Классификация р-локальных формаций длины <=3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

. Гомельский- государственный -унаверснтет1им „лф. Скорины

гго ол

1 1 ноя шз

УМ 512.542,,

ДОВДШ Дмхад Дкушх. .

ШССШЩИЯгр-ЛОШЬШХ ФОШЦИЙ'ДЯШ ^ 3

01.01.06 - . математическая логика, алгебра, и теория.чисел :

Автореферат, диссертации. на соискание ученой'степени-кандидата физшкнматеиатиче сип. наук

Гомель,. 1.996, г-

Работа.: выполнена в Гомэльском государственном . университете имени Франциска Скорашы ..

Научный* руководитель -

доктор физико-математических наук,, профессор СКМБА Александр' Николаевич. .

Официальные оппоненты:,;., доктор физшо-математическйх науку- -профессор. /. ВЩЩРШКЖ.. Вжтор,Алет.савдровет ' канжцаг:,^ашко-ма?е1лаж8С!Ш1''Наук, 'Доцент:.?. ВОРОБЬЕВ НжолаЁ .-ТшофееБйЧ' ,

Оппонирующая организациям Институт математики ИШ ! ^ . - • • Украина : ' Ч;

Защита состоится Ц * 1996 года ,в часов :

заседаний' совета , по .защите-1 диссертаций; Д '02.12;01 в Тошльсю государственном;.;университете; -шенвг ■ ®..Окориннм жг: адресу: 24Ш г. Гомель,. ул. Советская,-!

С диссертацией можно;: ознакомиться^: библиотеке. Гомельска государственного университета им. Ф. Скорины..;

Автореферат разослан » 9 */)кТЗ-КгЯ I996 • года.,■:

Ученый;. секретаре,,.

совегапоза^те-диссертадий^:

кантоат..фшко^темат

профессор А В.С.ШАШ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

__Актуадьность_гемы_диссдвтации. Совокупность групп- ff называется классом (или иначе абстрактным классом)г--едли-вее-иаемерфнне— образы групп из ff принадлежат д. Как впервые заметил проф. Л.А. Шеметков, значение понятия класса в теории групп связано прежде всего с тем, что большинство теорем теории групп являются по существу утверждениям о.том, что группы одного класса 3? принадлежат другому классу групп 3). Несмотря на это обстоятельство > теория классов "в чистом виде" начала своО развитие лишь в 30-ые ; года после выхода работ Г.Виркгофа и Б.Х.Неймана, связанных с • изучением многобразий алгебраических систем. «Следует отметить, что первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с'изучением различных классов груш, заведомо содержащих бесконечные группы ( многообразий, квазимногаобразий групп, ради- ; кальных классов групп и' др.). После- выхода в 1963 г. знаменитой работы В. Гашюца "Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen" . началось" интенсивное изучение различных классов конечных групп ключевую роль среди которых заняли формации групп.о

Напомним, что класс, групп ff называется «формацией, если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных под-прямых произведений. В вопросах приложений теорий5 формаций к исследованию непростых конечных групп нашли широкое применение так называемые насыщенные и ' р-насыщенныв:1 формации, которые соответственно 1 можно определить . как формации конечных групп, замкнутые относительно фраттиниевых и р-фраттиниевых расширений. Проблема конструирования и классификации насыщенных и частично насыщенных формаций является одной из центральных задач современной теории классов конечных групп.

Было предложено много различных подходов к проблеме изучения насыщенных и р-насыщенных формаций (см. книги [1], [2] а-также обзор Л.А.Шеметкова [3]), среди которых выделились два. Первый связан с так называемым локальным заданием формации ff. Напомним,

что локальным экраном (Л.А. Шеметков [4]) I найавается функция Г, заданная на множестве простых чисел Р и со значениями во множестве всех формаций конечных групп. Если данная формация $ состоит из тех и только тех конечных групп С,'для которых имеет место

С/Рр(С) € Кр)

при всех р е %(£?), то говорят, что 1 - локальныйоэкран формации

з. Формация называется локальной, если она<даэет хотя бы один локальный экран. Значение понятия локальной формации состоит в том, что согласно теореме Гашюца-Любезедер-Шмидта, кйасс непустых насыщенных формаций совпадает с классом локальных формаций. В раооте [5] А.Н. СкиОа и Л.А. Шеметков доказали следующий аналог этой теоремы для класса р-насыщенных формаций: формация $ р-насыщена тогда и только тогда, когда имеет место

' Йога 5 ^ 31р. Ъ (1)

Здесь Нош ^ обозначает пересечение всех локай>ных формаций, содержащих Лр1 - класс нильпотентных р' -групп и 31 , $ - класс всех групп, являющихся расширениями груш из 31 , при помощи груш из Формация удовлетворяющая условию (1) была названа Л.А. Шеметковым [6] р-локальной.

Второй подход к изучению формаций связан с идеей изучения формаций с заданными системами подформаций. Такая идея, как известно, была впервые рассмотрена в книге Л.А. Шеметкова [13, где под номером 9 была поставлена следующая проблема: перичислить все те локальные формации, у которых каждая подформация является Бп-замкнутой (т.е. замкнута относительно взятия нормальных под-груш). Решение этой задачи дало толчок целому кругу новых идей

и, в часности, это привело к возникновению таких важных понятий как минимальные локальные не ^-формации [73, п-кратно локальные формации [8], ^-дефект локальной формации [9], ^дополняемость подформаций [103, длина локальной формации [113 и др.. В настоящее

время теория локальных формаций является.: весьма резвитым учением, - ... обогащенным большим:..числом ярок, теорем; и '-содержательных, .при— , меров. В; тоЕэ времяу. частично локальные; формации и, в. частности, . р-локальные формации. изучены сравнительно мало. Следует отметить, , что как показывают/результата.ряда авторов, полученные в последние года (см. , например,- [53, [12], [13], [14], [15]) р-локальные формации весьма полезны при: анализа многих вопросов, и, в частности, при исследовании-: нормального: строетя. грушь. , Изучению р-локальных формаций и посвящена."данная.дассертация..1

При изучении того или иного нового объекта всегда.:.полезно. • J иметь . набор, конкретных,., хорошо изученных..-.объектов родственного, .,' тала. В связи с этим 'В данной г; дяссертации дается- описание р-локальных форшций, длины^ <-3,. т.е. таких,р-локальных .фориаций,;. у которых длина решетки р-локальных подформаций непревосходитЗ.. Кроме того, на пути репения. такой: задачи., в .диссертации описано. .. много новых интересных классов р-локалышх -форладий. -. В частности*,.. .' в диссертации описаны минимальные р-локальные. ненильпотентше - , формации,_ р-локальшт формации . с. системаш: ;наследс!гвенЕих: под-формаций и . р-локальные. фармации с максшапьной. нильпотентной :. . р-локальной подформацкей<

Связь работы с крупншаг -научным; ярограммату темами./. Диссертация . выполнена в рашах госбюдгетной темы Гомельского госуни-; верситета "Развитие формационншс методов теории: групп, .и. других.. ? алгебраических, систем«-;. входящей вг перечень зажнейшх- научных • тем ■; > по Республике Беларусь.

Цель и задачи исследованияОсновная цель диссертацш -. полная классификация р-локашш: формаций длины. < 3. Дяя достиЕвния., поставленной • цели в диссертации решаются ■ следущие задачи •. дано полное описание it-локальных гфоршций которых все «-локальные. ; шуформации. наследственна;', -дана • описание;р-гл0кальных формаций с максимальной нилыютентной р-локальной- подформацией;. дано , описание минимальных к-локальных ненильпотентных формаций^.

Научная новизна полученных .результатов.-. Все- полученные- результаты являются новыми- и; могут; использоваться в теоретических - . [

исследованиях., .

Практически значимость полученных результатов. Результа5 диссертации могут быть использованы при изучении-локальных форш ций конечных груш, а также при чтении спецкурсов, преподаваем в госуниверситетах и пединститутах:.

Основные положения. диссертации; выносимые на защиту: .-,

1) описание р-локальных формаций длины ^ 3;

2) описание it-локальных формаций, у которых все тс-локальнь иодформации наследственны;,

3) описание р-локальных формаций с максимальной нильпотент ной р-локальной подформацией;

4) описание , минимальных тс-локальных • ненильпотентных формг

ций;

5) теорема о существовании у р-локальных формаций длины ^ р-локальных годформаций .дашы .3.

Личный вклад соискателя. ■ Все основные, результаты диссе] тации'получены автором самостоятельно.

Апробаций результатов:, диссертации. Основные результаты дис сертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометр! Гомельского государственного, университета и на . Мевдународнс математической- конференции, посвященной памяти- акадеши O.A. Чунихина.

Опублккованность результатов. Основные результаты диссертг ции опубликованы в 5 статьях [23 , 25 , 26, 28, 29], .3 препринт? [27. 30, 31] и в тезисах . [24].

Структура и. объем диссертации. . Диссертация . состоит i перечня определений, и условных обозначений, введения, обще характеристики работы,- пяти глав основной -части, выводов и спиа использованных, источников в алфавитне ■ порядка в количестве ■ i наименования. Объем диссертации - 89 страниц..

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

На. пути исследования формаций с заданными системами подформаций были выделены и описаны многие важные типы формаций ;; ключевую роль среди которых занимают^ минимальные локальные не 5-фрмацш [7] (в работе [16] формации такого типа были названы §г-крятическыш), т.е. такие локальные формации что $ £ но е для всех собственных локальных подформаций из д. Общая проблема изучения минимальных локальных не ^-формаций была впер- • вые поставлена Л.А. Шзметковым на VI всесоюзном симпозиуме по ' теории групп [7]. Решению этой задачи был яосвешен ряд работ А.Н. Скибы [16, 17, 18, 19]. В качестве одного из приложений построенной им теории -критических формаций А.Н. Скиба описал [11] локальные формации длинны

■ По аналогии с длинной локальной формации определяется длинна : р-локальной формации $ : если длина решетки р-локалыщ; подформаций р-локальной формации 3 конечна и равна п, то число .^-.называется длинной формации $•

р-Локальная формация 3 называется неприводимой, если $ нельзя представить в виде $ = Ноги (X), где £ - объединение всех собственных р-локальных подформаций из д.

Главной целью данной диссертации является описание р-локаль- ? ных. формаций длины < 3. Такая задача решается в главе 5, где доказаны следующие утверждения:

5.1.7. Теорема. Неприводимая р-локальная формация 5' имеет длину з тогда и только тогда, когда $ = 1£огт (б), где С? - такая монолитическая группа с монолитом Я, что выполняется одно из следующих условий:

1) й - неабелева рй-группа и С/Я - р-группа;

2) 6 - циклическая примарная группа порядка д2 , где д ^ р;

3) С - неабелева группа порядка дэ простой нечетной экспоненты q Ф р;

4) С - р!-группа, й £ Ф(б) и С/Я =: прямое произведение неко- ^

торого числа изоморфных копий простой грушзы А;

5.2.1. Теорема. Приводимая р-локальная. формация ше<

длину з тогда и только тогда, когда g = lform (А * В)., где А

р

простая р' -груша, а В - либо группа порядка р, либо прост; неабелева р'-группа, неизоморфная группе А.

5.2.2. Следствие(В.i. Ведереников [20], М.И. Эйданов Í2J] Формация g имеет длину 3 тогда и только, тогда, когда g = fora¡(G где G - о,дна из следующих групп: .

1) примерная циклическая груша порядка рг; , 2) прямое произведение двух неизоморфных простых групп;.

3) неабелева .группа порядка р3 простой экспоненты р > 2;

4) монолитщеская груша G с монолитом Я, причем'Я f Ф(0> G/H "является прямым произведением изоморфных простых групп.

" При доказательстве теорем 5.1.7 и 5.2.1 важную роль играя следующие леммы, имеющие на наш взгляд и. некоторой самостаятель ной интерес,

7 5.1.4. Лемма. Пусть G = R \ Q - р-замкнутая pd-rpyima Шмид1 с Ф(С) = 1, где Я = 0p{G) и Q - группа простого порядка q. Тощ формация g = lform^G) имеет единственную максимальную р-локаль ную подформацию 1 = 3lp * form Q.

5.1.5. Лемма. Пусть G - монолитическзя группа с монолитом

Я . -

= G р, где R - неабелева pd-rpynna; Тогда формация ^ - lformp(G имеет, единственную максимальную р-локальную подформаци» 3íp. .

5.1.6. Лемма. Пусть G - монолитическая группа с монолитом-^ где Д-р' -группа и G/R - нильпотентная pd-rpynna. Тогда формаци g ■= lforar(G) имеет единственную максимальную р-локальнув под формацию 5lp x form (G/i?).

Отметим, что кроме этих трех лемм при доказательстве теоре 5.1.7 и 5.2.1 используются и многие другие доказанные диссертации результаты и, - в частности, результаты глав 3, 4. разделе 5.3 доказана следующая теорема, указывающая н перспективность использования теорем 5.1.7 и 5.2.1 при изучени внутреннего строения р-локальных формаций.

5.3.1. Теорема. Пусть 3 - р-локальная формация длины ^ 3. Тогда в 3 имеется, по крайней мере, одна р-локалъная годформация длины 3.

5.3.2. Следствие. Пусть д - формация длины > 3. Тогда в $ имеется по, крайней мере, одна годформация длины-3.

Формация 3 называется (нормально)-наследственной, если 3 принадлежат все. (нормальные) подгруппы всех груш из В работе [22] А.Н Скиба доказал следующие две теоремы: тогда и только . тогда у ^ все ее локальные годформации. наследственны, когда формация $ метанильпотентна; тогда и. только .тогда у формация $ все ее подформации наследственны, когда формация $ кильпотентна.

В разделе 3.1 доказаны следующие- аналога этих двух результатов в классе я-локальных формаций,

3.1.6. Теорема. Пусть $ - разрешимая тг-локальная формация.. Тогда.и только тогда всякая ее гс-локальная годформация нормально наследственна, когда § с Л.

3.1.7. Теорема. Пусть $ - тс-локальная: формация,- Тогда и-только тогда всякая ее. тс-локзльная годформация наследственна, когда д £ \ К.

Из этих двух теорем вытекает много следствий.. Здесь- мы-отметим лишь, следующие из.них...

При % = !Р из теорем 3.1.6'и 3.1.7 соответственно вытекают:

3.2.1. Следствие. (Скиба А.Н.). Тогда и только тогда разрешимая локальная формация $ метанильпотентна, когда каждая ее локальная годформация нормально.наследственна.,

3.2.Й. Следствие (Скиба А.Н. [22]). Тогда и только тогда локальная формация--д метанильпотентна, когда каждая ее локальная годформация наследственна.

При % - (р) из теорем 3.1.6 и 3.1.7 соответствешо вытекают:

3.2.3. Следствие. Пусть $ - разрешимая-р-локальная формация. Тогда и только тогда-каждая ее р-локальная годформация нормально наследственна, когда каждая груша из: $ является расширением своей силовской р-подгруппы с.помощью нильпотентной группы.

3.2.4. Следствие. Пусть $ - р-локальная формация. Тогда и

а

только тогда каздая ее р-локальная. годформация-наследственнЕ когда каздая груша из § является, расшрешш своей силовскс р-подгруппы с помощью нилыютентной группы...

3.2.6. Следствие (Скиба А.Н. (221). Тогда и только тог/ форлация § нильпотентна, когда каздая. ее: подформация,- наследи венна.

В работе [22] А.Н. Скиба рассматривал задачу изучения вщ треннего строения группы 0 в. зависимости от свойств формащ £огт(С) и Ногт(О). Реализация. - этой.' идеи1 в - .классе:1 ^чс-локальнь формаций-приводит к следующим. утверждениям./ •

3.2.7. Следствие. Тогда и. только тогда разрешимая груша есть расширение некоторой своей нильпотентной тс-подгруппы■ помощью нильпотентной группы, когда в фармации Нот%(0), нормаль но наследственны-все ее -¡с-локальиые подформации.

3.2.8. Следствие. Тогда и только тогда группа в еса • расширение -некоторой своей нильпотентной ^-подгруппы с помощь

нильпотентной группы., когда . в формации Нощ^) - наследствен все ее тс-локальные шдфорыации ..;

При % = (Р из следствие 3.2.7 и 3.2.8 соотвествено .вытекают:

3.2.9. Следствие (Скиба А.Н.). Тогда. и только.-тог; разрешимая группа С метанильпотентна, когда в формации Ногта(£ нормально наследственны-.все ее локальные подформации..

3.2.10. Следствие (Скиба А.Н.Л22]). Тогда и только тогд группа в метанильпотентна,: когда в формации Ногт(С). наследстве! ны все ее локальные подформации.

При % = {р} из следствий 3.2.3 и: 3.2.4 соотвествев вытекак!т:

3.2.11. Следствие. Тогда и только-тогда, разрешимая .группа, есть расширение своей силовской р-подгруппы-с помощью нильпотещ ной группы, когда в формации Ногшр(С) нормально, наследственв все ее р-локальше подформацш...

3.2.12. Следствие. Тогда и только. тогда группа 0 ест расширение своей силовской р-подгрупш а помощью .нильпотентнс группы, когда в формации,. Ногш (б) наследственны ■ все . • е

р-локальные подформации.-

В главе 4 описаны ненильпотентные. р-локальные■•формации с максимальной нилыготенгной р-локальной подформацией. Но прежде-.(в разделе 4.1 этой главы.) . здесь описаны-, минимальные, тс-локальныэ ненильпотентные, формации.

4.1.7. Теорема. В том и только в том случае формация $ является минимальной: ^-локальной нешшлотентной-формацией,- когда

= Иощ^б), где .6 - такая монолитическая группа с монолитом

Я = б , что выполняется одно из■следующих условий:

1) б = Я х д - р-замкнутая рй-группа Шмидта с Ф(С) = г, где Я = О (О, р € тс;

2) Я = б р - неабелева рй-группа для некоторого простого числа ре 1С, и если (чс Л *п:<Н> | > 1, то б - Я - простая группа;

3) Я - ТС*-группа-; - . При г = [Р из теоремы- 4.1.7 вытекает следующее ?

4.1.8. Следствие (А.Н.Скиба [16]). Тогда-и- только тогда 3 -минимальная,. локальная ненилыштентная формация , когда . $ ■= Иогпг(б) и выполняется одно из следующих условий:.

1)6- груша Шмидта;,

2) б - простая неабелева группа. ,. При г = {р} из теорещ 4.1.7 вытекает

4.1.9. Следствие.: В. том-и только в том случае.формация

является минимальной, р-локальной ненильпотентной формацией, когда , .

д = Нот {0), где б - такая монолитическая группа, с монолитом-Я . я р

- б , что выполняется - одно- из следующих условий:;

1) б = Я х д - р-замкнутая рб-группа [Шодта с Ф{б) - 1;

2) Я - неабелева рЗ-группа и б/Я - р-группа;,

3) Я - р' -груша.

При доказательстве теорем» 4.1.7 существенную роль играют следущие лемш-, доказанные.в разделе 4.1.

4.1.1. Лемма. Пусть б = Я х & - р-замкнутая рй-группа. Шрадта . с Ф(б) = 1, где Я = 0 (б), р с тс, и д - группа простого порядка д. Тогда формация $ = Нощ^б). имеет единственную максимальную,-

и-локальную подформащш Ы = 5*р х Ьгтгь^).

4.1.2. Леша. Пусть С. - монолитичеекая:груша с монолитом I я

где Е = С - тс'-груша, и Я = С/й. Тогда фармация ^ = Иощ^С имеет единственную максимальнуюс-локальную подформащт .

Ш = ^ у £от(Нр1),

где р = иП 1(Я) и - р ' -юлловская. подгруппа группы-Я.,

4.1.3. Леша. Пусть в.- монолитическая- группа .с неабелеви монолитом В., и пусть >р = % Л %(Н) / 0. Тогда если-£(6/7?) с тс

ч л,_____ ,т\ б> л-,__ / л\

Х1ип!1у.{<а; = 31^ Югнци-; .

4.1.4. Следствие. Пусть .4 - монолитическая. груша с аеабеле вым монолитом й, и и ги/Й) £ %(И). Тогда.

• Иотп^О - ¡Еогт^)».

Из следствие 4.1.4 вытекает: .

4.1.5. Следствие. Если ^ - простая неабелева груша,, то .

Ногт(-4) = ^ц) :£огт(4);..

4.1.6. Лемма. Пусть $ = Иощ^О), где б - монолитическа

груша с неабелевш. монолитом й, причем й = С р - рй-группа дл некоторого простого числа.р € тс, и если }тс Л ю(Я)) >1, то О К - простая груша. Тогда формация $ -.имеет единственную макси мальную я-локальную годфармацив где р. = тс Л яШ).

4.1.10. Теорема. Пусть $ - ненильпотентная тс-локальная форм ация. Тогда в § имеется , по крайне!, мере, одна минимальная нениль потентная к-локальная лодформация...

При я = Р из теорем-4.1 .Ю^штекает: •,

4.1.11. Следствие (Скиба 1.Н. [163). Пусть $ нешльпотентнг

локальная формация.- Тогда в $ тлеется по крайней, мере одна .мши.-, мальная ненильпотентная локальная подформация.

При % - (р). из теорем 4.2.1 вытекает:

4.1.12. Следствие. Пусть $ ненильпотентная , р-локальная формация. Тогда в $ имеется по крайней мере одна минимальная нениль-потентная р-локальная подформация..

В разделе 4.2 доказаны: следущая теорема*

4.2.2. Теорема.. В том и только в том случае -ненильпотенная р-локальная . формация $ имеет максимальную нилыютентную р-локальну». подфэрмацию, когда .

3 = * / ь,

где 1 - нильпотентная - р-локальная формация, § - минимальная р-локальная. ненильпотентная формация, при: этом:..

1)всякая нильпотентная -р-локальная подформация из $ входит в -

Ш 1Р (Ь П К);

2)всякая ненильпотентная р-локальная .подформация; из- $ иммеет вид

5 /(3, П 51).

ВЫВОДУ

1) В диссертации получено описание р-локальных формаций длины $ 3;.

2) дано полное описание, нелокальных формаций, у которых все тс-локальныа нодформации.наследственны;

3) дано описание р-локальных формаций, с максимальной, ниль-. потентной р-локальной подформацией;.

4) дано описание минимальных тс-локальных ненильтатентннх формаций;,....

5) доказано. существование у р-локальных формаций длины > 3 -р-локальных подфармавдй длины, 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. -272с.

2. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем, И.: Наука, 1989. -256с.

3. Шеметков Л.А. Новое направление общей алгебры // Вопросы алгебры.- Минск: Университетское, 1986.- Вып.2, С. 3-7.

4. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп.- Матем. сб., 1974, 94, je 4, С. 628-648.

5. Скиба А.Н., Шеметков I.A. О частично локальных формация] // Докл. АН Беларуси. - 1995.- т. 39 - № 3.- С. 17-19.

6. Шеметков Л.А. О произведениях формаций // Докл. АН БССР, 1984. Т.28, ü 2. С. 101-103.

. 7.- Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // VI Всесоюзный cmиозиум по теории групп. Киев: Наук.дудаа, 1980.- С. 37-50,

8. Скиба 'А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной ' нильпотентной длины //, Вопросы алгебры. - Минск: Изд-в« Университетское, 1987.- Вып.'З. - С. 21-31.

9. Скиба А.Н., Таргонский Е.А. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 // Мат. заметки - 1987. - Т. 41, # 4. - С. 490-499.

10. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформацй // Подгрупповое строение конечных групп. - Мн.: Наука и техника 1981. С. 155-180.

11. Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп.- Минск: Наука и техника, 1986.- С. 135-149.

12. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Новые способы задания локальных формаций и локальных классов Фиттинга // Алгебра и кибернетика. Материалы мевдународной конференции, посвященной 90-лети] С.А.Чунихина: Тезисы докладов - Гомель, 1995. - ч.1. - С. 120.

13- Ballester-Bolincties A., Shemetkov L.A. On .lattices о:

p-local formations of finite groups, F. Soorina University of Gomel, Preprint № 37, Maren 1996, Юр.

14. Аль-Шаро Халед. О W-локальных формациях // Алгебра и кибернетика. Материалы международной конференции, посвященной 90-летию С.А.Чуннхша: Тезисы докладов -Гомель, 1995. - чЛ. - С.93.

¡5- Н.Г. Жевнова, А.Н. Скиба. О тс-локальных формациях с дополняемыми ^-локальными подформациями. - Препринт / ГГУ им. Ф. Скориш. - Гомель, 1995. - 3- 30. - 19с.

16. Скиба А.Н. 0 критических формациях // Мзв. АН БССР. Сер. фяз.-мат. наук.- 1980, J6 4.- С. 27-33.

17. Скиба А.Н. О критических формациях// В кн.; Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев; Ин-т математики АН Украины. 1993. С. 258-263.

is. Скиба А.Н. О мгамачьнюг локальных не т-сверхразрешямчх формациях // Вопросы алгебры.- Минск: Университетское,i985.- Вып. 1, С. 105-112.

19- Скиба А.Н. Формация с задано® системой подфррмаций // докл. АН БССР.- 1979. - Т.23. S 12.- С. 1073-1076. <; ;

20. Ведерников В.А. Формации конечных групп с додозшяемыми подформациями длины 3 // Вопр. алгебры. Мн.: Университетское, 1992. Вып. 6, С. 1S-21.

21. Эйжнов М.И. Элементы высоты два р&ветки формаций конечных групп // Мзв. Вузов. Математика. 1990. ,1 6. С. 77-90.

22. Скиба А.Н. Характеризация конечных метшшльпотеитннх групп //Мат, заметки, - 1980. - Т.27. 13. - С.345-351.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

23. Джарэдин Джехад. Минимальные р-наеыщеш-ше ненильпотвнт-

нве формации // Вопросы алгебры, - Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скориш, 1995,'Вып. 8. С. 59-64.

24- Джарадин Дквхад. О формациях с система?,и (нормально) наследственных подформаций // Алгебра и кибернетика. Материалы международной конференции, посвященной 90-летию С.А.Чушшшз:

Тезисы докладов - Гомель, 1995. - ч.1. - С. 63.

25. Джарадин Джехад. О р-насыщенных формациях с система наследственных подформаций // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1

1995, * 3 - 0. 52-55.

26. Джарадин Джехад. Элементы высоты 3 решетки р-насшценны формаций // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во ГГУ им.-'Ф.Ско рины, 1996, Вып. 9. С. 45-59.

27. Джарадин Джехад. О подформациях р~локальных формаций Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, 1994. - № 38.. - 8с.

28. Джарадин Джехад, Скиба А.Н. Частично локальные формаци с системами наследственных подформаций // Весцт, АкадэмЦ наву Беларуси Сер. фгз.-мат. навук.- 1996.- $ 3. -с. 13-16.

■29. Джарадин Джехад. 0 формациях с системами наследственны подформаций // Изв. Вузов. Математика. 1996. № 11.-С.39-44.

30. Джарадин Джехад. Неприводимые р-локальные формации длин 3. -.Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомель, 1994. - № 24. 22с. - . ' ^

' 31. Джарадин Джехад. О минимальных р-локальных нениль потентных подформациях. - Препринт / ГГУ им. Ф. Скорины. - Гомел:

1996. - » 35.- 10с.

РЕЗШЕ

ДИРАЩ Джехад Джумах Классификация р-локальных формаций длины ^ 3

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, под-формация, р-локальная формация, решетка р-локальных формаций.

В диссертации с помощью методов теории формаций и методо! общей теории решеток изучаются р-локальные формации длины 3. Получили описание следующие формации: р-локальные формации длинь

$ 3, тс-локальные формации,: у которых все гс-локальные. подформации ■. наследственны,., р-локальше. формации-с максимальной нилыгатентной р-локальной' подфарлацяей, минимальные тс-локальные ненильпотентные : формации: Доказано существование у р-локальных формаций, длины .£3 р-локальных подфорлаций длины. 3..

Все основные результаты- работы являются -новыми.- Они ж;:::: . теоретический характер и могут быть использованы а исследованиях по теории формаций ..алгебраических систему а. также. при чтении :, спецкурсов в университетах и пединститутах.

РЭЗШЕ: "

Классщикаця р-локальныя фармацы! длины ^ .3

Юшчавыя слови: канечнаягрупа, клас груп, р-лакальная фармация , падфармацня,: тс-лакальная фармация, .раштка р-лакалыш формаций;.

У дысертацк! з .дапвмогай к&тада? тзоры! фармащй! метада?. агульнай тэоры! рашотак вывучаюцца. р-лакальныя- фэрмацы! дл1яы, ^ ■ 3. Атрымалг ап!санне нвступныя фармацы!: . р-лакальныя . фармаыд1.. дл1ны $ 3, я-лакальныя; фармацы!;, у як!х усе яг-лакалышя падфармацы! Б-замкнутыя* р-лакальныя.:. фармацы! • з. макс!мальнай н!льпатзнтнай р-лакальнай падфартвдяй, -. м1н1шлъныя- я-лакальння неньпьпатэнтныя - фармацы!. . Даказана- !снаванне у р-лакальных. фармащый дл!яы 2 3 р-лакальных падфармацый. дл!ны 3.,

Усе асно^ные вын1к1: працы ■ з'являюцца новым!; Яны машць ■ тэарэтычны характар 1-,могуць быць. Еыкаршлаш. у даследавэннях па тэоры1 фармацый, а таксама пры ешшдэнн!:. спецкурсау у дзяржун!верс!тэт 1 пединститутах. .

Summary r,

Jaraden Jehad Juaah Classification of p-local iorroatlons whoBe length ^ 3

Key words:1 finite 1 group,; class of 'groups,, iannation subforffiatlort,,p-local ioirationvlattlce'-of^

In this thesis the. p-local ■ formations.- wiiose iength -i: 3; an studed by, means of aethods ;oi ; the ioimtions;.-. theory; and- ;thi methods of general.. lattices theory. We - have .get, the descrlptloj of the next fonaatiQna.p-local formations with/length ^ tin «-local formations whose ail' T-local - Bubformaytons. are S-closed p-local formations T?ith* n&xiffial nilpctent p-local subfaraations. minimal .iHflcal -•iMMilipot®t^fOTiatl(m3-a^basre been :^oved- tha7 the p-local formations - Phose: length ;; 3 have a.. p-loca; .^iranafc&mB'iiitlr .

All tfie-'aain ? this• rthesls• are new;;hey are - of i

theoretic •..» character---andmay,«. .-used-v. ibHe/? .-fin»ldin{ investigations -at* the . theory: of thealgeterale:systems Immttow and while- .teaching: --.special: ?•coar^^^•'4n^•^llкl?e]Miti«э[.•.;•.'.artt pedagogical? .Institutes .•■