Классы пространственных отображений, определяемые некоторыми модулярными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. В. И. РОМАНОВСКОГО

и 0- 7

ЖАББОРОВ Насридин Мирзоодилович

КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ НЕКОТОРЫМИ МОДУЛЯРНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Специальность 01.01.01 —Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ташкентского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

Официальные оппоненты:—доктор физико-математических

Ведущая организация — Ургенчский государственный

Защита состоится « /1 » года в . /.?9 °

часов на заседании специализированного совета при Институте математики им. В. И. Романовского. АН РУз по адресу: 700143, г. Ташкент-143, Академгородок, ул. Ф. Ход-жаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РУз.

Автореферат разослан «_ _1993 г.

наук, профессор А. В. Сычев

наук, профессор В. В. Асеев; кандидат физико-математиче ских наук, доцент А. К. Варисов

университет

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Ш. А. ХАШИМОВ

■' Актуальность- теми. Как известно,-теория плоских квазиконформных ..отображений,- построенная Г.Гречем, М. А.Лаврентьевым и Л.Аяьфорсом, нпш-ла паяние' применения в .задачах .механики н математики и установила плодвтворные-'связа с- такими областями как.математическая физика к-лейн'ових групп,'функциональные пространства и дифференциальные операторы, те-срия приближений.

• Изучение пространствешшх квазиконформных отображений, введенных в .рассмотрение-М.А.Лаврентьевым в 1938 г., интенсивно продолжалось, начиная с-60-х голое, в работах ряда со. ветскнх и зарубежных ijn тема-тиков. Значительные успехи в решении" многих задач теорШ. пространственных квазиконформных отображений связаны с развитием и использованием метода конформных инвариантов, искажение которых.'едукит количественной' - оценкой отличия- отображения от конформного. Один'из них - мо. дуль семейства кривых (экстренр льн'не ¿глины), берущий начало в реботах Г.Греча, успешно применяемся В'теории пл'сских- конформных. отображении' и особенно..удобен своей геометрической

• наглядности;.

При изучении квазиконформных отображений на плоскости •эффективно используется также ¡¡.'аппарат конформных отображений.и,-в частности, теорема римана. Согласно теореме Лиувил-ля конформные отображения в пространстве исчерпываются преобразованиями Мебиуса, т.е. суперпозициями инверсии, растяжения," пвра'ллолын>го переноса и ортогонального отображения, (су-перпизицпями четного чиста отобранскиз симметрии относительно сфер).. Сильно возрастает роль метода модулей, введенного в 1950 г, .'Л. Альфорсом. i! Л;Бершшгои и распространенного на

п -мерные пространства Б.фпгледе и Б.В.Саботом. Метод модулей в -койоа-то мере заменяет 'метод'ы,' связанные с теоремой •ри-яана; и является одним .нз основных методов изучения пространственных квазиконформных отображений. До льнейшее'развитие .метода модулей семейств крлв'нх ii'поверхностей 'в-пространстве .связано с работам:;.В.д.Зорича, ЦЛиТаирвзоЬа, А.В.Сычева,. . ií.n.HiíTDKn, Г.Д.Суворова,- В.З.-Асеева, • а-такие .с работами румынских," финских и американских-.математиков. • •'•

• / 'ДлБте'-рйот^внул к-омформиыЛ-инвариант,-. связанный с инте-■ гря леи Дирихле,- Егпфср|:ная ..емкость кон до'нсв тора - введен

Ч.левниром и удобен для рев шил -задач • теоретик о-фукщи она ль- ' ного направления. ■ развитию этого направления послужили работы Ю.Г. Г-еиетняка, В.И.Мйклюк^ли других математиков.

В основных ситуациях-установлено совпадение -этих коформ-!шх инвариантов, -дакщее ¿озмокноств выбора некду .геометрически! и тесретико-^ункциопальной трактовкой поставленной задачи. . ' " '

1!ельо исследования диссертации, яв ляются сяедусщие" ' вопроси: ■'. .

1. Исследование, .геометрического определения квазиконформности п решение за дичи . С. В.Те pi н. г а о нахождении модуляр^ них условий, достаточных для квазиконформности гоыеоморфиз- ■ нов рассматриваемых областей'» случае квадрата на-плоскости.

2. Нее ледовннне'' возмокнос'тей обобщения результатов'с -

Г и,- -. . . ■ . • ' ; •

М в -т с д и к п и с с т; г,- о с а н ч я. ¿¡спельзуЬтся нет оды решения-задач теории плоских и пространственных кваз'и-конфоргаих .отобра-кенлй, топологии, ди;|ференц.:аявной. топологии.- ■ ■

-Научная -новизна, .к^пе-на проблема Ф.В.Геринга. о нахокде-. нии модулярных уелсв'ий-, достаточных для квазиконформности, гомеоморфизмов плоских область Я в скучое квадратов. Обобщен результат л.Казаку:-доказано,' что для-квазиконформности отображений пространственных • облает ей 'достаточно- выполнения модулярных, условий.-не для произвольных а -мершх ориентированных параллелепипедов; а для- параллелепипедов, основаниями которых являются (п • 1).' -мерные кубы. Построен контрпример, показывают«, что-в вышеупомянутом результате д.Казаку модулярные'ус лбвия для п -мерных -ориентирояэнных параллелепипедов'нельзя затенить модулярными -уедав и я ми-для п -мершх •. ориентированных . кубов,. . .-..'-

Все;-результаты диссертации является новыми, получены . лично автором.и обоснованы полными'и подробными доказательствами. ' '• - .

.Практическая и-теоретическая ценность. .Полученные реЗуЛЬТаТЫ Н иСЯТ^Тс ОрЗтпЧсСлй" XfipSKTSp. .Окй'иОГУ.Т быТЬ ПрмпСНби!« в теории хвази конформных отобраеенай а асподьэоваться-. при проведении спецсеминаров и ;слецкурс'оь. .

Апробация работы." Основные'результаты- диссертации 'доила--давались на -Всесоюзной конференции молодых ученых-"Актуальнее

вопросы комплексного анализа" (г. Ташкент, 1989) и-на Между« народной научной студенческой кон-ретенции (г.Новосиби'р<ЬК, 1992), на научно-исследовательских семинарах по те ери н функция Института математики 00 РАН (1937-1992),. на научно-исследовательском семинаре по математического анализу. ТашГУ (1987-1992). •

Дубликат»и. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-2] .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит'из . введения, двух глав и изложена, на 77 страницах машинописного текста. Библиография содержит 42 наименования оте'чествешгой и зарубекной литературы,

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБЭ1Н ;

Во введения приведены основные определения, всп смога- ' тельные утверждения, используемые в течение всей диссертации, и сформулированы основные результаты диссертации.'

В параграфе 2 главы I приведены геометрические определения квазиконформного отображения на .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Топологическое отображение ^ области Т) называется X -квазиконформным, если модуль лпбого четырех--сторонника /% 1 , ^с. В , .меняется при отом отобракение че более, чем в X раз, т.е.

ЗГХМ (Е}Г:^)£Мт,иР);т)< ГА1(£,Р>'/?х). (1.2,1)

6 этом геометрическом определении требуется выполнение нера-венства(1.2.1) для лвбого четырехсторонника .

Ф.В.Геринг и Ю.Вейсядя доказали следующую теорему.

ТЮРЕМ А 1.10. Пусть В а Б" - области в плоскости,. а.

- геомеоморфизм I) на Т>*~ . Если для лобых' ориентированных прямоугольников Й , £ с 2) , выполняется оценка

(1.2.2)

что § является ( 2. г ЧИР" ) - квазиконформным отоброке» ниеи.

В 1975 году Б.Пайка опубликовал следующий результат,' ТЕОНЯД 1.11. Пусть ^ - гомеоморфизм области' П

ни [)'" . Есл1:

.74 а-(Е),ЯРк ГШ) 4 ¿А(Е.£Ш) : ••• • • -(1.2.3)

.М (Ш), А (С, £; й) • (1.2.0

выполняется, для вое'х .кнвдраг ов ■ (} , (¿'с Л и ?,ля всех орлектировыыих иря'мс^гольмков Я ., 'Цс I) , с-.

а >1 , ГДР /> - i , то / ' - является кснфоркшм. • ; - ■ ' ■

• 7.в лее, А.хинииненом'. док азана следующая теорема. ТЮГ:МА- 1Д2. Путогь ./■ ~ гомеоморфизм о<5ласта 7) на 1У .-Если-'- ... • .- ..-

М'(-/г£);/(£п Ш)) ' ,'(1.2.5»)

выпсб£ястск для все? орицитйровьницх пряное гопмшкоь ' 1> с 2> , С м (I: } Г С1> 1 . , то .,(• - явллстся

• 4 V (-':ХГ-,1) {а -1) " ~ КЕйЗ|И:са1^и;.иии» гот-опс^изнь».

Б сл«г-л с сг!{« результатом ьозилкает-вопрос: г.осио лй ослабить .ус,!пеня .это.; тс-ороми," т.и, -ограничится рассмотришь ем --только ориентированных ш,дратсв? . .

СчВ.ГерйнЬсм -и в,Бейсялр построен ирймер, из. которого 2ИЯН0, что ограничиться-рассмотрением лнвь 'таких кььдратоь

НЕЛЬЗЯ; . ; '

В ото!)' па-рапроре -автором построен при«ер, из котсроги Т01{ке' следует, ньзозмь-аность р&сспотрииая лавь апьах квадратов. 0»)зко в оты-чие от -упомянутого примера <*.В.Геринга и В.,Вейся яд метод построения пр.шера, предясиешшй автором, годится и,-в случае - Е-^3 , .

Доказывается, такке .следуоадя -лемма, с помощьь которой начисляется- модуль -квадрата при построении лракера некввзи-конфор много- стобракения, удовлетворявшего слабому условны квадрата. , •.'•:-; ' . '

.. МША .4'Л'З»' для л'ооои области (А , сод^рздкейей в ¡шдо-

се . + :4 \ » 13 лсбых коитинууипз

Е - {(хлдг

чип влияйте.? оцсакв'

' - MiLif yO.) ^ -r1' ,

где i (Г,- A)Ys;-.'- ц Д" - .opiíCH-

тЯровэнньй квадрат. . ..'■-.''

Ф.В.Герпигпм djinn сформу-Я|{°ровоие> -спеяуипая заяпчч. Пусть- 7) JJ' bel cric ти .в ияое кости, ai- гомоморфизм ■!)' но V . ' ■ ■ ■ • ■ - ' ' ' Предположим, что ' '

• . .жле),ЯГП на)) ¿ г-м(tj\aj ■ ' •

выполняется для всех орлентерсвяншя квадратов (\ , где (X с D •'» о 'Я /■ - порзилсяьйые сторсиы квплрптй- (2 Какие модулярные усяовп достаточны- дяя f ' -квезйконформности? ■ • • '

Б• спязй с этим предстал ¡ййт интерес выяснение дополнительных условна но ориентировпиние квд др.тги. ЭтоЯ иски и посвящен параграф 3. - ' !

Чтобы решить задачу О.В.Геринга • введены неко.торчя- поня-' •Г и я. ■ . . .•'•..

ОПРЕДЕЛЕН® Г.Кь Направлением кввдрптя í'l на ппоокбс-г« [R." мы будем называть угод (fe Lc;Jl'/¿] такой, что при

повороте на угол (-'•['} квадрат Ü' переходит в квадрит, стороны которого-пчроллельны осям координат,

ОПРРДЕШЬЕ 1.15. Будем говорить," что гомеоморфизм

S" ' DTJ* пяоеккх областей.удовяетворяет в направлении

'■(' , где , слабому условна :квадрята'.о консгзн-

той N , ест неравенство ' ' .

- М (i (i:), í С F); f ( fí)j /'/ \ (IÍ3.I-5

исполняется для ячбего. кведрзтп ' (l - , (\c7j иисщего напрпгтечие f , в вгбо? пари í: ii г ~ -era пвряллеяьннх

л-гого:т.

f

• OilPEJöiLEHK:; 1.16. Бусег/ говорить,что геокеокорфпз* f; J)->D" iixocKiix областей удовлетворяет в направление w ,гда c&-ij с jT/a ' .сильному условию кьадрата с ' конегентои;.// . ее.:и неравенство

'M(j(B).Jirj;f(D)) < // ■ 4.3.2)

шдюлняется для ji:,.üor.j к.-апрато Q , Qa J) , име^иего направленно tf1

: ' ■ Тек как для любого Q , Qc D и-'сет место пера-

то па сильного услоиия квадрата слздует вшголиениб слабого 'ублойт с •гаи ;.-.с сокой константой.

Основным тоюм диссертации является слодуюцчз

теореуа, которая p^ejüct ви';.е:,\т.'!,'янут.ую задачу Ф.В.Геринга,

TKOP;i,A JL.IV. Пусть го:.:ео!.:ор^п jc отображение I В"'!]* плоских областей удовлетворяет в направлан::и О сильному услошш itB.v.53T.->, Т.й.

. 1'А (}('t), j (F); f(V)) i М , (1,3.U

а в направлении JT/t, - слабому условию кьаярэгь, т.о.

Я (ЦП, i(l');i(Q)) • ci.3.2)

Тогда оно является X -квазиконфор. ни:, отображун/.ен с коэффициент: квазиконформности X' , где iL зависит лтъ

ОТ У = шх /'Vi.Aif, •

. Первый параграф глани П посшииен гео:.'.етричеоко«у определению квазиконформности в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Гомвокорсрюе отображение f области

X'CjR" /-называется % -квазиконформным, 1 < если для'любого секойотва кривых Г и его образа /'"= f(r.»

имеет кзото двойнсэ неравенство

- (Г) * М(Г'*) 6 Т м (Г) (XI.I.3)

В этой геометрическом определения кзайинанфорнностя требуется выполнение двойного модулярного неравенства для ¡ибо-го"семейства кривых . '

Но результатов а.Еейсяяя следует, что для обеспечения квазиконформноем достаточно расснйтравауь.извене'иие подуг,ей семейств кривых, сэздиздяпда грап&чкыс компонента кольцезк областей, я такие видно, .что ùoeto сгфенпчятвоя только иене.». пением модугеЗ топологических иа'яйвдрм! .. "

В области Dr.JR" • рассиатрнзаптся' п ~iiep:u3 napas.Tï-сзпипеди Пл с ребраав, параллельны;;*! к.осрдема?1шн сся»,.. л (n-î) -мерным основанием 1- Дгл яаггдрго такого ' паре гае кепипедо -Пп с основание:! H'n-i рсй!цтр"заегся

величина •»конфор'.шй по дуль' сепей~.

отаа всех локально определяемых кривых в .О и оезгэкчгдвх противополовнив грани XIV/ « ' S 21,-/ ....

В 1901 году А.Казаку получила сяедугщаз-результат.' ТЕОРЕМА 2.7. Пусть j - гомеоморфизм область" ..'0 па D*' . Если для любого параллелепипеда Cln с Си-0 -кер-

иыи основанием выполняется оценка

м (а;.,, ai., ; -а,). < 1 -

Г ,> л -/ " i"-O/.Z '' ■ '

го j является £ ■ л . ~ квазиконформна!!

отобранением. • •

В данной параграфе докезылаегся теорема, о<Зобг.авдая 'результат л.Казаку.

Рассматриваются п. -мерниь паралязяепя.педи. 111ц • 'с ребра ия, параллельными коордииатшгм осям, и осяеяоряна_

111,1, ; явкншиася (ft-ij -мерпими кубами» Для какдого

такого пора ллалепипеда lin с основанием IU/i-i . pacci<aïf/!~

лается величине М.(П1,., П„ ), . ■ -к огф органа

модуль ceneâCTEa всех локально спрямляемых крчвлх в П7г>.

соединяющих противоположные 1таш! fln-t -а 1 Bh-i » •

ТЮРК!А 2.8. Пусть ;/ - rc;"îo:ïop3-33ïi J) Чт-

])''' , Ecnï л ля лобог» ^-г^лл^тг'педи М; о п^П''^;,':?!";

iff/,-,' 't являйцймся (n~i) -мерным куб си, is ребре мл, параллельными координатным осям, мир/шлется оценка .

X ' 7-/1-/ . l>(n--/)/,Z

то j является Jt • п . • - квазиконформным отобра-.

кениеи*. . '

Доказательство теоремы получается .из. теоремы 2.7 с помощью следующей лгмнн» '.

• ИА.г'.З. Пусть 7) И - области из R" .. Если ■

гоие'оиорфизн f '.Ъ~>В* увеличивает .иодуль лсбого -П- -мерного параллелепипеда Ш> 1 , IUhc В , основанием которого является (п-i) . -мерный куб HJd-i , не более чем в % У/ I ра з „ 'т^е,, ' . '. ' . .

1Л (т., к.,i rs„) i ХМ(f (it.,), f ()f(.

то • f 'увеличивает модуль любого it -мерного параллелепипеда

•Пи >

с (я.-i) -мерным основанием п-1 не более чем в 'Xi раз., т.е.

Д1 (<%,-П'и,О„)- й",Я(i(ПЦ.,)-iР,))..

где «. I. зависит .лишь от 'Ж .

• В параграфе 2 доказывается следующая лемма, с помощью которэй вычисляется модуль двугранного клина при построении примера неквазиконформного отображения, удовлетворяющего модулярному условно куба.

Пусть . j (l, (р., Z ) ; в и t < <х>, 0 < (f & ил , ~ < Z <о= [•

'щтяиндркчеекие координаты в R3- . Область

.. рх : • .{-(tt <ftZ)" 0<4><<t}} О <:<.<< VC незиявется- двуграшни клином с углом и .

' -ЛЙША 2.10. Пусть в пространстве fRJ задана область '0 . , огрэличспнвя параллельными плоскостями

f] ■ í t' - -V ^ -

и •

H - {(*,$*)•' ^--rj,

Рассмотри,! пару трвоекатаяхся плоскостей, сруогоголь-«HIX шшскоагям. /] и Ç , образуг-хш" п пров»рснсу».э' диуг-

рошшв клиш (h « Qi с уташ , t< -'jT „ не

Eiie QOítien rpavi, Тогда

lAiÜiñfl, Ck-nll' DJ < с U)f (TJ-.2..Ï,;

гдэ 6л) - иоястгштй, зависящая лииь os <Х

В геоиеграчеохом ойроте пения 2.3 к1шзико:г%ор..<«оо:::! ?рз~ ôjeTa» шполиоиис дьойкого иодуллриого Hopafeucvjsa пая го секоистпа крлвнх Гс D

Из опрзжолсиш 2.4 GJiö.itу«т, то иомао .учюшш'П* кок зимние jíi:;!¡] f¿ü,¡í.y.4üii oi;.<;ix"b криьих, ссодпнпх грцлт'пи-о 'кс..:-ипнои'л! кольцошх ooj!';oí3ü, u по OlIíKílIrí.VdHKJi 2.íi 'ivo

;íu:/ho ограш1чшьс;д iisrísüonnoi/ ¡:.одулеíi гоподогпчйпл'дк in ¡.ri;'~ !;ов, м i-jopc:« Й.7 - a. 8 олодуеиг чуо ¿ссвдга ограьят.го оя кз;.'п;юшш;,' модулой п - гораак п-зрадиегсняи'.^чоп,

:) параграфе 3 изучается слодуь1 poupeù: i-cv.io ли в r?c.\;oTrpii4uí¿i:c" с'.реце.'теиик 2,3 ;cu;-3i:;;0!î 'ор:'достп Дптробоьатт. -шшолнания дгойиого жфйтчклна (II.i,О) только ддт орле.'.'Kino-

iiüi[i;:ri KycíDii?

lía пркшри главы I iiaporpsXii 2 яшаш, что :¡ urooi-c..: олучек otjjoï па oro? j «опрос ovpunmeít'jíí.

Ii ото!'.* параграфа поегг-,o¡; прз/ир, цокание. v-з з i '0 о i/o т р н чэ с : tïiipr; доле ним 2.3

гншшюкая поравекохиэ (II.1.3) iow:o ?.nv г уг к1'-.

сои уакла пзльзя. ' -

Ачтор япрежавт благодарность osoony \ri;roj:);oJ'îccopy Д.В.Снчопу sa p.yicouo".o-v;о л гсс.^я:«»«* г-;«:-:---I-.T-ÜM IÍ ¡iadoTíi., • ' ••••'.

Огновшз рззультитн дпссор'г/лр"' rinvvl-"'-'^...... • :

' ' I. Набборос ILM'. -Об одном геометрическом определении 'КЕазикон^ормности .в ■ • Алгебра и математически!!

анализ Новосибирск, 1990.-С.- 31-34.

... 2. .Жабборов ILM. Условие квадрата и квазиконформность Катем.анализ -я .дифференциальные уравнения. Новосибирск, : 1991.- С!.. 67 - 72. ,'

БА'КЗИ БИР модашр ШАРТ НШН АШ-ЗУШЕГАН -М30В11Й'

• • МСМПТИРИШЛАР. 0111131 • •

- . ' :А II Н О 'Т А' Ц И Я

•Диссертация 2-удчамли во /п/- улчалли Евклид фазооида квааиконфоры аксяантиришнинг геоыотрнк таърщшш Урганишга багшланган. ' •

1!кки- улЧамли -фазода у.ВЛ'орийг шоаяосшшнг ниобий ечими учун етарли модуляр шарт анэдлангаи.

/п/ - удчамли'фазоца А.КазаКу тоорегласи уыумлаштирилган, ■ яъни, ихтиёрий 1$иалтирилгаи /п/ - улчашш парадделопИподлар Уриига асоси /и-1/ удчпмяи куб султан /и/. - удчамли цунадти-рилган параллолопипедяартлодуляр шартни яаноатясштйрса,

г ом'о огл орфи згл квазиконформ акслонтирйш булнши ?/чун'-■етарлилиги курсатилган. .Бундан таищари аоосн /п-1/уячоыли куб с>улган /а/ — улчашш -параллолоштед^Урнига /п/ - у'лчамли куб олоа-к,. гомеоморфизм - акслантиришнинг ' ' - квазикон- . форм аколантириш булини учун отарли оыаслидигига тсскэри гласа да цурилган.

CIiASUBj OF SPACE MAP1KGS' WHICH ARE DEyiNK WITH MODULAR CONDITIONS . .

SUMMARY ' . ' ' '

The dissertation is devoted, to investigation of the ■ ■

geometrical definition of the quasiconformness of homeomai'phisms Car domains in two and manydimensional Euclidean spaces.;

For a plane, thé I' .W .Gehring ' s problem has been solved ' . find modulus conditions which are sufficient for quasiconfortaness of homeomorphisms of the square. '■"'•■.

In the case'of n-dimensional domains the A.Cazacu result is improved she reguirsd of fulfilment.of modular conditions for all n-diiaens.ional oriented parallelepipeds. As wc proved' that it is sufficient to consider only all oriented para.llelopipeds in which (n-l)--dimensional 'cube are the basis. Moreover, we could construct a contrexample from which it follaws.that it is impossible to change such n-dimènsional orientëd parallelepipeds to n-dimen- . sional cube.

P.--, Подписано к печати , >

• Зак.— Ml-. :>и''.! -У Тирдж -'/С Ц< l99-Sr.'r;£<y*H~ Отпечатано в АП ТПК

Ташкент, Навои, . 30.