Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера и спектры почти-периодических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Федотов Александр Александрович

Комплексный метод ВКБ для адиабатических

возмущений периодического оператора Шредингера и спектры почти-периодических

операторов

01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

4858852 _ 3 ^ т

Санкт-Петербург - 2011

4858852

Работа выполнена на кафедре Высшей математики и математической физики Физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, академик HAH Украины Пастур Леонид Андреевич

доктор физико-математических наук, профессор Карасев Михаил Владимирович

доктор физико-математических наук Скриганов Максим Михайлович

Ведущая организация: ФГНУ Научно-исследовательский радиофизический институт (Нижний Новгород)

Защита состоится «4fL» _2011 г. в zirL_ часов на заседании

диссертационного совета Д 002.202.01 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН, расположенном по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ РАН.

Автореферат разослан «. ALL» 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

А.Ю. Зайцев

Общая характеристика работы

Диссертация состоит из двух органически связанных частей. Первая часть посвящена разработке нового асимптотического подхода к исследованию решений уравнения Шредингера

-$+{V(x) + W(ex))ip = E1>, xeR. (1)

Здесь Е - спектральный параметр, V - 1-периодическая функция из I^C(R), W - функция аналитическая в некоторой полосе вида S = {£ £ С : Y\ < Im С < Уг}, а е - малый адиабатический параметр. Уравнение (1) - периодическое уравнение Шредингера с адиабатическим возмущением W(e-).

Во второй части диссертации с помощью этого подхода исследуются спектральные свойства почти-периодических уравнений Шредингера, возникающих в случае, когда W - периодическая функция, + 2тт) = W(£), а е/2тг - иррациональное число. В этом случае мы говорим об адиабатических почти-периодических уравнениях Шредингера.

Актуальность работы. Исследование спектральных свойств почти-периодических операторов - одно из наиболее актуальных направлений современной математической физики. Несмотря на очень большое количество работ, более или менее полный анализ удалось провести для нескольких одномерных разностных модельных задач (напр., уравнение Почти-Матье, Мэри-лендская модель, кусочно постоянные потенциалы с двумя значениями). Для одномерных дифференциальных операторов Шредингера с аналитическими потенциалами с помощью методов теории KAM (Колмогорова-Арнольда-Мо-зера) была доказана абсолютная непрерывность спектра в области больших значений спектрального параметра и в случае малых аналитических потенциалов. Была также доказана сингулярность нижнего края спектра для некоторых аналитических потенциалов в случае большой константы связи. Законченная спектральная теория почти-периодических операторов далека от завершения. Принципиальное значение имеет исследование трудных конкретных задач с тем, чтобы за счет их анализа выявить общие свойства почти-периодических операторов.

Хотя "адиабатические" почти-периодические операторы Шредингера возникали в разных областях физики (напр., в физике твердого тела и астрофизике), систематический анализ их спектральных свойств был начат лишь в

работах автора диссертации и можно сказать, что это - новое направление математических исследований. Исследования, описанные в диссертации, позволили вскрыть новые математические механизмы формирования спектра и обнаружить новые спектральные эффекты. При этом полученные результаты являются первыми результатами для дифференциальных уравнений Шре-дингера с неаналитическими и даже негладкими потенциалами, и проведенную работу можно рассматривать как шаг в сторону изучения почти-периодических операторов с потенциалами общего вида.

При исследовании спектра автор использовал идеи метода монодроми-зации (оригинального перенормировочного подхода, предложенного в 90-х годах B.C. Буслаевым и автором для исследования геометрии спектров разностных почти-периодических уравнений). Для эффективного применения этих идей оказалось необходимым очень точное асимптотическое описание поведения решений адиабатически возмущенного периодического уравнения Шредингера на расстояниях порядка 1/е. Для этого и потребовался новый асимптотический метод, описанный в первой части диссертации.

Отметим, что анализ адиабатически возмущенных систем - классическая тема математической физики. Одномерные периодические уравнения Шредингера с адиабатическим возмущением возникают в различных разделах физики. B.C. Буслаев предложил оригинальный подход к исследованию асимптотик решений этих уравнений. Этот подход можно рассматривать как глубокое обобщение классического "вещественного" метода ВКБ (начальные идеи метода ВКБ сформулированы Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном), позволяющего изучать стандартные квазиклассические асимптотики решений одномерных уравнений, работая лишь на вещественной оси. Можно сказать, что классический метод ВКБ позволяет исследовать асимптотики решений уравнения, возникающего при адиабатических возмущениях оператора второй производной, а в методе B.C. Буслаева исследуются адиабатические возмущения периодического оператора Шредингера. Обладая мощностью классического метода ВКБ, метод B.C. Буслаева имеет и аналогичные ограничения. За границами возможностей методов оказывается описание многих экспоненциально малых эффектов, связанных с комплексным туннелиро-ванием. Подход, предложенный в диссертации, можно считать обобщением классического комплексного метода ВКБ, позволяющего контролировать та-

кие квазиклассические эффекты за счет исследования решений на комплексной плоскости переменной уравнения. При этом в предлагаемом подходе аналитическим предполагается лишь адиабатическое возмущение; свойства гладкости потенциала возмущаемого периодического потенциала оказываются не столь важными, поскольку отражаются в конструкциях метода лишь через спектральные объекты периодического оператора Шредингера. Подход существенно развился в процессе работы над почти-периодической задачей и превратился в общий асимптотический метод, котрый уже начал применяться (другими авторами) для решения других типов задач.

Цель диссертационной работы состояла в асимптотическом исследовании спектральных свойств одномерных адиабатических почти-периодических операторов Шредингера. В основном, исследование было направлено на изучение природы спектра. Исследовалась область не слишком больших значений спектрального параметра. Обсуждался спектр, расположенный в областях четырех типов, естественно описываемых в терминах спектральных зон и лакун невозмущенного периодического оператора. Грубо говоря, это -окрестности относительно небольших спектральных зон, средние части относительно длинных спектральных зон, области, содержащие края таких зон, и, наконец, средние части не слишком длинных лакун, разделяющих относительно длинные спектральные зоны. Для каждой из этих областей описаны асимптотические свойства спектра и вскрыты асимптотические механизмы его формирования.

Одной из главных целей работы стало также развитие нового асимптотического подхода к исследованию решений одномерных периодических уравнений с адиабатическим возмущением, подхода который позволил бы контролировать экспоненциально малые эффекты, порожденные комплексным туннелированием.

Наконец, интерес состоял также в развитии идей метода монодромиза-ции, которые являлись важным инструментом анализа.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми. К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие:

• Развит оригинальный асимптотический подход для исследования асимптотик решений уравнений Шредингера, возникающих при аналитических адиа-

батичееких возмущениях одномерных периодических,уравнений Шредингера. Этот подход позволяет контролировать экспоненциально малые эффекты, порожденные комплексным туннелированием. При этом в диссертации предполагается, что возмущаемый периодический потенциал локально суммируем с квадратом.

• Развит подход к исследованию спектральных свойств (семейств) одномерных адиабатических двухчастотных почти-периодических операторов Шредингера. При этом для широкого класса адиабатических возмущений доказано, что

о сохраняется большая часть абсолютно непрерывного спектра, расположенного в средней части относительно длинных зон невозмущенного периодического оператора (для большинства частот); изучены свойства обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра;

о спектр, расположенный около относительно коротких изолированных спектральных зон невозмущенного оператора и на них, оказывается сингулярным; описаны асимптотики для показателя Ляпунова (измеряющего типичную скорость экспоненциального убывания (роста) решений почти-периодического уравнения Шредингера).

Для адиабатических возмущений вида А соз(ех), где А - константа связи, изучены свойства спектра, находящегося около краев относительно длинных спектральных зон невозмущенного периодического оператора. Доказано, что о спектр, находящийся у нижнего края спектра периодического оператора, расположен на последовательности экспоненциально малых интервалов; при этом рассматриваемая область спектральной оси асимптотически распадается на конечное число не зависящих от е отрезков, содержащих только интервалы с сингулярным спектром, и отрезков, где большая часть спектра абсолютно непрерывна (для большинства е);

о спектр, расположенный между двумя относительно длинными спектральными зонами периодического оператора, разделенными относительно короткой спектральной лакуной, расположен на двух последовательностях экспоненциально малых интервалов, "порожденных" соседними краями этих зон; на каждом интервале, порожденным краем одной из соседних зон и расположенном достаточно далеко (на расстоянии порядка ел", где Л' б N -фиксированное число) от интервалов, порожденных краем второй спектраль-

ной зоны, природа спектра определяется как на интервалах, расположенных у нижнего края спектра, т.е. так, как если бы не было второй последовательности интервалов; на экспоненциально близких интервалах, порожденных краями двух разных соседних зон, природа спектра может меняться: сингулярный спектр может стать абсолютно непрерывным; между интервалами, содержащими абсолютно непрерывный спектр имеется отталкивание, не позволяющее им слиться в один. Описаны типичные сценарии "взаимодействия" таких интервалов.

• Идеи метода монодромизации перенесены на случай одномерных дифференциальных почти-периодических уравнений и получили дальнейшее развитие. Так, предложен метод для эффективного вычисления приращений плотности состояний на интервалах, содержащих спектр и разделенных лакунами, предложен метод исследования блоховских решений (типа решений Ди-набурга-Синая) дифференциальных почти-периодических уравнений и т.д.

Степень достоверности научных положений диссертационной работы. Все научные положения диссертационной работы являются достоверными научными фактами, получившими в работе строгие математические доказательства.

Практическая значимость. Новый асимптотический подход, развитый в диссертации позволяет исследовать экспоненциально малые эффекты, порождаемые аналитическими адиабатическими возмущениями одномерных периодических уравнений Шредингера с негладкими потенциалами. При этом он имеет такую же мощность и потенциал использования как комплексный метод ВКБ в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Подход к исследованию "адиабатических" почти-периодических операторов позволил решить ряд интересных задач, получить первые аналитические результаты по явлениям, предсказанным физиками, и вскрыть новые спектральные эффекты.

Новый асимптотический подход и его идеи могут быть использованы (и уже начали использоваться) для асимптотического исследования широкого круга задач, не связанных с почти-периодическими операторами; идеи, по-видимому, могут быть применены для асимптотического исследования других типов уравнений. Подход к исследованию "адиабатических" почти-периодических операторов, его идеи и полученные с его помощью результаты могут

быть использованы для постановки и решения новых и решения уже известных задач в теории почти-периодических операторов.

Результаты диссертационного исследования, идеи и методы решения поставленных в нем задач могут- быть интересны для специалистов, работающих в различных областях математической и теоретической физики, сталкивающихся с теорией почти-периодических операторов и/или занимающихся асимптотическим анализом дифференциальных и разностных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования неоднократно рассказывались на научных семинарах ПОМИ РАН им. В.А. Стек-лова, на научных семинарах СПбГУ, были сделаны многочисленные доклады в ведущих зарубежных математических центрах (во Фраиции, Германии, Швеции, Канаде и т.д.), на международных конференциях по спектральной , теории, математической физике и асимптотическому анализу.

Публикации. Результаты диссертации и их доказательства полностью опубликованы в 11 статьях автора в ведущих периодических изданиях, [1-3, 6, 7, 9, 10, 12-15]. Имеются еще 4 публикации в других изданиях [4, 5, 8, 11].

Личный вклад автора. Результаты работ, вошедшие в диссертацию, более чем на 90% принадлежат автору. Вклад автора был определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 11 глав и библиографии. Общий объем диссертации 366 страниц, включая содержание (3 страницы), библиографию (8 страниц) и 43 рисунка. Библиография включает 88 наименований.

Краткое содержание диссертации

В первой, главе (Введении) сформулированы задачи, намечены цели и основные идеи исследования, обоснована актуальность работы, предварительно описаны основные результаты, аргументирована научная новизна подходов и результатов и показана их практическая значимость. При обсуждении нового асимптотического: подхода особое внимание уделено методам его практического применения. Результатам исследования почти-периодических операторов дана интерпретация в физических терминах.

Во второй главе собраны систематически используемые в диссертации результаты об одномерном периодическом операторе Шредингера Нр =

~5? + У(х)> действующем в Ь2(К). Предполагается, что потенциал V является вещественнозначной 1-периодической функцией из Ь]20С(К).

Для удобства читателя ниже коротко описаны основные объекты, введенные в этой главе и обсуждаемые в автореферате.

Спектр оператора Нр абсолютно непрерывен и состоит из таких интервалов [Е\, Е2], [Ей, Е4], ... [Е2п+\, Е2п+2], ■ ■■ вещественной оси, что Е\ < Е2 < Е3 < ...Е2п < Е2п+1 < Е2п+2 < • • ■, а Еп +оо при п -» +оо. Интервалы [Е2п-1,Е2п], п > 1, называются спектральными зонами, а интервалы (Е2п, Е2п+\), п > 1, называются спектральными лакунами. Если Е2п < Е2п+1, то говорят, что п-ая лакуна открыта.

Пусть ф - нетривиальное решение уравнение —ф"(х)+У(х)ф(х) = Еф(х), удовлетворяющее соотношению ф(х+1) = (¿ф(х) с некоторым ц 6 С, не зависящим от х. Решение ф называется блоховским.

Елоховское решение, нормированное условием ф(О, Е) = 1, мероморфно на римановой поверхности 5, склеенной (подходящим образом) из двух экземпляров комплексной плоскости С, разрезанной вдоль спектральных зон.

Представим множитель рь из определения блоховского решения в виде ц(Е) = ехр({к(Е)). Функция к называется блоховским квазиимпульсом. Она оказывается многозначной аналитической функцией Е. Точки ветвления к совпадают с концами открытых лакун.

В первой части главы 2 напоминаются известные факты из теории периодического оператора Шредингера. Так, подробно обсуждаются аналитические свойства блоховского решения на Римановой поверхности 5 и конформные свойства блоховского квазиимпульса. Во второй части главы 2, следуя [14, 15], автор вводит и изучает мероморфный дифференциал П, определенный на <5 в терминах блоховского решения и квазиимпульса и играющий важную роль в адиабатическом подходе.

Третья, четвертая и пятая главы посвящены новому асимптотическому методу исследования решений уравнения (1).

В третьей главе, следуя [6, 10], я формулирую и доказываю основную теорему метода. В уравнение (1) вводится вспомогательный параметр С € С так, что оно приобретет вид

-^(х) + (У(х) + Ш(£х + {) )ф(х) = Еф(х), ябК. (2) Рассматриваются решения ^ уравнения (2), удовлетворяющие условию согла-

сованности:

ф(х + 1,С) = 'ФЫ + е). (3)

Оказывается, что йри е —> 0 асимптотики таких решений при комплексных С описываются конструкциями параллельными конструкциям классического комплексного метода ВКБ. Это позволяет вычислять матрицы перехода, связывающие разные базисы, построенные из согласованных решений, с экспоненциальной точностью по е. Для точной формулировки основного результата третьей главы потребуются неколько определений.

Комплексный импульс - блоховский квазиимпульс для периодического уравнения Шредингера

-^(^0 + У(х)ф(х,0=8(С)ф(х,0, £(( ) = Я-ИЧС), (4)

рассматриваемый как функция комплексного параметра С. Он выражается через блоховский квазиимпульс к оператора Нр формулой к (£) = к (£(С))-

Комплексный импульс - многозначная аналитическая функция; его точки ветвления связаны с точками ветвления квазиимпульса соотношениями £(£) = Множество называется регулярным, если оно лежит в области аналитичности IV, односвязно и не содержит точек ветвления к.

Кусочно гладкая кривая называется вертикальной, если естественным параметром на ней является 1т С- Фиксируем на гладкой регулярной вертикальной кривой 7 непрерывную ветвь к комплексного импульса. Кривая 7 называется канонической, если вдоль нее

!(мсыс)>0 и ¿(Ьп^к-^к) <0, у = 1т С.

Пусть К - регулярная область. Фиксируем на ней непрерывную ветвь к комплексного импульса. Область К называется канонической, если на ее границе найдутся такие две точки С1 и (2, 1т С1 < 1т (2, что К является объединением кривых (без их концов), соединяющих Сг и и являющихся каноническими по отношению к к.

Каноническое блоховское решение определяется на заданной регулярной области Б формулами вида

= <?(£) = ч/Щ, £ = £(С), £0 = £(Со), (5)

где ^иП - мероморфные ветви блоховского решения и дифференциала из второй главы, а Со € Б - такая фиксированная точка, что £о не является полюсом ф и нулем </. Каноническое блоховское решение оказывается решением уравнения (4) аналитическим по С £ Б.

Главным результатом третьей главы является

Теорема 1. Фиксируем Е = Ед. Пусть К - ограниченная регулярная область, каноническая по отношению к фиксированной на ней аналитической ветви к комплексного импульса. Для достаточно малого £ существует согласованное решение / семейства уравнений (2), имеющее в К стандартное асимптотическое поведение

/ = ехр ^ к С) (Ф(х, С) + о (1)), £ 0. (6)

В понятие стандартного асимптотического поведения, кроме асимптотики включается еще несколько свойств. Опишем точно это понятие. Фиксируем Е = Еа. Пусть Б - регулярная область. Обозначим через 5(Г>) минимальную полосу вида {У! < 1т£ < У2}, содержащую область Б. Пусть Ф - каноническое блоховское решение на Д ак- аналитическая в Б ветвь комплексного импульса такая, что к(() является блоховским квазиимпульсом решения Ф+(-,£). В области Б решение / имеет стандартное поведение } ~ ехр(* /с кв.С) • Ф+, если

• существуют такая комплексная окрестность У0 точки Е0, что / определено и удовлетворяет (2) и (3) для всех (х,Св (Б) х

• при фиксированном х функция / аналитична по ( € Б (Б) и по Е £ Ц)\

• для любого компактного подмножества К области Б существует такая комплексная окрестность V С Vо точки Ео, что для (х, (, Е) € [—X, X] хК х V, где X > 0 - фиксированное число, решение / допускает равномерное асимптотическое представление (6).

• эта асимптотика может быть один раз продифференцирована по х, сохранив при этом все свои равномерные свойства.

В четвертой главе описываются методы построения канонических линий и канонических областей, систематически используемые как для дальнейшего развития нового асимптотического метода, так и при исследовании почти-периодических уравнений. Содержание главы отражено в работах [7] и [10].

В начале четвертой главы исследуются свойства канонических линий и линий стоксова типа - линий уровня гармонических функций ( Н> Irri J'' к d( и Си- Im /'"(к - 7г) dC

Затем я описываю метод построения канонических кривых. Его идея состоит в том, чтобы сначала из кусочков "элементарных" кривых, легко контролируемых на практике, построить преканоническую линию, а затем, немного ее подправив, получить каноническую.

После обсуждения канонических линий, я перехожу к методу построения канонических областей. Идея состоит в том, чтобы заменить в определении канонических областей канонические кривые преканоническими.

В конце четвертой главы, в качестве примера, я описываю основные ее конструкции для W(Q = a cos

Пятая глава. Как правило вычисления максимальных канонических областей являются громоздкими. С другой стороны, решение, имеющее стандартное асимптотическое поведение на некоторой канонической области, обычно сохраняет его на заметно больших областях, называемых областями продолжения. При применении адиабатического асимптотического подхода вместо вычисления максимальных канонических областей используется следующая конструкция. Сначала строится каноническая кривая, затем строится решение, имеющее стандартное поведение на "узкой" локальной канонической области, "вытянутой" вдоль этой кривой (существование таких канонических областей следует из того, что кривая, достаточно близкая к канонической в топологии С1 , тоже является канонической). Наконец, для этого решения вычисляется область продолжения. Для этого используются три утверждения: Лемма о прямоугольнике , Принцип примыкающей области и Лемма о линии Стокса. За счет последовательного применения этих принципов продолжения шаг за шагом доказывается, что исследуемое решение имеет стандартное поведение на все большей и большей области. Большая часть пятой главы посвящена формулировке и доказательству принципов продолжения. В конце главы детально разбирается вычисление области продолжения в случае адиабатического возмущения W(C) = A cos С

Ниже даются формулировки принципов продолжения. В дальнейшем, множество называется постоянным, если оно не зависит от е.

Лемма о прямоугольнике отражает стандартную эвристику классическо-

го метода ВКБ: формула для старшего члена асимптотики решения вдоль некоторого направления остается применимой до тех пор, пока он определен и указывает на рост решения в этом направлении.

Фиксируем т]т<г]м■ Пусть R - компакт, ограниченный прямыми Im С = r]m, Im С = г/ц и некоторыми вертикальными кривыми 71 и 72, 71 П 72 = 0. Будет предполагаться, что 71 расположена слева от 72. Имеет место

Теорема 2 (Лемма о прямоугольнике). Фиксируем Е = Eq. Предположим, что "прямоугольник" R является регулярным, а решение / имеет стандартное поведение / ~ exp(^ J^ кЛС) ■ Ф+ в окрестности 71. Если в R между 7i и 72 Irn/t < 0, то при достаточно малом е решение f сохраняет стандартное поведение в постоянной области, содержащей R.

Конечно, имеется и "симметричный" вариант Леммы о прямоугольнике для случая, когда / имеет стандартное поведение у кривой 72, а слева от нее Im/c < 0. Отметим также, что близкий по духу результат был доказан B.C. Буслаевым и автором для разностных уравнений с квазиклассическим параметром.

Принцип примыкающей области используется для обоснования стандартного асимптотического поведения решений в направлении их убывания.

Пусть 7 - вертикальная кривая (содержащая свои концы), a S - минимальная полоса вида {С\ < Im£ < С2}, содержащая 7. Регулярная область U С S примыкает к 7, если 7 является частью ее границы.

Теорема 3 (Принцип примыкающей области). Пусть 7 - каноническая кривая, а / имеет стандартное поведение в области, примыкающей к 7. Тогда, / имеет стандартное поведение в любой канонической области, одевающей 7 (в канонической области, являющейся объединением канонических кривых, в число которых входит кривая 7).

При применении Принципа примыкающей области используют стандартные "простые" канонические области (описываемые Леммой о трапеции).

Лемма о линии Стокса сродни результатам классических версий комплексного метода ВКБ о поведении решения в окрестности линии Стокса, вдоль которой его убывание сменяется ростом.

Пусть (о - точка ветвления комплексного импульса, a W(Co) ф 0. Тогда, в Со начинаются три линии Стокса, описываемые уравнением Im J^0(k(C) ~

Рис. 1

к(Со))^С = 0- Углы между ними в Со равны 27г/3. Обозначим эти линии через ai, 02 и <73 так, чтобы oí была,вертикальной в Со, см. Рис. 1. Пусть а\ -ограниченный отрезок о\, начинающийся в (о, вертикальный и содержащий только одну точку ветвления - (о (точнее, только одну точку, в которой £(() - конец спектральной зоны).

Пусть V - достаточно малая окрестность д\. Линии Стокса о\, 02 и сг3 разбивают V на три сектора. Обозначим их через Si, S2 и S¡ так, чтобы Si был расположен между о\ и о 2, а сектор S2 - Между <72 и <73.

Теорема 4 (Лемма о линии Стокса). Пусть сектор S\ расположен слева от ai, а в Si около ai выполнено неравенство Im/c(£) > 0. Если решение / имеет стандартное асимптотическое поведение f ~ exp ndCj ■ Ф+ енутри сектора Si U (02 ПV) US2, то f сохраняет это стандартное асимптотическое поведение внутри V \ ai, где V С V - некоторая меньшая постоянная окрестность ai-

.Справедливо и "симметричное" утверждение для случая, когда 5*1 примыкает к о i справа.

Седьмая, восьмая, девятая, десятая и одиннадцатая главы посвящены исследованию спектральных свойств семейства уравнений Шредингера

№ -- *) -U'(ex)), -ф{х) = Еф{х), xGlx, (7)

где 0 < г < 2тг - параметр, нумерующий уравнения семейства. Теперь относительно функций V и W дополнительно предполагается, что V, W : К —> М, W - периодическая, функция с периодом 2тг, а 0 < е <2п- такая константа, что отношение 27г/е иррационально. Тогда, (7) - семейство почти-периодических уравнений,

Из классических теорем теории почти-периодических операторов следует, что для почти всех 2 спектры, сингулярные спектры и абсолютно непрерывные спектры уравнений семейства (7) совпадают с некоторыми не зависящими от 7 множествами Es и Еос соответственно. Ниже эти множества

называются спектром, сингулярным спектром и абсолютно непрерывным спектром семейства (7).

В диссертации исследуется спектр семейства (7) в "адиабатическом пределе", т.е. при е —> 0.

Шестая глава предваряет эти исследования и является очень кратким введением в теорию почти-периодических операторов. В ней сначала напоминаются определения и основные свойства двух важнейших аналитических объектов из спектральной теории эргодических семейств операторов Шредин-гера - показателя Ляпунова и интегрированной плотности состояний. Затем, следуя [7], я описываю базовые понятия и наблюдения, относящиеся к методу монодромизации для дифференциальных почти-периодических уравнений.

Для того, чтобы наметить схему исследования семейства (7), опишем идею монодромизации (следуя шестой главе).

Пусть х Н>- ф1$(%, ¿0 - решения индивидуального уравнения (7) с 0 < г < 1. Предположим, что они определены для всех 0 < г < 1. Решения образуют согласованный базис для семейства уравнений (7), если их вронскиан отличен от нуля и не зависит от г, а сами решения периодичны по -г с периодом единица.

Функции х ь* фх^(х+2п/£, г+2к/е) являются решениями уравнения (7) вместе схн ф\,г(х, г). Поэтому, выполнено соотношение

где M(z) - 2 х 2-матрица с коэффициентами, не зависящими от х. Эта матрица называется матрицей монодромии, соответствующей согласованному базису (фи Фъ)- Оказывается, что при всех z det M(z) = 1 и M(z+1) = M(z).

Положим h = {2ж/е}. Пусть М - матрица монодромии, соответствующая согласованному базису [фхр)- Уравнение

называется уравнением монодромии. При иррациональном Д уравнение монодромии является разностным почти-периодическим уравнением. Переход от исходного уравнения к соответствующему уравнению монодромии называется монодромизацией.

X(m + 1) = M(z + mh)x(m), VmeZ, х ■ % С2, (9)

Главное свойство уравнения монодромии состоит в том, что поведение его решений при т —> ±оо "копирует" поведение решений уравнения (7) при

х Too:

Теорема 5. Пусть - согласованный базис решений (7) и пусть М -соответствующая матрица монодромии. Фиксируем z € R. Тогда, для любого решениях уравнения (9), существует единственное решение f уравнения (7) такое, что для всех х £ R. и т € Z

/ fir + 2-т/е, ;) \ , , f Ч -1 \ ( V, t, \

И наоборот, для любого решения f уравнения (7) существует единственное решение \ уравнения (9), удовлетворяющее этому соотношению.

С помощью этой теоремы анализ спектра семейства уравнений (7) сводится к изучению поведения решений уравнения монодромии. Исследование начинается с того, чтобы, изучив локальные асимптотики решений почти-периодического уравнения Шредингера (с помощью развитого мною асимптотического подхода), асимптотически вычислить матрицу монодромии, а затем изучить решения уравнения монодромии. Оказалось, что исследуемая часть спектральной оси (не слишком большие значения спектрального параметра) естественно разбивается на области нескольких типов, в каждой из которых уравнение монодромии асимптотически принимает специфический модельный вид. В итоге возникает несколько разных модельных уравнений, в каждое из которых по-своему входят асимптотические параметры, порожденные исходным асимптотическим параметром е. Каждое из этих уравнений удалось эффективно исследовать за счет "правильного" вхождения в них асимптотических параметров. Для этого использовались как классические идеи и техника, наработанные в спектральной теории почти-периодических уравнений, так и оригинальные идеи. Результаты анализа уравнения монодромии позволили получить информацию как непосредственно о поведении решений исходного семейства уравнений Шредингера, так и о его плотности состояний и показателе Ляпунова.

В седьмой главе, следуя [12], я описываю спектр, формирующийся при воздействии адиабатического возмущения в средней части относительно

длинной зоны периодического оператора Шредингера. Ниже сформулирован основной результат главы.

Пусть J - такой замкнутый отрезок вещественной оси, что для всех Е 6 J отрезок Е — 1У(К) содержится во внутренности п-ой спектральной зоны периодического оператора Нр. Имеет место

Теорема 6. Существуют такие число Т) > 0 и множество D С (0,1), что

mes(Вп(0,е)) = е + о (е"4^ , е -> 0;

для любого достаточно малого s 6 Ю имеется борелевское множество В С J малой меры Лебега, mes (В) = 0(Х"12) mes (J), такое, что J \ В содержится в абсолютно непрерывном спектре семейства уравнений (7); для всех Е 6 J \ В существуют два линейно независимых (блоховских) решения ip±(x,E) уравнения (7), допускающих представление

Мх) = e±ip(E)l Р±(® - ex, Е), (10)

где р - монотонно неубывающая липшицева функция Е £ J, функции Р± отличаются комплексным сопряжением, Р_ = Р+, функция (х, Е) ь-»• Р+(х,(,Е) периодична с периодом 1 по х 6 К и 2-к-периодична по С € К. Она принадлежит Н21ос по х, аналитична по С, в некоторой не зависящей от е окрестности вещественной оси и является липшицевой по Е £ J\B.

При доказательстве этой теоремы выясняется, что в исследуемой области спектрального параметра матрица монодромии экспоненциально близка к постоянной диагональной матрице. Это позволяет эффективно исследовать решения уравнения монодромии, используя конструкцию, основанную на стандартном использовании идей теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (см. краткое содержание 12-ой главы). Для завершения доказательства теоремы я устанавливаю связь между блоховскими решениями уравнений семейства (7) и уравнения монодромии. Для разностных уравнений, связанных монодромизацией, такая связь была обнаружена в [1]. В восьмой главе, следуя [9], я доказываю, что спектр, формирующийся под воздействием адиабатического возмущения на месте относительно небольших спектральных зон периодического оператора Шредингера, является сингулярным. Ниже описывается один из основных результатов главы.

0,-1 - 2*

Рис. 2

Пусть имеется такие замкнутый интервал 3 С 1 и п £ М, что спектральная зона [¿/2г.-ъ Е2п] отделена от остального спектра периодического оператора открытыми лакунами, и что при всех Е £ 3 она содержится во внутренности отрезка Е — Ж(М), а остальной спектр Нр находится вне него.

Пусть IV имеет в точности один максимум и один минимум на периоде [0,2тг). Для определенности будет предполагаться, что максимум расположен в нуле, а минимум - в точке 0 < С* < 27г.

При сформулированных условиях относительно IV и 3 справедлива

Теорема 7. При достаточно малом е отрезок 3 содержит спектр семейства уравнений (7), и этот спектр является сингулярным.

Центральная часть доказательства теоремы 7 - исследование показателя Ляпунова для семейства (7). Напомним, что он измеряет типичную скорость роста (убывания) решений уравнений семейства, а из его положительности на некотором отрезке спектральной оси следует, что спектр на этом отрезке является сингулярным (следствие из теоремы Исии-Пастура-Котани).

Для показателя Ляпунова на 3 получена асимптотическая формула:

Чтобы описать кривые ту рассмотрим множество точек ветвления комплексного импульса. Оно 27г-периодично. При описанном выборе IV и при Е € 3 расположение точек ветвления на отрезке 0 < £ < 27т соответствует Рис. 2. Точки ветвления с= п—1, п, указанные на этом рисунке, удовлетворяют уравнениям Е - И^(^) = Ег Остальные точки ветвления с 0 < 11е( < 2тг расположены вне вещественной оси. Кривые обходят точки ветвления комплексного импульса как показано на Рис. 2. В (11) интегрируются ветви комплексного импульса непрерывные на 7^. При Е € 3 действия Б} вещественны

в(Е) = ~{Бп^(Е) + Бп(Е))+о{ 1), Sj = ilк{C)dt, з = п,п-1.(11)

ъ

Рис. 3

и не обращаются в нуль. Кривые ^ ориентированы так, чтобы были положительны (это определяет однозначно).

Для доказательства (И) показатель Ляпунова для семейства (7) выражается через показатель Ляпунова для уравнения монодромии (для разностных почти-периодических уравнений, связанных монодромизацией, такая связь была обнаружена в [1]). При Е € 7 матрица монодромии асимптотически оказывается тригонометрическим полиномом первого порядка с экспоненциально большими коэффициентами. Это позволяет вычислить асимптотики показателя Ляпунова для уравнения монодромии, используя субгармоничность показателя Ляпунова как в работах Эрмана, Соретса и Спенсера. В девятой главе, следуя [7], я исследую спектр семейства (7), расположенный относительно близко к нижнему краю спектра периодического оператора. Ниже описываются основные результаты.

Рассматривается случай, когда = асоэ^, где а > 0 - константа

связи, а первая лакуна в спектре периодического оператора открыта. Предполагается, что спектральный параметр находится на таком замкнутом интервале <7, что при всех Е £ 3

Е - а < Е\, Ег<Е + а< Е2. (12)

Это означает, что отрезок Е — ТУ (К) содержит нижний край спектра периодического оператора и находится слева от (начала) его первой лакуны

Рассмотрим точки ветвления комплексного импульса. При описанном выборе И' и при Е Е J расположение точек ветвления в полосе 0 < 11е£ < 27Г соответствует Рис. 3. Точки ветвления с = 1,2, указанные на этом рисунке, удовлетворяют уравнениям Е — ЩО) = Еу Остальные точки ветвления в рассматриваемой полосе расположены дальше от вещественной оси.

Рассмотрим гладкие замкнутые кривые jj, j = 1,2,3, обходящие точки ветвления как показано на Рис. 3. На каждой из них фиксируем непрерывную ветвь комплексного импульса. Положим

Ф = о Kd(, Sh = го KdÇ, Sv = г к dÇ. (13)

72 71 7з

При Е € J значения Sh, Sv и Ф вещественны и не равны нулю. Контуры интегрирования ориентируются так, чтобы эти функции принимали на J положительные значения. Введенные таким образом действия Sh, Sv и фазовый интеграл Ф определены однозначно. Они аналитичны в некоторой окрестности J, и на J Ф'{Е) > 0.

На J рассмотрим точки Е® € J,l € Z, удовлетворяющие условию квантования

1ф(£«) =тг/2 + тг/, leZ. (14)

При малых е число таких точек имеет порядок 1/е, а расстояния между соседними точками имеют порядок s.

Теорема 8. При достаточно малых £ расположенный на J спектр семейства (7) содержится в объединении отрезков Ii таких, что отрезок содержится в о (е)-окрестности точки а его длина имеет асимптотику №1 ~ ЩЁЩ (e~Sv(E(i)M£ + e~Sh(-E(l)^e^. Приращение интегрированной плотности состояний семейства (7) на каждом из Ii равно

Отметим, что из утверждения о положительности приращения интегрируемой плотности состояний на 7; вытекает, что отрезок Ii содержит спектр. Пусть AS{E) = SV{E) - Sh{E). Положим

J- = {Е е J : дад < 0} и J+ = {Е е J : ДЗД > 0}.

Природа спектра на J асимптотически описывается следующими теоремами:

Теорема 9. Пусть I - фиксированный замкнутый отрезок, расположенный во внутренности J+. Существуют такие число т/ > 0 и множество В С. (0,1), что (1) при е 0 mes (В П (0, е)) = е + 0(е~^£); (2) при достаточно малых е€В для всех Ii С I mes (// П £ас) = mes/; (1 + о(1)), где £ас - абсолютно непрерывный спектр семейства (7).

Теорема 10. Пусть I - фиксированный замкнутый отрезок, расположенный во внутренности . При достаточно малом е каждый из 1\ С / со-деро/сит только сингулярный спектр.

Для проверки того, что в области (12) действительно возможно сосуществование разных типов спектра, исследовалась зависимость ДБ{Е) = Б^Е) — от константы связи а.

Теорема 11. Существуют такие числа ах > а0 > 0, что в области (12) (1) при а < а0 АБ{Е) > 0; (2) при а > ах АБ(Е) < 0; (3) при каждом ао < а < а\ функция АБ конечное число раз меняет знак.

Таким образом, при каждом фиксированном а^ < а < а\ нули функции Д5 разбивают отрезок (12) на отрезки, на которых асимптотически весь спектр является сингулярным, и отрезки, на которых асимптотически весь спектр является абсолютно непрерывным (для большинства малых е). Известная гипотеза Андерсона предполагает, что для эргодического семейства операторов общего положения имеется дискретный набор точек, разбивающих спектральную ось на отрезки, где спектр абсолютно непрерывен, и отрезки, где он сингулярен. Можно сказать, что описанный выше результат -первый аналитический результат о переходах Андерсона. В десятой главе, следуя [15], я начинаю исследовать спектр, возникающий под действием адиабатического возмущения в относительно небольших лакунах периодического оператора. Ниже кратко описываются основные результаты.

Пусть опять — асов С, где а > 0. Предполагается, что все лакуны в спектре периодического оператора Нр открыты. Будет обсуждаться спектр, раположенный на таком замкнутом отрезке 3, что для всех Е € <7

Е2п-1 < Е-а< Е2„, Е2п+1 < Е + а < Д2п+2,

где п € N - фиксированное число.

В предыдущей главе был рассмотрен случай, когда отрезок Е — И^М) содержит левый конец первой спектральной зоны периодического оператора. Теперь отрезок Е — Ж (К) содержит правый конец гг-ой и левый конец (п + 1)-ой спектральных зон. Так же, как в предыдущей главе действия Бу и и фазовый интеграл Ф были "связаны" с первой спектральной зоной,

теперь для каждого из ] = п, п + 1 с .7-ой спектральной зоной связываются по два действия и Бн^ и по фазовому интегралу Ф^-. Теперь при Е € J выполняются неравенства

Ф'п+1(Е) < 0, Ф'п(Е) > 0. (15)

Ниже в формулы часто входят действие Б^Е) = Зн,п+1{Е) + и ко-

эффициенты туннелирования Е) = ехр(—8а^(Е)/е). а € {«, Н}, 3 6 {п, п + 1}, и 1к{Е) = ехр(-5л(Д)/е).

В дальнейшем будет дополнительно предполагаться, что п-ая и (п + 1)-ая спектральные зоны периодического оператора расположены относительно близко друг к другу и относительно далеко от остального спектра периодического оператора. Более точно, дополнительное условие имеет вид

27г-тт{1тС2п-2(£),1тС2п+з(£)} > таЯ,„+!(£)}, Я € 7.

(16)

В этом условии С,^ - точки ветвления комплексного импульса, расположенные на границе полосы {0 < Ые^ < 7г, 1т ( > 0} и удовлетворяющие уравнению £(С) = Еу Если условие (16) не выполнено, то спектральные свойства семейства (7) определяются другим набором действий (при малых е).

Положим ¿о |тт££7тш{5'/1(Е),5'„,„(Е), 8у,п+1(Е)}. Грубое описание спектра дает

Теорема 12. Фиксируем Е0 € 3. Существует такая окрестность КоСС точки Ео, что при достаточно малом в спектр семейства уравнений (7) на 3 П И) содержится в -окрестности точек двух последовательностей СЛ1У0^ = п,п+1, определяемых "условиями квантования"

^(Я?) = ! + **, *€2,

где Ф^- : Уо С - аналитические функции, вещественные на УоПМ и допускающие при £ —^ 0 равномерные асимптотики Ф^(Е) = Ф¿(Е) + о(е).

Для каждого э — п, п + 1 при достаточно малом е соседние точки последовательности {Е^}1 расположены на расстоянии порядка е.

Уточним расположение спектра в е'^-окрестности одной из точек последовательности {В^}/; описание спектра вблизи точек последовательности {£„'}( аналогично. Ниже точка в окрестности которой исследуется спектр, обозначается через Е(п + 1).

Результаты зависят от расстояния от Е(п + 1) до точек последовательности {4%. Это расстояние может становится малым.и даже обращаться в нуль. Действительно, благодаря (15), при уменьшении е в старшем порядке по е точка Е(тг + 1) и точки последовательности {.Е^}; двигаются в противоположенных направлениях. Двигаясь непрерывно, они систематически встречаются. В этой главе рассматриваются только точки Е(п+1), удовлетворяющие условию dist (Е(п + 1), > 2е~5о/е, где dist (Е, А) обозначает расстояние от точки Е до множества А.

, имеющем длину по-

Е=Е{ п+1)

, где величина An(V)

Е=Е(п+1) "V '

Теорема 13. При достаточно малом е спектр, находящийся в (е Sa!e)-окрестности точки Е(п + 1), содержится на отрезке I(n + 1) с центром в точке Е{п + 1)4- tg (Фп(Е)/е)'

рядка £ (th{E) jcos ($„(£)/£) |-1 + tv,n+1{E)j зависит только от периодического потенциала V и номера п. Приращение интегрируемой плотности состояний семейства (7) на интервале I(n+ 1) равно

Замечание 1. An(V) > 1, а в случае общего положения Л„(У) > 1.

Пусть Е{п) - точка последовательности {E$}i, ближайшая к Е(п + 1). Из формулы для центра I(n + 1) легко видеть, что в случае, когда точка Е(п + 1) достаточно близка к Е(п), центр I(n + 1) смещен относительно точки Е(п + 1) в направлении от Е{п). Это отталкивание усиливается при уменьшении расстояния от Е(п + 1) до Е(п).

Природа спектра на отрезке /(п + 1) определяется аналогично тому, как это делалось в предыдущей главе. Однако, теперь роль величины AS играет выражение

ASn+1(E) = Sv,n+1(E) - Sh(E) -sindist (e, UH^o°}) •

Теорема 14. Ha I{n + 1) показатель Ляпунова допускает равномерную асимптотику

9 = max {-Д5п+1(Я(п + 1)), 0} + о(1).

Z7T

Из теоремы следует, что показатель Ляпунова на отрезке I(n +1) может уменьшиться на величину порядка единицы при его приближении к Е(п). Из теоремы 14 и теоремы Исии-Пастура-Котани вытекает

a.c. sing а-с. sing

(а) Чередование отрезков

sing а,С' а,с- sing

(Ъ) Изменение природы спектра

а.с. а.с.

sing

Рис. 4

Следствие 1. Пусть с > 0. Если е достаточно мало, a ASn+i(E(n +1)) < —с, то отрезок 1{п + 1) содержит только сингулярный спектр.

Абсолютно непрерывный спектр описывает

Теорема 15. Фиксируем с > 0. Существуют такие константа 1] > 0 и множество D С (0,1), что (1) mes (DD (0,е)) — е + О (е-^) при е 0; (2) для достаточно малых е <Е Ю>, при ASn+\{E{n + 1)) > с mes (I(n +1) П Еас) = mes (I(n + 1)) (1 + о(1)), где Еас - абсолютно непрерывный спектр семейства (7).

Очень коротко опишем два новых явления, возможных ввиду двух последних теорем. Напомним, что спектр около точки Е(п) описывается аналогично спектру расположенному около Е(п + 1). Обозначим через 1(п) отрезок, содержащий спектр, находящийся вблизи точки Е(п) (этот отрезок описывается аналогично отрезку 1{п +1)).

Фиксируем достаточно малое с > 0. Пусть е £ D достаточно мало.

Если все пары отрезков типа I(n + 1) и 1(п) находятся на расстоянии порядка eN (где Ne N фиксировано) друг от друга, то природа спектра на них асимптотически определяется знаками величин Sh(E) — SVi„+i(E) и Sh(E)—S„<n(E). Если на J они имеют разные знаки, то возникает чередование отрезков, содержащих спектр разной природы, см. Рис. 4а.

Предположим теперь, что на J обе эти разности положительны, но каждая из них меньше 5о. Тогда, если отрезки 7(n + 1) и 1(п) находятся на расстояния порядка eN друг от друга, то спектр на них сингулярный. Если же отрезки оказываются на расстояния порядка ехр(—¿o/s) ДРУГ от друга, то из-за наличия в формуле для величины ASn+1, определяющей природу спектра на 1{п + 1), слагаемого с логарифмом, асимптотически весь спектр на I(n + 1) (и аналогично на 1{п)) становится абсолютно непрерывным, см. Рис. 4Ь.

В заключение отметим, что интервалы 3, на которых происходят описанные явления, были обнаружены численно для двухзонных потенциалов V. В одиннадцатой главе, следуя [13], я продолжаю исследование, начатое в десятой, и рассматриваю резонансный случай, когда с^ (^Е(п + 1), {.Еп^};) < 2е_<5о/,£. Будет обсуждаться спектр на отрезке Е - объединении е-|5о^-окрест-ностей точек Е(п) и Е(п+ 1).

Резонансный случай особенно богат спектральными эффектами. Поэтому, ниже основные результаты описаны очень коротко.

Спектр опять расположен на двух экспоненциально малых отрезках. Наблюдаемые эффекты соответствуют двум принципам: "при сближении взаимодействующих отрезков спектр на них становиться менее сингулярным" и "заметно отталкиваются друг от друга только те отрезки, на которых имеется абсолютно непрерывный спектр, или, по крайней мере, показатель Ляпунова близок к нулю".

Имеются две величины, определяющие многие свойства спектра: 1 ;

Т = и р = 2 .

Здесь и ниже все коэффициенты туннелирования вычисляются в точке Е = (Е(п) + Е(п+1))/2. Очевидно, р > т. При изучении спектра выделются три (типичных при £ —У 0) режима:

• т»1, и т<1, */Э-С1.

Здесь символ » 1 (соотв. < 1) означает, что рассматриваемая величина экспоненциально велика (соотв. мала) по -£ при е, стремящемся к 0.

Ниже в каждом из трех случаев описываются изменения спектра на Е, происходящие при приближении Е(п) к Е(п+1) от расстояния порядка до нуля (за счет, например, небольшого изменения е). При этом, благодаря экспоненциальной малости Е, коэффициенты туннелирования и константы тир остаются практически неизменными. В частности, мы по-прежнему остаемся в одном из трех выделенных выше случаях.

Предположим, что выполнено неравенство г » 1. В этом случае, для каждого 3 € {п,п+ 1} отрезок 1(з) имеет длину порядка еЬ^, а его центр расположен в точке Е(]). Если Е(п) и Е(п+ 1) еще достаточно далеки друг

Рис. 5: Случай р -С 1

от друга так, что 1{п) и I(n + 1) не пересекаются, каждый из этих отрезков содержит "одинаковое количество" спектра: приращение интегрированной плотности состояний на каждом из отрезков равно е/2я. При сближении Е(п) и Е(п + 1) эти отрезки в некоторый "момент" сливаются в один, и приращение интегрированной плотности состояний на нем равно s/тг. Наконец, на каждом из отрезков 1{п) и 1{п + 1) показатель Ляпунова положителен (его значения имеют порядок единицы), и спектр является сингулярным.

Из сравнения описанных результаты с результатами предыдущей главы видно, что в случае, когда т » 1, "сближение" отрезков 1(п) и I(n + 1) не приводит ни к их отталкиванию, ни к изменению природы спектра на этих отрезках.

В процессе сближения 1{п) и I(n+ 1) наблюдается интересный эффект: при уменьшении расстояния между Е(п) и Е(п + 1) значения показателя Ляпунова на I(n) U 1{п +1), оставаясь положительным, уменьшаются на величину порядка единицы. Уменьшение показателя Ляпунова можно эвристически интерпретировать как "уменьшение сингулярности спектра".

Обратимся к случаю, когда г -С 1. Будем дополнительно предполагать, что A„(V) > 1 (смотри Замечание 1). Тогда, спектр внутри £ всегда оказывается расположен на двух непересекающиеся экспоненциально малых отрезках 1{п) и

1{п + 1), на каждом из которых приращение интегрированной плотности состояний равно е/2тг. Эвристически можно сказать, что имеется "отталкивание содержащих спектр отрезков, не дающее им слиться в один".

Сначала предположим, что р <С 1. "Начальная" геометрия спектра оказывается такой же, как и в случае г > 1: имеются два хорошо разделенных экспоненциально малых отрезка 1(п) и 1{п + 1), При уменьшении расстояния между Е(п) и Е(п+1) эти отрезки сближаются. Когда они оказываются достаточно близкими друг к другу, большая часть спектра на этих отрезках стансзится абсолютно непрерывной (для большинства г).

Отрезки 1{п) и I(n + 1) сближаются до тех пор, пока не оказываются

seteVI-E"»---EM+ *»,»)

щ-r 1 ч -L4

E (»l £(«-4 iüwi iW

(a) |£(n + 1) - £(n)| » et„,„+i(5) (b) |E(n + 1) - E(n)| « rt„,„+I(£)

Рис. 6: Расположение спектра при г<1и(9>1

на расстоянии порядка £-\Дл. При этом размеры отрезков тоже становятся порядка Еу/и,. При дальнейшем сближении Е(п) и Е(п + 1), отрезки 1{п) и 1(п + 1) "останавливаются" и остаются на расстоянии порядка ДРУГ от друга; при этом их размеры и положение практически не меняются (см. Рис. 5). Они начинают расходиться, когда Е(п) и Е(п+1) снова оказываются на расстоянии порядка е-^Дй (поменявшись местами). Отрезок, который "на старте" был близок к Е(п) (соотв., к Е(п +1)) теперь "следует" за Е(п + 1) (соотв., за Е(п)). С точностью до "перемены мест" отрезков, происходит восстановление их исходных свойств.

В итоге, при сближении отрезков большая часть спектра на них становится абсолютно непрерывной (для большинства г), обнаруживается сильное отталкивание отрезков, и они не сливаются в один.

В последнем случае, когда р > 1 и г < 1, наблюдается промежуточное поведение. Отталкивание отрезков оказывается слабее, чем при /) < 1, но лакуна, разделяющая отрезки 1(п) и 1(п + 1) остается открытой. Для упрощения дальнейшей дискуссии предположим, что ¿и,п+1 ¿В)7г. Опять начнем рассмотрение с "момента", когда, Е(п) и Е(п+1) "далеки" друг от друга. Сначала отрезки 1(п) и 1(п +1) сближаются вместе с точками Е[п) и Е(п+1), а расстояние между ними имеет порядок \Е(п) — Е(п+1)\, см. Рис. 6(а). Когда расстояние |Е(п) — Е(п + 1)| становится порядка и меньше, на сосед-

них концах сближающихся отрезков показатель Ляпунова уменыпаеться на величину порядка единицы и становится малым и даже, возможно, обращается в нуль. При — Е(п+ 1)1 порядка лакуна начинает двигаться вместе с Е(п), тогда как Е(п+1) остается почти посередине между дальними концами 1(п) и 1(п+ 1), расстояние между которыми имеет порядок е£„)П+1, Грубо говоря, Е(п) становится центром лакуны, а размер лакуны становится порядка После того, как Е{п) "пройдет" через Е(п+1), происходит

восстановление исходных свойств рассматриваемых отрезков (с точностью до перемены их местами), см. Рис. 6(Ь).

В итоге, 1{п) и 1(п + 1) всегда разделены лакуной. Ее минимальный размер мал по сравнению с длинами отрезков 1(п) и I(n +1). При этом на обоих отрезках показатель Ляпунова остается порядка единицы (положительным) около их наиболее далеких концов, и становится малым (или даже обращается в нуль) у их наиболее близких концов.

Двенадцатая глава посвящена исследованию решений разностных уравнений. Результаты главы систематически используются при анализе уравнения монодромии.

В первом параграфе дано обобщение понятия блоховского решения на случай разностных уравнений с периодическими коэффициентами, рассматриваемых как уравнения на вещественной оси. Сформулирована и доказана теорема о существовании экспоненциально растущих (убывающих) блохов-ских решений. Полученные результаты используются для описания положения спектра и для вычисления приращений плотности состояний. Результаты и конструкции параграфа отражены в работе [1].

Во втором параграфе, следуя [7], я описываю конструкцию ограниченных блоховских решений, основанную на стандартном применении идей теории KAM (впервые они были применены к исследованию почти-периодических уравнений в работе Динабурга и Синая). Результаты параграфа используются для построения обобщенных собственных функций абсолютно непрерывного спектра семейства (7).

Последний параграф посвящен выводу оценок снизу для показателя Ляпунова. Эти оценки используются для получения асимптотик показателя Ляпунова исходного семейства уравнений и для доказательства сингулярности его спектра. Они были получены в работе [7]; их вывод основан на идеях Эрмана, развитых Соретсом и Спенсером.

Литература

[1] В. С. Буслаев, А. А. Федотов. Елоховские решения для разностных уравнений. Алгебра и анализ, 7(4):74-122, 1994.

[2] А. А. Федотов Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера Записки научн. семинаров ЛОМИ, 379:142-178, 2010.

[3] А. А. Федотов Адиабатические почти-периодические операторы Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:103-141, 2010.

[4] A. Fedotov and F. Klopp. Coexistence of different spectral types for almost periodic Schrodinger equations in dimension one. Operator Theory: Advances and Applications, 108:243-252, 1999.

[5] A. Fedotov and F. Klopp. Transitions d'Anderson pour des opérateurs de Schrodinger quasi-périodiques en dimension 1. Equations aux Dérivées Partielles, IV:1-13, École Polytech., Palaiseau, 1999.

[6] A. Fedotov and F. Klopp. A complex WKB method for adiabatic problems. Asymptotic analysis, 27:219-264, 2001.

[7] A. Fedotov and F. Klopp. Anderson transitions for a family of almost periodic Schrodinger equations in the adiabatic case. Communications in Mathematical Physics, 227:1-92, 2002.

[8] A.Fedotov and F.Klopp. The spectral theory of the adiabatic quasi-periodic operators on the real line. Markov Processes and Related Fields, 9(4):579-615, 2004.

[9] A. Fedotov and F. Klopp. On the singular spectrum of quasi-periodic Schrodinger operator in adiabatic limit. Annales Henri Poincaré, 5:929-978, 2004.

[10] A. Fedotov and F. Klopp. Geometric tools of the adiabatic complex WKB method. Asymptotic analysis, 39(3-4):309-357, 2004.

[11] A. Fedotov and F. Klopp. Opérateurs de Schrôdinger quasi-périodiques adiabatiques: interactions entre les bandes spectrales d'un opérateur périodique. Séminaire Equations aux Dérivées Partielles, 2003-2004, XVT.1-22, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 2004.

[12] A. Fedotov and F. Klopp. On the absolutely continuous spectrum of an one-dimensional quasi-periodic Schrôdinger operator in adiabatic limit. Transactions of AMS, 357:4481-4516, 2005.

[13] A. Fedotov and F. Klopp. Strong resonant tunneling, level repulsion and spectral type for one-dimensional adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, ^e série, 38(6):839-950, 2005.

[14] A. Fedotov and F. Klopp. Level Repulsion and Spectral Type for One-Dimensional Adiabatic Quasi-Periodic Schrôdinger Operators. In: Mathematical Physics of Quantum Mechanics. Selected and Refereed Lectures. Lecture Notes in Physics, Springer Verlag, Berlin, 690:383-402, 2006.

[15] A. Fedotov and F. Klopp. Weakly resonant tunneling interactions for adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Mémoires de la S.M.F., 104:1-108, 2006.

Подписано в печать 23.09.2011. Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис». Печать ризографическая. Заказ № 1/0923. П. л. 1.9. Уч.-изд. л. 1.9. Тираж 100 экз.

ЗАО «КопиСервис» Адрес: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, д. 3. тел.: (812) 327 5098

Глава 1. Введение

1.1 Задачи, исследуемые в диссертационной работе.

1.2 Комплексный метод для адиабатических возмущений периодических уравнений

1.3 Почти-периодический оператор

Глава 2. Периодический оператор Шредингера

2.1 Известные факты

2.2 Мероморфная функция со и мероморфный дифференциал О

Глава 3. Основная теорема комплексного метода ВКБ

3.1 Основные объекты комплексного метода ВКБ.

3.2 Основная теорема.

3.3 Доказательство Теоремы 3.2.

Глава 4. Построение канонических линий и канонических областей

4.1 Линии Стокса и линии стоксова типа.

4.2 Конструкции "адиабатического" комплексного метода ВКБ для

W(C)=c*cosC.

4.3 Построение канонических кривых.

4.4 Построение канонических областей

Глава 5. Принципы продолжения

5.1 Основные принципы "продолжения" асимптотик

5.2 Пример построения области продолжения

5.3 Доказательство Леммы о прямоугольнике

5.4 Доказательство оценок "убывающих" решений.

5.5 Доказательство Принципа примыкающей области.

5.6 Доказательство Леммы о трапеции

5.7 Доказательство Леммы о линии Стокса

Глава 6. Очень краткое введение в теорию почти-периодических операторов

6.1 Сведения из спектральной теории эргодических семейств операторов

6.2 Результаты, относящиеся к теории монодромизации

Глава 7. Сохранение абсолютно непрерывного спектра в середине спектральной зоны

7.1 Основные результаты.

7.2 Асимптотики матрицы монодромии.

7.3 Блоховские решения

7.4 Доказательство Теоремы 7.1.1.

Глава 8. Разрушение абсолютно непрерывного спектра на относительно небольших спектральных зонах

8.1 Основные результаты.

8.2 Изоэнергетическая кривая

8.3 Согласованный базис

8.4 Общие асимптотические формулы для коэффициентов матрицы монодромии

8.5 Вычисление коэффициентов матрицы монодромии

8.6 Коэффициенты матрицы монодромии и изоэнергетическая кривая

8.7 Асимптотики а и 6 при m =

8.8 Асимптотики показателя Ляпунова.

8.9 Простое наблюдение о спектре (1.1.1).

Глава 9. Переходы Андерсона на краях спектральных зон

9.1 Основные результаты.

9.2 Согласованный базис

9.3 Вычисление матрицы монодромии

9.4 Доказательство спектральных результатов.

9.5 Фазовая диаграмма.

Глава 10. Взаимодействие соседних зон

10.1 Основные результаты

10.2 Грубое описание спектра

10.3 Доказательство спектральных результатов

10.4 Вычисление матрицы монодромии по матрицам перехода

10.5 Вычисление матриц перехода.

10.6 Комбинации коэффициентов Фурье

Глава 11. Взаимодействие соседних зон: резонансный случай 288 11.1 Результаты

11.2 Асимптотики матрицы монодромии

11.3 Случай т » 1.

11.4 Случай малого т.

11.5 Возможные спектральные сценарии при малом т

Глава 12. Решения разностных уравнений

12.1 Монотонные блоховские решения

12.2 Конструкция из KAM теории.

12.3 Показатель Ляпунова: оценка снизу.

1.1 Задачи, исследуемые в диссертационной работе

Исследование, описанное в этой работе, началось с попытки изучения спектра одномерного почти-периодического оператора Шредингера с двумя периодами, один из которых много больше второго. Это исследование' потребовало развития нового асимптотического подхода, имеющего независимую ценность. Он сам существенно развивался в процессе работы над почти-периодической задачей. Анализ почти-периодического оператора же позволил обнаружить много интересных спектральных эффектов, одни из которых на уровне гипотез предсказывались физиками, а другие сами позволили сформулировать некоторые новые принципы и гипотезы. .

1.1.1 Почти-периодическая модель. Мы изучаем оператор д? н = + У(х -г) + (1.1.1) где

Н1) У : Ж —> Ж - локально интегрируемая с квадратом 1-периодическая функция,

У{х +1) = У{х), же», , (1.1.2)

Н2) 0 < е < 27Г - частота - константа такая, что отношение 27т/е иррационально,

НЗ) 0 < х < 27г - эргодический параметр,

Н4) Ш - функция, аналитическая в некоторой окрестности вещественной оси,"принимающая вещественные значения на вещественной оси, периодическая с периодом 2-7Г.

Указанный выбор периодов У и \У окажется удобным в дальнейшем.

Так как отношение 2-к/е иррационально, то функция х У{х — г) + - потенциал в операторе Шредингера - почти-периодическая, и оператор называют почти-периодическим оператором.

1 до наших работ рассматривались лшпь аналитические потенциалы; для простоты изложения мы даже существенно завысили необходимое нам требование на гладкость V; многие наши результаты сохраняются даже в случаях, когда V - обобщенная функция из подходящего класса

В этой работе мы будем изучать адиабатический случай, когда число е мало, т.е., один из периодов потенциала много больше другого.

Обычно изучают не индивидуальные операторы, а все семейство операторов (1.1.1), "нумеруемых" параметром При этом частота считается фиксированной. Краткий обзор свойств семейств почти-периодических операторов читатель найдет в главе 6. Здесь мы отметим лишь, что для почти всех z спектр, сингулярный спектр и абсолютно непрерывный спектр оператора семейства (1.1.1) совпадают с некоторыми не зависящими от £ множествами Е, Es и £ас соответственно, см. [79]. Ниже, говоря о разных типах спектров (семейства операторов (1.1.1)), мы имеем в виду эти множества.

Исследование почти-периодических операторов Шредингера - одно из наиболее актуальных направлений современной математической физики. Во многом оно было мотивировано задачами физики твердого тела. Спектральные свойства почти-периодических операторов оказались очень необычными и разнообразными, а их анализ привел к богатым математическим конструкциям, см., например, книги [79] и [26]. Исследования почти-периодических операторов породили большое количество работ. Среди авторов - А. Avila, Y. Avron, J. Bellissard, J. Bourgain, В. Буслаев, М. Wilkinson, D. Dämanik,

E. Динабург, H. Eliasson, А. Ф., В. Helffer, М. Hermann, С. Житомирская,

F. Klopp, R. Krikorian, Y. Last, Л.А.Пастур, J. Puig, В. Simon, Я. Синай, S. Sorets, Т. Spencer, В. Чулаевский, J. Sjöstrand, M. Шубин и многие многие другие. Подробные списки литературы могут быть найдены в [26, 31, 57, 58, 66, 79, 80]. Несмотря на большое число работ, законченная теория не построена, и принципиальное значение имеет исследование содержательных моделей с более или менее общими свойствами с тем, чтобы за счет анализа сложных конкретных задач выявить общие свойства почти-периодических операторов.

Отметим, что ранее более или менее полный анализ удавалось провести лишь для нескольких одномерных почти-периодических разностных операторов Шредингера с "простыми" потенциалами (выражающимися через cos, tg или простые кусочно постоянные функции). Что касается одномерных дифференциальных операторов Шредингера, то в большинстве работ рассматривалось семейство операторов с потенциалом вида х н» Лр(их -+- 9), где р -аналитическая функция на тг-мерном вещественном торе Тп, в G Тп - эрго-дический параметр, "нумерующий" уравнения семейства, ш е Т" - фиксированный вектор, компоненты которого - несоизмеримые частоты, а А > 0 -константа связи. Систематически исследовались два случая: случай большой константы связи и случай, когда либо константа связи мала, либо исследуемые значения спектрального параметра достаточно велики.

В первом случае доказывалось, что около нижнего края спектра имеется сингулярный спектр, см., напр., [85] и [49]. В [49] для одной из моделей было доказано, что для "сильно" несоизмеримых частот спектр около своего нижнего края оказывается точечным (без изолированных точек) с экспоненциально убывающими собственными функциями.

Во втором случае было доказано, что спектр является абсолютно непрерывным (для типичных с топологической точки зрения потенциалов спектр канторов). Отметим, что исследование этого случая было начато пионерской работой [27], а наиболее полные результаты были получены в [29]. При этом анализ был основан на методах теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM теория).

Анализ описанного выше семейства адиабатических почти-периодических операторов (1.1.1) - новое оригинальное направление исследований, начатое в наших работах. Его можно рассматривать как заметный шаг в сторону исследования почти-периодических операторов с потенциалами общего вида. В основном мы концентрируемся на изучении природы спектра. Исследованию спектра посвящена вторая часть диссертационной работы. Основные спектральные результаты коротко описаны ниже в параграфе 1.3 и полностью сформулированы во введениях к главам 7 —11. Здесь мы. отметим только, что исследуется область не слишком больших значений спектрального параметра. Обсуждается спектр, расположенный в областях четырех типов. Эти области естественно описываются в терминах спектральных зон 2 и лакун невозмущенного периодического оператора — + V(x). Грубо говоря, это - окрестности относительно небольших спектральных зон (или последовательностей относительно небольших зон, разделенных относительно короткими лакунами), средние части относительно длинных спектральных зон, области, содержащие края таких зон, и, наконец, средние части не слишком длинных лакун, разделяющих относительно длинные спектральные зоны. Для каждой из этих областей описаны асимптотические свойства спектра и вскрыты асимптотические механизмы его формирования. Заметим, что обнаруженные абсолютно непрерывный и сингулярный спектры родственны абсолютно непрерывному и сингулярному спектрам, возникающим в упомянутых задачах с большой и малой константами связи.

Центральными орудиями нашего анализа являются матрица монодро-лши и порожденное ей почти-периодическое разностное уравнение - уравнение монодромии. Впервые в теории почти-периодических операторов объекты такого типа возникли в рамках метода монодромизации - оригинального перенормировочного подхода, развитого для исследования спектральных свойств разностных почти-периодических уравнений. Они были определены и изучались в работах [17], [18], [20], [21], [22], [23], [24]. Мы впервые использовали идеи метода монодромизации для исследования дифференциальных почти-периодических уравнений. При этом естественно произошло развитие этих общих идей.

Схема нашего анализа состояла в том, чтобы, изучив локальные асимптотики решений почти-периодического уравнения Шредингера (с помощью развитого нами нового асимптотического подхода), выяснить асимптотическую функциональную структуру матрицы монодромии, а затем, исследовать порожденное этой матрицей разностное почти-периодическое уравнение. Оказалось, что исследуемая часть спектральной оси (не слишком большие значения спектрального параметра) естественно разбивается на области нескольких типов, в каждой из которых уравнение монодромии асимптотически принимает специфический модельный вид. В итоге возникает несколько разных модельных уравнений, в каждое из которых по-своему входят асимптотические параметры, порожденные исходным асимптотическим параметром е. Каждое из этих уравнений удалось эффективно исследовать за счет "правильного" вхождения в них асимптотических параметров. Для этого использовались как классические идеи и техника, наработанные в спектральной теории почти-периодических уравнений, так и оригинальные идеи, которые можно отнести к теории разностных уравнений на вещественной оси. Результаты анализа уравнения монодромии позволили получить информацию как непосредственно о поведении решений исходного семейства уравнений Шредингера, так и о плотности состояний и показателе Ляпунова для эргодического семейства операторов Шредингера (1.1.1). Это и позволило получить наши спектральные результаты.

Результаты наших исследований спектральных свойств и их доказательства отражены в работах [34], [39], [41], [44], [45], [46], [47], [21]. Примыкающие результаты и дополнительные обсуждения можно найти в [35], [36], [40], [43].

1.1.2 Адиабатический комплексный метод ВКБ. Решение заниматься анализом семейства операторов (1.1.1) возникло под влиянием докладов и работ В.С.Буслаева (см., например, [8] - [15]), посвященных асимптотикам решений периодического уравнения Шредингера с адиабатическим возмущением: ■ ( + Ш<<£Х) ^ = Х Е здесь Е - спектральный параметр, V - периодическая функция, а е - малый параметр. Функция V/ не предполагается периодической.

Анализ адиабатически возмущенных уравнений - классическая тема математической физики. Уравнение вида (1.1.3) возникает, например, в задачах квантовой физики твердого тела как модель для блоховского электрона в кристалле, помещенном во внешнее электрическое поле, см., напр., [10]; в задачах астрофизики такие уравнения моделируют периодические движения, возмущенные присутствием массивных объектов [2]: Во всех таких задачах, внешнее возмущение описывается слагаемым, меняющимся очень регулярно и медленно по сравнению с невозмущенной периодической системой.

Опишем одно из идеологических наблюдений; приведенных в [8]. Для этого рассмотрим уравнение (1.1.3) с V = 0. После замены переменной х — £ = ех оно преобразуется к виду ИЧО ф = Еф. £ € М. (1.1.4)

Это - стандартный вид уравнения с квазиклассическим асимптотическим параметром е, см., напр., [68]. Асимптотики его решений можно контролировать с помощью классического метода В КБ для обыкновенных дифференциальных уравнений, см., напр., [32]. Можно сказать, что этот метод позволяет описать поведение решений уравнения, возникающего при добавлении адиа2 батического возмущения \У (еж) к оператору —^т.

Метод В.С.Буслаева является глубоким обобщением классического метода ВКБ: он позволяет получать асимптотики решений уравнения, возникающего при добавлении адиабатического возмущения ]У(ех) к оператору »2

Шредингера —¡£г+У(х).

Фактически, метод В.С.Буслаева является обобщением "вещественного" метода ВКБ, нацеленного на изучение асимптотик решений только на вещественной оси, см., напр., [32]. Обладая мощностью классического "вещественного" метода ВКБ, этот метод имеет и аналогичные ограничения. За границами возможностей этих методов оказывается описание эффектов, порожденных туннелированием, связанным с комплексными точками поворота. Такие эффекты возникают, например, при исследовании надбарьерного туннелирования (невозможно вычислить экспоненциально малый коэффициент отражения) и при исследовании внешних периодических электрических полей W (нельзя вычислить асимптотики длин спектральных лакун, экспоненциально быстро стремящихся к нулю при £ —> 0).

Для уравнения (1.1.4) такие задачи могут быть решены с помощью комплексного метода ВКБ, см., напр., [32]. Идея традиционного комплексного метода ВКБ состоит в изучении решений (1.1.4) на комплексной плоскости переменной Конечно, при этом предполагается, что W - аналитическая функция. За счет выхода в комплексную плоскость и удается исследовать экспоненциально малые величины, неконтролируемые классическим "вещественным" методом ВКБ. Часто с помощью комплексного метода ВКБ проще получить результаты "вещественного" метода. Так, можно избежать анализа относительно сложного поведения решений около вещественных точек поворота (если это не требуется постановкой задачи), обходя их в комплексной плоскости.

В' диссертации представлен оригинальный асимптотический метод, являющийся нетривиальным обобщением комплексного-метода ВКБ и нацеленный на исследование эффектов адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера. Этот метод предложен в работе [38]. Он развивался по мере исследования операторов (1.1.1) в работах [39], [41] и [44]'. Наконец, в работе [42] предложен подход для преодоления существенных технических "геометрических" сложностей, возникающих при практическом использовании этого метода. Идеи, основные инструменты и-техника применения метода систематизированы в обзоре [34].

Хотя адиабатический комплексный метод ВКБ был развит для исследования почти-периодического оператора Шредингера (1.1.1), он готов для использования (и начал успешно использоваться в работах [63], [71], [72], [74]) для решения других типов задач.

Адиабатическому комплексному методу ВКБ посвящена первая часть диссертации. В следующем параграфе мы коротко описываем его основные конструкции, а главы 3- 5 посвящены подробному их описанию и обоснованиям.

1. A. Avila and R. Krikorian. Reductibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrodinger eocycles. Annals of Mathematics, 164(3):911-940, 2006.

2. J. Avron and B. Simon. Almost periodic Hill's equation and the rings of Saturn. Phys. Rev. Lett., 46(17):1166-1168, 1981.

3. J. Avron and B. Simon. Almost periodic Schrodinger operators, II. The integrated density of states. Duke Mathematical Journal, 50:369-391, 1983.

4. J. Bellissard, R. Lima, and D. Testard. Metal-insulator transition for the Almost Mathieu model. Communications in Mathematical Physics. 88:207-234, 1983.

5. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд. Лань, Ст.-Петербург, 2010.

6. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Наука, Москва, 1974.

7. P. Bougerol and J. Lacroix. Products of random matrices with applications to Schrodinger operators. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 1985.

8. B.C. Буслаев. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. Теор. Мат. Физ., 58(2):233-243, 1984.

9. B.C. Буслаев и Л.А. Дмитриева. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. II. Теор.Мат. Физ., 73(3):430-442, 1987.

10. B.C. Буслаев. Квазиклассическое приближение для уравнений с периодическими коэффициентами. Успехи Мат.Наук, 42(6):77-98, 1987.

11. B.C. Буслаев и Л.А. Дмитриева. Елоховский электрон во внешнем поле. Алгебра и Анализ 1(1):1-29, 1989.

12. V.S. Buslaev. Spectral properties of the operators Нф = -фхх -f- р{х)ф + у(ех)ф,р is periodic. Oper. Theory Adv. Appl, 46: 85-107, 1990.

13. V. Buslaev. On spectral properties of adiabatically perturbed Scrödinger operators with periodic potentials. In: Equations aux Derivees Partielles, 1990-1991, XXIII:1-15, Ecole Polytech., Palaiseau, 1991.

14. V. Buslaev and A. Grigis. Imaginary parts of Stark-Wannier resonances J. Math. Phys., 39(5):2520-2550, 1998.

15. B.C. Буслаев, M.B. Буслаева- А. Грижис. Асимптотики коэффициента отражения. Алгебра и Анализ, 16(3):1-23, 2004.

16. V. Buslaev and A. Fedotov. The complex WKB method for Harper's equation. Reports of Mittag-Leffler Institute, Stockholm, 11:1-68, 1993.

17. V. Buslaev and A. Fedotov. On a class of martices related to Harper's equation. Reports of Mittag-Leffler institute, Stockholm, 19:1-37, 1993.

18. V. Buslaev. and A. Fedotov. The monodromization and Harper, equation. Séminaires Équations aux Dérivées Partielles, 1993-1994, XXI: 1-23, École Polytechnique, Palaiseau, 1994.

19. В. С. Буслаев, A. A. Федотов. Блоховские решения для разностных уравнений. Алгебра и анализ, 7(4):74-122, 1994.

20. В. С. Буслаев, А. А. Федотов. Уравнение Харпера: монодромизация без квазиклассики. Алгебра и анализ, 8(2):65-97, 1996.

21. V. Buslaev and A. Fedotov. Spectre d'une matrice de monodromie pour l'équation de Harper. Colloque EDP Saint Jean de Mont, Equations aux dérivées partielles, IV:1-11, Ecole Polytechique, Paris, 1996.

22. V. Buslaev, A. Fedotov. On the difference equations with periodic coefficients. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 5(6):1105-1168, 2001.

23. R. Carmona and J. Lacroix. Spectral Theory of Random Schröding er Operators. Birkhäuser, Basel, 1990.

24. X.JI. Цикон, Р.Г. Фрёзе, Ш. Кирш, Б. Саймон. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. Мир, Москва, 1990.

25. Е. И. Динабург, Я. Г. Синай. Об одномерном уравнении Шрёдингера с квазипериодическим потенциалом. Функц. анализ и его прил., 9(4):8-21, 1975.

26. М. Eastham. The spectral theory of periodic differential operators. Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973.

27. L.H. Eliasson. Floquet solutions for the 1-dimensional quasi-periodic Schrodinger equation. Communications in Mathematical Physics, 146:447-482, 1992.

28. L.H. Eliasson. Discrete one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators with pure point spectrum. Acta Math., 179(2):153-196, 1997.

29. L.H. Eliasson. Reducibility and point spectrum for linear quasi-periodic skew products. In: Proceedings of the ICM 1998, Berlin, 11:779-787, 1998.

30. M.B. Федорюк. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Либроком, Москва, 2009.

31. А. А. Федотов Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:142-178, 2010.

32. А. А. Федотов Адиабатические почти-периодические операторы Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:103-141, 2010.

33. A. Fedotov and F. Klopp. The monodromy matrix for a family of almost periodic equations in the adiabatic case. Preprints of Fields Institute, Toronto, 1997.

34. A. Fedotov and F. Klopp. Transitions d'Anderson pour des opérateurs de Schrôdinger quasi-périodiques en dimension 1. Equations aux Dérivées Partielles, IV:1-13, École Polytech., Palaiseau, 1999.

35. A. Fedotov and F. Klopp. A complex WKB method for adiabatic problems. Asymptotic analysis, 27:219-264, 2001.

36. A. Fedotov and F. Klopp. Anderson transitions for a family of almost periodic Schrôdinger equations in the adiabatic case. Communications in Mathematical Physics, 227:1-92, 2002.

37. A.Fedotov and F.Klopp. The spectral theory of the adiabatic quasi-periodic operators on the real line. Markov Processes and Related Fields, 9(4):579-615, 2004.

38. A. Fedotov and F. Klopp. On the singular spectrum of quasi-periodic Schrôdinger operator in adiabatic limit. Annales Henri Poincaré, 5:929-978, 2004.

39. A. Fedotov and F. Klopp. Geometric tools of the adiabatic complex WKB method. Asymptotic analysis, 39(3-4):309-357, 2004.

40. A. Fedotov and F. Klopp. On the absolutely continuous spectrum of an one-dimensional quasi-periodic Schrôdinger operator in adiabatic limit. Transactions of AMS, 357:4481-4516, 2005.

41. A. Fedotov and F. Klopp. Strong resonant tunneling, level repulsion and spectral type for one-dimensional adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Annales Scientifiques de VEcole Normale Supérieure, 4e série, 38(6):889-950, 2005.

42. A. Fedotov and F. Klopp. Level Repulsion and Spectral Type for One-Dimensional Adiabatic Quasi-Periodic Schrôdinger Operators. In: Mathematical Physics of Quantum Mechanics. Lecture Notes in Physics, Springer Verlag, Berlin, 690:383-402, 2006.

43. A. Fedotov and F. Klopp. Weakly resonant tunneling interactions for adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Mémoires de la S.M.F., 104:1-108, 2006.

44. N. E. Firsova. On the global quasimomentum in solid state physics. In: Mathematical methods in physics (Londrina, 1999), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 98-141, 2000.

45. J. Frôhlich, T. Spencer, and P. Wittwer. Localization for a class of one dimensional quasi-periodic Schrôdinger operators. Communications in Mathematical Physics, 132:5-25, 1990.

46. D. Gilbert and D. Pearson. On subordinacy and analysis of the spectrum of one-dimensional Schrôdinger operators. Journal of Mathematical Analysis and its Applications, 128:30-56, 1987.

47. E. M. Harrell. Double wells. Comm. Math. Phys., 75(3):239-261, 1980.

48. B. Helffer and J. Sjôstrand. Multiple wells in the semi-classical limit I. Communications in Partial Differential Equations, 9:337-408, 1984.

49. B. Helffer, P. Kerdelhué, and J. Sjôstrand. Le papillon de Hofstadter revisité. Mém. Soc. Math. France (N.S.), (43):l-87, 1990.

50. Michael-R. Herman. Une méthode pour minorer les exposants de Lyapounov et quelques exemples montrant le caractère local d'un théorème d'Arnol'd et de Moser sur le tore de dimension 2. Comment. Math. Helv58(3):453-502, 1983.

51. H. Hiramoto and M. Kohmoto. Electronic spectral and wavefunction properties of one-dimensional quasi-periodic systems: a scaling approach. International Journal of Modern Physics В, 164(3-4):281-320, 1992.

52. A.P. Итс, В.Б. Матвеев. Об операторах Хилла с конечным числом лакун. Фупщ. анализ и его прил., 9(1):69-70, 1975.

53. Т. Janssen. Aperiodic Schrôdinger operators. In: The Mathematics of LongRange Aperiodic Order, editor: R. Moody, Kluwer, 269-306, 1997.

54. S. Jitomirskaya. Almost everything about the almost Mathieu operator. II. In: Xlth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994), Internat. Press, Cambridge, 373-382, 1995.

55. S. Ya. Jitomirskaya. Metal-insulator transition for the almost Mathieu operator. Ann. of Math. (2), 150(3):1159-1175, 1999.

56. S. Ya. Jitomirskaya and Yoram Last. Power law subordinacy and singular spectra. II. Line operators. Comm. Math. Phys., 211(3):643-658, 2000.

57. P. Kargaev and E. Korotyaev. Effective masses and conformai mappings. Communications in Mathematical Physics, 169:597-625, 1995.

58. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. Гос. изд-во физ.-мат. лит.-ры, 1960.

59. F. Klopp and M. Marx. The width of resonances for slowly varying perturbations of one-dimensional periodic Schrôdinger operators. In: Séminaire Équations aux dérivées partielles (2005-2006), Ecole Polytechnique, 2006.

60. Э.А. Коддингтон, H. Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство иностранной литературы, Москва, 1958.

61. U. Krengel. Ergodic theorems. Berlin, New-York, de Gruyter, 1985.

62. В.П. Маслов, M.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Наука, Москва, 1976.

63. В.П. Маслов. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах. Успехи мат. паук, 38(6):3-36, 1983.

64. В. А. Марченко, И. В. Островский. Характеристика спектра оператора Хилла. Матем. сб, 97(4):540-606, 1975.

65. M. Marx. Etude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrôdinger périodique. PhD thesis, Université Paris 13, Villetaneuse, 2004.

66. M. Marx. On the eigenvalues for slowly varying perturbations of a periodic Schrôdinger operator. Journal Asymptotic Analysis, 48(4):295-357, 2006.

67. M. Marx and H. Najar. On the singular spectrum for adiabatic quasi-periodic Schrodinger Operators. Advances in Mathematical Physics, accepted 28 February 2010, 30 pages.

68. H. McKean and P. van Moerbeke. The spectrum of Hill's equation. Inventiones Mathematicae, 30:217-274, 1975.

69. H. P. McKean and E. Trubowitz. Hill's surfaces and their theta functions. Bull. Amer. Math. Soc., 84(6):1042-1085, 1978.

70. Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. Наука, Москва, 1968.

71. А. Найфэ. Методы возмущений. Мир, Москва, 1976.

72. L. Pastur and A. Figotin. Spectra of Random and Almost-Periodic Operators. Springer Verlag, Berlin, 1992.

73. Joachim Puig. Reducibihty of quasi-periodic skew products and the spectrum of Schrodinger operators. PhD thesis, University of Barcelona, Barcelona, Spain, 2004і (http://www.maia.ub.es/dsg/2004/puig0402.pdf).

74. M. Рид, Б. Саймон Методы современной математической физики. Том I: Функциональный анализ. Мир, Москва, 1977.

75. Y. Shibuya. Global theory of second order linear ordinary differential equations^ with a polynomial coefficient. North-Holland, Amsterdam, 1975.

76. B. Simon. Almost periodic Schrodinger operators: a review. Advances in Applied Mathematics, 3:463-490, 1982.

77. B. Simon. Instantons, double wells and large deviations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 8(2):323-326, 1983.

78. E. Sorets and T. Spencer. Positive Lyapunov exponents for Schrodinger operators with quasi-periodic potentials. Comm. Math. Phys., 142(3):543-566, 1991.

79. Э.Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть II. М., Издательство иностранной литературы, 1961.

80. М. Wilkinson Critical properties of electron eigenstates in incommensurate systems. Proc. Royal Society of London. A, 391:305-350, 1984

81. M. Wilkinson. Tunnelling between tori in phase space. Phys. D, 21(2-3):341.354, 1986.