Колебания плоских и цилиндрических слоистых элементов строительных конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД / 2 МАР 1398

На правах рукописи

СЕЙТМУРАТОВ АНГЫСЫН ЖАСАРАЛОВИЧ

КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете .

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор ФИЛИППОВ И.Г.

Официальные оппоненты- доктор технических наук, профессор ЕГОРЫЧЕВ О. А

- кандидат технических наук, доцент КОСТИН В.И.

Ведущая организация - НИИ оснований и подземных

сооружений им. Н.М. Герсеванова

Защита состоится" " \99с г. в /Запасов на засе-

дашш диссертационного Совета Д.053.11.(Й при Московском государствешюм строительном университете по адресу : 1131114, Москва, Шлюзовая наб., 8, ауд.

¿/Ж-

Просим Вас принять участие в защите и направил. Ваш отзыв по адресу: 129337, Москва .Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета.

Автореферат разослан 199/г.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор технических наук,

профессор Г.Э.Шаблинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Создание конструкций на основе современных материалов - пластмасс, полимерных и других, которые работают при динамических нагрузках, а также задачи геофизики, сейсмологии и другие области техники, выдвигают новые требования к проблемам механики деформируемого твердого тела.

Несмотря на достигнутые результаты но изучению колебаний конструкций и их элементов многие проблемы остаются нерешенными. Кроме того, данные теории не позволяют приближенно рассчитывать все компоненты смещений как и напряжений в произвольной точке пластинки как трехмерного тела, что весьма важно дам многих прикладных задач по расчету пластин на прочность и т.д.

Развитие теории колебания прямоугольных пластин, взаимодействующих с деформируемой среды, представляет большой прикладной интерес. Такими простейшими конструкциями являются плоские конструкции в виде пластин конечной толщины находящиеся под слоем груша.

В задачах такого типа одним из важнейших моментов являются исследования динамического взаимодействие пластин с деформируемой средой, подвергающейся нестационарным воздействиям, расчету частот собственных колебаний пластин конечных размеров, влияние окружающей среда на колебания. Поэтому развитие эффективных методов расчета таких конструкции является актуальной задачей.

Цель работы: вывод приближенных уравнений и основных граничных условий по краям прямоугольной пластинки, находящейся под поверхностью деформируемой среды, начальных условий, а также формулы для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки от искомых функций, применение метода декомпозиции,

предложенным профессором Пшешгчновым Г.И. для статики, для задач динамики к определешгю частот собственных колебаний прямоугольной пластинки постоянной толщины, с учетом вязких свойств материала. На основе теоремы Гурвица показать, что приближенное уравнение 4-го порядка описывает затухающий характер колебание плоского элемента.

Рассмотреть ряд задач о распространении сдвиговых волн в цилиндрическом слое при различных механических характеристиках материала.

На защиту выносятся: приближенные уравнения и основные граничные условия по краям прямоугольной пластинки, находящейся

иод поверхностью деформируемой среды, а также формулы для расчета перемещений и напряжений ог искомых функций, решение практических задач колебаний пластин различной геометрии, находящейся под поверхностью.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Рассмотрены прикладные задачи теории колебания пластин, решенные как известными математическими методами, так обобщенным приближенным методом декомпозиции, предложенным профессором Пшеничновым Г.И. для задачи статики, обобщенный для задачи динамики.

2. На основе георемы Гурвица показана, что приближенные уравнения 4-го порядка описывают затухающий характер колебания плоского элемента.

3. Выявлены новые механические эффекты связанные с нахождением полосы пластинки под поверхностью деформируемой среды,с учетом вязкости условий закрепления по контуру.

4. Рассмотрен ряд новых задач о распространении сдвиговых волн в цилиндрическом слое при различных механических характеристиках материала.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты решения динамических задач поперечного колебания пластинки постоянной толщины, находящихся под слоем деформируемой среды , с учетом вязких свойств материала, позволяют более точно рассчитывать напряженно-деформированные состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках.

Результаты по одномерным цилиндрическим волнам в упругих и вязкоупругах средах позволяют исследовать влияние характеристик материала сред на волновое поле в материале.

Достоверность результатов. Изложенные в диссертации результаты основаны на постановке точной трехмерной краевой задачи колебания пластинки, находящейся под поверхностью деформируемой среды, решение частных задач известными методами интегральных преобразований и сравнением полученных приближенных уравнений с классическими в предельных случаях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры 'Теоретическая механика" МГСУ и научных семинарах кафедры " Высшая математика " Кызылординского политехнического института , а также на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы в экологии и природопользовании " в г. Кызылорде.

Обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, выводов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 100 страницах машинописного текста, в том числе 1 таблица и 6 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, раскрывается содержание работы, формулируется цель работы, излагается основные положения, которые выносится на защиту.

Обзор работ посвящен современному состоянию теории колебания пластинки основания, вопросов о распространении цилиндрических волн в упругих и вязкоупругих средах. Отмечено, что важные результаты получены в работах Н.М.Герсеванова, ЯА.Мачерета, Н.Н.Крыяова, Б.Ф.Власова, Г.К.Клеина, БЛ.Фаянса, Б.Г.Коренева, Л.Н.Соболева, ХА.Рахматулина, С.П.Тимошенко и др.

Значительный вклад в развитие приближенныхтеорни колебания и методов решения динамических задач о взаимодействий пластинки и основания внесли Ж-ДАхенбах, Б.Ф.Власов, Б.Г.Коренев, Н.Н Леонтьев, Г.И.Петрашень, И.Г.Филиппов и др.

Первая глава диссертационной работы посвященакраевойза-даче теории колебания прямоугольных пластин взаимодействующих с деформируемой средой* то есть выводу приближенных уравнений и основных граничных условий по краям прямоугольной пластинки, начальных условий, а также формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки от искомых функций, и другие вопросы.

Рассмотрим пластинку толщиной 2Ы 1ц), лежащую

под поверхностью деформируемого слоя толщиной Ьо-Ь 1 и находящуюся в контакте с деформируемым полупространством г^-Ы .

Обозначим параметры слоя индексом "Г', пластинки индексом "2" и нижнего - индексом "3"

Будем предполагать, что материалы верхнего слоя, пластинки и основания однородны,изотропны и вязкоупругм .

Введением потенциалов Фо^ и продольных и поперечных волн по известной формуле

и^гаафГО+го^?© —*

с условием <11У*Р=0 уравнения движения пластинки, верхнего стоя и основания приводятся к виру

где оператор N0) равен №=Ц+2М1

Предполагается, что колебания пластинки под поверхностью могут быть вызваны как внешними усилиями на внешней поверхности г~Ы , так и возмущениями, распространяющими со стороны основания. Будем считать, что по границам контакта пластинки с верхним слоем и основанием отсутствует трение,-граничные условия имеют вид на внешней поверхности (х=Ьо)

Ов«Ь£<2)(х,у,1) ^>=&(2>(х,уД) (3)

на границе контакта верхний слой - пластинка (г=1и)

; С4х<»=0; о*<8=0; ™<»>=\У<2> (4)

на границе пластинка - основание (г=-Ы)

<г»<1>= <тг^>+Г3гО)(Х;УЛ); аь(3)+уз)(х,у,1)=0

(рху) (5)

Кроме того, должны выполняться условия затухания на бесконечности, т.е. при г—имеем

' Ф0>=0; Т1О)=Т2<3)=Чуз<3)=0 (6)

Начальные условия нулевые.

Задача колебания пластинки в деформируемой среде сводится к исследованию уравнений (2), удовлетворяющих граничным и начальным условиям.

При исследовании колебания пластин точная трехмерная задача заменяется более простой двумерной для точек срединной плоскости пластинки, что накладывает ограничение на внешние усло-впя.Эти ограничения садятся к тому, что внешние усилия не могут быть высокочастотными.

Сформулированная выше задача, решается с применением интегральных преобразований Фурье по координатам х и у и Лапласа по I.

Для исследования колебании прямоугольных пластин в плане необходимо сформулировать краевые задачи.

Под краевыми задачами колебания ограниченной пластинки в плане, находящейся под поверхностью, понимается: вывод уравнения колебании пластин, формулировка граничных условий по краям пластинки и начальных условий для искомой функций.

Если за основную искомую величину, характеризующую колебание пластинки постоянной толщины, принять функцию поперечного смещения АУ^1) точек плоскости 2=0 пластинки, то ограничиваясь в общих уравнениях производными не выше 4-го порядка, для получим приближенное интегродифференциальное уравнение

(7)

где операторы равны А1=р!Мг1Ь1+р2Н2-1(Ьо-Ь1)

Ы3 (Ьо-Ы)3

Аг^р^Мг'СНг'+ЗМг1)-+р2М2-1[р;>№-1--

б б

ЫЦЬо-Ы) -]

2

(Ь-Ь) (Ьо-ЬО

Аз = [ ( З-МгИг1)--(гМ^г1-!)-]•

б 2 ЫЗ

Р2К2"1-2р1(ЗМ1-1-2Нг1)—

3

М ( И о-ЬО3

А4=4( ЬМ^г1)--4(1-МгВД (Ыг'Ма)-

3 3

Б д Ы2 дз 8

Р = — р,М.-«{-+ —+р1(Мг1+ЗЫг1)(-)-2(-)А]+

2 а 2 д1

+2(М1Ыг,ХР^2-|Х-МЬйи)}

д2 И)2

Ф(х,у,1)= [ЦЗ-гММ-')-Д+(р2Мг'Х—)-] •{ Р^+Мг1 Га® •

2 2

Э*

[М| КгЩр^гЩ-ХЬо-ЬОЬ.]} (8 )

Несмотря на то, что уравнение ( 7 ) является приближенным, оно досточно сложно. В операторах ( 8) содержатся все параметры , характеризующие как механические и реологические свойства материалов пластины, слоя, и основания, так и их толщины.

Исходя из граничных условий на поверхности пластинки г^или 2=-Ь4 получим зависимости величин от поперечно-

го смещения

да №»

Щ1>=--; ----(9)

дк ду

Если верхний слой отсутствует, то приближенное уравнение (7) имеет вид:

бпу гм\У Во(-)+ В|(--)+В2(Д-)+Вз(А2"№')-!-Р1(\У)=Ф(х,у,1)

тг й4 ее2

Ь12

где Во=Р1М-1; В1=—р^г'СЧг'+ЗМг») (10)

6

Ь|2 М

В2=-2р1(ЗМг'-2М,-!) —; В^О-МПЯг1) — б 3

Б дУ/ Ьп2 &Ч1 8

-{-+ - ЫМг'+З^-'Х-)-2(--)Д\У,]}

2Ы д1 2 й2 сН

При отсутствии нижнего основания т.е. при Р^^'^О, уравнение (7) принимает вид

1ц2 1 3 д*Ш1> 3 2 №<■> Ы2

-+-[(—+ — )--4Ь1=С---)Д-+8Ь12(1---

дхг 6 а!2 V д14 Ы2 а|2 а2 а!2"

•Д^10)]=Ф(х,у,1) (И)

которое совподает с уточненным уравнением поперечного колебания упругой пластинки.

Уравнение (II) по форме совпадает с уравнением полученным на основе модели Тимошенко, но с другими коэффициентами при

- и Л-

8t4 6t2

Если эти слагаемые отбросить, то уравнение (11) переходит в классическое уравнение поперечного колебания Кирхгофа, которое является уравнением параболического типа и не описывает колебательный процесс.

Рассмотрим частный случай, когда все четыре края пластины шарнирно закреплены

дЩ d2W

WI *=o=W | x=if-I х=о=-1 x=f 0 (12)

дх2 дх2

d2W c2W

W! y=o=W | y-F — ¡ -

1 5y2 dy2

Если в качестве основной определяющей неизвестной величины взять поперечное смещение W точек срединной плоскости пластинки z=0 , то в случае упругих пластинки и основания приближенное уравненне для смещения W имеет вид

<?2W h2 Г I 3 (Ш 2Ьо2 дЩ bo2 ] Sobo

-+ _)--4(3--)д-+ 8bo2(l--)A2w[+--

№ 6 Uo2 bo2 8lA ao2 a2 ao2 } 2h

BW h2 1 3 c>3W d\V i _+ _[(-+__) _ _4A-] =0

Ift 2 bo2 ao2 W 6t J

В силу граничных условий (12) искомое смещение W будем искать виде

b „ ттпх галу

W=exp(£, — t)E Е Wnrr.sin(-)sin(-) (14)

h n=1 to=1 li h Подставляя выражение (14) в уравнение (13),для 4 получаем алгебраическое уравнение четвертого порядка

а2'^2+ aj'^+aV=0

где

35о(5-8У) 8(2-%'}у+12(1-у)

аа'=1; а,'=- ; а2<'=-—--

2(7-8у) 7-8\

б!8о(1+2ТГК1-*) ВТ3 пЪ пЛ

а,'-- ; а<'=-- ; Т=я2[(-)2+(-)2]

7-8у 7-8 V I! 12

Исходя т теоремы Гурвица и положительности коэффициентов следует, что действительные части комплексных корней алгебраического уравнения отрицательны, что отвечает затухающему характеру колебания хшастинки за счет инерционности и деформируемости основания, причем параметр Бо характеризует влияние упругого основания.

Уравнение (15) решалось численно на ЭВМ и на Рис.1 приведены кривые изменения Яе^ и в зависимости от у.

Рис.1

В §5 исследуются частоты собственных колебании прямоугольной пластинки, находящейся под поверхностью толщиной 2ЪЬ имеющую геометрические размеры в пиане О^х^ , 0<у<12 два противоположенных края которой жестко закреплены, а два других свободны, методом декомпозиции. Материал пластинки вязкоупругий и удовлетворяет модели Максвелла, а материал верхнего слоя и основания упругий. Для решения задачи используется уравнение четвертого порядка (7), когда правая часть равна нулю.

Решение ищется в виде:

Ь,

WlC^>(x,y)t)=W(x,y)exp(-\ « (16)

Ы

где ^ - безразмерная, в общем случае комплексная частота, задача сводится к решению уравнения

д*Щ0) д^т д^р)

-+2--+-)-2(Об -+-)+

сх4 дх2ду2 ду* дхг ду2

+(0:^ + + 04+0з)\У»<«> (17) при граничных условиях

с^ЛУ д2лМ 3-4у

х=0; х=1г,-=0 ; (7-4у)---

йх3 дх2 1-у

у=0; у=12; W=0 ; -=0 (18)

ду

1| 12 Н4

Введем обозначения х= — а ; у= —а3; -V

п ж п4

Тогда краевая задача (17) и (18) преобразуется к виду д^у 2 1 сНу дЧ 1 ©»V

(-+--+--). 2(-+--¡С)

до* X2 да.Щг X4 эр4 да2 X2 с(32

Ю2Щ2+ йзт )+у(Ш°> Б «ОТ ¥->■ 01(0) £,+ )=0 (19)

б^ д2у 3-4\

а=0; а=тс ; — =0; иЧ7-4?)--*><{--)Ь2у =0

да? да2 1-у

дч Ц

{3=0 ; ; у=0 - =0; 0/°)= - (¡= 1,8) (20)

ар Оо

В соответствии с методом декомпозиции сформулируем вспомогательные задачи:

сМО Э-ЧКЧ д2м 3-4у

-= {Х»(а,р); -=0 ; л2(7-4м)--\У2(-) 1,^=0;

5а4 да3 да2 1-у

а=0;а=я (21)

--=Р>(а,р);^2)=0; -=0 ; р=0 ; (22)

х" ер" ар

и оставшаяся часть уравнения (19) 1 1 54'

---(-4--Оз(°>)+(

X4 даЩ4 8а2 л.2

Об<°)42+ 0#:>0>=-ГО)-1та (23)

Условия V© = V® = V (24) бедем выполнять приближенно. Разложим правые части функции {®(а,р) в ряд Фурье:

СО со

1№(а,р)=£ 1аГ,т(,>8т(псфт(таР) (25)

п=! т=1

Тогда вспомогательные задачи (21 )-(23) принимают вид: „ „

-= 2 Еаш^пСпсОзЫтр); -=0 (26)

да4 да3

8М0 3-4у

А]-; а=0; а=л; к^тР{1Ау)\ Аг=-^2(-)\\г

да1 1-у

1 д№> » „

--= £ Б 51п(па)кш(тЭ); \<2)=0 ;-=0 (27)

Х.4 п=1г&=| щ

2 1

---2(- +--+ т% + Оз(°))+у(з)( ШЧ4

X2 да2 да2 А.2 ар2

+ + ОуСЧ + Р8(°»=£ Г апш 5т(ла)51п(тР)-£ £ а™«.

п=1 га=1 п=1 т=1

5т(пофт(тр); (28)

В соответствии (24) положим

Я Я 1 ТС Я 71 ТС ПК к л

«'К—; -)= —[V« (-; -)+ (-; -)]; *!>(—; — ) = чР>(—; — ) (29) 222 22 22 22 22

Из решения краевых задач (26) - (28) с учетом условия (29), получим частотное уравнение собственных колебаний

ф +сг, +0=0 (30)

которое численно исследовалось на ЭВМ

Во второй главе рассматривается ряд задач о распространении сдвиговых волн в цилиндрическом слое при различных механических характеристиках материала.

В упругом неоднородном трансверсально изотропном цилиндрическом слое распространяется сдвиговая цилиндрическая волна. В момент 1=0 к цилиндрическому слою мгновенно прикладывается импульс касательного напряжения а2Г или смещения иг, не зависящие; от г, но изменяющиеся по координате 9.

Задачу решаем в безразмерных переменных Ы К цг 1 = — ; г= — ; и= — (31)

го го го где го - внутренний радиус слоя, Ь - скорость сдвиговой волны. Основное уравнение движения имеет вид

1 М)'(г) ди 1 М2(г) д-и д2и Ь2р(г) 32и

__+[_ +-]_+----=--(32)

дг2 г М|(г) <Эг г2 М,(г) М)(г) дд2 М](г) от2

Граничные условия данной задачи имеют вид

агг=£пСс)со5(те) при г=!

Огг=0 при г—п причем п>1

Начальные условия нулевые.

Применяя преобразование Лапласа но х к уравнению (32),

получим

д7ш I М1'(г) ¿и 1 М2(г) &ио Ъ2р(г)

-+[—+-]— +---=- р2ио (33)

дг2 г Мл (г) дг г2 М|(г) дв2 М1<г)

Решение уравнения (33) ищем в виде

«О

ио=Т(г) соз(шО) полагая ис-| и(г,0,1)е-Ргс1т

о

где М1(г)=Мюга; М2(г)=Мго1^ ;р(г)=рогт ; причем Ъ2=Мю/р1 , а,р,Т-постоянные величины

Тогда уравнение (33) принимает вид

гЧ"(г) +г( 1 +а)Т'(г) - (тп¥аТ12+р2гТа+г)Т(г)=0 (34)

Здесь Т12=М2о/Мю Рассмотрим два случая 1.Предположим, что Т-а+2=0 и а=р Тогда уравнения (34) принимает вид:

г2Т"(г)+г( I +а)Т'(г)- Г^12т2+р2]Т(г) =0 (35)

Общее решение уравнения (35) имеет вид:

от I 2 г г в1 а | 2 1 » аг

Т = С{г 2 У 4 +С2г 4 (36)

Граничные условия задачи в изображениях запишем как

5Т Гшо(р) 5Т

— =---при г= I — =0 при г=п

бг роЬ2 дг

Определяя постоянные С) и Сг из граничных условии и подставляя их в общее решение уравнения (36) , при этом введя обозначения

ч?1=1пг + 2п1пг1; 2= - 1пг + 2(п+1 )1пг»

е

^р2+Т12ш2+а2/4' £ - ч/г)к'^%'

(1 р2+Т| 2т2+а2/4)а~н' получаем выражения для Т:

Гшо(р) «> г а а „

Т=-£-1/2 V |р10— ]е -а/2( рю8$+Ра>+ _ ¡е а/2[ < -<5»] Р2о5с) (37)

роЬ2 п=0 2 ^ 2 «г>

Обращая по р выражение (37), получаем выражения для смещения и(гДт). Аналогично получены выражения для напряжений стгг и

<Тге

2. Предположим, что Т-а+2>0 и а=р Общее решение уравнения (34) в этом случае имеет вид ' 2 2

Т(г)=С 1Га/2Ку(-ргг"^)+С2Г-^1у(-рт(т^>2) (38)

у-а+2 у-а+2

Здесь Ку(г) и Ь(г) функция Бесселя мнимого аргумента, и поставленная задача решается когда индекс V равен

у=(Л/ а2+4Т]2т2 )/(Г-а+2)=п+1/2

"где п- целое число Выражение для Т равно:

Р:т(р) „ Г+а+2 „ Т+а+2

Т(г)= —— г(г+а+2)« £ (-1)4 Ею--1 ехр[--/^-и1(г»]

роЬ2 4 4

У+а+2 Т+а+2

Ею0§+Б2о+-ехр[--/?-и2(г))] Е2од£, (39)

4 4

Обращая по р, можно определить и(гДт) , <Тгг и • Эти формулы дают точное решение задачи с учетом всей сложной волновой картины.

На Рис.2 показано изменение смещения ив в зависимости от радиуса г

ч

о 1 3 5 Г}

Рис.2

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. В работе выведены приближенные уравнения и основные граничные условия по краям прямоугольной пластинки,находящейся под поверхностью деформируемой среды .начальные условия, а также формулы для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки от искомых функций.

. 2. Полученные общие и приближенные уравнения в явном виде содержат как вязкоупругие операторы, описывающие поведение материала пластинки, верхнего слоя и основания, так и внешние и внутренние усилия, вызывающие колебания пластинки.

3. Закон отпора основания на характер колебания пластинки, находящейся под поверхностью, отличен от Винклеровского, т.е. основание влияет не как пружина, а как амортизатор.

4. На основе теоремы Гурвица показано, что приближенное уравнения 4-го порядка описывает затухающий характер колебания пластинки.

5. Рассмотрен ряд задач о распространения сдвиговых волн в цилиндрическом слое при различных механических характеристиках материала.

6. При решении частных практических задач показано, что:

- полученные методом декомпозиции формулы для определения значений частот собственных поперечных колебания пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, удобны для практического использования;

- аналитическое решение задачи о колебании пластинки - полосы постоянной толщины, находящейся под поверхностью деформируемого слоя ,при воздействии на его поверхность нормальной нагрузки, ,представлено в виде сходящихся интегралов , удобных для численной реализации на ЭВМ.

Основное содержание работы опубликовано в следующих статьях:

1. Джанмулдаев Б.Д., Сейтмуратов А.Ж., Досжанов М.Ж. "Распространение сдвиговых цилиндрических волн в анизотропном неоднородном цилиндрическом слое." - Деп. в ВИНИТИ. 17.01.9б.К 189-В96.

2. Сейтмуратов А.Ж., Джанмулдаев Б.Д. "Прохождения сдвиговых волн через анизотропно-неоднородный цилиндрический слой". -Деп. в КазгосИНТИ, 19.06.96 №7068 - Ка96

3. Джанмулдаев Б.Д., Сейтмуратов А.Ж., Досжанов М.Ж. "Приближенные уравнения поперечного колебания пластинки, находящейся под поверхностью" - Сб. научных трудов юбилейной научно-технической конференции посвященной 20 - летию института "Актуальные проблемы в экологии и природопользовании", - Кызылорда, ноябрь, 1996 г.

4. Сейтмуратов А.Ж. "Краевые задачи колебания прямоугольных пластин, лежащих под поверхностью деформируемой среды", - Деп. в ВИНИТИ. 22.11.96. №3398 -В96

5. Джанмулдаев Б.Д., Сейтмуратов А.Ж., "Колебания бесконечной полосы пластинки, находящейся под поверхностью" - Деп. в ВИНИТИ, №3399 -В96,22.11.96

УНИР МГСУ Центр экспресс - полиграфии Заказ 3 Тираж 100 Подписано к печати 19.11.97 г._

129337, Москва, Ярославское шоссе, 26