Кольца элементарных делителей и связанные с ними алгебраические структуры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

і о л

І/,4

' '-у ]

РОМАНІВ ОЛЕГ МИКОЛАЙОВИЧ

УДК 512.552.12

КІЛЬЦЯ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ДІЛЬНИКІВ І ЗВ’ЯЗАНІ З НИМИ АЛГЕБРАЇЧНІ

СТРУКТУРИ ^

0(м$

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математігших наук

Київ - 2000

-о і

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті імені Івана Франка на кафедрі алгебри і топології

Науковий керівник

кандидат фізико-математичних наук Забавський Богдан Володимирович доцент кафедри алгебри і топології Львівського державного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук

Рябухін Юрій Михайлович

провідний науковий співробітник

Інституту математики АН Республіки Молдова

доктор фізико-математичних наук Дубровін Микола Іванович професор математичного факультету Володимирського державного університету (Росія)

Провідна установа

Ужгородський державний університет

Захист відбудеться 24 січня 2000 року о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої ради Д26.001:18 Київського університету імені Тараса Шевченка за адресою: 252127, м.Київ -127, проспект Академіка Глушкова

6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (вул.Володимирська, 62).

Автореферат розісланий 20 грудня 1999 року.

Вчений секретар ґ~//1

спеціалізованої вченої ради чПетравчук А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми.

Кільця, над якими довільна матриця доміюженням на зворотні матриці приводиться до канонічного діагонального вигляду, досліджувались багатьма алгебраїстами. І. Капланським було введене поняття кільця елементарних дільників, яке охоплює відомі області головних ідеалів і адекватні кільця. На даний час теорія кілець елементарних дільників є самостійною віткою теорії кілець і модулів, в рамках якої виділений цілий ряд загальних проблем. Причому, попри всі відомі характеризації кілець елементарних дільників, сама проблематика в своєму загальному формулюванні далеко не вичерпана.

В 1861 році Г. Смітом (Smith H.J. On systems of linear indeterminate equation and congruences, Phil. Trans. Roy. Soc. London. 151 (1861), №2, 293-326) було доведено, що довільна матриця, елементами якої є цілі числа, домноженням на зворотні матриці зводиться до діагонального вигляду, де кожний наступний діагональний елемент ділить націло попередній. Природно, що виникло запитання: над якими кільцями довільна матриця домноженням на зворотні матриці приводиться до канонічного діагоначьного вигляду (тобто володіє діагональною редукцією).

Можливість такої діагональної редукції над комутативними і неко-мутативними областями Евкліда і комутативними областями головних ідеалів довели J1. Діксон (1923 p.), Д. Веддерберн (1932 p.), Н. Дже-кобсон (1937). Пізніше, в 1937 р. О. Тейхмюллер узагальнив теорему про діагональну редукцію матриць на випадок довільної некомутати-вної області головних ідеалів.

Дальше вивчення кілець елементарних дільників просувалось у напрямку дослідження кілець Безу (кілець скінчєшюпороджених головних ідеалів), які є узагальненням кілець головних ідеалів. J1. Гілман і М. Хенріксен побудували приклад комутативного кільця Безу з дільниками нуля, що не є кільцем елементарних дільників. Таким чином, сформульована раніше задача зводиться до наступної: чи кожна область Безу є кільцем елементарних дільників. Ця задача неодноразово ставилась М. Хенріксеном, Л. Гілманом, І. Капланським, П. Коном, П.С. Казімірським.

Відзначимо також наступний факт: І. Кашіанський показав, що над кільцем елементарних дільників довільний скінченно-зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів. В комутативному випадку вірне і обернене твердження. Таким чином, проблема Уорфілда (над якими кільцями скінченно-зображуваний модуль розкладається в пряму суму циклічних модулів) у випадку комутативних кілець еквівалентна проблемі описання кілець елементарних дільників. В нєкомутативному випадку ця проблема ще нерозв’язана. Повне розв’язання цієі проблеми для класу узагальнено однорядних кілець отримано Ю.А. Дроздом.

Над деякими класами кілець довільну матрицю можна привести до канонічного діагонального вигляду з допомогою тільки елементарних перетворень рядків і стовпців. Це, наприклад, справедливо для матриць над полем, над кільцем цілих чисел або, більш загальніше, над будь-яким евклідовим кільцем. В цьому випадку довільна зворотня матриця розкладається в пряму суму елементарних матриць (зрозуміло, що у випадку довільного кільця це не справедливо).

В даній дисертації досліджуються саме такі кільця (кільця, над якими довільна зворотня матриця зображається у вигляді скінченного добутку елементарних матриць). Дослідження, пов’язані саме з такими задачами, започатковані П. Коном (див. Кон П. Свободные кольца и их связи: Пер. с англ, М.: Мир, (1976)) і продовжені Д. Бергманом. Ж. Куке і Б. Богі досліджували які з класів кілець цілих алгебраїчних чисел є такими кільцями.

Проте існує багато неевклідових кілець, над якими довільна матриця приводиться до вказаного канонічного діагонального вигляду елементарними перетвореннями рядків і стовпців. Тому природно, виникла задача про повне описання як комутативних, так і некомутативних кілець, над якими довільна матриця домноженням на елементарні матриці приводиться до канонічного діагонального вигляду. Такі кільця отримали назву кілець з елементарною редукцією матриць .

Зрозуміло, що важливу роль в теорії кілець з елементарною редукцією матриць відіграє наявність скінченного ланцюга подільності для довільних двох елементів. Тому часто (зокрема в даній дисертації) кільця з елементарною редукцією матриць вивчаються через дослідження властивостей кілець з умовою подільності, а саме елементарно головних кілець, кілець стабільного рангу один, 2-евклідових і и>-

з

евклідових кілець.

Відзначимо також актуальність дещо іншого підходу до описання кілець з елементарною редукцією матриць. Добре відомо, що праве кільце Безу відрізняється від кілець правих головних ідеалів наявністю нескінченно-породженнх правих ідеалів. І. Коен довів, що якщо в комутативному кільці довільний простий ідеал є головним (скінченно-породженим), то і довільний ідеал кільця є головним (скінченно-пород-женим). Цей факт дозволяє говорити про максимально неголовні праві ідеали кілець, наявність яких робить кільця Безу більш складними для досліджень, ніж кільця головних правих ідеалів.

Слід ще відзначити наступний факт. В алгебраїчній А'-теорії поширене поняття Я'гфунктора, який співставляє деякому кільцю групу Уайтхеда. В комутативному випадку група Уайтхеда розкладається в пряму суму групи одиниць кільця і фактор-групи спеціальної лінійної групи по підгрупі, породженій елементарними матрицями. В багатьох випадках спеціальна лінійна група породжується елементарними матрицями і тому група Уайтхеда ізоморфна групі одиниць кільця. В даній дисертації на основі розгляду кілець з елементарною редукцією матриць досліджуються саме такі комутативні кільця.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертації пов’язана з дослідженнями кафедри алгебри і топології Львівського державного університету, а також з науково-дослідними роботами по державній темі ” Алгебро-топологічні конструкції та іх застосування’’ (номер державної реєстрації 0195У009660).

Мета і задачі дослідження.

• знаходження нових класів як комутативних, так і некомутативних кілець з елементарною редукцією матриць;

• встановлення властивостей однобічних елементарно головних кілець, некомутативних и>-евклідових кілець з іх подальшим дослідженням на предмет можливості елементарної редукції довільної матриці;

• знаходження властивостей кілець Безу і 2-евклідових кілець, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним, і описання в даних класах кілець тих кілець, над якими можлива

елементарна редукція матриць;

• розширення теорії адекватних кілець на некомутативний випадок і встановлення властивостей адекватних справа дуо-кілець.

Наукова новизна одержаних результатів.

Всі результати, отримані в дисертації, є новими.

В дисертації отримано такі результати:

• досліджено властивості елементарно головних кілець і знайдено умови, при яких такі кільця е кільцями з елементарною редукцією матриць;

• через вивчення властивостей о>-евклідових кілець встановлено умови, при яких довільна матриця над цими кільцями за допомогою елементарних перетворень приводиться до канонічного діагонального вигляду;

• знайдено достатні умови, які потрібно накласти на кільце Безу, в якому довільний максимально неголовний правий ідем є двобічним, щоб дане кільце було кільцем з елементарною редукцією матриць;

• на предмет діагональної редукції матриць дослідженно 2-евклідові кільця, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним;

• доведено можливість одночасного зведення пари матриць до спеціального трикутного вигляду над адекватним дуо-кільцем.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації мають теоретичне значення. Вони можуть бути використані в теорії кілець і модулів, в теорії диференціальних рівнянь і рівнянь математичної фізики, в теорії операційних систем.

Особистий внесок здобувача.

Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержано здобува-чем особисто. У праці [2] науковому керівнику Б.В. Забавському належать формулювання задач, ідеї і керівництво роботою, результати

>к отримані автором самостійно. З роботи [3] пошукачем взято тільки результати, отримані самостійно.

Апробація результатів роботи.

Результати дисертації доповідались і обговорювались на наступних семінарах і конференціях:

• Львівському міському алгебраїчному семінарі та спеціальних семінарах кафедри алгебри і топології (Львів, 1995-1999),

• Всеукраїнській конференції ’’Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях”, присвяченій 70-річчю професора П.С. Казімірського (Львів, 1995),

• IV Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам’яті академіка М. Кравчука (Киів, 1995),

• IV Міжнародній конференції ’’Групи і групові кільця” (Львів 1996),

• Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті професора Л.М. Глускіна (Слов’янськ, 1997),

• V Міжнародній конференції ’Трупи і групові кільця” (Бялосток, Польща, 1997),

• Другій міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті проф. Л.А. Калужніна (Киів-Вінниця, 9-16 травня 1999р.).

Публікації.

Основні результати дисертації опубліковано в працях [1-Ю], з яких

4 надруковані у виданнях з переліку, затвердженного ВАК України.

Структура і об’єм роботи.

Дисертація складається зі вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації — 112 сторінок. Список використаних джерел включає 80 найменувань.

Автор виносить щиру подяку науковому керівнику Б.В. Забавсько-му за ідейне наповнення та постійну увагу до роботи.

в

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню кілець елементарнії: дільників і іх часткового випадку — кілець з елементарною редукцієк матриць.

У вступі обгрунтована актуальність, мета і об’єкти дисертаційно го дослідження автора.

У розділі 1 подається огляд літератури, присвяченої кільцям еле ментарних дільників, кільцям з елементарною редукцією матриць.

У розділі 2, який носить допоміжний характер, подано основні оз начення, відомі факти і домовленості про позначення.

На протязі всього викладу дисертації під кільцем Я будемо розу міти асоціативне кільце з відмінною від нуля одиницею. Через 14{Я позначимо групу зворотніх елементів кільця Я, а через тзрсс (а) — множину максимальних ідеалів кільця, які містять елемент а.

Під елементарними матрицями розумітимемо квадратні діагональ ні матриці зі зворотніми елементами на головній діагоналі і матриці відмінні від одшшчноі наявністю деякого ненульового елемента поз; головною діагоналлю.

Групу всіх матриць п-го порядку з елементами кільця Я, відміннії; від одиничної наявністю деякого ненульового елемента поза головнок діагоналлю, позначимо Еп(Я).

Кільце Я без дільників нзгля назвемо ЄЕп-областю, якщо довільні зворотня над Я матриця є добутком елементарних матриць.

Матриці А і В з елементами кільця Я є елементарно еквівалентни ми якщо існують такі елементарні над Я матриці Р\,... ,Рк, відповідних розмірів, що Рі • ... • Рі; ■ А - (¿і ■ ... • <5^ = В.

Матриця А з елементами кільця Я володіє елементарною редукціск якщо вона елементарно еквівалентна діагональній матриці

<^(£1,Є2,...1Єг,0,...,0),

де ЄіЯПЯєі 3 Яєі+ іЯ, (і — 1,2,..., г — 1) (під діагональною розуміємс взагалі кажучи, прямокутну матрицю, в якій поза головною діагонал лю стоять нулі).

Кільце Я називається кільцем з елементарною редукцією матриці якщо довільна матриця А з елементами кільця Я володіє елементарною редукцією.

Кільце Я називається кільцем елементарних дільників, якщо для довільної матриці А з елементами кільця Я існують такі зворотні матриці Р, (Э відповідних розмірів, що

Р ■ А - <3 = с1іаб(єх,є2, • • • ,ЄГ, о,... ,0),

це Єіії П Яєі Э Дє,-+1Я, і = 1,2,...,г— 1. Зрозуміло, що кільце з элементарною редукцією матриць є кільцем елементарних дільників. Навпаки вірно не завжди (наприклад кільце К[ж, у]/(х2 + у2 + 1)).

Правим кільцем Безу називається кільце, в якому довільний скінче-Ешопороджений правий ідеал є головним правим ідеалом.

У розділі З розглядаються елементарно головні кільця, тобто такі кільця II, в яких для довільних елементів а., Ь Є її існують елемент с Є Я і матриця М Є Е2{Я) такі, що (а,Ь)М = (с, 0). Основні результати даного розділу містяться в підрозділі 3.1 і ними ми вважаємо наступні теореми:

Теорема 3.1.15. Комутативне кільце Ерміта стабільного рангу один є кільцем з елементарною редукцією матриць.

Теорема 3.1.17. Комутативне напівлокальне кільце Безу є кільцем з елементарною редукцією матриць.

Нагадаємо, що кільцем стабільного рангу один називається кільце, в якому для довільних елементів а,Ь Є Я таких, що а Я + ЬН = Я, існує такий елемент ( Є й, що а + Ы Є Ы{Я), а напівлокальним кільцем називається кільце із скінченною кількістю максимальних ідеалів.

При доведенні вище наведених теорем використовується результат, який, на наш погляд, має самостійне значення.

Теорема 3.1.7. Комутативне елементарно головне кільце Я, в якому довільний ненульовий елемент МІСТИТЬСЯ в не більше, ніж злічений множині максимальних ідеалів, є кільцем з елементарною редукцією матриць.

Крім цього, в даному підрозділі знайдено достатні умови, при яких кільце Ерміта належить до класу кілець з елементарною редукцією матриць.

Теорема 3.1.18. Нехай Я — комутативне кільце Ерміта і для будь-яких елементів а,Ь Є Я (Ь ф 0) існує такий елемент з Є Я, що

тзрес(з) = тзрес(а) \ тзрес{Ь).

Тоді Я — кільце з елементарною редукцією матриць.

Як застосування отриманих результатів в підрозділі 3.2 сформульована і доведена

Теорема 3.2.1. Нехай Я — комутативна елементарно головна область. Тоді наступні твердження еквівалентні:

(i) Л — кільце з елементарною редукцією матриць;

(ii) для довільної матриці А Є Мг(Л), найбільший спільний дільник всіх в сукупності елементів якоі рівний одиниці, знайдеться власний (тобто ненульовий і неодиничний) ідемпотент в правому ідеалі А Я 2;

(iii) ненульовий розв’язок має матричне рівняння ХАХ = X, де X, А Є М2(Я) і найбільший спільний дільник всіх в сукупності елементів матриці А рівний одиниці.

Підрозділ 3.3 ділком відведений для прикладів (розглядаються праві кільця Евкліда, комутативні кільця нормування і регулярні кільця).

В розділі 4 вивчаються однобічні а>-евклідові області. Нагадаємо, що нормою над областю Я називають таку функцію Аг: Я —» 2, що А/*(0) = 0, ЛҐ{а) > 0 для довільного ненульового елемента а Є Я. Область Я називають правою ш-евклідовою областю відносно норми А1', якщо для довільних елементів а, Ь Є Я, Ь ф 0, існує правий ¿-членний ланцюг подільності

а = Ьді + п, Ь = гі?2 + г2,..., гк_2 = гк_^к + гк

для деякого к такий, що М(гк) < Л^{Ь).

Дослідження властивостей правих и>-евклідових кілець (зокрема доведення того факту, що область Я є правою ш-евклідовою областю, якщо і тільки якщо Я є СЕ-2-областю і правою областю Безу (твердження 4.1.7)) дало нам змогу отримати основний результат підрозділу 4-1 — теорему 4.1.8.

Перш, ніж подати до розгляду цей результат, зауважимо, що П. Кон в поняття повного дільника вкладає наступний зміст: елемент а області цілісності Я є повним дільником елемента Ь, якщо існує інваріантний елемент с такий, що аЯ С сЯ С ЬЯ.

Y; о ром а 4.1.8. Нехай кільце R є правою uj-евклідовою лівою головою областю. Тоді для довільної матриці А Є Mmxn(R) існують еле-геятарні над R матриці І\, Р2,..., F);, Qit Q2,..., Qs відповідних по-ядків такі, що

Рі ■ Рг....Рк • А ■ Qi ■ Q2...Q, = diag(ebe2l..., ет, 0,..., 0),

е елемент є,- є повним дільником (в розумінні Кона) елемента е1+і, = 1,2,..., г — 1.

Цей результат є, в певній мірі, продовженням результату П. Кона üohn Р.М. Оті the Structure of the GL2 of ring, I.H.E.S. Publ. Math. 30 L966), 365-413.), отриманого в теорії кілець елементарних дільників.

В підрозділі 4-2 описання нових класів кілець, над якими можли-а елементарна редукція матриць, відбувається шляхом накладання еяких умов на норму jV. Зокрема розглядаються мультиплікативні орми (норма jV над областю R с м у я ь пі ипл і к a пі и в ною, якщо для до-ільних ненульових елементів a,b є R виконується рівність Ai (a • b) = і (a) •jV(b)). Основним результатом даного підрозділу є

’еорема 4.2.3. Нехай кільце R — не кому та ти в н а w-евклідова область мультиплікативною нормою Af такою, що якщо Аі(и) = 1, то u Є '(R). Тоді для довільної матриці А Є MmXn(P) існують елементарні ад R матриці Р\, Р2,..., Р*, Qi,Q2, ■ ■ ■ ,QS відповідних розмірів такі, (О

Р\ • Рг....Рк ■ а ■ Qi ■ Q2...Qs - diag(eb e2,. ■ ■, er,0,..., 0),

e елемент e,: с повним дільником (в розумінні Кона) елемента еІ+і, = 1,2,..., r — 1.

Цей результат вдалося отримати, попередньо довівши наступну терему (яка, на нашу думку, має самостійне значення)

'еорема 4.2.2. Нехай R — права ш-евклідова область з мультипліка-ивною нормою Ai такою, що якщо Аґ(и) = 1, то u Є U(R). Тоді кільце ! є областю головних правих ідеалів.

В підрозділі 4-3 наведений приклад ще одного кільця елементарних ільників, яке не є кільцем з елементарною редукцією матриць, а саме ільце цілих алгебраїчних чисел в полі Q(V—19).

В розділі 5 клас кілець з елементарною редукцією матриць розширюється на області Безу і 2-евклідові області, в яких довільний мак симально неголовний правий ідеал (тобто правий ідеал кільця, який < максимальним в множині неголовних правих ідеалів відносно порядку включення ідеалів) є двобічним. Дослідження властивостей такш кілець проводиться в підрозділі 5.1, зокрема доведено наступну теорему.

Теорема 5.1.4. Нехай кільце Я — права Безу і ліва головна, область Тоді в кільці Я не існує двобічних ідеалів, які є максимально неголов ними правими ідеалами.

Основним результатом підрозділу 5.2 с

Теорема 5.2.2. Нехай Я — область Безу, в якій виконуються умови

1) максимально неголовний правий ідеал єдиний і є двобічним;

2) для будь-якого а Є Я існує а* Є Я, що ЯаЯ = а*Я — Яа*;

3) для довільних двох елементів, що не належать максимально него ловному правому ідеалу, існує скінченний лівий і правий ланцюі подільності.

Тоді Я є кільцем з елементарною редукцією матриць.

В підрозділі 5.3 розглядаються 2-евклідові області. Нагадаємо, ще кільце Я без дільників нуля називається правою 2-евклідовою области. відносно норми АГ, якщо для довільних елементів а Є Я, ЬєЯ\С виконується одна з наступних умов:

1) існують елементи <7, г Є Я такі, що а = 6<? + г і АГ(г) < АГ(Ь);

2) існують елементи ^і, ?2> гі, г2 Є Я такі, що а = бді + гі, Ь = + г; і АГ{г2) < АГ{Ь).

В даному підрозділі доведено наступну теорему:

Теорема 5.3.3. Нехай Я — 2-евклідова область, в якій довільний максимально неголовний лівий ідеал є двобічним і для довільного елементе а Є Я існує такий елемент а* Є Я, що ЯаЯ — а*Я = Яа*. Тоді Я — кільце з елементарною редукцією матриць.

Як наслідок отримано наступну теорему;

Теорема 5.3.4. Нехай Я — 2-евклідова область, в якій виконуються наступні властивості:

1) довільний максимальний лівий ідеал двобічним;

2) для довільного елемента а Є Я існує такий елемент а* Є Я, що ЯаЯ = а* Я — Яа*.

Тоді Я — кільце з елементарною редукцією матриць.

Зауважимо, що 2-евклідова область Я, в якій виконуються умови 1)

2) теореми 5.3.4, є дуо-областю (правим (лівим) дуо-кільцем називаться кільце, в якому довільний правий (лівий) ідеал є двобічним).

Серед прикладів, які задовільняють умови теорем розділу 5 і наведені в підрозділі 5.4, відзначимо наступний: підкільце кільця формальних степеневих рядів з комутуючою змінною х над тілом К

Я = {ао + а\Х + а?х2 + • • • -Ь апхп + ... | яо Є (3, а; Є К, і — 1,2,...},

!\е С) — 2-евклідова область, а К — тіло дробів області <5.

В розділі 6 досліджуються адекватні дуо-кільця.

Ненульовий елемент а кільця Я називається адекватним справа, якщо для кожного елемента 6 Є Я існують такі елементи т,з Є Я, що

1) а = тз;

2) тЯ + ЬЯ = Я]

3) для будь-якого 5і Є Я з включення .?Я С Я ф Я випливає, що 8і Я + ЬЯ ф Я.

Кільце, в якому довільний елемент є адекватним справа, називається адекватним справа.

Основним результатом даного розділу є така теорема:

Теорема 6.1.3. Нехай ,4, (¿=1,2) — матриці розміром т х кі над адекватним дуо-кільцем Я, причому хоча б одна з цих матриць не є дільником нуля. Тоді існують такі зворотні матриці Р, <5,• (і = 1, 2) з елементами кільця Я, що

РА&і

4 0 . . 0 0 . ■

* * . • 4 0 . . 0

0 0 . . 0 0 . . 0

0 0 . . 0 0 . • °/

де є’- 0 = 1, ■ ■ ■ ,і (і < т)) — елементарні дільники матриці Аі.

ВИСНОВКИ

Результати дисертації одержано застосуванням методів теорії кі лець елементарних дільників, кілець з елементарною редукцією мат риць та загальної теорії кіець і модулів. Доведення опираються н< результати І. Капланського, М. Хенріксена, П. Кона, Р. Беєргарда Ж. Куке, Б. Богі, М.Я. Комарницького, Б.В. Забавського.

В дисертації описано нові класи як комутативних, так і некомута тивних кілець з елементарною редукцією матриць. Завдяки дослідженню властивостей однобічних елементарно головних кілець знайдене умови, при яких такі кільця є кільцями з елементарною редукцією матриць.

Велика увага приділена вивченню властивостей однобічних и-ев клідових кілець. Встановлено умови, при яких довільна матриця на; такими кільцями володіє елементарною редукцією.

Описання нових класів некомутативних кілець з елементарною редукцією матриць відбулось також через вивчення структури максимально неголовних однобічних ідеалів. Знайдено достатні умови, як-потрібно накласти на кільце Безу, в якому довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним, щоб дане кільце було кільцем : елементарною редукцією матриць. На предмет елементарної редукції матриць досліджено також 2-евклідові області, в яких довільний максимально неголовний правий ідеал є двобічним.

Вивчення властивостей адекватних дуо-кілець дало змогу довести можливість одночасного зведення пари матриць розміром 2 х над адекватним дуо-кільцем до спеціального трикутного вигляду, а такол; узагальнити даний результат на випадок матриць порядку т х кі.

Основні результати дисертації носять завершений характер, супроводжуються повними доведеннями. Воші можуть бути використані в теорії кілець і модулів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Забавський Б.В., Романів О.М. Комутативні області елементарних дільників і рівняння Рікарті, Всеукраїнська наукова конференція, присв. пам’яті П.С. Казімірського. Тези доповідей. Львів (1995), 28.

2. Забавський Б.В., Романів О.М. Напівлокальнє кільце Безу є кільцем з елементарною редукцією матриць, ’’Математичні студії” (1998) Т.9, №1, 3-6.

3. Забавський Б.В., Романів О.М. Некомутативні кільця з елементарною редукцією Atampuw, Вісник Львівського університету, 49 (1998), 16-20.

4. Романів О.М. Про р-кільця елементарних дільників, Міжнародна конференція пам’яті М. Кравчука. Тези доповідей. Київ (1995), 80.

5. Романів О.М. Одночасне зведення пари матриць до спеціального трикутного вигляду над адекватним дуо-кільцем, ’’Алгебра і топологія”. Львів (1996), 131 -134.

6. Романів О.М. Діагоналізація матриць елементарними перетвореннями над квазіевклідовими кільцями, ’’Математ. студіі” (1997) Т.8, т, 140-142

7. Романів О.М. Кільця з елементарною редукцією матриць і квазі-

евклідові кільця, Вісник Львівського університету, 49 (1998). 3048. .

3. Романів О.М. Максимально неголовні ідеали 2-евклідових областей, Друга міжн. алгебраїчна конф., присвячена пам’яті проф. Л.А. Калужніна. Тези доповідей. Вінниця (1999), 103-104.

д. Romaniv О.М. Rings with elementary reduction rn a trices international algebraic conference ’’Groups and group rings”, Bialystok, Poland (1620 September 1997), 20.

3. Zabavsky B., Romaniv O. Rings with elementary reduction matrices, International algebraic conference dedicated to the memory of profes. L.M. Gluskin. Slovjans’k, Ukraine (25-29 august 1997), 122.

АНОТАЦІЇ

Романів О.М. Кільця елементарних дільників і зв’язані з милі алгебраїчні структури. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-мате матичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Київський університет імені Тараса Шевченка, Киів, 2000.

Дисертацію присвячено дослідженню кілець елементарних дільни ків, а точніше їх частковому випадку — кілець з елементарною ре дукцісю матриць. Знайдено нові класи як комутативних, так і некс мутативних кілець з елементарною редукцією матриць. Встановлс но властивості некомутатившіх елементарно головних кілець, однобі чних w-евклідових кілець з їх подальшим дослідженням на предме' можливості елементарної редукції матриць. Досліджено кільця Безу 2-евклідові кільця, в яких довільний максимально неголовний правиі ідеал є двобічним, і описано в даному класі кільця, над якими можливі елементарна редукція матриць.

Ключові слова: кільце Безу, кільце елементарних дільників, кільц з елементарною редукцією матриць, дуо-кільце, максимально неголо вний правий ідеал.

Romaniv О.М. Rings of elementary divisors and related algebraic stru dures. - Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree by speciality 01.01.06 - algebra and numbe theory. - Kyiv Taras Shevchenko university, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to investigation of rings of elementary divi sors, more precisely, to their partial case — rings with elementary reductior of matrices. Some new classes of commutative as well as non-commutativ< rings with elementary reduction of matrices are found. We establish som< properties of non-commutative elementar}' principal rings and one-sidec w-Euclidean rings with their subsequent investigation on the possibility of elementary reduction of matrices. We investigate Bezout rings and 2-Euclidean rings in which any maximally non-principal right ideal is twosided; in these classes we describe rings which admit elementary reductior

Key words: Bezout ring, elementary divisors ring, ring with elementa-/ reduction of matrices, duo ring, maximal nonprincipal right ideal.

Романив O.H. Кольца элементарных делителей и связанные с ни-iu алгебраические структуры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-мате-(атических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел.

Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

В диссертации исследуются кольца элементарных делителей и коль-[а с элементарной редукцией матриц.

Описаны новые классы как коммутативных, так и некоммутатив-1ых колец, над которыми возможна элементарная редукция матриц.

Исследованы свойства элементарно главных колец и найдены усло-шя, при которых такие кольца являются кольцами с элементарной дедукцией матриц. Доказана принадлежность классу колец с элементарной редукцией коммутативных колец Эрмита стабильного ранга )дин и коммутативных полулокальных кольца Безу. -

Посредством изучения свойств ш-евклидовых колец установлены ус-ювия, при которых произвольная матрица владеет элементарной редукцией (с делимостью диагональных элементов в понимании Кона). Установлено условия, которые необходимо наложить на норму, чтобы к такому классу колец принадлежала некоммутативная w-евклидовая область.

Доказано, что в области, которая слева является областью главных идеалов, а справа — областью Безу, не существует двусторонних максимально неглавных правых идеалов. Найдены достаточные условия, которые необходимо наложить на кольцо Безу, в котором произвольный максимально неглавный правый идеал является двусторонним, чтобы такое кольцо было кольцом с элементарной редукцией матриц.

На вопрос о возможности диагональной редукции матриц исследовано 2-евклидовые кольца, в которых произвольный максимально неглавный правый идеал является двосторонним, и в данном классе описаны кольца, над которыми возможна элементарная редукция матриц.

Доказана возможность одновременного приведения пары матриц специальному треугольному виду над адекватным дуо-кольцом.

Ключевые слова: кольцо Безу, кольцо элементарных делителе! кольцо с элементарной редукцией матриц, дуо-кольцо, максимальн неглавный идеал.