзрболичзг — них IJB Клгг^рорда-Кле.йна с топологаякд !Rx НУГ . Ередсташшвз таа*Ф ягяке формулы для класса детерминантов лапласианов » c-rasars-msx с квантовой геометрией р—сраtí, деЛствувдях в лпнейннх действительных вехторних расслоениях над многообразиями Тг'хНУГ Начисления основаны на формуле следа Ссльберга для компактных Романовых поверхностей Нг/Г рода i.

.9» Разработана обдал схема построения шфшвганноЯ а фрздкз-нопсиоЯ космология d контексте компактифицированных на торы суперструи {типа I ¡i Ю ü супермембран.

Апробация работы. Основные результат, диссертационной работа-лазяяднвались. на Г-,1 п 2-Я научных конференциях отделения ядерно.1 фи-зики АН СССР по проблемам адрояных взаимодействуй Шосква,1985, 1988), на туч но."í конференции отделения ядерной физика АН СССР "Частяпи и ядра пря высоких^ энергиях" (Ыоскса, 1985), геа Всесоюзной конференция ш проблемам ола<3?« я сглышх азаккодэйстгнй. и ' • гравитация (Москва, 1987), на ВсасоозноД кс'фзренцсл "Совреыентга теоретические а экспер:иэнтальт;а проСлегт теории относлтб.-ыюстд а гравитация" (Ереван, ISB8), ка 17 Иездународно» рабочей совещании по н&лянгйяыи я гурбулентгшгз процессам а физике (Киев, 1989), на Efe яду народном' симпозиума по космология, релятивистской астрофизике и фундаментальной ф;тто "?огяо-1ШГ .(Вшпюбретанзя, • Брайтон, 1990).!*атериалн дисйертацкг докладуаались гл сессиях отдела» гил ядерной фаэяка АН СССР (1365-1929), а raïca да паучных сест-кзрах Лаборатория.гзорзгачесдсЗ фззпст СШ (Дубка), йпотазута тэ-

- е - , "

орегической фязист АН УССР (Киев), физико-технического института АН УССР (1арысов), йнсгятуга фпаяка АН БССР, Лаборатораи катемати-ческах цробдеи статистической флзккд гм.£.А.Стеклоьа (Лешн-град), Флзано-технэтеского института М СССР (Ленинград), Лашш -градского государственного укгверелтета, ^шнградского государственного технического университета.

Дубликата. Основные результаты дассертацая оцубяшгогаяы и 30 работах.

Объем в структура диссертация.' ¿рссерт&яы состоят из Введе-яия, пята глав» Ег-кявчениа я списка литературы, содержащего 163 кавааноБания литературных источников. ОбаиЯ объем дассертациошюл рзбохы - 209 стражи иапшолясного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во вззедакии обсукдается актуальность проведениях б диссертаций. исследований, представлен краткий литературный обзор затрат-£ае;их. в работе классдчос$с;:х и квантоьнх асхвктоа половых модслеЛ ка топологически нзтравгальном ЕВ фоне, связанных со -струнам». И; ггдеяо ошсаше структура диссертация я ее основных тяожошЛ.

Вп первой..гдве-?- рассмотрена двумерные нелинейные екгаа-моделк, ;:сторис, каа известно, связаны с релятивистской струной. Действие струга, распройтр^шцх^Яся к:а нетривиальном ч«не безмассовах полей, согсаядег с isficicasa обобщенной сотка-модели. Сра атом »Кективнзс У1%шссшя дашйвгя струш аигавалеипа услолхигл «онфортной mtfcipz-шггвостг слкг;-;.:одел;г, что указывает на соответствие между струка-ш и езгаа-аоделышмя обьееталгх. Более глубокое понимание сигиа-гддельного нодхода к теерпк струны предстаьдяет значительная шгге-psc, поскольку ¡сзпет пргвеста к кепертубативной .{«рг^лировке тео-рза, Дзуизрные нгдиизЯике сшш-моделя, к и особенности кяралыше t!OÄCd,. .ойгадаюг рякса ветравяашшх тойологачосках н акалггачес-хзгх сьойсти. Ииучакае калеровнх кяралышж сягкмлодедей было сткау-rjxpozauo osasaxcaS заметнее елиякес работой Еатиайера, в которой ссояедОЕаяюь гжраш&в паяй со значения» та шюгоаериах_ сферах, а а шаарзамы кяралынк етлей нзбошнос размерностей. В частности, в пзеадоекувдовоа двумерное пространства Еаг.лЯер усгаио-гдл соответствие цзкду репенхяЕ! £013 )-сагаа-г.'.оде.т& к уравнения сднус-Гордол, ЕЕтегркруеаого цетодаг обратной задача рассеяния.

В $ 1.1 прздлогеко обобщение преобразования. ВХ'^йера для об-

9 -чего класса сг-етрянх палерошх киральншх c;srr:>.,'.3.tex.3ii с функционалом дэйствхя а тог.аюгпческ.тл я^р.тдо-.г .

S-У WHW_ri + ui<«

Здесь ft'' Cit .it ) - кэлерота метрика, (li', tl.) - поде_, прпншлавцее значение на к&теровом многообразии

AS3 = ïi'J iiî^âïv1 . Сбой -ценное преобраз'овзпзз позволяет получить нелш^ныа слстгпы вида

3L+zà^+rf-o, (3)

и } i

где С - пг.могсмЕ'Кагриш (в том числа я. картаноас^огс тага),!) - неоднородней 4xù'i, предсгавлягои.1 собой комбпкадр .сгтанай той я g системы, ко кгкьаей размерности, т.е. уравнения -смеют ргкур -рентний вид. Опгзчеш случа и, когда D* = 0, либо существует прз-образонание, прл котором D = 0. Система тяга (3), нал п вса си-, гул-модели, заданные m симметрических пространствах, обладая? наследственно;! дуальной сиккетриеЛ. Кзлпнейнка с.чсте.'.ш подучепк п результата преобразовав« реке mil уравнений" (анш) йуальностя (многообразия СР с метрикой Субини-Штуда, воликруга а шара с г.та-rpratolî Бергмана, проколотого круга с метрике'! Кобался), а такг.а реяениЛ полных уравнешЗ дветения ЭГмера-Латфазп'а исходных кяраль-Н!(Х моделей (для многообразий (Г.Р ). Нелинейные сясто.мы нвллкс-' ся обобщением вполне интегрируемого '.'лтрйчкого уравнения ЛЬгувллля, возникающего в квантовой тзории релятивистской струга, ¡1 к.-.еет важние физические врилохенилг обейденпе уравнегсй Гинзбурга-Ландау,. теория Дебая-Хкхксля, нсабелеви п. нелокальные теор!'л соля и др. Из решений исходных к:гралыг-;х моделей (ипстантсла, "ерош,решения с копечглм дс-Лствнсц <Г'Р"~ л. 0{2'л+ 1)-::оделз") п явном ввдй получены решения пеяхноИкнх систем. В частнс:! слу.чаа'одномерного многообразия £) Ереддссзнкаа э дассертапш! cxsra преобразовала приводят к уравнетпел' JTairaca, Даусаяля» Бзяях^-Додяз, Sfi-Еордон.

В § 1.2 cooTKoeejm кззду ьростеД:, сака-модааг> а Ю1Д, устакоздэйшга ка оспоез гялзброзочноЗ камаалвЕХНОс-т LA-дар" ведакейнцх оволппош-нх урагяоидЗ,, пряводге г. построена» функционального вреобрасовандя, яотороз позволяем получать ргсензя ЕШ

(6)

- 10 -

(в том числе и N—солитояные) с переменными коэфрициентамя специального вида, функциональное преобразование имеет вад

Х - единичная матрица, ~ третья сшновая матрица &уля, а связывает решения Ф = ( Ф*,Ф) классического КУШ с би"(2)-изотош-

—*

ческой симметрией с репениями X (% ,Х ) этого же уравнения, но с переменные коэффициентами: --

(-Цт^ + Н[д?3)?-о.(5)

Б формулах

(4) - (8) ¿(t), fid

), p(t ) - произвольнее функции архумента t , t),^(2,t) и Ъ(% , t ) - дробио-рацлональ-

гше Функции от j3, ij,(Z)Esci;x*j3 и их производных;

S( £p = {Щ ^ - SiJ^ )/ - вроизводная Еварца. функ-

циональное преобразование (4) позволяет использовать метод об -ратной задачи теории .рассеяния, хорошо ЬпробироваяшЛ дал ii/Ш, и допучать явные решешш ^-солятонггого сектора (5).

• йсследсваняв сигма-модели. с фермаонаык. посвящен § 1,3. .Такая нелинейная.модель каходгге ппрохое применение в квантовой теорий, где интенсивно разрабатывается методы квантования подобных систем. Метод кваэякдасепческого квантования особенно полезен-в тех слу-

- ri -

чаях, когда нелинейные модели не являются вполне-интегрируемыми й точные квантовые ответы получить не удается* Подобная ситуация часто имеет место при исследования вакуумных поляризационных зф -фектов, возникающих при взаимодействии квантовых полей с внепшрма классическим! неоднородный! полями, нарудаздтаа симметрию исход -ной системы. В диссертации анализируется метод квазиклассическсго квантования сигма-моделл с SU(2)-фермлонаш во внешних полях, определяемых потенциалами, с сосредоточенным носителем. Летод оо-. нован на использовании представления собственного времени Фока-Швингера и в предельно неоднородных полях позволяет обойтись без локальных перенормировок внешнего поля.

Во второй главе обсуядаотся квантовые свойства суперсимметричных теорий и расширенных супергрзвятаций на четырехмерных ПВ многообразиях вида М(1 ,. анализируется механизм топологического нарушения суперснмметрии.

В разделах 2.1 и 2.2 на примера модели Вессз-Зумияо рассмот -peno нарушение суперснмметрии. за счет радиационных поправок к первоначально суперснмметркчному действию. В рачках процедуры размерной регуляции доказано нарушение тождеств Уорда-Таглхагл, отвочаю-щих преобразования:.! суперсимметрии модели Весса-Зуадно при пулевой и ненулевой температуре. В однопетлевом приближении, например, пару эд но тоздество, связывающее собственные энергии Г , , Г — боэе (А) - и ферм«. С Ф )-полеЛ: ^ J3

'.¡мпульсы рд = рд(и ) и Рф = ) (lté 2 ) определяются выбо-

ром топологически неэквивалентных полевых конфигураций (ТНШ) компонентах полей мульгиплета С А , ). ТЫК действительных скаля -ров или спиноров над многообразие:! П гласспфяцнрузтся алзмедхаю. одной я то:? so группы (топологическая двойственность) Ц1( M ; Жг),

первой группы когомологяй M с коэффшиеотаиз в Ег. Каддуэ солевую конфигурацию параметризует топологическое, число, твиьт fie: с НЧМ ; Sj). Для многообразий M,v » например» допускается. 2,ь

ТНПК (твистов, отвечандих с топк;г зрзкзд алгебраической топология первым классам Ога$»эля-7иткз). Предполагается, что выбор ТШК деЛ-сгвитальных скалярных и спигаршх. полей совместна. о среобразова-

- ±г -

ниши суперскггдатрпн классического действия ткарзь, .Еегглговыв ро-цравки приводят к нарушению суперсанметрии (нарушается, например, тоздесгво (8))„ которое вызвано нетривиальной топологией ПЗ и ненулевой температурой. Цри этом в первоначально бгз«ассовой модели возможен эффект топологической генерации касс частиц. При перехода к ПЗ 1.1ннковского петлеБые поправки к кассам, зависима от топологических свойств Ш, обращаются в нуль, что подтверждает результаты других авторов.

В § 2.3 обсуждается однопетлевой аффект Казимира в суперслм-¡-■егричшх квантов теориях паля, ко:лпш;тифкцяровашшх на торн. Традиааоянса определение, эффекта Казимира, газ конечного язяеязиая плотности вакуумной энергии (или более общо, взкууикого среднего тензора энергии-импульса) квантового паяя должно, быть изменено. Именно, теперь следует говорить об пз^енеияи вакуумной энергии квантованного супер поля яла в компонентам $ор:ил.лз.ме об изменении некоторой алгебраической суммы васуумнкз: энергий, отвечающей бозе-ферж поля:.!. БнвхпГ: долгое время цредметогл исследования в квантовой теории поля в искривленном Ш, аффект 1Сазж.:лра в последнее № становится объектом повышенного в контексте суперсим-

шгрячшх теорий. Одка из осяохшх пр:пип: эте.'.гу - проблеял малости сосмологачесасй- еостояшюй в кабдедэеаоД части Вселенной, которая, яо-аддгйоцу, кесе® .быть ргсака в рс^сах судерсошгтркчных квантовых теорий а силу хорошо извеслак свойств последних - взаимного сокраценгя вакууглнсс энергий разша типов колей, составляли су-пзр:.!5'льтикл2ти. О$ор;.:ударовац 1.:агод расчета вачислеш аффекты Казашра в суперсюл'летрпчных моделях Вгсса-Вуглиио я йп?а-.'£ш1са с N - I (для произвольной ксисаетной калибровочной группы) на фоне

ПЗ с ТОГОЛОГПЯПЛ и ,

Обдай роасго шчпелешя аффекта Казимира ъ теориях распаренных су пзргравкацзй содержится в § 2.4. В однопатлевси приближении эффект: Казпора явно вычислен для "чистой" сусергравитация с N=1, ( М = 5)-супзргравг.гас:;:, сглренноД с ьатеряалышми поля?.:;! и полегл Яяха-Миллса, супгргравлтациИ с N = 2,3,4, 8. Например, для вффзнта Каэлшра в ( N = В)-супарграви1адии ккоеа: р' . ^ / „ ^ , к

СУ sunt All

<т >

ген JïL

^ 10...0 " нЮ..-O

ао)

тлл-гп/тлулхса рассматриваемо;! теории, D - ренор.млро -

ne \ I - реноркированное вахуушгрг среднее тензора знер -

глппцЗ сяалярЕнЗ гроппгатор поля спппа î , сулашроваше в (10) производится по зсс.'л 2п допустимым .\1ульглплета.ч палей в !îlv ,

о чем свидетельствует символ , 2,л j^...,].,

im - ÎV —i-TQp—

пя дзета-функция ЭпжгеЛгга» {£' = Mag (I, ААь -I, - +5^+1/3^,

- - Л/3-5п ). Летально анализируются условия, при которых еоз.\:о;яко взаимное сокрацекне вакуумных энергий в указанных теориях.

§ 2.5 посвящен -проблеке сокращения вакуумных энергий в кали-Сровочних расширенных су гюргравптацлях, ксмпактнфицпровашшх на тори, при нулевой ¡1 ненулевой температура. Калибровка расширенных су пергравпташ.1, индуцируемых при снонтанной коипахгя^икациа боз-улссовк;.! сектором (супер)струн, приводит л появлении дополнительных слагаемых к действию. Поэтому в халибровочшх расширенных су-пергрлвитациях встает вопрос' о сокращении таких слагаема (космологических постоянных). Версия калибровочной супэргравигацгш о М= 4, где галибровка 50(4)-супэргрзв:1ташш осудзстзляется л' группа SLÎ(2)x 5U(2>, a теория зависит от двух глляброзочншс допета нт связи, проанализирована з диссертационной работа, Еродс.".о::-сгрироЕа!ш условия сскравдкяя 'коаюлогаческоЯ костояккоЗ а кгаото-вой калибровочной супергрзгатацда с N= Л. .".з.такнгл есхрэдзтаг грпмэнкм для г'ляекгальпо распираете! гачнСрозочнсЗ суперграпп-тацил с N=s 8.

В глагз а рззрабсташшЛ з гр?дидуадх разделах глтеглтячесилЯ аппарат применяется для изучения квантовых свойств супзрспжзгрдч-кнх теория типа Калуца-Югейкз на ПВ ¿ягогообраэяяг гида

Суперсижетрпчнне модели Езсса-Зумзно (при нулевоЗ я кзпулз-воД температуре) и Янга-:.!дллга с M = I рассмотрен:«' в § ЭЛ. В -терминах (it + р)-изртшх дзета-^уакциЛ Зпзтe'âm п:п::слепг одпэпат-левие эфЗектппща потенциалы гтпх'моделей. ДрсакалнзгроваЕц усло-?..'.я выбора ТЖК дсйстЕИтелышх скалярных д спгворных волеЗ, пря

которых эффективные потенциалы обрезаются в ноль.

3 § 3.2 приведены квантовые вакуумные энергия в (' N= 2) -кираль.чой супзргравиташм; Эта версия супергравптации свободна от гравитационных,аномалий и порождается'безмассоЕым сектором • эффективного. действия суперструны типа П. В (компактифицированной на многообразие Т°). В Ш с топологиями х TS а;х},ективное действие теории содержит космологические, постоянные - плотности квантовых вакуумшх энергий компонентных поле.1:, которые вычислены явно в терминах дзета-функций Эштейна. Выбор суперструны Ц В не является пришигаальшм - развитый метод вычислений может быть использован для других типов (супер)струн (й других компактиЛикациЛ). Например, при ко:.!пакт£'4нкацнп суперструн на фактор-многообразия Калабп-Яо, где действуют-дискретные группы изометриИ, известны основные черты порождаемых расширенных супергравитацлй. ¿то позводл-ет вычислять зфрект Казимира в теориях супергравлтаций, а тип струн проявляется в величинах этого эр;екта.

ГЛава 4 содержит исследование квантовых свопств обобщенных, в сравнении со струной, нелокальных объектов - (супср)р-бран.

Супермембраиы ( р = 2) при конечно?, температуре T=J3~ рассмотрены в § 4.1. В диссертации развит метод квазиклассического квантоЕанпя мембран в калибровке, аналогичной калибровка светового конуса, часто используемой в теории струны, ¡¡а орнове этого метода вычислены регуляризованные (обрезашс в ультрафиолетовой области) квантовые свободные энергии открытой п замкнуто;!

F ( ¡3) ориентируемой супермембраны:

-IV " • 1

• £ . -ч-Л. \

где 0, , - тата-функцак Нкобп,Ъ % = 1%ditUj Ц j, SI = (Та /20 ) iiia^Ct, с&/af),a и б

- параметры, отвечайте лянеЯшш размер мембраны. функция. Hfl , Qc , Н и Q определены следу кеда образе;.!: -

(ЗдЛ)- П {^ШпиЩ,

Яч

П«о

Б пределе узких супермембран найдена критическая температура Д. (температура Хагедорна); при . . Показано,что

есть два типа физических теорий: открытые и замкнутые супермембра-ии. ¡'мсино,. открытке супер.чембраны допускавт существование равновесного состояния при температурах меньшие температуры Хагедорка. В контексте космологических сценариев температура Хагедорна определяет верхнее критическое значение температуры во Вселенной. С другой стороны, для замкнутых супермембран возможен фазовый переход при некотороЛ критической температуре. Фазовый переход происходит при г.тзнковских энергиях в режима квантовой гравитации, ия-дуцируемоЛ супермембраноЯ. ^сходимость однопетлевой свободной энергии можно интерпретировать как указание га существование новой • фундаментальной теории при температуре, превыкащей критической значение. Процедура обрезания возможно не только формальный метод вычисления, но является способом определения "стнямальноЯ длины" или некоторого характеристического масштаба, в Природе.

В § 4.2 рассмотрена кшнтопт энергии тмглэт.'фгцпревлягах супермембран. Общая процедура разработанных в диссертации вычисления, вклэтаюцая метод квазиклассического квантования протязенних объектов, позволяет получить свободные энергия замкнутых компактифицированных на торы супермембран. Кшнтоаад вакуумная энергия зависит от выбора ТНПК скалярных и спинорных солоЗ, отвечаизих нормальны.! модам сулермсмбракы. Параметризация осукествляетсл ри~ . Сором характеристик (I , Ь тэта-^угасдоЯ J (Н I -Ш » которых зависят функционалы мембранных амплитуд. Ври Т » О ( - а) ) существуэт Т)ЯИ полей, для которых рс(р = оо ) 0. Еодобная сз-

туаода?» вообще говоря, свидетельствует о нарушении суперсимметрии. Критическая температура компактифицированной ка торы супермембраны совщ£$£й -с температурой Хагедорна супермембраны на фоне М^ КЛ

Казимира в теории (супер)р-бран посвящен § 4.3. Получены '(й&йадЩые энергия. открытой и замкнутой ориентируемой супер-р-бракы: '

^^«^»П^о! |>0Ч(0| Ш , (14)

£

« í ■ х Уг -(С-р'О

* . -я 4.

где Л = зГ^а, а а* ,

I) - число измерений ИЗ. Асимптотическое поведений функций Н„(Л) , СЦИ), Н($,Л) , ЩЛ) при %-*0,со таково:

^Г/2

. - ~ щир+О(Ш)

I

(is)

ki?h гср), -о ' , •%

ахт^щ j у

Бдэсь Р( 5 ) ~ гак.а функция, £(5 )-дзева~фуккшя Ваала. С помощью форкуд (16) козаю raiiTc ярпшчесхую температуру Хагедорна. I]

В тс орте (14), га пример, слодувдса критическое значение:

г/и (A*f?)"> Г , V -"

Дт®1 е (СD"р~Оi (рн)[ Г(р)/Г(Р/2))j(adа) .

зажатой сусераакатрачкоЗ р~д$аш восмогек фазоаай переход при

котором Fc( p->fic)<cj - .'додусизав значения (р ,D )-сзр (т. а. такие значения, при которых действие теорий инвариантно относительно глобальных щ>еобразовава2 сузерсдыхетршт) 'образуют четыре сэ-

рал, связанные с , £ ,]Н , ® -алгебрами с даленаямя. Воли действие р-бран содержат кайорановскае спикеры, то допустимы следуп-цне значения (р,В )-глр: (1,3), (1,4), (2,4), (2,5), (2,7),(2,II). (3,8) я (3,9); если спиноры ¡.'анорако-вейлевекие, то имеем (1ЛС) а (5,10); наконец, для вейлевских сганороз допустил! значения (1,4), ' (1,5), (2,-1) и (3,3), Коразмерность ( Б - Р - £) р-бран равна размерности аггебры, которой коразмерность соответствует. Цэсколь-ку пи при каких допустимых (р, Б ) коразмерность не равна нулю,то квантовые свойства суперснмметричной р-браны существе гаю отличны от свойств точечной суперчастлцы. 13 теории с нарушенной супорсиа-метрпеп (вариация слагаемого Весса-оумнно-Виттена при преобразованиях супарсиляетрии ке есть пат на я производная) возможен предельный случай р * I =1) и, так следует из (14), (15), свободная энергия р-бран совпадает со свободно;! энергией безиассовоЯ суперчастипы. Квантовую свободную энергия можно записать в модулярно инвариантной .¡'орме, выделял 1ундамента~ьнке области в интеграле (15) 3 проверят инвариантность относительно преобразований из группы Г « = 5Ь(2,£ Показано, что гтги р = 2н- + 1, пеМ , группа инвариантности модулярной чуккцли (15) такова: {з*=*[5Ь(2, Прз

р = 2п + 2, {} = ®и, где - групгп дасяреишх транс-

ляций одномерной решетка. .'ктеграя (15) допускает гаюга модулярно аикчриантное представление в котором используются «атряпа згз аоя-грузта-подгрупп ^ уровней N группы Г . -.

Вычисление детерминантов лапяасганоэ , сгязакких с кгаэтозоЗ геометрией р-бран содержит § 4.4. Основным объектен 1515 квантовании протяженных объектов согласно схема, предясюгшой Шлякогш, является статсугла, представимая я виде континуального интеграла, который, например, для замкнутых р-браи кгпслязтся по zoг^л сгит.:-нутым (р + 1)-~кногооСразяям я метрикам га них. Континуально?, тегряролакае необходимо проводить гга основа гсгзссл^ггшдо Ср ♦ О— гиюгообрчзи.1, что является слозшо!} гатеглгзчесно!! оздочеЯ, пз решенной к настоящему времени. Поэтому в этом раздела гкакак» удаляется лкЬь некоторым компактным млзгеобразляп, логорыэ прндодяг вероятно и одко?у из основных вкладов в р-браигг^з зоктапуашаЗ интеграл. Главные ингредиенты яра ионсгрупрогаши- ста-с^гл ллл • хвантоЕ'гх амплитуд - детермлнзлтн д^фгренднальянх оезратороз я, в частности» детерминант скалярного лапласиана , для расчета которого з диссертацил попользуется метода спзхтралькоЯ теория автомер-

л с

фнкх Функций. Рассмотрены 3 »орма Кло^орда-Клиша Й х Н/Г помодьв формулы следа Сельберга ддя кокяактних рпуансших поверкно-стеЯ вычислена регуляризоЕаккая энергля Казиудра при нулевой

Е^(Г\/) к ненулевой Е^^рХ температуре, отвечающая

ТНПК действительного беэмассового скалярного патл:

Е^ог.х)-V

»¡^лЛн^ь-.г.*),

"о

Е^Ср.Г.Ю-

СО СО

ЖЛз&Ц*- М1и

(17)

(16)

4 У г , Г П

Здесь ~ + -ЯбЛ«уг , 2(5 ; Г./) -

дзета функция Сельберга, ассоциированная с характером / дискретной подгруппа Г , - Ц"' . - отрицательная кривизна гипербол;:ческой метрики на многообразна Н5/Г.Гшлучекы таю&е форэдлы для детерминантов лапдлсианов,доЯствувд1Х и линейных действительных векторных расслоениях под многообразиями Тр"' * Нг/Г , играющие центральную роль в квантовой геометрия р-бран. Вычисления основани на ¿орму-лз следа Сельберга к на методе регуляризации с помощью дзетаЧукк-кш £¿(6) 8 соотБетсТБувдеа лапласиану Д :

-ЫЫа а-вл'НЛ-Х есср(-ъШ)Т\

О & Л

"4 1е0

> I Пе.(а.I^{к.гМхьгл'л(Лг^)*

[ П ^ (% I 1 ^ ^

ЩЦМ П I

*

Н'г+Г * х ^ А ' - г «/1 '

2 14 ^ + «р+«+ ? -)+т-

При (|,= 2«(р= 2Н.+ I)

(20)

2м* }

2 (и.

при 2п + * ( р = 2И + 2)

Г(н+%) J

{ I

ш

® У

-¡скфмЧ) Г

о \

(21)

Б формулах (1У) - (21) Щ - раллуси окружностей ¡Л!0Г00браэзя ТР'1 , <3: = 0 или 1Д' ^(5 ) = Г"(5 )/Г( 5 ). Час.*--------------

четшо расчету проведать, фиксируя мулътяплгт к й

{]■ = 0 или 1/2 по этим ; ормуля.м следует

такте дискрет ну» группу Г п характер $ по модулЬ 2«

йгтал глава вклотает анализ воз:.:ок!шх космологических следст-РЯЛ, обусловленных развита« в предадуда главах ^опоябУачесйЬй

проблема рохдекзя и начального момента тЪляаря ЕселшшоЗ исследуется в § 5.Г в контексте теорий раазтреншх супергравитаци'!, индуцируемых из ! супер)струи. Среда воэмояних рс'гзноЗ атоЗ ггрсблс-:.лJ одним из наиболее интересных является рзпегел, основаикоз га гипотезе квантового рождения раздукшЕэЗся Вселенной. Рассмотрена возможность квантового рождения Вселенной, наполненной паяяки рас-пиреннкх супгргрззитациЯ и обладагцеЗ адахтяеноД топологией 11,л . Сценега вероятность такого рождения и показано, что вероятность возрастает для более изотропной топология. Этот акгод 'Хизичвскд вполне оправдан и сделан в рашшх изазпклассическоро приближения.

Далее, в § 5.2 показано, что любая из с^чзствуялих пяти типов самосогласованных суперструнных теория (суперструны типа J, jjfl., ЕВ, гетероткческая суперструна с калибровочными группами 50(32) для Eq х Eg ) содер.таг все необходимые ингредиенты для построения сценариев ранней Вселенной. Предложена облая схема построения инфляционного сценария с последующим перехода? во фрндоиновскуп стадию эволюции для любого типа суперструн, даяяуазхся в ПВ с топологией % х Т5 .

Наконец в разделе 5.3 эта г.е общая схема построения инфляционной и фридаановскоа космологяй демонстрируется для супермембран на фоне ЕВ многообразна вида т. "Z1.

Заклвчекиа содор:гит обзор полученных результатов и на правлений дальнейшие исследований.

Основные результаты диссертации опубликована в следуодих работах

1, Bytoenko A.A., Ktitorov З.А. Joliton aolutiono oi the nonlinear Sohrodlaaer equation with an external tinc-depcr.dsat field // IhySiLeU. - 1901. - Vol.A31, II 6. - P.310-312. 2.iiytsenfco A'JA., Zeitlin I'.C. Genaralizcd Vohlaoyar transformation — Eorae nonlinear oyoteas with exponential interactions // fhys.Lett. - 1982. - Vol.AS3, U 6. - P.275-278.

3. Бидакко А.А., ЦвЗтлан У. Г. Нел;:ие:1шо системы с э:ссцонеицпадь-дым взаимодействием, генерированные хэларовымп кирпльпыми моцо-лямл// Теор. и иат.£пэ.- T.&i, А 1, - С. оо-?2.

V

4. Еыцонко А.Л. Сачзашые состояния одномерного релятивистского

. полярока в одноастлозом приблкхенпи.- J кн.: ¿опросы квантовал теории поля « статистической физики. Ь. (¡хш.каучл.семн.ЛО.'л/;, T.iiO). К.: Наука, IS62, - С.51-54.

5. Bytoonio ¿.Л., Ktitorov S.A. X'ha bound one-diaeastcnai "rola-tiviatic" polarcn in сдо-1оор appreciation // Kiys.Lott. -1933. - Vol.A95, U 6. - Г.316-313.

6» Gcncharcv Yu.P., Bytacnko A.A. Sopolo^ical violation of auper-si-nsetry // - 1985. - V9I.BI63, 1! г, 3, 4. -

ГИ55т1бО.

7. Coacharov У«.P., Byiaeako A.A. Topological violation oi super-

- 21 -

syranatry at finite temperature // Phy3.1ett. - 1986. - .Vol. B168, It 3. - P.239-244. 8. Goncharov Yu.P., 3ytaeako A.A. .jpacetine topology, tenperature and the vanishing of vacuum energies in dicienaionally reduced auperayeaetrio theories // I!uel.Biy3. - 1936. - Yol.B271, K3-4. - P.726-74S.

Э. Goncharo-7 l'u.P., Bytcenko A. A. Inflation, oscillation and

quantun creation of the universe in ¿au^ed extended supergravi-tie3 // niya.Lott. - 1S86. - Vol.3182, В 1. - P.20-24;

10. Goncharov Yu.P., BytsenJto A,A. Caainir effect in supergravity theories end quantun birth of the universe with nontrivial topology // Claso. Quantua Gxwit. - 1387» - Vol.4-, Я 3. -

P. 555-571.

11. Goncharov Tu.P,, Bvtsenko A.A. The inflationary universe' in the caused Ji >• 0 uupercravity induced iron a superstria-; // ГКуS.Lett. - 1937. - Vol.ai3'J, К 3. -. Р.ЗбЗ-ЗС5.

12. Goncharov 'in.P., iiytuonko A.A. The four-dinanaional inflationary universe from superstrin^d // iiuroFhys.bstt. - 1983. - Vol. 5, И 3. - P.203-207.

13. Гончаров Ю.П., Еыцонко А.А. Хвантовоо роадеяпо Вселенной в

М= 8 сушргравЛ'гш11П!//Астро411зака.-19Б?.-Т.27,.'5 I.-С.147-158.

14t Гончаров иЛ1.,Вхценко А.А. Квантовоа роздеиаа Вселенной с нетривиальной топологией в расширенной ЭД » 2 супоргравитацяд// Иза.В/Зогз, ¿пзика,- 1988,- Т.Ы, ;» 5. - С.104-205.

15. Гончаров ij.il., Ьщояко А.А. Инфляционная Ваолеиная остоегзслна a расширенной калибровочной супэргразлтацая//Астроф18и*л.-1223, -Т.28, Л I. - С.223-230. '

16. Бщонко .А.Л. Ия&ицаснная я фридаанаэстя космологяа яз любого типа 100 cynopotpya. - В кн.: Совронеихша тоорэтаческа я зкв-поряуанталышо-проблема таории отдосятельноста а гравзтацла.-Матвриалн 7 Всесоюзной конференция 13-21 октября 1988- Зрелая,' 1983. - С. -410-412.

17. Sytaenko A.A., Ktitorov S,A. Su^erncabreaoa at. finite tcapeen-ture. -leirairрад, 1989.- 15 с.Шрзпринг All СССР,-ЛИ - 1352).

1G. Bytserteo A.A., Ktitorov З.А. "пгготт зирйПзаяЬгадоз at finite toaperatiu-aa // Ibjo.bott. - 1933. - m.B225, If 4. - P.325-330.

19. Bytsenke A.A., Ktitorov S.A. Temperature induced Casimir effect in Kaluza-Klein supersymnetric theories eoapactified on torus // Kod.a?G.Lett. - 1989. - Vol.A«, N 27. - P. 2609-2615. . 2p. Bytsenko A.A., Odintsov S.D. The free energy for compactified supernenbranes at non-zero temperature. - Newcastle, 1939.

- 9 p. (Newcastle preprint HCL-89-TF/26).

21. Bytsenko A.A., Ktitorov S.A. Compactif ied superraesibrane at. finite tecperature. - Б кн.: Сборник тезисов оригинальных сообщения 1У Международной рабочей группы по нелинейным и турбулентный процессам в физике "НелинеИнкй кир", т.2.- Киев: Наукова думка, 1ЭЬЭ,- С. Зб-ЗЭ,

22. Бццекко A.A. Суперслмметр1чнке р-браны при конечно;-, темпе рмтури.

- В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической -Циники. Э.(3ап.научн.секик. ЛОМИ, т.1Ь0).Л.: Наука, iabii.- С. 36-40.

23. Bytsenko A.A. Vanishing'of vacuum energies in gauged extnnded supergravity conpoctified on torus. - liKei), 1S50. - 13c. (Препринт АН УССР, HTi> - SO - 16E).

24» Bytsenko A.A. Finite temperature and vanishing of vacuum enor-gieo In gouged extended supergravity ca^pactlfieä on torus J/ . Burophys. bctt. - -1990. - Vol. 11, H 2. - P« 95-100. 25. Bytseclco A.A., Goncharov Tu.P. The four-dinensional inflationary .and Prie&nanrcien universe fron supermenbraneG // Europhyn. Lett.

- 1990. - Vol. 11, К 6. - P. 525-527. ,

26« Bytccnlto A.A., Goncharov Yu.P. The four-dinenrtional inflationar.y and Priedaannian connologieo from any type 1CD cuperctrings // Internat.J. of Kod.Biys.- 1991. - Vol„6, Ii 1. - P. 89-%.

27. Bytcenkc A.A.t Odintsov B.D. The free energy for compact ified eupercccbranec at non-sero temperature // iiivc. Lett, - 1990. -Vol. E24-5, В 1,2. - P. 65-6?.

28. Bytoente A.A., Odintsov B.D. Modular- invariance in oenbrarie 'theory // Шуе. Lett. - 1990, - Vol. Б24-5, N 1. - P. 21-25.

29. Быценко A.A., Одикцоэ С,Д» Свободная энергия хонпакги;,Уцировйн-.. »шх иа vop Супера змбрш // Hi. - 1230, - Т. 52, вып. 5. - С.

1516-1521.

.50. BytnenJceД., SoaeharoV Ги.Р, Evaluation of а class of the Lsp lace operator determinants connected with ouantus geoaetry of p-braaes // Tod.Biys.Lett.- 19f;1.~ V0I.A6« Ii B.-P. 669-676.