Колебания пластин, находящихся под поверхностью деформируемой среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ5 ОД

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Д1АНМУЛДАЕВ БАХИТЖАН ДЖАМАЛАДИНОВИЧ

УДК 539.3

КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН, НАХОДЯЩИХСЯ ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 7993

Работа выполнена в Уосковском государственной строительном университете ., •

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

ФИЛИППОВ и.г.

Научный коноультант - кандидат технических наук, и.о.

профессора СКРОПКИН С.Л. Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

ШЕНИЧНОВ Г. И. доктор технических наук МАМДДАЛИЕВ Н.

Ведущая организация - НИИ оснований и подземных сооружений

им.Н.М.Герсеванова

У—

Защита состоится 19S3 г. в ¿Ó ~~

часов на заседании специализированного Совета Д 053.11.02 при Московском государственном отроительном университете по адресу: 113114, Москва, Шлюзовая наб., 8, ауд.

Просим Bao принять участие в защите и направить Ваш отзыв по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, Ученый Совет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГС7.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук,

профессор Г.Э.ШАЕЛИНСКИЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластины, как плоские элементы являются составляющими многих строительных конструкций, как наземных, так и подземных. В решениях конференций по фундаментам, основаниям и подземным сооружениям отмечалось, что важной и мало исследованной является проблема расчета подземных вооружений при воздействии нестационарных внешних усилий. Поэтому развитие теории колебания плоских подземных элементов является актуальной задачей.

Современная теория колебаний пластин основывается на ряде допущений и гипотез, в ряде случаев не согласующихся между ообой, что затрудняет развитие единого подхода к исследованию колебаний пластин. Кроме того, данные теории не позволяют приближенно рассчитать всо компоненты смещений и напряжений в произвольной точке пластинки как трехмерного тела, что веоьма важно.для многих прикладных задач по расчету пластин на прочность и т.д.

Большой прикладной интерес представляют задачи о колебании плаотин, находящихся под поверхностью.. Эти задачи возникают при исследовании колебания подземных конструкций при воздействии виошних импульсивных нагрузок, при определении собственных частот колебаний таких конструкций, в сейсмологии, геофизике. Внедрение новых материалов в строительстве, выбор оптимальных элементов подземных конструкций приводит к необходимости исследования работы таких конструкций и их элементов о учетом реологических, более сложных механических и других параметров материалов. Поэтому развитие аффективных методов расчета подземных конструкций являетоя актуальной задачой.

Цель работы: вывод общих и, основанных на них, приближенных линейных уравнений поперечного колебания пластинки, находящейся под поверхностью; получение формул для перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции; решение практических задач о колебании пластинки постоянной толщины,- находящейся под поверхностью, при воздействии нормальной и подвижных нестационарных нагрузок на поверхность среды и применение метода декомпозиции к определению частот собственных колебаний прямоугольной плаотинки постоянной толщины, с учетом вязких свойств материала.

На запиту выносятся: общие и, основанные на них,приближенные уравнения колебания вязкоупругой пластинки постоянной толщины, находящейся иод поверхностью; решенные практические задачи о колебании бесконечной пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, и формулы к расчету частот собственных колебаний прямоугольной пластинка постоянной толщины, находящейся иод поверхностью, при различных условиях закрепления по контуру.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Выведены общие и, основанные на них, приближенные уравнения поперечного колебания пластинки постоянной толщины, находят,¡сйсл под поверхностью, при произвольных внешних нагрузках.

2. Получены расчетные формулы для определения всех перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции с требуемой точностью, характеризуемой порядком приближенных уравнений.

3. На основе полученного приближенного уравнения колебания решены прикладные задачи поперечного колебания плас-

тннки постоянной толщины, находящейся под поверхностью.

4. Выявлены новые механические эффекты, связанные о нахождением пластинки под поверхностью, учетом вязкости, условий закрепления по контуру.

5. Получены расчегчшо формулы для определения чаотот соОотвонных колебаний прямоугольной пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью при различных условиях закрепления по контуру методом декомпозиции.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты для решения динамических задач поперечного колебания пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, с учетом вязких овойстп материала позволяют более точно рассчитывать напряженно-деформированное состояние пластинки при нестационарных внешних нагрузках.

Полученные формулы для определения значений чаотот свободных поперечных колебаний плаотинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, удобны для практического использования. Эти формулы могут быть использованы при проектировании некоторых подземных сооружений.

Достоверность результатов. Изложенные в диссертации результаты основаны на постановке точной краевой задачи колебания пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхность», решении задач известными катодами интегральных преобразований и сравненном полученных приближенных уравнений о классическими в предельных случаях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на па научных семинарах кафедры "Теоретическая механика" МГСУ и опубликованы в 3-х статьях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из вподь-

ний, обзора литературы, двух глав, выводов, заключения и списка литературы. Работа изложена на 91 страницах машинописного текста, в том числе 2 таблиц, 3 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, раскрывается содержание работы, формулируется цель работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту. Дан краткий обзор по теории пластин, а также по теории вязкоупругооти.

Обзор работ посвящен современному состоянию теории колебания пластинки и основания, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов по взаимодействию пластинки и основания. Отмечено, что важные результаты получены в работах Н.М.Герсеванова, Я.Л.Мачерета, Н.Н.Крылова, Б.Ф.Власова, Г.К.Клейна, Б.Г.Коренева, Л.Н.Соболева, Б.Л.Фаянса и др.

Значительный вклад в развитие приближенных теорий колебания и методов решения динамических заиач о взаимодействии пластинки н основания внесли д.Д.Лхонбах, Б.Ф.Власов, Б.Г. Коронов, Н.Н.Леонтьев, Г.И.Петрашень, И.Г.Филиппов п др.

Первая глава диссертационной работы посвящена выводу общих и основанных на них приближенных уравнений поперечного колебания однородных изотропных пластин постоянной толщины из вязкоупругого материала, находящихся под поверхностью; получению формул для расчета перемещений и напряжений в точках пластинки через искомые функции, описывающие перемещения и деформации точек срединной плоскости пластинки и анализу полученных уравнений.

При выводе общих уравнений колебания пластинки, находя-

щейся под поверхностью, в линейной постановке рассмотрим безграничную плаотинку в плане толщиной находящейся под поверхностью полубесконечной среды на глубине . Плоскость ХУ - поместим в срединной плоокости плаотинки ¿"О , а ось 01 направим в сторону внешней поверхности верхнего слоя. Решение этой задачи в трехмерной постановке отроитоя о применением методов интегральных преобразований Фурье по координатам

(ВД и Лапласа по времени I . Пластинка рассматривается как трехмерный слой, занимающий пространство • оо< < ♦ '

Параметры пластинки обозначим индексом "1", верхнего

слоя индексом "¿", основания индексом "3". ...

Ш „(*)

Зависимости напряжений Оу- от деформаций прини-

маются в виде:

<'•«,(<'); (''У.У'М.') ' п/

где - вяэкоупругие операторы:

^ - ядра вязких опораторов, И - упругие

постоянные или коэффициенты Ламе.

Введенном потенциалов Ф"' и до формуле

с усло1з'.:(;м Ли" уравнения движения пластинки, верх-

него слоя 1: основания приводятся к виду

т

Предполагается, что колебания пластинки под поверхностью могут быть вызваны как внешними усилиями на внешней поверхности , так и возмущениями, распространяющимися со стороны основания. Кроме того, будем считать, что по границам контакта и 2 = -kt пластинки.с верхним слоем и основанием эти контакты идеальные, т.е. отсутствует трение.

Тогда имеем следующие граничные условия: при 7» L

тЛ- СЫ*) /v

при 2 = ht

<5f--o; 0}!г)=о; -uf^yjV /6/

при 2 » - Jll

Начальные условия нулевые.

Как известно, при псследованип колебания пластин трехмерная постановка заменяется более простой, т.е. двумериой, для точек срединной плоскости пластинки, что накладывает ограничения на внешние усилия, вызывающие ее колебания. Эти ограничения сводятся к тому, что внешние усилия не должны содержать высокочастотные гармоники. В диссертации в качестве искомых величин для пластинки выбираются смешения в деформа-

ция точек плоскости 3=0 , которая является средшшой плоскостью пластинки, а для верхнего слоя - их линии, контакта.

Решение краевой задача посредством интегральных преобразований позволяет перемещения точек пластинки и верхнего слоя У1^ выразить через смещения и деформации

точек срединной плоскости и контакта пластинки по формулам

"ЙГ}

]

(2п)! ■ (О -(4)

где операторы ^ц > Ли рав""

Д • ¿_ + Г

при атом

перемещения, а дефор-

мации точек плоскости 2«о (/•!) и контакта ({*2)

Из решения уравнений /4/ для основания и условия Литого граничные условия /7/ принимают вид:

СЧЮЧ ; /ш/'

где оператор ((3 получается после обращения величин:

О . Ла. иЧ^)'О^(^) ....

** К ^

Выражение /11/ дает закон отпора нижнего полупространства на колебание пластинки находящейся под поверхностью.

В общем случае обратить по -«¿.^ ,у& выражение /11/ достаточно сложно. В частиооти, при быстроизманяшихся процессах по времени

¡tzVШF)f> ; ** м

В общем случае для упругой пластинки и упругого основания это обращение имеет вид:

,V-тУае /и/

о о

Для вязкоупругого основания выражение /\"3/ зависит от вида вязкоупругих операторов > М5 и может быть получено при решении конкретной задачи. Для определений

и, К ЫГ и деформации ££ > У1 ^ точек плоскости Ж*0 имеем граничные условия /5/, /6/ а /10/, которые после подстановки в них выражений /8/ даст обиие уравнения продольно-поперечных коле<5аний вязкоупругой пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью.

содержащие производные любого порядка от искомых функций по координатам и времени.

Для решения практических задач эти общие уравнения мало пригодны я поэтому для их решения необходимо использовать приближенные уравнения конечного порядка по производным, получаемые из общих при ограничении числа слагаемых в выражения* /8/.

Например, если за основную искомую величину, характеризующую колебание пластинки постоянной толщины, принять функ-

ь г(4>

цив поперечного смещения Щ точек плоскости ¿?*0 пластинки, то, ограничиваясь в общих уравненнях производными не выше 8-го порядка, для получим приближенное

интегродифференциальное уравнение

-Ф

где операторы

равны

Г /з 6 (I Л3 /16/

¡ЩИг

" 12 ~ г а

•{р.ЧЧ"^1)^"1)®)^)«}

и содержат параметры пластины, верхнего слоя я основания. Оператор 3 ь олучае вязкоупругого основания я пластины

■б.И^«,) м

а значение определяется законои отпора /11/. В случае

упругого основания н упругой пластинки оператор Б равен

л*

Приближенное уравнение /15/ о предельных случаях переходит в известные классические с уточненные уравнения поперечного колебания пластин

' Во второй главе решаются некоторые практические задачи. В § 1 исследуются частоты собственных колебаний прямоугольной пластинки, Находящейся под поверхность!} толщшой , шоюцую геометрические размеры в плане о^ , "и упруго закрепленнув по краям, иетодоы декошозшцш. Материал пластинки вязкоупругиЗ и удовлетворяет модели Максвелла, а материал верхнего слоя в основания упругий. Для решения задачи используется уравнение четвертого порядка /15/, когда правая часть равна нулю. Решение ищется в виде

/19/

где £ - безразмерная, в общем случае комплексная частота. Тогда краевая задача имеет вид

+ 'ц) з 5'53 А в*

х.о.сс■(,; ^о;

<7 <7/ /21/

Краевая задача решается методом декомпозиции. Введем обозначе-

я™ # = V-

Тогда краевая задача /20/ н /21/ преобразуется к виду (Ты ~ ^ ¿-■а; . (/-(,),а . „•,„

. и-4.)дф-о; Г-о

/23/

В соответствии с методом декомпозиции сформулируем три вспомогательные задачи:

г(в4 Ц гр' )

Условия iГ(,>я V'u*f /2П/ будем выполнять приближен-

но. Функции {(°(и,/>) разложим в ряды Фурье:

.fj^a^ iuil<u)tUOnfi) /28/

Of

где ййл - неизвестные постоянные, аппроксимирующие неизвестные функции метода декомпозиция. Тогда вспомогательные задачи /24/ - /26/ принимают вид

чм(мр

В соответствии /27/ положим

Из решения краевых задач /29/ - /31/ с учетом условия /32/, получим частотное уравнение собственных колебания

Когда пластинка закреплена шарнирно по контуру (¿¿=1) . метод позволяет определить чаототы для всех гармоник по координатам, а для упругого и жеоткого закрепления - лишь для

первых гармоник.

Частотное уравнение /33/ решалось численно на ЭВМ. На

007 m

5C5 ом ces

ом ool

О ti

(J 'S' 10 ривия изменения в завиоиыооти от

у

—

/

/

у- 1 — —

Ч

— -- —

V

< 2 S í Ь * 9 в » ю

Кривые изменения в зависимости от J

рио.1 показаны кривые изменения частот основного тона колебаний в зависимости от параметров

В §2 решается задача о колебаниях бесконечной пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, под действием нормальной нагрузки, приложенной к ынешней поверхности 3* > Задача сводится к решению приблиаенного уравнения для поперечного смещения точек срединной плоскости пластинки, находящейся под поверхностью.

МЮ (Ю+4*

' Ф(*.%О

Считая нагрузку четной по ) , поперочное

смещенио (^? ищется в виде интегралов Фурье.

%и)* /35/

Подставляя /35/ в уравнение /34/, получим обыкновенное дифференциальное уравнение

ЮС** 4 ф"Фг) Ш

Решение уравнения /36/ будем искать в виде

и для £ из уравнения /36/ получим частотное уравнение

+ $ «о /38/

которое полностью совпадает с уравнением /33/ в случае шарнирного закрепления.

Представляя решение уравнения /36/ в виде

\С- чр К"" /39/

и удовлетворяя нулевым начальным условиям, т.о.

МП АС о /.10/

получим для выражение

С- i 1 ФД» е '''"'^.ЧМ'ф

+tea[MhOliJrt Wiiï)**"'"'*

< fol

Еоли нормальная нагрузка задана в виде

где ОТ» - константа размерности напряжения;

- дельта-пункция Дирака, тогда решение задачи запиаотся в вида

* + |)]J JiJf /W ■

,B §3 аналитически я численно решается задача а воздействии подвижной нагрузки на пластинку под поверхностью. Строится общее решение и вычисляются корни характеристического уравношш, позволявшие строить решение задачи при условиях затухания ira бесконечности,

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДУ 1. ИсаользускнЗ математически!! подход к исследования колебания изотропной плзкоупругой пластинки постоянно;! толпп-

щшш, находящейся под поверхностью, в отрогой трехмерной постановке позволяет выводить общие и основанные на них приОли- . хенные уравнения колебания пластин.

2. Этот подход позволяет получать формулы для расчета перемещений и напряжений, описывающих напряженно-деформированные оостояния точек пластинки, через искомые функции,

3. В работе выведены приближенные интегрально-дифференциальные уравнения колебания пластинки, находящейся под поверхностью, близкие к классическим, т.е. четвертого порядка по производным о соответствующим законом отпора - четырех-параметрическим.

4. Полученные общие и приближенные уравнения в явном виде оодержат «сак вязкоупругие операторы, описывающие поведение материала пластинки, верхнего слоя и основания, так и внешние и внутренние усилия, вызывающие колебания пластинки.

б. Полученные приближенные уравнения в предельных случаях переходят в пзвеотные классические уравнения поперечного колебания пластин.

6. Строгий математический подход к исследованию колебаний пластинки, находящейся под поверхностью, показал, что закон отпора пропорционален скорости поперечных смещений точек плоокости $-о и что гипотеза Винклора не подтвервда-ется, т.е. основание влияет не как прушша, а как амортизатор.

7. При решении частных практических задач показано, что:

- полученные методом декомпозиции формулы для определения значений чаотот свободных поперечных колебаний пластинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью, удобны для практического использования;

- полученное аналитическое решение задачи о воздействии

нормальной нагрузки на поверхность плаотинки постоянной толщины, находящейся под поверхностью в виде сходящихся несобственных интегралов, удобно для численной реализации на ЭШ;

- полученное аналитическое решение задачи при воздействии подвижной нагрузки па поверхность пластинки, находящейся под поверхностью, позволяет рассчитать прогиб плаотинки в зависимости от геометрических и механических характеристик материала пластинки, верхнего слоя и основания.

Основиоэ содержание работы опубликовано в следующих статьях:

1. Филиппов И.Г., Джанмуддавв Б.Д. Колебание пластинки, находящейся под поверхностью. - Деп. в БНИИНТПИ. 15.04.92,, й 11206.

3. Даагшулдаев Б.Д., Досжаноз M.S. Расчет частот собственных колебаний прямоугольной пластинки, находящейся под поверхностью, мотЬдом декомпозиции. - Деп. з ЕНИЖПШ, 2.02.93. - . й 11307.

3. Филиппов И.Г., Джаикуддаев Б.Д., Егорычев 0.0., Скроп-шш O.A., Филиппов С.И. Теория динамического поведения плоских элементов строительных конструкций. // Тезисы докл. II Российско-Польского семинара "Теоретические основы строительства".-Москва, май 1993 г.

Подписано в печать I.I0.93 Формат 60x84 /16 Почать офс.

И-245 Обгем I уч.-иэд.я. Т.100 Заказ ¿Я7 Бесплатно

Типография МТС/ •