Колебания пластинки переменной толщины, лежащей на деформированном основании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

П 3 I

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДСВСГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНКЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ им.В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи Тойбаев Серикбай Несипбекович

УДК 539.3

Колебания пластинки переменной толщины, лежащей на деформируемом основании,

01.02.04- Механика деформируемого твердого тела.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата техническая наук

Москва 1992г.

- 2 -

Работа выполнена в Московском инженерно-строительном институте юл. В.^.КуЙбышева.

Научный руководитель - доктор технических паук, профессор

Филиппов И.Г. Официальные оппоненты - доктор технических наук

■ Камздаляев Н. |

доктор технических наук, профессор Ставиицер Л.Р.

Ведущая организация - ВЦ АН Росош. ^

Защита состоится " № " НоИ^ф 1992г. в ^ ■"**• часов на заседании специализированного Совета Д 053.11.02 при Московском инженерно-строительном внотитуте им. В»В.КуЕбылева по адресу: 113114, Москва, Шлгеювая пай., В, ауд. У А/

Просим Вас принять участие в защите 'и направить Ваяю отзыв по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " //С " ЮА'тЛдАя 1992г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук,

профессор Г.Э.Шаблинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

йсслздоваяш! в области тэорня пластин а

поело лш» лосятлл.з52я показали .недостаточность ялассзчоокнх тзоржЗ дай описшшя волновых процэссов при воздзйствзз на пнх шпульсзвашс внешних нагрузок и выдвагаат иевыэ требования в дроблегязи ыэхадпкя дэфармпруемого твардого тала.

Езсизгря на дзотнгяугно рэзультатц по изучении колабапнй репогруЕцяЗ я ее влошатов, мяегиэ проблема колебаний пластин а оболочек' пареиэнной гешдшщ (пореаэнпвго сочопжя) о учетом рэелогЕЧзских свойств материала остаются нэрошэшшми.

Бельшой прикладной наторзс представляю? задачи о колебания плаотпп, лзаащих на деформируемом ссцоваани. Эти задачи возникаю? пра исслодэвашш аолебаяня шш? я фундаментов отроятоль-ши конструкций пра воздействии ишульонвннх нагрузок, пра спрз-дзлепза собстЕэпнн? частот колебаний плит, й сзйсцологнп, гео-

фззенэ.

Наиболее вмшыа когдзнтвн является епрэдоланно закона ©тпора есновашгя яа коязбгшвэ шшстен-плит.

ураиноцЕй поперечного колебания пластинки поремэвной толщшш из вяакоупругого материала, лежащэй па упругом основании; получению формул для расчета всох поремещэний п напряжений в точках шгастнпкн через жскошэ функция; решение практических за-, дач о колебании пластинки парвмзняой геометрии о учетом вязких овойств материала, ласадей на упругеы основании/ при воздействие нормальной нестационарной ыагрувка на поверхность пластинки л применение метода декомпозиции к определению чаотот оеботвеи-ннх колебаний прямоугольной пластинки постоянной толщины

: вывод ебанх в основанных на них пркближешшх

лежащей на деформируемом основании, пра различных условиях закрепления по контуру.

На ззшнту випосятся: общие а основанные па них приблзкешшэ уравнения колебания вязкоупрутЕх пластин переменной т&вднщ, лохящнх на деформируемом основшше; решенные практические задачи о колебании: бесконечной пластышн переменней толщшш, лэжащэй ма деформируемом основании, н формулы к расчету частот собственных, колебаний прямоугольной пластинки постоянной толщавд, ложа-щей на деформируемом основания, при различных условиях вшфэпла-иш по контуру.

Научная иовизиа работ состоит б слздунцам:

1. Выведаны ебцже £ основанные на них приближенны® уранкеиЕЯ поперечного колебания пластинки переменней тежюш, лзгшщай ка деформируемом основании пра произвольных внешних нагрузках.

2. Получены расчет дна фврцулы дая бпродэления всех перемещений ж напряжений в точках пластинки через искомые функция с трз-буеыэй точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнэшй

3. На основе полученного приближенного уравнения колебания решены прикладные задача поперечного колебания пластинки пврекэн-ней тедщины (переменного свчоняя), лежащей 1т деформируемом основании.

4. Выявлены новые механические эффекты, связанные с переиен-кестью геометрии пластинки, учетом вязкоста, условий вакропладця но контуру.

5. Получены расчетные формула для опрадашда: частот собственных колебаний прямоугольной вязкоупруг©2 пластинки постоянной толщины (постояшхого сечешш), лезицзЗ »а сформируемом основа-нив, при раэлнчиых условиях закрепления по контуру методом декомпозиции.

Практическая значимость работа. Полученные в диссертации результаты дяя решения динамических вадач поперечного колебания пластинка перэкэиной толщины (пвранзиавго оечения) о учатои сявкнх свойств материала позволяют белее точно расочитывать па-пряжапяо-дэфоретрвваннез состояние пластинки, лежащей иа дефер-йаруецом основании при нестационарных внешних нагрузках.

Полученные формулы для определения значений частот свободах поперечных колебаний пластинки постоянной толщины, лежащей на дзфоризрузмом основании, удобны для практического использования. &та фэрыулн ыэгут бить использованы при проектировании фундаментов зданий.

Достовэгшость результатов. Изложенные в дпосвртацна результаты основаны на постановке точной краевой задачи колебания пластинки пзремзннэй толщшш (пэрэнэнного сочэния), лежащей па деформируемом основании, рзпэншо задач известными методами ин'тзг-ральаых преобразований и сравнением полученных приближенных урав-взнЕй о класоичеокшла в предельных случаях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технической копфэрзвции г.Актау (1990), па паучпои сошшарэ кафедры "Теоретическая кэхаяика" МНОЙ им.В.В.КуЙбышэва н опубликовали в 3-х работах.

Об^м работы. Диссертационная работа сосзоит па введения, еб-вера литература, двух глав, выводов, зашютаная и списка литературы. Работа изложена на

//о отранедах машинописного текста, в том числе 3 таблиц, $ рисунков.

т (5- ~

КРАТКОЕ СОДЕРЕАНИЕ РАБОТЫ.

Во ввадавни обосновывается актуальность та диссертации, раскрывается содэргшияэ работа, формулируется цель работы, излагается ссковкио полсеопея, котсрыо выносятся па ващзиу.

Обзор работ поовящов оовроиэняому состоянию вспроосз взаимодействия плаотншш (плиты) п основания, анализу публикаций ото-чествепаых а эаруйшшх авторов по ввагмодайогано пластаика (плиты) и основания. Откачано, что вагшно розультатц пелучошд в работах Н.Ы.Герсовапова, Я.£.Мачорота, Н.Н.Крилова, ГЦЛ.Паотор-ишш, Б.й.Власова, Б.3.Власова, Г.К.Клойпа, Б.Г.Коргпгга, Д.Е.Дольппгпа, А, В.Берегового» В.И.Шэйиша, Д.Н.Себелзвг, Б.Л.Фаянса, В.П.Игнатова, К.Е.Егорова, И.К.Сакарпяа, Г.В.Кра-вюнниксяза, М.Бно, Е.Одз, Е.до-Беера, Грасгсффа, О.Фшптса, К.Ф2шзра, Б.Дэвиса, Х.Паулсса и друга:.

Для задач динамического бзашгодэйствЕЯ пластинки (платы) а ©снования с учетоа дзформЕруемоогв основания и ого Епорцпошигг свойств посвящено значительно пэныго работ. Значительный вклад в развитжз приближенных тгорхШ колебания к катодов рзсааш: да-нашчэских задач о вэаЕиодойотана пластшжи (плети) и основания внесли Ахенбах Е.Д., Б.Ф.Власов, Б.Г.Корепов, П.Н.Лосятьсз, Г.И.Пзтрашень, И.Г.Филиппов к другие.

Первая, глава диссертационной работы посшщоиа выведу общих и основанных на них приближенных уравнений поперечного колебания однородных изотропных пластид переданной толщены из вявкоупруго-го иатериала, доаащнх наидафорынруемсн основании! получена® формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки через искомый функции.

Общие урававяпя колэбанкя пластинки переменной таявшим, леяа-дой на деформируемом основании, в линейной постановке выводятся

из рассмотрения пластинки кая пязкоупругого слоя той яз гао-пзтряа, протаяовкз точной краевой вадачи для слоя а рзиоппэ стой еадача кэтодама интегральных преобразований Фурье по коор-днаатан ( Т , у ) и Лаплассп по вракэии ^ .

Плаотаяка рассматривается как трэхшриыЗ слой, ванииащнй прготранотсэ -о? < (х, у) с*оа; - к ^ у)

Пярацэтры штзрпала пластинка обозначены индексом "Iм, а основания - пядэксем "2°,

„(О

ЗгззоЕУоотз цслраазанЯ ©г дзФоркацпЗ Ьп припи-

шется в вздэ

Л) , /М0\ „.,/с((>\

гдэ а А// влзкоупругпэ оператора.

а у/^ - упругие постсянвыэ; ядра вязких опоратороа.

Ввэдзанаи потенциалов а п0 формуле

й(,)= Гоыф<\ га у{(\ I Х+ёХ + IX (3)

о условием с11\) У » 0 уравнения дэнкзнея пластинки а основания приводятся к виду:

Предполагается, что на верхнюю поверхность пластинки действуют нестационарные усилия, вызывающие еэ продольпе-доперечиые колебания.

Б случае слабо искривленной поверхности ¿? = пластинки ( <РХ и Гу малы), граничные условия приншаот вид:

Ей границе контакта ¿2 =-/г при отсутствии трения граничные условия имеют вид:

^Ч; Й-; ()(6)

I ■ ■ - -

Начальные условия нулевые.

Как известно, при исследовании колебания пластин трехмерная постановка заменяется более простой, т.е. двумерной, для точек срединной плоскости пластинки, что накладывает ограничения иа внешние .усилия, вызыващиэ ее колебания. Втц ограничения сводятся к тому, что ' внешние...усилия не должны содэряать высокочастотные гармоники. В качает ш искомых величин выбирается смещения

и деформации точек плоскости =0, которая прй .

]

переходит в срединную плоскость пластинки.

Решением краевой задаче посредством интегральных преобразований, перемещения точек - слоя II , 1} , выражены через смещения в деформацию точек плоскости =0 пластинки

Л*е

тля операторы Çi • й • Qu » -ЯГ*. «Яд" ревян!

п Vf <№

Ия решения уравнений (4) яы основания а уоловня chtfY-O , граничны» уоловпя (6) принимают вид:

гда R оператор пооле обращения величины

р UlM+M-tobACW)]

(8)

~I0 -

Вырааенно (10) дает эакез отпора основания па келебаягэ жшзцзй на нем пластинки поремапной толщины.

В общем случав обратить по К , $ , р выражение (10) достатечиа слегло.

В частности, при быстровзшшшднхся прсцассах по вракзгщ

В общем случае для упругой пластинки ж упругого основания оператор

о

Т(С$ - £ ^Wix-zmO, у- {13)

о °

Дяя вязкоупругого основали выражение (12) вавнсит от вида вязкеупругих операторов и кагат быть получено

при решении конкретной задачи.

Для определения перемещений 1С , V , и деформаций

У, ¿4 »Ii точек плоскости «0 смоем граничяко условия (5) и (9), которые после подстановки в них выражений (7) для перемещений точек £2 пластипки давт обцио уравнения предольно-пбперечных колобапкй вязкоупругой пластинки перешп-иой толщины, лежащей на деформируемом основании, содержащие производные любого порядка от искомых функций по координатам и вреиэни.

Для решения практических задач бтв общие уравнения шло пригодны я поэтому для их решония необходимо использовать ириблияов-хше уравнения конечного порядка по производным, получаемые из

обща при ограничении числа слагавшие в выражениях (7).

Иаприкэр, ограничиваясь первыми двумя слагаемыми а принимая еа основную гскоцув Езлпчнну, характеризующую попврвчныэ колэ-баняя пластинки порайонной толщины, функцию поперечного сиэщэ-вил точек плоскости «О пластинки, для \[х получт приблизив« уравнзпиэ

+ +

-4-

++ ¿'(з+я Аь -шкг)+

(14) +

Оператор 0 в случае вя8коупругоге основания в пластинка равен: 1

(15)

а значение К определяется законом отпора (II).

В случае упругого основания и упругой пластинки оператор равен: . . I .

аб)

Если основание отоутотвует а толщина пластинки постоянна, приближенное уравнение (14) переходит в уравнение типа Тшдовеихе.

Во второй глава решаются некоторые практические задача.

В §1 рассматривается поперечное колебание бесконечной штотин-ки переменной толщины, лежащей па деформируемом основании, вод дейотвием нормальной нагрузки, приложенной к поверхности шшстиихи.

Дня решения задачи используются уравнения чегвергего порядка» полученные из общих уравнений колебания. Материал пластинки припишется вяакоупругнм, описываемым моделью Маховелла, т.е. о одним временен релаксация.

Рассмотрена задача в плоской постановке, т.е. при не8ависи- , мости величин о? одной координаты, например, У . Функция Р представлена в виде

* и -

гда ' б - малая величина.

Методом послодоватальлня приближений, рэЕоинэ задачи ндэтоя а вида ряда

В ограничиваются нахождении первых двух членов.

По мэтоду последовательных приближений, решение задачи сводится а решении двух уравнений

. Ii «

Л~ Ш-У) é"

fl-MzMJt • ñ-АйЛЛ •

«-я ej '

ш--?)

(i-y) tu

Jit - ¿i>the> J/g _ ¿¡(¿-У) ê

л IS fi +W-bW*)M(U-WV+№fX JL .

а + ¿3.

вл '

■ Ш-Р)'

■ Ж - ¿[зи-Я+Км-йМ+МУ'Ш.]

10 . 3(1-1?)*

ара пудовых начальных условиях, т.о.

Предполагается, что фунвдад

задана в слэдупдэм вадэ - со$(ая) = (23)

Црпкзвяя иптегральпоэ преобразование Фурьэ, уравпэпио (19) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению чэтвэртого порядка.

Исхода из характера корней характеристического уравнения обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка и учитывая начальные'условия (22), получено частное роизниз.

Подставляя частное рзЕэпто уравнения (19) в правую часть уравнения (20), учитывая нулевые начальные условия а равенства (23), аолучепо частпоэ рзизииз уравнения (20).

В частном случае, когда основание отсутствует а материал пластинка упругий, рассмотрены колабаяж! пластинки переданной толщены , под дейсгваэм нормальной нагрузки в вида

• J6 -

ôl-ftx) (24)

г да 6", <- константа размерности напряжения; ?(!))- дельта - функция Дирака, Привэдзии расчеты по определению прогиба плаотшша ори нагрузке вида (24).

В §2 рассматриваются свободные колебания прямоугольной пластинки постоянной толщины о?// , нмавдив геомэтричвскиэ pas-шри в плане ( С?«? ОС ^ & • О ^ ¡J^ 4 ) и ■иавдая иа сформируемом основании, {Материал пластинки вявкоупругий и удевлетворяет модели Максвелла, а основания - упругий. Пластинка еакрвшмна по контуру упруг®. Для решения еадачи испольвуются уравнения четвертого порядка (14), когда р- h « в правые части равны нулю,

Решение ищвтоя в вида

= (26) где J? - бвзраэыэрная, в ебщэм случав, комплексная чоотета.

Тогда краевая задача принимает вид:

Краевую задачу (26) и (27) будем решать методом декомпозиции. Введение» обозначения

3 ■> ■ * ~ & г ' По - ¿¡3 I краэвая задача (26) и (2?) прэобразуется к форт ( 4/4 )

ГДЭ

Лл~ я* р » ^ Т1 >

л — А*. л ~

> > ^ ~ ;

* „м^+ъй^-д+Ме-хЙ. Л зала-?)

8дось:

^ - коэффициент.Пуассона материала пластинки? ' - .параметр, характеризующий влияние дефермативностя и инерционности основания на процесс колебания пластинки;

к„ ~ параметр, учитывающий время рэлакоации, полутолщяну пластинки / н скорость , '

Цель работы - определить чаототы собственных колебаний. В соответствии о методом декомпозиции сформулируем три вспомогательные задачи:

Ад); *» Ы'ЦЧЬ ««>

^ "Г 1 ^ >" 1 ^

(32)

Уодовад ^ « ^ - Л р (33)

будэи ВЫПСЛНЯТЬ ВГрЕбЛ1Е0Ш1О,

фушацш разлагаются в ряды Фурм;

¿¿^ (34)

ГДЭ «еда - ыавзвастиыв НСОТОЯШШЭ, ЕПраКОЕйШруЮЦЕЭ иЭВЗЕЭСТЕЫЭ ФуНКЦВД ЮТ О ДЗ ДЭПОЬЩОЗЕЦЕЕ.

Тогда Бопсцогательиыэ еадачв (30)- (32) пркяшаш сед

^фЫ^р-.с^ (36)

0шЛ у -г

=-Г £ 0&1п(м)ипЫ) - а^зсп(^^ш)

гдз Оцщ - неизвестные постоянные, В соответствии (33) положен

(37)

«Í'ís-•i

Из PSCQHE3 крпзик гадзч (35)-(37) с pío тел условия (33), ваяучепэ уравпеясэ часто? ссботсоштх кшгобаякй. Когда пластинка ганрзплзяа гпзрлприэ по контуру (K^I), ;.:зтод позволяв:? спрэдолять частота дгл ecos гзркоявк по координатам» а для упругого а гест-лого (Kje0) гаярэшгэяпя - ласа да язрэдх гаркеппп.

На рзо.1 поглсапг гфяак» яйяапонюг частот ссиовиого топа ко-лгбгллЛ в с.-^гсг.-.:с?:: от парегэтрэя: 4 , ^ , j? ,

- 20 — 4

ОСНОВНЫЕ вывода

1. Используемый математический подход к исследованию к©ле-беыйх изотропной вязкоупругой пластинки переменной толщины, лэ-дещей на изотропном вязкоупругой основании, в строгой трзхмзр-дой постановке позволяет выводить общие и оонованные на них прибдигсшта уравнения колебания о учетом вязких свойств материала пластинки при малых значениях и .

2. Этот подход позволяет получить пржблшшшше формулы для расчета перемещений и напряжений, описывающих напряааино-дзфор-щровашшз ооотояяш! точек пластинки, независимо от вида приближенных уравнений колебаний.

3. Полученные приближенные уравнения в прэдзльных случаях цереходят в известные классические уравнения поперечного колебания пластин.

4. Строгий математический подход к исолодзваниа колебаний • ■ пластинки, лекащей на деформируемом основании, показал, что вакон отпора пропорционален скорости поперечных смещений точек плоскооти <£? «=о.'

б. Из аналитического решения задачи о воздействии нормальной нагруаки на поверхность пластинки переменной толщины, лежащей на деформируемом еоповании, следует, что прогиб зависит о? геометрических и механических характеристик материала пластишш, в которое позволяет достаточно точно описать иапрядацно-деформированное состояние пластинки в любой ее точке с течением времени.

6, Применением метода декомпозиции получены расчетные формулы, поаваляицце определять частоты собственных колебаний прямоугольной вязкоупругой пластинки постоянной толщины, лежащей на • деформируемом основании, при различных условиях закрепления по

• га-контуру и в ювеошооп! о? геевдтрвчоскга и юхавэтеостх характеристик штастшйп и основания.

ОСЛ0ВЯ09 сойзржанш работы опубликовало в олэдукцах статьях:

1. Филиппов И. Г., Тойбаов С.Н. Колебание фундаментов лдреман-апй толпшш.- Джокер. в ЕНЙЩГПИ, 1991.

2. Тойбаев С.Н. Воздействие нормальной нагрузки на поверхность пластинки порзшгшой толщины, жшавдй па деформируемая основании. -Депонпр. в ВНШ1ТПИ, 1992. ■ ■

3. Фзлшшез И.Г., Тойбаов С.Н. Применения метода дзкеотозлцпа к расчету собственник частот колебаний прямоугольной пластишта.-Делонир. в ВНЙШМИ, 1992.

Подписано о почать 8.10.92 Формат 60x84^/16 Леч.офс. И-232 Объем I уч.-изд.л. Т. 100 Заказ Н/ Бесплатно

Ротапринт МШИ км.В.В.Куйбышева