Наследственные и нормально-наследственные критические локальные формации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины

гто од

1 1 ИОВ

УДК 512.542 . , 1(ЛП

СЕШШН ВАДИМ МИХАЙЛОВИЧ

НАСЛЕДСТВЕНННЕ И НОРМАЛЬНО Н4СВДЯВЕНШЕ КРИТИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ ФОРМАЦИИ

01.01.06-математмеская логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

Гомель, 1996 г.

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор СКИБА Александр Николаевич

Официальные ошоненты: доктор физико-математических наук, профессор Пальчик Эдуард Михайлович,

кандидат физико-математических наук, доцент Сементовский Александр Владиславович

Оппонирующая организация - Красноярский государственный

университет

Защита состоится " Ш "НОЯ$рЯ 1996 года в часов на заседании совета по защите диссертаций Д 02.12.01 в Гомельскс государственном • университете имени Ф.Скорины по адресу: 24665 г. Гомель, ул. Советская, 104.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Гомельски государственного университета им. Ф. Скорины.

Автореферат разослан " 9 "ОКТ^бря 1996 года.

Ученый секретарь

совета по защите диссертаций,

кандидат физико-математических наук,

профессор Л/И В.С.МОНАШ

АЬ^ /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш диссертации. Формации - это классы груш, замкнутые относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Формация конечных групп называется наследственной (нормально наследственной), если она со всякой своей группой содержит и все ее подгруппы (соответственно содержит все ее нормальные подгруппы). Нетрудно заметить, что наследственные формации можно определить и как классы групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов, подгрупп и прямых произведений с . конечным числом сомножителей. При таком подходе к определению наследственной формации обнаруживается прямая их аналогия с многообразиями груш, которые согласно теореме Биркгофа можно определить как классы групп, замкнутые относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и декартовых произведений. В связи с последним обстоятельством наследственные формации часто получают другое название: конечное многообразие, псевдомногообразие и др.

Для любого многообразия групп Щ его подкласс fini, состоящий из конечных 1-групп, является наследственной формацией. Если при этом многообразие 1 локально конечно, то, как известно, оно однозначно определяется своим подклассом fini. Это обстоятельство часто позволяет свести задачу изучения локально конечного многооб-образия 1 к изучению наследственной формации fini. Отметим, например, что для любого локально конечного многообразия И решетка его подмногообразий изоморфна решетке наследственных подформаций формации fini (А.Н.Скиба, 1984г.). И хотя сам термин "формация" стал применяться в теории многообразий сравнительно недавно, фор-мационный оператор QR0 существенно использовался многими авторами в исследованиях по теории локально конечных многообразий.

Еще более важное значение наследственные и нормально наследственные формации имеют в теории локальных формаций конечных групп. Напомним определение локальной формации.Пусть / - функция, заданная на множестве- всех простых чисел IP, со значениями во мно-

жестве всех формаций конечных груш. Если формация конечных груш § такова, что 0 € $ в том и только том случае, когда ШЛО:) с /(р) для любого простого делителя р порядка группы С, то д.называют локальной формацией, а функцию / - ее экраном. Все наиболее важные конкретные формация конечных групп обладают таким экраном, все неабелевы значения которого локальны. В связи с этим формации с таким свойством называют формациями классического типа. И хотя в общем случае разрешимая локальная формация $ не является наследственной или нормально наследственной, ее наибольший (нормально) наследственный подкласс является локальной формацией (Картер,ФишерДоукс,1968г.). Это обстоятельство позволило редуцировать ряд трудных задач теории формаций к исследованию случая, когда рассматриваемые формации (нормально) наследственны. Отметим, наконец, что наследственные и нормально наследственные локальные формации оказались основным рабочим инструментом при создании- ряда красивых и содержательных теорий. В этой связи отметим работы Л.А.Шеметкова [10,11] и М.В.Селышна [4,5] о пересечениях максимальных подгрупп , работу В.Н.Семенчука [6] о минимальных не ^-группах,работы С.Ф.Каморникова [2,3] по теории ^-субнормальных подгрупп, а также совместные работы Баллестера-Болиншес, Дерка, Перец-Рамоша [14] и А.Ф.Васильева, С.Ф.Каморникова, В.Н.Семенчука [1] о решетках подгрупп конечных групп. Таким образом, задача конструирования и классификации, наследственных и нормально наследственных локальных формаций занимает одно из центральных мест в современной теории классов групп.

Наличие в исследуемой локальной формации $ подформаций того или иного вида и их взаимное расположение в $ является важной особенностью этой формации. Это явилось основным стимулом для многочисленных исследований,связанных с изучением внутреннего строения локальных формаций. Следует, однако, отметить, что поскольку решетка подформаций у любой неединичной локальной формации бесконечна, то при исследовании ее подформаций весьма затруднительно применение индуктивных рассуждений. Это обстоятельство привело к

необходимости разработки особых методов исследования локальных формаций, связанных с понятием критической формации. Пусть-б -произвольная непустая совокупность формаций, 5 - некоторый класс групп. Формации, принадлежащие 8, называются 8-формзциями. .Минимальной не 5 9-формацией [12] или иначе ^-критической формацией [.7] называется всякая такая 8-формация $ £ § и у которой все ее собственные 9-подформации в классе § содержатся. Общая- проблема изучений ¡5д-критических формаций была поставлена Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году (см. [12])'. Решение этой задачи в случае,когда 8 - класс всех локальных формаций было дано А.Н.Скибой (1993 г.). В работе [8] А.К. Скибой было начато изучение ^-критических формаций- в случае, когда Э - класс всех локальных наследственных, формаций. Им были описаны минимальные локальные наследственные несверхраз-решмые формации и минимальные локальные наследственные ненильпо-тентные формации. Кроме того, в этой работе было установлено следующее универсальное свойство формаций такого рода: если д £ где 21 - наследственная локальная, формация, а & - произвольный класс групп, то в $ имеется по крайне мере одна минимальная локальная наследственная не §-подформация. .

В данной диссертации, дополняя результаты работы [9] и существенно расширяя результаты работы А.Н.Скибы [8], дается полное решение отмеченной выше проблемы изучения §д-критических формаций в случае, когда § - формация классического типа, а 9 - класс локальных лнормально) наследственных формаций.

Связь работы с крупными научным програюаш,.. темами. Диссертация выполнена в рамках госбюджетной теш Гомельского госуниверситета "Развитие формационных методов теории групп и других алгебраических систем", входящей в перечень важнейших исследований по Республике Беларусь. Диссертация была поддержана Международной Соросовской Программой образования в области точных наук.

Цель и задачи исследования - построение общей теории мини-

мальных локальных нормально наследственных не ^-формаций и минимальных локальных наследственных не ^-формаций. Для достижения такой цели в диссертации решены следующие задачи: дано описание минимальных локальных нормально наследственных не ¡¡^-формаций, доказана теорема о существовании минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций, дано описание минимальных локальных наследственных не ^-формаций, дано описание минимальных локальных нормально наследственных не 5-формаций и минимальных локальных наследственных не 5-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа £>.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы -в исследованиях по теории классов групп, и при чтении спецкурсо'в, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций.

2) Теорема о существовании минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций.

3) Описание минимальных локальных наследственных не 5-форма-

ций.

4) Описание минимальных локальных нормально наследственных не ¡5-формаций и минимальных локальных наследственных не 5-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа §.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета,на Международной математической конференции,посвященной 200-летию со дня рождения Н.й. Лобачевского (Минск,1992), на Международной математической конференции,посвя-

[ценной 25-летию Гомельского госуниверситета(Гомель,1994),на Меж- , дународной конференции но алгебре и анализу, посвященной памяти Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994),на Международной конференции по алгебре и кибернетике, посвященной памяти С. А. Чунихина (Гомель, 1995).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях [23,24,25,26,27], 2 препринтах [19,22], 6 тезисах конференций [15,16,17,18,20,21].

Структура_и_объем_дассертациил Диссертация состоит из не- 1 речня-определений и условных обозначений, введения, общей харак- ' теристики работы,. четырех глав основной части, выводов и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 59 наименований. Объем диссертация - 115 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ '

Все рассматриваемые группы предпологавтся конечными. Используются определения и обозначения, принятые в книгах [11,13]. -

Глава 1 содержит обзор основных результатов диссертации.

В главе 2 собраны некоторые известные результаты, используемые в основном тексте диссертации.

Локальная формация $ называется минимальной локальной не ■ формацией, или, иначе, ¡¡^-критической формацией, если $ не входит в класс групп $), но всякая собственная локальная подформация из $ содержится в 5. Если локальные формации g и & таковы, что то во многих важных случаях удается доказать, что в $ имеется по крайне мере одна минимальная локальная не ^-подформация. 'Согласно работе [9] это верно, например, в случае, когда 5 - одна из формаций классического типа, т.е. если у 5 имеется такой локальный экран, все неабелевы значения которого локальны.Это обстоятельство указывает на важность изучения формаций такого типа. Теория минимальных локальных не ^-формаций была разработана, в основном, А.Н.Скибой. Кульминационным результатом этой теории явилось полу- ^

ченное в работе [9] описание минимальных локальных не ^-формаций, где § - произвольная формация классического типа.

Следует отметить, что в общем случае проблема отыскания у локальной формации $ £ § минимальных локальных не ^-подформаций весьма трудна. Это обстоятельство приводит к,необходимости изучения следующих аналогов минимальных локальных не ^-формаций.

Наследственная локальная формация 3 называется минимальной локальной наследственной не $-формацией, если § ¡£ ¡5> но ^ £ § для всякой собственной локальной наследственной подформации ^ из

Локальная нормально наследственная формация $ называется минимальной локальной нормально наследственной не ^-формацией, если 8 £ но 2г± с § для всякой собственной локальной нормально наследственной подформации ^ из

Описанию минимальных локальных нормально наследственных не $)-формаций и минимальных локальных наследственных .не ^-формаций в случае, когда § -. формация классического типа,'посвящены главы 3 и 4.

Глава 3 состоит из 4 разделов. Как известно, всякая локальная формация § представима в виде

где Н - произвольный локальный экран формации Таким образом, общая проблема изучения минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций, где § - локальная формация классического типа, сводится к описанию минимальнах локальных нормально наследственных не (©р, КрШ)-формаций в случаях, когда 1 - абелева формация или когда Ш - некоторая локальная формация. Изучение этих двух ключевых моментов и является главной целью раздела 3.1. Отметим, что хотя все результаты этого раздела имеют лишь вспомогательное значение в данной диссертации, часть из них представляет, на наш взгляд, и некоторый самостоятельный интерес. Отметим здесь 3 наблюдения.

Пусть ЭГопгШ - нормально наследственная формация, порожденная совокупностью групп 2,т.е. 9ЛгшЗ? - пересечение всех тех нормально наследственных формаций, которые содержат Ж. Нетрудно показать, что если $ = Ш состоит лишь из одной группы, то 61опУ обладает максимальными нормально наследственными подформациями, причем любая собственная нормально наследственная подформация из 8!огт4 входит в. одну из них. Как показывает лемма 3.1.1, в случае, когда А - примитивная группа, в 8ГогаЫ имеется лишь един-единственная максимальная нормально наследственная подформация 1, причем /Г

® = 9Гогш( г и {А / (БосЦ)}),

где £ - множество всех собственных нормальных подгрупп из А, если А - монолитическая группа, и Ж - множество всех собственных нормальных подгрупп в примитиваторе группы А, если А - немоноли-тическая группа. Отметим, что это наблюдение дополняет "'следующий результат А.Н.Скибы (1980 г.): если А - примитивная монолитическая группа с монолитом Я, то Тот(Ш) - единственная максимальная подформация в Гогпь4 (в 1988 г. этот результат был передоказан Херцфельд ).

Нормально наследственная формация $ называется минимальной нормально наследственной не ^-формацией, если $ ^ но все собственные нормально наследственные - подформащти из $ в классе 5 содержатся. Во. многих местах диссертации используется следующий общий результат о формациях такого типа.

3.1.4.Лемма. Пусть § - локальная формация. В том и только том случае $ является минимальной нормально наследственной не ¡5-формацией, когда 8 = б1огтА, где А г такая монолитическая нормально минимальная не ¡5-группа с нефраттиниевым монолитом, что А/Вос(А) с е.

В этой лемме под нормально минимальной не 5-группой мы пони-мамем такую группу, которая сама не содержится в классе групп но все ее собственные нормальные подгруппы этому классу принадле-

жат. В 1984 году А.Н.Скибой были описаны минимальные неабелевы формации. Аналогом этого результата в классе нормально наследственных формаций является следующая лемма.

3.1.8. Леша. Тогда и только тогда $ - минимальная нормально наследственная неабелева формация, когда $ = 81!огт4, где А -одна из следующих групп: 1) ненильпотентная монолитическая группа с монолитом Р = Р- % Фи), у которой все собственные нормальные подгруппы абелевы; 2) группа кватернионов порядка 8; 3)неабелева группа порядка р3 простой нечетной экспоненты р.

Для произвольной группы 1 символ 1еп1огтА обозначает локаль ную нормально наследственную формацию,порожденную группой А, т.е. 1эп1огш4 - пересечение всех тех локальных нормально наследст-брншж формаций- кптпры0 содержат ''ну щи А- Ка основа чпб.т^ений и техники раздела 3.1 в разделе 3.2 доказывается следующий основной результат данной главы.

3.2Л. Теорема. Пусть П - максимальный внутренний локальный экран нормально наследственной формации классического типа $)• В том и только том случае является минимальной локальной нормально наследственной не й-формацией, когда ?[ = ^ГотС, где С -такая монолитическая группа с монолитом Р = Ф, что выполняется одно мз следующих условий:

1) С = Р - группа простого порядка;

2) Р - неабелева группа и С - нормально минимальная не П(р)~тщша с Р для всех р € %(Р);

3) 0 = Р х И, где Р - 0Л(?) -р-группа, а Н - монолитическая нормально минимальная не Мр)-группа с монолитом £3 = (р не делит |й|) одного из следующих типов:а) Ф(Я) = 1;б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева груша порядка q3 простой нечетной экспоненты q; г) циклическая примерная груша.

Разделы 3.3 и 3.4 посвящены приложениям этой теоремы. Поскольку в общем случае решетка локальных подформаций локальной формации 3 имеет мощность континуума, задача отыскания в $ подформаций с заданными свойствами в общем случае весьма труд-

на. В связи с этим представляет интерес следующая теорема раздела 3.3, являющаяся одним из главных следствий теоремы 3.2.1.

3.3.2. Теорема. Пусть $ и 5 - локальные нормально наследственные формации, причем Тогда если й является формацией классического типа, то в $ имеется по крайне мере одна минимальная локальная нормально наследственная не ^-формация.

В разделе 3.4 .показывается, как теорема 3.2.1 монет быть использована для получения классификаций минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций для конкретных формаций В частности, здесь приведены следующие утверждения, вытекающие из теоремы 3.2.1.

3.4.1. Следствие . Тогда и только тогда 5 является минимальной локальной нормально наследственной ненильпотентной формацией, когда 3 = 1егГоппС, где в - либо простая неабелева группа, либо некоторая группа Шшдта.

3.4.2. Следствие. Тогда и только тогда % является минимальной локальной нормально наследственной неметанильпотентной формацией, когда 3 = 1дпГогтО, где й - либо простая неабелева группа, либо С = Р \ В - монолитическая группа с монолитом Р = = С^(Р), Я - группа Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини.

3.4.5. Следствие. Тогда и только.тогда $ является минималь ной локальной нормально наследственной не ф-дисперсивной формацией, когда 3 = 1впГогпй, где й- либо простая неабелева группа, либо не ф-дисперсивная группа Шмидта.

3.4.6. Следствие. Тогда и только тогда $ является минимальной локальной нормально наследственной неразрешимой формацией,когда ^ = Х^огтб, где О - простая неабелева группа.

3.4.7. Следствие. Тогда и только тогда 8 является минимальной локальной нормально наследственной не тг-разложимой формацией, когда 8 = 1апГошС, где тс(0 П % Ф 0, и либо С - простая неабелева груша, либо б = Р х Я, где Р = СС(Р) - минимальная нормальная подгруппа группы С, а Н - одна из следующих групп:

1) простая неабелева тс' -группа;

2)группа простого порядка.

3.4.8.Следствие. Тогда и только тогда $ является минимальной локальной нормально наследственной не ic-нильпотентной формацией, когда $ = lsnformG, где G - такая монолитическая груша с монолитом Р, что i(Р) П % ф 0, и либо G - простая неабелева группа, либо G - Р \ Я, где Р = Cq(P), а Я - одна из следующих групп:

1) простая неабелева tí -груша;

2) группа простого порядка.

3.4.9. Следствие. Тогда и только тогда $ является минимальной локальной нормально наследственной не тс-разрешимой формацией, когда $ = 1 íormG, где G - простая неабелева ird-rpynna.

3.4.10. Следствие. Тогда и только тогда $ является минимальной локальной нормально наследственной не ic-замкнутой формацией, когда ¿f = l^íormG, где G - либо неабелева простая •■к'-груша, либо .не незамкнутая группа Шмидта.

_ Важно"отметить-, что описания минимальных локальных нормально наследственных не ^-формаций для конкретных формаций § оказываются, как правило, -значительно более компактными, чем соответствующие описания для минимальных локальных не ^-формаций, полученные А.Н.Скибой.

Глава 4 состоит из 3 разделов. В разделе 4.1 исследуются наиболее общие' свойства минимальных локальных наследственных не ^-формаций и минимальных наследственных не ^-формаций. Символом lsfornG здесь обозначается пересечение всех тех локальных наследственных формаций, которые содержат группу:G.

Напомним следующий известный результат Ковача и Ньюмена (1966 г.): если А - примитивная монолитическая группа, то многообразие 1, порожденное всеми собственными секциями группы А, отлично от многообразия vari. Из леммы 4.1.1 вытекает следующее усиление этого результата: если А - примитивная монолитическая группа и К - множество всех ее собственных подгрупп, тогда varí является единственным максимальным подмногообразием многообразия vari.

Если g - минимальная локальная наследственная не 5-формация, , то нетрудно обнаружить, что у такой формации имеется лишь одна максимальная локальная наследственная подформация ® и 2t = IsformG для любой группы G е $ \ ГО. Следующая лемма позволяет во многих случаях описать экран формации 511.

4.1.5. Лемма. Пусть G = Р х Н, где Р = Gq(P) - минимальная нормальная р-подгруппа группы G, а Я - такая монолитическая группа с монолитом <3, что-р не делит |Q| и Ф(Я) = 1. И пусть Ж -множество всех собственных подгрупп группы Н. Тогда локальная формация 2s=Lsform G локально наследственно неприводима и ее мак- ' симальная локальная наследственная подформация 5 имеет такой вну- ' тренний локальный экран h, что h(p)=siormS; h(q) = siorm(G/Fg(G)) • для всех q е %(G) \ {р} и h(q) 0 для всех простых q £ %{G).

Напомним, что лемма 3.1.8 описывает минимальные нормально наследственные неабелевы формации. При изучении наследственных ' формаций полезным оказывается следующий ее аналог.

4-. 1.6. Леша. Тогда и только тогда g - минимальная наслед- -ственная неабелева формация, когда $ = sform 4, где А - одна из следующих групп:

Л ) группа Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини;

2) группа кватернионов порядка 8;

3) неабелева группа порядка р3 простой нечетной экспоненты р.

Как доказано А.Н.Скибой в работе [8], минимальные локальные •

наследственные, не ^-формации обладают . следующим универсальным . свойством: если 3 t 5. где g - наследственная локальная формация, а 5 - произвольный класс груш, го в g имеется, по крайне, мере одна, минимальная локальная наследственная не %-подформация. Этот результат указывает на перспективность использования минимальных локальных наследственных не ^-формаций при изучении внутреннего строения локальных формаций. Изучение такого рода. формаций было начато А.Н.Скибой в работе [8], где были описаны минимальные локальные наследственные несверхразреишмые, минимальные локальные наследственные ненилыготентные формации и некоторые другие кон- ^

кретные минимальнее локальные наследственные не ^-формации.

В разделе 4.2 на основе результатов раздела 4.1 доказывается следующая теорема, завершающая исследования работы [8].

4.2.1. Теорема. Пусть § - наследственная формация классического типа, Н - ее максимальный внутренний локальный экран. В том и только том случае 3 является минимальной локальной наследственной не ^-формацией, когда д = Шопт^, где С - такая моноли-тическая группа с монолитом Р = Ф, что выполняется одно из следующих условий:

1) в = Р - группа простого порядка;

2.) Р - неабелева группа и С - минимальная не й(р)-группа для всех р € 1С(Р);

3) От = Р х н, где Р = СС(Р) - р-группа, а Я - монолитическая минимальная не ^(р)-группа с монолитом Q ( р не делит одного из следующих типов: а) Ф(Я) = 1 и каждая собственная подгруппа группы Н принадлежит ?г(д) при всех д с 1с(ф; б) группа кватернионов порядка 8; в) неабелева груша порядка д3 простой нечетной экспоненты д; г) циклическая примарная группа.

В разделе 4.3 приводится описание минимальных локальных наследственных не 5-формаций для всех наиболее известных конкретных формаций классического типа Отметим наиболее интерестные наблюдения этого раздела.

4.3.1. Следствие. Тогда и только тогда $ является минимальной локальной наследственной ненильпотентной формацией, когда $ = = 1вГоппС, где С - груша Шмидта.

4.4.2. Следствие. ( Скиба А.Н., [8]) Тогда и только тогда $ является минимальной локальной наследственной неметанильпотентной формацией, когда д = ХбЬшС, где С = Р х и, Р = СС(Р) - минимальная нормальная р-подгруппа группы О, Н - груша Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини.

4.4.4.Следствие. ( Скиба А.Н., [8]) Тогда и только тогда ^ является минимальной локальной наследственной нёсверхразрешимой формацией, когда $ = З-вХогтС, где б = Р х Я - такая монолитичес

кая груша с монолитом Р, что Р = Сq{P) - p-rpyima, а Я - одна из следующих груш с монолитом Q:

1) Я = Q х N - сверхразрешимая груша Шмидта с тривиальной подгруппой Фраттини, причем если |Q| = q и \И\ = t, то числа q и t делят р-1 и число t делит q-1;

2) примарная циклическая груша порядка qn и (qп, р-1) =

qnA;

3) груша кватернионов порядка 8 и порядок группы делит р-1;

4) неабелева груша порядка <f простой нечетной экспоненты q, делящей р-1.

4.4.5. Следствие. Тогда и только тогда 7} яштяетая минимальной локальной наследственной не ф-дисперсивной формацией, когда ji - IsformG, где G ~ не ^ндисгврсивная груша Шмид^гэ.

А а Р, Нпоттг.тчзтас I Птгт"!а A IT Г1 Тпртта т* тлттглгл шлтга 'S

является минимальной локальной наследствешой неразрешимой формацией, когда 3 = IsformG, где G - простая минимальная неразрешимая груша.

4.4.7. Следствие. ( Скиба А.Н., [8]) Тогда и только тогда g является минимальной локальной наследственной не я-ншьпотент-ной формацией, когда g = isiormG, где G - груша ВЬвдта с монолитом Р И %(Р) М il i 0.

4.4.8. Следствие. Тогда и только тогда g является минимальной локальной наследствешой не тс-разложимой формацией, когда $ = = IsformG, где. G - груша Шмидта и 11(G) П % Ф. 0.

4.4.9. Следствие. Тогда и только тогда g является минимальной локальной наследствешой не тс-замкнутой формацией, когда $ = = IsformG, где G = Р х я - груша Шмидта, причем тс(С) П % Ф 0 и тс(Р) П % = 0.

4.4.Н. Следствие. Пусть 5 - класс всех ^-специальных груш. Тогда и только тогда формация $ является минимальной локальной наследствешой не g-формацией, когда $ = IsformG, где G = Р х й - груша Шмидта и %{G) П ic = тс(Я).

4.4.13. Следствие. Тогда и только тогда $ является минимэль-

ной локальной наследственной неквазинильпотентной формацией, когда 3 = ЫогтС, где О - некоторая груша Шмидта.

вывода

1) В диссертации дана классификация минимальных локальные нормально наследственных не ^-формаций, где § - произвольна} нормально наследственная формация классического типа.

2) Доказано, что в любой локальной нормально наследственно] формации д £ 5 существует по крайне мере одна минимальная локальная нормально наследственная не ^-формация, где § - нормаль® наследственная формация классического типа.

3) Описаны''минимальные локальные нормально наследственные н< ^-формации для наиболее важных конкретных формаций классическое типа Я.

- : 4) "Завершено начатое А.Н. Скибой ' исследование минимальны: локальных наследственных не ^-формаций, где § - произвольна, наследственная-формация классического типа.

■■ 5) Описаны минимальные локальные наследственные не §-фор мации для наиболее важных конкретных формаций классического тип

15

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетка! иодгруш конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев: ИМ АН Украины, 1993. - С.27-54.

2. Каморников С.Ф. Перестановочные суОнормальные подгруппа конечшх групп // Докл. АН БССР. - 1989. 33. № 5. С. 396-399.

3. Каморников С.Ф. Об одной задаче Кегеля // Мат. заметки.

- 1992. Т. 51, № 5. - С. 51 - 56. |

4. Селькин М.В. Конечные группы с заданными ^-абнормальныщ ; максимальным подгруппами // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1978. - С. 143-151. :

5. .Селькин М.В. Исследование пересечений ^-абнормальных максимальных подгрупп конечных групп // Подгрупповое строение . конечных групп. - Минск: Наука и техника. 1981. - С. 108-116. :

6.', Семенчук В.Н. Минимальные не ^-группы //-Алгебра и логика. - 1979. - Т. 18, М 3. - С. 348-382.

7. Скиба А.Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1980. - * 4 С. 27-33.

8. Скиба А.Н. О минимальных Б-замкнутых локальных не сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и .' подгруппового строения конечных групп. - Минск: Наука и техника, 1984. - С. 53-58. ' *

9. Скиба А.Н. О критических формациях //. Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев: ММ АН Украины, 1993. - С.250-268. '

10. Шеметков Л.А. Ступенчатые формации групп. - Матем. сб., 1974, 94, № 4, С. 628-648.

И. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука.1978.

- 274 с." '

12. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI" ' Всесоюз. симпозиума по теории групп.- Киев: Наукова думка, 1980 С. 37-50. '

13. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 264 с.

14. Ballester-Bolinches A., Doerk К., Perez-Ramos M.D. А criterion for 3-subnormality // J. Algebra. - 1989.- vol.120.- p. 416 - 421.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

15. Селькин В.М. О локальных в $ формациях конечных груш // Конференция математиков Беларуси: Тез. докл. - Гродно, 1992. - Ч. 1. - С.45.

16. Селькин В.М. Характеризация одного класса локальных <!юрмя?щй // Мржц'гаатумщая мэтемйтическэя конференция, посв.чщзннэя 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского; Тез. докл. - Минск, 1993. г Ч. -1. С. 26.

17. Селькин В.М., Скиба А.Н. Об одном вопросе теории формаций // Международная математическая конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.. Лобачевского; Тез. докл. - Минск,

1993. - Ч.,1. С. 29.

, ■■ 18. Селькин В.М. О критических формациях // Международная конференция по алгебре и анализу , посвященная памяти Н.Г. Чеботарева: Тез. докл. - Казань, 1994. - С. 18.

19. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях.,- Препринт / Гомельский госуниверситет. - Гомель,

1994. - 41 С.

20. Селькин В.М. О Я^-критических формациях // Международная математическая конференция посвященная 25-летию Гомельского госуниверситета им. Ф. Скорины: Тез. докл. - Гомель,

1995. - Ч. 1. - С. 54.

21. Селькин В.М. О минимальных нормально наследственных локальных не ^-формациях // Международная математическая конференция, посвященная памяти С.А. Чунихина: ' Тез. докл. -Гомель, 1995. - 4.1. - С. 115 - 116.

22. Селькин В.М. К теории наследственных критических формаций. - Препринт / Гомельский госуниверситет. - Гомель, 1995.

- 22 С.

23. Селькин В.М. Характеризация одного класса локальных формаций .// Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1995. - Вып. 8. - С. 139 - 145.

24. Селькин В.М. Описание минимальных наследственных локальных не ф-дисперсивных формаций // Вестник БГУ. - Минск: Ун1верс1тзцкае, 1995. Я 3. - С. 72 - 73.

25. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сибирский математический журнал. - 1996. № 5. - С. 59 - 81.

26.. Селькин В.М. О критических формациях // Вопросы алгебры.

- Гомель: Изд-во Гомемельского ун-та, 1996 - Вып. 9, С. 120 -141.

27. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не ^-формациях // Весц! АН ИЗ. - Сер. физ.- мат. н. -1996. - * 3. - С. 73 - 83.

РЭЗЮМЕ

Сельк1н Вадз1м М1хайлав1ч

Спадчынныя 1 нармальна . спадчынныя крытычныя лакальныя фармацы1. . .....

Кгочавыя словы: канечная група, нармальная падгрупа, лакаль-ная фармация, м!н1малышя лакальныя спадчынныя не ¡5-фармацыя, м!н1мальныя лакальныя нармальна спадчынныя не 5-фармацыя.

У дысертацы! атрымана поуная клас1ф!кацыя мШмальных ла-кальных спадчынных не §-фармацый 1 мтмальных лакальных нармальна спадчынных не ¡5-фзрмацый, дзе 5 - адвольная нармальна спадчынная фармацыя клас!чнага тылу. Акрамя гэтага тут дадзена ап!санне м1н1мальных лакальных спадчынных не 5-фармацый 1 м1н!мальных лакальных нармальна спадчынных не $>-фармацый для

найбольш важных канкрэтных фармаиый класячнага тыпу

Усе асноуныя вын1к1 з'яУляюцца новым!, маюць тэарэтычны характер i могуць быць выкарысташ У даследаваннях па тэоры! фармации, а таксама пры выкладанн! епецкурсау ва ун1верс1тэ?ах i педхнстытутах. -

РЕЗЮМЕ

СелькшьВадим Михайлович

Наследственные и нормально наследственные критические локальные- формации.

Ключевые слова: конечная группа, нормальная подгруппа, локальная формация, минимальная локальная наследственная не Р)тформация,. минимальная локальная нормально наследственная 'не формация.

В- диссертации получена полная классификация минимальных локальных' наследственных не ^-формаций и минимальных локальных нормально, наследственных не ^-формаций, где $ - произвольная нормально наследственная формация классического типа. Кроме того здесь дано описание минимальных локальных ' наследственных не 5-формаций и минимальных локальных нормалью наследственных не 5-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа

Все основные результаты являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по теории формаций, а также при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах.

. SUMMARY

Selkin vadim MiMiailovich

Inherlt and normal inherit critlkal lokal formations.

Key words: finite groups, normal subgroup, lokal formation,

minimal local inherit non g-formation, minimal local normal Inherit non ¡5-iormation.

The complete classification of minimal local inherit non g-formations and minimal local normal Inherit non g-formations where 5 is an arbitrary normal inherit formation of classical type is obtained. Besides, the description of minimal local inherit non Sj-formations and minimal local normal inherit non ^-formations for the most significant concrete of classical type 5 is given.

All the main results of the thesis are new. they are of significant theoretical value and can be used in the investigations connected with formations and Pitting classes theory of finite groups as well as for teaching students at universities.

Селькин Вадим Михайлович.

' Наследственные и нормально наследственные критические локальные формации.

Автореферат- диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Подписано в печать 20.09.96. Формат 60x90 1/16. Бумага писчая Усл. печ. листов . Уч.-изд. листов Тираж 75 экз. Заказ242.

Отпечатано с макета-оригинала на ротапринте ГГУ им. Ф.Ско-рины: 246699 г. Гомель, ул. Советская, 104.