Композиционные критические формации конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

л Т

П • " 'Л

Ь ■'.; • • ' . ' На правах рукописи

СОРОКИНА Марша йаайловна

КОМПОЗИЦИОННЫЕ КРИТИЧЕСКИЕ ФОРМАЦИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 1998

Работа выполнена в Брянском государственном педагогическом университете им. академика И.Г.Петровского на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕДЕРНИКОВ В. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЧЕРНИКОВ Н. С.

кандидат физико-математических наук, доцент ДУРНЕВ В. Г.

Ведущая организация - Гомельский государственный университет.

Защита состоится «....y>^7:0f:v:\I99Q года в .... часов в аудитории 204 на заседании диссертационного Совета К ИЗ.27.01 в Ярославском государственном, педагогическом университете имени К. Д. Ушинского по адресу : 150000, Ярославль, ул. Республиканская, 108, ЯГПУ им. Н.Д.Ушинского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского госпедуниверситета им. К.Д.Ушинского.

/Г- ^ t

Автореферат разослан «...».г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физико-математических наук, доцент

В. Г. Шендеровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность_теиы. Характеризация груш по тем или иным свойствам, налагаемым на их подгруппы, представляет собой одно из интересных и глубоких направлений в теории конечных груш. Значительное место в этом направлении занимает проблема изучения груш, не обладающих заданным свойством С, у которых все собственные подгруппы этим свойством обладают. Первые результаты о такого рода группах принадлежат Миллеру и Морено [14], которые исследовали неабелевы группы, все собственные подгруппы которых абелевы ( или, другими словами, минимальные яе Ц-группы, где 11 - класс всех конечных абелевых групп ). Развитие этого направления в нешей стране берет свое начало в работах О.Ю.Шмидта. Так, в 1924 году им было получено описание зтроения минимальных ненильпотентных групп [11], названных зпоследствии группами Шмидта. Многочисленные результаты о различных обобщениях групп Шмидта принадлежат С.АЛунпхину и зго ученикам ( см., например,- [6] ). Минимальные несверх-эазрешимыэ группы исследовались Б. Хуппертом [16] и К. Дерком 113], а в работе Джона Томпсона [15], с точностью до строения гадгруппы Фраттини, перечислены минимальные неразрешимые грунты. Исследованием минимальных не 5-групп для некоторого класса Тзупп 5 занимались также Ю.А.Гольфанд, Л.А.Шеметков, А.И. Ста-эостин, В.Н.Семенчук, В.А.Ведерников, З.Т.Нагребецкий и другие.

Задача изучения минимальных на групп тесно связана о бо-юе общей задачей - задачей изучения минимальных не 5-классов ! или иначе ^-критических классов ), то есть таких классов Т?упп, которые сайи не содержатся в некотором классе 5, но у готорых все собственные подклассы в 5 содержатся. Впервые эта ¡адача была поставлена Л.А. Шеметковым в 1980 году для фср-(аций конечных груш (см. [91). Напомним, что формацией ( Га-тц, 1963 г. ) называется класс групп, замкнутый относительно :зятия гомоморфных образов и конечных подлрямых произведений 12] . Исследованием минимальных не ^-формаций занимались .. Н. Скиба, С. Ф. Каморников, В. Н. Семенчук, Е.А. Таргонский : другие . В работе [5] А. Н. Скибой было дано решение адачи Л. А. Шеметкова для класса всех локальных форма-дй. Локальные формации занимают центральное место в теории лассов конечных групп. В настоящее время они хорошо изучены и

используются при решении самых различных вопросов как теории формаций, так и теории груш в целом. Такая роль локальных формаций обусловлена наличием в них.локального экрана, который задается своими значениями на некотором множестве простых чисел (или, другими словами, на некотором мнокестве простых абе-левых груш ). Более общим в теории классов груш является понятие композиционной формации, введенное Л.А.Шеметковым в 1973 году Сем. [7J). Композиционный экран, определяющий формацию, задается своими значениями на некотором множестве произвольных конечных простых груш, абелевых и неабевых. В связи с классификацией конечных простых груш (см. 121) вопрос изучения ком-позиционых формаций является весьма актуальным и перспективным (см., например, [11). В настоящее время эти формации рассматриваются не только в качестве естественного обобщения локальных формаций, но и играют важную самостоятельную роль при исследовании внутреннего строения непростых конечных груш. Основные результаты по композиционным формациям получены Л.А.Шеметковым, С.Ф.Каморниковым, А.Н. Скибой, А.Ф.Васильевым, В.А. Ведерниковым и др.

В диссертации исследованы композиционные критические формации и получено решение вышеуказанной задачи Л.А. Шеметкова для класса всех композиционных и класса всех композиционных ( нормально ) наследственных формаций конечных груш.

Цели диссертационного исследования:

1. Построение общей теории композиционных критических формаций;

2. Описание минимальных композиционных не ^-формаций ;

3. Описание минимальных композиционных ( нормально ) наследственных не ^-формаций;

Методы исследования. В диссертации используются методы доказательств теории груш, а также методы теории формаций и многообразий.

Новизна результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Важнейшие из них :

I. Получено описание строения минимальных композиционных не S-формаций для произвольной композиционной формации и доказано существование минимальных композиционных не g-фэрма-ций для композиционной формации g классического типа;

2. Получено описание строения минимальных композиционных наследственных не 5-фармаций для произвольной композиционной наследственной формации 5;

3. Получено описание строения минимальных композиционных нормально наследственных не ^-формаций для произвольной композиционной нормально наследственной формации 5. а также доказано их существование в случае, когда % является композиционной нормально наследственной формацией классического типа.

Теоретическое и практическое значение. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении композиционных формаций, наследственных и нормально наследственных формаций, при исследовании различных видов минимальных не ^-классов. Полученные результаты могут быть использованы также при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Апробация результатов работа. Результаты диссертации докладывались :

1. На алгебраическом семинаре под руководством доктора физико-математических наук , профессора В. А. Ведерникова ( Брянский госпедуниверситет, 1995 - 1997 гг. ) ;

2. На Международной конференции по алгебре и кибернетике, посвященной памяти С. А. Чунихина ( Гомель, 1995 г. );

3. На 711 Белорусской математической конференции ( Минск, 1996 г. );

4. На Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д. К. Фадеева ( Санкт-Петербург, 1997 г. );

5. На Мевдународной алгебраической конференции, посвященной памяти Л. М- Глускина ( Славянск, 1997 г. ).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, список которых приведен в' конце автореферата.

Структура и обьеы диссертации. Диссертационная работа изложена на 100 страницах машинописного текста и состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, зыводоз и списка литературы, содержащего 55 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными . Используются определения и обозначения, принятые в книгш I 8, 10 ].

Во введении приводится аналитический обзор изученное^ теш и освещаются основные результаты, полученные ранее другими авторами в этой области.

В общей характеристике работы обосновывается актуальное« теш диссертации, формулируются цели и задачи диссертационного исследования, приводятся основные положения работы, выносимые на защиту.

В главе I охарактеризовано содержание диссертации по главам. Глава_2 представляет собрание некоторых известных результатов, используемых в основном тексте диссертации.

Глава Э посвящена исследованию композиционных критических формаций. Понятие композиционной формации было введено Л.А.Ше-метковым на 12-м Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске в 1973 году. Оно заключается в следующем:

отображение / класса <3 всех конечных групп во множество всех формаций конечных групп называется композиционным этаном если выполняются следующие условия:

1) /ИХ5 ;

2) если -daß, то f(A)=f(B);

3) f(G)= n f(S) , где S пробегает множество всех простых груш, изоморфных композиционным факторам группы G, для любой группы Gjt1.

Если G/Cg(S/K) € /(Я/К),' то фактор Н/К группы G называют /-центральным в G. Класс $=</> ( или g= CF(f) ) всех групп, у которых все главные факторы /-центральны, называется композиционной формацией, а / - экраном этой формации.

Непустое множество формаций 6 называется полурешеткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из 8 ( шш иначе 8-формаций ) снова принадлежит е. Пусть 8 - некоторая полурешетка формаций и S - класс групп. 6-формация 3 называется минимальной не ^-формацией или $0-критической формацией, если Э g 53, но все собственные 6-подформации из 3 в классе Ь содержатся. Множество сб всех формаций, обладающих

хо*я бы одним композиционным 9-экраном ( то есть таким композиционным экраном, все непустые значения которого принадлежат полурешетке 9 ) также является полурешеткой формаций. Описание строения &с9-критических формаций получено в следующей, теореме.

3.1.3. Теорема. Пусть 9 - такая полурешетка формаций груш, что ())с 9 и О €0 . Пусть Н - максимальный внутренний композиционный экран с9-формации 5, а / - минимальный компози-9-экран формации д. Тогда и только тогда формация 3 является 5с0-критическ'ой, когда $=с9/огтО, где б - группа минимального порядка из с монолитом Р=(Р и /(А) является 7гМ->0-крити-ческой формацией для Ле К(Р).

Отметим, что в этой теореме под формацией сд/огтС подразумевается с0-формация, пороаденная группой О, то есть сд/огтв - пересечение всех тех сб-формаций, которые содер-яат в. Через К(й) обозначают класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы б.

Композиционная формация 3 называется минимальной композиционной не ^-формацией или иначе 5с-критической формацией, если 3 г но каждая собственная композиционная подформация из 3 в классе 5 содержится. Следуя ( [31, с. 233 ), формационно критическую группу О назовем /-базисной ( с-базисной ),• если формация /оллО ( с/оппО ) обладает единственной максимальной (композиционной ) подформацией. Следующая теорема представляет основной результат главы 3.

3.2.3. Теорема. Пусть & - композиционная формация, Ь - ее максимальный внутренний композиционный экран. Формация 3 является 5с-критической тогда и только тогда, когда 3 =с/огж?, где С - такая с-базисная груша с монолитом , что выполняется одно из следуших условий:

1) в=Р - простая группа;

2) Р - собственная неабелева подгруппа группы <5 и Р=Сг( для А(. К(Р);

3) С= РХЯ, где Р=СС(Р) - р-группа, а ЯЛ - /-базисная группа с монолитом такая, что максимальная подформация Я из /огтЛ содержится в ЫА) для Ае £(?)•

В работе [5] А.Н.Скибсй получено описание минимальных локальных не ^-формаций для локальной формации & классического

тияа (то есть для формации, обладающей таким локальным экраной все неабелевы значения которого локальны). Аналогичные результаты для композиционных формаций получены в качестве следствий теоремы 3.2.3.

3.3.1. Следствие. Пусть Ь - композиционная формация специального типа, h - ее максимальный внутренний композиционный экран. Формация 3 является «^-критической тогда и только тогда, когда gr=oforwG, где G - с-базисная группа с монолитом Р=(Р такая, что для нее выполняется один из пунктов 1)-3) теоремы 3.2.3, причем в пункте 3) либо Ф(Н)=1, либо Н является минимальной не ЬШ-группой для Ai £(Р) и Я € 91^, где q*p, \H\,q.

3.3.2. Следствие. Пусть 5 - формация классического типа, h - ее максимальный внутренний композиционный экран. Формация g является ^-критической тогда и только тогда, когда g =cformG, где G - с-базисная группа с монолитом Р=С$ , которая удовлетворяет одному из пунктов 1)-3) теоремы 3.2.3, причем в пункте 3) либо Ф(Н)=1, либо Н - минимальная не ftMJ-rpyma для А^ЦР) одного из следующих видов: а) циклическая q-группа, q* р и |H|xj; Ь) группа кватернионов порядка 8, рс) неаСелева группа порядка q^ простой нечетной экспоненты q, q*p.

Отметим, что композиционная формация называется формацией специального ( классического ) типа, если она обладает таким внутренним композиционным экраном, все ненильпотентные ( неабелевы ) значения которого локальны.

Следуя ([10], с.21), всякую формацию будем считать О-кра-тно композиционной. Композиционная формация называется п-крат-но композиционной (п>1), если она обладает таким композиционным экраном, все непустые значения которого являются (п-1)-кратно композиционными формациями. В следующей теореме получено описание п-кратно композиционных критических формаций.

3.5.5. Теорема. Пусть h. - максимальный внутренний композиционный экран п-кратно композиционной формации / - минимальный Гд-U-кратно композиционный экран формации д. Формация 3 является минимальной п-кратно композиционной не ^-формацией тогда и только тогда, когда ^=onfonnG, где G - группа мини-, мольного порядка из с монолитом Р=Сг> такая, что формация f(A) является минимальной (п-1)-кратно композиционной не h(A)~ формацкей для Ае К(Р). . ' ■

Решетка композиционных подформаций композиционной формации в общем случае бесконечна. Поэтому задача отыскания в формации подформаций с заданными свойствами является весьма трудной. В связи с этим представляет интерес следующая теорема.

3.6.1. Теорема. Пусть 3 и &*($ - непустые композиционные формации, причем Эг Если 5 является формацией классического типа, то в 3 имеется, по крайней мере, одна ^-критическая формация.

Глава 4 посвящена исследованию композиционных наследственных критических формаций. Формация называется наследственной, если она вместе с каждой своей группой содержит и все ее подгруппы. Композиционная наследственная формация д называется минимальной композиционной наследственной не $НЕюрмаци-эй или 5са-критической формацией, если 3 ? 5, но все собственные композиционные наследственные подформации из 3 в классе 5 содержатся. Формационно критическую группу в назовем а-базис-аой ( сэ-базисной ), если формация з/отпй ( сз/огтпС ) обладает эдинственной максимальной наследственной ( композиционной наследственной ) подформацией.

Основной целью главы 4 является

4.2.1. Теорема. Пусть & - композиционная формация, Л - ее максимальный внутренний композиционный наследственный экран. Формация 3 является 5са-критической тогда и только тогда, когда "^са/огма , где б - такая сз-базисная груша с монолитом

что выполняется одно из следующих условий:

I) С=Р - группа простого порядка;

. 2) Р - неабелева группа и С - минимальная не ЛМЬгруша цля А€ К(Р);

3) С=Р\Я, где СССР)=Р - р-грушха, а Н*1 - а-базисная минимальная не ЛГЛ^-группа такая, что максимальная наследственная додформация И из з/огшВ содержится в ЫА) для Ле К(Р).

В работе [4] А.Н.Скибой был установлен факт существования минимальных локальных наследственных не ^-формаций для троизволыюго класса групп Аналогичный результат для композиционных наследственных формаций содержится в заключительном разделе главы 4.

4.4.1. Теорема. Пусть 5 - произвольный класс груш, отли-пшй от 6. Тогда найдется, по крайней мере, одна композицион-

ная наследственная формация, являшаяся 5са-критической.

Глава 5 посвящена исследованию композиционных нормально наследственных критических, формаций. Нормально наследственной называется всякая формация, содержащая вместе с каждой своей группой и все ее нормальные подгруппы. Композиционная нормально наследственная формация 3 называется минимальной композиционной нормально наследственной не ^-формацией или ^^-критической формацией, если 3 ^ но все собственные композиционные нормально наследственные подформации из 3 в § содержатся. Понятия аа-базисной группы и сап-базисной группы согласуются с соответствующими понятиями, введенными ранее для наследственного случая.

Центральным результатом главы 5 является следующая теорема.

5.2.1. Теорема. Пусть Ъ. - максимальный внутренний композиционный нормально наследственный экран формации 5. Тогда и только тогда формация 3 является $сзп-критической, когда 3 =свп?огтО. где С - такая сзд-базисная груша с монолитом Р=

что выполняется одно из следующих условий:

1) - груша простого порядка;

2) Р= (г^ - неабелева груша и С - нормально минимальная не йШ-группа для К(Р);

3) а = РХЯ, где Р=СС(Р) - р-груша, а Я/? - такая зп-базисная нормально минимальная не ЛМ .(-группа с монолитом (3 =

что максимальная нормально наследственная подформация И из зп/огтН содержится в К(А), где Ае К(Р).

В этой теореме под нормально минимальной не ЬМ,)-группой подразумевается груша, не принадлежащая ЫА), у которой все собственные нормальные подгруппы формации ЫА) принадлежат.

Заключительный раздел главы 5 посвящен вопросу существования композиционных нормально наследственных критических формаций.

5.4.1. Пусть $ и - непустые композиционные нормально наследственные формации, причем Если 5 является формацией классического типа, то в 3 имеется, по крайней мере, одна &сзп-критическая формация. .

ЛИТЕРАТУРА

1. Ведерников В.А. О некоторых классах конечных груш // Докл. АН БССР. - 1988. Т. 32, N 10. С. 372-875.

2. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.

3. Нейман X. Многообразия групп. - М.: Мир. 1969. 264 с.

4. Скиба А.Н. О минимальных S-замкнутых локальных не %-сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и под-группового строения конечных групп. - Минск: Наука и техника, 1984. С. 53-58.

5. Скиба А. Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев: ИМ АН Украины, 1993. С. 250-268.

6. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. - Минск: Наука и техника, 1964.

7. Шеметков Л.А. Два направления развития теории непростых конечных груш // Успехи мат. наук - 1975. Т. 30, N 2. С.179-198.

8. Шеметков Л.А. Формации конечных груш. - М.: Наука. 1978. 274 с.

9. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. симпозиума по теории груш. - Киев: Наукова думка, 1980. С. 37-50.

10. Шеметков Л.А. Скиба А.Н. Формации алгебраических систем - М.: Наука, 1989. 264 с.

11. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные. Матем. сб., 1924. с.366-372.

12. Gaschiítz 17. Zur Teorle der endlichen auf lösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80. N 4. P. 300-305.

13. Doerk K. Minimal nicht uberauflosbare , endliche Gruppen. - Math. Z., 1966. p.198-205.

14. Miller G.A., Moreno H. Nonabelian groups in vhich every subgroup 1з abelian. Trans. Arier. Math. Soc., 1903. p.398-404.

15. Thompson J.G. Nonsolvable finite groups all of vhose local subgroups are solvable. 1-71 // Bull. Ater. Math. Soc., 1968. V.74, П, p.383-437.

-1216. Huppert В. Normal tetler und maximale üntergrup, endlicher Gruppen. - Math. Z.f 1954.-p.409-434.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуищи: работах:

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О локальных критичесга формациях// Международная конференция, посвященная памяти ак; демика С.А.Чунихина: Тез. докл. - Гомель, 1995. 4.1. С. 37-3Í

2. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных на< ледственных критических формациях. - Препринт / Брянский го< педуниверситет. - Брянск, 1996. N I. 19 с.

3. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О наследственных крит! ческих формациях // VII Белорусская математическая конферв! ция : Тез. докл. - Минск, 1996. Ч. I. С. 59-60.

4. Сорокина М.М. О критических формациях // VII Белорус кая математическая конференция: Тез. докл. - Минск, 1996. Ч.] С. 84.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных нас ледстваншх критических формациях // Мезвдународная алгебре ическая конференция, посвященная памяти Д. К. Фадеева : Те: докл. - Санкт-Петербург, 1997. С. 179 .

6. Сорокина М.М. О композиционных критических формацш // Международная алгебраическая конференция, посвященная ш мяти Д. К. Фадеева : Тез. докл. - Санкт-Петербург , 199^ С. 285-286.

7. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наслед ственные критические'формации // Вопросы алгебры. - Гомел! Изд-во Гомельского университета, 1997. Вып. II. С. 6-18.

8. Сорокина М.М. О n-кратно композиционных формациях / Международная алгебраическая конференция, посвященная памя: Л.М. Глускина: Тез. докл. - Славянск, 1997. С. 66.

9. Сорокина М.М. О композиционных нормально наследствен них критических формациях // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-е Гомельского университета, 1998. Вып. 12. С. 58-69 .

10. Сорокина М.М. Композиционные и локальные критически Формации / Ред. журн. "Сиб. матем. ж.". - Новосибирск, 1993. 19 с. - Дэп. в ВИНИТИ - N

.П^:_!1П!!:_2?Л2-97- 0бьем °'75 п-л- Зак23 ^ • ТиРак юо

Т:тпсг^21::л ВШУ