Колебания и слияние капель вязкой жидкости под действием сил поверхностного натяжения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ

С ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА.

1.1. Численные методы расчета задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью.

1.1.1. Метод конечных разностей.

1.1.2. Метод конечных элементов.

1.1.3. Метод граничных элементов.

1.2. Аналитические и экспериментальные исследования динамики капель жидкости.

2. КОЛЕБАНИЯ КАПЛИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Преобразование основных уравнений и граничных условий

2.3. Метод решения.

2.3.1. Аппроксимация основных уравнений.

2.3.2. Численная реализация граничных условий на осях симметрии.

2.3.3. Численная реализация граничных условий на свободной поверхности.

2.3.4. Корректирующая процедура для выполнения разностного аналога уравнения неразрывности внутри области.

2.4. Результаты исследования.

3. СЛИЯНИЕ КАПЕЛЬ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ

3.1. Постановка задачи.

3.2. Результаты исследования.

В настоящей работе, посвященной каплям жидкости, нельзя не вспомнить об основных открытиях, связанных с каплями, и о проведенных с их помощью экспериментах [174]. Во все времена жидкость в форме капли занимала естествоиспытателей и ученых. Один из первых опытов, который демонстрируется почти во всех лекционных курсах физики - это широко известный, классический опыт профессора Ж. Плато. Капля масла, не растворяющаяся в спиртовом растворе, вне зависимости от ее объема приобретает форму сферы и повисает в растворе. Таким образом, Плато, оставаясь на Земле, поставил жидкость в условия, при которых капля оказывается как бы в невесомости, в условия, когда одна из особенностей поведения капли в истинной невесомости отчетливо себя проявляет.

В начале XX века, когда лорд Рэлей ставил опыты по растеканию капель масла по поверхности воды, естествоиспытатели не могли и мечтать о возможности непосредственно определить размер молекулы. Рэлей же поставил прямой опыт, простой и убедительный, который стал для своего времени выдающимся экспериментом атомной физики. Он предположил, что капля масла будет стремиться растечься по поверхности воды слоем в одну молекулу, в этом случае длина молекулы равна отношению объема капли к площади поверхности воды, покрытой пленкой масла. Добившись распределения капли оливкового масла одномолекулярным слоем, Рэлей определил длину его молекулы.

В период с 1897 г. по 1912 г. различные ученые Дж. Дж. Томпсон, Дж. Таундсенд, Г. А. Вильсон делали попытки экспериментального изучения электрона. Усовершенствовав их приемы и проведя многочисленные опыты, Р. А. Милликен в 1909 г. при помощи маленькой заряженной водной капли, помещенной между пластинами конденсатора, сумел надежно доказать «зернистость» электрического заряда и определить число - заряд «зерна» - электрона.

В 1911г. специалист в области физики атмосферных явлений Ч. Т. Р. Вильсон создал прибор, в котором благодаря каплям можно сделать видимыми траектории элементарных заряженных частиц. Разнообразные усовершенствованные конструкции этого прибора - камеры Вильсона - используются почти во всех лабораториях мира, изучающих строение вещества. При помощи капельного следа, рождающегося за пролетающими элементарными частицами в пересыщенном влагой пространстве камеры Вильсона, было сделано множество важных открытий, в том щ числе открытие американским физиком Андерсоном в 1932 г. первой античастицы - позитрона. В 1952 г. на основе идеи Вильсона американским физиком Д. Глезером для регистрации частиц, обладающих очень высокими энергиями, была создана пузырьковая камера, в которой пролетающая в перегретой сжатой жидкости ионизирующая частица делает вскипание более легким вдоль траектории полета.

20 марта 1945 г. на заседании отделения физико-математических наук АН СССР кристаллограф Г. Г. Лейммлейн сделал доклад о своем открытии. Суть доклада заключалась в том, что, покрывая поверхность реального кристалла росой, можно сделать видимыми в оптическом микроскопе ступеньки, высота которых в 10 раз меньше длины волны видимого света. В пересчете на межатомные расстояния это около 10 атомных ступенек. Открытый способ обнаружения и исследования тонкого рельефа поверхности был назван «методом росы». Позднее «метод росы» превратился в «метод инея», в котором на поверхность осаждается вещество, которое кристаллизируется, и детали рельефа декорируются не жидкими, а твердыми неиспаряющимися капельками.

В кристаллофизике огромный интерес представляет изучение тоненьких, иглоподобных монокристаллов, которые обладают очень высокой прочностью в расчете на единичную площадь сечения. В одном из распространенных способов получения (выращивания) таких микроскопических кристаллов используются капли расплавленного металла.

Напомнив о службе, которую капля уже сослужила науке, необходимо очертить круг областей современной науки и техники, исследующих и использующих капли жидкости [187].

В геологии и кристаллографии, зная закономерности движения заключенных в минерале капель жидкости и газожидких пузырьков, изучая процессы их разрыва, а также состав, можно с большим основанием судить о далекой истории ископаемых минералов (о том, в какой среде тот или иной минерал возникал, при какой температуре, как появились в нем трещины).

Исследование движения капель в неподвижной и вращающейся жидкости, а также в сдвиговом потоке является важной составной частью изучения поведения капель в произвольном потоке и необходимо для построения реологических моделей эмульсий. Эмульсии часто рассматриваются как модели неньютоновских жидкостей, так как многие реологические свойства неньютоновских жидкостей наблюдаются в потоках эмульсий. В случае сдвигового потока эмульсии причиной таких эффектов является деформация капелек эмульсии. В настоящее время большое внимание уделяется изучению «капсулы», т. е. частицы, состоящей из упругой оболочки, внутри которой находится ньютоновская жидкость. «Капсула» примечательна тем, что ее упругие свойства сводятся только к упругим свойствам тонкой внешней оболочки. Такой математической моделью можно воспользоваться для описания деформации эритроцитов в крови и эмульсий, стабилизированных поверхностной полимеризацией. Ранее подобные частицы описывали как упругие твердые тела или как жидкие капли. Такие модели хуже, чем модель «капсулы», отражали реальные свойства этих частиц.

Вопросы устойчивости вращающихся капель играют важную роль в задачах химической и космической технологии.

Закономерности движения капли жидкости в потоке газа с большой относительной скоростью представляют интерес как в связи с традиционными приложениями (процессы химической технологии, распыл топлива в двигателях, гетерогенное горение и детонация), так и в связи с капельной эрозией возвращаемых космических аппаратов и сверхзвуковых самолетов, проходящих через облако взвешенных в атмосфере капель. В последнем случае возникает проблема изучения воздействия на каплю ударной волны и сильно сжатого ударного слоя, прохождение через который предшествует столкновению капли с лобовой поверхностью летательного аппарата.

Проблема удара капли жидкости о твердую поверхность как с научной, так и с технической точек зрения уже давно привлекает внимание исследователей. В последнее время интерес к ней возрос в связи с новыми направлениями развития современной техники, в которых капельная эрозия является существенным сдерживающим фактором. Полеты высокоскоростных самолетов, вертолетов, ракет обнаружили возникновение сильной эрозии лопастей винтов вертолетов, передних кромок крыльев, обтекателей антенн самолетных радиолокаторов, носовых частей ракет и т. п., приводящей к ухудшению их летных характеристик и к возможности выхода из строя. Кавитационная эрозия, связанная в действительности с ударом струйки жидкости, возникающей при асимметричном схлопыва-нии пузырьков, и гидравлические методы разработки полезных ископаемых - есть также области приложения, в которых действуют механизмы разрушения, аналогичные капельной эрозии.

При конструкторской разработке технологических элементов необходимо иметь представление о том, как будет осуществляться сам технологический процесс, о факторах, влияющих на него, и о степени их влияния. Для решения этих проблем существует несколько путей:

• аналитическое исследование, которое в большинстве случаев становится возможным только при значительных упрощениях исходной постановки задачи;

• натурные эксперименты;

• эксперименты на модельных установках;

• численное моделирование.

Применительно к гидродинамике последний путь часто оказывается наиболее дешевым и информативным. В численном эксперименте совершенно произвольно можно менять параметры исследуемой жидкости и области течения, получая практически полную информацию. Натурные эксперименты зачастую требуют больших финансовых затрат и, также как модельные, не дают полной информации. В связи с этим весьма перспективным является направление, связанное с развитием численных методов, позволяющих решать задачи о течении жидкости со свободной поверхностью.

Математическое моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью является разделом вычислительной гидродинамики, имеющем самостоятельное значение. Исследование течений данного класса приводит к необходимости решения нелинейной системы уравнений при весьма сложных граничных условиях с одновременным определением положения свободной границы. Эволюцией последней определяются важные, а зачастую главенствующие характеристики анализируемых гидродинамических процессов и, как следствие, эффективность соответствующих технологий. В связи с этим актуальным является развитие методов численного решения таких задач в максимально полной постановке, и исследование на этой основе течений, изучение которых вызывает наибольшие затруднения.

Наиболее распространенным методом, применяемым для численного решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью, является метод конечных разностей. Во многих работах [1-31] используется конечно-разностный МАС-метод эйлерова типа, в котором неточное выполнение краевых условий на свободной границе приводит к нарушению гладкости поверхности, что стало причиной появления различных модификаций метода для устранения этого недостатка. Имеются работы [55-60], в которых применяются разностные методы лагранжева типа, пригодные лишь для расчета течений с малыми деформациями. Наряду с перечисленными методами существуют смешанные лагранжево-эйлеровые методы ALE [61] и VOF [63], разработанные с целью учета и исправления погрешностей, присущих обоим подходам. Помимо переменных "скорость, давление" при рассмотрении двумерных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью можно использовать переменные "функция тока, вихрь" [32, 69-72]. В этом случае уравнение неразрывности выполняется автоматически, но вид граничных условий на свободной поверхности усложняется настолько, что разработка эффективных алгоритмов решения задачи затруднена.

Метод, описанный в [34, 35] и взятый за основу в данной работе, позволяет аппроксимировать естественные граничные условия на свободной поверхности с сохранением ее ориентации. Следует отметить, что в этом методе существует проблема, характерная для расчетов в переменных "скорость, давление" и заключающаяся в выполнении разностного аналога уравнения неразрывности с некоторой аппроксимационной ошибкой. Применение итерационных методов решения приводит к накоплению ошибки и, как следствие, к несохранению массы. В отдельную проблему данного метода выделяется задача построения сеток, адаптирующихся к изменению свободной поверхности.

Цель работы заключается в создании численных моделей, описывающих колебания капли и слияние капель вязкой жидкости в невесомости под действием сил поверхностного натяжения с учетом инерционных эффектов, а также в исследовании этих процессов.

Научная новизна работы. Использованный конечно-разностный метод решения модифицирован по сравнению с базовым методом, предложенным впервые в [34], и существенно расширяет область его применения. Исследования колебаний и слияния капель, проведенные в широком диапазоне изменения определяющих параметров, позволили выявить характерные черты капельного поведения вязких жидкостей и получить новые результаты.

Практическая ценность работ, посвященных слиянию капель, обусловлена широкими возможностями использования результатов таких исследований [174], например, в физике спекания - технологии переработки различных порошкообразных материалов [112-116,171,172,175]. Кроме того, разработанный алгоритм решения задачи о слиянии двух одинаковых вязких капель, соответствующим образом модифицированный, может применяться при моделировании процессов слияния, соударения и дробления капель в двухфазных потоках в соплах ракетных двигателей, в атмосфере (метеорология, физика дождя и облаков), в невесомости (космонавтика, астрофизика). Задача же о колебаниях капли является классической (впервые рассматривалась Рэлеем в 1880 году) и представляет интерес при построении реологических моделей эмульсий.

Достоверность полученных результатов следует из внутренних проверок используемого метода (проверка аппроксимационной сходимости и выполнение законов сохранения), а также сопоставления с экспериментальными данными, численными исследованиями других авторов и известными аналитическими решениями.

Автор защищает:

1. Модифицированный с учетом нестационарности, инерционных эффектов и капиллярных сил конечно-разностный метод решения задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью, предложенный И. М. Васениным, О. Б. Сидонским, Г. Р. Шрагером.

2. Разработанный алгоритм решения задач о колебаниях капли и слиянии капель вязкой жидкости в невесомости.

3. Результаты численного анализа нелинейных колебаний вязкой капли для случаев, когда капля первоначально задается в виде вытянутого или сплюснутого эллипсоида.

4. Результаты численного анализа слияния двух одинаковых вязких капель.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 4-й областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современная техника и технология» (Томск, 1998), на Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 1998), на V и VII Всероссийских научно-технических конференциях «Механика летательных аппаратов и современные материалы» (Томск, 1998, 2000), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ - Томск, 1999), на XIX конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, Украина, 2000), на Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Академгородок, Новосибирск, 2001).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журналах Известия РАН «Механика жидкости и газа» [42] и «Fluid Dynamics» [43]. Всего по материалам диссертации опубликовано 8 работ, выполненных в соавторстве с профессором Г. Р. Шрагером и доктором физико-математических наук В. А. Якутенком.

Содержание работы. При проведении научно-исследовательских работ после постановки задачи первое, что необходимо сделать, это выбрать метод решения. Применительно к задачам о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью эта проблема рассматривается в первой главе настоящей работы. На основе обзора литературы проведен сравнительный анализ конечно-разностных, конечно-элементных и гранично-элементных подходов к решению. Выделены конкретные ситуации, в которых тот или иной метод обладает преимуществами. Вторая часть главы посвящена теоретическим и экспериментальным работам, в которых рассматриваются колебания, слияние и столкновение капель жидкости.

Во второй главе конечно-разностный метод решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью используется для решения задачи, в которой необходим учет нестационарности, инерционных эффектов и капиллярных сил. Исследуется процесс нелинейных колебаний капли, выведенной из состояния равновесия при задании вытянутой или сплюснутой начальной формы. Полученные результаты сравниваются с известными данными.

В третьей главе с помощью разработанного метода решается задача о слиянии одинаковых вязких капель под действием сил поверхностного натяжения. Оценивается время слияния капель, и делается вывод о его слабой зависимости от числа Рейнольдса. Подтверждается правомерность разделения процесса слияния на три этапа [173]. Приводятся формы свободной поверхности результирующей капли в различные моменты времени слияния.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований, и намечены пути дальнейшего развития работы.

3.2. Результаты исследования

Согласно существующим скоростным киносъемкам, процесс слияния принято разделять на три этапа [173]. Первые два заканчиваются в момент достижения сферической формы образующейся капли. Далее наблюдаются затухающие колебания получившейся вязкой капли, которые изучены достаточно детально. В тоже время работ, рассматривающих первые две фазы слияния, крайне мало, и они практически недоступны. Вследствие этого, результаты проведения необходимого этапа подтверждения достоверности численных результатов, включая расчеты на последовательностях сеток для проверки аппроксимационной сходимости метода, приводятся выше в п. 2.4.

В начальный момент времени радиус капель задается таким образом, чтобы объем всей системы был равен объему результирующей сферической капли с радиусом равным единице. Предполагается, что капли соединяются друг с другом контактным перешейком, величина которого определяется радиусом соприкасающихся с каплями сфер Я2. Так как данный параметр является произвольно задаваемым, необходимо выяснить его влияние на процесс слияния. Зависимости от времени отношения продольного и поперечного размеров сливающихся капель по осям симметрии (¿ = /0//т) и площади контактного перешейка 5 при различных Я2 приведены на рис. 3.2 и рис. 3.3 (здесь и далее по тексту под площадью контактного перешейка понимается площадь сечения капли координатной плоскостью [х2\ Хз}). Следует отметить качественно одинаковое поведение кривых. Количественно же время слияния, под которым понимается время, затраченное на образование сферической формы = 1, Я = 3.14), отличается на 13% для Я2 = 0.5 и 0.01, и на 3% для Я2 = 0.05 и 0.01. В на

0.0 0.8 / 1.6 Рис. 3.2. Зависимости отношения ¿/ от / для Яе =100: 1-5 - Я2 =0.5, 0.1, 0.05, 0.02, 0.01

Рис. 3.3. Зависимости площади 5 от ^ для Яе = 100, обозначения как на рис. 3.2

Рис. 3.4. Зависимости |у| от 0 для Яе = 100, Д2 =0.01: 1-3 - /=0.292,1.168,1.5 чале процесса слияния скорость формирования контактного перешейка значительно выше, чем в последующем. Как видно из рисунков, длительность данного промежутка оценивается ¿ = 0.1. Таким образом, подтверждается правомерность предложенного Я. Е. Гегузиным в работе [173] разделения процесса слияния на три этапа. Рис. 3.4 иллюстрирует эти этапы на примере зависимостей величины вектора скорости |у| на поверхности капли от координаты 9. Кривая (1) соответствует первому этапу слияния, когда течение жидкости в основном происходит в окрестности контактного перешейка. На втором этапе - кривые (2), (3) - приходит в движение жидкость, удаленная от контактного перешейка. На третьем этапе скорость течения изменяется в соответствии с законом затухающих колебаний.

Формы свободной поверхности, которые приобретают сливающиеся капли от первоначальной до близкой к сферической, показаны на рис. 3.5. Качественно конфигурации свободной поверхности подобны тем, что наблюдаются при слиянии капель эпоксидной смолы [173]. Количественное сравнение затруднено отсутствием в экспериментальных данных свойств используемой жидкости.

Зависимости отношения и площади 5 от времени на рис. 3.6 иллюстрируют этап затухающих колебаний. Для Яе = 100 характерна значительная длительность данного процесса, на порядок превышающая время слияния.

Результаты расчетов для различных чисел Рейнольдса показаны на рис. 3.7, где из зависимостей площади контактного перешейка Я от времени видно, что время слияния до первой сферической формы слабо зависит от числа Яе в рассматриваемом диапазоне. О а О

-2

-2 О О

2 -2 г в

V У О О О г Л и

V 7 к П- л м п и V ) и

-2 У -2

-2 О

-2 О

-2 О

Рис. 3.5. Формы свободной поверхности при слиянии двух капель для Яе = 100, Я2 =0.01: а - г =0.073, б-0.146, в - 0.219, г - 0.365, д-0.511, е-0.657, ж - 0.803, з - 0.949, и - 1.095, к- 1.241, л- 1.387, м- 1.46

Рис. 3.6. Зависимости отношения а? (1) и площади Я (2) от ( в случае затухающих колебаний для Яе = 100, Е2 = 0.1

Рис. 3.7. Зависимости площади 5 от £ для Я2 =0.1: 1-4- Ле = 10, 50, 70,100

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе проведено численное исследование таких нестационарных процессов, как колебания и слияние вязких капель под действием сил поверхностного натяжения в невесомости. Изучение этих явлений характеризуется с одной стороны их широким распространением в природе и технике, что является условием постоянного внимания исследователей, а с другой стороны существующими сложностями при решении таких задач, что приводит к отсутствию исчерпывающих результатов научных изысканий.

Результаты выполненной работы, полученные с помощью разработанного конечно-разностного метода в широком диапазоне изменения определяющих параметров, демонстрируют характерные черты колебаний и слияния капель, позволяют сформулировать некоторые важные выводы, касающиеся этих процессов, и заключаются в следующем.

1. С учетом нестационарности, инерционных эффектов и капиллярных сил проведена модификация конечно-разностного метода решения задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью, предложенного И. М. Васениным, О. Б. Сидонским, Г. Р. Шрагером [34, 35].

2. Разработанный метод используется для создания алгоритма решения задач о колебаниях капли и слиянии двух одинаковых капель вязкой жидкости в невесомости.

3. Нелинейные колебания вязкой капли исследованы в диапазоне изменения числа Рейнольдса от 5 до 100, который соответствует периодическим колебаниям. Для первоначально вытянутой капли (отношение полуосей с10 > 1) получены: а) зависимости отношения полуосей эллипсоида с1 от времени, показывающие, что длительность первого периода колебаний возрастает незначительно с уменьшением числа Яе; б) формы капли в случае наличия вогнутости и перешейка на свободной поверхности по осям координат л;,, х2 соответственно, и в случае отсутствия таких конфигураций; в) поле вектора скорости внутри и на границах капли (сделан вывод, что течение жидкости в основном происходит в поверхностном слое определенной толщины); г) зависимости от числа Яе логарифмического декремента и времени выхода на первую сферическую поверхность (1/4 периода), на которых выделен характерный участок при Ые > 40, соответствующий каплям жидкости с малой вязкостью.

4. В случае сплюснутой капли (0 < с10 < 1) получены: а) качественно совпадающие со случаем (10 > 1 зависимости отношения й от времени для различных чисел Яе; б) зависимости отношения с1 от времени, обнаруживающие, что время полного затухания колебаний капли мало зависит от г/0.

5. При исследовании слияния двух одинаковых вязких капель получены: а) зависимости от времени отношения продольного и поперечного размеров капель площади контактного перешейка £ при различных начальных радиусах соприкасающихся с каплями сфер Я2 и при различных числах Рейнольдса; б) зависимости величины вектора скорости на поверхности капли от координаты 0 на различных этапах слияния капель; в) формы свободной поверхности, которые приобретают сливающиеся капли, от первоначальной до близкой к сферической.

Определено время слияния капель; подтверждена правомерность разделения процесса слияния на три этапа [173]; установлено, что время слияния слабо зависит от числа Ые (10 < Яе < 100).

Компьютерная программа, созданная для расчета слияния двух одинаковых капель вязкой жидкости под действием сил поверхностного натяжения в невесомости, с внесением необходимых изменений позволяет исследовать деформацию капли в различных условиях. Например, слияние неодинаковых капель, соударение капель (без последующего дробления, так как в методе заложено, что свободная граница должна быть всюду непрерывной), а также можно рассматривать аналогичные задачи с введением дополнительных связей и границ. Таким образом, разработанный и апробированный в данной работе метод может служить для получения еще целого ряда важных с точки зрения гидродинамики результатов.

В завершение диссертации за помощь в проведении представленных исследований и оформлении работы автор сердечно благодарит профессора Г. Р. Шрагера, доктора физико-математических наук В. А. Якутен-ка, а также весь коллектив кафедры прикладной аэромеханики физико-технического факультета Томского государственного университета.

1. Harlow F. H., Welch J. Е. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface// Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. №12. P. 2182-2189.

2. Harlow F. H., Welch J. E. Numerical study of large-amplitude free surface motion// Phys. Fluids. 1966. Vol. 9. № 5. P. 842-851.

3. Николе Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 165-173.

4. Daly В. J. Numerical study of the effect on surface tension on interface instability//Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. № 7. P. 1340-1354.

5. Daly B. J. A technique for including surface tension effect in hydrodynamics calculations//J. Сотр. Phys. 1969. Vol. 4. P. 97-117.

6. Smith T. G., Wilkes J. O. Laminar free surface flow into a vertical cylinder// J. Сотр. Phys. 1975. № 3. P. 51-68.

7. Hirt C. W. Computer studies of time-dependent turbulent flows// Phys. Fluids. 1969. Vol. 12. № 1. P. 11-18.

8. AmsdenA. A., Harlow F. H. A simplified MAC-technique for incompressible fluid flow calculating// J. Сотр. Phys. 1970. Vol. 6. № 2. P. 322-325.

9. Pracht W. E. A numerical method for calculating transient creep flows// J. Сотр. Phys. 1971. № 7. P. 46-60.

10. Прахт У. Неявный метод расчета ползущего движения с приложением к задаче о континентальном дрейфе// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 174-182.

11. Hirt С. W., Shanon S. P. Free surface stress conditions for incompressible flow calculations// J. Сотр. Phys. 1968. Vol. 2. № 3. P. 403-411.

12. Wang S. S., Stunmiller J. H. Modified partian-cell method for free surface incompressible flow simulations// Numer. Heat Trans. 1980. Vol. 3. № 2. P. 209-223.

13. Петренко В. Е. О методах расчета течений вязкой несжимаемой жидкости с большими деформациями// Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск, 1974. С. 145-152.

14. Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде -развитие метода SUMMAC// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 183-188.

15. Chan R. К., Street R. L. A computer study of finite amplitude water waves// J. Comp. Phys. 1970. № 6. P. 68-94.

16. Daly B. J. Numerical study of two fluid Rayleigh-Taylor instability// Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. P. 297-307.

17. Diville M. O. Numerical experiments on the MAC code for a slow flow// J. Comp. Phys. 1974. Vol. 15. P. 362-374.

18. Madsden R. A., Easton C. R., Bürge G. W., Catton I. Numerical analysis of low-g propellant flow problems// J. Spacecraft and Rockets. 1970. Vol. 7. №11. P. 89-91.

19. Butler T. D. Recent advances in computational fluid dynamics// Lect. Notes. Comp. Sei. 1974. № 11. P. 1-21.

20. Deville M. O. An altering direction implicit algorithm for viscous free surface flow// Z. Mech. 1975. Vol. 14. № 1. P. 162-187.

21. Nichols B. D., HirtC. W. Improved free surface boundary conditions for numerical incompressible flow calculations// J. Comp. Phys. 1971. Vol. 8. P. 682-698.

22. Viecelli J. A. A method for including arbitrary external boundaries in the MAC incompressible fluid computing technique// J. Comp. Phys. 1969. №4. P. 543-551.

23. Viecelli J. A. A computing method for incompressible flows bocended by moving walls//J. Сотр. Phys. 1971. № 8. P. 119-143.

24. Березин И. К. Численное решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной поверхностью// Исследования по механике полимеров и систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1978. С. 3-8.

25. Березин И. К. Метод расчета течений с вязкостью, зависящей от времени// Исследование течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. С. 10-15.

26. Березин И. К., Голубицкий А. М., Понамарчук А. И. Численные методы для расчета течений высоковязких жидкостей со свободной поверхностью. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1988. 90 с.

27. Nichols В. D., HirtC. W. Adding limited compressibility to incompressible hydrocodes// J. Сотр. Phys. 1980. Vol. 34. P. 390-400.

28. Prosperetti A., Jacobs J. W. A numerical method for potential flows with free surface//J. Сотр. Phys. 1983. Vol. 51. P. 365-386.

29. Miyata H., Nishimura S., Masuco A. Finite difference simulation of nonlinear waves generated by ship of arbitrary three-dimensional configuration// J. Сотр. Phys. 1985. Vol. 60. P. 391-436.

30. Miyata H., Nishimura S. Finite difference simulation of nonlinear ship waves//J. Fluid. Mech. 1985. Vol. 157. P. 327-359.

31. Васенина M. И., Ривкинд В. Я. Численный эксперимент в задачах со свободной границей в криволинейных координатах// Вестник ЛГУ. 1984. № 19. С. 77-79.

32. Березин И. К. Методы расчета течений неньютоновских жидкостей со свободными поверхностями в технологии формования полимеров идисперсных систем. Диссертация доктора техн. наук. Пермь, 1995.348 с.

33. Васенин И. М., Сидонский О. Б., Шрагер Г. Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью// Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1972. С. 43-51.

34. Васенин И. М., Сидонский О. Б., Шрагер Г. Р. Численное решение задачи о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью// Докл. АН СССР. 1974. Т. 217. № 2. С. 295-298.

35. Васенин И. М., Шрагер Г. Р. Расчет свободного струйного течения вязкой жидкости// Аэрогазодинамика нестационарных процессов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1983. С. 28-37.

36. Васенин И. М., Козлобродов А. Н., Шрагер Г. Р. Расчет течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью// Труды V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1975. С. 58-69.

37. Васенин И. М., Шрагер Г. Р. Движение жидкой капли в вязком потоке// Физика аэродисперсных систем. Киев Одесса, 1976. Вып. 14. С. 123.

38. Бутов В. Г., Васенин И. М., Шрагер Г. Р. Деформация капли в вязком потоке и условия существования ее равновесной формы// Прикладная математика и механика. 1982. Т. 46. № 6. С. 1045-1049.

39. Воинов О. В., Петров А. Г., Шрагер Г. Р. О модели течения внутри жидкой капли, обтекаемой газом// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 6. С. 167-170.

40. Шрагер Г. Р., Якутенок В. А. Численное исследование слияния вязких капель под действием сил поверхностного натяжения// Газовая динамика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984. С. 79-84.

41. Сметанин С. В., ШрагерГ. Р., ЯкутенокВ. А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 6. С. 27-33.

42. Smetanin S.V., Shrager G. R., Yakutenok V. A. Numerical investigation of the coalescence of viscous-liquid drops// Fluid Dynamics. 2000. Vol. 35. №6. P. 813-819.

43. Ищенко В. П., Козлобродов А. Н. Заполнение вертикальных цилиндрических каналов неньютоновской жидкостью// Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1985. Вып. 2. № 10. С. 34-42.

44. Булгаков В. К., Липанов А. М., Чехонин К. А., Иванов О. Н. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести// Изв. АН Латв. ССР. Механика композитных материалов. 1988. №6. С. 1112-1116.

45. Шрагер Г. Р., Якутенок В. А. Метод численного решения задачи о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью// Динамика механических систем: Тезисы докл. Всесоюзн. на-учн. конф. Томск, 1986. С. 46.

46. Шрагер Г. Р., Якутенок В. А. Истечение неньютоновской жидкости из осесимметричных емкостей// III Всесоюзный симпозиум. Теория механической переработки полимерных материалов. Пермь, 1985. С. 193.

47. Булгаков В. К., Чехонин К. А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести// Математическое моделирование в инженерной практике. Ижевск, 1988. С. 100-101.

48. Булгаков В. К., Чехонин К. А. Моделирование гидродинамических процессов при переработке полимерных материалов// Молодые ученые Удмуртии ускорению научно-технического процесса. Ижевск, 1987. С. 130-132.

49. Булгаков В. К., Липанов А. М., Чехонин К. А. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизотермических условиях// Инженерно-физический журнал. 1989. Т. 57. № 4. С. 577-583.

50. Нефедов А. П. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью// Математическое моделирование. 1994. Т. 6. № 2. С. 102-112.

51. Васенин И. М., Нефедов А. П., Сидонский О. Б. О пространственном течении вязкой жидкости со свободной поверхностью// Докл. АН СССР. 1978. Т. 240. № 5. С. 1050-1053.

52. Васенин И. М., Нефедов А. П., ШрагерГ. Р. Метод течений вязкой жидкости со свободной поверхностью// Численные методы механики сплошной среды. 1985. Т. 16. № 6. С. 29-43.

53. Шрагер Г. Р., Якутенок В. А. Численное исследование слива вязкой жидкости из конусообразной емкости// Инженерно-физический сборник. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1985. С. 36-44.

54. Богоряд И. Б. Динамика вязкой жидкости со свободной поверхностью. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1980.102 с.

55. Батлер Т. Развитие метода Line// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 146-155.

56. Hirt С. W., CookJ. R., Butler Т. D. Line technique for incompressible fluid flow// J. Comp. Phys. 1970. № 5. P. 103-124.

57. Кроули У. FLAG свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 135-145.

58. Богоряд И. Б., Дружинин И. А., Дружинина Г. 3., Либин Э. Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1977. 144 с.

59. ХертС. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 156-164.

60. HirtC. W., AmsdenA. A., Cook J. L. An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all flow speeds// J. Сотр. Phys. 1974. Vol. 14. № 3. P. 227-253.

61. Hirt C. W., Nichols B. D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries// J. Сотр. Phys. 1981. Vol. 39. № 1. P. 201-225.

62. Hirt C. W., Nichols B. D. A computational method for free surface hydrodynamics// J. Pressure Vessel Technol. Trans. ASME. 1981. Vol. 103. №2. P. 136-141.

63. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики// Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 316-342.

64. Головизнин В. М., Коптелова Н. А., Симачева О. Г. Метод динамических потенциалов для численного моделирования нестационарных задач гидродинамики со свободными границами// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 5. С. 870-878.

65. Белоцерковский О. М. Вычислительный эксперимент: прямое численное моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана// Численные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1981. С. 348-398.

66. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

67. Ривкинд В. Я. Некоторые методы расчета течений вязких несжимаемых жидкостей с неизвестной границей раздела// Численные методы механики сплошной среды. 1981. Т. 12. № 4. С. 106-115.

68. Васенина М. И. О численных методах решения задач со свободной границей. Ред. журнала "Вестник ЛГУ, серия математика, механика, астрономия". Ленинград, 1984. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 19 апреля 1984. № 2474.

69. Непомнящий А. А., Тарунин Е. Л. Двухполевой метод расчета течений вязкой несжимаемой жидкости со свободной границей.// Труды

70. VI Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1978. С. 197-206.

71. Пейре Р., Тейлор Т. Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. 352 с.

72. Demuren А. О., Wilson R. V., Carpenter M., Kobayashi Toshio. Accurate schemes for the numerical simulation of incompressible flows// Mon. J. Inst. Ind. Sci. Univ. Tokyo. 1998. Vol. 50. № 1. P. 61-68.

73. Kajishima Takeo, Ohta Takashi, Oakazaki Kazuhiko, Miyake Yutaka. High-order finite-difference method for incompressible flows using collocated grid system// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. 1997. Vol. 63. № 614. P. 3247-3254.

74. Anlu Ren, Hong Ding. High accurate solution of incompressible viscous flow// Proc. 7th Int. Symp. Сотр. Fluid Dyn. Beijing, Sept. 15-19, 1997. Beijing, 1997. P. 286-291.

75. Dexun Fu, Yanwen Ma. Numerical solution of incompressible N-S equations with upwind compact difference approximation// Proc. 7th Int. Symp. Сотр. Fluid Dyn. Beijing, Sept. 15-19, 1997. Beijing, 1997. P. 268-273.

76. Шрагер Г. P., Козлобродов A. H., Якутенок В. А. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 230 с.

77. Tompson J. G. Numerical grid generation// Elsever Sci. Pub. Co. New York, 1982.

78. Лисейкин В. Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. № 1.С. 3-41.

79. Susan-Resiga R. Finite element analysis of free-surface axisymmetric flows// Rev. Roum. Sci. Technol. Ser. Mech. Appl. 1995. Vol. 40. № 2-3. P. 333-348.

80. HilbingJ. H., HeisterS.D. Droplet size control in liquid jet breakup// Phys. Fluids. 1996. Vol. 8. № 6. P. 1574-1581.

81. Wang Xiao-jian, Cui Li. Nonstructed grid mesh finite volume method and application// J. Hydrodyn. B. 1997. Vol. 9. № 3. P. 24-38.

82. Petera J., Nassehi V. A new two-dimensional finite element model for the shallow water equations using a Lagrangian framework constructed along fluid particle trajectories// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. Vol. 39. № 24. P. 4159-4182.

83. Булгаков В. К., Потапов И. И., Сухинин П. А. Решение задач гидродинамики в переменных вихрь-скорость методом конечных элементов// Сборник научных трудов НИИ КТ. 1996. № 2. С. 84-86.

84. Raithby G. D., Stubley G. D. Application of a novel algorithm for moving surface flows// J. Hydrodyn. B. 1997. Vol. 9. № 1. P. 87-95.

85. Fenton G. A., Griffiths D. V. A mesh deformation algorithm for free surface problems// Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1997. Vol. 21. №> 12. P. 817-824.

86. Tompson E. G., Mack L. R., Lin F. S. Finite element method for incompressible slow viscous flow with free surface// Dev. Mech. 1965. Vol. 5. P. 93-111.

87. Washizu K. Some applications of finite elements techniques to nonlinear free surface fluid flow problems//AIAA J. 1985. Vol. 34. P. 3-15.

88. Washizu К., Ikegawa M. Finite element method applied to analysis of flow over a spillway crest// Int. J. for Numer. Meth. in Eng. 1973. Vol. 6. № 2. P. 179-189.

89. Chang P. M., Patten T. W., Finlayson B. A. Coliacation and Galerkin finite element method for viscoelastic fluid flow. 2: Die swell problems with a free surface// Сотр. & Fluids. 1979. Vol. 7. P. 285-293.

90. Finlayson B. A., TunaN. Y. Mathematical modeling of polymer flows// Proc. 4th Int. Symp. on Finite Element and Flow Problems. 1984. P. 363-370.

91. Dupret F. A method for the computation of viscous flow by finite elements with free boundaries and surface tension// J. of Non-Newt. Fluid Mech. 1985. Vol. 17. P. 495-502.

92. Murty V. D. On the application of the finite element method to the di-eswell and fiber-spininy problems involving non-newtonian fluids// Numer. Meth. Laminar and Turbulent Flow: Proc. 3. Conf. Seatle, 1983. P. 691-701.

93. RamaswamyB., KawaharaM. Lagrangien lo finite element analysis applied to viscous free surface fluid flow// Int. S. for Numer. Meth. in Fluids. 1987. Vol. 7. P. 953-984.

94. HassagerO., BisgaardC. A lagrangien finite element method for the simulation of non-newtonian liquids// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1983. Vol. 12. P. 153-164.

95. Кельин В. И., Поляков Ю. Ф. Формирование фронта свободной поверхности вязкой неньютоновской жидкости при вытекании ее из сосуда, ось которого наклонена к горизонту. Ленинград, 1985. 12 с. Деп. в ВИНИТИ. 09.07.85. № 5460-85.

96. Иванов В. А., Березин И. К., Голубицкий А. М. Растекание неньютоновской жидкости под действием силы тяжести// Инженерно-физический журнал. 1990. Т. 58. № 3. С. 447-452.

97. Липанов A. M., Альес M. Ю., Константинов Ю. Н. Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью// Математическое моделирование. 1993. Т. 5. №7. С. 3-9.

98. Альес М. Ю., Константинов Ю. Н. Численное моделирование процессов течений высоковязких неньютоновских жидкостей с теплообменом// Гидрогазодинамические течения с тепломассообменом. 1990. №4. С. 136-140.

99. Чехонин К. А., Булгаков В. К. Моделирование процесса заполнения крупногабаритной формы полимерной массой с помощью метода конечных элементов// Молодые ученые Удмуртии ускорению научно-технического процесса. Ижевск, 1987. С. 136-138.

100. Чехонин К. А. Численное моделирование течений неньютоновских жидкостей методом конечных элементов. Хабаровск: Изд-во Хабар, политехи, ин-та, 1988. 19 с. Деп. в ВИНИТИ № 2656-В88.

101. Подгаец Р. М., Няшин Ю. И., Скульский О. И. Применение метода конечных элементов к решению нестационарной задачи течения ли-нейно-вязкой среды// Механика полимеров и систем. Свердловск: УрО АН СССР, 1974. С. 39-47.

102. Basaran О. Nonlinear oscillations of viscous liquid drops// J. Fluid Mech. 1992. Vol. 241. P. 169-198.

103. Nickell R. E., Tanner R. L., Gaswell B. The solution of viscous incompressible jet and free surface flows using finite elements// J. Fluid Mech. 1974. Vol. 65. Pt. 1. P. 189-206.

104. Omodei B. J. Computer solutions of a plane newtonian jet with surface tension// Сотр. Fluids. 1979. Vol. 7. P. 79-96.

105. Sugeng F., Phan-Thien N., Tanner R. I. A study of non-isothermal non-newtonian extrudate swell by a mixed boundary element and finite element method// J. Rheol. 1987. Vol. 31. № 1. P. 37-58.

106. Wesson R. D., Papenastasiov T. C. Flow singularity and slip velocity in plane extrudate swell computations// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1988. Vol. 26. P. 277-295.

107. Cayle D. J., Blake J. W., Macosko C. W. The kinematics of fountain flow in mold-filling// AlChe J. 1987. Vol. 33. № 7. P. 1168-1177.

108. Thompson E. Use of pseudo-concentrations to follow creeping viscous flows during transient analysis// Int. J. for Numer. Mech. Fluids. 1986. Vol. 6. P. 749-761.

109. Martinez-Herrera J. I., Derby J. J. Viscous sintering of spherical particles via finite element analysis// J. Am. Ceram. Soc. 1995. Vol. 78. № 3. P. 645-649.

110. Martinez-Herrera J. I. Finite element analysis of the sintering of ceramic powders// Ph. D. Thesis. Department of Chemical Engineering and Materials Science. University of Minnesota, Minneapolis. MN. 1995.

111. Martinez-Herrera J. I., Derby J. J. FEM (finite element method) models for sintering// Pennsylvania state university, University Park. PA. Sept. 24-27, 1995.

112. Zhou H., Derby J. J. Parallel finite element calculation of three-dimensional, free-surface flows during viscous sintering// Int. J. Numer. Meth. Fluids, in preparation. 1997.

113. ZhouH., Derby J. J. Three-dimensional finite-element analysis of viscous sintering//J. Am. Ceram. Soc. 1998. Vol. 81. № 3. P. 533-540.

114. Sackinger P. A., Schunk P. R., Rao R. R. A Newton-Raphson pseudo-solid domain mapping technique for free and moving boundary problems: a finite element implementation// J. Сотр. Phys. 1996. Vol. 125. P. 83-103.

115. Ruschak K. J. A method for incorporating free boundaries with surface tension in finite element fluid-flow simulators// Int. J. Numer. Meth. Eng. 15:639-15:648. 1980.

116. Gresho P. M., Chan S. T., Lee R. L., Upson C. D. A modified finite element method for solving the time-dependent, incompressible Navier-Stokes equations. Part 2: Applications// Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1984. Vol. 4. P. 619-640.

117. Salinger A. G., Xiao Q., Zhou Y., Derby J. J. Massively parallel finite element computations of three-dimensional, time-dependent, incompressible flows in materials processing systems// Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1994. Vol. 119. P. 139-156.

118. Xiao Q., Salinger A. G., Zhou Y., Derby J. J. Massively parallel finite element analysis of coupled, incompressible flows: a benchmark computation of baroclinic annulus waves// Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. Vol. 21. P. 1007-1014.

119. Hilbing J. H., HeisterS. D. Droplet size control in liquid jet breakup// Phys. Fluids. 1996. Vol. 8. № 6. P. 1574-1581.

120. Dimitrakopoulos P., HigdonJ. J. L. Displacement of fluid droplets from solid surfaces in low-Reynolds-number shear flows// J. Fluid Mech. 1997. Vol. 336. P. 351-378.

121. Susan-Resiga R. Finite element analysis of free-surface axisymmetric flows// Rev. Roum. Sci. Technol. Ser. Mech. Appl. 1995. Vol. 40. № 2-3. P. 333-348.

122. Petera J., Nassehi V. A new two-dimensional finite element model for the shallow water equations using a Lagrangian framework constructed alongfluid particle trajectories// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. Vol. 39. № 24. P. 4159-4182.

123. Чехонин К. А., Сухинин П. А. Влияние реологических параметров на движение нелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью в области между двумя коаксиальными цилиндрами// Сборник научных трудов НИИ КТ. 1998. Т. 4. С. 106-114.

124. Fenton G. A., Griffiths D. V. A mesh deformation algorithm for free surface problems// Int. J. Numer. and Anal. Meth. Geomech. 1997. Vol. 21. № 12. P. 817-824.

125. Бенерджи П., Баттерфилд P. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

126. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

127. Березин И. К., Пономарчук А. И. Применение метода граничных элементов для расчета движений свободных границ вязкой жидкости. Свердловск: Препринт УрО АН СССР, 1989. 34 с.

128. Пономарчук А. И. Моделирование течения вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Томск, 1989. 117 с.

129. Pozrikidis С. Numerical studies of singularity formation at free surfaces and fluid interfaces in two-dimensional Stokes flow// J. Fluid Mech. 1997. Vol. 331. P. 145-167.

130. Liao Shi-Jun. High-order bem formulations for strongly non-linear problems governed by quite general non-linear differential operators// Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1996. Vol. 23. № 8. P. 739-751.

131. Zhang D. F., Stone H. A. Drop formation in viscous flows at a vertical capillary tube// Phys. Fluids. 1997. Vol. 9. № 8. P. 2234-2242.

132. Abe Kazuhisa. R-adaptive boundary element method for unsteady free-surface flow analysis// Int. J. Numer. Meth. Eng. 1996. Vol. 39. № 16. P. 2769-2787.

133. Алексеенко С. В., Гешев П. И., .Куйбин П. А. Течение жидкости со свободной границей по наклонному цилиндру// Докл. РАН. 1997. Т. 354. № 1.С, 47-50.

134. Evans W. А. В., Ford М. J. An integral equation approach to internal (2-layer) solitary waves// Phys. Fluids. 1996. Vol. 8. № 8. P. 2032-2047.

135. GrueJ., Friis H. A., PalmE., Rusas P. O. A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves// J. Fluid Mech. 1997. Vol. 351. P. 223-252.

136. Vanden-Broeck J.-M., Dias F. Free-surface flows with two stagnation points// J. Fluid Mech. 1996. Vol. 324. P. 393-406.

137. Hamamoto Takuji, Fujita Ken-ichi. Three dimensional BEM-FEM coupled dynamic analysis of module-linked large floating structures// Proc. 5th Int. Offshore and Polar Eng. Conf. The Hague, June 11-16, 1995. Golden (Colo), 1995. Vol. 3. P. 392-399.

138. ГромадкаТ., ЛейЧ. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах. М.: Мир, 1990. 303 с.

139. Якутенок В. А. Численное моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов// Математическое моделирование. 1992. Т. 4. № 10. С. 62-70.

140. Якутенок В. А., Олицкий А. Ф., Шрагер Г. Р. Течение вязкой жидкости в частично заполненном вращающемся горизонтальном цилиндре// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1993. № 3. С. 25-30.

141. Olitskii A. F., Schrager G. R., Yakutoynok V. A. Viscous flow in a partially-filled horizontal cylinder rotating at constant speed// Fluid Dynamics. New York, 1993. P. 315-319.

142. Якутенок В. А., Данько С. В. Численное исследование слива из конических емкостей// Всесибирские чтения по математике и механике. Т. 2. Механика. Избранные доклады. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1997. С. 167-173.

143. Якутенок В. А. Численное решение трехмерных задач о ползущем течении вязкой жидкости со свободной поверхностью методом граничных элементов// Математическое моделирование. 1999. Т. 11. № 10. С. 92-99.

144. Bush М. В., Phan-Thien N., Tanner R. I. A boundary element investigation of extrudate swell// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1985. Vol.18. №2. P. 143-162.

145. Bush M. В., Phan-Thien N. Three dimensional flows with free surface: flow out of a long square die// 3. Non-Newt. Fluid Mech. 19&5. Vol. IS. №2. P. 211-218.

146. Bush M. B. Boundary element simulation of polymer extrusion processes// Eng. Anal. 1987. Vol. 4. № 1. P. 7-14.

147. Osswald T. A., Tucker C. L. A boundary element simulation of compression mold filling// Polym. Eng. and Sci. 1988. Vol. 28. № 5. P. 413-420.

148. Kitagava K., Brebbia C. A., Wrobel L. C., Tanaka M. Viscous flow analysis including thermal convection// IX BEM. 1987. Vol. 3. P. 459-476.

149. Рэлей Д. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1944. Т. 2. 476 с.

150. Reid W. Н. The oscillation of a viscous liquid drop// Quart. Appl. Math. 1960. Vol. 18. № 1. P. 86-89.

151. Hasse R. W. Inertia, friction and angular momentum of an oscillating viscous charged liquid drop under surface tension// Ann. Phys. (USA). 1975. Vol. 93. № 1-2. P. 68-87.

152. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д. и др. Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976. 504 с.

153. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial value problem// J. Fluid Mech. 1980. Vol. 200. № 2. P. 333-347.

154. Шулейкин В. В. Еще о поведении жидкости, теряющей весомость// Докл. АН СССР. 1962. Т. 147. № 5. С. 1075-1078.

155. Natarajan R., Brown R. A. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillations of inviscid drops with surface tension// Phys. Fluids. 1986. Vol. 29. № 9. P. 2788-2797.

156. Sparling L. C., Sedlak J. E. Dynamic equilibrium fluctuations of fluid droplets// Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. № 3. P. 1351-1364.

157. Capodanno P. Small oscillations of a catenoidal liquid drop between two parallel plates// 2nd Eur. Fluid Mech. Conf. Warsaw, Sept. 20-24, 1994. Abstr. Pap. Warsaw, 1994. P. 95.

158. Takaki Ryuji, Adachi Ken. Vibration of a flattened drop. II Normal mode analysis// J. Phys. Soc. Jap. 1985. Vol. 54. № 7. P. 2462-2469.

159. Лебедев А. П., Полежаев В. И. Лабораторное моделирование устойчивости и колебаний равновесных форм жидкости в невесомости// Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости. Свердловск, 1988. С. 27-37.

160. Hiller W. J., Kowalewski Т. A. Optical investigation of oscillating liquid droplets// Z. Angew. Math, und Mech. 1989. Vol. 69. № 6. P. 629-630.

161. Brunson R. J. Amplitude of liquid droplet oscillations// AIAA J. 1973. Vol. 19. № 4. P. 858-859.

162. WangT. G., SaffrenM. ML, EllemanD. D. Drop dynamics in space// In.: Mater. Sci. Space Appl. Space Process. New York, N. Y., 1977. P. 151-172.

163. Jacobi N., Tagg K. D., Kendall I. M., Elleman D. D., Wang T. G. Free oscillations of a large drop in space// AIAA J. 1979. Vol. 17. № 2. P. 225.

164. Дубровский В. В., Подвысоцкий В. В., Шрайбер А. А. Измерение периода собственных колебаний капель и двукомпонентных частиц// Инженерно-физический журнал. 1990. Т. 58. № 5.

165. Я. И. Френкель. Вязкое течение в кристаллических телах// Журнал ЭТФ. 1946. Т. 16. Вып. 1. С. 29-35.

166. Тадмор 3., ГогосК. Теоретические основы переработки полимеров. М.: Химия, 1984. 627 с.

167. Kuszynski G. С., Neuville В., Toner Н. P. Study of sintering of РММА// J. Appl. Polym. Sci. 1970. № 14. P. 2069-2077.

168. Гегузин Я. E. Слияние вязких сфер под влиянием сил поверхностного натяжения//Докл. АН СССР. 1971. Т. 200. № 5. С. 1051-1054.

169. Гегузин Я. Е. Капля. М: Наука, 1977. 176 с.

170. Гегузин Я. Е. Физика спекания. М: Наука, 1984. 311 с.

171. Anilkumar А. V., Lee С. P., WangT. G. Momentumless coalescence of drops// AIAA Pap. 1992. № 0111. P. 1-5.

172. AshgrizN., Poo J. Y. Coalescence and separation in binary collisions of liquid drops// J. Fluid Mech. 1990. Vol. 221. P. 183-204.

173. Jiang Y. J., Umemura A., Law С. K. An experimental investigation on the collision behavior of hydrocarbon droplets// J. Fluid Mech. 1992. Vol. 234. P. 171-190.

174. Cuevas A., ChapaM., SilvaM., Menchaca-Rocha A. Fission of drops induced by angular momentum// Rev. Mech. Fis. 1993. Vol. 39. P. 428-438.

175. Wang T. G. Equilibrium shapes of rotating spheroids and drop shape oscillations// Adv. Appl. Mech. Boston etc., 1988. Vol. 26. P. 1-62.

176. Stone H. A. Dynamics of drop deformation and breakup in viscous fluids// Annu. Rev. Fluid Mech. Palo Alto (Calif.). Calif., 1994. Vol.26. P. 65-102.

177. Кочин H. E., КибельИ. А., Розе H. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963. Т. 2. 728 с.

178. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

179. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1961. 158 с.

180. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Главная редакция физ.-мат. литературы, 1978. 592 с.

181. Llipajep Г. Р., Козлобродов А. Н., Якутенок В. А. Моделирование гидродинамических процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. 230 с.

182. Гонор А. Л., Ривкинд В. Я. Динамика капли// Итоги науки и техники. Сер. "Механика жидкости и газа". М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 17. С. 86-159.