Композиционные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Чиспияков Сергей Валентинович

РГ£ од 1 7 ИЮП 2000

КОМПОЗЩИОННЫЕ ФОРМАЦИИ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ НИЛЪПОТЕНТНЫХ ПОДФОРМАЦИЙ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 2000

Работа выполнена в Брянском государсгвентм гкдаютпчеси ивверстте им. академика йГ.Шгровешго на кафедре алгебры

Научный руководитель: доктор фгпшсо-матемапиесхшх наук, профессор ВЦДЕРННКОВ В. А.

Официальные оппоненты:

достор фшт[ко-математiweciaк наук; профессор МОНАХОВ B.C.

доктор 4м s i ¿ко -мат ti\ га гшееы ¡х наук профессор ДУРНЕВ В.Г.

Ведущая организация - Витебский государственный университет.

Зашит состоится «17» июня 2000 года в 4У часов в аудитор: SO4/ на таездагаи диссертационного Совета К 113.27.01 б Ярославсю государственном педагогическом университете имени КД.Ушинского адресу: 150000. Ярославль, vjl Реслуошжшская. 108. ЯГ ПУ и К. Д. Уштгнекош.

С щгссертапдей нош) ознакомиться в библиотеке Ярославско госпедуннверситегапм R" Д. Ушт ¡некого.

Автореферат разослан« № ?> ¡ДМ 2000 г.

Ученый секретарь днссфтшшюнного Совета, Кандвдат фияшо-математнчесик наук, доцент (¡f) ^ B.l -ШенпсрОЕсип1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана с идеей исследования формаций с заданными системами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф0-тсритические формации, то есть такие ©-формации, не содержащиеся в классе групп ф, у которых все собственные 0-подформации содержатся в ф для некоторой непустой совокупности формаций 0. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп Л.А.Шеметковым впервые была поставлена общая проблема изучения ф0-критических формаций [9]. В работах Скибы А.Н. [4-6], Селькина В.М. [3] и др., исследовалось строение минимальных локальных не ф-формаций для некоторого класса групп ф.

Одним из обобщений локальных формаций являются композиционные формации. Поэтому вопрос изучения композиционных критических формаций весьма актуален и перспективен. Следует также отметить, что композиционные формации играют важную самостоятельную роль при изучении внутреннего строения непростых конечных групп. В данной диссертации исследованы частично композиционные пилыготентные критические формации и получено полное решение вышеуказанной проблемы Л.А.Шеметкова для наследственных (нормально наследственных) частично композиционных формаций.

Общие результаты о фс-критических формациях получены в

работах В.А.Ведерникова, М.М.Сорокиной [1], М.М.Сорокиной [7].

В работе В.А.Ведерникова, Д.Г Коптюх [2] получено описание

■Эпсй-критических формаций.

В работе Е.А.Таргонского [8] получено описание строения локальных формаций, у которых все немаксимальные локальные подформации нильпотентны. В диссертации получено описание строения неразрешимых композиционных формаций, все предмакимальные композиционные подформации которых нильпотентны. Поскольку каждая разрешимая композиционная формация является локальной, и наоборот, каждая разрешимая локальная формация является композиционной, то таким образом получено полное описание всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформаци нильпотентны.

Цели диссертационного исследования:

1. Построение общей теории минимальных частично композиционных не ^-формаций.

2. Построение общей теории минимальных частично композиционных наследственных (нормально наследственных) не -формаций.

.3. Описание строения всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформации нильпотенты.

4. Описание всех наследственных (нормально наследственных) композиционных формаций, у которых все предмаксимальные наследственные (нормально наследственные) композиционные подформации нильпотенты,

Методы исследования: В диссертации используются методы доказательств теории групп, а также методы теории формаций и многообразий.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми. Важнейшие из mix:

1. Получено описание композиционных формаций, все предмаксимальные нильпотентные композиционные подформации которых нильпотентны, и получено описание минимальных нешшьпотентных частично композиционных формаций;

2. Получено описание наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные шшьпотентные наследственные композиционные подформации которых нильпотентны, и получено описание минимальных ненильпотентных частично композиционных наследственных формаций;

3. Получено описание нормально наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные нильпотентные нормально наследственные композиционные подформации которых нильпотентны, и получено описание минимальных ненильпотентных частично композиционных нормально наследственных формаций;

Теоретическое и практическое значение. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении композиционных формаций, наследственных и нормально наследственных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы так же при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались:

1. На алгебраическом семинаре под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.А.Ведерникова (Брянский госиедуниверситет, 1995-2000 гг.);

2. На Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фадеева (Санкт-Петербург, 1997) .

3. На Международной алгебраической конференции Симметрия в естествознании (Красноярск 1998).

4. На Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва 1999).

5. На Международной алгебраической конференции в Украине, посвященной памяти профессора Л.Н.Калужнина. (Киев-Винница 1999).

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 7 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 100 страницах машинописного текста и состоит из перечня определений и условных обозначений, введения, общей характеристики работы, пяти глав основной части, выводов и списка литературы, содержащего 63 наименования.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются определения и обозначения, принятые в книгах [6, 10,11].

Во введении: приводится аналитический обзор изученности темы, и освещаются основные результаты, полученные ранее другими авторами в этой области.

В общей характеристике работы обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи диссертационного

исследования, приводятся основные положения работы, выносимые на защиту.

В главе 1 охарактеризовано содержание диссертации по главам Глава 2 представляет собой собрание некоторых известных результатов, используемых в основном тексте диссертации.

Глава 3 Глава 3 посвящена исследованию композиционных формаций, с заданными системами нильпотешных подформаций. Понятие композиционной формации было введено Л.А.Шеметковым на 12-м Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске в 1973 году. Оно заключается в следующем:

Отображение f класса © всех конечных групп во множество всех формаций конечных ipynn называется композиционным экраном, если выполняются следующие условия:

1) f(l)=@; 2) если AsB, то f(A)=f(B); 3) f(G)=nf(S), где S пробегает множество всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G, для любой группы G^l.

Если G/CG(H/K)ef(II/K), то фактор Н/К группы G называют f-центральным в G. Класс 5=<£> (гаи £>"=CF(f)) всех групп, у которых все главные факторы f-центральны, называется композиционной формацией, а f - композиционным экраном этой формации.

Композиционная формация ф называется максимальной композиционной подформацией формации {*?, если для любой собственной композиционной подформации 9Л формации 5 из фсЯДсЗ, всегда следует, что 5Д=ф. Композиционная формация Й называется предмаксимальной композиционной подформацией формации если для любой собственной композиционной подформации Ш формации 5 из ScüRcGf, всегда следует, что 9R - максимальная композиционная подформация формации ¡5-

Описание строения неразрешимых композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформации нильпотентны получено в следующей теореме:

Теорема 3.4.1. Тогда и только тогда у неразрешимой с-формации {5 все предмаксимальные с-подформации нильпотентны, когда З'-сГогтСт, где группа в удовлетворяет одному из следующих условий:

1)0- монолитическая группа с неабелевым монолитом Р~=Ст5!;

2) С=[М]Н - монолитическая группа с монолитом М, где М - точный неприводимый Рр[Н]-модуль, а Н - монолитическая группа с неабелевым монолитом

3) в - монолитическая группа с неабелевым монолитом Р, и сГогт(0/Р) - 91с-критическая формация;

4) С=МхН, где М^Тр, а Н - монолитическая группа с неабелевым монолитом К=Н8! и 2рйК(Н);

5) 0=МхН, где Н - монолитическая группа с неабелевым монолитом К.=НЭ\ а М - группа Шмидта, причем К(М)=К(НЯ1);

6) С=МхН, где М и Н - не Г-инцидентные монолитические группы с неабелевыми монолитами и соответственно, причем К(НЛ1)=К(М/Ы).

Поскольку каждая разрешимая композиционная формация является локальной, то таким образом, получено полное описание строения композиционных формаций, все предмаксимальные нильиотентные композиционные подформации которых нильпотентны.

Отметим, что в этой теореме под формацией сВэгтО подразумевается с-формация, порожденная группой в, то есть схЪппО - пересечение всех тех с-формаций, которые содержат группу в. Через К (О) обозначают класс всех композиционных факторов труппы в.

В теории формаций хорошо известна проблема Л.А.Шеметкова об изучении строения фс-критических (минимальных композиционных не ф) формаций 3 для некоторого класса групп ф. В работе [2] получено описание фас0-критических формаций, где О - непустой подкласс групп © - полная решетка формаций, такая, что Освсб и 3^р0с0 для всех р таких, что греС1. Следующая теорема представляет собой описание всех ?1Пс-критических формаций:

Теорема 3.5.2. Пусть - формация, П - непустой класс простых групп и ОсК(£>)п2С. 5 является ^-критической формацией тогда и только тогда, когда {^=ОсГогтО, где О - группа одного из следующих типов:

1) в - монолитическая группа, с неабелевым монолитом Р=08г;

2) 0=[0Р]0Ч - группа Шмидта с 2(0)^1, если 7,„сС1;

3) С=[Сгр]Н, где Срг=Сс(Ор)=(]!;'' - монолит группы в, если Х^О..

Глава 4 Глава 4 посвящена исследованию наследственных композиционных формаций все предмаксимальные наследственные композиционные подформации, которых нильпотентны и 91 пС5-формаций. Формация называется наследственной, если она вместе с каждой своей группой, содержит и все ее подгрупппы. Основной целью главы 4 является:

Теорема 4.3.1. Тогда и только тогда у ненильпотентной СБ-формации все предмаксимальные сэ-подформации нильпотентны, когда 3=с5бзгтО, где в удовлетворяет одному из следующих условий:

1. в - группа Шмидта.

2. в-МхИ, где М=2р, Н - группа Шмидта (|М|,|Н|)=1. Следующая теорема представляет собой описание всех

критических формаций:

Теорема. 4.4.2. Пусть (У —формация, - непустой класс простых групп и Гт является Э^-критической формацией тогда и

только тогда, когда З^ПсбйэлпО, где С==[Стр]Оч - группа Шмидта с 2(С)=1.

Глава 5 посвящена исследованию нормально наследственных композиционных формаций все предмаксимальные нормально наследственные композиционные подформации которых нильпотентны и ^пс5П-формаций.

Основной целью главы 5 является: Теорема 5.3.1. Тогда и только тогда у ненильпотентной СБп-формации 5 все предмаксимальные сзгы год формации нильпотентны, когда О^сэпйшпО, где в удовлетворяет одному из следующих условий:

1. О - группа Шмидта, или неабелева простая группа.

2. С=РхН, где Рг/р, или Р - неабелева простая группа, а Н - группа Шмидта или неабелева простая группа.

Следующая теорема представляет собой описание всех У(аап-критических формаций:

Теорема 5.4.2. Пусть 8 - формация, О. - непустой класс простых групп и ОсК(0г)п2Г. ¡5 является ^„„-критической формацией тогда и только тогда, когда 5=^сзЬгтО, где группа в удовлетворяет одному из следующих условий:

1. 0=[0р]0ч - группа Шмидта с 2(С)=1 и 7.реП.

2. в - простая неабелева группа.

С=[Ор]Н, где Ср=Со(С1р)=05! - монолит группы в, если 2^0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1997 . - Вып. 11. С.6-19.

2. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Частично композиционные формации групп. // Брянск БГПУ Препринт N 2,1999, 28 с.

3. Селькин В.М. О критических формациях И Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996 - Вып. 9, С. 120-141.

4. Скиба А.Н. О критических формациях II Изв. АН БССР. Сер. физ.- мат. н,- 1980,- №4. -С. 27 -33.

5. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы п примыкающие алгебраические структуры. - Киев: ИМ АН Украины, 1993, - С. 250-268.

6. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. - 240с.

7. Сорокина М.М.- О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. - Гомель:. Изд-во Гомельского университета, 1997. - Вып. 10 - С. .

8. Таргонский Е.А. О локальных формациях с нильпотентными немаксимальными собственными локальными подформациями. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1984. Вып. 1. С. 119-124.

9. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Tp.VI Всесоюз. симпозиума по теории групп. - Киев: Наукова думка, 1980. С. 37 - 50.

10.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука. 1978. - 274 с.

11.Шеметков Л.А. Скиба А.Н. Формации алгебраических систем - М.: Наука, 1989. - 264 с.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работа:

1)Чиспияков C.B.. О минимальных ненильпотентных композиционных

формациях // Меадународная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фадеева: Тез.докл. - Санкт-Петербург. 1997. С.304.

2) Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Международная алгебраическая конференция Симметрия в естествознании. Тез. докл. - Красноярск, 1998. С.144-145.

3) Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Брянский госпедуниверситет, Брянск, 1998, 19 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 октября 1998 г., N 3098-И98).

4) Чиспияков C.B. О композиционных наследственных формациях, в et предмаксимальные композиционные наследственные подформации которьо нильпотентны. // Международный алгебраический семинар, посвященньп 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ. Тез. докл. - Москва 1999. С.58.

5) Чиспияков C.B. О csn-формациях с нильпотентным! предмаксимальными csn-подформациями. // Международная алгебраическая конференция в Украине, посвящешая памяти профессора Л.Н.Калужнина Тез. докл. - Киев-Винница 1999. С.

6) Чиспияков C.B. О композиционных формациях с нильпотентным! предмаксимальными композиционными подформациями. // Математически заметки.

7) Чиспияков C.B. О минимальных ненильпотентных частич» композиционных формациях. // Брянский госпедуниверситет. Брянск, 200С 18 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ от 24.04.2000 г N 1170-В00).

Подписано в печать 11.05.СС. Формат 60x64 1/15. Вунага сисчая. Печать офсетная. Гарнитура Тайме. Тирах ЮС экз. Заказ 55 331. Отпечатано в РИС Брянского НПКРО. 241001, г.Брянск, ул. Еехицкая, д. 34"Д".

Перечень определений и условных обозначений

Введение

Общая характеристика работы

Глава 1 Обзор результатов

Глава 2 Предварительные сведения

2.1 Методы доказательств

2.2 Используемые результаты

Глава 3 Композиционные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций.

3.1. Полурешетка композиционных формаций с©.

3.2. Описание минимальных композиционных не 43 формаций.

3.3 Описание композиционных формаций содержа- 45 щих максимальную нильпотентную композиционную подформацию.

3.4 Описание композиционных формаций все пред- 50 максимальные композиционные подформации которых нильпотентны.

3.5 Минимальные ненильпотентные частично ком- 63 позиционные формации.

Глава 4 Композиционные наследственные формации с заданными системами нильпотентных композиционных подформаций.

4.1. Минимальные композиционные наследственные 69 ненильпотентными формации.

4.2. Композиционные наследственные ненильпо- 70 тентные формации, содержащие максимальную нильпотентную подформацию.

4.3. Композиционные наследственные ненильпотентные формации, все предмаксимальную наследственные композиционные подформации которых нильпотентны.

4.4 Минимальные ненильпотентные частично композиционные наследственные формации.

Глава 5 Композиционные нормально наследственные формации, с заданными системами нильпотент-ных композиционных подформаций.

5.1. Минимальные нормально наследственные ком- 81 позиционные ненильпотентные формации.

5.2. Композиционные нормально наследственные 83 ненильпотентные формации, содержащие максимальную нильпотентную подформацию.

5.3. Ненильпотентные нормально наследственные 87 композиционные формации, с предмаксимальными нильпотентными нормально наследственными подформациями.

5.4 Минимальные ненильпотентные нормально наследственные частично композиционные формации.

Выводы

Список используемых источников

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Рассматриваются только конечные группы. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения и классические результаты по теории групп можно найти в книгах [11, 14, 15, 40, 60], а по теории классов групп в [3, 16, 24, 50, 54, 57, 59].

Класс групп - совокупность групп, содержащая со всякой своей группой и все группы, изоморфные ей.

5, Ф, ЗН - некоторые классы групп. р, q, г - простые числа.

Р - множество всех простых чисел. тг(О) - множество всех различных простых делителей порядка группы О. п(Щ - объединение множеств 7г(0) для всех групп в из множества групп X.

0 - пустое множество. - класс всех групп.

- класс всех нильпотентных групп. - класс всех р-групп.

- класс всех простых групп.

О) - класс всех групп изоморфных группе в.

Э£) - класс групп, порожденный множеством групп дс.

СКХ) - класс всех таких групп, которые являются гомоморфными образами групп из Зс.

K(G) - класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы G.

К(Э£) - объединение классов K(G) для всех Ge И.

1 - единичная группа.

Gs - Qr-корадикал группы G, то есть пересечение всех тех нормальных подгрупп М из G, для которых G/Meo".

А]В - полупрямое произведение групп А и В.

Soc(G) - цоколь группы G.

Op(G) - наибольшая нормальная р-подгруппа группы G.

O(G) - подгруппа Фраттини группы G.

Fp(G) - наибольшая нормальная р-нильпотентная подгруппа группы

CG(H/K) - централизатор фактора Н/К в группе G.

Fa(G) - пересечение централизаторов всех главных А-факторов группы G. По определению Fa(G)=G, если в G нет главных А-факторов.

Главный А-фактор группы G - такой главный фактор группы G, чьи композиционные факторы изоморфны простой группе А.

Формация - класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Многообразие групп - класс всех групп, каждая из которых удовлетворяет некоторому данному множеству тождеств.

Q - непустой подкласс класса

Экран - отображение f класса G во множество всех формаций групп, удовлетворяющее следующим условиям: f(l)=G; f(G)cf(Gv)nf(Kercp) для любой группы G и любого гомоморфизма ср группы G.

Композиционный экран - такой экран f, который для любой неединичной группы G f(G)=nf(A), где А пробегает K(G).

Локальный экран - экран f, удовлетворяющий следующим условиям: значения экана f на любых неединичных р-группах совпадают (это значение обозначается через f(p)), для любого простого числа р; f(G)-nf(p), где р пробегает tü(G) для любой неединичной группы G.

Q-композиционный спутник - отображение f класса Qu{Q'} во множество всех формаций групп. f-центральный главный фактор группы G - такой фактор Н/К группы G, что G/Cg(H/K) е f(H/K). f-центральный ряд - нормальный ряд группы G, все факторы которого f-центральны в группе G. - класс всех групп, обладающих f-центральными главными рядами.

Экран формации {5 - такой экран f, что {^=<f>.

Композиционная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним композиционным экраном.

Локальная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним локальным экраном.

Q-композиционная формация - формация, обладающая, по крайней мере, одним Q-композиционным спутником.

Композиционная формация специального (классического) типа -формация, обладающая таким внутренним композиционным экраном, все ненильпотентные (неабелевы) значения которого локальны.

Внутренний экран формации $ - такой экран f формации что для любой неединичной группы G имеет место f(G)c{^.

Внутренний Q-спутник формации - такой Q-спутник f формации что для любого AeQu{Q'} имеет место f(A)czQr.

Максимальный внутренний композиционный экран формации о" -максимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации

Максимальный внутренний □-композиционный спутник формации (5 - максимальный элемент множества всех внутренних □композиционных спутников формации г5.

Минимальный внутренний композиционный экран формации -минимальный элемент множества всех внутренних композиционных экранов формации

Минимальный внутренний □-композиционный спутник формации 5 - минимальный элемент множества всех внутренних □композиционных спутников формации

Произведение {^-Ф формаций и ф - совокупность всех таких групп в, что в^е{5

Наследственная (нормально наследственная) формация - такая формация, которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

Наследственная (нормально наследственная) частично композиционная формация (□с-формация) - такая частично композиционная формация (□с-формация), которая вместе с каждой своей группой содержит и все ее (нормальные) подгруппы.

Наследственный (нормально наследственный) экран - такой экран, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.

Наследственный (нормально наследственный) □-спутник - такой □-спутник, все значения которого являются наследственными (нормально наследственными) формациями.

Минимальная не ф-группа - группа, которая не принадлежит классу групп ф, но все ее собственные подгруппы классу групп ф принадлежат.

Минимальная не ф-формация - такая формация 5, которая не принадлежит классу ф, но все собственные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная композиционная не ф-формация - такая композиционная формация {5, которая не принадлежит классу ф, но все собственные композиционные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная Г2-композиционная не ф-формация - такая Окомпозиционная формация От, которая не принадлежит классу ф, но все собственные ^-композиционные подформации из 5 в классе ф содержатся.

Минимальная (нормально) наследственная не ф-формация - такая (нормально) наследственная формация которая не принадлежит классу ф, но все собственные (нормально) наследственные подформации из в классе ф содержатся.

Минимальная (нормально) наследственная не фо-формация - такая (нормально) наследственная О-формация которая не принадлежит классу ф, но все собственные (нормально) наследственные О-подформации из в классе ф содержатся.

Полурешетка формаций - всякое такое непустое множество формаций Э, что пересечение любого множества формаций из 6 снова принадлежит 0.

0-формация - такая формация что СГеб.

9-экран - такой экран что для любой группы О формация ^С) либо пуста, либо принадлежит 0.

Фе-критическая формация - такая 9-формация что гУ не является подклассом класса ф, но все собственные 9-подформации из в классе ф содержатся. oxmlí - формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех формаций, содержащих 36.

9£огт36 - 9-формация, порожденная совокупностью групп 36, то есть пересечение всех 9-формаций, содержащих 36. с£огт36 - композиционная формация, порожденная 36.

ОсАэгтЭ^ - О-композиционная формация, порожденная 36. зГогтЭ^ЫогтЗб) - наследственная (нормально наследственная) формация, порожденная 36.

08&гтЗ£(08п&гтЭ£) - наследственная (нормально наследственная) Г^-формация, порожденная 36.

СБЯэгтЗб (сзпймтЭЕ:) - композиционная наследственная (нормально наследственная) формация, порожденная 36.

Пс8&гтЗ£(Осзпйгт:6) - композиционная наследственная (нормально наследственная) О-формация, порожденная 36. уагЗб - многообразие, порожденное совокупностью групп 36.

Секция группы О - факторгруппа А/В, где А<в и В - нормальная подгруппа группы А.

Формационная секция группы О - секция группы в, принадлежащая Аогтв.

Критическая группа - конечная группа О, не принадлежащая многообразию, порожденному всеми собственными секциями группы в.

Формационно критическая группа - конечная группа в, не принадлежащая формации, порожденной всеми собственными формационными секциями группы О.

9-базисная группа - такая формационно критическая группа, что формация 91оппО обладает единственной максимальной 9-подформацией.

-базисная группа - 9-базисная группа в случае, когда 9 - полурешетка всех формаций групп.

Максимальная 9-подформация формации <5 - такая собственная 9подформация формации {5*, что из включений где ф - 9формация, следует Ш=ф.

Предмаксимальная 9-подформация формации - такая собственная 9-подформация 5Ш формации что из включений где ф -9-формация, следует, что ф - максимальная 9-подформация формации о*. I Минимальный 9-экран формации - минимальный элемент множества всех 9-экранов формации

Примитивная группа - группа в, обладающая максимальной подгруппой М (примитиватором) с ядром Мо=1.

Монолитическая группа - неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу (монолит).

Множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой в и все группы изоморфные в, называется классом. В теории групп понятие класса имеет большое значение, прежде всего потому, что многие исследования в этой теории связаны с характеризацией групп, по свойствам тех или иных классов. Однако, как самостоятельное направление в рамках теории групп, теория классов начала свое развитие лишь в 30-ые годы после выхода работ Г.Биркгофа [55] и Б.Х.Неймана [61]. Первоначальный этап развития теории классов был в основном связан с изучением различных классов групп, заведомо содержащих бесконечные группы (многообразии, квазимногообразий и др.). После выхода в 1963 году работы В.Гашюца [58] началось интенсивное изучение различных классов конечных групп, ключевую роль, среди которых заняли формации групп. Таким образом, в рамках теории групп возникло и вполне оформилось новое научное направление - теория формаций. Напомним, что класс групп называется формацией (Гашюц, [58]А если он замкнут относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Итоги развития теории формаций нашли отражение в работах [3, 25, 50, 54, 57, 59].

В связи с классификацией конечных простых групп [см. 11] актуальной в теории конечных групп стала задача исследования непростых конечных групп с произвольными, необязательно абелевыми композиционными факторами [см., например [4]]. При изучении разрешимых групп основную роль играют локальные формации, то есть формаций, обладающие локальным экраном, значения которого задаются на некотором множестве простые чисел. При исследовании произвольных конечных групп на передний план выходят композиционные формации, которые определяются заданием значений экрана на некотором множестве простых групп. Понятие композиционной формации было введено Л.А.Шеметковым в 1973 году на 12-м Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме в Свердловске (см. [48]/ Оно заключается в следующем: функция : (£ —» {формации} называется композиционным экраном, если выполняются следующие условия:

1) 2) если А^В, то 3) где 8 пробегает

К(в) для любой группы СЬ*1.

Если, 0/С(1(Н/К) <е 1Щ/К), то фактор Н/К группы в называют ^ центральным в &

Класс О^С^ или О^СБф всех групп, у которых все главные факторы ^центральны, называется композиционной формацией, а £ -экраном этой формации.

Отметим, что каждая локальная формация является композиционной. Обзор результатов в направлении исследования композиционных формаций содержится в [12, 13, 25, 33, 50, 53, 54].

Как отмечается в [54], при изучении формаций можно выделить два основных подхода. С одной стороны, можно ставить задачу изучения формаций, у которых некоторая выделенная система подформаций удовлетворяет определенным требованиям. С другой стороны, естественно выделять и изучать подформации заданной формации. Наличие в исследуемой формации {5 тех или иных подформаций и их взаимное расположение в является важной характеристикой этой формации.

Однако, следует отметить тот факт, что поскольку, к примеру, у любой неединичной локальной формации решетка подформаций бесконечна, то применение индуктивных рассуждений весьма затруднительно при исследовании , внутреннего строения такого рода формаций. Это обстоятельство привело к необходимости разработки особых методов исследования формаций, связанных с понятием критической формации.

Пусть 0 - произвольная непустая совокупность формаций, ф - некоторый класс групп. Формации, принадлежащие ©, называются ©-формациями.

-формация называется минимальной не ф-формацией [51] или иначе ф©-критической формацией [25], если не содержится в формации ф, но все собственные 0-подформации из 5г в ф содержатся. Общая проблема изучения ф0-критической формацией впервые была поставлена

Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году (см. [51]). В серии работ [26 - 33] А.Н.Скибой было дано решение этой задачи в случае, когда 0 - класс всех локальных формаций, а фе® некоторая формация классического типа (то есть формация с таким локальным экраном, все непустые неабелевы значения которого локальны). Аналогичные результаты для локальных наследственных и локальных нормально наследственных формаций содержатся соответственно в работах В.М.Селькина, А.Н.Скибы [22] и В.М.Селькина [24]. Критическим формациям также посвящены работы Аниськова В.В.

1], Сафонова В.Г.[17], Селькина В.М. [18-21, 23]. Общие результаты о фскритических формациях получены в работах В.А.Ведерникова, М.М.Сорокиной [5-9], М.М.Сорокиной [35-37].

В работе Таргонского Е.А. [38], получено описание всех локальных формаций, в которых все собственные локальные подформации либо нильпотентны, либо минимальные ненильпотентные формации.

В данной диссертации исследуются композиционные формации с заданными системами нильпотентных подформаций. Здесь приводится описание строения композиционных формаций все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны; минимальных частично композиционных (наследственных и нормально наследственных) не ^-формаций. Тем самым решается задача Л.А.Шеметкова об изучении ф©-критических формаций в случае, когда 0 - класс всех композиционных или класс всех композиционных (наследственных и нормально наследственных) формаций.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Общая проблема конструирования и классификации формаций с определенными свойствами является одной из центральных задач теории классов конечных групп. Реализация этой задачи связана о идеей исследования формаций с заданными системами подформаций. На этом пути были выделены и описаны многие важные классы формаций, среди которых значительное место занимают ф©-критические формации, то есть такие ©формации, которые не содержатся в классе групп ф, у которых все собственные 0-подформации содержатся в ф, для некоторой непустой совокупности формаций 0. На VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп Л.А.Шеметковым впервые была поставлена общая проблема изучения ф©-критических формаций [51]. Решению этой проблемы посвящены работы Анискова В.В. [1], Сафонова В.Г. [17], Селькина В.М. [18-20, 22] и Скибы А.Н. [24-31], в которых исследовалось строение минимальных локальных не ф-формаций для некоторого класса групп ф.

Одним из обобщений локальных формаций являются композиционные формации. Поэтому вопрос изучения композиционных критических формаций весьма актуален и перспективен. Следует также отметить, что композиционные формации играют важную самостоятельную роль при изучении внутреннего строения непростых конечных групп. В данной диссертации исследованы частично композиционные ненильпотентные критические формации и получено полное решение вышеуказанной проблемы Л.А.Шеметкова для наследственных (нормально наследственных) частично композиционных формаций. В работе Е.А.Таргонского [38] получено описание строения локальных формаций, у которых все немаксимальные локальные подформации нильпотентны. В диссертации получено описание строения неразрешимых композиционных формаций, все предмакимальные композиционные подформации которых нильпотентны. Поскольку каждая разрешимая композиционная формация является локальной, и наоборот, каждая разрешимая локальная формация является композиционной, то таким образом получено полное описание всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформаци нильпотентны.

Цель и задачи исследования - построение общей теории минимальных частично композиционных не -формаций, минимальных частично композиционных наследственных (нормально наследственных) не -формаций и описание строения всех композиционных формаций, у которых все предмаксимальные композиционные подформации нильпотенты, всех наследственных (нормально наследственных) композиционных формаций, у которых все предмаксимальные наследственные (нормально наследственные) композиционные подформации нильпотенты,

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях по теории классов групп, в частности, при дальнейшем изучении композиционных формаций, наследственных и нормально наследственных формаций, при исследовании различных видов критических формаций. Полученные результаты могут быть использованы так же при чтении спецкурсов, преподаваемых в университетах и пединститутах для студентов математических специальностей.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1) Описание минимальных частично композиционных не £Д-формаций.

2) Описание минимальных частично композиционных наследственных не

-формаций.

3) Описание минимальных частично композиционных нормально наследственных не 1Д-формаций.

4) Описание композиционных формаций, все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны.

5) Описание композиционных наследственных формаций, все предмаксимальные композиционные наследственные подформации которых нильпотентны.

6) Описание композиционных нормально наследственных формаций, все предмаксимальные композиционные нормально наследственные подформации которых нильпотентны.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры Брянского государственного педуниверситета, на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д.К.Фадеева (Санкт-Петербург, 1997) на Международной алгебраической конференции Симметрия в естествознании (Красноярск 1998), на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва 1999), на Международной алгебраической конференции (Киев-Винница 1999).

Опубликованность результатов. Все основные результаты

18

ВЫВОДЫ

1) В диссертации получено описание минимальных частично композиционных не -формаций;

2) получено описание минимальных частично композиционных наследственных не 91-формаций;

3) получено описание минимальных частично композиционных нормально наследственных не -формаций;

4) получено описание . композиционных формаций, все предмаксимальные композиционные подформации которых нильпотентны;

5) получено описание наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные наследственные композиционные подформации которых нильпотентны;

6) получено описание нормально наследственных композиционных формаций, все предмаксимальные нормально наследственные композиционные подформации которых нильпотентны;

1. Аниськов В.В. О критических формациях // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция: Тез. докл. -Львов, 1987. 4.1 С.П-12.

2. Биркгоф Е. Теория решеток. М.: Наука, 1984. 586 с.

3. Ведерников В.А. Элементы теории классов групп. Смоленск: Смоленский госпединститут, 1988. - 122 с.

4. Ведерников В.А. О некоторых классах конечных групп. // Докл. АН БССР. -1988. -Т.32. № ю. С. 872-875.

5. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О локальных критических формациях // Международная конференция, посвященная памяти академика С.И.Чунихина: Тез. докл. Еомель, 1995. 4.1. - С.37- 38.

6. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных наследственных критических формациях. .Препринт / Брянский госпед-университет. - Брянск, 1996. - № 1. - 19с.

7. Ведерников В.А-., Сорокина М.М. О наследственных критических формациях // VII Белорусская математическая конференция : Тез. докл. Минск, 1996. 4.1. С.59.

8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. О композиционных наследственных критических формациях // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К.Фадеева: Тез. докл. Санкт-Петербург, 1997. С. 179.

9. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Композиционные наследственные критические формации // Вопросы алгебры. Еомель: Изд-во Еомельского университета, 1997 . - Вып. 11. С.6-19.

10. Ю.Ведерников В.А., Коптюх Д.Е. Частично композиционные формации групп. // Брянск БГПУ Препринт N 2, 1999, 28 с.

11. П.Еорнстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М. Мир, 1985. 352 с.

12. Каморников С.Ф., Шеметков Л.А. О корадикалах субнормальных подгрупп // Алгебра и логика. 1995. Т.34. № 5. - С.493-513.

13. Каморников С.Ф. Субнормальные подгруппы в теории формаций конечных групп. Дисс. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук. Гомель, 1995.

14. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

15. Кострикин А.Н. Ввведение в алгебру. М.: Наука, 1977. 496с.

16. Нейман X. Многообразия!групп. М.: Мир. 1969. - 264 с.

17. Сафонов В.Г. О минимальных кратно локальных не Н-формациях конечных групп // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета, 1995. Вып.8. - С. 109-138.

18. Селькин В.М. О критических формациях // Международная конференция по алгебре и анализу, посвященная памяти Н.Г.Чеботарева: Тез. докл. Казань, 1994. - С. 18.

19. Селькин В.М. О минимальных нормально наследственных локальных не Н-формациях // Международная математическая конференция, посвященная памяти С.Д.Чунихина: Тез. докл. -Гомель, 1995. 4.1. С. 115 - 116.

20. Селькин В.М. Описание минимальных наследственных локальных не ср-дисперсивных формаций // Вестник БГУ. -Минск: Унизерси гецкое, 1995. № 37 С. 72 - 73.

21. Селькин В.М., Скиба А.Н. О наследственных критических формациях // Сибирский математический журнал. 1996. № 51. С.1145-1153.

22. Селькин В.М. О критических формациях // Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1996 Вып. 9, С. 120-141.

23. Селькин В.М. О минимальных локальных нормально наследственных не Н-формациях//Вести АН РБ. Сер. физ.- мат. н.-1996. - № 3. - С.73 83.

24. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. -240с.

25. Скиба А.Н. О критических формациях // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. и, 1980.-№ 4.-С. 27 - 33.

26. Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // Подгрупповое строение конечных групп. Минск: Наука и техника, 1981. -С. 155 - 180.

27. Скиба А.Н. О формациях, порожденных классами групп // Изв АН БССР. Сер. физ.- мат. н. 1981. - № 3. - С. 33 - 39.

28. Скиба А.Н. О критических формациях // Докл. АН БССР. 1983. - Т.27, №9.-С. 780 - 782.

29. Скиба А.Н. О минимальных S-замкнутых локальных не к-сверхразрешимых формациях // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. Минск: Наука и техника,1984. -С. 53 58.

30. Скиба А.Н. О минимальных локальных не л-сверхразрешимых формациях // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во " Университетское ",1985. -№1. С. 105 - 112.

31. Скиба А.Н. О критических формациях // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: ИМ АН Украины, 1993."-С. 250 - 268.

32. Скиба А.Н. Формации со сверхразрешимыми локальными подформациями // Группы и другие алгеброические системы с условиями конечности. Новосибирск: Наука. - 1984. - Т. 4. - С. 101 -118.

33. Скиба А.Н., Шеметков Л.А. О минимальном композиционном экране композиционной формации // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. - Вып.7. - С.39-43.

34. Сорокина М.М. О критических формациях // VII Белоруская математическая конференция: Тез. докл. Минск, 1996. 4.1. С.84.

35. Сорокина М.М. О композиционных критических формациях // Меадународная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фадеева: Тез.докл. Санкт-Петербург. 1997. С.285-286.

36. Сорокина М.М. О n-кратно композиционных формациях // Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Л.М.Глускина: Тез. докл. Славянок, 1997. С. 66.

37. Сорокина М.М. О композиционных нормально наследственных критических формациях // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета, ,1997. - Вып. 10 - С. .

38. Таргонский Е.А. О локальных формациях с нильпотентными немаксимальным!! собственными локальными подформациями. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1984. Вып. 1. С. 119-124.

39. Таргонский Е.А. Неразрешимые локальные формации с системой нильпотентных подформаций. // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского университета. 1987. Вып. 3. С. 11-16.

40. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ. 1962. -468 с.

41. Чиспияков C.B. О минимальных ненильпотентных композиционных формациях // Меадународная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К. Фадеева: Тез.докл. Санкт-Петербург. 1997. С.304.

42. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Международная алгебраическая конференция Симметрия в естествознании. Тез. докл. Красноярск, 1998. С. 144-145.

43. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с заданными системами нильпотентных подформаций. // Брянский госпедуниверситет. Брянск, 1998, 19 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 26 октября 1998 г., К 3098-И98).

44. Чиспияков C.B. О csn-формациях с нильпотентными предмаксимальными csn-подформацмями. // Международная алгебраическая конференция. Тез. докл. Киев-Винница 1999. С.

45. Чиспияков C.B. О композиционных формациях с нильпотентными предмаксимальными композиционными подформациями. // Математические заметки.

46. Чиспияков C.B. О минимальных ненильпотентных частично композиционных формациях. // Брянский госпедуниверситет. Брянск, 2000, 18 с. Библиогр. 12 назв. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ от 24 апреля 2000 г., N 1170-ВОО).

47. Шеметков J LA. Ступенчатые формации групп. Матем.сбор. 1974, 94. № 4, С. 628 - 648.

48. Шеметков Л. А. Два направления развития теории непростых конечных групп // Успехи мат. наук 1975. - Т.30, № 2. - С. 179-198.

49. Шеметков J LA. Формации конечных групп. М.: Наука. 1978. - 274 с.

50. Шеметков Л.А. Экраны ступенчатых формаций // Тр.VI Всесоюз. симпозиума rio теории групп. Киев: Наукова думка, 1980. С. 37 - 50.

51. Шеметков JLA. Новое направление общей алгебры // Вопросы алгебры. Минск: Изд-во "Университетское", 1986. - Вып. 2. С. 3 - 7.

52. Шеметков Л.А. Композиционные формации и радикалы конечных групп // Укр. матем. ж. 1988. Т.40, № 3. - С. 369-374.

53. Шеметков Л.А. Скиба А.Н. Формации алгебраических систем М.: Наука, 1989.-264 с.

54. Birkhoff G. On structure of aljebras // Proc. Carbridge Phil. Soc. 1935. -V.31. -P.433-454.

55. Bryant R.M. Brys R.A., Hartley В. The formashion generated by a finite group // Bull Austral. Math. Soc. 1970. - V.2. N 3. - P. 347-357.

56. K.Doerk and T.Hawkes. Finite soluble groups. Wolter de Grunter, Berlin.1001. New York, 1992.-889 p.

57. Gaschutz W. Zur Teorie der endlichen auflösbaren Gruppen // Math/ Z/ 1963. Bd. 80, N4. -P. 300-305.

58. Gaschutz W. Lectures on subgroups of Sylow ture in finite soluble groups // Njte in Pure Mathematics. Caberra: Austral. Nat. Univ. - 1979. - V. 11. -100 p.

59. Huppert В. Endliche Gruppen, I. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 1967.-793 p.

60. Neumann B.H. Identical relations in groups. I. // Math. Ann. 1937. - V. 114.-P. 506 -525.