Частично композиционные критические формации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Перечень определений и условных обозначений.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1 Обзор результатов.

Глава 2 Предварительные сведения.

2.1 Методы доказательства.

2.2 Используемые результаты.

Глава 3 Общие свойства частично композиционных формаций.

3.1 Определение и общие свойства О-композиционных формаций.

3.2 Полная решётка формаций Ос9.

3.3 Новая характеризация р-композиционных формаций.

Глава 4 Минимальные Г2-композиционые наследственные не ф-формации.

4.1 Фпсе-критические формации.

4.2 Общие свойства О-композиционных наследственных формаций.

4.3 Описание минимальных О-композиционых наследственных не ф-формаций.

4.4 Существование минимальных О-композиционых наследственных не ф-формаций.

Глава 5 Композиционные формации с-длины 3.

5.1 Некоторые свойства композиционных формаций.

5.2 Описание композиционных формаций с-длины 3.

5.3 Описание композиционных наследственных формаций сб-длины 3.

Выводы.

Список используемых источников.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [14, 21, 24, 52, 67, 68], а по теории классов групп в [4, 25, 44, 55, 59, 64, 66].

Класс групп — совокупность групп, содержащая вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные ей.

Йг, ф, — некоторые классы групп. р, г — простые числа.

7с(0) — множество всех различных простых делителей порядка группы

7с(Э£)— объединение множеств тс(О) для всех групп О из множества групп Зс.

0 — пустое множество. — класс всех групп. класс всех нильпотентных групп. класс всех квазинильпотентных групп. класс всех р-групп.

21 — класс всех абелевых групп. класс всех конечных простых групп.

О — непустой подкласс класса в) — класс всех групп, изоморфных группе в.

Э£) — класс групп, порождённый дс.

К(С) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы в. объединение классов K(G) для всех Ge 3£.

Q-группа — такая группа G,hto q — множество всех Q-групп.

Н( дс) — класс всех таких групп, которые являются гомоморфными образами групп из И.

Ro( 96) — множество всех конечных подпрямых произведений всех групп из di.

1 — единичная группа.

Gs— {5-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/M е {5.

Gg — ^-радикал группы G, то есть наибольшая нормальная ^-подгруппа группы G.

Oq(G) — ©^-радикал группы G. Если Q=(B) (Q=B'), то Oq(G) будем обозначать через Ob(G) ( Ob (G)).

Op(G) — наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.

M-<G — М есть минимальная нормальная подгруппа группы G.

К]А — полупрямое произведение группы К с некоторой её группой операторов А.

D(G) — подгруппа Фраттини группы G.

F(G) — подгруппа Фиттинга (нильпотентный радикал) группы G.

F*(G) — квазинильпотентный радикал группы G.

FP(G) — наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы G.

Cg(H/K) — централизатор фактора Н/К в группе G.

Главный А-фактор группы G — такой главный фактор M/N группы G,4to ДМЖ)=(А).

Fa(G) — пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы G, если в G нет главных А-факторов, то по определению FA(G)=G.

Формация — класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Многообразие групп — класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.

Экран — отображение £ класса (5 во множество всех формаций групп, удовлетворяющее следующим условиям:

1)Д1)=£;

2) ДО) с Ц^^п^Кегф) для любой неединичной группы О и любого гомоморфизма ф группы О.

Композиционный экран — такой экран £ что для любой неединичной группы О ДО)=п ДА), где А пробегает ДО).

Локальный экран — экран {, удовлетворяющий следующим условиям: 1) значения £ на любых неединичных р-группах совпадают (это значение экран f обозначают через Др)), для любого простого числа р;

2) ДО) —о Др), где р пробегает тг(О), для любой неединичной группы О. ^центральный главный фактор группы О — такой главный фактор К/Ь группы О, что в/Со(К/Ь) е ДА).

-центральный ряд — нормальный ряд группы О, все факторы которого ^центральны в О. — класс всех групп, обладающих ^центральными главными рядами.

Экран формации Гт — такой экран Д что 5:=<£>.

Композиционная формация — формация, обладающая, по крайней мере, одним композиционным экраном.

Локальная формация — формация, обладающая, по крайней мере, одним локальным экраном.

Внутренний экран формации — такой экран £ формации что для любой неединичной группы О имеет место ДО)сгб* •

Максимальный внутренний композиционный экран формации — максимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации {5 •

Минимальный композиционный экран формации Г? — минимальный элемент множества всех композиционных экранов формации

Произведение формации Г? и -Ь — совокупность всех таких групп О, что С^еЗ».

Наследственная (нормально наследственная) формация — такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все её (нормальные) подгруппы.

Наследственный (нормально наследственный) экран — такой экран, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.

5(А"(£г)) — мощность множества всех попарно неизоморфных групп из

Если К(^)=0, то полагаем 5(Д^))=0. р-композиционная формация — такая формация {5, что сГогт^с^Яр'^. р-локальная формация — такая формация что ^огт^с^Др-^. ЗЁ-насыщенной формация — такая формация что из 0/Ф(М)ег5 для N<0, ]Ме 36 всегда следует, что ОеЗ^.

О-композиционный спутник (Ос-спутник) — всякая функция вида £ : О и {О'}—»{формации}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из О.

-композиционная формация — такая формация {5, что

I 0/0п(0)е£(0') и ОЯч^е^А) для всех АеОпДО)} для некоторого О-композиционного спутника

О-композиционный спутник формации Гу — такой О-композиционный спутник £ ЧТО

Полная решётка формаций — такое непустое множество формаций 0, что пересечение любой совокупности формаций из 0 снова принадлежит 0 и во множестве 0 имеется такая формация , что фс=5 для любой формации фе0.

Пс0-спутник — О-композиционный спутник, все значения которого принадлежат 0.

Ос8 — совокупность всех формаций, которые обладают С2с0-спутником.

Максимальный внутренний Ос0-спутник формации Гт — максимальный элемент множества всех внутренних ОсО-спутников формации

Минимальный С2с0-сггутник формации Г? — минимальный элемент множества всех Ос0-спутников формации •

8-критическая группа — такая группа О, что О^эйшиЗб, где дс — множество всех собственных факторов группы О.

Б-базисная (Г2сБ-базисная) группа — такая з-критическая группа в, что формация вйплв ( Осз£огтО) содержит единственную максимальную Б-подформацию ( £2сб -подформацию).

Фпсе~кРитическая формация — такая формация что не содержится в ф, но всякая собственная СЗсО-подформация из в классе ф содержится.

0-длина 0-формации Г? — говорят, что 0-формация О^Ое имеет 0-длину п, если существует такая совокупность 0-формаций &0, &1,.,&п, что б^Ог, 0о=0е и бм — максимальная 0-подформация формации бь 1=1,.,п, где Ое — ноль решетки 0. 0-длина 0-формации

Монолитическая группа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).

Характеризация групп по тем или иным свойствам, налагаемым на их подгруппы, представляет собой одно из интересных и глубоких направлений в теории конечных групп. Значительное место в этом направлении занимает проблема изучения групп, не обладающих заданным свойством у которых все собственные подгруппы этим свойством обладают. Первые результаты о такого рода группах принадлежат Миллеру и Морено [72]. Они исследовали неабелевы группы, все собственные подгруппы которых абеле-вы (или, другими словами, минимальные не 21-группы, где 2С — класс всех конечных абелевых групп). Развитие этого направления в нашей стране берет свое начало в работах О. Ю. Шмидта. Так, в 1924 году им было получено описание строения минимальных ненильпотентных групп [60], названных впоследствии группами Шмидта. Исследованием минимальных не ф-групп для некоторого класса групп ф занимались Х.Дерк, Б.Хупперт, Д.Томпсон, С.А.Чунихин, Ю.А.Гольфанд, Л.А.Шеметков, А.И.Старостин, В.Н.Семенчук, В.А.Ведерников, В.Т.Нагребецкий и многие другие. Задача изучения минимальных не ф-групп тесно связана с более общей задачей — задачей изучения минимальных не ф-классов, то есть таких классов групп, которые сами не содержатся в некотором классе ф, но у которых все собственные подклассы в ф содержатся.

В теории групп понятие класса имеет большое значение, прежде всего потому, что многие исследования в этой теории связаны с характеризацией групп по свойствам тех или иных классов. Однако, как самостоятельное направление в рамках теории групп, теория классов начала свое развитие лишь в 30-ые годы после выхода работ Р.Биркгофа [62] и Б.Х.Неймана [69]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразий, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы

B.Гаппоца [65] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление — теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гаппоц, [65]), если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [4, 44, 55, 59, 64, 66]. Как отмечается в [59], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Многочисленные исследования в этом направлении связаны с понятием Е^-критической формации.

Пусть А и £ — две произвольные совокупности формаций. Формация называется ^-критической, если £геД\Е и всякая собственная Д-подформация из принадлежит £. В случае, когда I — совокупность всех подклассов класса групп ф, Ид-критические формации называются также фд-критическими.

Это общее определение допускает различные конкретизации, приводящие к целой серии задач. Проблема описания критических формаций была поставлена Л.А. Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1978 году (см. [56]). Исследованием ф^-критических формаций для определенных ф и А занимались А.Н.Скиба, А.Ф.Васильев,

C.Ф.Каморников, В.Н.Семенчук, Е.А.Таргонский, В.М.Селькин, В.А.Ведерников и др. В серии работ [33-41] А.Н.Скиба получил решение вышеуказанной проблемы в случае, когда А — класс всех локальных формаций. Дальнейшее обобщение понятия локальных критических формаций можно найти в работах [16-18, 26-28].

Характерной особенностью теории формаций, существенно отличающей её от других аналогичных теорий — теории многообразий групп, теории классов Фиттинга, теории классов Шунка и др., является её тесная связь с теорией фраттиниевых расширений групп. В связи с классификацией конечных простых групп ( см. [14] ) актуальной в теории групп стала задача исследования непростых конечных групп с произвольными, необязательно абелевыми, композиционными факторами ( см., например, [4] ). При решении этой задачи на передний план выходят введенные Л.А.Шеметковым разрешимо насыщенные (композиционные) формации [54]. Пользуясь теоремой Бэра (см. [64, с. 373]), определим их как такие непустые формации что ве^ всякий раз, когда 0/Ф(Я(0))ей; (здесь Щв) — наибольшая разрешимая нормальная в в подгруппа).

При исследовании композиционных формаций важную роль играют функции f специального вида, введённые независимо друг от друга Л.А.Шеметковым [54] и Р.Бэром [75]. Функция сопоставляющая каждой элементарной группе Н некоторую (возможно пустую) формацию :Г(Н) называется бэровской формационной функцией [ 64, с.370] или с-экраном, если для любых двух элементарных групп А и В из К(А)-К(В) следует А(А)=:Р(В). Символом СБф обозначают класс всех таких групп О, что ОеСБф тогда и только тогда, когда либо 0=1, либо О — такая неединичная группа, что С/Со(Н/К)е^Н/К), для любого главного фактора Н/К группы О. Если З^СБф, то говорят, что f — с-экран формации [5- Основные результаты в области исследования композиционных формаций принадлежат Л.А.Шеметкову, Р.Бэру, С.Ф.Каморникову, А.Н.Скибе, А.Ф.Васильеву, В.А.Ведерникову и М.М.Сорокиной (см. работы [2-5, 7, 8, 19, 20, 43, 46, 55, 58]).

В последние годы активное развитие получили идеи частичной локальности (композиционности) формаций конечных групп. В работе [71] Л.А. Шеметковым введено понятие р-композиционной формации. А именно, формация называется р-композиционной (р-локальной), если с1Ъгт{^ (Иогт^ с 3^).

В [71] доказано, что непустая формация р-композиционна тогда и только тогда, когда формация ¡5 является 91р-насыщенной. Пусть — класс групп. Формация называется Х-насыщенной [71], если из С/Ф(ТЧ)е{5 для N<0^6 Зс всегда следует, что в£{5.

В данной диссертации развивается идея частичной композиционности. Здесь вводится естественное понятие С1-композиционной формации для любого непустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций ( Ос-спутников). Отметим, что это понятие было введено нами в 1998 году на Международной конференции «Симметрия в естествознании» в Красноярске (см. [22]). В диссертационной работе установлено, что такой подход хорошо согласуется с понятиями композиционной и р-композиционной формаций; получена другая характеризация р-композиционных формаций. Независимо определение О-композиционной формации дано А.Н.Скибой и Л.А.Шеметковым [46]. В данной диссертации полностью описано строение минимальных наследственных частично композиционных не ф-формаций; описано строение ^-критических (^-критических) формаций в случае когда И — множество всех элементов с-длины (сб-длины) не больше чем 2 решётки композиционных (композиционных наследственных) формаций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Среди многочисленных подходов к задаче конструирования и классификации формаций конечных групп в последние годы наиболее эффективно применяется частичная локальность. Имеющиеся в этом направлении публикации (см., например, [16-18, 26, 28, 45, 71]) показывают, что предложенный Л.А.Шеметковым принцип частичной локализации является мощным инструментом при исследовании классов конечных групп. Одним из обобщений частично локальных формаций являются частично композиционные формации. В связи с этим общая проблема конструирования и классификации частично композиционных формаций является одной из центральных задач теории классов конечных групп. В теории формаций конечных групп хорошо известна проблема Л.А.Шеметкова об изучении строения Фе-критических формаций & для некоторого класса групп ф и непустой совокупности формаций 0 [56], при этом 0-формация называется Фе-критической, если не содержится в ф, но каждая собственная 0-подформация формации содержится в ф. Решению этой проблемы посвящен ряд работ А.Н.Скибы [33-41], В.М.Селькина [29-31], В.Г.Сафонова [27], Е.А.Таргонского [49-51] и др., в которых исследовалось строение различных видов локальных критических формаций; в работах В.А.Ведерникова и М.М.Сорокиной [7, 8, 48] исследовалось строение композиционных (нормально) наследственных критических формаций. Поэтому вопрос изучения частично композиционных критических формаций в настоящее время весьма перспективен и актуален. В данной диссертации получено решение отмеченной задачи Л.А.Шеметкова для наследственных ^-композиционных формаций.

Цель и задачи исследования. В диссертации решаются следующие задачи:

- построение теории О-композиционных формаций для любого не пустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций;

- построение общей теории минимальных наследственных £2-композиционных не ф-формаций;

- описание строения композиционных (композиционных наследственных) формаций с-длины (св-длины) 3.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы в теоретических исследованиях.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут использоваться в научных исследованиях. В частности, при дальнейшем изучении композиционных и частично композиционных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации выносимые на защиту.

1) Описание полной решетки формаций Ос0;

2) новая характеризация р-композиционных формаций;

3) описание минимальных наследственных ^-композиционных не ф-формаций;

4) теорема о существовании минимальных наследственных ^-композиционных не ф-формаций;

5) описание композиционных формаций с-длины 3;

6) описание наследственных композиционных формаций св-длины 3.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного педуниверситета, на Международной конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998), на Международном алгебраическом семинаре посвященном 70-летию кафедры Высшей алгебры МГУ (Москва, 1999), на II Международной алгебраической конференции в Украине, посвященной памяти профессора Калужнина (Киев, Винница, 1999).

Опубликованность результатов. Все основные результаты диссертации опубликованы в 4-х статьях [10, 23, 73 74], 1-м препринте [9], 4-х тезисах конференций [11, 12, 13, 22].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, выводов и списка используемых источников в количестве 75 наименований. Объём диссертации — 93 страницы.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Виктору Александровичу Ведерникову за внимание, оказанное им при написании данной диссертации.

-86-выводы

1) В диссертации введено понятие О-композиционной формации для любого не пустого класса простых групп О в терминах главных рядов и групповых функций;

2) установлено, что такой подход хорошо согласуется с понятиями композиционной и р-композиционной формаций;

3) получена другая характеризация р-композиционных формаций;

4) получено описание минимальных наследственных О-композиционных не ф-формаций для произвольной наследственной О-композиционной формации ф;

5) доказано существование минимальных наследртвенных О-композиционных не ф-формаций;

6) получено описание композиционных формаций с-длины 3;

7) получено описание наследственных композиционных формаций сб-длины 3.

1. Биркгоф Г. Теория решёток. М.: Наука, 1984. 586 с.

2. Близнец И.В., Воробьёв H.H. О прямых разложениях композиционных формаций // Вопросы 'алгебры. Гомель: Изд-во 11 У им. Ф. Скорины, 1998. - Вып. 12. - С.106-112.

3. Васильев А.Ф., Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами. Препринт / Гомельский госуниверситет. - Гомель, 1996. -№ 28. -12 с.

4. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: СГПИ, 1988.-96 с.

5. Ведерников В.А. О некоторых классах конечных групп. // Докл. АН БССР. -1988. Т. 32. № ю. С.872-875.

6. Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформа-циями длины 3 // Вопросы алгебры. Минск: Университетское, 1993.-Вып. 6.-С. 16-21.

7. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1997. - Вып. 11.- С.6-18.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные и локальные наследственные критические формации / Ред. журн. «Сиб. матем. ж.» Новосибирск, 1998. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.01.98. - № 25 - В 98.

9. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Частично композиционные формации групп // Препринт № 2. Брянск: Изд-во БГПУ, 1999. -28 с.

10. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. О частично композиционных формациях групп // Деп. в ВИНИТИ,2А,ОА.ОО-№ -Н 69-6 00.

11. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации // Тезисы докладов международного алгебраического семинара поев.70.летию кафедры высшей алгебры МГУ, Москва, 1999. С. 11-12.

12. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Тезисы докладов международного алгебраического семинара поев. 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ, Москва, 1999. С. 12-13.

13. Ведерников В. А., Коптюх Д. Г. Q-композиционные наследственные критические формации // Тезисы докладов Второй международной алгебраической конференции в Украине, поев, памяти проф. Калужнина. -Киев Винница, май 1999. - С. 61.

14. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985. 352 с.

15. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. — М.: Наука, 1978. 120 с.

16. Джарадин Джехад. Минимальные р-насыщенные ненильпотентные формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГТУ им. Ф.Скорины.-1995.- Вып. 8.- С.59-64.

17. Джарадин Джехад. Элементы высоты 3 решетки р-насыщенных формаций // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГТУ им. Ф.Скорины.- 1996.-Вып. 9.- С.119-132.

18. Джарадин Джехад, Скиба А.Н. Частично локальные формации с системами наследственных подформаций // Весщ Акадэми навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук.- 1996, №3. -С. 13-16.

19. Каморников С.Ф., Шеметков JI.A. О корадикалах субнормальных подгрупп // Алгебра и логика. 1995. Т.34, № 5. - С. 493-513.

20. Каморников С.Ф. О двух проблемах Л.А.Шеметкова // Сиб. матем. ж., 1994. Т.35, № 4. - С. 801 - 812.

21. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. -М.: Наука, 1982.

22. Коптюх Д. Г. Частично композиционные критические формации // Тезисы докладов Международной конф. Симметрия в естествознании. -Красноярск, август 1998. С. 68-69.

23. Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 2 // Деп. в ВИНИТИ 26.10.98, № 3099-В98.

24. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. -496 с.

25. Нейман X. Многообразия групп. М.: Мир. 1969. - 264 с.

26. Рыжик В.Н. О критических р-локальных формациях // Препринт № 58. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины.- 1997. -12 с.

27. Сафонов В. Г. О минимальных кратно локальных не ф-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1996. -Вып. 8. С. 109-138.

28. Сафонова И.Н. О минимальных со-локальных несверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины, 1998. - Вып. 12 - С. 123-130.

29. Селькин В.М. Описание минимальных наследственных локальных не ф-дисперсивных формаций // Вестник БГУ. Минск: Университетское, 1995.№37-С. 72-73.

30. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сибирский математический журнал. 1996. № 5 - С. 1145 - 1153.

31. Селькин В.М. О критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996 - Вып. 9. - С. 120-141.

32. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не ф-формациях // Вести АН РБ. Сер. физ.-мат. н. -1996. - № 3. - С. 73 -83.

33. Скиба А.Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н.- 1980.-№4.-С. 27-33.

34. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981. -С. 155-180.

35. Скиба А.Н. О формациях, порожденных классами групп // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1981. - № 3. - С. 33 - 39.

36. Скиба А.Н. О критических формациях // Докл. АН БССР. 1983. - Т.27, № 9. - С. 780 - 782.

37. Скиба А.Н. О минимальных s-замкнутых локальных не тг-сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и подгруп-пового строения конечных групп. Минск: Наука и техника, 1984. - С. 53 -58.

38. Скиба А.Н. Формации со сверхразрешимыми локальными под-формациями // Группы и другие алгебраические системы с условиями конечности. Новосибирск: Наука. - 1984. - Т. 4. - С. 101 - 118.

39. Скиба А.Н. О минимальных локальных не тс-сверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. Минск: Университетское. 1985. - № 1. - С. 105-112.

40. Скиба А. Н. О локальных формациях длины 5 // В кн.: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1986, с. 135-149.

41. Скиба А.Н. О критических формациях // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев, Ин-т математики АН Украины. 1993. - С.250-268.

42. Скиба А. Н. О дополняемых подформациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины.- 1996.- Вып. 9.- С. 114-118.

43. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. О минимальном композиционном экране композиционной формации. // Вопросы алгебры Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины. 1992.- Вып. 7.- С.39-43.

44. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. -240 с.

45. Скиба А.Н., Шеметков JI.A. Кратно со-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Препринт № 63. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф.Скорины.- 1997. -42 с.

46. Скиба А.Н., Шеметков JÏ.A. Частично композиционные формации конечных групп // Докл. HAH Беларуси. 1999. т.43. № 4.- С.5-8.

47. Сорокина М.М. Композиционные критические формации.- Дисс. на со-иск. учёной степ, к-та физ.-мат. наук. Брянск, 1998.

48. Сорокина М.М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГТУ им. Ф.Скорины, 1998. - Вып. 12 - С. 22-35.

49. Таргонский Е.А. О локальных формациях с нильпотентными немаксимальными собственными локальными подформациями // Вопросы алгебры. Минск: Университетское, 1985. - № 1 - С. 118-124.

50. Таргонский Е.А. Локальные формации со сверхразрешимыми пред-максимальными локальными подформациями // Вопросы алгебры. -Минск: Университетское, 1986.-№ 2.- С. 20-34.

51. Таргонский Е.А. Неразрешимые локальные формации с системой ниль-потентных подформаций // Вопросы алгебры. Минск: Университетское, 1987.-№3.-С. 11-16.

52. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962. 468 с.

53. Чиспияков С. В. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций // Деп. в ВИНИТИ 26.10.98, № 3098-В98.

54. Шеметков Л.А. Два направления развития теории непростых конечных групп//Успехи мат. наук- 1975. Т.30, №2. -С.179-198.

55. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. -267 с.

56. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр. VI Всесоюз. симпозиума по теории групп. Киев: Наук, думка, 1980. С.37-50.

57. Шеметков JI.A. О произведении формаций // Докл. АН БССР.- 1984. т.28. № 2.- С.101-103.

58. Шеметков Л.А. Композиционные формации и радикалы конечных групп // Укр. матем. ж. 1988. Т.40, № 3. - С. 369-374.

59. Шеметков Л.А., Скиб'а А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989. -256 с.

60. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные. -Матем. сб., 1924.-С. 366-372.

61. Эйдинов М.И. Элементы высоты два решётки формаций конечных групп // Изв. вузов. Математика. 1990. № 6. С. 77-80.

62. Birkhoff G. On structure of algebras // Proc. Cartridge Phil. Soc. 1935. -У.31.-Р. 347-357.

63. Bryant R. M., Bryce R. A., Hartley B. The formaition generated by a finite group. // Bull. Austral. Math.- Soc.- 1970.- Vol. 2, № 3.- P. 347-357.

64. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin - New York : Walter de Gruyter, 1992. - 889 p.

65. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math. Z. 1963. Bd. 80, № 4. p.300-305.

66. Gaschutz W. Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups^ // Notes in Pure Matematics. Canberra: Austral. Nat. Univ. - 1979. -V. 11.100 p.

67. Huppert В. Endlche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 1967.-793 p.

68. Huppert В., Blackburn. Finit guoups, II, III. Berlin; Heidelberg; New York1. Springer, 1982.-451 p.

69. Neumann B.H. Identical relations in groups. I // Math. Ann. 1937. - V.l 14. -P.506-525.