Критические омега-локальные формации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины Совет по защите диссертаций Д 02.12.01

ОД

УДК 512.542 —

ЦИЛАЙ 200&

САФОНОВА Инна Николаевна

КРИТИЧЕСКИЕ ^'-ЛОКАЛЬНЫЕ ФОРМАЦИИ

-4

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Гомель - 2000

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор СКИБА Александр Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ВОРОБЬЕВ Николай Тимофеевич кандидат физико-математических наук, доцент НОВИКОВ Сергей Петрович

Оппонирующая организация — Полоцкий государственный университет

Защита состоится "__^_____ 2000 года в /¿2.__часов

на заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 при Гомельском государственном университете имени Ф.Скорины по адресу: 246599 г. Гомель, ул. Советская, 104, телефон ученого секретаря (0232)^57-37-91.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале 1 библиотеки Гомельского государственного университета им.Ф.Скорины.

АвтопеАепат рйЗОСЛсШ

2000 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций.

кандидат физико-математических наук,

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тесная спязь теории формаций с теорией фраттиниевых расширений групп является отличительной особенностью теории формаций в сравнении с другими аналогичными теориями классов групп. Так, формация 3 называется насыщенпой, если ей принадлежит всякая группа (3, для которой факторгруппа € 3", где Ь С Ф(б). Понятие насыщенной формации было введено В.Гашюцом в работе [49]. Там же им был предложен способ конструирования насыщенных формаций при помощи специальных функций, названных впоследствии формационными функциями [48] или локальными экранами (Л.А.Шеметков [40, 41, 43]). Естественным расширением понятия насыщенности является ^-насыщенность. Формация $ называется ш-насыщенной или из -локальной (Л.А.Шеметков [44]) (0 ф из С Р), если ей принадлежит всякая группа О с О/Ь € где Ь С Ош (О) Р] Ф(С?). Если из = {р}, то из-насыщенные (а;-локальные) формации называют р-насыгценными (соответственно р-локальными). Перспективность изучения из-локальных формаций обусловлена рядом причин. Во-первых, как это было впервые замечено в работе Л.А.Шеметкова [44] , если произведение — локальная формация, то формация является р-локальной для всехр 6 Р\тг(Ш1) (здесь тг(9Я) — множество всех простых делителей порядков всех групп из ЯЯ). Таким образом, изучение факторизаций локальных формаций приводит к необходимости исследования р-локальных формаций для определенных простых р. Во-вторых, как установлено в работе А.Н.Скибы и Л.А.Шеметкова [36], изучение любых локальных формаций сводится к исследованию некоторой системы частично локальных формаций. Кроме того, как показывают исследования, проведенные в работах [1, 6, 8, 10, 11, 13], из -локальные формации полезны и в прикладном аспекте теории формаций.

Отсутствие или наличие у исследуемой формации # подформаций того или иного вида, их взаимное расположение в $ является важной особенностью этой формации. Данное обстоятельство явилось одним из основных стимулов для многочисленных исследований, связанных с изучением внутреннего строения локальных формаций (см. [42, 45, 54, 43, 46, 48]). Необходимо однако отметить, что поскольку решетка подформаций у любой неединичной локальной формации бесконечна, то при исследовании ее подформаций весьма затруднительно применение индуктивных рассуждений. Этот факт привел к необходимости разработки особых методов исследования локальных формаций, связанный с понятием критической формации.

Пусть 9 — произвольная непустая совокупность формаций, — некоторый класс групп. Формации, принадлежащие в, называются 6-формациями.

Минимальной не 9-формацией [42] или иначе е-критической формацией [25] называется всякая такая в-формация $ % Я, У которой все ее собственные Э-подформации содержатся в классе групп £>. Проблема изучения Йе-критических формаций поставлена в 1980 г. Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп [42].

Развитие теории частично локальных формаций вызывает необходимость использования конструкций и методов исследования, аналогичных разработанным в теории локальных формаций, композиционных формаций и др. Одним из таких методов является метод критических формаций.

Вопросу классификации минимальных ш-локальных не ^-формаций (или .^-критических формаций) посвящены работы [5, 14], где было получено описание минимальных ш-локальных ненильпотентных формаций и минимальных ш-локальных не ^-формаций, — произвольная 2-кратно локальная формация), соответственно. Эти результаты использовались В.Н.Рыжик и А.Н.Скибой при решении проблемы А.Н.Скибы и Л.А.Шеметкова [36] о факторизациях ш-локальных формаций.

Таким образом, задача изучения и классификации критических и>-локальных формаций вполне актуальна и перспективна.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках следующих госбюджетных тем Гомельского государственного университета им.Ф.Скорины:

"Структурная теория формаций и других классов алгебр" (Математические структуры 04), входящей в план важнейших научно-исследовательских работ в области естествознания, технических и общественных наук по Республике Беларусь. План утвержден решением Президиума НАН Беларуси от 23 ноября 1995 г., № 88. (Номер госрегистрации в БелИСА —19963987.) Выполнение темы запланировано на 1996-2000 гг.

"Кратно локальные и г-замкнутые классы алгебраических систем". (Номер госрегистрации в БелИСА - 19971691. (1997-98 гг.))

"Алгебра формаций"(Номер госрегистрации в БелИСА — 1999489.) Выполнение темы запланировано на 1999-2000 гг.

Цель и задачи исследования. Целью данной диссертации является построение общей теории минимальных ш-локальных не .^-формаций. Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

- дана полная классификация минимальных ¿^-локальных не й-формаций, где ^ — произвольная формация классического типа;

- показано существование ^¡»-критических подформаций у любой и-локальной формации 5 % ■£>, где $) — формация классического типа;

- получено описание минимальных ш-локальных не ^-формаций ,чля наи-

более важных конкретных формаций классического типа й-

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются частично локальные формации, а предметом исследования — структура их подформаций.

Методология и методы проведенного исследования. Использовались методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечных групп.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Все полученные результаты являются новыми и могут использоваться в теоретических исследованиях.

Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при изучении частично локальных формаций конечных групп, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Классификация минимальных ш-локальных не ^-формаций, где Й — формация классического типа.

3.1.4. Теорема. Пусть — некоторая формация классического типа и Н — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда $ является минимальной ш-локалъной не $}-формацией, когда $ = 1и{оттС, где (? — такая монолитическая группа с монолитом Р = С?®, что либо 7Г = 7Г(Р) Р) и = 0, либо 7Г ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) С? = Р — группа простого порядка;

2) Р — неабелева группа и Р — для любого р € 7г;

3) б = [Р]Н, где Р — Са{Р) — р-группа, а Н — такая монолитическая группа с монолитом <3 = , что р $ гс ((2) и либо Ф (Я) = 1 и С <3 для любого д € тт(<3), либо Н — минимальная не Ь.(р)-группа одного из следующих типов: а) циклическая примарная группа; б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева группа порядка д3 простой нечетной экспоненты д.

Теорема о существовании минимальных ш-локальных не ^-формаций.

3.2.1. Теорема. Пусть 5) — формация классического типа, $ — непустая ш -локальная формация. Тогда если $ % то в $ имеется, по крайней мере, одна минимальная ш -локальная не $)-подформация.

Описание минимальных ш-локальных не 55-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа .

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в работах без соавторов.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомель-

ского государственного университета им. Ф.Скорины, на I Международной научной конференции "Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы"(Гомель, 1998), на Второй Международной алгебраической конференции на Украине, посвященной памяти Л.А.Калужнина (Киев

- Винница, 1999).

Опубликованность результатов. Основные результаты опубликованы в трех статьях [56, 57, 58], трех препринтах [59, 60, 61] и двух тезисах [62, 63]. Общее количество страниц опубликованных материалов — 79.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, заключения и списка использованных источников в алфавитном порядке в количестве 76 наименований. Объем диссертации

— 88 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Вначале приведем краткий обзор результатов связанных с развитием теории критических классов групп.

Пусть © — произвольная непустая совокупность формаций, й — некоторый класс групп. Общая проблема изучения йе-критических формаций была поставлена Л.А.Шеметковым в 1980 г. на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп [42]. Решению этой проблемы, в случае когда 6 — совокупность всех локальных формаций, посвящен цикл работ А.Н.Скибы [25, 26, 32, 34, 311. Результаты о минимальных локальных не ^-формациях использовались при решении многих вопросов теории локальных формаций. Так, в работе [55] полученные ранее описания минимальных локальных ненильпотентных и минимальных локальных неметанильпотентных формаций [31] были использованы для получения классификации разложимых од-нопорожденных формаций. В работе [29] теория критических формаций была использована для получения внешней характеризации конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины. Многочисленные применения теория минимальных локальных не ^-формаций получила при исследовании локальных формаций с заданным ^-дефектом [33, 2, 3, 4, 18, 17]. Напомним, что й-дефектом локальной формации ^ называют длину решетки локальных формаций заключенных между £ П и В работе [30] были описаны локальные формации с 91-дефектом или иначе нильпотентным дефектом < 2. Позднее, в классе разрешимых групп, получено описание локальных формаций с нильпотентным дефектом 3 [18]. Классификация локальных формаций со сверхразрешимым дефектом 1 дана в работе [31].

Длиной локальной формации 5 называют длину решетки локальных фор-

маций заключенных между (1) и Используя результаты работ [25, 31, 32] А.Н.Скиба получил описание локальных формаций длины < 5 [28].

Напомним, что как показано в работе [26], локальная формация является минимальной локальной ненильпотентной формацией тогда и только тогда, когда 3" — ^огт(3, где С? либо группа Шмидта, либо простая неабелева группа. Этот результат нашел приложения в исследованиях многих авторов (см. например, [39, 30, 2, 17, 18]), а также в работах [35, 50], для описания локальных формаций, у которых решетка локальных подформаций является булевой, решеткой с дополнениями.

При исследовании локальных формаций с различными дополнительными свойствами более удобно использование соответствующих спецификаций минимальных локальных не ^-формаций. Так, при изучении кратно локальных формаций рассматривается следующий аналог ^/-критических формаций: п-кратно локальная формация $ называется минимальной п-кратно локальной не ^-формацией или иначе .^¡„-критической формацией, если 3 £ 5), но все ее собственные п-кратно локальнные подформации $ содержатся в классе групп 5). Основы теории ^¡„-критических формаций заложены А.Н.Скибой в работе [29]. Позднее результаты этой работы получили развитие в исследованиях В.Г.Сафонова [16, 17], что позволило описать в классе всех разрешимых групп п-кратно локальные формации яильпотентного дефекта 3 и п-кратно локальные формации с дополняемими п-кратно локальными подформациями заданного нильпотентного дефекта [17].

Минимальной локальной нормально наследственной не ^-формацией [22] называют такую локальную нормально наследственную формацию $ % 55, у которой все собственные локальные нормально наследственные подформации содержатся в классе групп 55. Теория минимальных локальных нормально наследственных не 55-формаций разработана в работах В.М.Селькина [19, 20, 21].

Локальная формация $ называется минимальной локальной наследственной не .^-формацией, если ^ % ¡0, но все собственные локальные наследственные подформации содержатся в классе групп У). Основы теории минимальных локальных наследственных не 55-формаций разработаны в работе А.Н.Скибы [27]. Впоследствии авторами работы [23] были описаны минимальные локальные наследственные не ^-формации, где 55 — произвольная формация классического типа.

Теория критических формаций вполне аналогична теории минимальных некроссовых многообразий групп, разрабатываемой специалистами по теории локально конечных многообразий. Напомним, что многообразие Ш1 называется кроссовым, если 9Я = уагб, где С — конечная группа. Многообразие

называют почти кросовым, если оно само ыекроссово, однако все его собственные подмногообразия кросовы. Теория почти кроссовых многообразий является одним из глубоких разделов теории многообразий. К настоящему времени результаты работ А.Ю.Ольшанского [12], Ковача и Ньюмена [53], Гупта и Ньюмена [51], Косси [47] дают описание разрешимых почти кроссовых многообразий. Отметим наконец, что отдельные примеры минимальных неабелевых многообразий найдены Хигменом в работе [52].

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично локальных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции развитые в теории локальных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций.

Изучению минимальных ш-локальных не ^-формаций посвящены работы [5, 14, 24]. В работе [5] было получено описание минимальных ^-локальных ненильпотентных формаций. Этот результат был использован Джарадином Джехадом [9] для описания ш-локальных формаций с нильпотентной ы-локальной подформацией, а в дальнейшем в работе [7] при классификации а)-локальных формаций длины < 3. Впоследствии, в работе В.Н.Рыжик [14] были описаны минимальные ш-локальные не ^-формации, где — произвольная 2-кратно локальная формация. Эти результаты с успехом использовались в ряде исследований по теории ш-локальпьтх формаций и, в частности, В.Н.Рыжик и А.Н.Скибой при решении проблемы А.Н.Скибы и Л.А.Шеметкова [36] о факторизациях ^-локальных формаций [15].

Охарактеризуем содержание диссертации во главам. Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются определения и обозначения, принятые в книгах [43, 46, 38] и работе [37].

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Глава 3 "^/«-критические формации "диссертации состоит из десяти разделов. Она посвящена изложению основного результата диссертации — описанию минимальных ш-локальных не ^-формаций, где % — некоторая формация классического типа, а также приложению его при классификации ^¡"-критических формаций, для наиболее известных формаций классического типа, таких как формации всех я-разрешимых, 7г-нильпотентных, 7г-сверхразрешимых, 7г-замкнутых, 7г-специальных, тг-разложимых, у-дисперсивных групп, а также формации всех групп с ниль-потентным коммутантом.

Напомним, что формация называется формацией классического типа [34],

если она имеет такой локальный экран, все неабелевы значения которого локальны.

В разделе 3.1 описываются общие свойства минимальных (¿-локальных не 55-формаций. Основным результатом данного раздела является следующая теорема

3.1.4. Теорема [59, 57]. Пусть $ — некоторая формация классического типа и Н — ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда 5 является минимальной и)-локальной не ^-формацией, когда $ = 1^охтО, где б — такая монолитическая группа с монолитом Р — что либо 7г = 7г(Р) ("| и> — 0, либо -к ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) б = Р — группа простого порядка;

2) Р — неабелева группа и Р = С?^) <?лл любого р € ж;

3) <3 = где Р = Сд{Р) — р-группа, а Я — такая монолитическая группа с монолитом <Э = ЯЛЧ что р £ тг((3) и либо Ф(Я) = 1 -и С (5 <?лл любого q € 7г(<Э), либо Я — минимальная не 1г(р)-группа одного из следующих типов:

а) циклическая примарная группа;

б) группа кватернионов порядка 8;

в) неабелева группа порядка <?3 простой нечетной экспоненты д.

3.1.5. Следствие (В.Н.Рыжик [14]). Пусть — некоторая 2-кратно локальная формация, к — ее канонический ш-локальный спутник. Тогда в том и только том случае $ является минимальной ш-локальной не 5)-формацией, когда $ = огт(?, где С? — такая монолитическая группа с монолитом Р = б®, что либо тг = тг(Р) (") и> = 0, либо п ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) С — группа простого порядка;

2) Р — неабелева группа и Р = для любого р 6 л;

3) С? = [Р]Н, где Р = Сс(Р) —р-группа, а Я — монолитическая группа с таким монолитом <5 = Ял^ Ф(Я); что (р, |(?|) = 13.1.6. Следствие (А.Н.Скиба [34, с.251]). Пусть й — некоторая формация классического типа и Н — ее максимальный внутренний локальный экран. Формация $ в том и только в том случае является 5)1-критической, когда = Иоттв, где С — такая монолитическая группа с монолитом Р — С?15, что выполняется одно из следующих условий:

1) С? — группа простого порядка;

2) Р — неабелева группа и Р — С?^ для любого р € л(Р);

3)0 — [Р)Н, где Р — Са{Р) — р-группа, а Я — такая монолитическая группа с монолитом <2 = #Мр) ке делит |<3|;, что либо Ф(Н) = 1 и

в) С Q для всех q 6 7r(Q), либо Н — минимальная не h(p)-группа одного из следующих типов:

а) циклическая примарная группа;

б) группа кватернионов порядка 8;

в) неабелева группа порядка q3 простой нечетной экспоненты q.

В частности, имеет место и следующее

3.1.7. Следствие (А.Н.Скиба [34, с.264]). Пусть £ — 2-кратно локальная формация и h — ее максимальный внутренний локальный экран. Формация J в том и только в том случае является S) ¡-критической, когда У = iformG, где G — такая монолитическая группа с монолитом Р = G что выполняется одно из следующих условий:

1) G — группа простого порядка;

2) Р — неабелева группа и Р = Gh^ для любого р € п(Р);

3) G = [Р]П, где Р = Са(Р) — р-группа, а Н — такая монолитическая группа с монолитом Q = что (|Q|,|P|) = 1, Q Ф(Н) и для всех q 6 tt(Q) имеет место Hh® С Q.

Непосредственно доказательству теоремы 3.1.4 предшествует ряд вспомогательных результатов, один из которых имеет, на наш взгляд, и некоторый самостоятельный интерес.

3.1.3. Лемма [58]. Пусть G — монолитическая группа с неабелевым монолитом R. Тогда формация $ = PformG имеет единственную максимальную w-локальную подформацию ЗЯ = Iйform.3:, где X — такой класс групп, что Яб2 тогда и только тогда, когда Н изоморфна одной из следующих групп:

а) QI ((G/R)/Ov{G/R)) , где |Q| = q € и П тг(Д);

б) QI (<G/Fq{G)) , где |Q| = q € ы П (тr(G) \ тг(R));

в) G/R.

Перспективность применения результатов раздела 3.1, в исследованиях по теории частично локальных формаций, подтверждается основным результатом раздела 3.2,

3.2.1. Теорема [62, 58[. Пусть Sj — формация классического типа, 3 — непустая to -локальная формация. Тогда если 3 % fj, то в $ имеется по крайней мере одна минимальная и> -локальная не $)-подформация.

В частности, из доказанной в разделе 3.2 теоремы вытекают следующие известные результаты В.Н.Рыжик и А.Н.Скибы.

3.2.3. Следствие (В.Н.Рыжик [14]). Пусть Fi — 2-кратпо локальная-формация, $ - и) -локальная формация. Тогда если 5 то 6 т? имеется, по крайней мере, одна минимальная w-локальная не Sj-подформация.

3.2.4. Следствие (А.Н.Скиба [34, с.259]). Пусть локальная форма-

ция 3" % fj, где fj — формация классического типа. Тогда в имеется по крайней мере, одна минимальная локальная не Sj-подформация.

В последующих разделах третьей главы приводится описание Sji»-критических формаций для наиболее известных формаций классического типа. Отметим некоторые из них.

Напомним, что группу G называют ^-разрешимой, если \тт{Н/К) \ — 1 для каждого ее главного 7гс?-фактора Н/К. Так, в разделе 3.3 получено

3.3.1. Следствие [60]. Тогда и только тогда — минимальная и>-локальная не -к-разрешимая формация, когда У = PformG, где G — монолитическая группа с таким неабелевым монолитом Р, что 7г(Р) П 7г ф 0 и группа G/P 7Г-разрешима.

Отметим некоторые следствия данного результата.

3.3.3. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.178]). Тогда и только тогда У

— минимальная локальная не тт-разрешимая формация, когда 5 = IformG, где G — монолитпичсская группа с таким неабелевым монолитом Р, что ■к(Р) П 7г ф 0 и группа G/P п-разрешима.

3.3.4. Следствие (В.Н.Рыжик [14]). Тогда и только тогда 3 — минимальная ш-локальная неразрешимая формация, когда $ = /"formG, где G

— монолитическая группа с таким неабелевым монолитом Р, что группа G/P разрешима.

3.3.5. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.178]). Тогда и только тогда 3" — минимальная локальная неразрешимая формация, когда 3 = iformG, где G

— монолитическая группа с таким неабелевым монолитом Р, что группа G/P разрешима.

Раздел 3.4 диссертации посвящен описанию минимальных ш-локальных не 7Г-нильпотентных формаций.

Группа G называется 7г-нильпотентной, если она имеет нормальную р'-холловскую подгруппу для каждого р € п.

3.4.1. Следствие [60]. Тогда и только тогда $ — минимальная ю-локальная не п-нилъпотентная формация, когда 5" = ¿"formG, где G — такая монолитическая группа с монолитом Р, что п(Р) П п ф 0 и либо т = 7г(Р) П ui — 0 и Р — 7г-пильпотентный корадикал группы G, либо т ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) группа Р неабелева, причем если тП я = {р}, то G/P — р-группа, если же \г П тг) > 1, mo G — Р — простая неабелева группа;

2) G = [Р]Н, где Р — Сд{Р) — р-группа , а Н — такая монолитическая группа с монолитом Q, что Q <¡1 Ф(Н), р £ ir(Q), H/Q — р-группа и либо 7r(Q) П 7г = 0, либо Q — Н — группа порядка q, где q € 7г.

3.4.3. Следствие (Джарадин Джехад [5]). Тогда и только тогда 3 —

минимальная ш-локалъная ненильпотентная формация, когда $ = РйзгтО, где С — такая монолитическая группа с монолитом Р = СР1, что выполняется одно из следующих условий:

1) (3 = [Р}<2 — ц-замкнутая рд-группа Шмидта с Ф(С?) = 1, где Р =

р € из и |<3| = д —простое число;

2) Р = С?"" — неабелева рй-группа для некоторого простого числа р € ш, и если П тг(Р)| > 1, то б = Р — простая неабелева группа;

3) Р — и/-группа.

3.4.4. Следствие (Джарадин Джехад [5]). Тогда и только тогда $ — минимальная р-локалъная ненильпотентная формация, когда $ = Иогтб, где С — такая монолитическая группа с монолитом Р — СР1, что выполняется одно из следующих условий:

1) группа Р неабелева рс1-группа и С?/Р — р-группа;

2) С? = [Р]Сд — р-замкнутая рй-группа Шмидта с Ф((3) = 1;

3) Р — р/-группа.

3.4.5. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.178]). Тогда и только тогда $ — минимальная локальная не п-нильпотентная формация, когда $ ~ ИогтО, где (3 — такая монолитическая группа с монолитом Р, что тт(Р) П 7Г ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) группа Р неабелева, (З/Р — р-группа, где р € ж Г\ -п(Р), причем если 17Г П 7г(Р)| > 1, то (3 = Р — простая неабелева группа;

2) (3 = [Р]Н, где Р = Св(Р) — р-группа , а Н — такая монолитическая группа с монолитом <2, что <3 % Ф(Я), р п(С}), Н/С} — р-группа и либо 7г(<Э) П 7г = 0, либо С} = Н — группа порядка д, где д 6 7Г.

3.4.6. Следствие (А.Н.Скиба [31]). Тогда и только тогда 3 — минимальная локальная ненильпотентная формация, когда $ = £Гогт(3, и выполняется одно из следующих условий:

1) О — группа Шмидта;

2) (3 — простая неабелева группа.

Напомним, что группа называется 7г-сверхразрешимой, если каждый ее главный тгс!-фактор циклический.

В разделе 3.5 диссертации получено описание минимальных ш-локальных не 7Г-сверхразрешимых формаций.

3.5.1. Следствие [60]. Тогда и только тогда 5 — минимальная ш-локальная не п-сверхразрешимая формация, когда 3 — 1и{оттС, где в — такая монолитическая группа с монолитом Р, что п(Р) П 7г ф 0 и либо т = п(Р)Пи> = 0, Р — -к-сверхразрешимый корадикал группы <3, либо г ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) Р ■■■ неабелева группа, ,причем если т П 7Г ф 0, то Р совпадает с

— 1))-корадикалом группы <7 при любом < 6 г Л тг;

2) О — [-Р]Я, где Р — Св[Р) — р-группа , а Н — мополитическая группа с монолитом <3 = € <3;/, удовлетворяющая одному из следующих

условий:

а) Ф (Я) — 1, и либо <5 — л-'-группа, либо |<Э| = д, где д 6 7г;

б) Н — неабелева группа порядка д3 простой нечетной экспоненты д, делящей р — 1;

в) Н — группа кватернионов порядка 8, 4 делит р — 1;

г) Н — такая циклическая примарная группа порядка дп (п > 1), что (дп,Р-1)=дп~1.

3.5.3. Следствие [56]. Тогда и только тогда $ — минимальная ш-локальная несверхразрешимая формация, когда $ = Р£огш(?, где <3 — такая мополитическая группа с монолитом Р, что выполняется одно из следующих условий:

1) Р — и/-группа, совпадающая со сверхразрешимым корадикалом группы

С;

2) Р — неабелева и>с1-группа, совпадающая с (9Т(21(£ — I))-корадикалом группы б при любом t ЕшП тг(Р);

3) (? = [Р\Н, где Р = Сс(Р) — р-группа, р € ш, а Н — мополитическая группа с монолитом <3 = ¿{УЬ^р-1) £ удовлетворяющая одному из следующих условий:

а) Ф(Я) =1, ¡<5| = ^ — простое число;

б) Н — неабелева группа порядка <?3 простой нечетной экспоненты д, делящей р — 1;

в) Н — группа кватернионов порядка 8, { делит р — 1;

г) Н — такая циклическая примарная группа порядка дп (п > 1), что

3.5.4. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.179]). Тогда и только тогда $ — минимальная локальная не ■п-сверхразрешимая формация, когда $ = ИогшС, где в — такая мополитическая группа с монолитом Р, что 7гП7г(Р) ф 0 и либо Р — неабелева группа, совпадающая с (01(21(4 — \))-корадикалом группы С? при всяком t € 7Г(Р), либо О = [Р}Н, где Р = Сс(Р) — р-группа , а Н — такая мополитическая группа с монолитом

<2 = е «V,

что выполняется одно из следующих условий:

а) Ф(Я) = 1, ы либо <2 — тт'-группа, либо |<3| = 9 € 7гр;

б) Н — неабелева группа порядка д3 простой нечетной экспоненты д, делящей р — 1;

в) Н — группа кватернионов порядка 8, 4 делит р — 1;

г) Я — такая циклическая примарпая группа порядка дп (п > 1), что (9я,р-1)=дп-1.

3.5.5. Следствие (А.Н.Скиба [34, с.265]). Тогда и только тогда $ — минимальная локальная несверхразрешимая формация, когда $ = НоттО, где С — такая монолитическая группа с монолитом Р, что либо Р — неабелева группа, совпадающая с (9^21^ — 1))-корадикалом группы (5 при всяком £ € тг(-Р), либо (3 = [Р]Н, где Р = Св{Р) — р-группа , а Н — такая монолитическая группа х монолитом <Э = Я^"2^-1) 6 ©р'; что выполняется одно из следующих условий:

а) Ф(Я) = 1, |<2| = д — простое число;

б) Н — неабелева группа порядка д3 простой нечетной экспоненты д, делящей р — 1;

в) Н — группа кватернионов порядка 8, 4 делит р — I;

г) Н — такая циклическая примарная группа порядка д" (п > 1), что {яп,Р — 1) = д"-1-

Группа называется 7Г-замкнутой, если она имеет нормальную ет-холловскую подгруппу.

Основным результатом раздела 3.6 диссертации является следующее

3.6.1. Следствие [60]. Тогда и только тогда $ — минимальная и-локальпая не п-замкнутая формация, когда £ = РйгтС?, где О — такая монолитическая группа с монолитом Р, что 7Г(Р) П 7г1 ф 0 и либо т = п(Р) По; = 0, Р — ъ-замкнутый корадикал группы О, либо г ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) Р — неабелева группа, причем если т П я-' ф 0, то Р совпадает с

-корадикалом группы О;

2) б = [Р]Н, где Р = Са(Р) — р-группа , а Н — такая монолитическая группа с монолитом <2 = Я®*', что Ф(Я) = 1, р $

3.6.3. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.181]). Тогда и только тогда $ — минимальная локальная не п-замкнутая формация, когда $ = ¿йлтпО, где (3 — такая монолитическая группа с монолитом Р, что тт(Р) П У ф 0, группа С/Р п-замкнута и выполняется одно из следующих условий:

1) Р — 0Ъг< — неабелева группа; •

2) б = [Р]Н, где Р = Со(Р) —р-группа , а Н — такая монолитическая группа с монолитом <3 = Я®"', что Ф(Я) = 1, (|Р|, |<Э|) = 1.

В разделе 3.7 дается классификация минимальных ш-локальных не п-специальных формаций. Напомним, что группа называется ^-специальной, если она обладает нильпотентной нормальной 7г-холловской подгруппой.

3.7.1. Следствие [60]. Тогда и только тогда 3 — минимальная ы-

локальная не п-специальная формация, когда 3 = МогтС, где (3 — такая не я--специальная моиолитическая группа с монолитом Р, что группа О/Р ■к-специальна и либо т = л(Р) Пи> — 0, либо т ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) Р — нсабелева группа, причем если т = {р} С л, то Р = С7*»®*', в противном случае Р — С?®*';

£) б = [Р]Н, где Р = С<з(Р) — р-группа , а Н — такая моиолитическая группа с абелевым монолитом <Э, что р £ 7г(<3) и ф = Н

3.7.3. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.182]). Тогда и только тогда $ ~ минимальная локальная не л-специальная формация, когда 3 — ?й>гтС?, где (7 — такая не л-специальная моиолитическая группа с монолитом Р, что группа й/Р л-специальна и выполняется одно из следующих условий:

1) Р = С?®'' — пеабелева группа;

2) С? = [Р)Н, где Р — Со(Р) ~ р-группа , а Н — такая моиолитическая группа с абелевым монолитом <3, что (|Р|, ¡<Э|) = I, <3 = Я®*'.

Группа называется тг-разложимой, если она одновременно тг-спсциальна и 7г'-замкнута.

Описанию мииимальных ш-локальных не 7г-разложимых формаций посвящен раздел 3.8 диссертации.

3.8.1. Следствие [61]. Тогда и только тогда 3 — минимальная ш-локальная не л-разложимая формация, когда 5 = !шГогшО. где б — такая моиолитическая группа с монолитом Р, что тг(О) П л ф 0 и либо г = л(Р) Пи> = 0 и Р совпадает с л-разложимым корадикалом группы (•?, либо т ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) в — простая пеабелева группа;

2) С? — группа Шмидта;

3) С? = [Р]Н, где Р = Са(Р) — минимальная нормальная подгруппа группы <3, Н — простая нсабелева группа, причем л П п{Н) = 0.

3.8.3 Следствие (А.Н.Скиба [46, с.182[). Тогда и только тогда 3 — минимальная локальная не л-разложимая формация, когда 3 = ЯогшС?, где О — такая моиолитическая группа, что тг(Ст) Пл ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) (3 — простая пеабелева группа;

2) С? — группа Шмидта;

3) (7 = [Р\Н, где Р = Св(Р) — минимальная нормальная подгруппа группы в, Н — простая неабелева группа, причем я"П л(Н) = 0.

Пусть <р — некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел.

Группа (3 называется ^-дисперсивной, если она имеет такой ряд нормаль-

ных подгрупп

1 = Go С Gi С ... С G, = G, t > О,

что Gi/Gi-1 — силовская р,-подгруппа в G/G,_i иpi<pp2'-p ■ ■ -¡ppt-

В разделе 3.9 диссертации приведено описание минимальных ш-локальных не (р-дисперсивных формаций. Основным результатом раздела является следующее

3.9.1. Следствие [61]. Тогда и только тогда $ — минимальная из-локальная не (р-дисперсивная формация, когда £ =■ /wformG, где G — такая не 1р-дисперсивная монолитическая группа с монолитом Р, что группа G/P <р-дисперсивна и либо г = тс(Р) П из — 0, либо т ф0 и выполняется, одно из следующих условий:

1) Р — неабелева группа, GJP — 7Г-группа, где 7г — множество всех таких простых чисел q, что p(pq для любого р €т;

У G = [P]([Q]7V), где Р = Са(Р) - р-группа; Q = Cm(Q) - q-группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой в группа [Q]iV —

if-дисперсивна; кроме того, qipp upcpt для любого t € tt(N).

3.9.3. Следствие (А.Н.Скиба [46, с.182]). Тогда и только тогда Ç — минимальная локальная не <р-дисперсивная формация, когда $ = i^formG, где G — такая монолитическая группа с монолитом Р, что выполняется одно из следующих условий:

1) Р — неабелева группа, факторгруппа G/P <p-ducnepcue?ia и G/P — ■к-группа, где тт — множество всех таких простых чисел q, что p<pq для любого р g п(Р);

2) G = [Pj([Q]iV), где Р = CG{P) - р-группа; Q = C[q]n(Q) - q-группа, являющаяся минимальной нормальной подгруппой в [Q]N¡.группа [Q]iV — (р-дисперсивна; кроме того, qtpp и ptpt для любого t G <г(N).

Класс всех групп с нилыготентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением ЭТ21, где 21 - класс всех абелевых групп. В разделе 3.10 дается -классификация-мингямальных ы-локальных не 9Т21-формаций.

3.10.1. Следствие [63, 61]. Тогда и только тогда 3 — минимальная из-локальная не УШ.-формация, когда $ = PformG, где G — такая мополитическая группа с монолитом Р = Cf™, что либо т = тг(Р) Пы = 0, либо т ф 0 и выполняется одно из следующих условий:

1) Р — неабелева группа, причем если т — {р}, то Р — ${¡$1-корадикал группы G, если же |т| > 1, то Р совпадает с коммутантом группы G;

2) G — [Р]Н, где Р — Cq{P) — р-группа, а H - одна из следующих групп: а) H = [<5]iV, где Q = Ch(Q) = H' ф 1; б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева группа порядка q3 простой нечетной экспоненты q.

3.10.3. Следствие (А.Н.Скиба [46, с. 183]). Тогда и только тогда £ —

минимальная локальная не 9Ш-формация, когда 3 = ИогтС, где <? — такая монолитическая группа с монолитом Р, что либо Р — неабелева группа, совпадающая с коммутантом группы О, либо (3 = [Р]Н, где Р — Сс,{Р), а Н — одна из следующих групп: а) Н = [Q}N, где ф = Ся(Ф) — Я' Ф 1; б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева группа порядка г/ простой нечетной экспоненты ц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

— дана полная классификация минимальных си-локальных не 5)-формаций, где й — произвольная формация классического типа [59, 57].

— доказано, что если и)-локальная формация 3 % где 5] — формация классического типа, то н ^ имеется по крайней мере одна минимальная ш-локальная не #-подформация [62, 58].

— дано описание минимальных оыюкальных не ^-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа $) [56, 63, 60, 61].

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

[1] Аль-Шаро Халед. О пересечении некоторого семейства максимальных подгрупп конечной группы // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во Г ГУ им. Ф.Скорипы. - 1996. - Вып. 9. - С. 144-152.

[2] Аниськов В.В. Классификация разрешимых неприводимых локальных формаций с р-нильпотептным дефектом 2 // Вестн. БГУ. Сер. физ.-мат. наук. - 1995. - № 2. - С. 66-69.

[3] Аниськов В.В. Классификация р-разрешимых локальных формаций с р-разложимым дефектом 2 // Весщ Акад. навук Беларуси. Сер. ф!з.-мат. навук. - 1995. - № 3. - С. 126.

[4] Аниськов В.В. О неприводимых р-разрешимых локальных формаций с р-разложимым дефектом 2 // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. - 1995. - Вып. 8. - С. 11-22.

[5| Джарадин Джехад. Минимальные р-насьнценные неяилыготентные формации // Вопросы алгебры. —■ Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. — 1995. - Вып. 8. - С. 59-64.

[6] Джарадин Джехад. О р-насыщенных формациях с системами наследственных подформаций// Вестн. БГУ. Сер. физ.-мат. наук. — 1995. — № 3. - С. 1-6.

[7] Джарадин Джехад. Элементы высоты 3 решетки р-насыщенных формаций // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. — 1996. - Вып. 9. - С. 45-59.

[8] Джарадин Джехад, Скиба А.Н. Частично локальные формации с системами наследственных подформаций // Весщ Акад. навук Б ел ару й. Сер. ф1з.-мат. навук. - 19%. - Л* 3. — С. 13-16.

[9] Джарадин Джехад. Классификация 2>-локальных формаций длины < 3: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Гом. гос. ун-т. - Гомель, 1996. - 16 с.

10] Жевнова Н.Г. и>-Локальные формации с булевой решеткой о>-локальных подформаций // Доклады Акад. наук Беларуси. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 11-12.

11] Жевнова Н.Г. Внешняя характер из ация класса конечных р-разложимых групп // Вестн. БГУ. Сер. физ.-мат. наук. - 1997. - № 3. - С. 91-94.

12] Ольшанский А.Ю. Разрешимые почти кроссовы многообразия групп // Мат. сб. - 1971. - Т. 85, № 129. - С. 98-114.

13] Рыжик В.Н. Об одном классе р-локальных формаций // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. — 1997. -- Вып. 11. — С. 63-71.

14] Рыжик В.Н. О критических р-локальных формациях. — Гомель, 1997. — 12 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 58).

15] Рыжик В.Н., Скиба А.Н. О факторизациях однопорожденных р-локальных формаций. — Гомель, 1997. — 11 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 59).

16] Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных формациях не 5}-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. - 1995. - Вып. 8. - С. 109-138.

17] Сафонов В.Г. О кратно локальных формациях с ограниченным ниль-потентным дефектом // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. - 1996. - Вып. 9. - С. 112-127.

18] Сафонов В.Г. О разрешимых локальных формациях нильпотентного дефекта 3 // Весщ Акад. навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. — 1996. — № 3. - С. 8-12.

[19] Селькин В.М. К теории наследственных критических формаций. — Гомель, 1995,— 22 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 31).

[20] Селькин В.М. Описание минимальных наследственных локальных не <р-дисперсивных формаций // Вестн. ВГУ. Сер. физ.-мат. наук. — 1995. — № 3. - С. 72-73.

[21] Селькин В.М. О критических формациях // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. - 1996. - Вып. 9. - С. 120-141.

[22] Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не .^-формациях ff Весщ Акад. навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. — 1996. - № 3. - С. 73-83.

[23] Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сиб. мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 5. - С. 1145-1153.

[24] Селькин В.М., Скиба А.Н. О .^^-критических формациях // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. — 1999. — Вып. 14. — С. 127-131.

[25] Скиба А.Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1980. - № 4. - С. 27-33.

[26] Скиба А.Н. О критических формациях // Докл. АН БССР. - 1983. - Т. 27, JV* 9. - С. 780-782.

[27] Скиба А.Н. О минимальных S-замкнутых локальных нер-сверхразреши-мых формациях // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. - С. 53-58.

[28] Скиба А.Н. О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и под-групповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР.

— Минск: Наука и техника, 1986. — С. 149-156.

[29] Скиба А.Н. Характеризация конечных разрешимых групп заданной нильпотентной длины // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское.

- 1987. - Вып.З. - С. 21-31.

[30] Скиба А.Н., Таргонекий Е.А. Классификация локальных формаций конечных групп с нильпотентным дефектом 2 // Мат. заметки. — 1987. — Т. 41, № 4. - С. 490-499.

[31] Скиба А.Н. Формации со сверхразрешимыми локальными подформация-ми // Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности.

- Новосибирск: Наука. - 1984. - Т.4. - С. 101-118.

[32] Скиба А.Н. О минимальных локальных не 7г-сверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское. — 1985. — Вып.1.

- С. 109-117.

[33] Скиба А.Н.' О локальных формациях с ограниченным р-разложимым дефектом // Изв. вузов. Сер. Математика. — 1991. — Л* 4. — С. 63-69.

[34] Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр. / Ин-т математики АН Украины. - Киев, 1993. - С.258-268.

[35] Скиба А.Н. О локальных формациях с дополняемыми локальными под-формациями // Изв. вузов. Сер. Математика. —1994. № 10. — С. 75-80.

[36] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О частично локальных формациях // Доклады Акад. наук Беларуси. - 1995. - Т. 39, № 3. - С.123-143.

[37] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Кратно ш-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп. — Гомель, 1997. — 42 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 63).

[38] Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

[39] Таргонский Е.А. О локальных формациях с нильпотентными немаксимальными собственными локальными подформациями // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское. — 1985. — Вып.1. — С. 118-124.

[40] Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп // Матем. Сб. — 1974. — Т. 94, № 4. - С. 628-648.

[41] Шеметков Л .А. Два направления в развитии теории непростых конечных групп // Успехи мат. наук. - 1975. - Т. 30, № 2. - С. 179-198.

[42] Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. — Киев: Наукова думка, 1980. — С. 37-50.

[43] Шеметков Л.А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 267 с.

[44] Шеметков Л.А. О произведении формаций // Докл. АН БССР. - 1984. -Т.28,№ 2. - С. 101-103.

[45] Шеметков JI.А. Новое направление общей алгебры // Вопросы алгебры.

— Минск: Университетское. — 1986. — Вып.2. — С. 3-7.

[46] Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. - 253 с.

[47] Cossey P.J On varieties of Л-groups // Proc. Internat. Conf. Theory of Groups. Austral Nat. Univ. Canberra, 1965 / Gordon and Breach, 1967.

[48] K.Doerk and T.Hawkes. Finite soluble groups. — Berlin. New York: Walter de Gruyter, 1992. - 889 p.

[49] Gaschütz W. Zur Theorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. - Bd. 80, № 4. - S. 300-305.

[50] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type has a complement // Chinese Science Bulletin. — 1997. — Vol. 42, X« 5. — P. 364-368.

[51] Gupta N.D., Newman M.F. On metabellian groups //J. Austral. Math. Soc.

- 1966. - № 6. - P. 362-368.

[52] Higman Graham. Some remarks on varieties of groups // Quart. J. Math. — Oxford. - 1959. - Vol. 10, № 2. - P. 165-178.

[53] Kovacs L.G., Newman M.F. Just-non-Cross varieties // Proc. Internat. Conf Theory of Groups. Austral Nat. Univ. Canberra, 1965. / Gordon and Breach. 1967.

[54] Shemetkov L.A. Some ideas and results in the theory of formations of finite groups. — Warwick, 1991. — 44 p. —(Warwick preprints; X'- 13).

[55] Skiba A.N. On nontrivial factorisations of an onegenerated local formation of finite groups // Proc. Int. Conf. Algebra Dedicat. Mem, A.I.Mal'cev, Novosibirsk, Aug. 21-26, 1989. /Pt. z. Providence (R.I). - Novosibirsk, 1992. - P. 363-374.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[56] Сафонова И.Н. О минимальных ы-локальных несверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. — Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. — 1998. - Вып. 12. - С. 123-130.

[57] Сафонова И.Н. О минимальных и-локальных не ^-формациях // Весщ НАН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. - 1999. - № 2. - С. 23-27.

[58] Сафонова И.Н. О существовании ^„-критических формаций // Известия Гом. гос. ун-та. - 1999, № 1 (15) Вопросы алгебры. - С. 118-126.

[59] Сафонова И.Н. О критических ш-локальных формациях конечных групп.

— Гомель, 1998. — 13 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 76).

[60] Сафонова И.Н. О ^^-критических формациях — Гомель, 1999. — 22 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 85).

[61] Сафонова И.Н. К теории критических ш-локальных формаций конечных групп — Гомель, 1999. — 18 с. — (Препринт / Гомельский госуниверситет; № 90).

[62] Сафонова И.Н. К вопросу существования критических формаций // Вычислительные методы и производство: реальность, проблемы, перспективы: Материалы I Международной научн. конф. / ГГУ им. Ф.Скорины.

- Гомель, 1998. - С. 188-189.

[63] Сафонова И.Н. К теории критических ш-локальных формаций // Вторая междун. алгебраич. конф. в Украине, поев, памяти Л.А.Калужнина (1914-1990): Тез. докл. научн. конф., Киев - Винница, 9-16 мая 1999 г. / Винницкий госледуниверситет имени М.Коцюбинского. — Винница, 1999. - С. 107-108.

Рэзгомэ

Сафонава 1на Мшалаеуна

Крытычныя ш-лакальныя фармацьп

Ключавыя словы: КАНЕЧНАЯ ГРУПА, КЛАС ТРУП, ЛАКАЛЬНЫ КЛАС ТРУП, ЧАСТКОВА ЛАКАЛЬНЫ КЛАС ТРУП, ФАРМАЦЫЯ, ЧАСТКОВА ЛАКАЛЬНАЯ ФАРМАЦЫЯ, КРЫТЫЧНАЯ ФАРМАЦЫЯ, РАШОТКА ЧАСТКОВА ЛАКАЛЬНЫХ ФАРМАЦЫЙ.

У дысертацьи з дапамогай агульных метадау тэорьп груп, метадау тэо-рьн фармацый дадзена поуная клаафжацыя мппмальпых лакальных не й-фармацый, дзе 55 — фармацыя клаачнага тыпу; даказана, што кал1 3" % дзе 55 — фармацыя клаачнага тыпу, то 3 мае па меншай меры адну мнпмаль-ную лакальную не ?уп адфармацыго; дадзена атсанне мтмальных лакальных не 55-фармацый для некаторых канкрэтных фармацый клаачнага тыпу

Я-

Усе атрыманыя вьшш работы з'яуляюцца новым]. Яны маюць тэарэтыч-ны характар \ могуць быць выкарыстаны пры вывученш часткова лакальных фармацый канечных груп, а таксама пры чытант спецкурсау, выкладаемых у дзяржушвератэтах 1 педшстьиутах.

Резюме

Сафонова Инна Николаевна

Критические и-локальные формации

Ключевые слова: КОНЕЧНАЯ ГРУППА, КЛАСС ГРУПП, ЛОКАЛЬНЫЙ КЛАСС ГРУПП, ЧАСТИЧНО ЛОКАЛЬНЫЙ КЛАСС ГРУПП, ФОРМАЦИЯ, ЧАСТИЧНО ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМАЦИЯ, КРИТИЧЕСКАЯ ФОРМАЦИЯ, РЕШЕТКА ЧАСТИЧНО ЛОКАЛЬНЫХ ФОРМАЦИЙ.

В диссертации с помощью методов общей теории групп, методов теории формаций, дана полная классификация минимальных а»-локальных не формаций, где 5) — произвольная формация классического типа; доказано, что если ш -локальная формация 3" 2 где — формация классического типа, то в 5" имеется по крайней мере одна минимальная и-локальная не 5)-подформация; дано описание минимальных а>-локальных не ^-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа

Все полученные результаты работы являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы при изучении частично локальных формаций конечных групп, а также при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах.

Summary

Safonova Inn a Nikolayevna

Critical ¿J-local formations

Key words: FINITE GROUP, CLASS OF GROUPS, LOCAL CLASS OF GROUPS, PARTIALLY LOCAL CLASS OF GROUPS, FORMATION, PARTIALLY LOCAL FORMATION, CRITICAL FORMATION, LATTICE OF PARTIALLY LOCAL FORMATIONS.

Using the methods of the general theory of groups and methods of the theory of formations, the dissertation gives a complete classification of minimal oj-local non-Jj-formations, where Sj is an arbitrary formation of the classicall type; it has been also proved that if a w-local formation 5 2 i), where Sj is a formation of the classical type, then in $ there is at least one minimal w-local non-fj-formation; there has been also given a discription of minimal w-local non-ij-formations for the most importent concrete formations of classical type.

All obtained results of the work are new. They have a theoretical character and are able to use in studying of partially local formations of finite groups and in teaching of special courses in the universities and pedagogical institutes.