Комбинированные методы статистических расчетов пространственных систем применительно к некоторым гидротехническим сооружениям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ПРЕЦШСЛЭВИЕ. и

ВВЕДЕНИЕ.

I. ЗАДАЛИ РАСЧЁТА ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАСЧЁТНЫХ СХЕМ. i з

1.1. Арочно-гравитадионные плотины. ^

1.2. Гравитационные плотины в узких каньонах . <

1.3. Спиральные камеры высоконашрных ГЭС. г

1.4. Комбинированные методы расчета пространственных систем, применительно к расчёту гидротехнических сооруй&Шй . hi'

П. МЕТОДЫ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ

ПЕРЕКРЕСТШ-СТЕРЖНЕВЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ШДЕЛЕЙ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ . к

2.1. Перекрестно-стержневая модель арочных и гравитационных в узких каньонах плотин.

2.2. Преобразование дифференциальных уравнений равновесия теории оболочек с помощыо метода расчленения

2.3. Арочно-консольная схема расчёта арочных и ароч-но-гравитационных плотин.

2.4. Метод центральной консоли и вывод основных уравнений метода . S

2.5. Преобразование дифференциальных уравнений равновесия теории тонких и средней толщины плит

2.6. Преобразование дифференциальных уравнений равновесия оболочек вращения с помощью метода расчленения

Ш. ЭТАПЫ РАСЧЁТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ. /

3.1. Перераспределение внешней нагрузки, действующей на арочно-гравитационную плотину методом центральной консоли. Ю

3.2. Способы перераспределения внешней нагрузки между элементами двух направлений для гравитационной плотины

3.3. Этапы комбинированного метода применительно к расчёту спиральной камеры высоконапорных ГЭС. <

3.4. Постановка и решение двухмэрных задач теории упругости, используемых на втором этапе комбинированного метода.

1У. ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ 1ЩР0 ТЕХНИЧЕСКИХ

СООРУЖЕНИЙ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ.И б

4.1. Расчёт нацряженно-деформированного состояния арочно-гравитационной плотины.

4.2. Расчёт гравитационной плотины в узком каньоне с учётом ее пространственной работы. <

4.3. Расчёт спиральной кашры высоконапорной ГЭС с использованием комбинированного метода

4.4» Дополнительные вопросы, связанные с реализацией комбинированного метода. Е

Настоящая диссертация выполнена во время обучения автора в аспирантуре Ленинградского ордена Ленина политехнического института игле ни М.И.Калинина на кафедре "Строительная механика и теория упругости".

Диссертация посвящена разработке эффективного метода расчёта пространственных конструкций-систем комбинированным методом применительно к расчёту высоконалорных гидротехнических сооружений.

Разработка такого метода актуальна, так как решение пространственных задач теории упругости д'акже с помощью ЭВМ, в настоящее время трудно реализуемы.

Автор пользуется случаем выразить благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Л.А.Розину, а так же кандидату технических наук, доценту кафедры строительной механики и теории упругости И.Е.Кадомской за постоянное внимание и помощь в работе.5ВВВДЕНИЕЭлектрофикация и освоение новых орошаемых площадей в настоящее время является одним из основных задач развития народного хозяйства Афганистана.

Для наиболее экономичного: v и рационального решения этой задачи, преда всего, необходимо использование водных и водноэнер-гетических ресурсов страны.

Источником этих ресурсов в Афганистане являются его горные реки, которые в летний период являются частично обезвоженными. Эти реки текут в узких горных ущельях и имеют большие стоки в зимние и весенние сезоны. При проектировании водных и водноэнер-гетических сооружений на этих реках необходимо учитывать: а) их сезонный перепад стока и б) характер створов сооружений (узкие ущелья со скальными основаниями и бортами). В таких условиях наиболее целесообразными являются бетонные плотины (арочные, гравитационные, арочно-гравитационные) и высоконапорные гидроэлектростанции. Наиболее экономичное решение по выбору основных размеров сооружений можно получить, учитывая пространственный характер работы бетонной конструкции совместно со скальным основанием. Проектирование таких сложных и ответственных сооружений как высоких бетоных плотин, проточной части высоконапорной ГЭС и др., требует подробного анализа напряженно-деформированного состояния сооружения во время строительства, в периоды временной и постоянной эксплуатации, с учётом разнообразных факторов. Некоторые факторы, влияющие на формирование напряженно-деформированное состояние, возникают в процессе возведения сооружения и их трудно предусмотреть заранее.

Для учёта пространственной работы сооружения типа арочных, арочно-гравитационных и гравитационных плотин часто используетсяперекрестно-стержневая схема, на базе которой разработан известный "метод арок-консолей" для расчёта арочных плотин и "метод балок-консолей" для расчёта гравитационных плотин. Основной идеей этих методов является представление сооружения системой перекрестных стержней двух направлений (горизонтального и вертикального), перераспределения внешней нагрузки между этими системами стержней из условия неразрывности перемещений и расчёт горизонтальных (арок или балок) и вертикальных (консолей) стержней на соответствующую часть внешней нагрузки.

В ряде работ [40] показывается, что перекрестно-стержневая система, применяемая в качестве физической модели для расчёта оболочек, плит, имеет достаточно строгое математическое и физическое обоснование, если учитывать некоторые специфические особенности отдельных стержней, обусловленные пространственным характером рассчитываемой конструкции. При этом, переход от сложной конструкции (плиты, оболочки) к перекрестно-стержневой схеме,, можно трактовать как приближенное решение дифференциальных уравнений теории оболочек или плит, соответственно.

Подход к проблеме расчёта арочных, арочно-гравитационных и гравитационных плотин по перекрестно-стержневой схеме с позиции теории оболочек или плит позволяет учесть пространственный характер работы сооружений с одной стороны, и с другой стороны, упростить некоторые расчётные зависимости на основе доцущений, присущих теории оболочек и плит.

Однако эти методы, прежде всего, предполагают линейное распределение напряжений по толщине оболочки или плиты, аппроксимирующей плотину, что не имеет места в массивных гравитационных и арочно-гравитационных плотинах.

Наличие строительных и деформационных швов, водосливных отверстий, турбинных водоводов и т.д. в теле плотины, нарушают еемонолитность, что невозможно учесть в рамках обычной теории оболочек или плит. Кроме того, методы, построенные на перекрестно-стержневых схемах, успешно реализуются для полного профиля сооружений, а учёт поэтапности возведения и загружения плотины представляет известные трудности.

В настоящее время наиболее эффективным численным методом для исследования налряженно-деформированного состояния объектов сложной пространственной геометрии является метод конечных элементов (МКЭ).

Метод конечных элементов появился в 40-50-х годах нашего столетия, как результат стремления све^и приближенное решение задач теории упругости к процедуре, аналогичной процедуре расчёта стержневых систем в строительной механике, хорошо разработанной и удобной для реализации на ЭВМ СЛ5].

Суть метода заключается в том, что исходная задача для континуальной области заменяется решением задачи для совокупности элементов, на которые эта область делится. Рассмотрение совокупности элементов производится на основе вариационных принципов механики (Чб].

В результате исходная задача теории упругости оказывается сведенной к системе линейных алгебраических уравнений, напоминающих систецу разрешающих уравнений метода перемещений в строительной механике.

Работ, посвященных расчёту бетонных плотин и их оснований МКЭ,за последние годы появилось достаточно много, как в СССР, так и в других странах.

В данной работе не ставится целью дать полный обзор этих работ, поэтощу отметим лишь те из них, в которых делается попытка учесть пространственную работу гидротехнических сооружений и ихпространственных элементов, т.е. имеют [ непосредственноеотношение к теме диссертации. Таких работ, в силу указанных выше трудностей, немного. Так, Б.В.Фрадкин [59,58] I.А.Гордон и А.А.Готлиф хо] [ 9] проводили расчёты для гравитационной плотины Курпсайской ГЭС и для арочно-гравитационной плотины Саяно-Шу-шенской ГЭС с помощью программною ния трехмерной задачи теории упругости МКЭ, составленной соответственно^ для ЭВМ типа БЭСМ-6 и ЕС ЭВМ. Ими был предложен прием построения трехмерных многогранников, с линейной аппроксимацией перемещений на элементе.

Несколько работ было посвящено исследованию МКЭ пространственной работы арочных плотин по квазидвухмерной схеме [2Q]. В них область была разбита на изопараметрические элементы, в которых для задания координат, отображающих элемент на единичный куб, и для аппроксимации перемещений используются одни и те же функции, представляющие собой суперпозицию одномерных полиномов Лагршша.

Из других работ, в которых исследования напряженно-деформированного состояния арочных плотин было произведено с помощью решения трехмерных уравнений теории упругости, моляо отметить работу С.Я.1Ука [ хб].

Таким образом, в настоящее время тлеются работы, в которых методами теории упругости анализируется напряженно-деформированное состояние арочных, арочно-гравитационных и гравитационных в узких каньонах плотин с учётом их пространственной работы.

Однако, таких работ мало и реализация их чрезвычайно сложна. Кроме того в теле высоконапорных плотин могут быть неоионоличен-ные строительные и деформационные швы, водосливных отверстий, турбинных водоводы и т.д., которые, в свою очередь, осложняют задачу их расчёта.

Сложнейшая пространственная конструкция, которой являетсяспиральная камера вместе со всем агрегатным блоком высоконапорной ГЭС, до сих пор рассчитывается только по самым грубым приближенным схемам.

Металлическая спиральная камера конструктивно отделяется упругой прокладкой от окружающего ее бетона и рассчитывается как торовая оболочка на полное расчётное внутреннее давление [49,1 При этом работа бетона не учитывается. Существует попытка учесть работу бетона путем расчёта металлической спиральной камеры по схеме оболочки, лежащей на упругом основании (бетоне). Но при этом характеристики отпора бетона определяются приближенно, например, заменой объемного бетонного массива толстостенной трубой бесконечной длины и решением задачи Ламе [^7, . При этомне учитывается жесткость бетонного массива в круговом направлении.

В работах [50, 60] приводится расчёт блока спиральной камеры ГЭС по схеме осесимметричной задачи теории уцругости МКЭ. Основным недостатком такого расчёта является аппроксимация металлической оболочки одним или двумя слоями конечных элементов, что не позволяет достаточно верно оценить напряженное состояние самой оболочки, работающей с изгибом, особенно в зоне примыкания ее к статорной конструкции. Так же условно в этой схеме учитываются упругие свойства самой статорной конструкции. Кроме того, железобетонный блок, на который опирается спиральная камера (оболочка) имеет не только сложную конфигурацию, но и может быть не-ононоличен и разделен строительными швами на отдельные массивы, что существенно изменяет напряженно-деформированное состояние агрегатного блока в целом.

Желание отразить более полно все особенности работы и деформирования рассмотренных видов плотины, а также подводнойчасти высоконадорных ГЭС (спиральные камеры) заставляет проводить расчёты, используя аппарат пространственной теории упругости. Однако пространственная задача теории упругости для расчёта таких сооружений применяется еще весьма ограниченно, что объясняется, во-первых, ограниченными возможностями современных ЭВМ и отсутствием программ, удовлетворяющих в полной мере проектировщиков, во-вторых, сложностью самой задачи, в-третьих, отсутствием современных ЭВМ высокой производительности в развивающихся странах, в том числе в Афганистане.

Поэтоцу вопрос разработки методов, алгоритмов и программ расчёта на ЭВМ массивных гидротехнических сооружений, работающихпространственно совместно со скальным основание, ^^.има актуальным, особенно в ДРА. Для преодоления трудностей, связанных с расчётом пространственных гидротехнических сооружений, упомянутых выше,автором диссертации, был рассмотрен приближенный ход к решению этих проблем и разработан комбинированный метод решения некоторых пространственных задач теории упругости цутем построения соответствующих задач меньшей размерности.

Основным содержанием диссертации является разработка методики расчёта сложных пространственных сооружений на основе комбинирования пространственных расчётных моделей для тонкостенных конструкций и плоских задач теории упругости. Рассматриваемый комбинированный метод расчёта состоит из двух этапов: на первом этапе производится перераспределение внешней нагрузки мезду группами элементов, на которые условно разделяется сооружение, исходя из упрощенной пространственной модели сооружения (теории оболочек, плит, оболочек вращения и т.д.). На втором этапе - решение плоской задачи теории упругости для отдельных двумерных элементов МКЭ. Приложение комбинированного метода иллюстрируется расчётами массивных бетонных гидротехнических сооружений; высокойиарочно-гравитационной плотины, гравитационной плотины в узком каньоне, блока спиральной камеры высоконапорной ГЭС.

При решении задач, рассматриваемых в диссертации, используются соответствующие алгоритмы и программы на ЭВМ, составленные как самим автором диссертации (плоская задача теории упругости МКЭ, метод центральной консоли-прогонка), так и другими авторами (программа ДУРЙ [Зб] ).

Диссертационная работа состоит из предисловия, настоящего введения, четырех глав, заключения и выводов, списка литературы.

В первой главе дается описание некоторых задач расчёта гидротехнических сооружений, рассматриваемых в диссертации. Анализируются пространственные расчётные схемы, применяемые в практике расчёта таких сооружений, отдельные факторы, влияющие на формирование напряженно-деформированное состояние (НДС) гидротехнических сооружений. Здесь же излагаются общие принципы комбинированного метода расчёта.

Во второй главе рассматриваются перекрестно-стержневые схемы учёта пространственной работы некоторых сооружений, (арочной, гравитационной плотин). На основе метода расчленения показываются цути перераспределения нагрузки между двумя группами элементов, которыми схематизируется сооружение. Здесь же учитывается пространственный характер стержней, выделенных из сплошного тела плотины, выводятся уравнения метода арок-консолей и на их основе уравнение метода центральной консоли. Последний в дальнейшем будет использоваться для перераспределения нагрузки в арочно-гравитационной плотине.

В третьей главе рассматриваются способы численной реализации комбинированного метода. Рассматриваются способы перераспределения внешней нагрузки между элементами различных направлений, на которые условно разделяются арочно-гравитационные и гравитационные плотины при расчете их комбинированным методом. Рассматривается так же расчетная схема перераспределения нагрузки между оболочкой спиральной камеры и бетонным массивом агрегатного блока ГЭС. Дается вариационная постановка общей задачи теории упругости и пути ее решения МКЭ для частных случаев двумерных задач (плоской деформации^плит средней толщины, ооесимметричной задачи), используемых в диссертационной работа.

В четвертой главе показано применение комбинированного метода к расчету пространственных гидротехнических сооружений: высокой арочно-гравитационной плотины в широком створе, гравитационной плотины в узком каньоне, агрегатного блока высоконапорной ГЭС.

Анализируется влияние отдельных факторов на напряженно-деформированное состояние сооружений, которйе оказалось возможным учесть при помощи комбинированого метода. Здесь так же приводятся результаты некоторых численных исследований, связанных с алгоритмизацией рассматриваемого метода.

В заключении даются основные, выводы по диссертации, указывается на практическую применимость разработанного метода.

2 ко ЗАКЛЮЧЕНИЕ .

Основными результатами диссертационной работы можно считать следующее.

1. Разработан комбинированный метод статического расчёта пространственных систем применительно к гидротехническим сооружениям типа высоких бетонных плотин (арочно-гравитационных, гравитационных в узком каньоне), агрегатного блока высоконапорной ГЭС.

Комбинированный метод позволяет свести расчёт существенно пространственных конструкций к расчёту двумерных систем: систем типа оболочки или плиты и плоских задач теории упругости.

2. Разработаны отдельные алгоритмы реализации комбинированного метода. В частности, метод центральной консоли, используемый при расчёте арочно-гравитационных плотин, реализован путем решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, соответствующего задаче о балке на упругом основании. Уравнение решается путем использования численных квадратур, методом прогонки.

3. Разработанный алгоритм метода прогонки позволил создать единый подход к расчёту балок переменной толщины на упругом вишо-леровском основании и на дискретных упруго-податливых опорах. Составлена программа на ЭВМ EC-I022 по реализации штода прогонки.

4. Разработан метод определения нагрузки по прогибам для стержневых систем, который позволяет это сделать с меньшей погрешности), чем при непосредственном дифференцировании. Метод основывается на построении формулы, двойственной формуле Максвелла-Мора.

5. Составлена программа на ЭВМ EC-I022 для решения плоских задач теории упругости методом конечных элементов, рассчитанная на решение определенных задач, связанных с гидротехническим строительством. Достаточно узкая целенаправленность программы позволила увеличить ее эффективность.

2k\

6. Получено решение задачи о напряженно-деформированном состоянии арочно-гравитадионной плотины в различных ситуациях строительного периода. Комбинированный метод позволил при этом учесть поэтапность возведения и загруженвд, учесть неполное омоноличи-вание строительных швов, наличие различных отверстий, локально заданных трещин и других ослаблений в теле плотины.

7. Получено решение комбинированным методом задачи о напряженно-деформированном состоянии гравитационной плотины в узком каньоне с учетом пространственной работы. На основании результатов расчёта можно рекомендовать уменьшение объема бетона в сооружениях такого типа.

8. Получено решение задачи о напряженно-деформированном состоянии элементов агрегатного блока высоконапорной ГЭС. Применение комбинированного метода позволило учесть совместную работу металлической спиральной кашры и бетонного массива. На основании результатов расчёта можно рекомендовать уменьшение толщины металлической оболочки при обеспечении ее совместной работы с бетоном.

9. Различные положения, высказанные в диссертации, по поводу построения приближенных расчётных схем, сравнительно простых методов , алгоритмов и возможности их реализации на ЭВМ средней производительности, являются важными для решения сложных задач строительной механики в развивающихся странах, в частности, в

Демократической Республики Афганист

2h2

1.Белов А.В. К расчету железобетонных трубопроводов и спиральных камер высоконапорных ГЭС. Научн.техн.инф. Бюл.ЛПИ, 1.60,с 3-7.

2. Болдычев В.П. Двойная аппроксимация угла поворота при расчете, пластин средней толщины МКЭ Известия ВНИИГ, т.183, 1979,с. 68-74.

3. Боровов А.А. Проектирование и строительство больших плотин.

4. По материалам У1 международного конгресса по большим плотинам. Госэнеproиздат, 1962, Москва, Ленинград.

5. Бронштейн В.И., Иванищев В.Ф. Расчет арочных плотин на ЭВМ с использованием метода арочно-консольных направлений. Гидротехническое строительство, 1972, $1.

6. Вовкушевский А.В., Шойхет Б.А. Расчет массивных ГТС с учетом раскрывания швов. Москва, Энергоиздат, 1981.

7. Ганев Х.Г. Исследования статической работы арочных плотин как пространственных систем. Диссертация на соискание ученой степени канд.техн.наук МИСИ, МОСКВА, 1957.

8. Ганев Х.Г. К расчету арочных плотин, как пространственных систем. Гидротехническое сооружение. Сборник МИСИ, Ш29, 1959.

9. Галлагер Р. Метод конечных элементов-основы. Москва, "Мир", 1984, с 428.

10. Гордон Л.А. Статический расчет монолитных гравитационных плотин с учетом их пространственной работы.- Изв.ВНИИГ, 1978,т.124, с. 31-36.

11. Гордон Л.А., Гутлиф А.А. Статический расчет бетонных и железобетонных гидротехнических сооружений. Энергоиздат, Москва, 1982, 238 с.

12. Гордон Л.А., Корсакова Л.В. Одна схема МКЗ для изгиба пластин. Изв. ВНИИГ, 1979, т.133, с. 59-67.9 ч

13. Гордон JI.A.,Скоморовский Я.Г.,Фридаан Е.Ш., Шойхет Б.А. Расчет пластин средней толщины. Известия ВНИИГ, 1971,т.95, с. 142-166.

14. Гримзе Л.Б., Розин Л.А. Новый способ расчета арочных плотин по методу арок-консолей. Инф.сборник Мб, ЛЕНГЭДЗП, I960,

15. Ш,Гришин М.М. Бетонные плотины на скальных основаниях. Москва, Стройиздат, 1975, 352 с.

16. Гришин М.М. Гидротехнические сооружения, Госстройиздат, 1962.

17. Гун С.Я. Расчет цилиндрических арочных плотин и толстых плит методом трехмерной задачи теории упругости. Материалы молодых специалистов по ГТС. Батуми, 1972.

18. Гутлиф А.А., Иванов И.В. Статический расчет массивных стержневых систем в упругой среде. Изв. ВНИИГ, 1979, т.29, с 32-36.

19. Зенкевич 0. Метод конечных элементов в технике., М., МИР, 1975, 539 с.

20. Зенкевич 0. МКЭ в технике. Перев. с англ. яз.,1975, Мдсква,изд. "Мир", под ред. Б,Е,Победри.

21. Кадомская И.Е. Диссертация на соискание ученой степени канди-\ дата технических* наук. 1975.23.1Садомская И.Е. Расчет неразрезных балок способом прогонки. Учебное пособие, ЛПИ, Л., 1975.

22. Коннор Дк., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости, ЛЕНИНГРАД, Судостроение, 1979, 263 с.

23. Купрадзе В.Д. и другие.Трехмерные задачи теории упругости и термоупругости. М., Наука, 1976, 664 с.

24. Лосабридзе А.А. Расчет арочных плотин, симметричные арочныеплотины. "Мецниереба", Тбилиси, 1966.

25. Лурье А,И. Теория упругости. М., Наука, 1970, с 941.

26. Ляв А. Математическая теория упругих оболочек.- М., ОНТИ НКТП, 1935, 674 с.

27. Мгалобелов Ю.В, Прочность и устойчивость скальных оснований бетонных плотин. М., Энергия, 1979, 216 с.

28. Метод конечных элементов в строительной механике. Сборник научных работ. Изд. ЛПИ, 1974, под ред. Розина Л.А.

29. Можевитинов А.Л. Формулы для деформаций основания арочных плотин при симметричной и антисимметричной нагрузке. Изв. ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1966, Ja 82.

30. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек. Изе. физ.-мат. об-ва при Казанском университете, т.XI, серия 8, 1938.

31. Напряженное состояние бетонных гравитационных плотин с искусственными швами надрезами на напорной грани. Изд. ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1970, т.93, с 6-23.

32. Новацкий В. Теория упругости, Москва,"Мир", 1975, с 873.

33. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Судпромгиз, Ленинград, 1962.

34. Программа ДУПР Инструкция ееиспользования. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева.

35. Проектирование и строительство больших плотин. Материалы

36. У1 международного конгресса по большим плотинам. Госэнерго-издат, 1962.

37. Проектирование и строительство больших.плотин. Материалы У международного конгресса по большим плотинам. Госэнерго-издат, Москва, 1958.

38. Рациональные конструкции и методы расчета арочных плотин, т.1, Гидропроект ЛО, 1962, инв.Ш445 ПЫО-1.1.

39. Розин Л.А. Метод расчленения в теории оболочек, Прикл. мат. и мех., 1961, т.ХХУ, вып.6, с 921-926.

40. Розин JI.А. Характер стержневых систем для относительно толстых оболочек применительно к расчету арочных плотин. Известия ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1969, т.88.

41. Розин Ji.A. О Расчете конструкции методом расчленения. Инф. ЛЕНГВДЭПА Ik 21, 19 61.

42. Розин Л.А. Формулы Максвелла-Мора в теории оболочек. Сб. исследования по упругости и пластичности, is 3, ЛГУ, 1963.

43. Розин Л.А. Основы МКЭ в теории упругости, ЛПИ, 1972.

44. Розин Л.А. Васчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. "Энергия", Ленинград, 1971, 214 с.

45. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Изд. ЛГУ, 1978, 223 с.

46. Розин Л.А. Метод расчленения в теории оболочек.ПММ,т.25. 11 5, 1961.

47. Розин Л.А., Гримзе Л.Б. Об одном алгоритме расчета оболочек вращения методом расчленения. Медоты вычислений, вып. 3, ЛГУ, 1966.

48. Розин Л.А., Гримзе Л.Б. О расчете балок на линейно-упругом, основании. Изв. ВНИИГ, т.12, 1963.

49. Розин Л.А., Гримзе Л.Б. Расчет произвольных оболочек вращения методом расчленения на ЭЦВМ (осесимметричная деформация). Исследование по упругости и пластичности. Сб.5, ГЛУ, 1966.

50. Рудицин М.Н. и др. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Изд. Высшая школа, Минск., 1970.

51. Рукавишников В.А. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук, 1975, ЛПИ.

52. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности., М, Высшая школа, 1982.

53. Сегерлинд П. Применение метода конечных элементов. Изд."Мир", Москва , 1979, под ред. Б.Е.Победри.

54. Соколовский С.В. Применение метода Г.Риттера-В.Скрыльнико-ва. Для расчета монолитных гравитационных плотин. "Изв.Высш. учебн. заве д. МВО СССР, Строительство и архитектура, 1958,т

55. Филин А.П. , Чернева И.Н. Расчет арочных плотин. Труды ЛОТТ 1965, вып. 230 (Прочность и долговечность бетонных ГТС).

56. Фрадкин Б.В. К расчету массивных сооружений методом кон. эл. Труды гидропроекта, 1973, $ 26.

57. Фрадкин Б.З. Расчет монолитного варианта гравитационной плотины МКЭ. Сб."Метод конечных элементов и строительной механики", ЛПИ, 1975.

58. Фрадкин Б.В. Исследование совместной статической работы арочно-гравитационной плотины и основания энергетическое строительство, 1977, йб, с 127-133.

59. Шехтер О.Я. О решении осесимметричных задач для круговых плит на упругом основании."Основание, фундаменты и механика грунтов", 1966, ie 5, с. 1-5.

60. Титульный лист 2.Оглавление3.Рисунки4.Литература5.Текстовая часть6.Таблицы1. СОДЕШАНИЕ1. X стр. 2 102513061. Всего : 246 стр