Классы сходимости в теории рядов Дирихле и аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ч- #

О <V

Льшвський нацшналышй ушверситет ímchí 1вана Франка

I

/

J

M У Л Я В А Д") X

Оксана МирослаП1вна

<5>

УДК 517.53

КЛАСИ ЗВ1ЖНОСТ1 В TEOPIÏ РЯД1В Д1Р1ХЛЕ ТА АНАЛ1ТИЧНИХ ФУНКЦ1Й

(01.01.01 - математичний аналш)

АВТОРЕФЕРАТ дисертацн на здобуття наукоиого стуненя кандидата ф1зико-математичних наук

Лыйв - 2000

Дисертацгею с рукопис.

Робота внконана у Дрогобицькому державному педагогичному

утверситетч ¡меш 1вана Франка на к;ц]>ед])1 математики 1 методики математик]

Науковий кертник:

кандидат ф]зико-математичних наук, доцент Галь Юрш Михайлович

Офщшш опоненти:

доктор фюико-матсматичиих наук Скпсшв Олег Богданович, профссор кафедри теорй функцш 1 теори ймов^рнос.тей Лынбг.ького нацшналыюго ушверситету ¡меш 1вана Франка,

доктор фЬико-матсматичних наук Мохонько Анатолий Захарович,

професор кафедри вищо! математики державного ушверситету "Льшпська пештехшка",

Пропхдна оргатзащя: 1нститут математики НАН Украши, В1ддш комплексного анализу

Захист В1дбудеться -М- р. о 15.20 год.

на зас1данн] спец1ал1зовано! пчено! ради Д 35.051.07 при Льв^вському державному университет! ¡м. I.Франка за адресою: 290602, м. Льв1в, вул. Ушверситетська, 1, ауд. 377.

3 дисертащсю можна ознайомитись у бiблioтeцi Льв1вськог0 державного ушверситету ш. I.Франка за адресою: м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розделано »«П.. ..... 2000 Р

Вчений секретар спещал^зовано! вчено! ради . .. Микитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальность теми. Вивчешпо зв'язку М1Ж зростанням щлш тш аналтгшо! в единичному Kpy3i функци та поводженням коефщ1е1тв и степеневого розвннення присвятили сво! npaiji багато математиюв. Щс в Kinni минулого стол1ття Ж.Адамар вказав формули для знаходження порядку i типу Ц1л<>1 функцн черед ii тсйлор1вськ1 коефвденти. АналоНчна задача для анал1тичних в единичному крул1 фуцкцш в 30-х роках була розв'яэана Ф.Байерманом i К.Фудж]варою, результата лких були в 1959 р. персв1дкрит1 Н.В.Говоровим. Значно складшшу задачу роэв'язав в 1923 р. Ж.Вал1рон, який вказав достатню умову на поводження тсйлортських коеф1ше!тв шло! функци для того, щоб вона належала загально пршшятому для щлих функцш гкштснного порядку класов1 зГллаюсп.

Безпосередшм узагальненням степеневих ряд1В е. ряди Д1р1хле з шш1д'емшшн зро-стаючими до +оо показниками. Роль ряд1В Д1р1хле, як в математичному аналЫ, так i n теори чисел, Tcopii диференщальних р1внянь та ¡нших роздЬтх сучасно! математики добро вздома. У другш половши нашого cтoлiття лащкаилеЕпсть рядами Дзр^хте сильно зросла, завдяки доемпдженням А.Ф.Лсонтьева та його учти. Значпий вносок в розвиток Teopii ряд1в Д1р1хле зробили М.М.Шеремета та його учш В.В.Винницький, О.Б.Скасюв, Ю.М.Галь та iniui.

Зростання щлих (абсолютно зб1жних в С) ряд1в Д1р1хле переважно вим1рюють за допомогою Л-порядку i R-типу. В 1928 р. Ж.Птт вказав формули для !х знаходже-ния через коефвденти ряду Д!р1Хле. У випадку ряд1в Д1р1хле з нульовою абсцисою абсолютно! зГнжносп ix зростання в термшах порядку та типу вивчали б.Дагене, В.С.Бойчук та imni.

У юнщ 60-х рок1в М.М.Шеремета bbib поняття так званнх узагальнених порядюв, яю з часом пнайшли застосувания в багатьох задачах Teopii функцш i викорнстову-вались багатьма математиками. Bin ртом з Я.Д.П'янилом в термшах узагальнених порядив встановив зв'язок М1Ж зростанням щлих ряд1в Д1р1хле та спаданиям ix ко-еф1Ц1ент1в, а пот1м разом з Ю.М.Галем таку ж задачу розв'язав для ряд1в Д!р1хле з нульовою абсцисою абсолютно! зб!жность

В 1963 р. П.Камсен nepeHic теорему Вал1рона про належшеть щло! функци до кла-су зб1жност1 на щл! ряди 4ipix.ie, показники якого мають додатний еюнченний крок, а Ю.М.Галь i М.М.Шеремета в 1985 р. розв'язалп аналоНчну задачу для ряд1в Д1р!хле з нульовою абсцисою абсолютно! зб!жност! i такими ж показниками. Природною стала задача, як змшяться р>езультати П.Камсена та Ю.М.Галя i М.М.Шеремети. якщо посл1Довшсть показнигав ряду Д1р!хле може не мати додатного сличенного кроку. Актуальною також е задача щодо зв'язку м!ж зростанням ряду Д!р1хле та поводже-нням його коефдаент1В в термшах узагальнених клаелв зб!жност!, як! вщпов^дають узагальненим порядкам М.М.Шеремети.

При розв'язувангп задач такого гатунку noTpiCni ощнки максимуму модуля ряду Дф1хле на вертикальнш прямей через максимальний член цього ряду. Таш оцш-

ки можна знанти в працях р1зних автор1В, але ¡х не завжди можна застосувати а розв'язування задач, постаилених в щи дисертацп. Тому актуальними стали отрим; пня нивах оцшок максимуму модуля через максимальний член I питания IX точност

Для ряд1в Д1р1хле з нев1дЧмшши зростаючими до +оо показниками Ж.Вгшрсш з певно! умови на швндшеть 3])Остання цих показниыв вказав добре ведому формул для абсциси зб1Жност1. 1з п1>аць О.Б.Скаскта, М.М.Шеремети та ¡х учшв видно, щ якщо яке-небудь твердження про властивк.ть ]>яду Д1р1хле справедливо за деяко! уме ви на показники, то можна вказати 1 умову на коефщ^енти, при якш це твердженн також справедливее. Ънними словами, показники I коефщ1е.нти е в певному розумши рпшосильш. Тому актуальною стала задача про знаходжешш умови на коефндент] ряду Дф1хло, при виконанш яко! формула для абсциси зГижност1 залишаеться в!рно1с

Зн'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика ди С(>2этац11 пов'язана з науковими доопдженнями, як) проводяться в галуз1 математик! у Дрогобицькому державному педагопчному ушверситет1 1Меш 1вана Франка.

Мета 1 зада'п досл1дження. Метою дисертацп с:

1) вказати умову на коефщ^енти ряду Д1р1хле, при виконанш я ко! збер^гаетьс* формула Вгипрона для знаходження абсциси зб!Жност1;

2) отрнмати точш оцшкп максимуму модуля через максималышй член;

3) вияенитп, як змшяться теореми П.Камсена та Ю.М.Галя 1 М.М.Шеремети у випадку, коли показники не мають додатного скшченного кроку;

4) в термшах узагальнених клаелв эбЬкност1 встановити зв'язок м:ж зростанням ряду Д 1р1хле та поводженням його коефЩ1€НТ1в;

5) вказати застосування отриманих результаэтв в теорп ццгих та аналгеичпих в одншгшому круЗ! функцш.

Методи Д0сл1Джеиь. Для розв'язування цих задач використовуються методика максимального члена, отримане в дисертацп узагальнення нер1вност1 Гард! та дeякi приломи з праць Ю.М.Галя та М.М.Шеремети.

Наукова новизна отриманих результатш. У дисертацп вперше введено уза-гальнеш класи збЬкностц а з ¡х допомогою встановлено зв'язок М1Ж зростанням ад-лих та абсолютно зб1жних у твплощшн ряД1В Д1р1хле з нев1д'емними зростаючими до

со показниками 1 поводженням ¡х коефщ1снт!в. Узагальнено теореми П.Камсена та Ю.М.Галя 1 М.М.Шеремети про класичш класи зб^жност! на випадок, коли показники не мають додатного скшченного кроку. Вказаш точш оцшки максимуму модуля через максималышй член 1 знайдепо умову на коефщенти ряду Д1р1хле, при виконанш яко1 збер1гаеться формула для абсциси зб1ЖНость

Практично значения отриманих результате. Дисертац1я мае теоретичшш характер. П результати с певним внеском в теор!ю ряд!в Д1р1хле I можуть бути використащ як в загалыйй тсорн ашинтичних функщй, так i в шших розд1лах математики.

Особистий ннесок дисертанта. В оиубл1кованш стльно з Я.Я.Притулою ста-тт1 [2] лем и 1 i 2 належать сшвавтору, а л см а 3 (в дисертацп лема 2.2) i теорема (в дисертацп теорема 2.8) належать обом авторам в однакоши Mipi. Bei решта речуль-тати отримат автором дисертацп самостшно.

Л пробац1я роботи. Результата дисертацп детально доповадались на Льв1всько-му мпквузтському ceMinapi з Teopii аналптичних функцш (ксртипки А.Л.Кондратюк i О.Б.Скасюв), на Льв1вському регюнальпому ceMiirapi л математичного анализу (коровник М.М.Шеремета), а також на М1Жнародшй науковш конференцй "Сучасш про-блеми математики" (м. Чершвщ, 1998 р.) та М1Жнароднш конференцй з Teopii ди-ференщалышх ртнянь в частинних пох1дних, прпсвячеши стор1Ччю з дня народження Шаудера (Льв1в, 1999 р.).

ПубЛ1кацп- Результати дисертацп опублжоваш в статтях [1-6], список яких подано в кшщ автореферату i з яких п'ять надруковаш у виданнях з переярку N 1, затпердженого ВАК Украши.

Структура та об'ем дисертацй. Дисертащя складаеться ¡з вступу, чотирьох розд!л1в, biichobkib i списку використагагх джерем Ь 42 назв. Загальнии обсяг пращ разом ¡з списком використаних джерел - 128 сторшок.

3MICT РОБОТИ

Об'сктом досл1дження е ряди Дipixлe

оо

= о0 + ^ Я„ ехр (.чА„), 5 = а +■ И, (0.1)

п=1

Дс (Ап) зростаюча до +оо посл1довшсть додатних чисел.

У першому ролдш "Огляд л1тератури та основних результате дисертацп" наведен! теорема Ж.Вал1рона про абсциси зб1жност! ряду Д1р1хле 1 огляд ввдомих рашше результатав Ж.Вал1рона, П.Камсена, Галя Ю.М. и М.М.Шеремети про належшеть ряд1в Д1р1хле до того чи ¡ншого класу зб1ЖНост1. Наведеш основш результати дисс-ертацп.

Роздш 2 "Абсциси зб^жност!, максимум модуля I максимальний член" мае дещо допом1Жний характер I складаеться з трьох шдрозд1л1в. У першому з них узагальнена I доповнена класична теорема Вал^рона про абсциси зб1жност1, яка стверджус (див., наприклад, Леонтьев А.Ф. Ряды експонент.-М.:11аука.-1976.- 536 е.), що якщо

йс! -1п п го= ат —— — О,

«—юо

dcf ,. 11

(т., = <t„ = «о = iliil — 111 :--г,

n-><xj ^'i I

до а, - .ябсциса 3f>i>KiioCTi ряду Д!р1хле (0.1), асг„ - абсциса i'ioro абсолютно! 36iaaiori В тдро:1Д1Л1 2.1 доведена досить загальна теорема, з яко1 шшивае цей результат у! Валфона i нас/гупна основна в в цьому параграф!

Теорема 2.2. Нсхпп In п — о(1п |а„|), п —¥ оо. Год/ ст., = а„ = ао-

В шдрозД1Л1 2.2 для детального ряду Д]р1хле побудоваш Д1аграма та мажорант Ньютона i наведеш ix найпростпш влас.тнвост!, noTpi6ni для подальших доемпджень Оцшки максимум}' модуля

М(а) = M(a,F) = sup{|.F(<r + if)l : < € R}

через максималышй член

= ¡1(0, F) = max{|a„| exp (a\,t) : n > 0}

наведен! d шдроздин2.3. Через il назначено клас додатнпх необмежених на (—оо, +оо фупкщи Ф таких, що пох^дна Ф' с неперервною, додатною i зростаючою до +оо н; ( —оо,+оо) функщею. Elexaii - функщя, обернена до Ф', а

Щ ' Ф'(х)

- функщя, асоцшованаз Ф за Ньютоном. Hapenni, через ¿¡^(Л) подначено клас цших ])ЯД1В Д1р1хле (0.1) ¡3 задаиою поындовшетю покаэшпав Л = (А„), а для Ф 6 П через Sоо(Л,Ф) подначено шдклас щлих ряд1В Д1р1хле (0.1) таких, що

In/i(a,F) < Ф(сг), а 6 R.

Осношпши в шдршдш 2.3 е наступи! дв1 тео1>емн.

Теорема 2.8. Лехал ф £ Si i ß £ [0,1). Для того, щоб для ложно! функци f £ 5оо(Л, Ф) ипкоиувилась nepißuicTb

I (Т \

для кожного £ 6 (0,1 — ß) i Bcix <т > o"o(t), необх!дко J досить, щоб

lim т-,1;1". .. < ß-n->oo АПФ(^(А„))

Теорема 2.9. Hex,иг <ra ~ 0, а погл>д<тн1гть (А„) эадовольнле умову

-— In п

lim --TT—г < «о < +оо,

н wo Д„7(Д„)

дс 7 — додатнл вепергрвал сплдна до 0 иа [0, + оо) функция така, що фуикщя

t (i +-оо). Тод1 для кожного £ > 0 ¡снуе стала А'(е) > 0 така, що

для ПС1Х (Т < О

"<» Ш П&Г" (<ттт$Ы}♦*<•>)■

Розд1Л 3 "Класи зб1жност1 в Teopii ряд1в Д1р1хле" с основним в дпсертаци i скла-даеться з п'яти шдроздшв. У першому з них даеться norpiöne надал1 узагальнення клаагшо1 нер1вност1 Гардь

В тдроздйп 3.2 вивчаються класи 36i>KHocTi, як1 вщповщають сктченному /i-порядку або скшченному логарнфг-пчному Я-порядку.

Ж. Вал1рон (Valiron G. General theory of integral functions.-Toulouse. -1923.-382 p.) показав, що якщо ui.na функщя

оо

/(*) = (0.2) 4=0

мае порядок £> 6 (0, сю) i наложить до класу зб!ЖНОст1, тобто

Г

1,1 < Mf(r) = : Н = г},

|а„|"/" < +оо.

П. Камсеп (Kamthan P.K. A theorem of step functions (III)//Istambul univ.fen.fac.mecm. A.-19G3.-V.28.-P.G5-69.) узагалышв цей результат на випадок щлих (абсолютно зб1ж-них в С) ряд!в Д1р1хле (0.1). Bin показав, що якщо посл1дов!петь (А„) мае додатнпй еюнченний крок, тобто

0 < h < A„+i - А„ < Я < +оо (71 > 0),

fm ¿«/ln|a„| -ln|g„+i|

xn(jh)=----- I +оо, n -> оо,

Дц+1 — Дц

то для того, щоб

f ОС

е~е" In М(<х, F)da < +оо, (0.3)

Уо

71 — 1

НС(>бХ1ДНО I досить, Щоб

оо

|«п|вЛ" < +00.

11=1

Ю.М. Галь 1 М.М. Шеремета (Галь Ю.М., Шеремета М.Н. Принадлежность ана литическпх функций классу сходимости//Докл.АН УССР, сер.А.-1985.-К 7.- С.11 14.) перенесли результат Камсена на ряди Д1р1хле, абсолютно зб1жш в швплощш; {.< : Яе.5 < 0}. Вони показали, що якщо ряд Д1р1хле мае абсцису абсолютно! зб1жност сга — 0 , а посл1довшсть (Ап) мае додатннй с.кшченний крок, то для того щоб

/

|сгI11и+ М(а, < +оо, 0 < о < +0О,

1

необх^но, а у випадку, коли х„ (Р) ^ 0, п —> оо, 1 досить, щоб

о+1

м-! ^ *

< +оо.

Вони довели також, що якщо ряд Д1р1хле мае абсцису абсолютно! зб1ЖНост1 <т„ = 0 : посл1довшсть (А„) мае додатний скшченшщ крок, то для того щоб

/

о

+1„+

1п+ 1п+ М(<7, Г)с1а < +оо,

1-1

иеобх1ДНо, а у випадку, коли "[■ 0, п -> оо, 1 досить, щоб

1а+ |а„|

-г;—1 < +оо.

. АI

У дисертацн доведено досить загалык: тверджашя, яке описуе належшеть ряду Д1р1Х-ле до того чи шшого класу зб1жност1 в терминах коефвдент1в мажоранти Ньютона 1 з якого отримуються, наприклад, наступи! тве]>дження.

Теорема 3.3. Яехая щлий ряд ДУрУх-яе (0.1) мае скшчешшй Я-порядок

да = шп -> О

и—> + оо (7

1

1п п = 0(А„), п —> оо.

Тодх для того, щоб внконувалось стввщношення (0.3), нсобх1Дно, а у випадку, коли посл\довтсгь нееппдна, 1 досить, щоб

¿(Л„ - Л„_,)|а„|ек/А" <+°о.

Теорема .4.4. Лехап ц/лийряд Дф/хле (0.1) мае аалчешшп логарлфмгшпл R-порядок

— lnln M(cr, F) ,

= lim -¡- > 1

ÍT-+ + 00 111(7

¿

ln п =o(A;,l"/<',R-,)), «->оо.

Тодi для того, щоб

/ -„ ' ^ < +оо,

аеобхздно, а у вштадау, л-атя посл1довн1сть (xn(F)) неспадна, i доспть, щоб

, 1-7 'Л

E(A,.-A„_,)(¿1„¿) '"<+00.

Теорема 3.5. Hexan абсолютно лбУжнии у твплощит {.s : Re.s <0} ряд Д/рУхле (0.1) мае скшчсннпп логарлфмгшлл R-порядок

рл = lim —г ., .— > О

i

-— In ln Tl p H

lim Т-Г- < о , • n-»oo Iii A„ + 1

ТодУ для того, щоб

/о

|<г|ря-1 In M{cr)d/T < +оо, нсобхгдно, а у виладку, коли лослУдовнУсть {x„(F)) нсспадна, У досить, щоб

Теорема 3.G. JIcxn.ii абсолютно эб1Ж1ши у ¡¿¡вплощнш{.s : Res <0} ряд /%ipix.ve (0.1) мае сктченипй R-порядок

й=П^Н1п Ь М(о, F) > О

(7"f0

i

In n = 0(lnA„), и —> oo.

ТоД1 для того, щоб

f° ln M(<T,F) J

j x тгйггЪгтЬт^ <

М1«ф(е°д/М)

нсабхгдпо, a у випидку, капп иосл^довшсть (x„(F)) иссиядия, i досить, щоб

Нсважко побачити, що з теореми 3.3 вишишае теорема П.Камсена, аз теореми 3.Í - перший з наведених вище результатов Ю.М.Галя i М.М.Шереметн.

У шдроздип 3.3 розглядаються узагальнеш класи зб!жность Через L° позначеш клас неиерервних додатних зростаючих до +оо на [хо,4оо) функцш а таких, ¡.цс о((1 + о(1)).с) — (1 + о(1))а(х) при х +оо. Справедлив! дв! наступш теореми.

Теорема 3.7. Hcxaii а - вгнута на [хо, +оо) фупкщя i а(сх) 6 L0, а функц!я /У £ 1}

fi'ix)

задовольняс уыови X > ll > 0, Z G [хо,+°°), ' (i{x)

I

а<х)

' dx < +оо. (0.4;

Припустшю, що локазники цияого ряду flipixjie задовольняють умову lu 71 == o(Ana_I(/3(A„))), п оо.

ТоД1 для того, щоб

г

j <7 о

1 а(1п M(a,F)) ,

необх^дно, а у випадку, коли посл'щовтсть (x,t(F)) неспадна, ¿ досить, щоб

°° í 1 1 \ Г+°° Нет

Х>(А») - j—|J < +оо, A(x) = jf ш

Теорема 3.8. Нехай а - вгнута на [а'о, +оо) функщя i о(сх) 6 L0, а функщя 0 6 L0 задовольняс уыови (0.4) i х^rf-r — 2 > h > 0, х 6 [¿о,+оо). Припустимо, що для абсолютно збУжного в швплощит {.ч : Res < 0} ряду Д1р1Хле (0.1) виконусться умова

— lnlii п

hm -—:— < 1. ii Юо 1пА„

ТОД1 для того, щоб

Г° а(1п M(a,F)) ,

необХ1дно, а у внпадку, коли посл1довн1сть (x„(F)) неспадна, i досить, щоб

< +оо,

де функция ¡31 така ж, як i в попередтй TcopcMÍ.

KpiM цього, у тдроздип 3.3 доведено наступну теорему, з яко! нсважко дктати наведений у попередньому параграф! результат Ю.М.Галя i М.М.Шеремети.

Теорема 3.9. Нсхай функщя а У лосл/довн/сть (Л„) так/, як в теорем/ 3.8, а ряд Дф/хж: (0. i) мае нульову лбсцису абсолютно/ зб/жноет/. Тод1 для того, щоб

о

«(In M(cr, F))dtr < 4 оо,

необх/дно, а у вняадку, коли лосл/довн/сть (^„(i1)) неспаднл, l доспть, щоб

^ /g(An) — «(A„-i) _ Q(A„-)-I) — o-(An)\ ,n+ |an| < +oo \ - A„_! A,l+i - A„ /

В шдроздш 3.4 вивчаються дещо imui класи зб/жпостк А.А.Гольдберг (Гольд-берг A.A. О множествах, на которых модуль целой функции ограничен снизу//Сиб. матем. журн.-1979.-Т.20.-К 3.-С.512-518.) показав, що якщо / - вдла трансцендентна функция i для деякого с > 0 плоска м/ра множини {г : |/(-)| > с} скшченна, то

Г

J г о

Ar

dr < +оо.

In In Mf(r

Аналогом цього ствв1Дношепня для цишх ряд1в Д/р1хле (0.1) е (при р = 2) сгпвв/дно-шення

Х0 ЫпМ(^)<+°°- (0<Р<оо). (0.5)

Теорема 3.10. Hcxa.it покязникц щлого ряду Д/р/хле (0.1) задовольпяють умову

°° 1

У" ——• < +оо.

Тод/, якщо лосл/довн/сть (>г„ несладна, то для того, щоб влконувалось сшвв/дно-шсяня (0.5), нгобх1дно, щоб

£ (ьтЬ - ¡¿) КГ"/А" < ьо°- (ос)

У зв'язку швидким зростанням функци г?* не вд.-шось вказати умову на показ-кики А„ для того, щоб умова (0.6) була достатною для справедливост/ сп/вв/дношення (0.5). Якщо цю функщю замшити степеневою функцию, то вдаеться отримати дещо кращ! результат!!. Зушншмось на такш теорем!.

Теорема 3.11. Нехай р > 0, а для ц/лого ряду Д/р/хле (0.1) виконусться умова 1п п = 0(А„), п —> сю. Тод/ для того, щоб

L ь

у шшлдку, коли посл1довшсть (х„(К)) исспадни, необх/дно, а у влпадку, коли Л,, + I > (1 + Т/) А„ , i/ > 0, для впх п > 0, 1 догпть, щоб

Л у випадку, коли р — 1, отримуемо щс К]>ащий результат. Справедлива така

Теорема 3.11'. Исхай для целого ряду Дцихле (0.1) викоцуеться умова 1п п = 0( А„), и -> оо. Тод1 для того, щоб

доелть, я у влпадку, ко,ти посл!довн1сть (хп(Р)) не'сладна, 1 необх!дно, щоб

у^ ___1\ < +оо

В цьому ж шдроздип розглядаються також узагальнеш класи пб1жност1, яш визна-чаються зб1Ж1пстю штегралу

а о

0{<71 Л ^ а

аа < +со,

а(1п М(<г,Р)) > доводяться аналоги теорем 3.7 ! 3.8.

Теорема 3.12. Исхай а - вгнута на [хо, +оо) функтия 1 а(ех) С Ь°, а функция ¡3 € Ь°

),хе

задовольияе умову х^ ^ ^ > /г > 0, х 6 [х0, +оо), 1 Р\х)

Г

•/хп

. гёх < +оо. (0.7) а(х)

ПрИПусТИМО, ЩО ПОКаЗННКИ Ц1ЛОГО ряду Д>р1ХЛ с (0.1) задовольняють умову 1н и = 0(А„), п —> ОО. ТоД1 для того, щоб

г

J сто

-Л<т < +оо,

а(1п М(сг,Р))

у вппадку, коли посл1Довтс.ть (.»¡-„(.Р)) нссладяа, необидно, а у випадку, коли А,1 + 1 > (1 + г;)А„, т/ > 0, для вс1Х п > 0,1 доелть, щоб

¿Хо

Теорема 3.13. Нюспй <» -- вглута на [:го, +оо) функцш 1 ív(cJ) 6 Ь°, а функция (1 6 ладоволыгяе умову (0.7) 1'

х~1+2>Ь>0, / 6 [.г0, Юо).

Прппустпмо, що для абсолютно зГпжппго в швшгощшн {.ч : Я о 5 < 0} ряду Д!р!хле (0.1) виконусться або

-— 1п1и п 1,111 "ГТ" <

ii-юо 111 ,

або

1п тг = о(1п+ |«„|), п —> со.

Тад1 для того ¡цоб

Ж 1/к1)

Г

J On

-da < +00,

М2«(1п M(<r,F)) у випадку, коли посл1довтсть (xn(F)) нсс.паднл, необх1дао, щоб

£ (^г ¿оМ^) <

де функция 02 така ж, як в теорем1 3.12.

HapciHTi, в п1дроздип 3.5 розглядаються цин ряди Д1р1Хле повального зростання i доводиться наступна

Теорема 3.14. Ilexaii покалнпкп цыого ряду Дф!хле (0.1) задоволъняють умову

^ 1

> -г- < +0О.

71—1

ТоД1 ДЛЯ спрлврдливост1 СП1ВВ1ДПОШГ11ИЯ

da

f

J OQ

In M(a,F) <

! о о

у випадку, коли лосл1довн>сть (^(F)) нсспяднп, необх1дно, а у випадку, коли

EA,t — An-i А„

. .-m --г- < +оо,

АпА,,-! А„—Л,,-]

п— 1

1 доснть, щоб

( 1 1 N . / 1 1 \

+ 00.

У розд1Л1 4 " Класи зб1жност1 в теорп цших та анал!тичних в круз! функцш" наведен! наслщки з доведених у попередньому розд!л! теорем. Зв'язок М1Ж максимумом модуля i коефщснтами в термшах класдв зб!жност1 вказаний у шдроздш! 4.1. 3 отрп-маних тут результаэтв наведемо тшьки чотири наступи! твердження.

Насуидок 4.2. Hcxnü ц/ла фуикщя (0.2) мае скшчсннии лог&рифшчшш порядок р > 1. Тод, для того щоб

hi M¡(r),

neo6xi дно, а у вппадку, кол и ло<упдовн1сть (|a„_i /«„ |) пеагадна, 1 доепть, щоб

1-я

fr;V» К1/

< +оо.

Наел ¡док 4.3. Яехаи аиалтх'ша в одпшгшгшу круэ! функцЫ (0.2) мае скшнсшшй порядок р° > 0. ТоД1 для того щоб

/о

(1 - i )r>0_1 lnAí/(r)<ir < -foo, необх1дно, а у випадку, коли посл:довтсть (|nu_i/«„|) неспадна, i доепть, щоб

IV— 1 4 7

< +0О.

Насл1док 4.7. Якщо коефщ1енти степеневого розвннення (0.2) цикп фуикцИ f tokí, що поамдовшеть (|a„_i/a„i) яееладиа i

°° 1

Е^х;!«"

1-2/"

, , . ... ;+°°> .. 71 111 7¡ n = 2

то для кожного с > 0 плоска м!ра множини {z : |/(г)| > с} несюнченна. HacjiiflOK 4.8. Для того, щоб для Ц1ло1 фупкцИ (0.2)

Г

J Гп

(Ir

< -foo.

г In Ai/(г)

доепть, а у випадку, коли посл1довн!сть (|«„_i/<i„|) лесладна, i нсобх1дно, щоб

In [ — hi -г-Ц

nL \n |«„|

< +оо.

W \п |«ц|/

n=1

I uapeiirri, в остаиньому тдроздш дисертацй наведеш результат!!, як1 стосуються неванлштвсыал лпильноп функцп. Для додатыо! неспадш» посл1довносгп (7"и) nexañ "(г) = ^ 1 - лЬшльна функцш, а

г„<г

N(r)=£lfd,

- неванлшшвська лгшльна функшя. Справедлив!, наприклад, так! теоремн.

11 пел i до к 4.9. Нрхя if г„ + оо (r„ —> 1 ) при п —> оо. я фуикщя ß - додатнл пспс,-рервпа нссиадлл ira [п, -foo) (пУдловУдло, на [«,())), а > -оо, тпкл, що

г°" Iii j'ih' ( . /■' Л/ ~777Ï-г < +00 В1ДПОВ1ДЛО, / —-—- < +<

Ja Г/ЦШГ) V Л rß(lnr)

ТОД1 ДЛЯ ТОГО, Щоб

П N(r)dv ( . ЛГ(Т-) \

/ -7 < В1дпов1длс), / -——- < +00 ,

Ja г(ЦЫг) V Ja rß(lar) J

НСОбХ1ДНО i ДОСЛТЬ, щоб

оо

Д(1пг„) < +00,

п = 110

де

в[х) = I W)da (шдпотдип>= I J¡7) d<T) ■

НаслУдок 4.12. Hexaiï функцИ a i ß таю', як в теореш 3.7, У а'(х + 0(1)) = (1 + o(l))a'(.r), X +00, а 7-п —> -foo при п —> оо. ТодУ для того, щоб

исобххдио 1 ДОСЛТЬ, щоб

°° der

J2 «'(")А(Ьг„) <+СХ), ßl(x)= —.

n — 1L0

Насл1Док 4.14. Hexan v„ +oo при n —v оо. Тод! для того, щоб

Г dr

/■„ ¡Щ

< -t-oo.

необхУдло У доелть, щоб

°° 1

Е— In In г,, < +00.

TI

висновки

У дисертащйшй робот1 розв'язано ряд акту<1лышх задач теорп ряд1в Д1р1хле ; шчйд'емнимн 1шк.г1ш1к,иш.

Вказано умову на косфщннтн ряду Д¡¡нхле, за инконнння яко! збер1гаеться форму ла ВаЛ1рона для знаходження абс.циси зб^жностц1 показано, що ця умова е необх1 днок в певних клас.ах 1>яд1в Д1р1хлс. Отримано тпчш оцшки максимуму модуля через мак гнмальний член. ХД1 оцшки використаш для вивчення зв'язку м!ж зростанням суми ряду Дф'.хле та поводженням його коефнйентт у термша.х кла.с1В зб1Ж!ГОСТ1.

Показано, як змшяться результати П.Камсена та Ю.М.Галя 1 М.М.Шеремети прс класи зб1жносп ряд1в Д1р1хле скшченного Л-порядку у шшадку, коли показники цьо-го ряду можуть не мати додатного скшченного кроку.

Введет поняття узагальнених клаелв зб!жност1 1 в !х термшах встановлено зв'язоь м1ж зростанням суми ряду Д1р1хле та поводженням його коефвдатв. Вказано за стосування отриманпх результате в теорн цших та анал1тичних в одиничному круз1 функцш.

Основш результат« мають критср1алышй характер. При ¡х доведенш використо вувались сучасш методи теорп ряд!в Д11>1хле.

OcHOBui результати дисертаци опублпеоваш в наступних статтях.

1. Мулява О.М. Про абсциси 36ix<noc.Ti ряду Д]р1хле // Мат. студн. - 1998.- Т. 9. N 2.-С.171-176.

2. Мулява О.М., Притула Я.Я. Оцшки максимуму модуля щлого ряду Д1р1хле // BicmiK Льв1вськ. у-ту, сер. мех-мат. - 1998. - Вип. 49. - С. С5-70.

3. Мулява О.М. Класи зб1жност! в теорп ряд1в Д1р!хле // Допов^ НАН Укранщ, сер. А. - 1999. -- N 3. - С. 35-39.

4. Мулява О.М. Про класи зСпжност1 ряд!в Д^р^хле // Укр. матем. журн. - 1999. -Т. 51, N 11. - С. 1485-1494.

5. Мулява О.М. Узагальнення nepiBHOCTi Гард1 та його застосування // Сучасш проблеми математики: Матер1али М1жнар. наук. конф. Част. 2. - Кит.: IM HAII Украши. - 1998. - С. 150-153.

G. MuliavaO. Он convergence clashes in the theory of Diriclilet series// Nonlinear part. Jiff", equation. Book of abstr. Inter, conf. dedicated to J.P.Scliauder ( Lviv, August 23-29, 1999). - Lviv. - 1999. - P. 144.

1Г,

Мулява О.М. Класи пбгжпоспп п mcopii ¡nulla Дцптлк та аналЬпичниг. функцгй. - Рукоггис.

Дисертагдя па здобуття паукового ступени кандидата фЬико-матсматнчних паук за снеталыйстю 01.01.01—математнчний аналЬ. Львпн-ькии нгиршшышп ушверсп-тст lmeiii 1ва.на Франка, .ill.bib, 2000.

Досл1джуються ряди Д1р1хлс з HeBi д'смнимп показникамн. Вкапана умова на ко-ефвдснти, при виконанш яксн збер^асться формула I3;uiipoiia для знаходження абс-циси зб1ЖНоет1. Отримаш точш оцшки максимуму модуля через максимальний член. В термшах вщомпх клаов зб1жност| та введених в дисертаци узагальнених клапв зб1жиосп вказано зв'язок м!ж зростанням максимуму модуля та понодженням кое

ф1Ц1СНТ1В.

Ключовг слова: ряди Д!]>1>:ле, абсциса зб}жност1, максимум модуля, максимальний член, if-порядок, клас зб1жност1, узагальнеш класи зГ>1жност1, нсванлшшвська лгшльна фупкгйя.

Miilyava О.М. The convergence dasses in the theory of Dnichlct .lerii'.s and of analytic functions. Manusciipt.

The thesis for obtaining the Candidate of Phisical and Mathematical degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis, Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2000.

The Dirichlet series with nonnegative exponents are investigated. The condition on coefficiens, under which Valiron formula for the find of the convergence abscissa holds, is found. The sharp estimates of maximum modulus by maximal term are obtained. In the terms of known convergence classes and of introducing in the dissertation generalised convergence classes the conncction between the growth of maximum modulus and the behaviour of the coefficients is shown.

Key words: Dirichlet scries, abscissa of convergence, maximum modulus, maximal term, Ii-orAer, convergence class, generalized classes of convergence, Nevanlinna counting function.

Мулява О.М. Классы сходимости в гпеории рядов Дирихле и аналитических функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-матических наук по специальности 01.01.01—математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2000.

Исследуются ряды Дирихле с неотрицательными возрастающими к +оо показателями.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и списка литературы.

В первом разделе " Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведен результат Ж.Вйлирона об абсциссах сходимости ряда Дирихле и дан обзор известных ранее результатов Ж.Валирона, П.Камсена, Галя 10.М. и М.И.Шереметы о принадлежности рядов Дирихле к тому или иному классу сходимости. Приведены основные результаты диссертации.

Раздел 2 "Абсциссы сходимости, максимум модуля и максимальный член" имеет несколько вспомогательный характер. 13 нем обобщена и дополнена класенческа.); теорема Валпрона об абсциссах сходимости, для произвольного ряда Дирихле по строены диаграмма и мажоранта Ньютона и приведены нужные в дальнейшем их простейшие свойства, а также получены некоторые точные оценки максимума модуля ряда Дирихле через его максимальный член.

Раздел 3 "Классы сходимости в теории рядов Дирихле" является основным в диссертации и состоит из пяти подразделов. В первом из них даказано нужное в даль нейшем обобщение классического неравенства Харди. Во втором - изучаются классь сходимости, отвечающие конечному Д-порядку или конечному логарифмическому Я порядку. В частности, здесь значительно усилены теоремы П.Камсена, Ю.М.Галя V М.Н.Шереметы на случай, когда показатели могут не иметь положительного конеч ного шага. В третьем и четвертом подразделах введены обобщенные классы сходимости и в их терминах указана связь между ростом максимума модуля и поведением коеффициентов. Наконец, в пятом подразделе такая же связь изучена в терминах классов сходимости, отвечающих медленному росту рядов Дирихле.

В четвертом разделе " Классы сходимости в теории целых и аналитических в круге функций" приведены следствия из доказанных в предыдущем разделе теорем. В терминах классов сходимости указана связь между ростом максимума модуля целой пли аналитической в единичном круге функции и поведеним их тейлоровских коеффициентов, а также связь между ростом положительной последовательности и ростом ее нсваннлшшовской считающей функции.

Ключевые слооа: ряды Дирихле, абсцисса сходимости, максимум модуля, максимальный член, /¿ порядок, класс сходимости, обобщенные классы сходимости, иеван-лшшовская считающая функция.