Коллективные электронные явления в графене тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт спектроскопии РАН

На правах рукописи

094603837

СОКОЛИК Алексей Алексеевич

КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ГРАФЕНЕ

специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Троицк - 2010 г.

1 о ИЮН 2010

004603837

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте спектроскопии РАН

Научный руководитель : заведующий лабораторией, профессор

Юрий Ефремович Лозовик

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Александр Федорович Барабанов (Учреждение Российской Академии наук Институт физики высоких давлений им. Ф.Л. Верещагина РАН)

кандидат физико-математических наук, доцент Александр Михайлович Федотов (Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»)

Ведущая организация: Московский институт стали и сплавов

(Национальный исследовательский технологический университет)

Защита состоится « 10 » июня 2010 г. в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.014.01 при Учреждении Российской Академии наук Институте спектроскопии РАН по адресу: 142190 Московская обл., г. Троицк, ул. Физическая, д. 5, Институт спектроскопии РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института спектроскопии РАН.

Автореферат разослан «_7_» мая 2010 г. Ученый секретарь

Диссертационного совета, профессор, доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Графен представляет собой двумерную структуру, составленную из атомов углерода, которые расположены в узлах кристаллической решетки типа «пчелиные соты». Наиболее распространенная форма углерода — графит — может рассматриваться как стопка листов графена, относительно слабо связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса. Один из валентных электронов углерода, не участвующий в образовании ковалентных связей с соседними атомами, заселяет орбиталь 2pz и отвечает за низкоэнергетичсскис электронные свойства графена.

В первых теоретических работах, посвященных исследованию электронных свойств графита, было показано, что валентная зона и зона проводимости графена касаются в двух неэквивалентных точках первой зоны Бриллюэна1, причем в окрестности этих точек дисперсия электронов является линейной. Более того, огибающая волновой функции электрона в графене является четырехкомпонентной (компоненты соответствуют бло-ховским волнам, локализованным на двух треугольных подрешетках кристаллической решетки графена и двум долинам — окрестностям точек касания зон) и подчиняется уравнению, имеющему вид двумерного уравнения Дирака для безмассовых частиц2, в котором роль скорости света играет приблизительно в 300 раз меньшая фермиевская скорость.

Слабое сцепление и относительная независимость слоев графена в кристалле графита уже давно наталкивали исследователей на мысль о том, что графен может быть получен как изолированная двумерная мембрана толщиной в один атом. Связанные с этим технические трудности были преодолены группой К.С. Новоселова и А.К. Гейма в 2004 г., когда методом микромеханичсского расщепления графита были получены первые образцы графена3,4. При помощи затворных электродов оказалось возможным регулировать тип (электроны или дырки) и концентрацию носителей заряда в графене от нуля до значений порядка 1013см-2. Экспериментальные исследования графена, в частности, изучение осцилляций Шубникова-де

'P.R. Wallace, Phys. Rev. 71, 622 (1947).

2G.W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 53, 2449 (1984).

3K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al., Science 306, 666 (2004).

4K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov et al., Nature 438, 197 (2005).

Гааза и квантового эффекта Холла4, полностью подтвердили теоретические предположения об эффективно безмассовых электронах в графене.

Графен как двумерный материал атомарной толщины представляет интерес с точки зрения разнообразных приложений5, среди которых особо стоит отметить возможность использования его для создания наноэлек-тронных устройств. Эта возможность является особенно привлекательной ввиду того, что подвижность носителей заряда в чистых образцах графе-на достигает рекордных значений6, открывая путь к принципиально новой баллистической электронике.

Интерес к исследованию графена с фундаментальной точки зрения вызван возможностью изучать поведение безмассовых заряженных частиц, и особенно их коллективное поведение, «на лабораторном столе». Эффективно ультрарелятивистская динамика электронов в графене приводит к ряду электронных явлений, не имеющих аналогов в других физических системах7 (например, полуцелый квантовый эффект Холла, абсолютная прозрачность потенциальных барьеров при нормальном падении, слабая антилокализация и т.п.).

Особенности коллективных электронных явлений в графене непосредственно вытекают из особенностей эффективно релятивистской одноча-стичной динамики электронов, таких как: а) линейная дисперсия энергии электронов; б) близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости; в) спинорная природа эффективной волновой функции; г) заселение электронами двух долин в окрестностях дираков-ских точек. На проявления этих особенностей в коллективных явлениях в диссертационной работе обращается особенное внимание.

Одним из следствий линейной дисперсии электронов является то, что параметр rs, характеризующий отношение характерных величин кулонов-ской и кинетической энергий квантовой системы (и являющийся аналогом постоянной тонкой структуры), в случае графена не зависит от концентрации электронного газа, а определяется только диэлектрической проницаемостью окружающей графен среды. Кроме того, во внешнем магнитном поле отношение характерного энергетического масштаба кулоновского взаимодействия в электронном газе в графене к расстоянию между уровнями

5А.К. Geim, К.S. Novoselov, Nature Materials 6, 183 (2007).

6S.V. Morozov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson et al., Phys. Rev. Lett. 100, 016602 (2008).

7A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres et al., Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

Ландау не зависит от напряженности поля, в противоположность металлам и полупроводникам, в которых расстояние между уровнями Ландау всегда доминирует в достаточно сильных полях.

Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости может проявляться в ряде электронных явлений, в которых обе зоны участвуют одновременно, таких как, например, логарифмическая перенормировка фер-миевской скорости8, возможный переход графеиа в состояние экситонного диэлектрика9, межзонные одночастичные возбуждения10'11 и рассмотренное в диссертационной работе многозонное спаривание.

Спинорная природа эффективной волновой функции неразрывно связана с сосуществованием валентной зоны и зоны проводимости: состояния электрона в этих зонах отличаются друг от друга лишь различными соотношениями амплитуд спинорлых компонент. Одним из проявлений спи-норной природы является наличие у электронов фазы Берри я" при обходе вокруг дираковской точки в импульсном пространстве4,12.

Заселение электронами двух долин является аналогом киралыюсти безмассовых частиц — состояниям электронов в разных долинах соответствуют противоположные значения киралыюсти. Дополнительная долинная степень свободы электронов может проявляться в ряде эффектов; в контексте данной работы наибольший интерес среди них представляет возможность образования параметров порядка с различными долинными структурами при спаривании в графене13.

Большое внимание в диссертационной работе уделено коллективным явлениям в бислое графеиа — системе, состоящей из двух параллельных слоев графена, разделенных диэлектриком. Пространственное разделение слоев графена допускает существование долгоживущих пар, состоящих из электронов и дырок, находящихся в разных слоях. В таком электрон-дырочном бислое можно ожидать появления различных сильно коррелированных фаз благодаря кулоновскому притяжению электронов и дырок. Бислой графена может оказаться более подходящей системой для изучения коллективных явлений, чем связанные полупроводниковые квантовые ямы, благода-

8J. González, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano, Nucí. Phys. В 424, 595 (1994).

9D.V. Khveshchenko, Phys. Rev. Lett. 87, 246802 (2001).

10B. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, F. Guinea, New J. Phys. 8, 318 (2006).

UE.H. Hwang, S. Das Sarma, Phys. Rev. В 75, 205418 (2007).

I2T. Ando, T. Nakanishi, R. Saito, J. Phys. Soc. Japan 67, 2857 (1998).

13I.L. Aleiner, D.E. Kharzeev, A.M. Tsvelik, Phys. Rev. В 76, 195415 (2007).

ря атомарной толщине слоев графена, позволяющей сблизить электроны и дырки на очень малые расстояния. В образцах бислоя графена, которые были изготовлены и изучены в недавних экспериментах14'15, расстояние между слоями составляет несколько ангстрем.

Итак, изучение коллективных электронных явлений в графене предоставляет уникальную возможность для исследования поведения безмассовых заряженных частиц в двумерной твердотельной системе. Необычные электронные свойства графена позволяют надеяться на возможность достижения новых режимов поведения квантовых систем в наноструктурах на его основе, а привлекательность графена для различных нанотсхнологи-ческих приложений делает возможным создание на его базе принципиально новых наноэлектронных, наномеханических и нанохимических устройств. Ряд электронных явлений, возможных в графене, имеет аналоги в релятивистской физике элементарных частиц и кварковой материи. Таким образом, можно сказать, что исследования графена находятся на стыке физики конденсированных сред и физики высоких энергий.

Цель диссертационной работы:

• Теоретическое исследование свойств пространственно непрямых маг-нитоэкситонов в бислое графена, помещенном в магнитное поле.

• Изучение конденсации пространственно разделенных электрон-дырочных пар в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Оценка величины щели в спектре и температуры перехода в сверхтекучее состояние.

• Исследование возможного сверхпроводящего спаривания электронов в графене, индуцированного различными фононными модами, в том числе изгибными модами.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

• вычислены дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкситонов в графене и энергии испускаемых при их рекомбинации фотонов;

14Н. Schmidt, Т. Lüdtke, Р. Barthold, et al., Appl. Phys. Lett. 93, 172108 (2008).

15H. Schmidt, Т. Lüdtke, P. Barthold, R.J. Haug, Phys. Rev. В 81, 121403(R) (2010).

• исследовано однозонное электрон-дырочное спаривание в бислое гра-фена в режиме слабой связи;

• показано, что при увеличении силы связи в бислое графена отсутствует переход к газу локальных пар, вместо которого происходит переход к многозонному спариванию;

• получены оценки величины щели в спектре бислоя графена в режиме сильной связи с учетом динамического экранирования потенциала спаривания;

• исследовано сверхпроводящее спаривание электронов в графене, обусловленное плоскими оптическими и изгибпыми фононами; найден ряд его особенностей, связанных с зависимостью индуцированного фононами эффективного электрон-электронного взаимодействия от долинной структуры параметра порядка и с необычной пространственно-спиновой симметрией параметра порядка;

• исследовано квадратичное взаимодействие электронов с акустической и оптической модами изгибных фононов в графене с учетом вкладов деформационного потенциала и растяжения валентных связей в гамильтониан взаимодействия.

Практическая значимость работы. Найденные в работе характеристики магнитоэкситонов в графене, а также энергии фотонов, испускаемых при их рекомбинации, могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными спектроскопическими методами. Магнитоэкситон-ная спектроскопия графена может дать ценные сведения о коллективном поведении бсзмассовых заряженных фермионов в сильных магнитных полях. Также изучение свойств магнитоэкситонов в графене может оказаться полезным для подбора оптимальных условий эксперимента по осуществлению их бозе-эйнштейновской конденсации.

Предсказанное в работе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально. На основе двухслойных графеновых структур со сверхтекучим конденсатом электрон-дырочных пар могут быть сконструированы различные наноэлектронные устройства.

Фононнос спаривание электронов в графене может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов. Изучение взаимодействия электронов в графене с изгибными фононами позволяет достичь лучшего понимания вопросов, связанных с механической устойчивостью графена, образованием «рипплов» на его поверхности и их влиянием на электронные свойства графена.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Вычислены дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкситонов и энергии рекомбинационных фотонов. Обоснована применимость теории возмущений для кулоновского взаимодействия в сильном магнитном поле.

2. Обнаружено, что при спаривании электронов и дырок в бислое графена (равно как и при электрон-электронном спаривании в одном листе графена) отсутствует кроссовер к газу локальных пар по мере увеличения силы связи. Вместо этого происходит переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному спариванию, охватывающему как зону проводимости, так и валентную зону спаривающихся частиц.

3. Показано, что величина и знак эффективного электрон-электронного взаимодействия, возникающего в результате обмена фононами в графене, определяются симметрией данной фононной моды и структурой параметра порядка в пространстве долинной степени свободы.

4. Детально исследовано квадратичное взаимодействие электронов с изгибными фононами в графене, разрешенное по подрешеткам и долинам электронов.

Апробация результатов. Результаты, представленные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах лаборатории спектроскопии наноструктур Института спектроскопии РАН. Ряд результатов был доложен на научных сессиях, конкурсах научных работ, российских и международных конференциях:

• Научная сессия Отделения физических наук Российской Академии наук, Москва, 27 февраля 2007 г.

• International Conference on Theoretical Physics «DUBNA-NAN02008», Dubna, 7-11 July 2008.

• 51-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва-Долгопрудный, 27-30 ноября 2008 г.

• Конкурс работ молодых научных работников, аспирантов и инженеров памяти академика А.П. Александрова, Троицк, 24 февраля 2009 г.

• 52-я научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва-Долгопрудный, 27-30 ноября 2009 г.

• Конкурс работ молодых научных работников, аспирантов и инженеров памяти академика А.П. Александрова, Троицк, 1 марта 2010 г.

Вклад автора. Все представленные в диссертации теоретические результаты были получены автором лично, за исключением аналитического решения многозонных уравнений Элиашберга, описывающих спаривание электронов в графене под действием оптических фононов (1-й раздел третьей главы диссертации), которое было получено в сотрудничестве с аспирантом МИФИ СЛ. Огарковым.

Публикации по теме работы. Представленные в диссертационной работе результаты опубликованы в 8 статьях в ведущих российских и зарубежных рецензируемых журналах. Также по теме диссертации опубликованы 3 печатные работы в трудах научных конференций. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Материал диссертации изложен на 168 страницах машинописного текста и содержит 38 рисунков. Библиография включает 212 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводится обоснование актуальности темы исследований и дается краткий обзор недавних работ, тематика которых примыкает к теме диссертации. Излагается краткое содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются свойства магнитоэкситонов в гра-фсне и пространственно непрямых магнитоэкситонов в бислое графена в сильном магнитном поле. Магнитоэкситоп — это связанное состояние электрона и дырки в магнитном поле, которое может быть описано при помощи выделения магнитного импульса электрон-дырочной пары Р, играющего роль импульса центра масс. При этом связь между движением магнитоэкситона как целого и его внутренней структурой выражается в дисперсионной зависимости энергии магнитоэкситона от его магнитоного импульса. Магнитоэкситоны могут образовывать разреженный слабонеиде-альный бозе-газ, в котором при низких температурах будут происходить бозе-эйнштейновская конденсация и переход в сверхтекучее состояние16.

Как известно, дисперсионные зависимости магнитоэкситонов и магнито-плазмонов могут быть найдены из полюсов электрон-дырочной вершинной части, вычисляемой в обобщенном приближении хаотических фаз17. В диссертации этот подход распространен на случай графена, где функции Грина электронов и вершинные части являются многокомпонентными, а также на случай бислоя графена. Показано, что при целочисленном заполнении уровней Ландау уравнение для вершинной части в бислое графена разделяются на три канала, соответствующие: а) прямым магнитоэкситонам, электрон и дырка которых находятся в одном слое графена, б) пространственно непрямым магнитоэкситонам, электрон и дырка которых расположены в разных слоях, в) магнитоплазмонам, охватывающим сразу оба слоя.

В металлах и полупроводниках в достаточно сильных магнитных полях энергия кулоновского взаимодействия является слабым возмущением по сравнению с расстоянием между уровнями Ландау18. В графене энергии уровней Ландау равны19 = (hvp/ln) sgn(n)^2|n|, n = 0, ±1, ±2,..., где Uf ~ 10 м/с — фермиевская скорость, 1Н = фгс/еН — магнитная длина. Отношение характерной величины кулоновской энергии е2 /elя (е — диэлектрическая проницаемость окружающей среды) к расстоянию между уровнями Ландау не зависит от напряженности магнитного поля; кроме того, сами уровни Ландау располагаются неэквидистантно и сгущаются

,6O.L. Berman, Yu.E. Lozovik, G. Gumbs, Phys. Rev. В 77, 155433 (2008).

17C. Kallin, B.I. Halperin, Phys. Rev. В 30, 5655 (1984).

18И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик, ЖЭТФ 78, 1167 (1980).

19F.D.M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 61, 2015 (1988).

при удалении от дираковской точки. Эти обстоятельства ставят под вопрос применимость теории возмущений для кулоновского взаимодействия в графепе в сильном магнитном поле. Однако, для определения характеристик пространственно непрямых магнитоэкситонов существенным является мсжслойное электрон-дырочное взаимодействие с характерной величиной е2/е£), где О — расстояние между слоями графена. В сильном магнитном поле, когда 1н Б, взаимодействие будет являться слабым возмущением по сравнению с расстоянием между уровнями Ландау. На основе этого соображения проведены дальнейшие расчеты.

В симметричной калибровке векторного потенциала А = х г] найдены четырехкомпонентные волновые функции пространственно непрямых магнитоэкситонов Ф„1П2(г), где п\ и — уровни Ландау, на которых располагаются электрон и дырка. Дисперсионные зависимости

г -е2

АЕП1П2{Р)= /А-Ф+ (Г)Ф

ГЧП2\1 ) Г/-Тп~г--ТГ^

£у (г + /я[е2 х Р]) + И и параметры их разложения при малых магнитных импульсах,

АЕП1П2(Р) и -Ж„1П2 +

(энергия

связи и эффективная масса А/7цП2) вычислены в первом

порядке теории возмущения по кулоновскому взаимодействию при различных £).

В приближении Хартри-Фока вычислена энергия фотона, испускаемого при рекомбинации магнитоэкситона, которая равна

Еу = Е\ - - еУг + еУ2 + Е^ + + АЕЩП2(АР).

Она складывается из энергии перехода п2 —+ щ между уровнями Ландау (первая пара слагаемых), из прямых кулоновских энергий электрона и дырки (вторая пара слагаемых, в которых и У2 — электрические потенциалы слоев электрона и дырки) и их обменных собственных энергий (третья пара слагаемых), а также из энергии электрон-дырочного взаимодействия ДЕ„1П2. Законы сохранения энергии и импульса обеспечивают возможность рекомбинации магнитоэкситонов лишь с Р ~ 0; однако, дополнительное магнитное поле Щ, параллельное плоскости слоев графена,

V

а

D

-v.:

L

электрод

-fe-

графен , ,

I I диэлектрик ^рафен-^-

электрод

Рис. 1. Схема реализации спаривания пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена. Справа показаны уровни химических потенциалов /х и —ц в верхнем и нижнем слоях графена, устанавливаемые затворными напряжениями и —V, соответственно.

приводит к эффективному сдвигу дисперсионной зависимости на величину АР = eDH\\/2c и позволяет «сканировать» ее в экспериментах20.

Особенности графена при рассмотрении свойств магнитоэкситонов проявляются в том, что: а) из-за спинорного характера волновой функции электронов волновая функция внутреннего движения магнитоэкситонов является многокомпонентной; б) обменное кулоновское взаимодействие электрона и дырки с заполненной валентной зоной дает существенный вклад в энергию магнитоэкситона; в) линейная дисперсия приводит к тому, что смешиванием различных уровней Ландау (а следовательно — и различных состояний магнитоэкситона) в сильном магнитном поле можно пренебречь только в случае пространственно непрямых магнитоэкситонов. Результаты, представленные в первой главе, опубликованы в статьях [2, 3].

Во второй главе изложены результаты исследования электрон-дырочного спаривания в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Один из возможных вариантов реализации бислоя графена изображен на Рис. 1. В таком варианте два затворных электрода позволяют независимо управлять концентрацией и типом носителей в каждом из двух слоев графена (Рис. 1). Если установить в них равные концентрации электронов и дырок, то из-за совпадения их поверхностей Ферми и кулоновского притяжения между ними система окажется неустойчивой по отношению к спариванию 20L.V. Butov, C.W. Lai, D.S. Chemlä et al., Phys. Rev. Lett. 87, 216804 (2001).

электронов и дырок с противоположными импульсами, которое сопровождается возникновением щели в спектре возбуждений и похоже на спаривание в сверхпроводниках21, экситонном диэлектрике22 и связанных полупроводниковых квантовых ямах23. Такая система может демонстрировать сверхтекучие свойства, связанные с появлением незатухающих токов, движущихся в противоположных направлениях по разным листам графена, и эффекты, подобные эффекту Джозефсона24.

В результате анализа свойств экранированного электрон-дырочного взаимодействия, обеспечивающего спаривание, показано, что безразмерными управляющими параметрами системы являются rs = е2/еНьр « 2.19/е и ppD/h, где рр = ц/vp — импульс Ферми. Если rs <С 1 или ppD/h 1, то осуществляется режим слабой связи, при котором притяжение между электронами и дырками является слабым, и основное состояние системы аналогично обычному состоянию типа БКШ. Однако, экспериментально достижим и противоположный режим сильной связи; если ppD/fi <С 1, то сила связи определяется параметром rs и не зависит от концентрации электронов и дырок (что резко контрастирует с ситуацией в обычных системах с нерелятивистским спектром, где rs растет при снижении концентрации25).

В обычных системах спаривающихся фермионов при увеличении силы связи происходит плавный переход от состояния типа БКШ к бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) в газе локальных пар, носящий название кроссовера БКШ-БЭК26. В графене же, как показано в диссертационной работе, невозможно образование локализованных пар вследствие отсутствия щели в спектре, что приводит к отсутствию кроссовера БКШ-БЭК. Вместо него при увеличении силы связи происходит переход состояния типа БКШ в ультрарелятивистское состояние типа БКШ, при котором, как и в обычном состоянии типа БКШ, существуют парные корреляции в движении электронов и дырок с противоположными импульсами, но вместе с тем существенную роль играет эффективно ультрарелятивистская динамика спаривающихся частиц. Похожие состояния могут возникать при

21 J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957).

22Л.В. Келдыш, Ю.В. Копаев, Физика твердого тела 6, 2791 (1964).

23Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон, Письма в ЖЭТФ 22, 556 (1975).

24Yu.E. Lozovik, A.V. Poushnov, Phys. Lett. A 228, 399 (1997).

25G.D. Mahan, Many-particle physics, Plenum Press, New York, 1990.

26P. Noziferes, S. Schmitt-Rink, J. Low Temp. Phys. 59, 195 (1985).

(а) (б)

Рис. 2. Однозонный (а) и многозонный (б) режимы спаривания в бислое графена. Штриховкой указана область импульсного пространстве, охватываемая спариванием; f7172 — компоненты матричного по зонам параметра порядка.

«цветной» сверхпроводимости в плотной кварковой материи27.

При слабой связи спаривание охватывает лишь небольшие окрестности поверхностей Ферми электронов и дырок (Рис. 2(a)), но при сильной связи спаривание захватывает и удаленные от поверхностей Ферми зоны: валентную зону электронного слоя и зону проводимости дырочного слоя (Рис. 2(6)). Параметр порядка (т.е. аномальная функция Грина F7l72) и щель (аномальная собственно-энергетическая часть Д7172) становятся матрицами (2x2), индексы которых 71,72 = ±1 соответствуют зоне проводимости и валентной зоне в электронном и дырочном слоях.

Многозонный режим спаривания был исследован в работе при помощи диаграммной техники, специально модифицированной для этой цели. Вводя матричные по индексам зон функции Грина и формулируя фейнма-новские правила для них, можно последовательно изучать все явления в графене, затрагивающие сразу обе зоны. Следует отметить, что при такой формулировке диаграммной техники вершинам кулоновского взаимодействия ставятся в соответствие угловые факторы, зависящие от направлений импульса и зон электрона до и после акта взаимодействия. При помощи многозонной диаграммной техники были получены уравнения Горь-кова, описывающие спаривание в приближении среднего поля и имеющие матричный характер.

27M.G. Alford, А. Schmitt, R. Rajagopal, Т. Schäfer, Rev. Mod. Phys. 80, 1455 (2008).

Дополнительное рассмотрение неустойчивости нсспаренного состояния при температурах ниже критической показало, что описывающее этот процесс многокомпонентное уравнение Бстс-Солпитсра распадается на внут-ризонный и межзонный каналы, соответствующие взаимно конкурирующим диагональному и антидиагональному по зонам спариванию. Неустойчивость во втором канале возникает только при превышении константой связи довольно большого порогового значения, в то время как в первом канале отсутствует порог для силы связи. Следовательно, рсализовываться будет спаривание, диагональное по зонам, при котором отличны от нуля

компоненты матричной щели Д++ и Д__, соответствующие щелям в зоне

проводимости и в валентной зоне (аналогично, отличны от нуля только

компоненты и ^__параметра порядка, изображенные на Рис. 2(6)).

При я-волновом спаривании две щели подчиняются следующей системе уравнений самосогласования:

Д77(р, г£п) = 1 + 7/РР' П Р - Р'> «£п ~ х

Ауу(р1ек)

(£>г — £к)2 + 1£к) '

где введены мацубаровские фермионные частоты еп = тгТ(2п + 1) и энергии боголюбовских возбуждений р,ге„) = ^(71>р|р| — м)2 + ДууСР) ¿£п)'> ш) есть динамически экранированное межслойное электрон-дырочное взаимодействие, а стоящий перед ним угловой фактор возникает в результате свертки по компонентам спинорных волновых функций электронов и зависит от направления импульса р = р/|р|. Структура уравнений (1) детально проанализирована в диссертационной работе.

Было получено приближенное решение системы (1) в статическом приближении, при котором пренебрегается зависимостью щелей и потенциала взаимодействия от частот, но при этом считается (в духе теории БКШ), что спаривание происходит в точках импульсного пространства, удаленных не более чем на некоторую энергетическую ширину и> от поверхности Ферми (см. Рис. 2). Если спаривание является однозонным (т.е. ш < /л), то для величины щели справедлива оценка типа БКШ:

Д++«2«;ехр{-^}, Д— = 0, (2)

где Л — безразмерная константа притяжения на поверхности Ферми. В том же случае, когда спаривание является многозонным (ги > ц), имеем

где константа притяжения Л немного изменяется по сравнению с А за счет влияния валентной зоны. Как видно, оценочное выражение для щели при многозонном спаривании (3) качественно отличается от однозонного выражения (2) тем, что ширина слоя спаривания w входит в показатель экспоненты, а не в предэкспоненциальный множитель. За счет этого щель может быть значительной при большой ширине зоны спаривания в импульсном пространстве (этот факт был отмечен и ранее при рассмотрении в рамках более грубых моделей28,29). Кроме того, были получены решения системы уравнений для щелей (1) в статическом приближении с заменой потенциала спаривания на его сепарабельиую часть, которые также указали на возможность достижения значительной величины щели в многозонном режиме.

Проделанное в диссертационной работе приближенное определение области частот, в которой экранированное взаимодействие V(q, и>) является притягивающим, может дать только порядок величины и>. Поэтому далее в работе было предпринята попытка получения более точных оценок величины щели, основывающихся на решении уравнений, подобных уравнениям Элиашберга и получающихся из (1). В отличие от усреднения уравнений по импульсу, используемого в подходе Элиашберга30, в данном случае более оправданным является переход к уравнениям на «массовой поверхности», в которых частота полагается равной энергии боголюбовских возбуждений. При помощи спектрального представления взаимодействие V(q,w), найденное в приближении хаотических фаз10,11, было разложено на неэкра-нированное кулоновское взаимодействие vq = 27re2/e|q|, отталкивающий вклад виртуальных плазмонов с частотой ui+(q) и спектральным весом A(q), соответствующих верхней ветви незатухающих плазменных колебаний в системе, и отталкивающий вклад затухающих плазмонов и континуума одночастичных возбуждений. Эти три вклада разделяются в явном

28Т. Ohsaku, Int. J. Mod. Phys. В 18, 1771 (2004).

29N.B. Kopnin, E.B. Sonin, Phys. Rev. Lett. 100, 246808 (2008).

30Г. M. Элиашберг, ЖЭТФ 38, 966 (1960).

(3)

г ' в

Рис. 3. Щель на поверхности Ферми А как функция параметра силы связи г„, вычисленная с учетом различных вкладов в эффективное взаимодействие на массовой поверхности. Сплошная линия: полное взаимодействие, штрих-пунктир: учет только неэкранированного кулоновского взаимодействия, пунктир: неэкранированное кулонов-ское взаимодействие и вклад незатухающих плазмонов, штриховая линия: статически экранированное взаимодействие.

виде в ядре результирующего уравнения для оценки щели:

1 = 1 У [ (1р А^ ( 2Л(р - рР)

2 \ 1 (2тг)2 2Е7(р) ВД + ы+(р - рР) +

9 °° Ни 1

+;/1„Г(р-рр,,)зщтт;} (4)

(здесь 1т и) < 0, что соответствует эффективному отталкиванию из-за затухающих плазмонов и континуума одночастичных возбуждений).

Численное решение уравнения (4) с использованием пробной функции для щели Дгг(р) на массовой поверхности, спадающей на характерных масштабах р ~ рр, показало, что существует серьезная конкуренция между прямым электрон-дырочным притяжением и эффективным отталкивани-

см из-за плазмоиов и одночастичных возбуждений. Учет динамического экранирования дает оценки величины щели в спектре системы (Рис. 3) на несколько порядков меньшие, чем вообще без учета экранирования31,32, но в то же время на несколько порядков превышающие оценки типа БКШ33,34, сделанные с использованием статически экранированного взаимодействия. Полученные в диссертационной работе оценки максимальной величины критической температуры перехода в сверхтекучее состояние составляют порядка нескольких градусов Кельвина.

Стоит отметить также некоторые особенности сверхтекучих свойств системы при многозонном спаривании. Во-первых, относительная фаза щелей в зоне проводимости Д++ и в валентной зоне Д__фиксирована из-за

межзонных переходов (слагаемые с 7 ^ 7' в (1)). Однако при уменьшении силы связи связи эта фиксация ослабевает, приводя к возможности образования солитоноподобных возбуждений, связанных с колебаниями относительной фазы24. Во-вторых, структура параметра порядка по спинам и долинам никак не фиксирована (в отсутствие спиновых или долинных анизотропий13) и задается матрицей Р типа 5(/(4), которая может плавно меняться в пространстве. Это приводит к возможности образования, в дополнение к обычным вихрям и полувихрям13, четверть-вихрей вида

0 0 0\

0 1 0 0

0 0 1 0

I 0 0 0 4

где S — произвольная плавно меняющаяся в пространстве унитарная матрица, iß — угол, отсчитываемый от центра четверть-вихря. Такие четверть-вихри имеют 16 раз меньшую энергию, чем обычные вихри. В результате температура перехода Костерлица-Таулеса Ткт в сверхтекучее состояние будет определяться условием диссоциации пар противоположно ориентированных четверть-вихрей:

7Г

2 АэСЛкт) = 16 Ткт,

31Н. Min, R. Bistritzer, J.-J. Su, A.H. MacDonald, Phys. Rev. В 78, 121401(R) (2008).

32C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar, Phys. Rev. В 77, 233405 (2008).

33M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov, Phys. Rev. В 78, 241401(R) (2008).

34M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov, Semicond. Sei. Tech. 25, 034004 (2008).

где р8(Т) — фазовая жесткость (или сверхтекучая плотность) конденсата при конечной температуре.

Результаты, представленные во второй главе, опубликованы в статьях [1-5, 8].

В третьей главе рассмотрено сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством различных фононных мод. В графене возможны плоские фононы, соответствующие колебаниям атомов в плоскости гра-фена, а также изгибпые фононы, соответствующих изгибу листа графена (если графен свободно подвешен). Среди плоских фононов наиболее сильное взаимодействие с электронами демонстрируют 4 оптические моды, наблюдающиеся в спектрах комбинационного рассеяния35,36. Взаимодействие электронов с изгибными фононами, представленными двумя модами, имеет необычный вид — оно квадратично по операторам фононов37. В работе рассмотрено спаривание электронов в графене посредством.

Спаривание электронов в графене вышеперечисленных б фононных мод описано при помощи диаграммной техники, оперирующей с матричными мацубаровскими функциями Грина £?(р, г) = — (ТФр(т)Фр(0)) (здесь Фр = Фр7° — дираковски сопряженный биспинор). Четырехкомпонентные операторы поля

ФР =

Як+р &К+р

v ак'+р }

(5)

составлены из операторов уничтожения электронов а и Ь на подрешетках Л и В решетки графена соответственно в окрестностях двух дираковских точек К и К'. Выражения для гамильтониана электрон-фононного взаимодействия в графене учитывают тот факт, что волновые функции электронов распределены по двум подрешеткам, в то время как разные фононные моды соответствуют различным совместным и относительным колебаниям двух подрешеток. Как следствие, аппарат матричных функций Грина необходим для корректного описания электрон-фононного взаимодействия

35S. Piscanec, M. Lazzeri, F. Mauri et al., Phys. Rev. Lett. 93, 185503 (2004).

36D.M. Basko, I.L. Aleiner, Phys. Rev. B 77, 041409(R) (2008).

37E. Mariani, F. von Oppen, Phys. Rev. Lett. 100, 076801 (2008).

в графене, разрешенного по подрешеткам и долинам электронов.

При помощи техники матричных функций Грина и формализма зарядового сопряжения в диссертационной работе получены матричные уравнения Горькова допускающие, в принципе, различные виды параметра порядка (включая, например, спаривание электронов на узле38, спаривание в модели резонирующих валентных связей39 и т.п.). В данной работе исследовалось такое спаривание, которое диагонально по зонам (и, как в случае электрон-дырочного спаривания в бислое графена, характеризуется двумя щелями — в зоне проводимости и в валентной зоне), но при этом может иметь произвольную структуру вида SU(2) в пространстве долин К и К'. В представлении биспиноров (5) соответствующий параметр порядка имеет вид

-<ТСФ!р(т)ФР(0)> = e¿vT [F+(p,r)P+(p) + F_(p,r)P_(p)], (6)

где С = ¿727° ~~ матрица зарядового сопряжения, V±(p) = (1 ± 7°7р)/2

— операторы проецирования на зону проводимости и валентную зону, Т = {75)7375)^73} " генераторы вращений в пространстве долин. Долинная структура параметризуется в (6) трехмерным вектором v (в частности, спаривание является диагональным по долинам при Vi = V2 = 0 и антидиагональным при Vi = 0).

Решение уравнений Горькова с параметром порядка (6) приводит к системе двух уравнений самосогласования для щелей в зоне проводимости и в валентной зоне, похожей на (1), но с угловыми факторами и эффективным взаимодействием более сложного вида. Путем усреднения этих уравнений по импульсам может быть получена система многозонных уравнений Элиашберга. В диссертационной работе были найдены аналитические решения такой системы в приближении эйнштейновского спектра фононов как в пределе сильного допирования графена, когда спаривание, фактически, существует только в одной из зон, так и при малом допировании

— в квантовой критической точке недопированного графена по константе связи и в ее окрестности.

Важным результатом является то, что вклад каждой фононной моды в эффективное взаимодействие, входящее в уравнения Элиашберга, может

38В. Uchoa, А.Н. Castro Neto, Phys. Rev. Lett. 98, 146801 (2007).

39A.M. Black-Schaffer, S. Doniach, Phys. Rev. В 75, 134512 (2007).

быть как притягивающим, так и отталкивающим — в зависимости от характера симметрии фопонной моды и от долинной структуры V параметра порядка (6). Так, в случае оптических плоских фононов функция Элиаш-берга имеет вид

i*=i

где ¡i нумерует фононные моды с частотами и константами элсктрон-фононного взаимодействия N = [i¡1nv\ — плотность состояний на поверхности Ферми. Угловые факторы для фононных мод симметрий В i, Е2х и Е2у равны, соответственно,

R^v) = I [- cos2 v + (1 - 2v2) sin2 v],

R2(v) = ^ eos2 v+(l- 2v|) sin2 v],

i?3(v) = R4(v) = ^ [- eos2 v + (1 - 2v2) sin2 v].

Каждый из этих угловых факторов, в зависимости от v, может принимать значения в интервале от —1 (что соответствует максимально сильному эффективному отталкиванию) до 1 (что соответствует притяжению). При спаривании структура параметра порядка v будет подстраиваться таким образом, чтобы обеспечить наибольшее значение суммарной по всем модам константы связи. Так, в случае доминирования константы связи, соответствующей вырожденным модам А\ и будет осуществляться спаривание с V = {7г/2, 0,0}, а в случае доминирования мод Е2х и Е2у будет реали-зовываться v = {0, (7г/2) cos</>, (ít/2) sin</?}. Из-за сильной перенормировки эффективных констант связи для первой пары мод под влиянием кулоновского взаимодействия36 результат будет зависеть от диэлектрической проницаемости окружающей графен среды. При сильном химическом допировании графена температура перехода в сверхпроводящее состояние может достигать долей градуса Кельвина.

Квадратичное взаимодействие электронов в графене с изгибными фоно-нами было подробно исследовано в диссертационной работе. Были приняты во внимание два механизма электрон-фононного взаимодействия: 1) через

деформационный потенциал, 2) посредством растяжения валентных связей, приводящего к модуляции интегралов перескока электронов между соседними атомами. Квадратичность электрон-фононного взаимодействия ведет к тому, что при вычислении соответствующего эффективного взаимодействия, входящего в многозонные уравнения Элиашберга, необходимо проводить интегрирование внутри фононной петли по частотам и по импульсам в пределе всей первой зоны Бриллюэна. В отличие от ситуации с плоскими фонолами, где во взаимодействие с электронами, находящимися в окрестностях дираковских точек К и К', вступают лишь фононы с импульсами q О (оставляющие электрон в его долине) или q = ±К (перебрасывающие электрон в противоположную долину), в данном случае изгибные фононы со всеми импульсами дают одинаково существенный вклад в эффективное электрон-электронное взаимодействие. Вклад изгиб-ных фононов также зависит от долинной структуры параметра порядка, однако получающаяся константа связи слишком мала, чтобы обеспечить возможность спаривания в рассмотренных условиях.

Необходимо также отметить, что сверхпроводящий параметр порядка в графене при диагональном по зонам спаривании обладает необычными свойствами симметрии: куперовские пары в графене должны обладать совместной орбиталыю-спиново-долинной симметрией (в противоположность орбитально-спиновой антисимметрии при обычной сверхпроводимости). Этот факт связан с существованием «скрытой» антисимметрии параметра порядка по подрешеткам. Следовательно, если спаривание антисимметрично по долинам (г>1 = г>2 = 0), то параметр порядка должен иметь совместную орбиталыю-спиновую антисимметрию, как и при обычной сверхпроводимости (я-волновое сигнлетное и р-волновое триплетное спаривание). Однако, при симметричном по долинам спаривании (г>з = 0) параметр порядка должен обладать орбитально-спиновой симметрией; в таком случае возможно, например, я-волновое триплетное спаривание.

Результаты, изложенные в третьей главе, опубликованы в статьях [6-8].

В заключении подводятся итоги проделанной работы, обсуждаются полученные в ходе диссертационной работы результаты. Кроме того, обсуждаются возможности практического применения полученных результатов и продолжения исследования электронных свойств графена при помощи развитых в диссертационной работе методов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Найдены волновые функции магнитоэкеитонов в графене в симметричной калибровке векторного потенциала, определены дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкеитонов и энергии рскомбинационных фотонов при учете кулоновского взаимодействия как малого возмущения. Обоснована применимость теории возмущения для кулоновского взаимодействия в сильном магнитном поле в случае пространственно непрямых магнитоэкеитонов.

2. Исследовано спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Обнаружено, что при переходе от слабой связи к сильной в графене и бислое графена отсутствует кроссовер к газу локальных пар, вместо которого реализуется переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному «ультрарелятивистскому» спариванию.

3. Показано, что многозонное рассмотрение спаривания в бислое графена при сильной связи может дать гораздо большие оценки величины щели, чем однозонные оценки типа БКШ. Сделаны оценки влияния динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели и продемонстрирована серьезная конкуренция между неэкранированным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одночастичных возбуждений, с другой стороны. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы, в частности, фиксация относительной фазы щелей в зоне проводимости и валентной зоне и образование четверть-вихрей при фазовом переходе Костсрлица-Таулеса.

4. Исследовано спаривание электронов в графене посредством плоских оптических, а также изгибных фононных мод. При этом предполагался я-волновой параметр порядка, диагональный по валентной зоне и зоне проводимости, но имеющий произвольную структуру в пространстве долин. Получены и аналитически решены в предельных случаях двухзонные уравнения Элиашберга, описывающие спаривание посредством фононов. Показано, что величина и знак эффектив-

ного взаимодействия, входящее в эти уравнения за счет каждой фо-нонной моды, зависят от симметрии этой моды и от структуры параметра порядка в пространстве долин. Отмечена необычная совместная пространственно-спиново-долинная симметрия параметра порядка.

5. Изучено квадратичное взаимодействие электронов с двумя ветвями (акустической и оптической) изгибных фононов с учетом вкладов деформационного потенциала и растяжения валентных связей в гамильтониан взаимодействия. Показано, что, хотя одночастичная динамика электронов в графене разыгрывается в окрестностях двух дира-ковских точек, в эффективное электрон-электронное взаимодействие, обусловленное изгибными фононами, дают вклады все импульсы фононов в пределах первой зоны Бриллюэна.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК

1. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, Electron-hole pair condensation in graphene bilayer // Письма в ЖЭТФ 87, No. 1, cc. 61-65 (2008).

2. Ю.Е. Лозовик, С.П. Меркулова, А.А. Соколик, Коллективные электронные явления в графене // Успехи физических наук 178, No. 7, сс. 757-776 (2008).

3. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, М. Willander, Coherent phases and magneto-excitons in graphene // Physica Status Solidi A 206, No. 5, pp. 927-930 (2009).

4. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, Multi-band pairing of ultrarelativistic electrons and holes in graphene bilayer // Physics Letters A 374, No. 2, pp. 326-330 (2009).

5. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, Ultratrelativistic clcctron-hole pairing in graphene bilayer // European Physical Journal В 73, No. 2, pp. 195-206 (2009).

6. Ю.Е. Лозовик, С.Л. Огарков, А.А. Соколик, Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графенс // Журнал экспериментальной и теоретической физики 137, No. 1, сс. 57-66 (2010).

7. Yu.E. Lozovik, А.А. Sokolik, Phonon-mediated electron pairing in gra-phenc // Physics Letters А (опубликовано online), doi:10.1016/j.physlcta. 2010.04.070.

8. Yu.E. Lozovik, S.L. Ogarkov, A.A. Sokolik, Electron-electron and electron-hole pairing in graphene structures // Philosophical Transactions of the Royal Society А (принято в печать).

Печатные работы в трудах научных конференций

1. Yu.E. Lozovik, А.А. Sokolik, Coherent phases and collective electron phenomena in graphene // Journal of Physics: Conference Series 129, 012003 (2008).

2. Ю.Е. Лозовик, А.А. Соколик, Ультрарелятивистское БКШ спаривание в электрон-дырочном бислое графена // Сборник трудов 51-й научной конференции МФТИ, ч. VIII, 2008, сс. 198-201.

3. Ю.Е. Лозовик, А.А. Соколик, Фононное спаривание ультрарелятивистских электронов в графене // Сборник трудов 52-й научной конференции МФТИ, ч. VIII, 2009, сс. 211-213.

Подписано в печать 06.05.2010 г. Печать лазерная цифровая Тираж 100 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: 543-50-32 www.autoref.ae-print.ru

Введение

Графен и его особенности.

Экспериментальное изучение графена.

Особенности коллективных явлений в графене.

Краткий обзор содержания глав.

1 Магнитоэкситоны в графене

1.1 Введение.

1.2 Двухчастичная задача о магнитоэкситоне.

1.2.1 Состояния электрона и дырки.

1.2.2 Выделение движения центра масс.

1.2.3 Дисперсионные зависимости.

1.3 Многочастичная формулировка задачи.

1.3.1 Функции Грина

1.3.2 Уравнение для электрон-дырочной вершинной части.

1.3.3 Разделение каналов уравнения для вершины

1.3.4 Энергии рекомбинационных фотонов.

1.4 Выводы.

2 Электрон-дырочное спаривание в бислое графена

2.1 Введение.

2.2 Режим слабой связи.

2.2.1 Модель спаривания.

2.2.2 Управляющие параметры системы

2.2.3 Результаты и обсуждение.

2.3 Отсутствие кроссовера БКШ-БЭК

2.4 Многозонное спаривание при сильной связи.

2.4.1 Введение.

2.4.2 Описание основного состояния.

2.4.3 Величина щели при нулевой температуре

2.4.4 Неустойчивость нормального состояния

2.4.5 Переход Костерлица-Таулеса.

2.5 Учет динамических эффектов.

2.6 Выводы.

3 Фононный механизм сверхпроводимости в графене

3.1 Многозонные уравнения Элиашберга.

3.1.1 Введение.

3.1.2 Уравнения Элиашберга для графена.

3.1.3 Случай сильного допирования.

3.1.4 Окрестность квантовой критической точки

3.2 Система взаимодействующих электронов и фопоиов в графене.

3.2.1 Электроны.

3.2.2 Плоские фононы.

3.2.3 Изгибные фононы.

3.3 Описание электронного спаривания.

3.3.1 Уравнения Горькова.

3.3.2 Структура параметра порядка.

3.3.3 Спаривание под действием плоских фононов

3.3.4 Спаривание под действием изгибных фононов.

3.3.5 Симметрия параметра порядка с учетом спина электронов.

3.4 Выводы.

Графен и его особенности

Графен представляет собой двумерную структуру, составленную из атомов углерода, которые расположены в узлах кристаллической решетки типа «пчелиные соты» и соединены друг с другом ковалентными связями (Рис. 1(a)). Наиболее распространенная форма углерода — графит — может рассматриваться как стопка листов графена, относительно слабо связанных между собой силами Ван-дер-Ваальса. Широко известные углеродные наноструктуры — нанотрубки и фуллерены [1,2] — можно рассматривать как свернутый в трубку лист графена или, соответственно, как замощение сферы решеткой графена. Таким образом, графен, как ключевая квазидвумерная углеродная наноструктура, с точки зрения классификации является основой трехмерного графита, квазиодномерных нано-трубок и квазинульмерных фуллеренов.

Изучение свойств графита и углеродных наноструктур всегда отправлялось от рассмотрения их элементарного блока — изолированного листа графена. Каждый атом углерода в графене окружен тремя ближайшими соседями и обладает четырьмя валентными электронами, три из которых образуют 5р2-гибридизованиые орбитали, расположенные в одной плоскости под углами 120° и формирующие ковалентиые связи с соседними атомами (Рис. 1(6)). Четвертый электрон, представленный ориентированной перпендикулярно этой плоскости 2р2-орбиталью, отвечает за низкоэнергетические электронные свойства графена. Квазиимпульс электрона, находящегося в поле кристаллической решетки графена, заключен в пределах первой зоны Бриллюэна, которая имеет форму шестиугольника.

Первым к теоретическому изучению электронных свойств графена и графита обратился П.Р. Уоллес в 1947 г. [3]. В простом приближении сильной связи с учетом взаимодействия ближайших соседей он показал, что углы первой зоны Бриллюэна графена являются точками, в которых происходит касание валентной зоны и зоны проводимости б)

2Р:

Рис. 1. (а) Кристаллическая решетка графена типа «пчелиные соты» как совокупность треугольных подрешеток А и В. (б) Три 8р2-гибридизованные орбитали атома углерода, формирующие направленные под углами 120° ковалентные связи с соседними атомами, и перпендикулярная им 2рг-орбиталь.

Рис. 2. Зонная структура графена: валентная зона и зона проводимости касаются в углах первой зоны Бриллюэна, имеющей форму шестиугольника. Уровень Ферми Ер химически чистого графена находится в точках касания зон.

2pz-электрона и вблизи которых дисперсия электронов является линейной (Рис. 2). Уровень Ферми химически чистого графена находится в точке касания зон, в связи с чем графен может быть назван квазидвумерным полупроводником с нулевой щелью.

Поскольку кристаллическая решетка графена не является решеткой Бравэ, но может рассматриваться как совокупность двух взаимопроникающих треугольных подрешеток см. Рис. 1(a)), то эффективная волновая функция электрона в графене может быть представлена двумя огибающими блоховеких волн, построенных на этих подрешетках. Низкоэнергетическая динамика 2рг-электронов определяется их поведением вблизи двух неэквивалентных точек касания зон в импульсном пространстве К и К' (в окрестности дираковских точек, или в двух долинах зоны проводимости), входящих в первую зону Бриллюэна [4]. Особенность зонной структуры графена, кардинально отличающая его от обычных металлов и полупроводников, заключается в том, что эффективное уравнение для огибающих вблизи К и К' имеет вид двумерного аналога релятивистского уравнения Дирака-Вейля для частиц с нулевой массой [5], в котором роль скорости света играет фермиевская скорость vp ~ 106м/с [6]: vF(a- ■ р)ф = Е-ф, где а = {сгх,сгу} — двумерный вектор, составленный из матриц Паули, ф — двухкомио-нентная эффективная волновая функция электрона.

Было показано, что вышеописанное поведение электронов вытекает из характера группы симметрии кристаллической решетки графена вне зависимости от используемого приближения [4]. Впоследствии не только развивалась и уточнялась зонная теория графена и графита [7,8], но и, в связи с экспериментальным изучением интеркалированного графита [9], появился интерес к некоторым многочастичным аспектам электронных свойств графена (например, были рассмотрены экранирование примесей [10], свойства плазмо-нов [11], времена жизни квазичастиц [12]).

Экспериментальное изучение графена

Слабое сцепление и относительная независимость слоев графена в кристалле графита уже давно наталкивали исследователей на мысль о том, что графен может быть получен как изолированный объект, двумерная мембрана толщиной в один атом [13]. Но, помимо связанных с этим технических сложностей, существовали сомнения в том, что графен будет механически стабильным. Из аргументов Ландау и Пайерлса [14] следовало, что в чисто двумерной системе не может быть дальнего кристаллического порядка вследствие логарифмической расходимости длинноволновых флуктуаций двумерных смещений атомов из узлов решетки (хотя после классических работ Березинского [15], Костерлица и Таулес-са [16] стало ясно, что дальний кристаллический порядок в двумерной системе отсутствует, однако в низкотемпературной фазе существует квазидальний степенной порядок, сохраняющий основное свойство кристалла — наличие длинноволнового модуля сдвига [17]). Кроме того, существовало сомнение в том, устойчив ли графен как двумерная мембрана, помещенная в трехмерное пространство — иными словами, не приводят ли флуктуации смещений атомов перпендикулярно листу к превращению его в смятый комок.

Новая эпоха для графена началась в 2004 году, когда он был получен группой К.С. Новоселова и А.К. Гейма при помощи метода микромеханического расщепления графита [18,19]. В этом методе поверхность графита плотно трется о ровную поверхность кремния, покрытого слоем оксида, и оставляет множество чешуек различной толщины. На поверхности двуокиси кремния фрагменты даже атомарной толщины можно было увидеть в оптический микроскоп. В первых экспериментах были получены образцы однослойного, а также двух- и многослойного графена и исследованы их транспортные свойства [18,20]. Графен оказался устойчивым в воздухе при комнатной температуре. Находясь на подложке, он механически стабилен, но на нем образуются небольшие локальные искривления нанометровых размеров — «рипплы» [21]. Оказалось, что ангармоническая связь между колебаниями атомов в плоскости графена и изгибными колебаниями смягчает дисперсию последних и, тем самым, в каком-то смысле стабилизирует графеновую мембрану [22].

Первые же экспериментальные исследования графена дали подтверждение того, что его электроны действительно ведут себя как безмассовые дираковские частицы [20]. Линейность дисперсии электронов подтвердилась в результате изучения осцилляций Шубни-кова-де Гааза, однако гораздо более яркой особенностью графена явился аномальный целочисленный квантовый эффект Холла. Энергии релятивистских уровней Ландау графена в сильном магнитном поле Н равны Е±п = ±г>ру2пеН/с (см. напр. [23-26]). Из-за наличия уровня нулевой энергии п = 0, находящегося ровно в дираковской точке, удельная холловская проводимость листа графена в сильном магнитном поле принимает полуцелые значения в единицах кванта удельной проводимости [24-26] <тху = (4e2/h)(n + 1/2), где п — целое число, а множитель 4 отвечает вырождению по спину и долинам. Такая последовательность холловских плато, обнаруженная в эксперименте [20], явилась убедительным подтверждением «ультрарелятивистского» поведения электронов в графене.

При изучении графена очень удобной оказалась возможность управления концентрацией носителей заряда при помощи электрического поля [18]. Графен, полученный механическим расщеплением графита, находится на кремниевой подложке, покрытой слоем

Рис. 3. (а) Схема управления концентрацией носителей в графене посредством электрического допирования, (б) Допирование графена электронами (Vg > 0) или дырками (V^ < 0) позволяет превращать его в аналог электронного или дырочного полупроводника.

Si02 толщиной 300 нм. Прикладывая затворное напряжение между листом графена и подложкой, можно создать плоский конденсатор (Рис. 3(a)), причем поверхностная плотность заряда на одной из его обкладок — листе графена — будет пропорциональна затворному напряжению. В недопированном химически чистом графене химический потенциал находится в дираковской точке, а прикладывание напряжения различной полярности позволяет сдвигать его в зону проводимости или валентную зону, тем самым допируя графен электронами или дырками (Рис. 3(6)). Концентрация носителей заряда может регулироваться таким способом от нуля до максимальных значений порядка 1013 см-2, ограниченных электрическим пробоем слоя БЮг

Изготовление графена микромеханическим методом оказалось довольно трудоемким, поэтому большую популярность в последнее время приобретает альтернативный способ получения графена — эпитаксиальное выращивание [27], при котором слои графена образуются на поверхности кристалла SiC, нагреваемого до высокой температуры в вакууме.

С точки зрения приложений графен перспективен в первую очередь как материал для создания принципиально новых наноэлектронных, папомеханических и панохимических устройств. Будучи системой атомарной толщины, графен обеспечивает абсолютный предел миниатюризации, по крайней мере в одном измерении, и хорошо подходит к современным планарным технологиям создания интегральных схем. При помощи нанолитографии из графена можно вырезать куски произвольной формы и устанавливать на них контактные и бесконтактные электроды [28]. Подвижность носителей заряда в чистых образцах графена достигает рекордных значений (см. напр. [29,30]) и почти не зависит от их концентрации, что также является очень ценным для возможных приложений (в частности, для баллистической электроники, принципиально отличающейся от традиционной транзисторной). Отметим также, что щель между уровнями Ландау графена в типичных лабораторных магнитных полях 10 — 20 Тл достигает тысяч градусов, а это позволяет наблюдать квантовый эффект Холла и использовать его для создания эталонов сопротивления даже при комнатной температуре [31].

Интерес к исследованию графена с фундаментальной точки зрения вызван возможностью изучать в такой системе поведение безмассовых заряженных частиц, и особенно их коллективное поведение, в двумерной твердотельной системе («на лабораторном столе») [32]. Эффективно ультрарелятивистская динамика электронов в графене приводит к ряду явлений, не имеющих аналогов в других физических системах (например, полуцелому квантовому эффекту Холла, абсолютной прозрачности потенциальных барьеров при нормальном падении, слабой антилокализации и т.п.) и позволяют надеяться на возможность достижения новых режимов поведения квантовых многочастичных систем в наноструктурах на его основе (см. обзорные статьи [33-36]). Ряд электронных явлений, возможных в графене, имеет аналоги в релятивистской физике элементарных частиц и кварковой материи. Таким образом, можно сказать, что исследования графена находятся на стыке физики конденсированных сред и физики высоких энергий.

Особенности коллективных явлений в графене

Коллективными электронными явлениями называют явления, в которых согласованно участвует макроскопическая доля электронов и которые несводимы к поведению отдельных частиц. В качестве примеров таких явлений можно назвать сверхпроводимость, образование экситонного диэлектрика, бозе-конденсацию экситонов и магнитоэкситонов, плазменные колебания, вигнеровскую кристаллизацию, ферромагнетизм. Особенности коллективных электронных явлений в графене непосредственно вытекают из особенностей эффективно релятивистской динамики электронов, таких как: а) двумерность системы; б) линейная дисперсия энергии электронов; в) близкое расположение и взаимное влияние валентной зоны и зоны проводимости; г) спинорный характер эффективной волновой функции; д) заселение электронами двух долин в окрестностях дираковских точек.

Двумерность графена делает некоторые свойства электронного газа в нем похожими на свойства квазидвумерных электронных систем на основе полупроводниковых квантовых ям [37]. Проявлением двумерности является, в частности, то, что фазовые переходы графена в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния (в том числе, рассмотренные в данной диссертационной работе) будут иметь характер перехода Костерлица-Таулеса [16,17].

Линейная дисперсия электронов приводит к ряду последствий, самым ярким из которых является маргинальность кулоновского взаимодействия. Безразмерный параметр rs, определяющий отношение характерных величин кулоновской и кинетической энергий квантовой системы, в случае графена равен е2 2.19 rs - -z— ~-, envy г где е — диэлектрическая проницаемость окружающей графен среды. Как видно, этот параметр не зависит от концентрации электронного газа, и может быть изменен только в довольно ограниченных пределах помещением графена в различные среды (максимальное значение rs составляет около 2.19, если графен подвешен в вакууме). Это резко контрастирует с обычным (трехмерным или квазидвумерным) электронным газом, в котором rs растет с уменьшением концентрации [38, стр. 380]. Недостижимость больших значений гь в графене приводит, в частности, к невозможности существования сильнокоррелированных фаз, таких как вигнеровский кристалл [39].

Похожим проявлением линейной дисперсии является то, что отношение характерного расстояния между уровнями Ландау в графене, помещенном во внешнее магнитное поле, к характерной величине кулоновского взаимодействия между электронами не зависит от напряженности поля. Магнитное поле напряженностью Н задает «магнитную длину» Ijj = \jcjeH — параметр размерности длины, соответствующий радиусу циклотронных орбит электронов. Расстояние между уровнями Ландау имеет порядок v-f/Ih [24,25], а характерная величина кулоновской энергии есть е2/е/#. Отношение этих величин не зависит от Н и сводится к,параметру rs, который, как было сказано, может регулироваться только путем изменения £. В обычном квазидвумерном электронном газе ситуация иная: в сильных магнитных полях расстояние между уровнями Ландау всегда доминирует над кулоновской энергией.

Аномальные электронные свойства недопированного графена, в котором химический потенциал, отсчитываемый от дираковской точки, равен нулю (Рис. 3(6)), также являются следствием линейной дисперсии. Из-за нее плотность состояний электронов ведет себя как J\f ос \Е\ и обращается в нуль в дираковской точке Е = 0, что приводит, в частности, к отсутствию существенного экранирования кулоновского взаимодействия на больших расстояниях в недопированном графене; экранирование при этом является нелинейным [10,40]. В недопированном графене отсутствуют характерные параметры размерности длины (за исключением периода решетки, играющего роль только в высокоэнергетической динамике), поэтому сила кулоновского взаимодействия, не меняясь при масштабных преобразованиях, является маргинальной переменной [41,42]. Более того, в недопированном графене отсутствуют хорошо определенные квазичастицы, поскольку скорости распада квазичастиц растут линейно с ростом их энергии [43].

Близкое расположение валентной зоны и зоны проводимости проявляется в свойствах квазичастичных возбуждений электронного газа в графене. В частности, обменное кулоновское взаимодействие приводит к логарифмической перенормировке скорости Ферми в области малых импульсов [41], а межзонные электронные переходы открывают соответствующий канал затухания плазменных колебаний [12,44,45].

Кроме того, отсутствие щели между валентной зоной и зоной проводимости наводит многих исследователей на мысль о возможности перестройки основного состояния графена в результате спонтанного образования конденсата электрон-дырочных пар, сходной с образованием экситонного диэлектрика [46-48]. В [49] и множестве последующих работ было показано, что недопированный графен весьма близок к такому переходу. Недавние результаты численного моделирования (см., напр., [50,51]) указывают на то, что переход в состояние экситонного диэлектрика, по-видимому, может произойти в графене, помещенном в вакуум.

Спинорный характер эффективной волновой функции неразрывно связан с сосуществованием валентной зоны и зоны проводимости, поскольку состояния электрона в этих зонах отличаются только различными соотношениями амплитуд спинорных компонент [3, 36]. Следствием спинорного характера волновой функции является наличие у электронов фазы Верри, равной 7г: при адиабатическом обходе электрона по замкнутому контуру в импульсном пространстве вокруг любой из дираковских точек его волновая функция меняет знак [52].

Заселение электронами двух долин является аналогом киральности безмассовых частиц [53] — состояниям электронов в двух долинах соответствуют значения киральности +1 и —1. Дополнительная долинная степень свободы электронов может проявляться в ряде эффектов [54]; в контексте данной работы наибольший интерес среди них представляет возможность образования параметров порядка с различными долинными структурами при спаривании в графене [55].

Краткий обзор содержания глав

Данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию ряда коллективных электронных явлений в графене. При этом особое внимание уделяется их специфическим чертам, связанным с эффективно ультрарелятивистской динамикой электронов. Все особенности поведения электронов, перечисленные в предыдущем разделе, находят свое отражение в полученных в работе результатах, опубликованных в статьях [36,56-63].

Большое внимание в диссертационной работе уделено коллективным явлениям в бис-лое графена — системе, состоящей из двух параллельных слоев графена, разделенных диэлектриком (следует отличать его от двухслойного графена [64], зонная структура которого существенно модифицируется за счет межслойных электронных перескоков). Пространственное разделение слоев графена допускает существование долгоживущих пар, состоящих из электронов и дырок, находящихся в разных слоях. Благодаря кулоновскому притяжению электронов и дырок в таком системе можно ожидать появления различных сильно коррелированных фаз. Бислой графена может оказаться более подходящей системой для изучения коллективных явлений, чем связанные полупроводниковые квантовые ямы, благодаря атомарной толщине слоев графена, позволяющей сблизить электроны и дырки на очень малые расстояния. В образцах бислоя графена, которые были изготовлены и изучены в недавних экспериментах [65,66], расстояние между слоями составляет несколько ангстрем.

В первой главе рассматриваются свойства магнитоэкситонов в графене и пространственно непрямых магнитоэкситонов в бислое графена в сильном магнитном поле. Маг-нитоэкситон — это связанное состояние электрона и дырки в магнитном поле, которое может быть описано при помощи выделения магнитного импульса электрон-дырочной пары, играющего в магнитном поле роль импульса центра масс [67,68]. При этом связь между движением магнитоэкситона как целого и его внутренней структурой проявляется в существовании дисперсионной зависимости энергии магнитоэкситона от его магнитного импульса. Магнитоэкситоны в полупроводниковых системах [69,70] и бислое графена [71] могут образовывать разреженный слабонеидеальный бозе-газ, в котором при низких температурах происходят бозе-конденсация и переход в сверхтекучее состояние.

Как известно, дисперсионные зависимости магнитоэкситонов и магнитоплазмонов могут быть найдены из полюсов электрон-дырочной вершинной части, вычисляемой в обобщенном приближении хаотических фаз [72]. В диссертации этот подход распространен на случай графена, где функции Грина электронов и вершинные части являются многокомпонентными, а также на случай бислоя графена. Показано, что при целочисленном заполнении уровней Ландау уравнение для вершинной части в бислое графена разделяются на три канала, соответствующие: 1) прямым магнитоэкситонам, электрон и дырка которых находятся в одном слое графена, 2) пространственно непрямым магнитоэкситонам, электрон и дырка которых расположены в разных слоях, 3) магнитоплазмонам, охватывающим сразу оба слоя.

Хотя, как говорилось выше, отношение характерной величины кулоновской энергии к расстоянию между уровнями Ландау в графене не зависит от напряженности магнитного поля и может быть довольно большим, при рассмотрении пространственно непрямого маг-нитоэкситона ситуация иная. Кулоповское взаимодействие составляющих его электрона и дырки является межслойным, и его характерная величина есть e2/eD, где D — расстояние между слоями графена. В сильном магнитном поле, когда 1н D, взаимодействие будет являться слабым возмущением по сравнению с расстоянием между уровнями Ландау. На основе этого соображения проведены дальнейшие расчеты.

В симметричной калибровке векторного потенциала найдены многокомпонентные волновые функции магнитоэкситонов, дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкситонов и параметры их разложения при малых импульсах — энергии связи и зависящие от магнитного поля эффективные массы. При этом кулоновское взаимодействие было учтено в первом порядке теории возмущений. В приближении Хартри-Фока вычислены энергии фотонов, испускаемых при рекомбинации пространственно непрямых магнитоэкситонов, которые складываются из прямых и обменных собственных энергий электрона и дырки, и энергии их взаимодействия. При этом обменное кулоновское взаимодействие электрона и дырки с заполненной валентной зоной дает существенный вклад в энергию магнитоэкситона. Соответствующие результаты опубликованы в статьях [36,57,58].

Во второй главе представлены результаты исследования электрон-дырочного спаривания в бислое графена в режиме слабой и сильной связи. При помощи затворных электродов можно независимо управлять типом и концентрацией носителей в каждом из двух слоев графена, и если установить в них равные концентрации электронов и дырок, то из-за совпадения их поверхностей Ферми и кулоновского притяжения между ними система окажется неустойчивой по отношению к спариванию электронов и дырок с противоположными импульсами (аналоги — спаривание электронов в сверхпроводниках [73] и электронов с дырками в экситонном диэлектрике [46-48] и связанных полупроводниковых квантовых ямах [74,75]). Такое спаривание сопровождается появлением параметра порядка в системе и щели в спектре ее одночастичных возбуждений, а также сверхтекучими свойствами, связанными с появлением незатухающих токов, движущихся в противоположных направлениях по разным листам графена, и эффектами, подобными эффекту Джозефсона.

В диссертационной работе определена зависимость от параметров системы безразмерной величины, характеризующей относительную силу экранированного электрон-дырочного притяжения — силу связи. Показано, что при достаточно малых межслойных расстояниях сила связи не зависит от концентрации электронов и дырок и определяется параметром rs, который зависит только от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Это резко контрастирует с экситонным спариванием в связанных квантовых ямах, при котором сила связи возрастает по мере снижения концентрации [74].

Показано, что в режиме слабой связи основное состояние электрон-дырочного бислоя ""' графена практически аналогично обычному состоянию куперовского спаривания, описываемому теорией Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) [73] (небольшие отличия возникают из-за киральности электронов, приводящей к эффективному ослаблению взаимодействия спаривания). Для этого случая получены выражения для щели при нулевой температуре и оценено влияние примесей и беспорядка. При увеличении силы связи в обычных системах спаривающихся фермионов происходит плавный переход от состояния типа БКШ к бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) в газе локальных пар, носящий название кроссовера БКШ-БЭК [76]. В графене же, как показано в работе, невозможно образование локализованных пар, что приводит к отсутствию кроссовера БКШ-БЭК. Вместо него по мере увеличения силы связи состояние типа БКШ переходит в ультрарелятивистское состояние типа БКШ, при котором существуют парные корреляции электронов и дырок с противоположными импульсами, но вместе с тем существенную роль играет играет эффективно ультрарелятивистская динамика спаривающихся частиц. В то время как при слабой связи спаривание охватывает лишь небольшие окрестности поверхностей Ферми электронов и дырок, находящиеся в зоне проводимости электронного слоя и валентной зоне дырочного слоя, при сильной связи спаривание захватывает и удаленные от поверхностей Ферми зоны: валентную зону электронного слоя и зону проводимости дырочного слоя. Похожие состояния могут возникать при «цветной» сверхпроводимости в плотной кварковой материи [77].

При помощи сформулированной в работе многозонной диаграммной техники рассмотрено ультрарелятивистское БКШ-состояние в бислое графена, описываемое системой уравнений самосогласования для двух щелей: в зоне проводимости и в валентной зоне. Путем решения этих уравнений получены оценки величины щели в спектре возбуждений системы и критической температуры перехода в сверхтекучее состояние в режиме сильной связи. Показано, что многозонный характер спаривания существенно влияет на величину щели, которая при большой ширине области спаривания в импульсном пространстве может на несколько порядков превышать оценки, даваемые однозонной теорией БКШ.

Спаривание в бислое графена в режиме сильной связи рассмотрено также с учетом динамических эффектов в духе подхода Элиашберга [78, 79], т.е. с учетом частотной зависимости собственно-энергетических частей и динамически экранированного потенциала электрон-дырочного взаимодействия. Последнее в таком подходе может быть разделено на прямое кулоновское притяжение и серьезно конкурирующий с ним отталкивающий вклад виртуальных плазмонов и одночастичных возбуждений. Оценки величины щели, полученные при таком рассмотрении, составляют несколько градусов Кельвина при максимальном значении rs. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы при ультрарелятивистском спаривании, в частности, диссоциация пар противоположно ориентированных четверть-вихрей в параметре порядка вида U(l) х 577(4) при фазовом переходе Кострелица-Таулеса в сверхтекучее состояние. Соответствующие результаты опубликованы в статьях [36,56-60,63].

В третьей главе рассмотрено сверхпроводящее спаривание электронов в графене, вызванное обменом фононами. В качестве возможных источников собственной сверхпроводимости графена различными авторами были предложены фопонный механизм [80,81], плазмонный механизм в графене, покрытом слоем металла [80], электронные корреляции [82, 83] и существенно анизотропное электрон-электронное взаимодействие вблизи сингулярностей Ван-Хова электронной подсистемы [84]. В данной работе в качестве возможных источников эффективного межэлектронного притяжения рассмотрены плоские фононы, соответствующие колебаниям атомов в плоскости графена, и изгибные фононы, соответствующие изгибу листа графена (если графен свободно подвешен). Среди плоских фононов наиболее сильное взаимодействие с электронами демонстрируют 4 оптические моды, наблюдающиеся в спектрах комбинационного рассеяния [85,86]. Взаимодействие электронов с изгибными фононами, представленными двумя модами, имеет необычный вид — оно квадратично по операторам фононов [81,87,88].

Спаривание электронов в графене посредством вышеперечисленных 6 фононных мод описано в диссертационной работе при помощи диаграммной техники, имеющей дело с матричными функциями Грина, строки и столбцы которых соответствуют состояниям электронов на двух подрешетках кристаллической решетки графена и в двух долинах К и К'. Выражения для гамильтониана электрон-фононного взаимодействия в графене отражают тот факт, что волновые функции электронов распределены по двум подрегаеткам, в то время как разные фононные моды соответствуют различным совместным и относительным колебаниям двух подрешеток. Как следствие, аппарат матричных функций Грина необходим для корректного описания электрон-фононного взаимодействия в графене, разрешенного по подрешеткам и долинам электронов.

Полученные в работе матричные уравнения Горькова, описывающие спаривание в графене, допускают, в принципе, различные виды параметра порядка. В данном случае исследовалось такое спаривание, которое диагонально по зонам (и, как в случае электрон-дырочного спаривания в бислое графена, характеризуется двумя щелями — в зоне проводимости и в валентной зоне), но при этом может иметь произвольную структуру вида SU(2) в пространстве долин К и К'. Решение уравнений Горькова и усреднение по импульсам приводит к системе двух уравнений самосогласования для щелей, похожих на уравнения Элиашберга [78,79]. Были найдены аналитические решения такой системы в приближении эйнштейновского спектра фононов как в пределе сильного допирования графена, когда спаривание, фактически, является однозонным, так и при малом допировании — в квантовой критической точке недопированного графена по константе связи и в ее окрестности.

Важным результатом является то, что вклад каждой фононной моды в эффективное взаимодействие, входящее в уравнения Элиашберга, может быть как притягивающим, так и отталкивающим — в зависимости от характера симметрии фононной моды и от структуры параметра порядка в пространстве долин. При образования конденсата куперовских пар структура параметра порядка будет подстраиваться таким образом, чтобы обеспечить наибольшее значение суммарной по всем модам эффективной константы связи. Оценки константы связи, отвечающей плоским оптическим фононам, показывают, что при сильном химическом допировании графена температура перехода в сверхпроводящее состояние может достигать долей градуса Кельвина.

Квадратичное взаимодействие электронов в графене с изгибными фононами было подробно исследовано в диссертационной работе. Были приняты во внимание два механизма электрон-фононного взаимодействия: 1) через деформационный потенциал, 2) посредством растяжения валентных связей, приводящего к модуляции интегралов перескока электронов между соседними атомами. Квадратичность электрон-фононного взаимодействия ведет к тому, что при вычислении соответствующего эффективного взаимодействия, входящего в многозонные уравнения Элиашберга, необходимо проводить интегрирование внутри фононной петли по частотам и по импульсам в пределах всей первой зоны Бриллюэна. Вклад изгибных фопонов в эффективное электрон-электронное взаимодействие также зависит от долинной структуры параметра порядка, однако получающаяся константа связи слишком мала, чтобы обеспечить возможность спаривания в рассмотренных условиях.

Обнаружено также, что сверхпроводящий параметр порядка в графене при диагональном по зонам спаривании обладает необычными свойствами симметрии: куперовские пары должны обладать совместной орбитально-спиново-долинной симметрией (в противоположность орбитально-спиповой антисимметрии при обычной сверхпроводимости). Этот факт связан с существованием «скрытой» антисимметрии параметра порядка по подре-шеткам. Следовательно, если спаривание антисимметрично по долинам, то параметр порядка должен обладать совместной орбитально-спиновой антисимметрией, как и при обычной сверхпроводимости, однако, при симметричном по долинам спаривании параметр порядка должен обладать орбитально-спиновой антисимметрией; в таком случае возможно, например, s-волновое триплетное спаривание. Соответствующие результаты опубликованы в статьях [61-63].

Все выкладки в диссертационной работе представлены в гауссовой системе единиц и в соглашении /1=1.

Основные результаты

Перечислим вкратце основные результаты, представленные в диссертации:

1. Найдены волновые функции магнитоэкситонов в графене в симметричной калибровке векторного потенциала, определены дисперсионные зависимости пространственно непрямых магнитоэкситонов и энергии рекомбинационных фотонов при учете куло-новского взаимодействия как малого возмущения. Обоснована применимость теории возмущения для кулоновского взаимодействия в сильном магнитном поле в случае пространственно непрямых магнитоэкситонов.

2. Исследовано спаривание пространственно разделенных электронов и дырок в бислое графена в режимах слабой и сильной связи. Обнаружено, что при переходе от слабой связи к сильной в графене и бислое графена отсутствует кроссовер к газу локальных пар, вместо которого реализуется переход от однозонного спаривания типа БКШ к многозонному «ультрарелятивистскому» спариванию.

3. Показано, что многозонное рассмотрение спаривания в бислое графена при сильной связи может дать гораздо большие оценки величины щели, чем однозонные оценки типа БКШ. Сделаны оценки влияния динамических эффектов (частотной зависимости экранированного потенциала спаривания) на величину щели и продемонстрирована серьезная конкуренция между неэкранированным кулоновским притяжением, с одной стороны, и совместным отталкивающим вкладом виртуальных плазмонов и одночастичных возбуждений, с другой стороны. Также отмечены необычные сверхтекучие свойства системы, в частности, фиксация относительной фазы щелей в зоне проводимости и валентной зоне и образование четверть-вихрей при фазовом переходе Костерлица-Таулеса.

4. Исследовано спаривание электронов в графене посредством плоских оптических, а также изгибных фононных мод. При этом предполагался s-волновой параметр порядка, диагональный по валентной зоне и зоне проводимости, но имеющий произвольную структуру в пространстве долин. Получены и аналитически решены в предельных случаях двухзонные уравнения Элиашберга, описывающие спаривание посредством фононов. Показано, что величина и знак эффективного взаимодействия, входящее в эти уравнения за счет каждой фононной моды, зависят от симметрии этой моды и от структуры параметра порядка в пространстве долин. Отмечена необычная совместная пространственно-спиново-долинная симметрия параметра порядка.

5. Изучено квадратичное взаимодействие электронов с двумя ветвями (акустической и оптической) изгибных фононов с учетом вкладов деформационного потенциала и растяжения валентных связей в гамильтониан взаимодействия. Показано, что, хотя одночастичная динамика электронов в графене разыгрывается в окрестностях двух дираковских точек, в эффективное электрон-электронное взаимодействие, обусловленное изгибными фононами, дают вклады все импульсы фононов в пределах первой зоны Бриллюэна.

Значение полученных результатов

Обсудим теперь практическую значимость полученных результатов и возможные направления дальнейших исследований электронных свойств графена при помощи развитых в диссертационной работе методов. Представленные в первой главе результаты — характеристики магнитоэкситонов в графене, а также энергии фотонов, испускаемых при их рекомбинации — могут быть сопоставлены с экспериментальными данными, полученными спектроскопическими методами. Изучение свойств магнитоэкситонов в графене может оказаться полезным для подбора оптимальных условий эксперимента по осуществлению их бозе-конденсации.

Разработанная в ходе диссертационной работы техника функций Грина электронов в графене, помещенном в магнитное поле, может быть использована для теоретического исследования ряда задач, связанных с электронными свойствами такой системы. Среди них можно отметить изучение роли смешивания уровней Ландау, рассмотрение магнито-экситонных и магнитоплазмонных поляритонов в графене, помещенном в микрополость, и изучение возможных перестроек основного состояния системы из-за влияния кулоновского взаимодействия.

Рассмотренное во второй главе многозонное спаривание в электрон-дырочном бислое графена может быть реализовано экспериментально при низких температурах. Сверхтекучесть конденсата электрон-дырочных пар и сопутствующие ей эффекты Джозефсона могут быть использованы в различных наноэлектронных устройствах. С фундаментальной точки зрения представляют интерес разработка теории сверхтекучести системы с многозонным спариванием, поиск новых типов топологических возбуждений в такой системе и исследование роли корреляционных эффектов в режиме сильной связи.

Исследованное в третьей главе сверхпроводящее спаривание электронов в графене посредством фононного механизма может быть обнаружено в экспериментах при сильном химическом допировании образцов и примыкает к явлениям сверхпроводимости в интер-калированном графите. Изучение взаимодействия электронов в графене с изгибными фо-нонами позволяет достичь лучшего понимания вопросов, связанных влиянием «рипплов» на электронные свойства графена. Разработанный аппарат матричных функций Грина может быть использован для единообразного описания спаривания электронов в графене с разнообразными видами параметра порядка, что может оказаться полезным при поиске новых механизмов спаривания.

Таким образом, в диссертационной работе проведены теоретические исследования ряда коллективных электронных явлений в графене. Результаты указывают на множество их интересных особенностей, являющихся следствиями эффективно ультрарелятивистского поведения электронов. Бурное развитие исследований графена и перспективы его технологических применений придают особую значимость полученным результатам.

Благодарности

В заключение автору хочется выразить особую благодарность своему научному руководителю Юрию Ефремовичу Лозовику за постановку задачи, научное руководство и постоянную поддержку на всех этапах работы. Работа выполнена в Институте спектроскопии РАН. Часть работы, результаты которой представлены в разделе 3.1, выполнена в сотрудничестве с C.JI. Огарковым (Московский инженерно-физический институт).

Заключение

1. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, Ph. Avouris (eds.), Carbon nanotubes, Berlin, Springer, 2000.

2. И.О. Pierson, Handbook of carbon, graphite, diamond and fullerenes, New Jersey, Noyes Publications, 1993.

3. PR. Wallace. The band theory of graphite // Phys. Rev. 71, No. 9, pp. 622-634 (1947).

4. J.C. Slonczewski, P.R. Weiss. Band structure of graphite // Phys. Rev. 109, No. 2, pp. 272-279 (1958).

5. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Москва, Наука, 1984, стр. 80.

6. G.W. Semenoff. Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly // Phys. Rev. Lett. 53, No. 26, pp. 2449-2452 (1984).

7. J.W. McClure. Band structure of graphite and de Haas-van Alphen effect // Phys. Rev. 108, No. 3, pp. 612-618 (1957).

8. G.S. Painter, D.E. Ellis. Electronic band structure and optical properties of graphite from a variational approach // Phys. Rev. В 1, No. 12, pp. 4747-4752 (1970).

9. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Intercalation compounds of graphite // Adv. in Phys. 30, No. 2, pp. 139-326 (1981).

10. D.P. DiVincenzo, E.J. Mele. Self-consistent effective-mass theory of intralayer screening in graphite intercalation compounds // Phys. Rev. В 29, No. 4, pp. 1685-1694 (1984).

11. K.W.-K. Shung. Dielectric function and plasmon structure of stage-1 intercalated graphite // Phys. Rev. В 34, No. 2, pp. 979-993 (1986).

12. K.W.-K. Shung. Lifetime effects in low-stage intercalated graphite systems // Phys. Rev. В 34, No. 2, pp. 1264-1273 (1986).

13. M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus. Intercalation compounds of graphite // Adv. in Phys. 51, No. 1, pp. 1-186 (2002).

14. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Статистическая физика. Часть 1, Москва, Наука, 1976, стр. 471.

15. В.Л. Березинский, Низкотемпературные свойства двумерных систем с непрерывной группой симметрии, Москва, Физматлит, 2007

16. J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systrms // J. Phys. C: Solid State Phys. 6, No. 7, pp. 1181-1203 (1973).

17. D.R. Nelson, B.I. Halperin. Dislocation-mediated melting in two dimensions // Phys. Rev. В 19, No. 5, pp. 2457-2484 (1979).

18. K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, A.A. Firsov. Electric field effect in atomically thin carbon films // Science 306, No. 5696, pp. 666-669 (2004).

19. K.S. Novoselov, D. Jiang, F. Schedin, T.J. Booth, V.V. Khotkevich, S.V. Morozov, A.K. Geim. Two-dimensional atomic crystals // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 102, No. 30, pp. 10451-10453 (2005).

20. K.S. Novoselov, A.K. Geim, S.V. Morozov, D. Jiang, M.I. Katsnelson, I.V. Grigorieva, S.V. Dubonos, A.A. Firsov. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene // Nature 438, No. 7065, pp. 197-200 (2005).

21. J.C. Meyer, A.K. Geim, M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov, T.J. Booth, S. Roth. The structure of suspended graphene sheets // Nature 446, No. 7131, pp. 60-63 (2007).

22. P.L. Doussal, L. Radzihovsky. Self-consistent theory of polymerized membranes // Phys. Rev. Lett. 69, No. 8, pp. 1209-1212 (1992).

23. F.D.M. Haldane. Model for a quantum Hall effect without Landau levels: Condensed-matter realization of the «Parity anomaly» // Phys. Rev. Lett. 61, No. 18, pp. 2015-2018 (1988).

24. E.V. Gorbar, V.P. Gusynin, V.A. Miransky, I.A. Shovkovy. Magnetic field driven metal-insulator phase transition in planar systems // Phys. Rev. В 66, No. 4, 045108(22pp) (2002).

25. Y. Zheng, T. Ando. Hall conductivity of a two-dimensional graphite system // Phys. Rev. В 65, No. 24, 245420(llpp) (2002).

26. V.P. Gusynin, S.G. Sharapov. Unconventional integer quantum Hall effect in graphene // Phys. Rev. Lett. 95, No. 14, 146801 (4pp) (2005).

27. W.A. de Heer, C. Berger, X. Wu, P.N. First, E.H. Conrad, X. Li, T. Li, M. Sprinkle, J. Hass, M.L. Sadowski, M. Potemski, G. Martinez. Epitaxial graphene // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 92-100 (2007).

28. B. Ozyilmaz, P. Jarillo-Herrero, D. Efetov, P. Kim. Electronic transport in locally gated graphene nanoconstrictions // Appl. Phys. Lett. 91, No. 19, 192107(3pp) (2007).

29. S.V. Morozov, K.S. Novoselov, M.I. Katsnelson. Giant intrinsic carrier mobilities in graphene and its bilayer // Phys. Rev. Lett. 100, No. 1, 016602(4pp) (2008).

30. K.I. Bolotin, K.J. Sikes, Z. Jiang, M. Klima, G. Fudenberg, J. Hone, P. Kim, H.L. Stormer. Ultrahigh electron mobility in suspended graphene // Solid State Commun. 146, No. 910, pp. 351-355 (2008).

31. K.S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S.V. Morozov, H.L. Stormer, U. Zeitler, J.C. Maan, G.S. Boebinger, P. Kim, A.K. Geim. Room-temperature quantum Hall effect in graphene // Science 315, No. 5817, pp. 1379-1379 (2007).

32. M.I. Katsnelson, K.S. Novoselov. Graphene: New bridge between condensed matter physics and quantum electrodynamics // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 3-13 (2007).

33. M.I. Katsnelson. Graphene: carbon in two dimensions // Materials Today 10, No. 1-2, pp. 20-27 (2007).

34. A.K. Geim, K.S. Novoselov. The rise of graphene // Nature Materials 6, No. 3, pp. 183-191 (2007).

35. А.Н. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, A.K. Geim. The electronic properties of graphene // Rev. Mod. Phys. 80, No. 1, pp. 109-1G2 (2009).

36. Ю.Е. Лозовик, С.П. Меркулова, А.А. Соколик. Коллективные электронные явления в графене // УФН 178, No. 7, сс. 757-776 (2008).

37. Т. Ando, А.В. Fowler, F. Stern. Electronic properties of two-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. 54, No. 2, pp. 437-672 (1981).

38. G.D. Mahan, Many-particle physics, New York, Plenum Press, 1990.

39. H. Dahal, Y.N. Joglekar, K. Bedell, A.V. Balatsky. Absence of Wigner crystallization in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 23, 233405(3pp) (2006).

40. M.I. Katsnelson. Nonlinear screening of charge impurities in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 20, 201401 (R)(3pp) (2006).

41. J. Gonzalez, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Non-Fermi liquid behavior of electrons in the half-filled honeycomb lattice (A renormalization group approach) // Nucl. Phys. В 424, No. 3, pp. 595-618 (1994).

42. J. Gonzalez, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Marginal-Fermi-liquid behavior from two-dimensional Coulomb interaction // Phys. Rev. В 59, No. 4, pp. R2474-R2477 (1999).

43. J. Gonzalez, F. Guinea, M.A.H. Vozmediano. Unconventional quasiparticle lifetime in graphite // Phys. Rev. Lett. 77, No. 17, pp. 3589-3592 (1996).

44. B. Wunsch, T. Stauber, F. Sols, F. Guinea. Dynamical polarization of graphene at finite doping // New J. Phys. 8, No. 12, 318(15pp) (2006).

45. E.H. Hwang, S. Das Sarma. Dielectric function, screening, and plasmons in two-dimensional graphene // Phys. Rev. В 75, No. 20, 205418(6pp) (2007).

46. Л.В. Келдыш, Ю.В. Копаев. Возможная неустойчивость полуметаллического состояния относительно кулоновского взаимодействия // Физ. твердого тела 6, No. 9, сс. 2791-2798 (1964).

47. P.P. Гусейнов, Л.В. Келдыш. О характере фазового перехода в условиях «экситон-ной» неустойчивости электронного спектра кристалла // ЖЭТФ 63, No. 6(12), сс. 2255-2263 (1972).

48. D. Jerome, T.M. Rice, W. Kohn. Excitonic insulator // Phys. Rev. 158, No. 2, pp. 462475 (1967).

49. D.V. Khveshchenko. Ghost excitonic insulator transition in layered graphite // Phys. Rev. Lett. 87, No. 24, 246802(4pp) (2001).

50. J.E. Drut, T.A. Lahde. Is graphene in vacuum an insulator? // Phys. Rev. Lett. 102, No. 2, 026802(4pp) (2009).

51. W. Armour, S. Hands, C. Strouthos. Lattice simulations near the semimetal-insulator phase transition of graphene // http://arxiv.org/abs/0908.0118vl.

52. T. Ando, T. Nakanishi, R. Saito. Berry's phase and absence of back scattering in carbon nanotubes // J. Phys. Soc. Japan 67, No. 8, pp. 2857-2862 (1998).

53. R. Jackiw, S.-Y. Pi. Chiral gauge theory for graphene // Phys. Rev. Lett. 98, No. 26, 266402 (4pp) (2007).

54. D. Xiao, W. Yao, Q. Niu. Valley-contrasting physics in graphene: magnetic moment and topological transport // Phys. Rev. Lett. 99, No. 23, 236809(4pp).

55. I.L. Aleiner, D.E. Kharzeev, A.M. Tsvelik. Spontaneous symmetry breaking in graphene subjected to an in-plane magnetic field // Phys. Rev. В 76, No. 19, 195415(27pp) (2007).

56. Yu.E. Lozovik, A. A. Sokolik. Electron-hole pair condensation in graphene bilaycr // Письма в жэтф 87, No. 1, cc. 61-65 (2008).

57. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Coherent phases and collective electron phenomena in graphene // J. Phys.: Conf. Ser. 129, 012003(8pp) (2008).

58. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik, M. Willander. Coherent phases and magnet о excitons in graphene // Phys. Stat. Sol. A 206, No. 5, pp. 927-930 (2009).

59. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Multi-band pairing of ultrarelativistic electrons and holes in graphene bilayer // Phys. Lett. A 374, No. 2, pp. 326-330 (2009).

60. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Ultratrelativistic electron-hole pairing in graphene bilayer // Eur. Phys. J. В 73, No. 2, pp. 195-206 (2009).

61. Ю.Е. Лозовик, С.Л. Огарков, А.А. Соколик. Теория сверхпроводимости дираковских электронов в графене // ЖЭТФ 137, No. 1, сс. 57-66 (2010).

62. Yu.E. Lozovik, А.А. Sokolik. Phonon-mediated electron pairing in graphene // Phys. Lett. A 374, No. 27, pp. 2785-2791 (2010).

63. Yu.E. Lozovik, A.A. Sokolik. Electron-electron and electron-hole pairing in graphene structures // Philos. Trans. Roy. Soc. А (в печати); http://arxiv.org/abs/1005.4857.

64. E. McCann, V.I. Fal'ko. Landau-level degeneracy and quantum Hall effect in a graphite bilayer // Phys. Rev. Lett. 96, No. 8, 086805(4pp).

65. H. Schmidt, T. Ludtke, P. Barthold, E. McCann, V.I. Falko, R.J. Haug. Tunable graphene system with two decoupled monolayers // Appl. Phys. Lett. 93, No. 17, 172108(3pp) (2008).

66. H. Schmidt, T. Ludtke, P. Barthold, R.J. Haug. Mobilities and scattering times in decoupled graphene monolayers // Phys. Rev. В 81, No. 12, 121403(R)(4pp) (2010).

67. Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. К теории экситона Мотта в сильном магнитном поле // ЖЭТФ 53, No. 2, сс. 717-722 (1967).

68. И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик. Экситон Мотта в квазидвумерных полупроводниках в сильном магнитном поле // ЖЭТФ 78, No. 3, сс. 1167-1175 (1980).

69. И.В. Лернер, Ю.Е. Лозовик. Двумерные электронно-дырочные системы в сильном магнитном поле как почти идеальный газ экситонов // ЖЭТФ 80, No. 4, сс. 14881503 (1981).

70. I.V. Lerner, Yu.E. Lozovik. Phase transitions in two-dimensional electron-hole systems in the high magnetic fields // J. Low Temp. Phys. 38, No. 3-4, pp. 333-352 (1980).

71. O.L. Berman, Yu.E. Lozovik, G. Gumbs. Bose-Einstein condensation and superfluidity of magnetoexcitons in bilayer graphene // Phys. Rev. В 77, No. 15, 155433(10pp) (2008).

72. C. Kallin, B.I. Halperin. Excitations from a filled Landau level in the two-dimensional electron gas // Phys. Rev. В 30, No. 10, pp. 5655-5668 (1984).

73. J. Bardeen, L.N. Cooper, J.R. Schrieffer. Theory of superconductivity // Phys. Rev. 108, No. 5, pp. 1175-1204 (1957).

74. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. О возможности сверхтекучести разделенных в пространстве электронов и дырок при их спаривании: новый механизм сверхпроводимости // Письма в ЖЭТФ 22, No. 11, сс. 556-559 (1975).

75. С.И. Шевченко. Теория сверхпроводимости систем со спариванием пространственно разделенных электронов и дырок // Физ. низк. темп. 2, No. 4, сс. 505-516 (1976).

76. P. Nozieres, S. Schmitt-Rink. Bose condensation in an attractive electron gas: Prom weak to strong coupling superconductivity //J. Low Temp. Phys. 59, No. 3-4, pp. 195-211 (1985).

77. M.G. Alford, A. Schmitt, R. Rajagopal, T. Schafer. Color superconductivity in dense quark matter // Rev. Mod. Phys. 80, No. 4, pp. 1455-1515 (2008).

78. Г.М. Элиашберг. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в сверхпроводнике // ЖЭТФ 38, No. 3, сс. 966-976 (1960).

79. Г.М. Элиашберг. Температурные функции Грина электронов в сверхпроводнике // ЖЭТФ 39, No. 5(11), сс. 1437-1441 (1960).

80. В. Uchoa, А.Н. Castro Neto. Superconducting states of pure and doped graphenc // Phys. Rev. Lett. 98, No. 14, 146801 (4pp) (2007).

81. D.V. Khveshchenko. Massive Dirac fermions in single-layer graphene // J. Phys.: Condens. Matter 21, No. 7, 07533 (7pp) (2009).

82. A.M. Black-Schaffer, S. Doniach. Resonating valence bonds and mean-field d-wave superconductivity in graphite // Phys. Rev. В 75, No. 13, 134512(10pp) (2007).

83. C. Honerkamp. Density waves and Cooper pairing on the honeycomb lattice // Phys. Rev. Lett. 100, No. 14, 164404(4pp) (2008).

84. J. Gonzalez. Kohn-Luttinger superconductivity in graphene // Phys. Rev. В 78, No. 20, 205431 (6pp) (2008).

85. S. Piscanec, M. Lazzeri, F. Mauri, A.C. Ferrari, J. Robertson. Kohn anomalies and electron-phonon interactions in graphite // Phys. Rev. Lett. 93, No. 18, 185503(4pp) (2004).

86. D.M. Basko, I.L. Aleiner. Interplay of Coulomb and electron-phonon interactions in graphene // Phys. Rev. В 77, No. 4, 041409(R)(4pp) (2008).

87. E. Mariani, F. von Oppen. Flexural phonons in free-standing graphene // Phys. Rev. Lett. 100, No. 7, 076801(4pp) (2008).

88. E. Mariani, F. von Oppen. Erratum: Flexural phonons in free-standing graphene Phys. Rev. Lett. 100, 076801 (2008)] // Phys. Rev. Lett. 100, No. 24, 249901(lp) (2008).

89. A. Karlhede, S.A. Kivelson, S.L. Sondhi, The quantum Hall effect, Jerusalem 2002 winter school, University of California, 2002.

90. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Квантовая механика, Москва, Наука, 1989.

91. K.W. Chiu, J.J. Quinn. Plasma oscillations of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field // Phys. Rev. В 9, No. 11, pp. 4724-4732 (1974).

92. Ю.Е. Лозовик, A.M. Рувинский. Магнитоэкситонное поглощение в связанных квантовых ямах // ЖЭТФ 112, No. 5, сс. 1791-1808 (1997).

93. J.P. Eisenstein, А.Н. MacDonald. Bose-Einstein condensation of excitons in bilayer electron systems // Nature 432, No. 7018, pp. 691-694 (2004).

94. L.V. Butov, A.V. Mintsev, Yu.E. Lozovik, K.L. Campman, A.C. Gossard. From spatially indirect excitons to momentum-space indirect excitons by an in-plane magnetic field // Phys. Rev. В 62, No. 3, pp. 1548-1551 (2000).

95. L.V. Butov, C.W. Lai, D.S. Chemla, Yu.E. Lozovik, K.L. Campman, A.C. Gossard. Observation of magnetically induced effective-mass enhancement of quasi-2D excitons // Phys. Rev. Lett. 87, No. 21, 216804(4pp) (2001).

96. Yu.E. Lozovik, I.V. Ovchinnikov, S.Yu. Volkov, L.V. Butov, D.S. Chemla. Quasi-two-dimensional excitons in finite magnetic fields // Phys. Rev. В 65, No. 23, 235304(llpp) (2002).

97. А.Б. Дзюбенко,Ю.Е. Лозовик. Квазидвумерный конденсат электронно-дырочных пар в сильных магнитных полях // Физ. твердого тела 26, No. 5, сс. 1540-1541 (1984).

98. А.В. Dzuybenko, Yu.E. Lozovik. Symmetry of Hamiltonians of quantum two-component systems: condensate of composite particles as an exact eigenstate //J. Phys. A 24, No. 2, pp. 415-424 (1991).

99. С.Д. Дикман, С.В. Иорданский. Спиновая релаксация в условиях КЭХ при нечетном заполнении // Письма в ЖЭТФ 63, No. 1, сс. 43-48 (1996).

100. D. Paquet, Т.М. Rice, К. Ueda. Two-dimensional electron-hole fluid in a strong perpendicular magnetic field: Exciton Bose condensate or maximum density two-dimensional droplet // Phys. Rev. В 32, No. 8, pp. 5208-5221 (1985).

101. A. Iyengar, J. Wang, H.A. Fertig, L. Brey. Excitations from filled Landau levels in graphene // Phys. Rev. В 75, No. 12, 125430(14pp) (2007).

102. Yu.A. Bychkov, G. Martinez. Magnetoplasmon excitations in graphene for filling factors v < 6 // Phys. Rev. В 77, No. 12, 125417(14pp) (2008).

103. Z.G. Koinov. Magnetoexciton dispersion in graphene bilayers embedded in a dielectric // Phys. Rev. В 79, No. 7, 073409(4pp) (2009).

104. D.V. Fil, L.Yu. Kravchenko. Superfluid state of magnetoexcitons in double layer graphene structures // AIP Conf. Proc. 1198, pp. 34-41 (2009).

105. C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar. Influence of Landau-level mixing on Wigner crystallization in graphene // Phys. Rev. В 77, No. 20, 205426(5pp) (2008).

106. X. Хакен, Квантовополевая теория твердого тела, Москва, Наука, 1980, стр. 161.

107. Yu.E. Lozovik, I.V. Yudson. On the ground state of the two-dimensional non-ideal Bose gas // Physica A 93, No. 3-4, pp. 439-502 (1978).

108. O.L. Berman, R.Ya. Kezerashvili, Yu.E. Lozovik. Collective properties of magnetobiexcitons in quantum wells and graphene superlattices // Phys. Rev. В 78, No. 3, 035135(9pp) (2008).

109. O.L. Berman, R.Ya. Kezerashvili, Yu.E. Lozovik. Bose-Einstein condensation of trapped polaritons in two-dimensional electron-hole systems in a high magnetic field // Phys. Rev. В 80, No. 11, 115302(llpp) (2009).

110. A.A. Абрикосов, JI.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Москва, Добросвет, 2006.

111. V.P. Gusynin, V.A. Miransky, S.G. Sharapov, I.A. Shovkovy. Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene // Phys. Rev. В 74, No. 19, 195429(10pp) (2006).

112. K. Shizuya. Electromagnetic response and effective gauge theory of graphene in a magnetic field // Phys. Rev. В 75, No. 24, 245417(9pp) (2007).

113. O.L. Berman, G. Gumbs, Yu.E. Lozovik. Magnetoplasmons in layered graphene structures // Phys. Rev. В 78, No. 8, 085401 (5pp) (2008).

114. R. Roldan, J.-N. Fuchs, M.O. Goerbig. Collective modes of doped graphene and a standard two-dimensional electron gas in a strong magnetic field: Linear magnetoplasmons versus magnetoexcitons // Phys. Rev. В 80, No. 8, 085408(6pp) (2009).

115. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. Новый механизм сверхпроводимости: спаривание между пространственно разделенными электронами и дырками // ЖЭТФ 71, No. 2(8), сс. 738-753 (1976).

116. S. Das Sarma, A. Madhukar. Collective modes of spatially separated, two-component, two-dimensional plasma in solids // Phys. Rev. В 23, No. 2, pp. 805-815 (1981).

117. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Специальные функции, Москва, Наука, 1983, стр. 478.

118. M.L. Sadowski, G. Martinez, М. Potemski, С. Berger, W.A. de Heer. Magnetospectroscopy of epitaxial few-layer graphene // Solid State Commun. 143, No. 1-2, pp. 123-125 (2007).

119. O. Kashuba, V.I. Fal'ko. Signature of electronic excitations in the Raman spectrum of graphene // Phys. Rev. В 80, No. 24, 241404(4pp) (2009).

120. М.О. Goerbig, J.-N. Fuchs, К. Kechedzhi, V.I. Fal'ko. Filling-factor-dependent magnetophonon resonance in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 8, 087402(4pp) (2007).

121. Z. Jiang, Y. Zhang, H.L. Stormer, P. Kim. The nature of quantum Hall states near the charge neutral Dirac point in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 10, 106802(4pp) (2007).

122. N. Shibata, K. Nomura. Coupled charge and valley excitations in graphene quantum Hall ferromagnets // Phys. Rev. В 77, No. 23, 235426(5pp) (2008).

123. Yu.E. Lozovik, V.I. Yudson. Superconductivity at dielectric pairing of spatially separated quasiparticles // Solid State Commun. 19, No. 4, pp. 391-393 (1976).

124. A.B. Ключник, Ю.Е. Лозовик. Двумерная диэлектрическая электронно-дырочная жидкость // Физ. твердого тела 20, No. 2, сс. 625-627 (1978).

125. S.I. Shevchenko. Phase diagram of systems with pairing of spatially separated electrons and holes // Phys. Rev. Lett. 72, No. 20, pp. 3242-3245 (1994).

126. Ю.Е. Лозовик, О.Л. Берман. Фазовые переходы в системе пространственно разделенных электронов и дырок // ЖЭТФ 111, No. 5, сс. 1879-1895 (1997).

127. Yu.E. Lozovik, A.V. Poushnov. Magnetism and Josephson effect in a coupled quantum well electron-hole system // Phys. Lett. A 228, No. 6, pp. 399-407 (1997).

128. S.A. Moskalenko, D.W. Snoke. Bose-Einstein condensation of excitons and biexcitons and coherent nonlinear optics with excitons, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2000.

129. В.Б. Тимофеев. Коллективные экситонные явления в пространственно разделенных электрон-дырочных слоях в полупроводниках // УФН 175, No. 3, сс. 315-327 (2005).

130. L.V. Butov. Condensation and pattern formation in cold exciton gases in coupled quantum wells // J. Phys.: Condens. Matter 16, No. 50, pp. R1577-R1613 (2004).

131. Ю.Е. Лозовик, И.Л. Курбаков, Г.Е. Астрахарчик, М. Вилландер. Бозе-конденсация двумерных дипольных экситонов: моделирование квантовым методом Монте-Карло // ЖЭТФ 133, No. 2, сс. 348-369 (2008).

132. Yu.E. Lozovik, I.L. Kurbakov, M. Willander. Superfluidity of two-dimensional excitons in flat and harmonic traps // Phys. Lett. A 366, No. 4-5, pp. 487-492 (2007).

133. J.L. McChesney, A. Bostwick, T. Ohta, T. Seyller, K. Horn, J. Gonzalez, E. Rotenberg. Extended van Hove singularity and superconducting instability in doped graphene // Phys. Rev. Lett. 104, No. 13, 136803(4pp) (2010).

134. U. Sivan, P.M. Solomon, H. Shtrikman. Coupled electron-hole transport // Phys. Rev. Lett. 68, No. 8, pp. 1196-1200 (1992).

135. S. Conti, G. Vignale, A.H. MacDonald. Engineering superfluidity in electron-hole double layers // Phys. Rev. В 57, No. 12, pp. R6846-R6849 (1998).

136. Ю.Е. Лозовик, M.B. Никитков. Кинетические свойства системы пространственно-разделенных экситонов и электронов при наличии бозе-конденсата экситонов // ЖЭТФ 116, No. 4(10), сс. 1440-1449 (1999).

137. B.Y.-K. Ни. Prospecting for the superfluid transition in electron-hole coupled quantum wells using Coulomb drag // Phys. Rev. Lett. 85, No. 4, pp. 820-823 (2000).

138. A.V. Balatsky, Y.N. Joglekar, P.B. Littlewood. Dipolar superfluidity in electron-hole bilayer systems // Phys. Rev. Lett. 93, No. 26, 266801 (4pp) (2004).

139. S. De Palo, F. Rapisarda, G. Senatore. Excitonic condensation in a symmetric electron-hole bilayer // Phys. Rev. Lett. 88, No. 20, 206401 (4pp) (2002).

140. Y.N. Joglekar, A.V. Balatsky, S. Das Sarma. Wigner supersolid of excitons in electron-hole bilayers // Phys. Rev. В 74, No. 23, 233302(4pp) (2006).

141. Yu.E. Lozovik, V.I. Yudson. Electron-hole superconductivity. Influence of structure defects // Solid State Commun. 21, No. 2, pp. 211-215 (1977).

142. S. Adam, E.H. Hwang, V.M. Galitski, S. Das Sarma. A self-consistent theory for graphene transport // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 104, No. 47, pp. 18392-18397 (2007).

143. Ю.Е. Лозовик, В.И. Юдсон. Фазовый переход полуметалла в состояние с резко анизотропным спариванием электронов и дырок // Физ. твердого тела 17, No. 6, сс. 1613-1616 (1975).

144. D.M. Eagles. Possible pairing without superconductivity at low carrier concentrations in bulk and thin-film superconducting semiconductors // Phys. Rev. 186, No. 2, pp. 456-463 (1969).

145. A.J. Leggett. Cooper pairing in spin-polarized Fermi systems // Journal de Physique Colloque (Paris) 41, No. 7, pp. C7-19-C7-26.

146. H. Abuki, T. Hatsuda, K. Itakura. Structural change of Cooper pairs and momentum-dependent gap in color superconductivity // Phys. Rev. D 65, No. 7, 074014(14pp).

147. Y. Nishida, H. Abuki. BCS-BEC crossover in a relativistic superfluid and its significance to quark matter // Phys. Rev. D 72, No. 9, 096004(5pp) (2005).

148. L. He, P. Zhuang. Relativistic BCS-BEC crossover at zero temperature // Phys. Rev. D 75, No. 9, 096003(8pp) (2007).

149. L. He, P. Zhuang. Relativistic BCS-BEC crossover at finite temperature and its application to color superconductivity // Phys. Rev. D 76, No. 5, 056003(13pp) (2007).

150. J. Sabio, F. Sols, F. Guinea. Two-body problem in graphene // Phys. Rev. В 81, No. 4, 045428(12pp) (2010).

151. B.B. Балашов, В.К. Долинов, Курс квантовой механики, Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, стр. 172.

152. V.M. Pereira, J. Nilsson, А.Н. Castro Neto. Coulomb impurity problem in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 16, 166802(4pp) (2007).

153. A.V. Shytov, M.I. Katsnelson, L.S. Levitov. Vacuum polarization and screening of supercritical impurities in graphene // Phys. Rev. Lett. 99, No. 23, 236801(4pp) (2007).

154. P. Van Alstine, H. Crater. Exact parapositroniumlike solution to two-body Dirac equations // Phys. Rev. D 34, No. 6, pp. 1932-1935 (1986).

155. D. Alba, H.W. Crater, L. Lusanna. Hamiltonian relativistic two-body problem: center of mass and orbit reconstruction // J. Phys. A: Math. Theor. 40, pp. 9585-9607 (2007).

156. K. Kawamura, R.A. Brown. Borgmann's theorem and position-dependent effective mass // Phys. Rev. В 37, No. 8, pp. 3932-3939 (1988).

157. E. Zhao, A. Paramekanti. BCS-BEC crossover on the two-dimensional honeycomb lattice // Phys. Rev. Lett. 97, No. 23, 230404(4pp) (2006).

158. H. Min, R. Bistritzer, J.-J. Su, A.H. MacDonald. Room-temperature superfluidity in graphene bilayers // Phys. Rev. В 78, No. 12, 121401 (R)(4pp) (2008).

159. C.-H. Zhang, Y.N. Joglekar. Excitonic condensation of massless fermions in graphene bilayers // Phys. Rev. В 77, No. 23, 233405(4pp) (2008).

160. R. Bistritzer, A.H. MacDonald. Influence of disorder on electron-hole pair condensation in graphene bilayers // Phys. Rev. Lett. 101, No. 25, 256406(4pp) (2008).

161. B. Seradjeh, H. Weber, M. Franz. Vortices, zero modes, and fractionalization in the bilayer-graphene exciton condensate // Phys. Rev. Lett. 101, No. 24, 264404(4pp) (2008).

162. M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov. Electron screening and excitonic condensation in double-layer graphene systems // Phys. Rev. В 78, No. 24, 241401 (R)(4pp) (2008).

163. R. Bistritzer, H. Min, J.-J. Su, A.H. MacDonald. Comment on «Electron screening and excitonic condensation in double-layer graphene systems» / / http://arxiv.org/abs/0810.0331vl.

164. M.Yu. Kharitonov, K.B. Efetov. Excitonic condensation in a double-layer graphene system // Semicond. Sci. Tech. 25, No. 3, 034004(1 lpp) (2010).

165. M. Alford, K. Rajagopal, F. Wilczek. QCD at finite baryon density: nucleon droplets and color superconductivity // Phys. Lett. В 422, No. 1-4, pp. 247-256 (1998).

166. R.D. Pisarski, D.H. Rischke. Superfluidity in a model of massless fermions coupled to scalar bosons // Phys. Rev. D 60, No. 9, 094013(19pp) (1999).

167. T. Ohsaku. BCS and generalized BCS superconductivity in relativistic quantum field theory: Formulation // Phys. Rev. В 65, No. 2, 024512(13pp) (2001).

168. Т. Ohsaku. BCS and generalized BCS superconductivity in relativistic quantum field theory. II. Numerical calculations // Phys. Rev. В 66, No. 5, 054518(13pp) (2002).

169. T. Ohsaku. Relativistic model of two-band superconductivity in (2+l)-dimension // Int. J. Mod. Phys. В 18, No. 12, pp. 1771-1794 (2004).

170. N.B. Kopnin, E.B. Sonin. BCS superconductivity of Dirac electrons in graphene layers // Phys. Rev. Lett. 100, No. 24, 246808(4pp) (2008).

171. Л.П. Горьков. Об энергетическом спектре сверхпроводников // ЖЭТФ 34, No. 3, pp. 735-739 (1958).

172. М. Sigrist, К. Ueda. Phenomenological theory of unconventional superconductivity // Rev. Mod. Phys. 63, No. 2, pp. 239-311 (1991).

173. S.M. Apenko, D.A. Kirzhnits, Y.E. Lozovik. On the validity of the 1/N-expansion // Phys. Lett. A 92, No. 3, pp. 107-109 (1982).

174. M.V. Milovanovic. Fractionalization in dimerized graphene and graphene bilayer // Phys. Rev. В 78, No. 24, 245424(7pp) (2008).

175. I.M. Khaymovich, N.B. Kopnin, A.S. Mel'nikov, I.A. Shereshevskii. Vortex core states in superconducting graphene // Phys. Rev. В 79, No. 22, 224506(7pp) (2009).

176. V.A. Khodel, V.V. Khodel, J.W. Clark. Solution of the gap equation in neutron matter // Nucl. Phys. A 598, No. 3, pp. 390-417 (1996).

177. N.B. Kopnin, E.B. Sonin. Supercurrent in superconducting graphene // http://arxiv.org/abs/1001.1048vl.

178. Y.M. Malozovsky, S.M. Bose, P. Longe, J.D. Fan. Eliashberg equations and superconductivity in a layered two-dimensional metal // Phys. Rev. В 48, No. 14, pp. 10504-10513 (1993).

179. H. Suhl, B.T. Matthias, L.R. Walker. Bardeen-Cooper-Schrieffer theory of superconductivity in the case of overlapping bands // Phys. Rev. Lett. 3, No. 12, pp. 552-554 (1959).

180. Н. Schmidt, J.F. Zasadzinski, K.E. Gray, D.G. Hinks. Evidence for two-band superconductivity from break-junction tunneling on MgB2 // Phys. Rev. Lett. 88, No. 12, 127002(4pp) (2000).

181. V. Barzykin, L.P. Gor'kov. On superconducting and magnetic properties of iron-oxypnictides // Письма в ЖЭТФ 88, No. 2, cc. 142-146 (2008).

182. M.B. Садовский. Высокотемпературная сверхпроводимость в слоистых соединениях на основе железа // УФН 178, No. 12, сс. 1243-1271 (2008).

183. Н.В. Heersche, P. Jarillo-Herrero, J.B. Oostinga, L.M.K. Vandersypen, A.F. Morpurgo. Bipolar supercurrent in graphene // Nature 446, No. 7131, pp. 56-59 (2007).

184. C.W.J. Beenakker. Colloquium: Andreev reflection and Klein tunneling in graphene // Rev. Mod. Phys. 80, No. 4, pp. 1337-1354 (2008).

185. E.C. Marino, L.H. Nunes. Quantum criticality and superconductivity in quasi-two-dimensional Dirac electronic systems // Nucl. Phys. В 741, No. 3, pp. 404-420 (2006).

186. O.V. Dolgov, I.I. Mazin, D. Parker, A.A. Golubov. Interband superconductivity: Contrasts between Bardeen-Cooper-Schrieffer and Eliashberg theories // Phys. Rev. В 79, No. 6, 060502(R)(4pp) (2009).

187. M. Calandra, F. Mauri. Theoretical explanation of superconductivity in СбСа // Phys. Rev. Lett. 95, No. 23, 237002(4pp) (2005).

188. G.A. Ummarino, M. Tortello, D. Daghero, R.S. Gonnelli. Three-band s± Eliashberg theory and the superconducting gaps of iron pnictides // Phys. Rev. В 80, No. 17, 172503 (2009).

189. D.T. Son. Superconductivity by long-range color magnetic interaction in high-density quark matter // Phys. Rev. D 59, No. 9, 094019(8pp) (1999).

190. T. Schafer, F. Wilczek. Superconductivity from perturbative one-gluon exchange in high density quark matter // Phys. Rev. D 60, No. 11, 114033(7pp) (1999).

191. D.J. Scalapino, Y. Wada, J.C. Swihart. Strong-coupling superconductor at nonzero temperature // Phys. Rev. Lett. 14, No. 4, pp. 102-105 (1965).

192. W.L. McMillan. Transition temperature of strong-coupled superconductors // Phys. Rev. 167, No. 2, pp. 331-344 (1968).

193. C.B. Вонсовский, Ю.А. Изюмов, Э.З. Курмаев, Сверхпроводимость переходных металлов, их сплавов и соединений, Москва, Наука, 1977, стр. 44.

194. М.В. Медведев, Э.А. Пашицкий, Ю.С. Пятилетов. Влияние низкочастотных пиков фононной плотности состояний на критическую температуру сверхпроводников // ЖЭТФ 65, No. 1, сс. 1186-1197 (1973).

195. А.Б. Мигдал. Взаимодействие электронов с колебаниями решётки в нормальном металле // ЖЭТФ 34, No. 6, сс. 1438-1446 (1958).

196. S. Pisana, М. Lazzeri, С. Casiraghi, K.S. Novoselov, A.K. Geim, А.С. Ferrari, F. Mauri. Breakdown of the adiabatic Born-Oppenheimer approximation in graphene // Nature Materials 6, No. 3, pp. 198-201 (2007).

197. O.B. Долгов, Е.Г. Максимов. Критическая температура сверхпроводников с сильной связью // УФН 138, No. 1, сс. 95-128 (1982).

198. Е. McCann, К. Kechedzhi, V.I. Fal'ko, Н. Suzuura, Т. Ando, B.L. Altshuler. Weak-localization magnetoresistance and valley symmetry in graphene // Phys. Rev. Lett. 97, No. 14, 146805(4pp) (2006).

199. V.P. Gusynin, S.G. Sharapov, J.P. Carbotte. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to 24 1-dimensional quantum electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. В 21, No. 27, pp. 4611-4658 (2007).

200. H. Suzuura, T. Ando. Phonons and electron-phonon scattering in carbon nanotubes // Phys. Rev. в 65, No. 23, 235412(15pp) (2002).

201. D.M. Basko. Theory of resonant multiphonon Raman scattering in graphene // Phys. Rev. В 78, No. 12, 125418(42pp) (2008).

202. М. Calandra, F. Mauri. Electron-phonon coupling and electron self-energy in electron-doped graphene: Calculation of angular-resolved photoemission spectra // Phys. Rev. В 76, No. 20, 205411(9pp) (2007).

203. V. Perebeinos, J. TersofF. Valence force model for phonons in graphene and carbon nanotubes // Phys. Rev. В 79, No. 24, 241409(R)(4pp) (2009).

204. S.V. Kusminskiy, D.K. Campbell, A.H. Castro Neto. Lenosky's energy and the phonon dispersion of graphene // Phys. Rev. В 80, No. 3, 035401(5pp) (2009).

205. L. Wirtz, A. Rubio. The phonon dispersion of graphite revisited // Solid State Commun. 131, No. 3-4, pp. 141-152 (2004).

206. K. Capelle, E.K.U. Gross. Relativistic framework for microscopic theories of superconductivity. I. The Dirac equation for superconductors // Phys. Rev. В 59, No. 10, pp. 7140-7154 (1999).

207. H. Ryu, C. Mudry, C.-Y. Hou, C. Chamon. Masses in graphene-like two-dimensional electronic systems: Topological defects in order parameters and their fractional exchange statistics // Phys. Rev. В 80, No. 20, 205319(32pp) (2009).

208. Т.О. Wehling, H.P. Dahal, A.I. Lichtenstein, A.V. Balatsky. Local impurity effects in superconducting graphene // Phys. Rev. В 78, No. 3, 035414(5pp) (2008).

209. R. Al-Jishi. Model for superconductivity in graphite intercalation compounds // Phys. Rev. В 28, No. 1, pp. 112-116 (1983).

210. Т.Е. Weller, M. Ellerby, S.S. Saxena, R.P. Smith, N.T. Skipper. Superconductivity in the intercalated graphite compounds CgYb and СбСа // Nature Phys. 1, No. 1, pp. 39-41 (2005).