Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

005053903

Смирнов Александр Владимирович

На правах рукописи

Т^т^С

Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов

01.01.07 — вычислительная математика

2 5 ОКТ 2012

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

005053903

На правах рукописи

/

Смирнов Александр Владимирович

Комплекс алгоритмов и программ для вычисления фейнмановских интегралов

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в лаборатории информационных систем математических наук Научно-исследовательского вычислительного центра Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: Белокуров Владимир Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор, МГУ имени М.В.Ломоносова, физический факультет, профессор

Велижанин Виталий Николаевич,

доктор физико-математических наук,

ФГБУ Петербургский институт ядерной физики

имени Б.П.Константинова,

ведущий научный сотрудник

Фаустов Рудольф Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор Вычислительный центр им.А.А.Дородницына РАН, главный научный сотрудник

Ведущая организация: Лаборатория информационных технологий

Объединенного института ядерных исследований

Защита состоится 26 октября 2012 г. в 15 час. на заседании Диссертационного совета Д 501.002.09 ири Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 4, МГУ, НИВЦ, Большой конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова (Ломоносовский просп., 27).

Автореферат разослан " "_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Суворов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация представляет собой исследование, относящееся к области вычислительной математики. Она посвящена алгоритмам редукции и вычисления фейнмановских интегралов. Интегралы Фейнмаиа являются фундаментальными величинами при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений, в частности, они возникают при вычислениях в рамках Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Стандартная Модель успешно применяется в физике элементарных частиц уже около сорока лет. Некоторые ее аспекты, например, свойства Z-бозона, были проверены с точностью, сильно превышающей один процент, -в основном, на Большом Адронном Коллайдере в CERN, линейном коллай-дере в SLAC (Stanford) и в Fermilab TEVATRON (Chicago). Никаких сильных расхождений эксперимента с теорией не было выявлено.

Другие части Стандартной Модели, связанные с CP нарушением (относительно зарядового и пространственного отражения) и смешиванием кварков, ожидают новых экспериментальных результатов для получения соответствующих параметров. Предполагается, что текущие эксперименты па Большом Адронном Коллайдере позволят открыть бозон Хиггса и, более того, приведут к одному из обсуждаемых расширений Стандартной Модели. Как только бозон Хиггса будет обнаружен, он сразу станет объектом точных измерений. В частности, на будущем электрон-позитронном коллайдере можно будет изучать его свойства.

В последнее время существенно продвинулись вычисления радиационных поправок. Стоит отметить, что большая часть этих вычислений была инициирована фундаментальными работами Г. т'Хофта и М. Вельтмана в 1972 г., когда размерная регуляризация стала мощным инструментом при вычислении многопетлевых диаграмм. С тех пор возникло целое направление науки, занимающееся вычислением многопетлевых фейнмановских интегралов.

На однопетлевом уровне процедура вычисления систематически изучалась уже достаточно давно. Тем не менее даже на сегодняшний день невозможно совершенно автоматически вычислить произвольную одноиетлевую диаграмму, в частности, если она содержит много внешних концов или имеет сложную конфигурацию импульсов. Соответственно, диаграммы, содержащие две или большее количество петель, представляют большую сложность для математики и часто не могут быть вычислены явно. Все же на двухиетле-вом уровне определенные классы диаграмм могут быть изучены при помощи

комбинации аналитических упрощений и численных методов, как это было сделано в случае двухточечных функций с несколькими ненулевыми массами Так же могут работать и чисто аналитические методы, как, например, в случае безмассовых диаграмм с четырьмя внешними концами. Но на трех-петлевом уровне систематически удается изучать лишь одномасштайные интегралы, а для четырехиетлевых интегралов ситуация обстоит еще сложнее.

Квантовая хромодинамика (КХД) как теория сильных взаимодействий представляет собой важную часть Стандартной Модели и большинства ее расширений. На низких энергиях константа связи КХД а3 велика, и поэтому вычисления в рамках теории возмущений невозможны. Однако благодаря явлению асимптотической свободы, значение а, уменьшается при росте энергии, и теория возмущений становится подходящим инструментом

для вычисления радиационных поправок.

На данный момент большая часть многопетлевых вычислений производится в рамках квантовой электродинамики (КЭД) или КХД. Такие вычисления проще, чем в полной Стандартной Модели, по той причине, что эти теории зависят от меньшего количества параметров. Более того, имеется строгая иерархия между массами кварков и лептонов, что упрощает вычисления В случае КЭД имеются точные экспериментальные результаты, требующие также и высокой теоретической точности. Константа взаимодействия в этом случае мала, но многопетлевые вычисления все равно нужны чтобы теоретические результаты смогли сравниться с экспериментальными (например в случае аномального магнитного момента электрона). В случае КХД константа взаимодействия больше на порядок. Тем не менее, во многих ситуациях может быть произведено вычисление по теории возмущений. При этом члены высокого порядка оказываются важными и не могут быть отброшены.

Таким образом, еще раз стоит подчеркнуть, что вычисление многопетлевых интегралов Фейнмана было и остается востребованной задачей. С другой стороны, математические задачи, возникающие во время этих вычислений, представляют интерес сами по себе. Развитие техники вычисления фейнмановских интегралов привело к плодотворному междисциилинарному взаимодействию между математиками и физиками. В частности, стоит отметить связь фейнмановских интегралов с такими понятиями современной математики, как периоды, смешанные структуры Ходжа, мотивы, символы, алгебры Хопфа, алгебры трансцендентных чисел и т.д. Также стоит отметить, что многие действия, выполняемые при вычислении фейнмановских интегралов, требуют строгих формулировок и математических обоснований (например, конечность числа мастер-интегралов или же метод областей).

Опишем более подробно, как происходит процесс вычисления фейнма-новских интегралов и какие проблемы при этом возникают. При вычислениях в рамках теории возмущений проводится тензорная редукция, после чего каждая фейнмановская диаграмма порождает многочисленные интегралы Фейнмана с одинаковой структурой подынтегрального выражения, но различными степенями пропагаторов. Стандартным подходом является разбиение задачи на редукцию и вычисление так называемых мастер-интегралов. А в случаях, когда этот метод не работает ввиду сложности задачи, применяется асимптотическое разложение фейнмановских интегралов.

Редукция фейнмановских интегралов основывается на изобретенном около тридцати лет тому назад методе интегрирования по частям (Ткачёв, Четыркин, 1981) в применении к фейнмановским интегралам. Суть метода заключается в том, что для фейнмановских интегралов выводятся без вычисления соотношения, которые применяются для сведения интегралов к некоторому ограниченному количеству интегралов, так называемым мастер-интегралам. Термин "мастер-интеграл" долге время применялся лишь на интуитивном уровне. Тем не менее на практике соотношения интегрирования по частям использовались успешно в многочисленных работах. Изначально редукция фейнмановских интегралов к мастер-интегралам осуществлялась "вручную", но для достаточно сложных классов интегралов это стало невозможным.

Было сделано несколько попыток систематизировать процесс редукции. В 2000 г. был сформулирован алгоритм автоматической редукции (так называемый алгоритм Л апорты), а четырьмя годами позже была опубликована его первая реализация AIR (на языке Maple). Стоит упомянуть, что на данный момент существует довольно много частных реализаций алгоритма Лапорты. Сравнить их производительность между собой весьма сложно — авторы достаточно монщых продуктов обычно не предоставляют свои программы для публичного использования.

Другая активность в этом направлении была связана с использованием базисов Грёбнера. Первый вариант такого подхода был предложен О.В. Тарасовым в 1998 г.; в его работах соотношения интегрирования но частям сводились к дифференциальным уравнениям. Прямое применение некоммутативных базисов Грёбнера было предложено В.П. Гердтом в 2004 г.

Вычисление мастер-интегралов тоже представляет собой очень непростую задачу. Одним из популярных подходов к вычислению фейнмановских интегралов является так называемое секторное разложение. Фейнманов-ские интегралы могут быть записаны в параметрическом представлении как обычные интегралы по единичному кубу. Однако подобный интеграл содер-

жит В себе особенности по £ = (4 - ¿)/2, которые невозможно явно выделить для произвольного фейнмановского интеграла. Поэтому область интегрирования специальным образом разбивается на так называемые секторы, после чего делаются замены неременных, возвращающие область интегрирования к единичному кубу. В случае правильного подбора секторов в новых переменных можно явно выделить особенности.

Этот подход использовался уже в шестидесятых годах для доказательства теорем о перенормировке. Тогда были изобретены так называемые секторы Хеииа (1966 г.) и Сиира (1968 г.). Алгоритмический подход к секторному разложению для вычисления фейнмановских интегралов был впервые применен в 2000 г. Т. Бипотом и Г. Хайнрих. Заложенная в алгоритме стратегия секторного разложения не гарантировала сходимости алгоритма и требовала ручной подстройки. Долгое время существовала только закрытая версия этой программы. Ее современный вариант был опубликован лишь в 2008 г.

В 2008 г. К. Богнер и С. Вайнцирль предложили свои стратегии разложения но секторам. Эти стратегии гарантированно сходятся для случая, когда все кинематические инварианты имеют один знак. Программа Богнера и Вайнцирля была сделана публичной. Однако практика показала, что их программа оказалась неприменимой для достаточно сложных классов интегралов Фейнмана.

Основным недостатком подхода с применением секторного разложения является то, что 011 нацелен на получение численных ответов, причем точность результатов не превышает шести знаков после запятой. Часто такой точности недостаточно, и секторное разложение используется только для проверки ответов, полученных другим способом (что, конечно, не снижает его ценности ввиду полной автоматизации подхода).

Другим и, наверное, одним из наиболее мощных современных методов аналитического вычисления фейнмановских интегралов является подход, основанный на преобразовании Меллина-Барнса. После проведения некоторых преобразований интеграл представляется в виде многомерного интеграла вдоль комплексных осей от выражения, зависящего от гамма-функций. Этот интеграл может вычисляться аналитически или же просто с достаточно высокой точностью, по для начала необходимо выбрать правильный прямолинейный контур и взять необходимые вычеты.

Помимо редукции и вычисления фейнмановских интегралов важным направлением также является их асимптотическое разложение. Оно часто используется в ситуациях, когда заданный интеграл зависит от нескольких параметров, которые можно явно подразделить на "малые" и "большие". Полная задача может быть слишком сложной для явного вычисления, и тогда

6

интеграл можно приблизить некоторым количеством первых членов соответствующего асимптотического разложения. Строго говоря, задачу асимптотического разложения фейнмановских интегралов можно поставить следующим образом. Предположим, что интеграл зависит от некоторого параметра t, и нам нужно проследить поведение интеграла при t, стремящемся к пулю. Основная проблема асимптотического разложения заключается в том, что как и в случае вычисления интегралов, мы не можем менять порядок интегрирования и разложения, и поэтому требуются другие методы для асимптотического разложения.

Существуют разные подходы к решению задачи асимптотического разложения. Один из них - это применение универсальной стратегии разложения по областям М. Бенеке и В.А. Смирнова. Однако до последнего времени выделение правильных областей не было строго формализованным.

Научной необходимостью явилась разработка алгоритмов, выполняющих задачи редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов. Кроме того, давно назрела проблема формализации и обоснования некоторых понятий, относящихся к интегралам Фейнмапа. Отсюда вытекает как актуальность данного исследования, так и постановка проблемы.

Целью диссертационной работы является создание, обоснование и развитие алгоритмов вычисления интегралов Фейнмана, а также практическая реализация этих алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ.

Научная новизна:

1. Впервые дано строгое определение понятия мастер-интегралов, что позволило формализовать задачу редукции (работа [22] из приводимого в конце реферата списка). Более того, в 2010 г. автором совместно с A.B. Петуховым было получено доказательство того факта, что количество мастер-интегралов всегда конечно [28, 4). Эта теорема (теорема 1) обосновывает тот факт, что процесс редукции интегралов к мастер-интегралам сходится.

2. Впервые введено понятие s-базисов - модифицированных базисов Грёб-нера, применяемых в задаче редукции фейнмановских интегралов [25 26,27].

3. Классическая стратегия секторов Спира впервые представлена в рамках современного подхода рекурсивных стратегий разложения но секторам [16].

4. Впервые дано строгое определение понятия области в методе областей для асимптотического разложения фейнмановских интегралов [3]. Доказано (теорема 6) что в случае полностью положительных функций в альфа-представлении все области задаются гранями максимальной размерности многогранника весов.

5. Разработан ряд новых алгоритмов, позволяющих эффективно осуществлять редукцию, вычисление и асимптотическое разложение фейнмановских интегралов [19, 25, 26, 16, 17, 27, 5, 18, 14].

6. Создан уникальный комплекс программ на основе разработанных автором алгоритмов (см. пункт 5) [3, 19, 23, 5, 18].

Научные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан алгоритм для построения s-базисов [25, 26, 27]. Разработан алгоритм для разрешения соотношений интегрирования по частям, при котором интегралы изучаются по убыванию относительно выбранного упорядочения [19]; доказано, что этот алгоритм сходится (теорема 3). На их основе создана программа FIRE, выполняющая редукцию фейнмановских интегралов к мастер-интегралам [19]. Использование программы FIRE позволило редуцировать недоступные ранее многопетлевые интегралы высокой сложности.

2. Разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения (стратегия S). Доказано (теорема 4), что стратегия S сходится [18]. Доказано (теорема 5), что в случае евклидовых импульсов стратегия S и сектора Спира приводят к одинаковому набору секторов [5]. Разработан алгоритм для асимптотического разложения фейнмановских интегралов методом, объединяющим представление Меллина-Барнса и секторное разложение [5]. Разработана модификация алгоритма численного интегрирования Vegas с использованием библиотек высокой точности [5]. На основе этих алгоритмов создана программа FIESTA для численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения но секторам и для асимптотического разложения фейнмановских интегралов по малому параметру [16, 5, 18, 14]. Программа представляет собой уникальный общедоступный инструмент, используемый многими исследователями в своих работах и позволяющий в автоматическом режиме получать до шести знаков численного значения фейнмановских интегралов.

3. Разработан альтернативный алгоритм для выделения особенностей при вычислении интегралов методом Меллина-Барнса [17]. На его основе со-

здана программа MBresolve для вычисления фейнмановских интегралов. Она позволяет выделять особенности в задачах, для которых не работали ранее существовавшие инструменты, и приводить к меньшему количеству выражений для интегрирования.

4. Стратегия нахождения областей реализована в виде компьютерного алгоритма [3], на основе которого создана программа asy. Она является уникальным инструментом для автоматического определения областей при асимптотическом разложении фейнмановских интегралов.

5. Комплекс описанных выше (а также ряда вспомогательных) программ составлен с учетом специфики развития современных компьютеров. Программа FIRE успешно задействует параллелизацию с использованием общей памяти, тем самым выигрывая в производительности. Программа FIESTA может задействовать под вычисление требуемого интеграла сразу несколько компьютеров, взаимодействующих по протоколу Mathlink. Обе программы как самые ресурсоемкие в комплексе, хранят часть данных на жестком диске для преодоления нехватки оперативной памяти. Все программы, входящие в комплекс, доступны для скачивания но адресу http://science.sander.su/.

6. Разработанные численные методы позволили получить ряд физических результатов, из которых особенно стоит отметить вычисление трехнетле-вого статического кваркового потенциала. Работа с описанием результатов [12] была отмечена Американским физическим обществом и попала в список избранных работ журнала Physical Review Letters.

Достоверность изложенных в работе результатов обеспечивается многократными проверками всех представляемых результатов различными методами. Также она подтверждается большим количеством публикаций в реферируемых журналах с высокими импакт-факторами и активным использованием этих результатов в работах других исследователей.

Практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что программы, представленные в работе, активно применяются для физических вычислений не только автором диссертации и его соавторами, но и в большом числе независимых исследований. В частности, па статьи с описаниями алгоритмов FIRE и FIESTA имеется уже более чем но 50 ссылок.

Программу FIRE использовали в своих работах: М. Даулинг, X. Мон-дехар, Я. Пиклум, А. Чарнецки (2008-2011); А. Вуоринен (2008); В. Велижа-нин (2008-2009); Г. Абелоф, А. Герман-де Риддер, М. Ритцман (2009-2011); А. Пак, М. Рогаль, М. Штайнхаузер (2009); Т. Бехер, Г. Белл (2010); М. Гор-

9

баи, С. Ягер (2010); М. Мишяк, М. Штайнхаузер (2010); Р. Бончани, А. Ферролья, Т. Герман, А. фон. Мантойфель, С. Студерус (2010); Т. Герман, Н. Гло-вер, Т. Хубер, Н. Икизлерли, С. Студерус (2010); Р. Бужезал, А. Герман-де Ри;1дер, М. Ритцман (2010); В. Бернройтер, К. Богнер, О. Деррерс (2011); Т. Колле, М. Штайнхаузер (2011); Хай-ронг Донг, Фенг Фенг, Ю Сия (20112012); А. Грозин, М. Хёшеле, Й. Хофф, М. Штайнхаузер (2011); X. Асатрян, К. Гройб, А. Кокулу, А. Егиазарян (2011); М. Ватанабе, Ю. Кио, К. Саса-ки (2011); Г. Чачамис, М. Хенчински, X. Д. Мадригал Мартинес, А. Сабио Вера (2012); Ц. Берн, С. Дейвис, Т. Деннен, Ю-тин Хуанг (2012); Б. Еден, П. Хеслои, Г. Корчемский, В. Смирнов, Э. Сокачев (2012).

Программу FIESTA использовали в своих работах: В. Велижанин (2008); Г. Белл (2008); Ю. Кио, Д. Зайдель, М. Штайнхаузер (2008); Р. Бон-чиани,' А.Ферролья (2008); П. Марквард, Я. Пиклум, Д. Зайдель, М. Штайнхаузер (2009); Р. Бончиани, А. Ферролья, Т. Герман, С. Студерус (2009); М. Чакон, А. Митов, Дж. Стёрман (2009); А. Ферролья, М. Нойберт, Б. Пе-жак, Ли Лин Янг (2009); М. Даулинг, Х.Мондехар, Я. Пиклум, А. Чарнецки (2009-2010); В. Дель Дука, К. Дюр и В. Смирнов (2009-2011); Т. Герман, Н. Гловер, Т. Хубер, Н. Икизлерли, С. Студерус (2010); Пенг Сун, Ганг Хао, Кног-Фенг Сяо (2011); Ц. Берн, С. Дейвис, Т. Деннен, Ю-тин Хуанг (2012); Б. Еден, П. Хеслои, Г. Корчемский, В. Смирнов, Э. Сокачев (2012). Т. Герман,

И. Хен, Т. Хубер (2012).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

на семинарах:

• в 2006 г. на семинаре физического факультета университета Билифель-да;

• пять раз (2006-2011 гг.) на семинаре Института теоретической физики Технологического Института Карлсруэ (Карлсруэ, Германия);

• в 2010 г. на семинаре Труппы Ли и теория инвариантов" (мехмат, МГУ);

. в 2011 г. на семинаре но методам вычислительной физики Института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша;

• в 2011 г. на семинаре НИВЦ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре по компьютерной алгебре факультета ВМК МГУ;

• в 2011 г. на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре "Вычислительная математика и приложения" Института вычислительной математики РАН;

на международных конференциях:

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "Applying Groebner Bases to Solve Reduction Problems for Feynman Integrals"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2006;

• "Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research" — доклад "Reduction of Feynman integrals to master integrals"; National Institute for Subatomic Physics, Амстердам, Нидерланды, 2007;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral reduction"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral reduction"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009.

Личный вклад. Из всех работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены положения и результаты, полученные либо лично автором, либо при его определяющем участии в постановке задач и разработке методов их решения.

Публикации. Основные результаты но теме диссертации изложены в 29 печатных изданиях, 19 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 9 — в реферируемых журналах "Proceedings of Science" и "Nuclear Physics Proceedings Supplements", публикующих труды конференций и совещаний.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 190 страниц

11

текста с 18 иллюстрациями и 7 таблицами. Список литературы содержит 231 наименование.

Содержание работы Введение

Во введении обосновывается актуальность исследования, проводимого в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы но изучаемой проблеме, ставятся цели и задачи работы, формулируется научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Основная часть диссертации состоит из пяти глав.

Первая глава

Первая глава посвящена методам редукции фейнмановских интегралов.

Раздел 1.1 — это постановка задачи редукции. В нем определяются фейнмановские интегралы, которые можно считать функциями от индексов - п целочисленных параметров, являющихся показателями степеней пропа-гаторов в подынтегральном выражении

Т{аи...,ап) = у ••• у ■ V >

При редукции используются так называемые соотношения интегрирования но частям — соотношения вида

ЦгЫ)-0- М

Эти соотношения приводятся к виду

щТ(а1 + Ьм,..., а„ + Ь;,„) = 0, (з)

где Ьи1 - фиксированные целые числа (сдвиги на -1, 0 или 1), аа, - многочлены от а3. Дальше в соотношения подставляются различные индексы, из чего получается счетное множество соотношений для фейнмановских интегралов с коэффициентами, зависящими от кинематических инвариантов.

12

Таким образом, сформулированная в разделе задача редукции состоит в том, чтобы использовать соотношения (3) для того, чтобы любой интеграл мог быть представлен в виде линейной комбинации интегралов из небольшого множества.

В разделе 1.2 дается строгое определение понятия мастер-интегралов — простейших интегралов, через которые должны выражаться все остальные.

Для того, чтобы сформулировать это определение, фейнмаловские интегралы (1) рассматриваются как элементы поля функций Р от п переменных с целочисленными аргументами аь а2,..., ап. Это ноле представляет собой бесконечномерное векторное пространство, иростейший базис которого состоит из элементов где Еах.....а„(а'1; ...,<) = ^ ... 5йш< .

Соотношения между фейнмановскими интегралами формально являются элементами двойственного векторного пространства Р*, линейными функционалами на Р. Имеется в виду, что для любого г € Р* есть соответствующее значение (г,/) для заданного / 6 Р . Простейший базис этого пространства состоит из элементов Е*г.....^ определенных следующим образом:

(£а,„..,а„> Еа\,...,а'п) = ¿а,,а', • • • ¿ап,а'„ ■ (4)

Всевозможные соотношения интегрирования по частям порождают бесконечномерное векторное пространство ЕсГ. Множество решений 3 этих соотношений является пересечением ядер всех функционалов г € К. Оно представляет собой векторное подпространство пространства Р. Фейп-мановский интеграл (с учетом зависимости от индексов аг,... ,а„) является элементом пространства 8, поскольку интегралы Фейнмана удовлетворяют всем соотношениям интегрирования по частям.

Когда говорится, что один фейнмановский интеграл выражается через другой, обычно подразумевается, что это выражение — следствие рассматриваемых соотношений К. Таким образом, автор дает определение, что один интеграл Т(а\, ...,а„) выражается через другой ..., а*), ..., 3е(аи ■••>«£)> если существует такой элемент г£К, что

(г, Г) = Г{ах,..., о,,) + ка[,...К^(а[,...,<). (5)

Тем самым, в диссертации дается определение мастер-интегралов как интегралов, которые нельзя выразить через младшие относительно выбранного упорядочения.

В разделе 1.3 рассматриваются различные методы редукции фейн-мановских интегралов, как разработанные автором, так и существовавшие ранее.

Сначала (в подразделе 1.3.1) дается определение секторов - подмножеств индексов с фиксированными знаками (нулевое значение всегда относится к отрицательному направлению). Соответственно, имеется 2" секторов. Причина введения секторов очень проста — в соотношения, полученные при неположительном значении какого-либо индекса, не входят интегралы, у которых этот индекс положительный. Таким образом, естественным представляется постепенное "сведение" индексов к неположительным значениям. Кроме того, интегралы проще вычисляются, когда число положительных индексов мало.

Далее (в подразделе 1.3.2) вводится упорядочение внутри фиксированного сектора. Любой набор индексов в секторе может быть записан как (аь • • ■, ап) = (pi + йфг,...,р„ + dnbn), где (рь-..,рп) = (№ +1)/2,..., (dn + 1)/2) — угол сектора, а все Ь{ неотрицательны; набор (Ьь..., Ьп) называется отступом от угла. Это представление задает взаимно-однозначное соответствие ф между точками (аг,...,а„) сектора <т„ и (bu...,bn) € N". Последнее множество представляет собой полугруппу (относительно сложения (b1,...,bn) + (b'u...,b'n) = (b1 + b'1,...,bn + b'J). В этой группе задается любое

линейное упорядочение.

Подобные упорядочения используются во всех алгоритмах редукции, в том числе, в классическом алгоритме Лапорта. Этот алгоритм описан в

подразделе 1.3.3.

Чтобы описать наработки автора, дается краткое введение в базисы Грёбнера в подразделе 1.3.4 и описывается механизм, позволяющий применять их к редукции интегралов Фейнмана, основанный на классическом алгоритме Бухбергера. Затем, в подразделе 1.3.5, дано определение s-базисов

- модифицированных базисов Грёбнера. Также приводится предложенная автором модификация алгоритма Бухбергера, строящая эти базисы.

В разделе 1.4 представлена программа FIRE, осуществляющая редукцию фейнмановских интегралов. Программа удобна для использования

- достаточно описать задачу, а затем запросить один или несколько интегралов для редукции.

Сначала (в подразделе 1.4.1) описана логика работы алгоритма. Основная идея состоит в том, что в каждый момент времени программа хранит так называемые правильные выражения для фейнмановских интегралов; каждый интеграл J"(ab ...,а„) выражается как линейная комбинация интегралов младше, чем J-{a\,..., ап).

В допущении, что имеется способ строить правильное выражение для каждого интеграла, основной алгоритм выглядит следующим образом (на вход подаются требуемые интегралы):

FIRE

1. Requiredlntegrals^Input

2. Пока Requiredlntegrals не пусто

3. Y = Requiredlntegrals[[ 1]] (первый элемент)

4. Убрать первый элемент у Requiredlntegrals

5. Получить правильное выражение для Y — линейную комбинацию интегралов; их множество мы обозначим как 5

6. Взять подмножество S' множества S, содержащее интегралы, для которых еще не были построены правильные выражения

7. Объединить Requiredlntegrals с 5"

8. КонецЦикла

9. Отсортировать полный список встречавшихся интегралов по убыванию

10. Для всех элементов У этого множества, начиная с младших

11. Взять правильное выражение для У через (Xi,..., Хк) и подставить в него правильные выражения для X;

12. КонецЦикла

13. Вернуть полученные правильные выражения для Input

Другими словами, программа начинает с исходных интегралов, получает для них правильные выражения, смотрит на полученные интегралы и.т.д. В конце проводятся обратные подстановки. Положительным моментом является то, что длины выражений ограничены, на прямом проходе — длиной получаемых правильных выражений, на обратном — количеством мастер-интегралов.

Возможность такой процедуры основывается на умении быстро получать правильные выражения. Далее в диссертации обсуждаются источники правильных выражений. Во-первых, это s-базисы, модификация базисов Грёбнера, о которой было сказано в предыдущем разделе. Если в секторе можно построить базис для редукции, FIRE его может использовать для ускорения работы и применения правил в этом секторе вместо разрешения системы уравнений.

Перечислены и иные источники, но в случае, когда они отсутствуют, алгоритму приходится обходиться без них. Самый прямолинейный и всегда работающий способ — это алгоритм Лапорты. Он также реализован в программе FIRE. Отличительной особенностью является то, что подбор отступов от угла сектора для построения выражений выполняется автоматически, пользователю лишь необходимо подать на вход описание задачи и список требуемых интегралов.

Далее (в подразделе 1.4.2) обсуждается, как устроена параллелиза-ция алгоритма. Она основана на том факте, что в секторах одного уровня

15

можно работать практически независимо. Соотношения, полученные подстановкой в IBP точек данного сектора, не включают в себя точек из секторов большего или такого же уровня. Причина заключается в том, что в соотношения IBP оператор положительного сдвига всегда входит вместе с оператором умножения.

Тем не менее, точки, относящиеся к более низким секторам, входят в эти соотношения. Тем самым требуется использование общей базы данных.

Соответственно, параллелизация алгоритма устроена следующим образом. На вход подается список интегралов, и алгоритм отбирает старшие секторы одного уровня, в которых содержатся требуемые интегралы. Эти секторы распределяются между параллельно работающими ядрами процессора. Если их оказывается больше, чем ядер, то ядро, закончившее работу первым, получает дополнительное задание. После того, как работа в секторах одного уровня закончена, код вычисляет интегралы, необходимые на следующем уровне, и уже дальше работает с ними аналогичным способом. Таким образом, в программе организована балансировка нагрузки — в общем случае количество секторов одного уровня существенно превосходит количество задействованных ядер процессора, поэтому нагрузка более-менее равномерно распределяется между ядрами, приводя к приросту производительности.

В конце главы, в разделе 1.5, доказываются теоремы конечности. Во-первых, формулируется

Теорема 1. Число мастер-интегралов всегда конечно.

Конструктивного доказательства этой теоремы не существует; тем не менее, наличие такой теоремы является обоснованием алгоритмов редукции

фейнмановских интегралов.

В разделе эта теорема сводится к следующему математическому утверждению из области алгебраической геометрии:

Теорема 2. Пусть G - алгебраическая группа, действующая на векторном пространстве X с конечным количеством орбит. Пусть х ■ g F ~ характер ( гомоморфизм алгебр Ли). Для любого набора функций Еь ...,Е„€ F[X] алгебра JIu g действует на кольце регулярных функций Т на дополнении в X к гиперплоскостям, определенным функциями Е;. Утверждение теоремы заключается в том, что фактор (g - x(g))-^-^ конечномерен.

Кроме того, на основании теоремы 1 доказывается утверждение:

Теорема 3. Алгоритм редукции, лежащий в основе программы FIRE, сходится. Имеется некоторый конечный набор мастер-интегралов, такой что описанный алгоритм представляет интеграл с любыми индексами как линейную комбинацию мастер-интегралов.

16

В разделе 1.6 подводятся итоги главы. Статьи, относящиеся к первой главе: [29, 19, 25, 4, 26, 22, 27].

Вторая глава

Вторая глава описывает методы вычисления фейнмаповских интегралов. Она разбита на два раздела, первый из которых 2.1 посвящен вычислению методом разложения по секторам, а второй 2.2 — представлению Меллина-Барнса.

Раздел 2.1 начинается с подраздела 2.1.1, где описывается параметрическое представление фейнмаповских интегралов. Напомним, что рассматриваются интегралы вида

ту \ Г

где й = 4 - 2е, 1/Еп — пронагаторы.

После некоторых замен и подстановок выводится формула вида

Паъ...,ап) =

где А = ап, а V и Р — конструктивно определенные полиномы от

В подразделе 2.1.2 описано так называемое разложение но секторам. После разложения области интегрирования на первичные секторы и замены неременных предыдущая формула сводится к линейной комбинации интегралов следующего вида:

Г1 / \ ТтА-{1+1)й/2

У йх{... йхп. |п *Г ^ (8)

Задача состоит в том, чтобы разложить подынтегральные выражения но е и выполнить численное интегрирование. Однако, такое возможно только

ГТЛ-Р+1М/2

в случае, когда не имеет особенностей но е.

Существуют различные способы приведения подынтегрального выражения к требуемому виду. Изначально использовались классические секторы Хенна (1966) и Спира (1968), рассмотренные в подразделе 2.1.3. Они могут

17

быть применены только к фейнмановским интегралам при евклидовых внешних импульсах (любая сумма внешних импульсов пространственно-подобна).

В подразделе дается современная трактовка секторов Хеппа и Спи-ра, позволяющая переформулировать их в рамках рекурсивного построения секторов.

Тем самым осуществляется переход к подразделу 2.1.4, где формулируется современное видение секторного разложения. Для преобразования подынтегрального выражения к требуемому виду выполняется описанный в разделе процесс, называемый разложением по секторам. Он определяется рекурсивно, шаг рекурсии состоит в разбиении области интегрирования на части (секторы) и последующей замене переменных таким образом, что в новых переменных области интегрирования превращаются опять в единичные кубы.

Способ выбора областей и соответствующих замен переменных называется стратегией секторного разложения. В подразделе описан принцип работы общеизвестных стратегий разложения по секторам.

Далее (в подразделе 2.1.5) определяется стратегия Б, изобретенная автором и основанная на анализе "нижних" граней многогранника весов, отвечающего подынтегральному выражению.

Устроена она следующим образом: рассматривается множество весов IV многочлена Рг, определенное как множество всевозможных (а!,...,ап), где сх"'... х";1 — один из мономов многочлена Говорится, что один вес старше другого, если их разница является набором неотрицательных чисел. Рассматривается выпуклая оболочка сопу(1У) множества IV и выбирается одна из его граней С максимальной размерности, видимая из начала координат. Берется нормальный вектор V к С, рассматривается множество I = {г\уг =/ 0}, область интегрирования делится на т частей при помощи

где {¿ь.. Лт} = I, П = Ь - 1, а степени а; определены через

сч, \ /0 1 1 . • м -1 ( \

а,:2 1 0 1 . . 1 «¡2

= 1 1 0 . . 1

\ а«т ) V1 1 1 . • о) \ )

Замены переменных в S¡ определяются как

x¡ = x[\/i 0 I

ъ = w

В подразделе доказано утверждение: Теорема 4. Стратегия S сходится.

Как хорошо известно, при евклидовых внешних импульсах секторы Спира дает минимальное количеству секторов. В подразделе также доказывается:

Теорема 5. В случае евклидовых импульсов стратегия S и секторы Спира приводят к одинаковому набору секторов.

Тем самым, в случае евклидовых импульсов и стратегия S дает оптимальный результат. Но она работает на существенно более широком классе интегралов, также приводя к относительно небольшому количеству секторов.

В подразделе 2.1.6 рассмотрено предразрешение — выявление областей, связанных с мономами разных знаков. Стратегии разложения по секторам гарантированно сходятся, только если все члены функции F положительны. Однако, они могут работать и с более широким кругом задач. В случае, когда функция F имеет везде один знак, но может зануляться не только при обращении в нуль части переменных интегрирования, работают обычные методы разложения по секторам.

В более общем случае, когда функция имеет один знак, но может зануляться не только на границе, введен алгоритм для выделения полных квадратов разностей переменных внутри функции F и соответствующих разбиений и замены переменных.

Алгоритм "предразрешения" заключается в поиске пар переменных интегрирования, произведения которых входят в мономы функции F с отрицательным знаком. Для всех таких пар делается попытка разбить область интегрирования (на этом этапе — бесконечный квадрант положительных значений) на две: в одной больше одна переменная, в другой — другая. Делается замена переменных yi = хь у2 = х2 - хх, тем самым форма области сохраняется.

В подразделе 2.1.7 описывается программа FIESTA, выполняющая автоматическое численное вычисление фейнмановских интегралов.

Эта программа уникальна в своем роде и позволяет пользователю просто описать интеграл и запустить вычисление. Естественно, она имеет свои ограничения - для сложных интегралов вычисление может требовать большого количества времени и памяти. Тем не менее, часто даже прямолинейного применения программы достаточно для получения требуемого результата.

Разложение по секторам происходит в автоматическом режиме. В программе реализованы стратегии А, В, Б, X, стратегия секторов Стара, а также более поздняя стратегия Ки (Канеко, 2009). По умолчанию выбрана стратегия Б как сходящаяся на наибольшем классе интегралов и превосходящая стратегию В. Но существуют случаи, когда лучше выбрать другую стратегию, и в разделе приводятся советы по выбору.

После разрешения особенностей получаются выражения вида

л+ьАг, (ю)

где Z не имеет особенностей.

В разделе описаны действия, которые совершает программа для выделения таких особенностей. А именно, выражение разбивается на явно интегрируемый член и остаток, который не имеет особенностей. Описаны различные методы выделения особенностей и показано, который из них является

самым оптимальным.

Далее в разделе описано, как FIESTA осуществляет численное интегрирование. Для этого используется отдельно написанная программа, поскольку Mathematica не способна осуществить вычисление с требуемой точностью. Здесь возникает следующая проблема: что нельзя просто создать программу на С, содержащую подынтегральное выражение и откомпилировать ее по той причине, что время компиляции для всех известных компиляторов растет экспоненциально.

Соответственно, в диссертации описано, как была решена эта проблема. А именно, был создан собственный "компилятор" на С++, переводящий поступающую строку во внутреннюю структуру, что позволяет впоследствии быстро вычислять функцию в любой точке.

Вторая проблема, как описано в этом разделе, возникает из-за специфической структуры подынтегральных выражений. А именно, но причине проведенного разложения в ряд Тейлора и остаток, функция представляет собой сумму отдельных членов, способных быстро стремиться к бесконечности при малых значениях переменных интегрирования. Например, два члена функции могут иметь порядок Ю20, а их разность — порядок Ю-1. Тем самым

20

около 20 значащих цифр в десятичном представлении этих чисел сокращаются, и результат зависит только от последующих цифр. Но даже при двойной точности вычислений компьютер хранит только около 14-15 цифр при переводе в десятичное представление.

В диссертации для решения этой задачи была разработана модификация алгоритма численного интегрирования функций с использованием арифметики высокой точности для интегрирования. Были протестировали различные библиотеки и выбрана библиотека GNU mpfr1.

В заключение разбирается, как устроена параллелизация в программе FIESTA. Первая часть — параллелизация в Wolfram Mathematica. Сначала программа запускает несколько подчиненных процессов, которые смогут независимо работать с первичными секторами. После завершения секторного разложения программа может работать в секторах совершенно независимо, тем самым, задача может быть эффективно нараллелизована. Узким местом может оставаться работа с диском при помощи программы QLink для хранения промежуточных данных во всех секторах (в противном случае было бы легко переполнить оперативную память). В программе FIESTA только основной процесс использует базу данных; для правильного распределения заданий была реализована своя система очередей.

Интегрирование может выполняться в рамках пакета Mathematica и быть параллелизовано аналогичным образом. Однако; существенно эффективней оказывается использовать специально разработанную программу интегрирования на c++. Параллелизация на этой стадии реализована за счет того, что Mathematica запускает независимые процессы CIntegrate и распределяет между ними интегрирование.

Завершается раздел подробным анализом того выигрыша во времени, которого можно добиться, запуская программу FIESTA в параллельном режиме, а также примером применения программы.

В разделе 2.2 разбирается другой подход к вычислению фейпманов-ских интегралов, основанный на представлении Меллина-Барнса (MB). Сначала объяснено, что собой представляет этот метод.

А именно, метод МВ-представления — один из способов вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов, основывающийся на формуле

]GNU MPFR http: //www.mpfr.org/ -- кроссилатформсиная C-библиотскал''я вычислений с плавающей точкой с произвольной томностью, основанная на библиотеке GMP http://gmplib.org/

называемой МВ-нредставлением и применяемой с той целью, чтобы заменить сумму двух слагаемых в какой-либо степени на их произведение в некоторых степенях. Согласно предписанию преобразования, контур интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы полюса с Г(... +^-зависимостью находились слева от контура, а с Г(... - г)-зависимостыо - справа.

Вопрос вывода МВ-представления не рассматривается в диссертации; напротив, допускается, что уже получено представление вида

J_ [+i°° ГИос nir(g, + ^ + EJ^) п4к^^ _

lm)n J-iсо J-ioo Д. Г (а[ + Ще + Ej ¿ijZj) k 1=1

(12)

(2тгг)'

где £ = (4 - d)/2 — параметр размерной регуляризации, а;,..., d{j — рациональные числа, хк — отношения кинематических инвариантов и/или масс;

Степени dk ЯВЛЯЮТСЯ ЛИНеЙНЫМИ Комбинациями £ И ПереМеННЫХ Zi.

Если такой интеграл достаточно сложен, то прямое вычисление невозможно, и нужно осуществить разложение ПО е, что достаточно при вычислении размерно-регуляризованных интегралов. Это и является задачей, рассматриваемой в разделе.

Основная проблема состоит в выборе контура - ведь предписания приводят к противоречивым требованиям для выбора прямолинейного контура, поэтому для правильного разложения необходимо учитывать вычеты.

В подразделе 2.2.1 вводится модификация классической стратегии

выбора контуров.

Напомним, что для Г(л + а) имеется предписание Rez < -а (если мы интегрируем по z ио вертикальной оси). Определим также функцию Г(п)(г + а). Она будет равна обычной гамма-функции, но ее наличие в интеграле будет

подразумевать другое предписание для контура, а именно -а+п-1 < Rez < -а + п. Аналогично определяются такие функции и для зависимости с -z.

Автор предлагает искать контуры, по которым мы будем интегрировать в конце, и чтобы при этом предписания нарушались "минимальным образом" (строгое определение можно найти в диссертации).

В подразделе 2.2.2 формализован алгоритм поиска контуров и описана программа MBresolve, представляющая собой его реализацию Схематически алгоритм можно описать следующим образом: MBresolve[f unction, cont_pr]

1. пайти точку с минимальным нарушением предписаний контуров.

2. Если число нарушений равно нулю, возвратить function как ответ

3. I = список нарушенных предписаний

4. Для каждого {х, п} в I выполняем

5. Попытка вычислить 1:1 = МВгезо1уе^ивс1;1оп,соп1;_рг']

где со^_рг/ получаются заменой {х, п} на {х,п+ 1}

6. В случае ошибки переходим к следующему циклу

7. представим х как са + г, где с ф 0, а — одна из переменных интегрирования, и г не зависит от а

8. Возвратить

и - 31^[с]МВгезо1уе[МВгез1<1ие[£ипсгл.оп, {а, -г/с}],соп1;_рг"], где сопг_рг" получаются из согй,_рг удалением {х, п} и заменой а —> —г¡с во всех остальных функциях

9. Конец

10. Подняться на уровень рекурсии вверх с ошибкой

В завершение в подразделе 2.2.3 упоминается алгоритм РЭЬС) — поиск целочисленных соотношений между числами XI,... хп (заданными с фиксированной точностью), то есть соотношений типа

а 1X1 + ... апхп = 0,

где не все а равны нулю. Интерес представляет поиск такого решения с минимально возможными (по модулю) коэффициентами. В таком случае, если нам известен ответ с большой точностью и набор иррациональных чисел, через которые он должен выражаться, мы можем найти это выражение. Естественно, нет стопроцентной гарантии, что это представление является верным. Однако статистически можно оценить вероятность того, что ответ был найден.

Этот алгоритм часто применяется в работах автора для получения аналитического ответа после того, как был найден одним из оиисанных выше методов численный ответ.

В разделе 2.3 подводятся итоги главы. Статьи, относящиеся ко второй главе: [28, 7, 2, 16, 17, 5, 18].

Третья глава

В третьей главе описаны результаты автора, относящиеся к асимптотическому разложению. Часто встречаются ситуации, когда поставленная задача оказывается слишком сложной для явного вычисления, но при этом заданный интеграл зависит от нескольких параметров, которые можно явно подразделить на "малые" и "большие". Тогда интеграл можно приблизить некоторым количеством первых членов соответствующего асимптотического разложения. Строго говоря, задачу асимптотического разложения фейн-

23

мановских интегралов можно поставить следующим образом. Предположим, что интеграл зависит от некоторого параметра Ь и надо проследить поведение интеграла при ¿, стремящемся к нулю.

В главе рассмотрено два подхода к асимптотическому разложению.

В разделе 3.1 описан так называемый метод областей. Области — это некоторые преобразования подынтегрального выражения. Утверждается, что сумма интегралов разложений по £ по областям равна разложению интеграла. Причина происхождения такого название ("области") заключается в том, что в каждой области подразумевается свое соотношение между параметрами. Область интегрирования действительно распадается на каким-то образом определяемые подобласти. Но так как каждой подобласти соответствует своя замена переменных и производится интегрирование по всему пространству, нет никакого явного объяснения тому факту, что метод областей работает. Более того, до последнего времени не имелось строгого определения областей _ их нахождение основывалось на интуиции и опыте.

В разделе описан поход, разработанный автором совместно с А. Паком и позволивший формализовать метод областей. В нем рассматривается общий случай /-петлевого фейнмановского интеграла, имеющего альфа-представление вида

?{аи...,ап)= (13)

с С йхх..Яхп 5(1 - X! - ... - хп)хаГ1-Ап'1иаР\ Jo

где коэффициент с и степени а и Ь зависят только от I, <1, и а^ и и ^ — однородные многочлены (степеней I и I + 1) от переменных интегрирования, ^ также зависит от кинематических инвариантов.

Геометрический подход к асимптотическому разложению, предложенный в подразделе 3.1.1, состоит в следующем. Рассматривается интеграл в альфа-представлении (13) с переменными интегрирования хх, ...,х„ и малым параметром разложения р. Каждому моному многочлена F отвечает его набор степеней по xi, ...,х„ и р.

рг°х?...<"-»(г1,..,гп,г0), (14)

всему многочлену ^ отвечает набор из М точек в (п + 1)-мерном векторном пространстве. Из однородности F следует, что все эти точки лежат в п-мерной гиперплоскости, удовлетворяющей уравнению п + ... + г„ = I + 1. Члены и не зависят от р, поэтому множество {11} содержится в(га-2)-мерной гиперплоскости, отвечающей условиям Го = 0, 7"1 4-... + г„ = I.

24

Если зафиксировать масштабирование альфа-параметров Xi ~ рщ, то степень роста монома будет определяться как рТох\х...хГп ~ дго+"1г1+-••+г„«„

ЯГ-»/ \ ~ 1 п г

~ р , где г — (г0,..., гп) — элемент множества и ¿7 = (ьи..., ъ>п, 1).

Любому выбору вектора V соответствует масштабирование переменных Xi. В разделе доказывается:

Теорема 6. Пусть функция Г полностью положительна. Тогда если вектор (VI,... , задает ненулевую область, то вектор V = ип 1) ортогонален одной из граней максимальной размерности многогранника весов сопу{С/.Р} и смотрит "внутрь" многогранника.

Затем приводятся два примера, поясняющие логику определения областей.

В подразделе 3.1.2 описана реализация вышеуказанного алгоритма в виде программы аэу. Основная проблема сводится к известной задаче вычислительной геометрии — к построению выпуклой оболочки множества из М точек в п-мерном пространстве Для этих целей используется алгоритм (№11.

В разделе 3.2 разбирается другой метод асимптотического разложения, комбинирующий МВ-представление с секторным разложением. Как оказывается, описанное во второй главе разложение по секторам также может быть применено для получения асимптотического разложения. В диссертации рассматривается случай, когда кинематические инварианты и массы можно разбить на две группы,

Ь-1 £-1

ХХПа'' + т 1 = ^1 + ^2, (15)

г=1 ы>

члены из группы Щ намного меньше членов группы \У2. После введения параметра разложения А, путем домножения на него членов первой группы получается частный случай пределов, рассматривавшихся в предыдущей части (стратегия областей). Эти члены разделяются при помощи введения однократного МВ-интеграла,

Г(а — Ы/2) 1 чгГ(а — Ы/2 + г)Г{—г) , ч (АИ^1 + 2т У_(оо л щ-гц/а-м/2+г- (16)

таким образом

ТЩ = (?*Л/Л)Н _L r0°dzT(a-hd/2 + z)r(-z)Xz

П, ría¡) 2ni J-ioo

: С... I'W¡W2-a+hd,2-z П Kr'Q') •

Jo Jo i

Идея использования МВ-представления заключается в том, чтобы свести изучение асимптотики к анализу полюсов по переменной интегрирования г Чтобы выбрать члены асимптотики в пределе А -> О, контур интегрирования замыкается справа и изучаются вычеты по г. В дополнение к полюсам явно присутствующей гамма-функции Г(-г) при г = 0,1,2,... имеются полюсы, возникающие из параметрического разложения.

В подразделе 3.2.1 рассказывается, как предложенный выше алгоритм был реализован в виде модуля в программе FIESTA. Он состоит из еле-дующих шагов.

Шаг 1. Особенности интеграла разрешаются при помощи разложения ио секторам. Вместо двух подынтегральных функций имеется три, U, Wl и W2 возведенные в степени, зависящие не только от е, но и от переменной интегрирования 2. В результате этой процедуры получается сумма параметрических интегралов, в каждом из которых функции правильно фак-торизованы. Таким образом, каждый из полученных параметрических интегралов представляет собой интеграл ио единичному кубу (по переменным íi,...,«l-i) выражения ШГ*. помноженного на положительную функцию. Здесь степени г i имеют вид ьг£ + CiZ + п„ где ьиа,щ рациональны.

Шаг 2 Выделяются сингулярности по е, возникающие из-за интегрирования по z. Каждый интеграл от í^+^+n,-! порождает ^-зависимость типа Г {bi£ + CiZ + ni). Представляют интерес только зависимости с а < 0.

С использованием вычитания начальных членов ряда Тейлора каждый интеграл превращается в сумму остатка и интегралов, у которых интегрирование ио U может быть взято явно. Остаток (если взять достаточное количество членов ряда Тейлора) может быть отброшен, поскольку он стремится к нулю пропорционально большой степени параметра Л. В то же время явное интегрирование членов ряда Тейлора приводит к рациональной сингулярности ио z. В этих точках вычеты берутся так же, как и при явной функции

Г(-г).

Шаг 3. Каждый полученный интеграл является секторным интегралом с правильной факторизацией, поэтому он может быть вычислен численно программой FIESTA.

В разделе 3.3 подводятся итоги главы. Статьи, относящиеся к третьей главе: [3, 5, 18].

Первые три главы имеют больше теоретическое значение: в них описаны методы и алгоритмы для редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов.

Четвертая глава

В четвертой главе представлен программный комплекс, основанный на описанных выше алгоритмах, даются инструкции по его применению. Для всех компьютерных программ, входящих в состав комплекса, приводятся рекомендации по подбору опций для повышения эффективности вычисления фейнмановских интегралов.

В разделе 4.1 даны инструкции к программе FIRE. В подразделе 4.1.1 описан синтаксис основной программы — команды, которые нужно дать, чтобы запустить вычисление, различные опции. В подразделе 4.1.2 приводится синтаксис программы построения s-базисов — их иаличие может ускорить работу основной программы. В подразделе 4.1.3 приводятся примеры, а в подразделе 4.1.4 — рекомендации по эффективному использованию программы.

В разделе 4.2 даны инструкции к программе FIESTA, позволяющие описать искомый интеграл и выполнить вычисление или асимптотическое разложение. В подразделе 4.2.1 описан процесс установки этой программы, в подразделе 4.2.2 — ее синтаксис с примерами, в подразделе 4.2.3 — советы по выбору опций для оптимальной работы программы.

В разделе 4.3 даны инструкции к программе MBresolve, осуществляющей поиск контуров для вычисления фейнмановских интегралов методом Меллина-Барнса; приводится пример использования программы.

В разделе 4.4 описана программа поиска областей asy, использующаяся для разложения методом областей. Чтобы ее задействовать, необходимо установить пакет с открытым кодом QHull, выполняющий поиск выпуклых оболочек многогранников. В разделе приводится синтаксис программы и примеры ее применения.

Раздел 4.5 посвящен остальным утилитам.

В подразделе 4.5.1 описана программа QLink. Для работы очень многие используют программу Wolfram Mathematica; в частности, на ней написана публичная версия FIRE. Будучи универсальным и очень удобным продуктом, Mathematica испытывает некоторые проблемы, связанные с использованием памяти и производительностью.

Для того, чтобы преодолеть эти проблемы, была разработана программа QLink. Она написана на c++ с использованием библиотеки MathLink и позволяет обращаться из Mathematica к движкам баз данных QDBM2, TokyoCabinet3 и KyotoCabi.net4.

В подразделе подробно описан синтаксис использования программы

QLink.

В подразделе 4.5.2 описана программа FLink, предназначенная для борьбы с другим недостатком пакета Mathematica. Он состоит в том, что в отдельных случаях полиномиальная алгебра пакета Mathematica сильно отстает по эффективности от конкурентов. Программа FLink позволяет использовать закрытую консольную программу Fermât5 для алгебраических вычислений. Она написана на c++ с использованием библиотеки MathLink и позволяет запускать Fermât из Mathematica и вызывать алгебраические вычисления. Fermât эффективно приводит к общему знаменателю сумму двух рациональных функций и сокращает наибольший общий делитель у числителя и знаменателя.

В подразделе 4.5.3 описана программа UF. На вход ей подается набор петлевых импульсов, пропагаторов и количество петель, на выходе мы получаем параметрическое представление. Это представление раньше оно выводилось вручную, иногда даже с использованием данных о структуре фейнманов-ской диаграммы. Оно используется для работы описанной выше программы FIESTA и для многих других задач.

В подразделе 4.5.4 описана программа IBP. Она применяется для автоматической генерации соотношений IBP на основе знания о петлевых и внешних импульсах и пропагаторах. Эти соотношения используются, в частности, в программе FIRE.

В разделе 4.6 подводятся итоги главы. Статьи, относящиеся к четвертой главе: [3, 19, 16, 17, 5, 18].

Пятая глава

Благодаря тому, что автором были созданы эти алгоритмы, были получены разнообразные физические результаты. Самые важные из результатов, полученных совместно с соавторами, описаны в пятой главе.

В разделе 5.1 приведен анализ декаллинга с-кварковых петель в процессах с участием b-кварка. Коэффициенты декаплинга для поля тяжелого

2http : //sourcef orge. net/pro j ects/qdbm/

3http://íallabs.com/tokyocabinet/

'http : Htallabs.com/kyotocabinet/

''http : //home. bvay. net/lewis/

кварка и смешанного кваркового тока вычислены в трехпетлевом приближении. Последний результат был получен, чтобы улучшить точность вычисления /в на основе моделирования решетки в рамках эффективной теории тяжелого кварка (без с-кварковых петель).

В разделах 5.1.1 и 5.1.2 рассматриваются два класса интегралов, для которых понадобилась редукция, а в разделе 5.1.3 приводятся результаты.

Раздел 5.2 посвящен потенциалу взаимодействия двух тяжелых кварков. Значение этого потенциала нужно для описания процессов рождения пары ¿-кварк и ¿-кварк на пороге и для описания связанных состояний с-кварка и Ь-кварка. Кроме того, он важен для понимания фундаментальных явлений КХД, таких как конфайнмент.

В разделе 5.2.1 описано получение всех трехиетлевых поправок к статическому потенциалу, в разделе 5.2.2 приведено их значение, в разделе 5.2.3 рассмотрены различные применения этого результата.

В разделе 5.3 изучаются кварковые и глюонные трехпетлевые форм-факторы. Рассмотрено получение основных калибровочно-инвариантных компонент для адронного рождения бозона Хиггса и процесса е+е" —> 2 струи. Этот результат является первой посчитанной поправкой третьего порядка для трехточечной функции в квантовой хромодинамике.

В разделе 5.3.1 рассмотрены два подхода к редукции требуемой задачи, а в разделе 5.3.2 приведены результаты и рассмотрены их потенциальные применения.

В разделе 5.4 изучены низкоэнергетические моменты корреляторов тяжелых кварков в четырехпетлевом приближении. В работе вычислены второй и третий моменты для векторного, аксиального и скалярного токов и третий и четвертый моменты для псевдо-скалярных токов.

Отдельно в разделе 5.4.1 рассмотрена техника, связанная с применением собственно-энергетических вставок. Эта специально разработанная методика применялась для задачи редукции требуемых диаграмм. В разделе 5.4.2 приведены результаты.

Статьи, относящиеся к пятой главе: [15, 24, 6, 1, 8, 23, 20, 21, 9, 10, 11, 12, 13, 14].

Одним из результатов диссертации является доказательство теоремы конечности числа мастер-интегралов (теорема 1). Автору диссертации принадлежит сведение этого физического утверждения к математическому утверждению из области алгебраической геометрии (теорема 2). Доказательство теоремы 2 принадлежит не автору, а его соавтору, поэтому оно приведено в приложении.

Заключение

В заключении подводятся итоги работы автора, определяется их теоретическое и практическое значение.

На основании анализа состояния современной науки в области вычисления фейнмановских интегралов автором была выявлена определенная потребность в мощных алгоритмах для трех задач, возникающих при вычислении фейнмановских интегралов, - для редукции к мастер-интегралам, для вычисления последних и для подхода с использованием асимптотического разложения (применяемого в случаях, когда полная задача имеет слишком высокую сложность). В диссертации представлены существенные наработки во всех трех перечисленных направлениях. Для всех означенных задач разработаны и реализованы в виде компьютерных кодов различные алгоритмы, которые позволяют существенно автоматизировать процесс работы с фейнмановскими интегралами и начать работу с интегралами очень высокой сложности.

При разработке алгоритмов была учтена специфика развития современных компьютеров - возрастающая распространенность многоядерных компьютеров, а также доступность больших объемов дисковых пространств при практически не возрастающей тактовой частоте процессоров.

В процессе создания алгоритмов автором также даны строгие определения некоторых терминов, использовавшихся и ранее при вычислении фейнмановских интегралов, а именно, областей (в рамках метода разложения но областям) и мастер-интегралов (в рамках метода интегрирования по частям). Работа с данными объектами на математическом языке позволила, в том числе, доказать теорему о конечности числа мастер-интегралов.

Указанные алгоритмы сделаны публичными. В диссертации имеется глава, содержащая подробные инструкции по использованию пакета разработанных автором диссертации алгоритмов.

Результаты автора подтверждаются как физическими результатами, полученными им совместно с соавторами, так и результатами независимых исследователей, использовавших данные программы.

Результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях

[1] Lee R. N., Smirnov А. V., Smirnov V. A. Master Integrals for Four-Loop Massless Propagators up to Transcendentality Weight Twelve // Nucl. Phys. 2012. Vol. B856. P. 95-110.

[2] Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. On Epsilon Expansions of Four-loop Non-planar Massless Propagator Diagrams // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1708.

[3] Рак A., Smirnov A. Geometric approach to asymptotic expansion of Feynman integrals // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1626.

[4] Smirnov A. V., Petukhov A. V. The number of master integrals is finite // Lett. Math. Phys. 2011. Vol. 97. P. 37-44.

[5] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Tentyukov M. FIESTA 2: parallelizeable multiloop numerical calculations // Comput. Phys. Commun. 2011. Vol. 182. P. 790-803.

[6] Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Analytic Results for Massless Three-Loop Form Factors // JHEP. 2010. Vol. 04. P. 020.

[7] Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Dimensional recurrence relations: an easy way to evaluate higher orders of expansion in e // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 308-313.

[8] Maier A., Maierhofer P., Marquard P., Smirnov A. V. Low energy moments of heavy quark current correlators at four loops // Nucl. Phys. 2010. Vol. B824. P. 1-18.

[9] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Full result for the three-loop static quark potential // PoS. 2010. Vol. RADCOR2009. P. 075.

[10] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. The static quark potential to three loops in perturbation theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 320-325.

[11] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop heavy quark potential // PoS. 2010. Vol. ICHEP2010. P. 217.

[12] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop static potential // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 112002.

31

[13] Smirnov A. v., Tentyukov M. Four Loop Massless Propagators: a Numerical Evaluation of All Master Integrals // Nucl. Phys. 2010. Vol. B837. P. 40-49.

[14] Tentyukov M., Smirnov A. V. Applications of FIESTA // PoS. 2010. Vol. ACAT2010. P. 081.

[15] Baikov P. A., Chetyrkin K. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Quark and gluon form factors to three loops // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 212002.

[16] Smirnov A. V., Smirnov V. A. Hepp and Speer Sectors within Modern Strategies of Sector Decomposition // JHEP. 2009. Vol. 05. P. 004.

[17] Smirnov A. V., Smirnov V. A. On the Resolution of Singularities of Multiple Mellin- Barnes Integrals // Eur. Phys. J. 2009. Vol. C62. P. 445-449.

[18] Smirnov A. V., Tentyukov M. N. Feynman Integral Evaluation by a Sector decomposiTion Approach (FIESTA) // Comput. Phys. Commun. 2009. Vol. 180. P. 735-746.

[19] Smirnov A. V. Algorithm FIRE - Feynman Integral REduction // JHEP. 2008. Vol. 10. P. 107.

[20] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Evaluating the three-loop static quark potential // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2008. Vol. 183. P. 308.

[21] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Fermionic contributions to the three-loop static potential // Phys. Lett. 2008. Vol. B668. P. 293-298.

[22] Smirnov A. V., Smirnov V. A. On the reduction of Feynman integrals to master integrals // PoS. 2007. Vol. ACAT2007. P. 085.

[23] Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Applying Mellin-Barnes technique and Groebner bases to the three-loop static potential // PoS. 2007. Vol. RADCOR2007. P. 024.

[24] Grozin A. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Decoupling of heavy quarks in HQET // JHEP. 2006. Vol. 11. P. 022.

[25] Smirnov A. V. An algorithm to construct Groebner bases for solving integration by parts relations // JHEP. 2006. Vol. 04. P. 026.

[26] Smirnov A. V., Smirnov V. A. Applying Groebner bases to solve reduction problems for Feynman integrals // JHEP. 2006. Vol. 01. P. 001.

[27] Smirnov A. V., Smirnov V. A. S-bases as a tool to solve reduction problems for Feynman integrals // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. Vol. 160. P. 80-84.

[28] Смирнов А. В. Проективные орбиты редуктивных групи и многогранники Бриона // УМН. 2005. Т. 60. С. 147.

[29] Смирнов А. В. Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических групп. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. МГУ, 2005.

Подписало в печать 04.06.2012 г. Формат 60x84/16 Бумага офс. № 1. Печать ризо. Усл. иеч. л. 2.0. Тираж 100 экз. Заказ № 4.

Участок оперативной печати НИВЦ МГУ. 119991, ГСП-1, Москва, НИВЦ МГУ имени М.В.Ломоносова

Введение

ГЛАВА 1. Редукция фейнмановских интегралов

1.1. Постановка задачи редукции.

1.2. Определение мастер-интегралов.

1.3. Методы редукции

1.3.1. Секторы.

1.3.2. Упорядочение внутри сектора.

1.3.3. Алгоритм Лапорты

1.3.4. Базисы Грёбнера.

1.3.5. s-базисы.

1.4. Описание программы редукции FIRE

1.4.1. Алгоритмическая редукция.

1.4.2. Организация параллельных вычислений

1.5. Теоремы конечности.

1.6. Итоги первой главы.

ГЛАВА 2. Вычисление фейнмановских интегралов

2.1. Вычисление методом разложения по секторам.

2.1.1. Параметрическое представление и проблема разрешения особенностей

2.1.2. Разложение по секторам

2.1.3. Секторы Хеппа и Спира.

2.1.4. Стратегии разложения по секторам.

2.1.5. Стратегия S .~."

2.1.6. Предразрешение.

2.1.7. Описание программы вычисления FIESTA.

2.2. Вычисление методом Меллина-Барнса

2.2.1. Модифицированная стратегия А.

2.2.2. Описание алгоритма и программы MBresolve

2.2.3. PSLQ — нахождение трансцендентных чисел по высокоточному численному значению.

2.3. Итоги второй главы.

ГЛАВА 3. Асимптотическое разложение фейнмановских интегралов

3.1. Метод областей для асимптотического разложения

3.1.1. Геометрический подход к асимптотическому разложению.

3.1.2. Реализация в виде программы asy.

3.2. Разложение по секторам как метод асимптотического разложения . 92 3.2.1. Алгоритм асимптотического разложения и его реализация в программе FIESTA

3.3. Итоги третьей главы.

ГЛАВА 4. Описание комплекса программ

4.1. FIRE.

4.1.1. Синтаксис основной программы.

4.1.2. SBases.

4.1.3. Примеры.

4.1.4. Оптимизация.

4.2. FIESTA.

4.2.1. Установка.

4.2.2. Синтаксис.

4.2.3. Оптимальный выбор опций.

4.3. MBresolve.

4.4. Программа поиска областей asy

4.5. Другие программы.

4.5.1. QLink.

4.5.2. FLink.

4.5.3. UF.

4.5.4. IBP

4.6. Итоги четвертой главы

ГЛАВА 5. Применения

5.1. Декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием b-кварка

5.1.1. Первый класс интегралов.

5.1.2. Второй класс интегралов.

5.1.3. Результаты.

5.2. Трехпетлевой статический кварковый потенциал.

5.2.1. Процедура вычисления.

5.2.2. Результаты.

5.2.3. Применения

5.3. Кварковые и глюонные трехпетлевые формфакторы

5.3.1. Два подхода к редукции.

5.3.2. Результаты.

5.4. Низкоэнергетические моменты корреляторов тяжёлых кварков в четырёхпетлевом приближении.

5.4.1. Собственно-энергетические вставки.

5.4.2. Результаты.

Настоящая работа посвящена методам редукции и вычисления фейнманов-ских интегралов. Интегралы Фейнмана являются фундаментальными величинами при построении квантово-полевых амплитуд в рамках теории возмущений, в частности, они возникают при вычислениях в рамках Стандартной Модели физики элементарных частиц.

Стандартная Модель успешно применяется в физике элементарных частиц уже около сорока лет. Некоторые ее аспекты, например, свойства Z-бозона, были проверены с точностью, сильно превышающей один процент, — в основном, на Большом Адронном Коллайдере в CERN, линейном коллай-дере в SLAC (Stanford) и в Fermilab TEVATRON (Chicago). Никаких сильных расхождений эксперимента с теорией не было выявлено.

Другие части Стандартной Модели, связанные с CP нарушением и смешиванием кварков, ожидают новых экспериментальных результатов для получения соответствующих параметров. Предполагается, что текущие эксперименты на Большом Адронном Коллайдере позволят открыть бозон Хиггса и, более того, приведут к одному из обсуждаемых расширений Стандартной Модели. Как только бозон Хиггса будет обнаружен, он сразу станет объектом точных измерений. В частности, на будущем электрон-позитронном коллайдере можно будет изучать его свойства.

В последнее время существенно продвинулись вычисления радиационных поправок. Стоит отметить, что большая часть этих вычислений была инициирована фундаментальными работами т'Хофта и Вельтмана в 1972 году [226, 225, 216], когда размерная регуляризация (см. также [224. 223]) стала мощным инструментом при вычислении многопетлевых диаграмм (к инфракрасным расходимостям и массовым расходимостям она была впервые применена в [222, 221, 220]). С тех пор возникло целое направление науки, занимающееся вычислением многопетлевых фейнмановских интегралов.

На однопетлевом уровне процедура вычисления систематически изучалась уже достаточно давно [213, 214, 204, 200]. Тем не менее даже на сегодняшний день невозможно полностью автоматически вычислить произвольную однопетлевую диаграмму, в частности, если она содержит много внешних концов или имеет сложную конфигурацию импульсов. Соответственно, диаграммы, содержащие две или большее количество петель, представляют высокую сложность для математики и часто не могут быть вычислены явно. Все же на двухпетлевом уровне определенные классы диаграмм могут быть изучены при помощи комбинации аналитических упрощений и численных методов, как это было сделано в случае двухточечных функций с несколькими ненулевыми массами [199, 197]. Так же могут работать и чисто аналитические методы, как, например, в случае безмассовых диаграмм с четырьмя внешними концами. Но на трехпетлевом уровне систематически удается изучать лишь одномасштабные интегралы, а на четырехпетлевом уровне ситуация еще сложнее.

Квантовая хромодинамика (КХД) как теория сильных взаимодействий представляет собой важную часть Стандартной Модели и большинства ее расширений. На низких энергиях константа связи КХД велика, и поэтому вычисления в рамках теории возмущений невозможны. Однако благодаря явлению асимптотической свободы, значение а3 уменьшается при росте энергии, и теория возмущений становится подходящим инструментом для вычисления радиационных поправок.

На данный момент большая часть многопетлевых вычислений производится в рамках квантовой электродинамики (КЭД) или КХД. Такие вычисления проще, чем в полной Стандартной Модели, по той причине, что эти теории зависят от меньшего количества параметров. Более того, имеется строгая иерархия между массами кварков и лептонов, что упрощает вычисления. В случае КЭД имеются точные экспериментальные результаты, требующие также и высокой теоретической точности. Константа взаимодействия в этом случае мала, но многопетлевые вычисления все равно нужны, чтобы теоретические результаты смогли сравняться с экспериментальными (например, в случае аномального магнитного момента электрона). В случае КХД константа взаимодействия больше на порядок. Тем не менее во многих ситуациях может быть произведено вычисление по теории возмущений. При этом члены высокого порядка оказываются важными и не могут быть отброшены.

Таким образом, еще раз стоит подчеркнуть, что вычисление многопетлевых интегралов Фейнмана было и остается востребованной задачей. С другой стороны, математические задачи, возникающие во время этих вычислений, представляют интерес сами по себе. Развитие техники вычисления фейнма-новских интегралов привело к плодотворному междисциплинарному взаимодействию между математиками и физиками. В частности, стоит отметить связь фейнмановских интегралов с такими понятиями современной математики, как периоды, смешанные структуры Ходжа, мотивы, символы, алгебры трансцендентных чисел и т.д. [69, 52, 11, 37, 17, 7, 151, 128, 80, 142, 49]. Также стоит отметить, что многие действия, выполняемые при вычислении фейнмановских интегралов, требуют строгих формулировок и математических обоснований (например, конечность числа мастер-интегралов или же метод областей).

Вернемся к вычислению фейнмановских интегралов и опишем более подробно, как происходит этот процесс и какие проблемы при этом возникают. При вычислениях в рамках теории возмущений проводится тензорная редукция, после чего каждая фейнмановская диаграмма порождает многочисленные интегралы Фейнмана с одинаковой структурой подынтегрального выражения, но с различными степенями пропагаторов (эти степени также называют индексами) и > [ (^ • • ■ ^ т

Лаь .,«„) = у -у Е? ■ (!)

Здесь кг, г = 1,., — это петлевые импульсы; знаменатели Ег квадратичны или линейны относительно петлевых импульсов р^ = кг, г = 1,., к и независимых внешних импульсов рн+\ = <?ъ • • • = диаграммы.

Неприводимые многочлены в числителе также могут быть представлены в виде знаменателей в отрицательных степенях. Используются стандартные предписания к2 = к2 + гО и размерная регуляризация [226, 223] с (I = А —

Стандартным подходом является разбиение задачи на редукцию и вычисление так называемых мастер-интегралов. А в случаях, когда этот метод не работает ввиду сложности задачи, применяется асимптотическое разложение фейнмановских интегралов.

Редукция фейнмановских интегралов основывается на изобретенном около тридцати лет тому назад "методе интегрирования по частям" [211] в применении к фейнмановским интегралам. Кавычки в предыдущем предложении стоят по той причине, что интегралы по петлевым импульсам не являются интегралами в традиционном понимании этого слова, поэтому и традиционные соотношения интегрирования по частям к ним неприменимы. Тем не менее аналогичные соотношения могут быть записаны и для интегралов Фейнма-на, при этом члены, отвечающие за граничные интегрирования, полагаются равными нулю:

После дифференцирования мы получаем линейную комбинацию интегралов аналогичного вида с индексами, увеличенными на один, и еще одним изменением — в числителе появляется некоторая квадратичная форма от петлевых и внешних импульсов. Эту квадратичную форму мы выражаем через знаменатели Е^ (возможно, приходится увеличить количество пропа-гаторов, чтобы получить базис фактора пространства квадратичных форм от всех импульсов по пространству квадратичных форм от внешних импульсов). Тем самым соотношение интегрирования по частям представляется как равенство нулю линейной комбинации интегралов Фейнмана (с различными индексами) с коэффициентами, зависящими от индексов.

Здесь bij — фиксированные целые числа (сдвиги на —1, 0 или 1), а OLi — полиномы от a,j. Теперь можно подставить всевозможные значения (ai, g,2, ., ап) в левые части выражений (3) и получить огромное количество соотношений.

Суть метода интегрирования по частям заключается в том, что описанные выше соотношения применяются для сведения интегралов к некоторому ограниченному количеству интегралов, так называемым мастер-интегралам. Термин "мастер-интеграл" долгое время применялся лишь на интуитивном уровне. Тем не менее на практике соотношения интегрирования по частям использовались успешно в многочисленных работах.

Изначально редукция фейнмановских интегралов к мастер-интегралам осуществлялась "вручную", но для достаточно сложных классов интегралов это стало невозможным. Было сделано несколько попыток систематизировать процесс редукции. В 2000 году был сформулирован алгоритм автоматической редукции [171] (так называемый алгоритм Лапорты), а четырьмя годами позже была опубликована его первая реализация AIR (на языке Maple) [133].

Стоит упомянуть, что на данный момент существует довольно много частных реализаций алгоритма Лапорта. Сравнить их производительность между собой весьма сложно — авторы достаточно мощных продуктов обычно не предоставляют свои программы для публичного использования.

Другая активность в направлении автоматизации.процедуры редукции была связана с использованием базисов Грёбнера [182]. Первый вариант такого подхода был предложен Тарасовым в [187, 141], в его работах соотноше

3) ния интегрирования по частям сводились к дифференциальным уравнениям. Прямое применение некоммутативных базисов Грёбнера было разработано Гердтом в [136, 116].

Вычисление мастер-интегралов также представляет собой непростую задачу. Одним из популярных подходов к вычислению фейнмановских интегралов является так называемое секторное разложение.

Фейнмановские интегралы могут быть записаны в параметрическом представлении как обычные интегралы по единичному кубу.

Однако подобный интеграл содержит в себе особенности по е = (4 — в)/2, которые невозможно явно выделить для произвольного фейнмановского интеграла. Поэтому область интегрирования специальным образом разбивается на так называемые секторы, после чего делаются замены переменных, возвращающие область интегрирования к единичному кубу. В случае правильного подбора секторов в новых переменных можно явно выделить особенности.

Этот подход использовался уже в шестидесятых годах для доказательства теорем о перенормировке. Тогда были изобретены секторы Хеппа [228] и Спира [227].

Алгоритмический подход к секторному разложению для вычисления фейнмановских интегралов был применен впервые в 2000 году Бинотом и Хайн-рих [165, 134, 135]. Заложенная в алгоритме стратегия секторного разложения не гарантировала сходимости алгоритма и требовала ручной подстройки. Долгое время существовала только закрытая версия программы. Ее современный вариант был опубликован лишь в 2008 году [79].

В 2008 году Богнер и Вайнцирль [71, 70] предложили свои стратегии разложения по секторам. Эти стратегии гарантированно сходятся для случая, когда все кинематические инварианты имеют один знак. Программа Богне-ра и Вайнцирля была сделана публичной. Однако практика показала, что программа была неприменимой для достаточно сложных классов интегралов Фейнмана.

Основным недостатком подхода с применением секторного разложения является то, что он нацелен на получение численных ответов, причем точность получаемых значений не превышает шести знаков после запятой. Часто такой точности недостаточно, и секторное разложение применяется лишь для проверки ответов, полученных другим способом (что, конечно, не снижает его ценности ввиду полной автоматизации подхода).

Другим и, наверное, одним из наиболее мощных современных методов аналитического вычисления фейнмановских интегралов является подход, основанный на формуле Меллина-Барнса. После проведения некоторых преобразований фейнмановский интеграл представляется в виде многомерного интеграла вдоль комплексных осей от выражения, зависящего от Г-функций. Этот интеграл может вычисляться аналитически или же численно с достаточно высокой точностью, но для начала необходимо выбрать правильный прямолинейный контур и взять необходимые вычеты. Нахождение такого контура является нетривиальной задачей, к решению которой имеется два независимых подхода, две стратегии выделения особенностей, сформулированные в [178, 180]. Мы их будем называть стратегиями А и В.

Стратегия А описана и проиллюстрирована множеством примеров в главе 4 в книгах [139, 231]. Стратегия В давно была реализована в виде алгоритма [103, 114], публичный код был представлен в [114]. Хотя стратегия А потенциально выглядела более перспективной, реализовать ее в виде алгоритма так и не удавалось — стратегия представляла собой набор нечетких инструкций, применение которых было своеобразным искусством.

Помимо редукции и вычисления фейнмановских интегралов важным направлением также является их асимптотическое разложение. Оно часто используется в ситуациях, когда, заданный интеграл зависит от нескольких параметров, которые можно явно подразделить на "малые" и "большие". Полная задача может быть слишком сложной для явного вычисления, и тогда интеграл можно приближенно выразить некоторым количеством первых членов соответствующего асимптотического разложения. Строго говоря, задачу асимптотического разложения фейнмановских интегралов можно поставить следующим образом. Предположим, что интеграл зависит от некоторого параметра t, и нам нужно проследить поведение интеграла при t. стремящемся к нулю.

Основная проблема асимптотического разложения заключается в том, что как и в случае вычисления интегралов, мы не можем менять порядок интегрирования и разложения, поэтому требуются другие методы для асимптотического разложения.

Существуют разные подходы к решению задачи асимптотического разложения. Один из них — это применение универсальной стратегии разложения по областям [181, 179]. Однако до последнего времени выделение правильных областей оставалось строго не формализованным. I

Другой подход, предложенный недавно [86], — скомбинировать метод МВ-представлений [178, 180, 114, 139, 231, 62] с современными стратегиями разложения по секторам. Реализация такого подхода в сложных случаях также оказалась невозможной без разработки соответствующих компьютерных программ.

Научной необходимостью явилась разработка алгоритмов (и их реализация в виде компьютерных программ), выполняющих задачи редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов. Кроме того, давно назрела проблема формализации и обоснования некоторых понятий, относящихся к интегралам Фейнмана. Отсюда вытекает цель диссертационной работы: создание, обоснование и развитие алгоритмов вычисления интегралов Фейнмана, а также практическая реализация этих алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ. Диссертация представляет собой исследование, относящееся к области вычислительной математики. При разработке алгоритмов была учтена специфика развития современных компьютеров — возрастающая распространенность многоядерных компьютеров, а также доступность больших объемов дисковых пространств при практически не возрастающей тактовой частоте процессоров.

В диссертации представлены существенные наработки во всех трех описанных выше областях — редукции, вычислении и асимптотическом разложении фейнмановских интегралов. Для всех этих задач разработаны и реализованы в виде компьютерного кода различные алгоритмы, составляющие уникальный программный комплекс. Кроме того, результаты диссертации подтверждаются физическими вычислениями, полученными как диссертантом совместно с соавторами, так независимыми исследователями, использовавшими разработанные автором программы.

Основные результаты и структура диссертации. В 2007 году автором было дано строгое определение понятия мастер-интегралов [101], что позволило формализовать задачу редукции. Более того, в 2010 году автором совместно с А. Петуховым было получено доказательство того факта, что количество мастер-интегралов всегда конечно [18].

В 2008 году был разработан алгоритм построения s-базисов — модифицированных базисов Грёбнера, применяющихся к задаче редукции фейнмановских интегралов.

На основе разработанных автором алгоритмов (а также существовавших ранее) в 2008 году была создана и опубликована программа FIRE [87], осуществляющая автоматическую редукцию интегралов Фейнмана. Изначально она основывалась на применении модифицированных базисов Грёбнера, однако позже в нее были включены как реализация алгоритма Лапорты, так и другие методы. На данный момент имеется около пятидесяти ссылок на статью с описанием FIRE. Также в разработке существует более мощная версия FIRE, применяемая в данный момент совместно с соавторами.

Для полноты картины стоит отметить, что, кроме FIRE и упомянутого выше AIR, имеется еще одна общедоступная программа редукции Reduze [43], опубликованная в 2010 году

В 2008 году автором был разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения. Было доказано, что этот алгоритм (стратегия S) сходится.

В 2009 году на основе этого алгоритма была (совместно с М. Тентюко-вым) создана и сделана публичной программа FIESTA [63] для автоматического численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам. Эта программа сейчас успешно применяется во множестве работ, как с участием автора, так и сторонних исследователей. Программу FIESTA можно назвать на сегодняшний день самым мощным инструментом автоматического численного вычисления интегралов Фейнмана. Программа имеет удобный интерфейс, но в то же время очень адаптивна и применима для задач большой сложности, способна работать в параллельном режиме и обрабатывать большие массивы данных. На данный момент имеется около пятидесяти ссылок на первую статью с описанием программы FIESTA.

Первая версия программы FIESTA, в том числе, включала в себя оригинальную стратегию разложения по секторам, превосходившую на тот момент все общеизвестные стратегии. Однако стоит отметить, что позже была изобретена еще одна геометрическая стратегия разложения по секторам [32], способная приводить к меньшему количеству секторов, но требующая большого времени. Она была реализована во второй версии программы FIESTA [19].

Как было сказано выше, уже в шестидесятых годах были изобретены так называемые секторы Спира, применимые в случае интегралов с евклидовыми внешними импульсами. В 2009 году секторы Спира были переведены автором на язык современных стратегий разложения по секторам; доказано, что в случае евклидовых импульсов стратегия S приводит к тому же набору. Стратегия секторов Спира была также реализована во второй версии программы FIESTA [19].

Если секторное разложение решает, в основном, задачу численного вычисления, то описанный выше подход МВ-интегралов способен приводить и к аналитическим ответам. Стратегия А выделения особенностей уже давно была отмечена как более перспективная, но переработать и представить ее в виде алгоритма удалось лишь в 2009 году. Результат был получен автором совместно с В. Смирновым и представлен в виде программы MBresolve [62].

В диссертации имеются также и результаты, относящиеся к асимптотическому разложению. Во-первых, был реализован описанный выше подход [86], основанный на комбинировании метода МВ-представлений с современными стратегиями разложения по секторам. Полученный алгоритм был представлен во второй версии программы FIESTA [19].

Во-вторых, была формализована стратегия разложения по областям. Результат был представлен и опубликован [16] совместно с А. Паком в виде компьютерной программы.

Итак, автором было разработано множество алгоритмов, нацеленных на вычисление фейнмановских интегралов. Они включают в себя следующие:

• алгоритм построения s-базисов (см. раздел 1.3.5.);

• оригинальный алгоритм редукции фейнмановских интегралов (см. раздел 1.4.1.);

• стратегия S — алгоритм секторного разложения (см. раздел 2.1.5.);

• модификация алгоритма численного интегрирования vegas с использованием библиотеки высокой точности (см. раздел 2.1.7.);

• алгоритм предразрешения (см. раздел 2.1.6.);

• оригинальный алгоритм выделения особенностей в МВ-представлении (см. раздел 2.2.2.).

• строгое определение понятия области в методе областей Бенеке-Смир-нова и алгоритм, находящий все возможные области (см. раздел З.1.1.);

• алгоритм асимптотического разложения, сочетающий секторное разложение и однократное МВ-представление (см. раздел З.2.1.).

Разработка программ и методов не была бы возможна без применения различных математических теорий (включая активно развивающиеся современные методы). Одним из достижений является уже упомянутое выше доказательство теоремы конечности (теорема 1) для мастер-интегралов. Также имеется некоторое количество теорем, обосновывающих методы вычисления фейнмановских интегралов:

• утверждение о том, что алгоритм FIRE сходится и существует некоторое конечное количество интегралов, через которые выражаются все остальные (теорема 3);

• утверждение о том, что стратегия S сходится (теорема 4);

• доказательство эквивалентности стратегий S и секторов Спира в случае евклидовых внешних импульсов (теорема 5);

• утверждение о том, что в случае полностью положительной функции F в альфа-представлении все ненулевые области определяются через выпуклую оболочку многогранника весов (теорема 6);

Остальные алгоритмы, разработанные в диссертации, более прямолинейны и не требуют специальных доказательств для подтверждения сходимости. Что касается практической работоспособности, она подтверждается множеством примеров.

Диссертация состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена методам редукции фейнмановских интегралов. Сначала приводится более детальное описание задачи редукции, что требует введения таких понятий, как секторы и упорядочение фейнмановских интегралов. Дается строгое определение понятия мастер-интегралов, формулируется теорема (теорема 1) о конечности числа мастер-интегралов. Эта теорема сводится к утверждению из области алгебраической геометрии (теорема 2).

Чтобы описать наработки автора, дается краткое введение в базисы Грёб-нера и описывается механизм, позволяющий применять их к редукции интегралов Фейнмана. Затем описывается модификация этих алгоритмов, предложенная автором в [121, 120].

Далее представлена программа FIRE, описаны алгоритмы, стоящие за этой программой. Приводится общая схема работы FIRE, варианты ее использования (с построением базисов и без), описан принцип параллелизации работы алгоритма.

Статьи, относящиеся к первой главе: [229, 121, 120, 122, 101, 87, 18].

Вторая глава описывает методы вычисления фейнмановских интегралов. Глава начинается с описания секторного разложения как метода вычисления фейнмановских интегралов. Затем дается определение стратегий секторного разложения, представлена стратегия S, изобретенная автором и превосходящая существовавшие до этого стратегии, доказывается теорема (теорема 4), что стратегия S сходится.

Кроме того, на современный язык переводятся классические стратегии секторов Хеппа и Спира, показывается (теорема 5), что в случае евклидовых внешних импульсов стратегии Спира и S приводят к одинаковым результатам (этот результат был получен в [61]).

Далее описывается программа FIESTA, выполняющая автоматическое численное вычисление фейнмановских интегралов. Даются различные советы по использованию, производится оценка роста производительности программы в зависимости от числа процессоров. Описываются алгоритмы, работающие как после разложения по секторам (выделение особенностей), так и до (предразрешение).

Затем в главе разбирается другой подход к вычислению фейнмановских интегралов, основанный на МВ-представлении. Пересматривается классический подход (Стратегия А), описывается его реализация в виде алгоритма MBresolve.

Статьи, относящиеся ко второй главе: [123, 63, 61, 62, 19, 34, 15]

В третьей главе описаны результаты автора, относящиеся к асимптотическому разложению. Сначала описан метод областей в том эмпирическом состоянии, в котором он существовал ранее. Затем дается строгое определение понятия области, как было предложено совместно с А. Паком в [16].

Далее описан алгоритм, реализующий геометрический подход к методу областей. Алгоритм представлен в виде программы asy, позволяющей выделять области в автоматическом режиме.

Затем мы переходим к другому методу, комбинирующему МВ-предста-вления с секторным разложением. Описан алгоритм, позволяющий в некоторых случаях получать численное асимптотическое разложение автоматически. Этот алгоритм реализован как модуль в программе FIESTA.

Статьи, относящиеся к третьей главе: [63, 19, 16]

Первые три главы имеют больше теоретическое значение: в них описаны методы и алгоритмы для редукции, вычисления и асимптотического разложения фейнмановских интегралов. В четвертой главе представлен программный комплекс, основанный на описанных выше алгоритмах, даются инструкции по его применению. Для всех компьютерных программ, входящих в состав комплекса, приводятся рекомендации по подбору опций для повышения эффективности вычисления фейнмановских интегралов. Детально описаны программы FIRE, FIESTA, MBresolve, asy, а также такие вспомогательные инструменты, как QLink, FLink, UF и IBP. Статьи, относящиеся к четвертой главе: [87, 63, 61, 62, 19, 16]

Благодаря тому, что автором был создан данный программный комплекс, достигнуты разнообразные физические результаты. Самые важные из результатов. полученных совместно с соавторами, описаны в пятой главе. Они включают в себя декаплинг с-кварковых петель в процессах с участием Ь-кварка, трехпетлевой статический кварковый потенциал, кварковые и глю-онные трехпетлевые формфакторы, и низкоэнергетические моменты корреляторов тяжелых кварков в четырехпетлевом приближении. Статьи, относящиеся к пятой главе: [117, 102, 89, 88, 45, 38, 35, 41, 33, 42, 40, 39, 4, 44].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Разработан алгоритм для построения s-базисов [120, 121, 122]. Разработан алгоритм для разрешения соотношений интегрирования по частям, при котором интегралы изучаются по убыванию относительно выбранного упорядочения [87]; доказано, что этот алгоритм сходится (теорема 3). На их основе создана программа FIRE, выполняющая редукцию фейнмановских интегралов к мастер-интегралам [87]. Использование программы FIRE позволило редуцировать недоступные ранее многопетлевые интегралы высокой сложности.

2. Разработан алгоритм секторного разложения, основанный на геометрическом представлении подынтегрального выражения (стратегия S). Доказано (теорема 4), что стратегия S сходится [63]. Доказано (теорема 5), что в случае евклидовых импульсов стратегия S и секторы Спира приводят к одинаковому набору секторов [19]. Разработан алгоритм для асимптотического разложения фейнмановских интегралов методом, объединяющим представление Меллина-Барнса и секторное разложение [19]. Разработана модификация алгоритма численного интегрирования Vegas с использованием библиотек высокой точности [19]. На основе этих алгоритмов создана программа FIESTA для численного вычисления фейнмановских интегралов методом разложения по секторам и для асимптотического разложения фейнмановских интегралов по малому параметру [61, 19, 63, 44]. Программа представляет собой уникальный общедоступный инструмент, используемый многими исследователями в своих работах и позволяющий в автоматическом режиме получать до шести знаков численного значения фейнмановских интегралов.

3. Разработан альтернативный алгоритм для выделения особенностей при вычислении интегралов методом Меллина-Барнса [62]. На его основе создана программа MBresolve для вычисления фейнмановских интегралов. Она позволяет выделять особенности в задачах, для которых не работали ранее существовавшие инструменты, и приводить к меньшему количеству выражений для интегрирования.

4. Стратегия нахождения областей реализована в виде компьютерного алгоритма [16], на основе которого создана программа asy. Она является уникальным инструментом для автоматического определения областей при асимптотическом разложении фейнмановских интегралов.

5. Комплекс описанных выше (а также ряда вспомогательных) программ составлен с учетом специфики развития современных компьютеров.

Программа FIRE успешно задействует параллелизацию с использованием общей памяти, тем самым выигрывая в производительности. Программа FIESTA может задействовать под вычисление требуемого интеграла сразу несколько компьютеров, взаимодействующих по протоколу Mathlink. Обе программыы как самые ресурсоемкие в комплексе, хранят часть данных на жестком диске для преодоления нехватки оперативной памяти. Все программы, входящие в комплекс, доступны для скачивания по адресу http: //science. sander. su/.

6. Разработанные численные методы позволили получить ряд физических результатов, из которых особенно стоит отметить вычисление трехпет-левого статического кваркового потенциала. Работа с описанием результатов [41] была отмечена Американским физическим обществом и попала в список избранных работ журнала Physical Review Letters.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

• в 2006 г. на семинаре физического факультета университета Билифель-да;

• пять раз (2006-2011 гг.) на семинаре Института теоретической физики Технологического Института Карлсруэ (Карлсруэ, Германия);

• в 2010 г. на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" (мехмат, МГУ);

• в 2011 г. на семинаре по методам вычислительной физики Института прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша;

• в 2011 г. на семинаре НИВЦ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре по компьютерной алгебре факультета ВМК МГУ;

• в 2011 г. на семинаре Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ;

• в 2011 г. на семинаре "Вычислительная математика и приложения" Института вычислительной математики РАН; на международных конференциях:

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "Applying Groebner Bases to Solve Reduction Problems for Feynman Integrals"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2006;

• "Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research" — доклад "Reduction of Feynman integrals to master integrals"; National Institute for Subatomic Physics, Амстердам, Нидерланды, 2007;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral reduction"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "New Methods for Feynman Integrals" — доклад "Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Institute for Particle Physics Phenomenology, Durham University, Дарем, Великобритания, 2008;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral reduction"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009;

• "Calculations for modern and future colliders" — доклад "New methods for Feynman integrals: Feynman integral evaluation by a sector decomposition approach"; Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, 2009.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 29 работ, из которых 19 работ — из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций, и 9 работ — в реферируемых журналах Proceedings of

Science и Nuclear Physics Proceedings Supplements, публикующих труды международных конференций.

Применения программ сторонними исследователями. Программы, представленные в диссертации, активно применялись и сторонними исследователями. В частности, на статьи с описаниями алгоритмов FIRE и FIESTA имеется уже более чем по 50 ссылок. Опишем применения этих программ.

FIRE использовался в работах

• Даулинга, Мондехара, Пиклума и Чарнецки для вычислении скорости полулептонного распада b —civ в рамках двухпетлевого приближения и разложения в пределе равных масс b и с кварков [76]; для вычисления поправки порядка a2(Za)5 к лэмбовскому сдвигу и сверхтонкому расщеплению в мюониуме [27, 28, 23]; Вуоринена для редукции интегралов, возникающих в рамках трехпет-левого приближения, при нахождении уравнения состояния кварковой материи при нулевой температуре и высокой плотности [66];

• Велижанина для редукции некоторых четырехпетлевых интегралов при вычислении четырехпетлевой аномальной размерности операторов в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [64, 65];

• Абелофа, Герман-де Риддер и Ритцмана для вычисления поправок первого и второго порядка в струйные наблюдаемые [55, 10, 6]; в Пака, Рогаля и Штайнхаузера при вычислении трехпетлевых поправок в рождение бозона Хиггса через глюонный синтез [60];

• Бехера и Белла при вычислении глюонной струйной функции в двух-петлевом приближении [8];

• Торбана и Ягера при вычислении масс легких кварков в различных перенормировочных схемах [31];

• Мищака и Штайнхаузера при вычислении асимптотического поведения поправок порядка a2s в распад В —>- Xs7 в пределе большой массы с-кварка [36];

• Бончани, Феррольи, Германа, Мантойфеля и Студеруса при вычислении двухпетлевых поправок в рождение тяжелых кварков через канал глюонного синтеза [9];

• Германа, Гловера, Хубера, Икизлерли и Штудеруса при вычислении трехпетлевых глюонных формфакторов в КХД [29];

• Бужезал, Герман-де Риддер и Ритцмана для вычисления NNLO вкладов в двойное реальное излучение [10];

• Колле и Штайнхаузера для вычисления кваркового и глюинного потенциалов в двухпетлевом приближении [12];

• Хай-ронг Донга, Фенг Фенга и Ю Сия для вычисления О (^-поправок в J/ф + XcJ-рождение [13];

• Грозина, Хёшеле, Хоффа и Штайнхаузера для вычисления трехпетлевых поправок в декаплинг бис кварков [14];

• Асатряна, Гройба, Кокулу и Егиазаряна для вычисления NLL вклада электромагнитного дипольного оператора в распад В —>■ [1];

• Ватанабе, Кио и Сасаки для вычисления NLO вклада в поляризационную структурную функцию фотона д\(х, Q2) в массивной партонной модели [5];

• Чачамиса, Хенчински, Мадригал Мартинеса и Сабио Вера для вычисления кваркового вклада в NLO глюонную траекторию Редже [2].

FIESTA использовалась в работах

• Велижанина для проверки значений мастер-интегралов при вычислении четырехпетлевой аномальной размерности операторов твиста 2 в N=4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [64];

Белла при вычислении двухпетлевых КХД поправок к жестким коэффициентным функциям, возникающим в формуле факторизации для распада В —ХиЦ [47]

Кио, Зайделя и Штайнхаузера для вычисления последнего неизвестного вклада в двухпетлевые поправки в вершину на ^ пороге, обусловленные обменом XV бозона и глюона [58];

Бончиани и Феррольи для проверки значений мастер-интегралов при получении аналитического выражения двухпетлевых поправок к процессам распада Ь —>• и где Ь и и - массивный и безмассовый кварк, соответственно [72];

Маркварда, Пиклума, Зайделя и Штайнхаузера для вычисления вклада петель тяжелых фермионов в трехпетлевые коэффициенты пересчета для векторного тока [46];

Бончиани, Феррольи, Германа и Студеруса при вычислении двухпетлевых планарных поправок в рождение тяжелых кварков через канал кварк-антикварк [50];

Чакона, Митова и Стёрмана при проведении порогового суммирования для рождения адронов через тор-пару [53];

Феррольи, Нойберта, Пежака и Ли Лин Янга при анализе двухпетлевых расходимостей массивных амплитуд рассеяния в неабелевых калибровочных теориях [54];

Даулинга, Мондехара, Пиклума и Чарнецки для вычислении скорости полулептонного распада Ь —»■ с1у в рамках двухпетлевого приближения и разложения в пределе равных масс Ь и с кварков [76]; для вычисления поправки порядка а2^а)5 к лэмбовскому сдвигу и сверхтонкому расщеплению в мюониуме [27, 28];

Дель Дуки, Дюра и В. Смирнова для вычисления шестиугольных и восьмиугольных вильсоновских петель [25, 26, 24];

• Германа, Гловера, Хубера, Икицлерли и Студеруса для вычисления трехпетлевых кваркового и глюонного формфакторов в КХД в разложении вплоть до б2 [30];

• Пенг Сун, Ганг Хао, Кног-Фенг Сяо для вычисления для процессов распада тяжелого кваркония в пары векторных мезонов [20];

• Германа, Хенна и Хубера для вычисления трехпетлевого формфактора в N = 4 ЭУМ [3].

Благодарности. Структура диссертации очень жестко регламентирована, но вот раздел с благодарностями, к счастью, оставляется на усмотрение автора. Так что в этом неформальном разделе можно не следовать каким-либо правилам, а поблагодарить всех тех, кто сделал возможным создание этой работы.

А благодарить мне хочется много кого. Начну со своей семьи - мамы, папы, бабушек и дедушек. Они вырастили меня, воспитали, дали мне правильные ценности, внушили чувство уважения к науке. Мне очень жаль, что из старшего поколения сейчас в живых осталась только одна бабушка, а оба деда умерли — думаю, сейчас им бы были очень приятны мои успехи, и они гордились бы мной.

Перейду к образованию и начну с пятьдесят седьмой школы — мне бы хотелось поблагодарить всех учителей и, конечно же, своего классного руководителя и учителя математики, Рафаила Калмановича Гордина. Я поступил туда в девятый, математический класс, и это место стало для меня спасением от невозможности ужиться в школе обычной. Ну и, конечно, именно в пятьдесят седьмой школе стало понятно, что математика — это для меня. Следующий человек, без которого не было бы ни докторской, ни, возможно, и кандидатской, это мой научный руководитель Эрнест Борисович Винберг, а также его помощники Дмитрий Тимашев и Иван Аржанцев. На кафедре высшей алгебры механико-математического факультета МГУ под руководством

Эрнеста Борисовича я сформировался как математик. Такого требовательного, но в то же время помогающего во всем научного руководителя я пожелал бы каждому.

После защиты кандидатской я стал работать в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ, и, конечно, хотел бы поблагодарить своих начальников — Ольгу Дмитриевну Авраамову и Александра Владимировича Тихонравова. Они дали мне возможность одновременно работать на благо университета и заниматься научной деятельностью — именно во время работы в НИВЦ была создана эта диссертация.

Если переходить к научной деятельности по теме диссертации, то, конечно же, стоит начать с моего отца, который вовлек меня в эту тематику и мотивировал все это время. После защиты кандидатской я был немного потерян — старая тема исчерпала себя, и именно он заинтересовал меня новой научной проблемой, так что постепенно был создан программный комплекс и написана эта диссертация. Я также благодарен всем своим коллегам и соавторам за интересное и плодотворное сотрудничество. Невозможно перечислить всех, но мне бы хотелось отметить Владимира Петровича Гердта — именно его идеи о применении базисов Гребнера дали первый толчок к развитию моей программы редукции. Также очень важную роль сыграл Михаил Тентюков — его оригинальный стиль программирования и сотрудничество при создании программы вычисления фейнмановских интегралов были незаменимы для меня.

Подготовка диссертации к защите — тоже большой труд. Я бы хотел поблагодарить ученого секретаря НИВЦ, Владимира Викторовича Суворова, за постоянную помощь в подготовке документов и выполнении всех требований к оформлению диссертации и реферата. А за помощь в подготовке текста диссертации и автореферата мне бы хотелось поблагодарить моих родителей и жену. Вычитать текст диссертации и исправить в нем грамматические и орфографические ошибки — очень непростое дело, особенно если читаешь текст из незнакомой тебе области исследования.

Научное сотрудничество и написание текста, безусловно, важны, но ничего не было бы создано без благоприятных условий, без душевного равновесия. Я еще раз хотел бы поблагодарить за создание таких условий моих родителей и бабушку, всех моих друзей, ну и, конечно же, мою жену Лену, потому что без настоящей любви все наши достижения в жизни меркнут и теряют смысл.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе описан комплекс алгоритмов и программ, разработанных автором для вычисления фейнмановских интегралов. Результаты автора имеют как теоретическое, так и практическое значение. К теоретическому можно отнести обоснование методов вычисления интегралов и разработку новых алгоритмов. К практическому — реализацию алгоритмов в виде программного комплекса с использованием современных средств разработки и учетом особенностей современного развития ЭВМ.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в том, что автором был разработан комплекс алгоритмов и программ, позволяющий вычислять существенно более сложные фейнмановские интегралы и, тем самым, получать новые физические результаты, требуемые для сравнения теории с экспериментом и для вычисления фундаментальных физических величин. Все описанные программы имеют под собой математическое обоснование, написаны с учетом развития современных компьютеров и были многократно использованы как в совместных работах, так и сторонними исследователями. Две статьи с описаниями двух различных программ (FIRE и FIESTA) имеют уже более 50 цитирований каждая.

1. Asatrian H. M., Greub C., Kokulu A., Yeghiazaryan A. NLL QCD contribution of the Electromagnetic Dipole operator to В —y Xs gamma gamma // Phys. Rev. 2012. Vol. D85. P. 014020.

2. Chachamis G., Hentschinski M., Martinez J. D. M., Vera A. S. Quark contribution to the gluon Regge trajectory at NLO from the high energy effective action // Nucl. Phys. 2012. Vol. B861. P. 133-144.

3. Gehrmann T., Henn J. M., Huber T. The three-loop form factor in N=4 super Yang-Mills // JHEP. 2012. Vol. 1203. P. 101. 34 pages, 9 figures.

4. Lee R. N., Smirnov A. V.; Smirnov V. A. Master Integrals for Four-Loop Massless Propagators up to Transcendentality Weight Twelve // Nucl. Phys. 2012. Vol. B856. P. 95-110.

5. Watanabe N., Kiyo Y., Sasaki K. The polarized photon structure function gj0, Q2) in massive parton model in NLO // Phys. Lett. 2012. Vol. B707. P. 146-150.

6. Abelof G., Gehrmann-De Ridder A. Antenna subtraction for the production of heavy particles at hadron colliders // JHEP. 2011. Vol. 04. P. 063.

7. Aluffi P., Marcolli M. Algebro-geometric Feynman rules // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2011. Vol. 8. P. 203-237.

8. Becher T., Bell G. The gluon jet function at two-loop order // Phys. Lett. 2011. Vol. B695. P. 252-258.

9. Bonciani R., Ferroglia A., Gehrmann T., Manteuffel A., Studerus C. Two-Loop Leading Color Corrections to Heavy-Quark Pair Production in the Gluon Fusion Channel // JHEP. 2011. Vol. 01. P. 102.

10. Boughezal R., Gehrmann-De Ridder A., Ritzmann M. Antenna subtraction at NNLO with hadronic initial states: double real radiation for initial-initial configurations with two quark flavours // JHEP. 2011. Vol. 02. P. 098.

11. Brown F., Yeats K. Spanning forest polynomials and the transcendental weight of Feynman graphs // Commun. Math. Phys. 2011. Vol. 301. P. 357382.

12. Collet T., Steinhauser M. Heavy quark and gluino potentials to two loops // Phys. Lett. 2011. Vol. B704. P. 163-165.

13. Dong H.-R., Feng F., Jia Y. 0(as) corrections to J/4> + XcJ production at B factories // JHEP. 2011. Vol. 10. P. 141.

14. Grozin A. G. et al. Simultaneous decoupling of bottom and charm quarks // JHEP. 2011. Vol. 09. P. 066.

15. Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. On Epsilon Expansions of Four-loop Non-planar Massless Propagator Diagrams // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1708.

16. Pak A., Smirnov A. Geometric approach to asymptotic expansion of Feynman integrals // Eur. Phys. J. 2011. Vol. C71. P. 1626.

17. Schnetz 0. Quantum field theory over Fq // Electron. J. Comb. 2011. Vol. 18N1. P. P102.

18. Smirnov A. V., Petukhov A. V. The number of master integrals is finite // Lett. Math. Phys. 2011. Vol. 97. P. 37-44.

19. Smirnov A. V., Smirnov V. ATentyukov M. FIESTA 2: parallelizeable multiloop numerical calculations // Comput. Phys. Commun. 2011. Vol. 182. P. 790-803.

20. Sun P., Hao G., Qiao C.-F. Pseudoscalar Quarkonium Exclusive Decays to Vector Meson Pair // Phys.Lett. 2011. Vol. B702. P. 49-54.

21. Anzai C., Kiyo Y., Sumino Y. Static QCD potential at three-loop order // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 112 003.

22. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Four Loop Massless Propagators: an Algebraic Evaluation of All Master Integrals // Nucl. Phys. 2010. Vol. B837. P. 186-220.

23. Czarnecki A., Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H. Magnetic moment of a bound electron // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 271-276.

24. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. A Two-Loop Octagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 09. P. 015.

25. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. An Analytic Result for the Two-Loop Hexagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 03. P. 099.

26. Del Duca V., Duhr C., Smirnov V. A. The Two-Loop Hexagon Wilson Loop in N = 4 SYM // JHEP. 2010. Vol. 05. P. 084.

27. Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H., Czarnecki A. Radiative-nonrecoil corrections of order a2(Za)5 to the Lamb shift // Phys. Rev. 2010. Vol. A81. P. 022509.

28. Dowling M., Mondejar J., Piclum J. H., Czarnecki A. Two-loop corrections to the Lamb shift // PoS. 2010. Vol. RADCOR2009. P. 076.

29. Gehrmann T., Glover E. W. N. Huber T., Ikizlerh N., Studerus C. Calculation of the quark and gluon form factors to three loops in QCD // JHEP. 2010. Vol. 06. P. 094.

30. Gehrmann T.; Glover E. W. N., Huber T., Ikizlerh N., Studerus C. The quark and gluon form factors to three loops in QCD through to 0(e2) // JHEP. 2010. Vol. 11. P. 102.

31. Gorbahn M., Jager S. Precise MS-bar light-quark masses from lattice QCD in the RI/SMOM scheme // Phys. Rev. 2010. Vol. D82. P. 114001.

32. Kaneko T., Veda T. A geometric method of sector decomposition // Com-put. Phys. Commun. 2010. Vol. 181. P. 1352-1361.

33. Lee R. N. Smirnov A. V., Smirnov V. A. Analytic Results for Massless Three-Loop Form Factors // JHEP. 2010. Vol. 04. P. 020.

34. Lee R. N., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Dimensional recurrence relations: an easy way to evaluate higher orders of expansion in e // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 308-313.

35. Maier A., Maierhofer P., Marquard P., Smirnov A. V. Low energy moments of heavy quark current correlators at four loops // Nucl. Phys. 2010. Vol. B824. P. 1-18.

36. Misiak M., Steinhauser M. Large-mc Asymptotic Behaviour of 0(a2) Corrections to B gamma // Nucl. Phys. 2010. Vol. B840. P. 271-283.

37. Schnetz 0. Quantum periods: A census of </>4-transcendentals // Commun. Num. Theor. Phys. 2010. Vol. 4. P. 1-48.

38. Smirnov A. V., Smirnov V. A.; Steinhauser M. Full result for the three-loop static quark potential // PoS. 2010. Vol. RADCOR2009. P. 075.

39. Smirnov A. V.; Smirnov V. A., Steinhauser M. The static quark potential to three loops in perturbation theory // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2010. Vol. 205-206. P. 320-325.

40. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop heavy quark potential // PoS. 2010. Vol. ICHEP2010. P. 217.

41. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Three-loop static potential // Phys. Rev. Lett. 2010. Vol. 104. P. 112002.

42. Smirnov A. V., Tentyukov M. Four Loop Massless Propagators: a Numerical Evaluation of All Master Integrals // Nucl. Phys. 2010. Vol. B837. P. 40-49.

43. Studerus C. Reduze Feynman Integral Reduction in C++ // Comput. Phys. Commun. 2010. Vol. 181. P. 1293-1300.

44. Tentyukov M., Smirnov A. V. Applications of FIESTA // PoS. 2010. Vol. ACAT2010. P. 081.

45. Baikov P. A., Chetyrkin K. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Quark and gluon form factors to three loops // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 212002.

46. Bekavac S.; Grozin A. G., Seidel D., Smirnov V. A. Three-loop on-shell Feynman integrals with two masses // Nucl. Phys. 2009. Vol. B819. P. 183200.

47. Bell G. NNLO corrections to inclusive semileptonic B decays in the shape-function region // Nucl. Phys. 2009. Vol. B812. P. 264-289.

48. Beneke M., Huber T., Li X. Q. Two-loop QCD correction to differential semi-leptonic b > u decays in the shape-function region // Nucl. Phys. 2009. Vol. B811. P. 77-97.

49. Bogner C., Weinzierl S. Periods and Feynman integrals // J. Math. Phys. 2009. Vol. 50. P. 042302.

50. Bonciani R., Ferroglia A., Gehrmann T., Studerus C. Two-Loop Planar Corrections to Heavy-Quark Pair Production in the Quark-Antiquark Channel // JHEP. 2009. Vol. 08. P. 067.

51. Brambilla N., Vairo A., Garcia i Tormo X., Soto J. The QCD static energy at NNNLL // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. P. 034016.

52. Brown F. The massless higher-loop two-point function // Commun. Math. Phys. 2009. Vol. 287. P. 925-958.

53. Czakon M., Mitov A., Sterman G. F. Threshold Resummation for Top-Pair Hadroproduction to Next-to-Next-to-Leading Log // Phys. Rev. 2009. Vol. D80. P. 074017.

54. Ferroglia A., Neubert M., Pecjak B. D., Yang L. L. Two-loop divergences of scattering amplitudes with massive partons // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 103. P. 201601.

55. Gehrmann-De Ridder A., Ritzmann M. NLO Antenna Subtraction with Massive Fermions // JHEP. 2009. Vol. 07. P. 041.

56. Hoang A. H. et al. Heavy Quark Vacuum Polarization Function at 0(a2) and 0(a3) // Nucl. Phys. 2009. Vol. B813. P. 349-369.

57. Kvyo Y., Maier A., Maierhofer P., Marquard P. Reconstruction of heavy quark current correlators at O(c^) // Nucl. Phys. 2009. Vol. B823. P. 269287.

58. Kiyo Y., Seidel D., Steinhauser M. G(aas) corrections to the 7tt vertex at the top quark threshold // JHEP. 2009. Vol. 01. P. 038.

59. Marquard P., Piclum J. H., Seidel D., Steinhauser M. Completely automated computation of the heavy-fermion corrections to the three-loop matching coefficient of the vector current // Phys. Lett. 2009. Vol. B678. P. 269-275.

60. Рак A., Rogal M., Steinhauser M. Virtual three-loop corrections to Higgs boson production in gluon fusion for finite top quark mass // Phys. Lett. 2009. Vol. B679. P. 473-477.

61. Smirnov A. VSmirnov V. A. Hepp and Speer Sectors within Modern Strategies of Sector Decomposition // JHEP. 2009. Vol. 05. P. 004.

62. Smirnov A. V., Smirnov V A. On the Resolution of Singularities of Multiple Mellin- Barnes Integrals // Eur. Phys. J. 2009. Vol. C62. P. 445-449.

63. Smirnov A. V., Tentyukov M. N. Feynman Integral Evaluation by a Sector decomposiTion Approach (FIESTA) // Comput. Phys. Commun. 2009. Vol. 180. P. 735-746.

64. Velizhanin V. N. Leading transcedentality contributions to the four-loop universal anomalous dimension in N=4 SYM // Phys. Lett. 2009. Vol. B676. P. 112-115.

65. Velizhanin V. N. The non-planar contribution to the four-loop universal anomalous dimension in N=4 Supersymmetric Yang-Mills theory // JETP Lett. 2009. Vol. 89. P. 593-596.

66. Vuorinen A. Equation of state of zero-temperature quark matter with finite quark masses // Nucl. Phys. 2009. Vol. A820. P. 183c-186c.

67. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Kuhn J. H. Order aj QCD Corrections to Z and r Decays // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 012002.

68. Bierenbaum I., Blumlein JKlein S.} Schneider C. Two-Loop Massive Operator Matrix Elements for Unpolarized Heavy Flavor Production to O(e) // Nucl. Phys. 2008. Vol. B803. P. 1-41.

69. Block S., Kreimer D. Mixed Hodge Structures and Renormalization in Physics // Commun. Num. Theor. Phys. 2008. Vol. 2. P. 637-718.

70. Bogner C., Weinzierl S. Blowing up Feynman integrals // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2008. Vol. 183. P. 256-261.

71. Bogner C., Weinzierl S. Resolution of singularities for multi-loop integrals // Comput. Phys. Commun. 2008. Vol. 178. P. 596-610.

72. Bonciani R., Ferroglia A. Two-Loop QCD Corrections to the Heavy-to-Light Quark Decay // JHEP. 2008. Vol. 11. P. 065.

73. Czakon M., Mitov A., Moch S. Heavy-quark production in gluon fusion at two loops in QCD // Nucl. Phys. 2008. Vol. B798. P. 210-250.

74. Czakon M. Tops from Light Quarks: Full Mass Dependence at Two-Loops in QCD // Phys. Lett. 2008. Vol. B664. P. 307-314.

75. Davies C. et al. Update: Accurate Determinations of as from Realistic Lattice QCD // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114507.

76. Bowling M., Piclurn J. H., Czarnecki A. Semileptonic decays in the limit of a heavy daughter quark // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 074024.

77. Green M. B., Russo J. G., Vanhove P. Modular properties of two-loop maximal supergravity and connections with string theory // JHEP. 2008. Vol. 07. P. 126.

78. Heinrich G., Huber T., Maitre D. Master Integrals for Fermionic Contributions to Massless Three-Loop Form Factors // Phys. Lett. 2008. Vol. B662. P. 344-352.

79. Heinrich G. Sector Decomposition // Int. J. Mod. Phys. 2008. Vol. A23. P. 1457-1486.

80. Laporta S. Analytical expressions of 3 and 4-loop sunrise Feynman integrals and 4-dimensional lattice integrals // Int. J. Mod. Phys. 2008. Vol. A23. P. 5007-5020.

81. Lee R. N. Group structure of the integration-by-part identities and its application to the reduction of multiloop integrals // JHEP. 2008. Vol. 07. P. 031.

82. Maier A., Maierhof er P., Marqaurd P. The second physical moment of the heavy quark vector correlator at 0(a3) // Phys. Lett. 2008. Vol. B669. P. 88-91.

83. Maier A., Maierhof er P., Marquard P. Higher Moments of Heavy Quark Correlators in the Low Energy Limit at 0(a2) // Nucl. Phys. 2008. Vol. B797. P. 218-242.

84. Maltman K., Leinweber D., Moran P., Sternbeck A. The Realistic Lattice Determination of as(Mz) Revisited // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114504.

85. Pak A., Czarnecki A. Heavy-to-heavy quark decays at NNLO // Phys. Rev. 2008. Vol. D78. P. 114015.

86. Pilipp V. Semi-numerical power expansion of Feynman integrals // JHEP. 2008. Vol. 09. P. 135.

87. Smirnov A. V. Algorithm FIRE Feynman Integral REduction // JHEP. 2008. Vol. 10. P. 107.

88. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Evaluating the three-loop static quark potential // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2008. Vol. 183. P. 308.

89. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Fermionic contributions to the three-loop static potential // Phys. Lett. 2008. Vol. B668. P. 293-298.

90. Somogyi G., Trocsanyi Z. A subtraction scheme for computing QCD jet cross sections at NNLO: integrating the subtraction terms I // JHEP. 2008. Vol. 08. P. 042.

91. Sturm C. Moments of Heavy Quark Current Correlators at Four-Loop Order in Perturbative QCD // JHEP. 2008. Vol. 09. P. 075.

92. Weinzierl S. NNLO corrections to 3-jet observables in electron-positron annihilation // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 162001.

93. Bern Z., Czakon M., Dixon L. J., Kosower D. ASmirnov V. A. The Four-Loop Planar Amplitude and Cusp Anomalous Dimension in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory // Phys. Rev. 2007. Vol. D75. P. 085010.

94. Czakon M., Mitov A., Moch S. Heavy-quark production in massless quark scattering at two loops in QCD // Phys. Lett. 2007. Vol. B651. P. 147-159.

95. Drummond J. M., Henn J., Smirnov V. A., Sokatchev E. Magic identities for conformal four-point integrals // JHEP. 2007. Vol. 01. P. 064.

96. Gehrmann-De Ridder A., Gehrmann T., Glover E. W. N., Heinrich G. NNLO corrections to event shapes in e+e~ annihilation // JHEP. 2007. Vol. 12. P. 094.

97. Gluza J., Kajda K., Riemann T. AMBRE: A Mathematica package for the construction of Mellin-Barnes representations for Feynman integrals // Comput.Phys.Commun. 2007. Vol. 177. P. 879-893. 26 pages, 10 figures, 1 table.

98. Kuhn J. H., Steinhauser M., Sturm C. Heavy quark masses from sum rules in four-loop approximation // Nucl. Phys. 2007. Vol. B778. P. 192-215.

99. Misiak M., Steinhauser M. NNLO QCD corrections to the B —> Xs gamma matrix elements using interpolation in mc // Nucl. Phys. 2007. Vol. B764. P. 62-82.

100. M.Misiak et al. The first estimate of B(B X/sy) at 0(a(s)2) // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 022002.

101. Smirnov A. V., Smirnov V. A. On the reduction of Feynman integrals to master integrals // PoS. 2007. Vol. ACAT2007. P. 085.

102. Smirnov A. V., Smirnov V. A., Steinhauser M. Applying Mellin-Barnes technique and Groebner bases to the three-loop static potential // PoS. 2007. Vol. RADCOR2007. P. 024.

103. Anastasiou C., Daleo A. Numerical evaluation of loop integrals // JHEP. 2006. Vol. 10. P. 031.

104. Baikov P. A. A practical criterion of irreducibility of multi-loop Feynman integrals // Phys. Lett. 2006. Vol. B634. P. 325-329.

105. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Higgs decay into hadrons to order a(s)5 // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 061803.

106. Becher T., Neubert M. Toward a NNLO calculation of the B —> X/s gamma decay rate with a cut on photon energy. I: Two-loop result for the soft function // Phys. Lett. 2006. Vol. B633. P. 739-747.

107. Becher T., Neubert M. Toward a NNLO calculation of the B X/s+ gamma decay rate with a cut on photon energy. II: Two-loop result for the jet function // Phys. Lett. 2006. Vol. B637. P. 251-259.

108. Bekavac S. Calculation of massless Feynman integrals using harmonic sums // Comput. Phys. Commun. 2006. Vol. 175. P. 180-195.

109. Bern Z., Czakon M., Kosower D. A., Roiban R., Smirnov V. A. Two-loop iteration of five-point N = 4 super-Yang-Mills amplitudes // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 181601.

110. Boughezal R., Czakon M., Schutzmeier T. Charm and bottom quark masses from perturbative QCD // Phys. Rev. 2006. Vol. D74. P. 074006.

111. Boughezal R., Czakon M., Schutzmeier T. Four-loop tadpoles: Applications in QCD // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. Vol. 160. P. 160-164.

112. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Sturm C. Four-loop moments of the heavy quark vacuum polarization function in perturbative QCD // Eur. Phys. J. 2006. Vol. C48. P. 107-110.

113. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Sturm C. QCD decoupling at four loops // Nucl. Phys. 2006. Vol. B744. P. 121-135.

114. Czakon M. Automatized analytic continuation of Mellin-Barnes integrals // Comput. Phys. Commun. 2006. Vol. 175. P. 559-571.

115. Gehrmann T., Hemrich G., Ruber T., Studerus C. Master integrals for massless three-loop form factors: One-loop and two-loop insertions // Phys. Lett. 2006. Vol. B640. P. 252-259.

116. Gerdt V. P., Robertz D. A Maple Package for Computing Groebner Bases for Linear Recurrence Relations // Nucl. Instrum. Meth. 2006. Vol. A559. P. 215-219.

117. Grozin A. G., Smirnov A. V., Smirnov V. A. Decoupling of heavy quarks in HQET // JHEP. 2006. Vol. 11. P. 022.

118. Jantzen ВSmirnov V. A. The two-loop vector form factor in the Sudakov limit // Eur. Phys. J. 2006. Vol. C47. P. 671-695.

119. Schroder Y., Steinhauser M. Four-loop decoupling relations for the strong coupling // JHEP. 2006. Vol. 01. P. 051.

120. Smirnov A. V. An algorithm to construct Groebner bases for solving integration by parts relations // JHEP. 2006. Vol. 04. P. 026.

121. Smirnov A. V., Smirnov V. A. Applying Groebner bases to solve reduction problems for Feynman integrals // JHEP. 2006. Vol. 01. P. 001.

122. Smirnov A. V., Smirnov V. A. S-bases as a tool to solve reduction problems for Feynman integrals // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2006. Vol. 160. P. 80-84.

123. Смирнов А. В. Проективные орбиты редуктивных групп и многогранники Бриона // УМН. 2005. Т. 60. С. 147.

124. Bern Z., Dixon L. J., Smirnov V. A. Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond // Phys. Rev. 2005. Vol. D72. P. 085001.

125. Czakon M., Gluza J., Riemann T. On the massive two-loop corrections to Bhabha scattering // Acta Phys. Polon. 2005. Vol. B36. P. 3319-3326.

126. Gehrmann T., Huber T., Maitre D. Two-loop quark and gluon form factors in dimensional régularisation // Phys. Lett. 2005. Vol. B622. P. 295-302.

127. Hahn T. CUBA: A library for multidimensional numerical integration // Comput. Phys. Commun. 2005. Vol. 168. P. 78-95.

128. Laporta S., Remiddi E. Analytic treatment of the two loop equal mass sunrise graph // Nucl. Phys. 2005. Vol. B704. P. 349-386.

129. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. The quark form factor at higher orders // JHEP. 2005. Vol. 08. P. 049.

130. Moch S., Vermaseren J. A. M., Vogt A. Three-loop results for quark and gluon form factors // Phys. Lett. 2005. Vol. B625. P. 245-252.

131. Ravindran V., Smith J., van Neerven W. L. Two-loop corrections to Higgs boson production // Nucl. Phys. 2005. Vol. B704. P. 332-348.

132. Vermaseren J. A. M., Vogt A., Moch S. The third-order QCD corrections to deep-inelastic scattering by photon exchange // Nucl. Phys. 2005. Vol. B724. P. 3-182.

133. Anastasiou C., Lazopoulos A. Automatic integral reduction for higher order perturbative calculations // JHEP. 2004. Vol. 07. P. 046.

134. Binoth T., Heinrich G. Numerical evaluation of multi-loop integrals by sector decomposition // Nucl. Phys. 2004. Vol. B680. P. 375-388.

135. Binoth T., Heinrich G. Numerical evaluation of phase space integrals by sector decomposition // Nucl. Phys. 2004. Vol. B693. P. 134-148.

136. Gerdt V P. Groebner Bases in Perturbative Calculations // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. Vol. 135. P. 232-237.

137. Grozin A. G. Heavy quark effective theory // Springer Tracts Mod. Phys. 2004. Vol. 201. P. 1-213.

138. Heinrich G., Smirnov V A. Analytical evaluation of dimensionally regularized massive on-shell double boxes // Phys. Lett. 2004. Vol. B598. P. 55-66.

139. Smirnov V. A. Evaluating Feynman integrals // Springer Tracts Mod. Phys. 2004. Vol. 211. P. 1-244.

140. Smirnov V A. Evaluating multiloop Feynman integrals by Mellin-Barnes representation // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2004. Vol. 135. P. 252-256.

141. Tarasov O. V. Computation of Groebner bases for two-loop propagator type integrals // Nucl. Instrum. Meth. 2004. Vol. A534. P. 293-298.

142. Bierenbaum I., Weinzierl S. The Massless two loop two point function // Eur.Phys.J. 2003. Vol. C32. P. 67-78.

143. Chetyrkin K. G., Grozin A. G. Three-loop anomalous dimension of the heavy-light quark current in HQET // Nucl. Phys. 2003. Vol. B666. P. 289302.

144. Pineda A. The static potential: Lattice versus perturbation theory in a renormalon-based approach // J. Phys. 2003. Vol. G29. P. 371-385.

145. Ravindran V.; Smith J., van Neerven W. L. NNLO corrections to the total cross section for Higgs boson production in hadron hadron collisions // Nucl. Phys. 2003. Vol. B665. P. 325-366.

146. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless on-shell planar triple box // Phys. Lett. 2003. Vol. B567. P. 193-199.

147. Anastasiou C., Melnikov K. Higgs boson production at hadron colliders in NNLO QCD // Nucl. Phys. 2002. Vol. B646. P. 220-256.

148. Harlander R. V., Kilgore W. B. Next-to-next-to-leading order Higgs production at hadron colliders // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 201801.

149. Kniehl B. A., Penin A. A.; Smirnov V. A. Steinhauser M. Potential NRQCD and heavy-quarkonium spectrum at next-to- next-to-next-to-leading order // Nucl. Phys. 2002. Vol. B635. P. 357-383.

150. Kniehl B. A., Penin A. A., Steinhauser M., Smirnov V. A. Nonabelian a(s)3/(m(q)r2) heavy-quark-antiquark potential // Phys. Rev. 2002. Vol. D65. P. 091503.

151. Laporta S. High-precision epsilon expansions of massive four-loop vacuum bubbles I I Phys. Lett. 2002. Vol. B549. P. 115-122.

152. Penin A. A., Steinhauser M. Heavy Quarkonium Spectrum at 0(a^mq) and Bottom/Top Quark Mass Determination // Phys. Lett. 2002. Vol. B538. P. 335-345.

153. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massive on-shell planar double box // Phys. Lett. 2002. Vol. B524. P. 129-136.

154. Smirnov V. A. Applied asymptotic expansions in momenta and masses // Springer Tracts Mod. Phys. 2002. Vol. 177. P. 1-262.

155. Smirnov V. A. The leading power Regge asymptotic behaviour of dimensionally regularized massless on-shell planar triple box // Phys. Lett. 2002. Vol. B547. P. 239-244.

156. Steinhauser M. Results and techniques of multi-loop calculations // Phys. Rept. 2002. Vol. 364. P. 247-357.

157. Chishtie F. A., Elias V. RG/Pade estimate of the three-loop contribution to the QCD static potential function // Phys. Lett. 2001. Vol. B521. P. 434440.

158. Kuhn J. H., Steinhauser M. Determination of as and heavy quark masses from recent measurements of R(s) // Nucl. Phys. 2001. Vol. B619. P. 588602.

159. Necco S., Sommer R. Testing perturbation theory on the N(f) = 0 static quark potential // Phys. Lett. 2001. Vol. B523. P. 135-142.

160. Pineda A. Determination of the bottom quark mass from the Upsilon(lS) system // JHEP. 2001. Vol. 06. P. 022.

161. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless master non-planar double box with one leg off shell // Phys. Lett. 2001. Vol. B500. P. 330-337.

162. Anastasiou C., Gehrmann T., Oleari C., Remiddi E., Tausk J. B. The tensor reduction and master integrals of the two-loop massless crossed box with light-like legs // Nucl. Phys. 2000. Vol. B580. P. 577-601.

163. Anastasiou C. Tausk J. B., Tejeda-Yeomans M. E. The on-shell massless planar double box diagram with an irreducible numerator // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. Vol. 89. P. 262-267.

164. Baikov P. A., Smirnov V. A. Equivalence of recurrence relations for Feyn-man integrals with the same total number of external and loop momenta // Phys. Lett. 2000. Vol. B477. P. 367-372.

165. Binoth T., Heinrich G. An automatized algorithm to compute infrared divergent multi-loop integrals // Nucl. Phys. 2000. Vol. B585. P. 741-759.

166. Brambilla N., Pineda A., Soto J., Vairo A. Potential NRQCD: An effective theory for heavy quarkonium // Nucl. Phys. 2000. Vol. B566. P. 275.

167. Glover E. W. N., Tejeda-Yeomans M. E. Progress towards two —two scattering at two loops // Nucl. Phys. Proc. Suppl. 2000. Vol. 89. P. 196-202.

168. Grozin A. G. Calculating three-loop diagrams in heavy quark effective theory with integration-by-parts recurrence relations // JHEP. 2000. Vol. 03. P. 013.

169. Harlander R. V. Virtual corrections to g g —> H to two loops in the heavy top limit // Phys. Lett. 2000. Vol. B492. P. 74-80.

170. Hoang A., Beneke M., Melnikov K., Nagano T., Ota A., Penin A., Pivo-varov A., Signer A. et al. Top-antitop pair production close to threshold: Synopsis of recent NNLO results // Eur. Phys. J. direct. 2000. Vol. C2. P. 1.

171. Laporta S. High-precision calculation of multi-loop Feynman integrals by difference equations // Int. J. Mod. Phys. 2000. Vol. A15. P. 5087-5159.

172. Smirnov V. A. Analytical Result for Dimensionally Regularized Massless Master Double Box with One Leg off Shell // Phys. Lett. 2000. Vol. B491. P. 130-136.

173. Smirnov V. A. Veretin O. L. Analytical results for dimensionally regularized massless on-shell double boxes with arbitrary indices and numerators // Nucl. Phys. 2000. Vol. B566. P. 469-485.

174. Bali G. S. Are there short distance non-perturbative contributions to the QCD static potential? // Phys. Lett. 1999. Vol. B460. P. 170.

175. Brambilla N., Pineda A., Soto J., Vairo A. The infrared behaviour of the static potential in perturbative QCD // Phys. Rev. 1999. Vol. D60. P. 091502.

176. Ferguson H. R. P., Bailey D. H., Arno S. Analysis of PSLQ, An Integer Relation Finding Algorithm // Math, of Comp. 1999. Vol. 68. P. 351-369.

177. Schroder Y. The static potential in QCD to two loops // Phys. Lett. 1999. Vol. B447. P. 321-326.

178. Smirnov V. A. Analytical result for dimensionally regularized massless on-shell double box // Phys. Lett. 1999. Vol. B460. P. 397-404.

179. Smirnov V. A. Problems of the strategy of regions // Phys. Lett. 1999. Vol. B465. P. 226-234.

180. Tausk J. B. Non-planar massless two-loop Feynman diagrams with four on-shell legs // Phys. Lett. 1999. Vol. B469. P. 225-234.

181. Beneke M., Smirnov V. A. Asymptotic expansion of Feynman integrals near threshold // Nucl. Phys. 1998. Vol. B522. P. 321-344.

182. Buchberger B. Introduction to Grobner bases // Grobner Bases and Applications / Ed. by B. Buchberger, F. Winkler. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. Vol. 251 of London Mathematical Society Lecture Note Series. P. 3-31.

183. Caffo M., Czyz H., Laporta S., Remiddi E. The master differential equations for the 2-loop sunrise selfmass amplitudes // Nuovo Cim. 1998. Vol. Alll. P. 365-389.

184. Chetyrkin K. G., Kniehl B. A., Steinhauser M. Decoupling relations to 0(a;!) and their connection to low-energy theorems // Nucl. Phys. 1998. Vol. B510. P. 61-87.

185. Grozin A. G. Decoupling of heavy quark loops in light-light and heavy- light quark currents // Phys. Lett. 1998. Vol. B445. P. 165-167.

186. Harlander R., Seidensticker T., Steinhauser M. Complete corrections of O(ao;(s)) to the decay of the Z boson into bottom quarks // Phys. Lett. 1998. Vol. B426. P. 125-132.

187. Tarasov 0. V. Reduction of Feynman graph amplitudes to a minimal set of basic integrals // Acta Phys. Polon. 1998. Vol. B29. P. 2655.

188. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Heavy quark current correlators to 0(a2s) // Nucl. Phys. 1997. Vol. B505. P. 40-64.

189. Peter M. The static potential in QCD: A full two-loop calculation // Nucl. Phys. 1997. Vol. B501. P. 471-494.

190. Peter M. The static quark-antiquark potential in QCD to three loops // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 602-605.

191. Remiddi E. Differential equations for Feynman graph amplitudes // Nuovo Cim. 1997. Vol. A110. P. 1435-1452.

192. Baikov P. A. Explicit solutions of the 3-loop vacuum integral recurrence relations // Phys. Lett. 1996. Vol. B385. P. 404-410.

193. Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM TOMS. 1996. Vol. 22, no. 4. P. 469-483.

194. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Kwiatkowski A. QCD corrections to the e+ e- cross-section and the Z boson decay rate: Concepts and results // Phys. Rept. 1996. Vol. 277. P. 189-281.

195. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Heavy Quark Vacuum Polarisation to Three Loops // Phys. Lett. 1996. Vol. B371. P. 93-98.

196. Chetyrkin K. G., Kuhn J. H., Steinhauser M. Three-loop polarization function and 0(a;2) corrections to the production of heavy quarks // Nucl. Phys. 1996. Vol. B482. P. 213-240.

197. Bauberger S., Berends F. A., Böhm M., Buza M. Analytical and numerical methods for massive two loop selfenergy diagrams // Nucl. Phys. 1995. Vol. B434. P. 383-407.

198. Broadhurst D. J., Grozin A. G. Matching QCD and HQET heavy light currents at two loops and beyond // Phys. Rev. 1995. Vol. D52. P. 40824098.

199. Weiglein G., Scharf R., Bohm M. Reduction of general two loop selfenergies to standard scalar integrals // Nucl. Phys. 1994. Vol. B416. P. 606-644.

200. Denner A. Techniques for calculation of electroweak radiative corrections at the one loop level and results for W physics at LEP-200 // Fortschr. Phys. 1993. Vol. 41. P. 307-420.

201. Nogueira P. Automatic Feynman graph generation // J. Comput. Phys. 1993. Vol. 105. P. 279-289.

202. Broadhurst D. J. Three loop on-shell charge renormalization without integration: A-MS (QED) to four loops I I Z. Phys. 1992. Vol. C54. P. 599-606.

203. Kotikov A. V. Differential equations method: New technique for massive Feynman diagrams calculation // Phys. Lett. 1991. Vol. B254. P. 158-164.

204. Hollik W. F. L. Radiative Corrections in the Standard Model and their Role for Precision Tests of the Electroweak Theory // Fortschr. Phys. 1990. Vol. 38. P. 165-260.

205. Matsuura T., van der Marck S. C., van Neerven W. L. The Calculation of the Second Order Soft and Virtual Contributions to the Drell-Yan Cross-Section // Nucl. Phys. 1989. Vol. B319. P. 570.

206. Matsuura T., van Neerven W. L. Second order logarithmic correcions to the Drell-Yan cross-section // Z. Phys. 1988. Vol. C38. P. 623.

207. Kramer G., Lampe B. Two Jet Cross-Section in e+ e- Annihilation // Z. Phys. 1987. Vol. C34. P. 497.

208. Reinders L. J., Rubinstein H., Yazaki S. Hadron Properties from QCD Sum Rules // Phys. Rept. 1985. Vol. 127. P. 1.

209. Kazakov D. I. Calculation of Feynman integrals by the method of uniqueness // Theor. Math. Phys. 1984. Vol. 58. P. 223-230.

210. Gonsalves R. J. Dimensionally regularized two loop on-shell quark form-factor // Phys. Rev. 1983. Vol. D28. P. 1542.

211. Chetyrkin K. G., Tkachov F. V. Integration by Parts: The Algorithm to Calculate beta Functions in 4 Loops // Nucl. Phys. 1981. Vol. B192. P. 159204.

212. Billoire A. How Heavy Must Be Quarks in Order to Build Coulombic q anti-q Bound States // Phys. Lett. 1980. Vol. B92. P. 343.

213. Sirlin A. Radiative Corrections in the SU(2)-L x U(l) Theory: A Simple Renormalization Framework // Phys.Rev. 1980. Vol. D22. P. 971-981.

214. Passarino G., Veltman M. J. G. One Loop Corrections for e+ e- Annihilation Into mu+ mu- in the Weinberg Model // Nucl. Phys. 1979. Vol. B160. P. 151.

215. Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I. QCD and Resonance Physics: Applications // Nucl. Phys. 1979. Vol. B147. P. 448-518.216. 't Hooft G., Veltman M. J. G. Scalar One Loop Integrals // Nucl. Phys. 1979. Vol. B153. P. 365-401.

216. Appelquist T., Dine M., Muzinich I. J. The Static Limit of Quantum Chro-modynamics // Phys. Rev. 1978. Vol. D17. P. 2074.

217. Fischler W. Quark anti-Quark Potential in QCD // Nucl. Phys. 1977. Vol. B129. P. 157-174.

218. Appelquist T., Politzer H. D. Orthocharmonium and e+ e- Annihilation // Phys. Rev. Lett. 1975. Vol. 34. P. 43.

219. Marciano W. J. Dimensional Regularization and Mass Singularities // Phys. Rev. 1975. Vol. D12. P. 3861.

220. Marciano W. J., Sirlin A. Dimensional Regularization of Infrared Divergences // Nucl. Phys. 1975. Vol. B88. P. 86.

221. Gastmans R., Meuldermans R. Dimensional regularization of the infrared problem I I Nucl. Phys. 1973. Vol. B63. P. 277-284.

222. Bollini С. G., Giambiagi J. J. Dimensional Renormalization: The Number of Dimensions as a Regularizing Parameter // Nuovo Cim. 1972. Vol. B12. P. 20-25.

223. Speer E. R. Analytic renormalization // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9, no. 9. P. 1404-1410.

224. Hepp K. Proof of the Bogolyubov-Parasiuk theorem on renormalization // Commun. Math. Phys. 1966. Vol. 2. P. 301-326.

225. Смирнов А. В. Многогранники весов и их приложения к теории представлений алгебраических групп. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. МГУ, 2005.

226. Coutinho S. С. A primer of algebraic D-modules. (London Mathematical Society Student Texts. Vol. 33). Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

227. Smirnov V. A. Feynman integral calculus. Berlin: Springer, 2006 283 p.