Koмyтaтивныe свойства сингулярно возмущенных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах ручопису

ДУДКІН Микола Євгенович

Комутативні властивості сингулярно обурених операторів

01.01.01 — математичний аналіо

Автореферат

дисертації на одобуття наукового ступени кандидата фіпико-матсматнчнич наук

КИЇВ — 1995

Дисертацією є рукопис Робота виконана в Інституті математики НАїГУкраїїщ

Науковий керівник:

професор, доктор фізпко-математпчнвх наук КОШМАНЕНКО В. Д.

Офіційні опоненти: •

доктор фігщко-математичнпх наук

кандидат фізико-матсматппнпх наук КАШПІРОВСЬКИЙ О. І.

Провідна оргаиіоація:

Інститут теоретичної фіаикп НАН України м. Київ •

Захист відбудеться . ^ г/г*7’1995 р. о годині на аа-

гідішні спсцідлітовпНої ради Д 01.6С.01 при Інституті математики НАН України па адресою: 252001 Кяїп-4, МСП, пул. Терешенківська, 3.

'•З дисертацією можна о-нтйомитпся в бібліотеці інституту •

Автореферат розіслано 1995 р.

СКРИПНИК М. Л.,

Вчений секретар

спепііиігюваної ради

доктор фіапко-матемптп'їішх наук

ГУСАК Д. В.

СЛГАЛЬНЛ "ЛГАКТЕРІЇІ-

Актуальність темп. Дана роботи належить до одного з актуальних напрямків сучасного функціонального аналізу - теорії обурень. Перші результати в цій області були одержані на початку нашого століття такими видатними дослідникам!: як Релей Л., Шредінгер Е. Трохи пінніше в цій області працювали Рел-ліл ііішіі'іаі. ІС.Г» «* імиии ««»«• с »*««.-

довою частішою квантової фізики. Значінні внесок в теорію обурень зробили Крейн М.Г., Хіллс Е., Філіпс Р.С. Протягом шіст-де< ятих та сімдесятих років багато результатів в теорії збурень одержано в рамках квантової теорії поля. Зокрема в теорії обурень працювали такі математики як Като Т., Рід М., Саймон Б., Фаріс В., Альбеверіо С.

Дана робота відноситься до області, що носить напну теорії і :ім-гулярннх пбурень. V широкому сенсі під цим розуміється деяка теорія, що вивчає потенціали, які неможливо розглядати як оператори. Найбільш відомим прикладом такої ситуації е оператор Лапласа — Д із потенціалом, заданим набором 6-функиін Дірака, зосереджених в точках у} множини У:

-Д„,у := -Д + £с*Ая

де о; коефіцієнти зв'язку. Такого сорту збурення ІШПІІПИкПІ.г я сингулярними (Точне означення сингулярно обуреного оператора наведено нижче.) Спочатку цей розділ теорії обурень роовипат я в рамках теорії апроксимації, тобто будувались обіжні в пенному

сенсі ПОСЛІДОВНОСТІ СЯМОСПрЯЖеНИХ операторів. ЯКІ ДО’ІП'VIII Ш ні сля виконання процедури перенормупаїшя враховувані < нні у/іярні збурення.

Ппхідноіо І ОЧКОЮ « УЧасНОГО ПІДХОДУ теорії ( ингу.іирних :*>уріж.‘>

стали роботи шістдесятих років (Берегина Ф.А.. Фадеева Л.Д., Мінлоса Р.А.), які грунтуються на методі самоспряжсннх розширень симетричних операторів. Після иііх робіт з'явилась велика кількість робіт, присвячених цій тематиці. До числа математиків, що займалися цими питаннями, належать також Адамян В.М., Дем-ков Ю.Н., Гестезі Ф., Загребнов В.А., Карвовський В., Карпе-шина Ю.Е., Кочубей А.Н., Куперин Ю.А., Найдхард X., Павлов Б.С., Пастур Л.А., Хьоег-Крон Р., Хольдсн X., Черемшанцев С.Е., Чуєшов І. та багато інших. Побудова сингулярно обурених операторів за допомогою методу самоспряжених розширень симетричних операторів в найзагальнішому вигляді розвинена і детально досліджена в роботах Кошманенка В.Д.

Мета роботи. Основною метою роботи е знаходження умов комутативності сингулярно обуреного оператора із заданим оператором в припущенні, що останній вже комутує з незбуренгш оператором. При цьому можливі різні випадки, а саме, коли задании оператор є унітарним, самоспряжешім (обмеженим або необмеженим), або, навіть, коли він також сингулярно збурюється.

На основі дослідження умов комутативності потрібно параметри-зувати множину усіх сингулярно збурених операторів, які припускають перестановку з фіксованим заданим оператором. Природно цю параметризацію задавати в термінах сингулярних збурень. Результати абстрактних досліджень слід використати для з’ясування З мов, коли оператор Лапласа з сингулярним <5-потснціалом кому-тус з оператором симстрпзаціі в просторі функцій від декількох змінних, або із зображеннями у цьому просторі ізометричного перетворення ПЛОЩИНІ/. .

МетолиKOJIOC-ЛІДЖЄНь• V роботі використовуються методи

з

теорії лііііііііііх «■••('|>.по|>іґі>гі;іи.іі}>; ии. : * іро< тору, іеорії узагальнених (})\'11К Ш 11. Ігорії І , І \; і . Ц|).Ь,.СІНІ.\ рп: шшреньпі.мі-і рпчшіхоие-раторів та інші метоли функціонального аналізу.

Наукова_нрпирна_роб_оти. У роботі отримано: в необхідні и достатні умови б’-інваріантності щільної в гільбер-

]>»>М Ь ;ді'/іл«Ліу і iHJfiu.Nl у л|мл. 11 .»|Л '-ІЛ > ЛіиііЛ *3?

2>)^0; ‘ ‘ ‘

® необхідні її достатні умови комутування сингулярно збуреного оператора А з деяким унітарним оператором и за умови, що ' 11 і незбурешш оператор комутують;

О необхідні її достатні умови комутування сингулярно збур<>НО>о оператора А з деяким самоспряженим оператором 5 в припущенні, що Я і незбурешш оператор А комутують;

в необхідні іі достатні умови комутування двох сингулярно збурених операторів А і 5 в припущенні, що до збурення Л і .5 комутують і дефектні підпросторн симетричних операторів А і 5, спільних для пар А і А та 5 і 5. с одношімірнимп:

• параметризація множини сингулярно збурених операторів {А }.

комутуючих з фіксованим самоспряженим оператором ,Ь’. п термінах цілком узагальненого спектра оператора 5;

• критерій 5-іітаріантногті і симетричності звужень необмеже

ного самоспряжоиого оператора А в просторі £у(К". г!:г):

о необхідні іі достатні умоші комутування мішу.иірпо .збу р<'і;</го б-иотеншалами оператора Лаплас а з оісратором '•им.'трц імпі у прос торі п = 2,3:

• необхідні й достатні умови комутуванні сингулярно обуреного 6-потенціалами оператора Лапласа зображеннями у просторі //г(Кп, <іх) довільного ізометричного перетворення К", п < 3;

• необхідні й достатні умови щільності лінійної підмножини гіль-бертового простору мовою носія цієї підмножини відносно спектральної міри самоспряженого оператора;

в необхідні й достатні умови замикальності білінійної форми в Ь2($їп,сІх) мовою ємності множини;

Практична цінність. Одержані результати можна використати для подальшого розвитку теорії сингулярно обурених операторів, зокрема у квантовій теорії поля.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались на:

— семінарах “Оператори математичної фізики''' відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівник семінару - академік Ю. М. Березанський);

— міжнародній математичній школі “Алґебрагчні і геометричні методи в математичній фізиці" (Україна, Республіка Крим, Кацивелі, вересень 1993 р. );

— міжнародній математичній школі (КРОМШ-У) “Кримська осіння іикола-симпозіум по спектральних і еволюційних задачах (Україна, Республіка Крим, Ласт, вересень 1994 р. );

Публікації По темі дисертації опубліковано 5 робіт, список яких наведено нижче. •' .

^Тр V"Т V і} Г, Т Л у, о-.' ‘ С} Г.о> г і ії. Р' <’ л: [ Н ' »- . 1 -;,!1' 1 ьгя ’і ВС ГУ ПУ,

трьох розділів, ('ппск\ ,і' ■:: к их стандартних позначень та списку літератури, що містить 45 найменувань.

Кожний розділ починається параграфом, в якому містяться попередні відомості: означення та відомі твердження, необхідні для подальшого розгляду матеріалу. У кожному розділі міститься параграф з прикладами, що ілюструють доведені протягом розділу

’ІНІ*!)!! АММИП . ІІЛЛ'ТМїЛ Т1ГПП1 тт П'Д Шіип'гі’т Г л/’'Т'‘>ТМП ЛГгч

- • ‘ І * ' X '

утворює єдино ціле, і тому Його можна розглядати незалежно від пе ршого. Третій розділ, окрім нових означень і тверджень, містить підсумки двох попередніх у вигляді загальних тверджень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

‘ У вступі обґрунтовано актуальність і важливість питань, що розглядаються с дисертації, проведено стислішії огляд близьких за напрямком робіт, сформульована мета досліджень та їх новизна, викладено зміст за розділами.

Опишемо коротко зміст роботи. Нехай у сепарабельному гіль-бертовому просторі ‘Н, задано необмеженим самоспряженин оператор А = Л* з областю визначення 3)(Л).

Утворимо за оператором А оснащення посі ору 11:

Н-ЭН0 = НЭН±, (І)

де 7і+ = 2?(Л) зі скалярним добутком (и, г)+ ї= (Ли, Лг) і нормою ||и|[+ := ^{и,и)+, Уи,у € 23(/1). а - поповнення Ті за нормою || • ||_ := ЦЛ’-1 -Ц. Позначимо < о/, ір >н спарення п оснащенні (1), и Є Є "Н+- Скалярний добуток п Н та спарення в <нна-

їданні (1) пов'язані співвідношенням < и,\<р > Ц~ < Іч ІП.іг)-

де /0_ (70,+) — канонічний. ізометричний ізоморфізм простору 7і_ {7і+ відповідно) у простір Н.

Розглянемо в Н нормальний оператор S і припустимо, що існує інше оснащення простору:

(2)

де D — лінійна сепарабельна топологічна підмножина Ті, пка щільно і неперервно вкладена в гільбертів простір f)+ так, що D С ©(S)

і звуження S на D : S f D діє неперервно a D в та вкладення $)+ в 7Ї є оператором Гільберта-Шмідта.

Оператор S, який має описані вище властивості в оснащенні (2), називається стандартно пов’язаним з оснащенням (2).

Ненульовий вектор ш\ Є Sj- називається узагальненим власним вектором оператора S з відповідним узагальненим власним значенням А Є С в стандартно пов’язаному оснащенні (2), якщо

< а;д,5/ >Т)— А < о;д, / >j-j, V/ Є D,

де < •, • >ff позначення спарення в оснащенні (2). Узагальнений власний вектор визначається із точністю до сталого множника.

Сукупність х9(S) усіх узагальнених власних значень А називається узагальненим спектром оператора S в оснащенні (2). .

Означення 1 [3], Підмножина

0(5) := {А Є ОД І и?\ Є S). \ Н}

називається цілком узагальненим спектром оператора S, пов'язаним з оснащенням (2).

Довільна множина Э С W називається S-інваріантною, тобто інваріантною відносно дії оператора S, якшо S3 С Q(S) і S3 С D.

Означенії-.і 2 ІЗ]. М иж:-на }■' С У).. шмиваст!"'е узагальнено Б-іке(ір!П!(’н.ли-/\ якщо виконується умиті:

{У? Є 7% Зф Є ІЗ-І < <^,5/ >5-3 = < V'-,/ >ІЬ, V/ Є О С і} + } =>

=і- !/- Є Г.

За додаткових умов поняття узагальненого власного ін*яіоім, упягячі.ш>нпг(і тяснпгп ліііімсііпп. \'паг;ільшчюго і цілком узагаль-

ІЮІСГС’ ^ Т4" *•»' і ітогапчіонт

5 інваріантності можна персформулюватн в термінах оснащення типу (1). З цією мстою введемо такс опначсння.

Означення 3 . Довільна множина З С Н називається частково Б-інваріантною, якщо 5(2)(5) ПЗ?) С 2).

Припустимо, що простір 7Ї+ є частково 5-інваріннтннм і перетин областей шпначеїшя операторів /; і 5 с областю істотної < а:--пряженості оператора А, тобто:

5(3(5) П«+) С П+, £К5ТпТГ;(+) = (Л)

де риска іо мнаком ( + ) позначає замикання па нормою ’Н ^

Означення 4 . За умов (3) непульонті вектор и'\ Є Н. називається узагальненим власним вектором оператора 5 .» відповідним узагальненим власним значенням А Є С, якщо:

< и \, 5/ > ц — А < и: \, / >у-(, У / Є ЇН 5 ) ' 1 ТУ , .

Узагальнений власний вектор визначається іп точністю до гтялого множника.

Озуачеиня 5 . За. умов (3) сукупність і?(5) узагальпенчг власних значень А, породжсиих оснащенням (І). пп іпвагтпьгя узагальненим спектром оператора Я, по*'я "їм ч « .* огчащ'н-ням (і).

о

Означення 6 . За умов (3) підмножина

т?(5) := {А Є г?(5) І Н- \Н}

називається цілком узагальненим спектром оператора 5 в оснащенні (1).

Означення 7 . За умови (З) множина Р Є 'Н- називається узагальнено Б-інваріантною, якщо:

{Ууэ Є Р,3ф Є Н.І < <р, 5/ >п=< Ф, / >п, V/ Є 2)(5) П Н+} =>

=4» ф Є Р.

Окремий параграф у роботі (§1.3) присвячено ситуації, коли умови (3) замінені на простішу умову 5-інваріантності простору Н+. У1 цьому випадку оператор 5 обмежений в 7Ї+. Цей факт полегшус доведення тверджень, аналогічних до тих, які формулюються в загальному випадку. При цьому замість поняття часткової 5-інваріантності використовується звичайна 5-інваріантність.

Основний результат першого розділу міститься у двох твердженнях, наведених у §§1.2 і 1.4.

Теорема 1 [3]. Нехай для нормального оператора 5 в Ті існують оснащення (1) і (2), такі що:

(А.1) простір 7і,, с в-інваріантним;

(А.2) $)+ Э Ті+ б топологічному сенсі і оператор 5 діє неперервно з Н+ в і].).;

(А.З) якщо для деякого вектора и> Є Ті- ЗА Є С, таке що

< >н= А < и>,/ >л, V/ Є й, то и> Є

Тоді між зчисленними наборами узагальнених власних векторів С £)_ \ Ті оператора 5 с оснащенні (2) та

Я-іпоаріантпнм-ч, ьі.ільїСи.чн <> 'Н г замкненими о 7і¥, підмно-хснпамп 2), такими що гІіш(г£+023) ф 0, їсиус їзасмно однозначна відповідність, де множина 2) визначається за правилом: ■

£):={/€ О і < с<л, / 0, і — 1, ос}. (:>

■ ииінмп 2 . /Л.**»» 3...: — ^ '-.пярптппп Я в ’}{. іс-

нує Оснащення (І), 77іц?;к Ц{С>.

(С.1) простір є частково Б-інваріантним;

(С.2) цілком узагальнений спектр х)(Я) оператора Я в оснащенні (1) не порожній;

(С.З) УС С п+\п++ =» Я(£) П <У,+> = £;

(С.4) оператор З має в 7?+ \ Н++1' * повну с нет ему а.ии--пих векторів, де —■ простір з нормою ПЛ'’ • ||.

Тоді між зчислепихімп наборами узагальнених власних век-торга {а),}^|'с С ’И- \Н оператора Б о оснахценні (1) та Б-інваріантними, щільними в ’Н і замкненими о ’Н+, підмпо-жиноми £>, такими що (Ііш(7і^ ©2)) ф 0. існує взаємно однозначна відповідність, де множина X) визначається за правилом: ‘

З :-{/ ЄН І < о;, / 0, б г}} (•>)

де ^:=о.л.о.{шг}*ІГ в

Припустимо, шо цілком узагальнений епеклр 0{Я) оператора Я в оснащенні (1) (аПо (2)) проетий. толі топрпму І ІпГю 2) мижни сформулювали мовою гпектра.

' ІО

Наслідок 1 . За умов (А.І), (А.2) і (А.З) теореми І між зчисленними наборами узагальнених вЛйсних значень Л С *9(5) оператора Б в стандартно пов ’язтому оснащенні (2) та Б-інваріантними, щільними в Ті і замкненими в Ті+, підмно-жинами 3), такими що сііт('Н+ ©3)) ф 0, існує взаємно однозначна відповідність.

Наслідок 2 . За умов (С.1), (С.2), (С.З) і (С-4) теореми

2 між зчисленними наборами узагальнених власних значень Л С оператора 5 в стандартно пов ’язаному оснащенні

(і) та Б-інваріантними, щільними в Ті і замкненими в 7і+, підмножинами 2), такими що с1іт(Н+ ©2)) ф 0, існує взаємно однозначна відповідність.

Теореми 1, 2 модифіковані на випадок, коли множина 3) в (4) (відповідно (5)) побудована не за узагальненим» власними векторами, а за узагальнено ^-інваріантними множинами. У даному випадку множина 2) може бути і не щільною в Ті.

Другий розділ присвячений питанням комутатпвнос.ті.

У §2.1 наведено означення сингулярно збуреного оператора та означення пари комутуючих операторів, а також наведено побудову

і опис сингулярно збурених операторів та їх зв’язок з білінішшмн формами.

Самоспряженнй оператор А називається сингулярно збуреним підносно оператора А, якщо лінійна множина

£>:={/ЄЮ(Л)П£>(А)| Л/ = Л/}

іиільна в Ті і звуження А А \ И ~ А \ й ■- симетричний оператор у просторі Ті з областю визначенні! £) = 2)(/1).

V §2.2 доведено допоміжне твердження, іш будь-який підпростір 01 С Н \ 2)(Л) (де 2)(>1) —• область визначення самоспряженого

OIH-p.fi ир;і) ,\НіЛ . II .!•.]■'*• 1 НИМ ІіІДПрОС'ІОрОМ ЩМЄ І рИЧПОІО звуження А оператора Л з доьільшім г Є г{Л), тобто01 = 01;, дег(Л)

- резольвентна множина огіератоа А.

У §3.3 наведено деякі штативні результати, тобто питлкн б яких комутатнвність ,'загалі не можлива. Зокрема покапано, то на множині Ль{А), к < оо, сингулярно збурених рангу к підносно А ‘■'"'^тот ммт«,л,», А.

рОГШІрНІСТЬ ДефсЯТНОГО ПІДІфОСТОру, тільного З А 1 А і; -'Щ/і; симот])ігіного оператора) [1].

V §3.4 наведено критерій комутатнвності операторів із Ак(А), к < оо, з деяким унітарним оператором II мовою білінійних форм, якщо [II, А] — 0 [4, 5].

У §3.5 наведено критерій комутатнвності операторів з Лі-(А), к < со, з де;гким самоспряженнм оператором 5. якщо [5, А] — 0 [4,5]. '

Маючи симетричішії оператор /І а дефектними иідпросторамп ОІ^ОІ.- та одне із еамоспряжених розширень А симетричного оператора А, всі інші самоспряжені розширення А оператора А визначаються за формулою М.Г.Крейна :

(Л-гГ7 = М-*Г7+ Е ^(гК/,»,)^, У/б?*. (Ь)

'•>=1

де V-: Є г{А) П г(Л), Є С, а 'ті,, і -- І,оо. та - І, ос

— бязисп у підпроеторах 01г, та 01= відповідно. Позначимо В, 1 [А,^(г)]^=1 — самоспряжений оператору просторі Ої,.

Теорема 3 . ІІєтпії оператори .4 і ,9 комутують б генгі резольвент. Для тогю щоб сингулярно збурениіі рангу к иід-носи о А опгратор /І € .Дц-М) також комутував .) З о стсі резольвент, необхідно й достатньо, щоб для дгякпт г<) Р

г(А) і г' Є г (Б): ■

(З-г'ГЖ 0С9і;

[в;0',(з-гГ1} = 0°в 91го,

де г(-) — резольвентна множина відповідного оператора; 91го — дефектний підпростір спільного з А і А симетричного оператора.

У §§2.6, 2.7, 2.8 теорема 3 застосовується для перевірки кох:у-тативності сингулярно збуреного 6-функціямп оператора Лапласа —Дау з зображеннями в <іх) ізометричних перетворень

простору М’, 9 < 3.

Твердження 1 . Нехай у просторі Ьг^^х), < 3 опе-

ратор Лапласа —А комутує з зображеннями \¥ч в Ьг{Шч,(Іх) ізометричного перетворення g в К?. Сингулярно збурений 6-функціями оператор Лапласа — Д0,у на множині У = {У;}]=і°, У; Є К7, а; Є К1, <7 < 3, комутує з оператором \¥ч тоді й тільки тоді, коли: ш

(а.З) множина У інваріантна відносноо дії £,

(Ь.З) для точок, що задовольняють співвідношення %уі = у відповідні коефіцієнти рівні між собою аі = ау.

Два наступні твердження е наслідками твердження 1. У роботі вони доведені окремо.

1Ъердження 2 . Сингулярно збурений оператор Лапласа —\х,у на множині У = {у)}*=і°, У} Є К '~, у просторі Н := (їх) комутує з оператором симстризації Ря тоді й тільки тоді, коли:

(аД) множина. У симетрична відносно осі х\ = х->;

ІЗ

(ЬЛ) коефіцієнти <\}, що вїдппгЛдають пором симетричних точок .) У, рівні між собою.

І аналогічно твердження мас місце у випадку ТС :=

Твердження 3 . Сингулярно збурений оператор Лапласа

— Л„д- на множині У = {у_,у, Є ІК'1, у просторі Ті :=

1/2(К\еЬс) комутує з оператором симетризаціїР& тоді і тільки

— - -і.- __

(а.2) множина У симетрична агапосно ъижпиГз тр>.,и; щип Х\ — Х-і, %2 = х3і Яз = ;с1і X = (іі,Х2,Хз) Є К3;

(Ь.2) коефіцієнти ау, що відповідають симетричним точкам з У, рівні між собою (симетричні точки утворюють групи по 1,3 або б у групі).

У §2.9 наведено критерій комутатшшості двох сингулярно обурених рангу А: = 1 операторів А\ і Л>, якпп сформульовано у двох теоремах [4, 5].

Нехай у просторі Н дана пара Л,, г = 1,2. симетричних операторів т індексами дефекту (1.1). Розглянемо для кожного Л, пару різних взаємно простих самоспрнжеппх розширень ЛпА,. Згідно

з теорією розширень резольвенти операторів А, і А, пов’язані спіп-аідоошеїшям М.Крейна (б]:

(А, - с.Г1/ -- М, г1-ГІ/ + ад(/,п;,)т>ї., т

V/ С Н, 'ІГ-. Ч г{Л, І п Г{Л:): і = 1.2,

До п;; Є := кег(Л; - гі)\ ||7іг;|| = 1, а 0(г-,) Є С - параметр, шо роорюняє Аі і А,, і = 1,2.

Пр.ЧЧ'Ч Т»Мн. ЩО. ЛЯ Де!!! !)Х Л; І Г.?, '31^ Г',^Т[... -І () і 91.(П?Ї., ф І). Годі можна ізііоро ї іі:

Мае місце така теорема.

Теорема 4 . Нехай оператори А\ і А-і комутують у сильному резольвентному сенсі. Тоді оператори А\ і Аг також комутують в тому самому сенсі тоді й тільки тоді, коли для деяких 2; € г(Д), таких що п := п2] = п-2 і п := пІІ = пІ2, вико?іусться співвідношення:

01 _ Іт{г-і)

02 Іт{г\У

де 0, = 0(г,) — параметри розширень Аі і = 1,2 (див.(7)).

Нехай далі Іт(г,) = 0. Тоді пгі = пг, = п,, і = 1,2. Припустимо додатково, що л( і щ — лнніино незалежні. Зафіксуємо довільну пару таких векторів для дійсних л, Є г(Аі) П г(Л2), при* пускаючи, що г(у4 і) П г(Лг) П К1 ^ 0.

Теорема 5 . Нехай оператори Л] і Ач комутують в сильному резольвентному сенсі. Тоді Аі і А> також комутують у сенсі резольвент тоді й тільки тоді, коли для деяких дійсних г-, Є т(А{) і деяких чисел «11,022 Є К і «і2>£*2( Є С виконуються співвідношення:

І (А2 - = апп, + ау2пг

І (Л1 - = а2|П, + а22п2

021 , «12 , / N п ■^ + -^ + (п2,п,)=0,

де 0, — 0(2;) — параметри розширень Аі і = 1,2 (див.(7)), а П{ і пі — дефектні вектори спільних з Аі та Аі, і = 1,2 симетричних операторів; пі і лінійно незалежні.

У §2.10 наведено приклади, які ілюструють теореми 4 та 5. Зокрема гзішроганговано метод врахування сингулярних збурень нормального оператора. .

В останньому параграфі другого розділу н;»псдгао паоаметри-папію множини Д£(Л) сингулярнії поуреннх операторів, комутуючих 'л деяким еамос-пряжсшш оператором S. Парамстрлиацію встановлено па допомогою критерію (Теорема 3) та основних тверджень першого розділу * і 2.

Наступні дві теореми складають основні твердження другого роп ділу.

Тсорс?*^ ^ . і!»»"■ »тм іііииііі жеппй оператор А комутує у сенсі резольвент з. обмеженим самоспряжепам оператором S. Припустимо, що існують оснащення:

Sj-DfCDSj+D D, (8)

стандартно пов’язане з оператором S (див. (2)), та

Н-Э?СЭ'Н+\ '

побудоване за оператором А (дне. (1)), які задовольняють наступні умови:

(А.1) простір Н+ с ,S’-інеаріаитним;

(А.2) D Т{+ о топологічному г.епеі і оператор Я діє неперервно із )іj. п

(А ..‘5) якщо <\t:f д-:у-ч/і'О йсї'~с~~ с Ті. ., 3^ С. таке

то < и;, S] ~ • 7г” ’• <" а’,/ >?;. V/ Є /.>, чіо о.- ,г 1) .

Тоді множина Л£(Л), k < оо, параметризуешься множиною пар {91, В}, де O'! замкнена ліпіііпа оболонка образів в 'Н

узагальнених пласт, и,г -і гкїіі (>]>•'] іс\ ? — 1,"о, оперптопе Я « оснащенні (8): 9; 11 • • спмогиря.* <

оператор, ьго діг в просторі 'Tt. : \oMijmyr :t оператором S.

Теорема 7 . Нехай у просторі Ті задано пару необмежених комутуючих в сенсі резольвент самоспряжепих операторів А і Б. Припустимо, що існує оснащення

П- Э Н З «+, (9)

побудоване за оператором А (див. (І)), що задовольняє наступні умови:

(С.1) простір с частково Б-інваріантним;

(С.2) цілком узагальнений спектр гЦБ) оператора Б, пов’язаний з оснащенням (9) не порожній;

(С.З) УОс п+\п++ =Ф 2ЦБ) ҐІ£(+) = в;

(С.4) оператор Б має в 7Ї+ \7і++^ повну систему власних векторів, де 'И.++ —• простір з нормою |\А2 • (}.

Тоді множина Л^.{А), к < оо, параметризуешься множиною пар {01, В], де 91 замкнена лінійна оболонка образів в Ті узагальнених власних векторів и?хп і = !,оо, оператора Б, в оснащенні (9): 91 := з.л.о. В — самоспряжений

оператор, гцо діє в просторі 91 і комутує з оператором Б.

У третьому розділі сформульовано і доведено критерій 5-інва-ріантності і симетричності звужень самоспряженнх операторів. З цією метою використовується ПОНЯТТЯ ємності та ВВОДИТЬСЯ ПОНЯТТЯ носія вектора та підмножшш векторів сеперабельного гіль-бгртового простору. .

Використовуючи стандартно пов'язане оснащення (2). оператор 5 можна розкласти па узагальненими власними векторами, тобггоїснус операторночначна функція Р{\). слабо вимірна і визна-чвігді майже для кожного А із 19(Б) ( в сенсі спектральної міри р).

значення якої невід'ємні оператор» п Іі+ в і |||Р(А)[|| < Тг(Р( А)) = 1, ще і дає так»* зображення оператора 5:

5и = / АР(А)ф(А)] и, У« € 2)(5) П#+, -

¥(.<?) / до ||[ • {{{ позначає норму Гільберта - Шмідта, а Тг(-) - слід відповідного оператора. Область значень СГ)_ складається

:• V;». .іЛи:с:г??г ""««-пил. яким відповідають узагальнені

власні плаченая А Є ож-}>«ии,;.-. і', •««•’нячнмо. .де ""рр • «» — і?(5). Доведення цих фактів молена знайти, наприклад, в роботах К).М. Бережанського. Припустимо, що узагальнений спектр г?(5) оператора 5 простий.

Відповідне до оператора 5, пов’язаного із оснащенням (2), узагальнене перетворення Фур ’є має вигляд

і!)+ Э / —> /(А) =< о>.\,/ >Г], А Є

Використовуючи це узагальнене перетворення Фур’є, можна записати рівність Парсеваля:

(/><?) = / /(А)^(А)гір(Л), У/,<7Є^ + . (10)

•За неперервністю рівність (10) можна розширити до V/, д Є Ті.

У третьому розділі використані поняття узагальненого перетворені!," Фур’є і рівності Парсеваля за умови, що узш альшлши спектр 0і5) оператора ,9 співпадає з цілком уалгплт "ен”м спектром і?(5), тобто щБ) — $(£).

Використовуючи СПСКТр Т?(5). ВВЄДЄМО для довільного вектора / Є Ті поняття ного носія, запропоноване Коншаненком В.Д.

Означення 8 . Иосіс.к т ктори / Є "Н називається множина:

«ирр (/) := { А € С ' З».'* Є Г„(С| П />_.(€, :

«нрр ІФ) с Ох,с г } / (Х)ф(Х)с1р(Х) ф О },

'■'(‘О

де Од, — е-окгл точки X.

Зрозуміло, що ьирр (/) С і9(5). Зауважимо, що носій вектора — множина замкнена. Якщо, наприклад, Ті = сіх) і / — зви-

чайне перетворення Фур € ВОКТОра /, то наведене вище поняття носія збігається з поняттям носія для / в сенсі узагальнених функцій.

Введемо носії» довільної лінійної підмножшш векторів F С Ті\

»ирр (Л '■= и -Ч"РР (/)•

/є А-

Зрозуміло, що кпрі> {Р) С г?(5).

Введемо поняття мчожнші нулів для довільного вектора / € Ті, використовуючи спектр

кег(/):={ Аєед І 3 Оус, Уф Є СЬ(С) П Ьі{С, <1р{\)) : вирр (ф) С Од,Г і і /(Х)ф{Х)др{Х) = 0 }.

Введемо множину нулів довільної лінійної підмножшш векторів FCft: '

кст(Г) := П М/).

/еГ

Очевидно, іцок(Чг(/) = ї?(5)\»іірр {/) і кег(/Г’) = і?(5)\кирр (^).

Розглянемо конкретну реалізацій сепарабельного гільбертового простору Ті, а саме, покладемо Ті — ^(К", (їх). Нехай А - А' —- необмежений сплос пряжений операт ор в /,ч(К", (їх) з области* визначення ЩА),

Поі>уд>тмо гта оператором .4 білініпну форму:

ІЛІМ := (А/,Ад), /,<? Є 2>(7,і) = Ї>(Л).

Форма 7,4 замкнена додатна і симетрична в L2(R", dx). Для деякої вимірної множини N С К" та і?-скінченної міри к(х), supp {к) С N, можна визначити форми;

7(/,!?):= / f(x)g{x)dk{x)\ Vf,g Є £>(7) := C0(Rn),

R" .

та

Ул{/,д) := Тл(/,3) + 7(/>ff)> v/>5 ^ 35(7а).

Де *Х>(тгл) 2>(Уд,' ^ ’^17*

Позначатимемо 7л[/) := 7л(/,Л і аналогічно 71/} ?(/,/>.

У випадку supp (к) = R" і к(х) = 1 позначатимемо 7л+і[/] := 7л[/] + 7ІЛ-

Припустимо, що d 2)(7л) існує лінійна підмножина Ф, така що:

(1) множина Ф є ядром форми 7л, тобто 7д f Ф = 7д;

(2) V/1,/2 Є Ф магмо /1 • /2 Є Ф, тобто підмколаша Ф замкнена відносно операції множення;

(3) для будь якої обмеженої множини Т С R" знайдеться вектор / Є 'І', такий шо f(x) = 1 м. в. (майже всюди за мірою dx) на Т:

(4) У/ £ ф мірр (/) с обмеженим (носій / Є 'Н - L-,(R”,dx) розуміється D сенсі узагальнених фупкціп).

Оонач<?нп:т 0 . ('мііігтх) множини N С R, якщо <V ком • пакт, називається величини

Cap(N) := іпГ{7л+і[/] і / Є Ф, f(x) - 1 м.в. на iV},

г г?.-г v г)овілг>Уої мппж ;:ин і\ :

Cap! -V ! •-= JVC/ С Af. О — компакт }.

Можна використовувати інше означений ємності.

Означення 10 . Ємністю множини N С R, якщо N -компакт, називається величина

cap(JV) := inf{тл+і[/] | / Є Ф, Дх) > 1 м. в. на N},

і для довільної множини N: .

cap(N) := sup{cap(G) |VG С N,G — компакт }.

Припустимо, що в просторі існує оператор S, який

задовольняє умови:

(5) простір Н+ — S-інваріантшій (нагадаємо, Н+ — простір зі скалярним добутком (•,•)+ := (Af,Ag)t V/,g Є 23(Л);

(6) стандартно пов’язане з оператором S оснащення (2) таке, що:

a) і"3+ 2 W+ в топологічному сенсі і оператор S діє неперервно з Л+ в і)+;

b) узагальнений спектр і?(5) оператора 5, породжений оснащенням (2), простіш і збігається э цілком узагальненим:

т = т.

Розглянемо звуження оператора А на підмножинн:

*W) := {/ € ф І /(*} = 0 м. в. х Є N),

де N — замкнена d R" піддшошіна та:

Щ№г) := {/ Є Ф [ supp (/)П N ~ 0), ■

до N — відкрита в R" ігідмножина.

Наступний критерій містить в собі один п основних результатів дисертації.

Теорема 8 . Нехай о L2(K’‘,dx) задано необмежений са-моспряжений оператор А, тдмиожину Ф С Э(Д), яка задовольняє умови (1), (2), (3) і (/,) та самоспряжспий оператор S, що задовольняє умови (5) і (6). Нехай N — замкнена (відкритеі) підмножииа R”

Оператор А := A f Ф{Щ) (А := A f Ф(./Vе)) с сгіметрич-спср'"г^прпм з ненильовими індексами дефекту t S-інваріантною иб.'.сстг:*' я«ч««.«r.hhi иіс^і it *’?♦•«*'*•« гниді. лс.:г

Cap(iV) ф 0,

Р(Л) = 0,

де Л — підмножииа цілком узагальненого спектра tf(S) оператора S, яка відповідає звуженню А оператора А:

Юл = ЩА) := {/ Є Н+ І < wa,/ >п= 0, VA Є Л С (11)

Множини N і А знаходяться у взасмо однозначній відповідності.

Другий параграф третього ропділу присвячений доведенню теореми 8. Доведення цієї теореми складається in самостійних тверджень, де.які п яких наведені в більш загальному вигляді а ніж це потрібно для доведення теореми.

Твердження 4 [2]. Нехай N замкнена підмножииа в їк:'. Множина

ЦЩ) := {/ G Ф I f(x) = 0 м. в. * € N}

с ядром форми 7,| тоді v ті-імен тоді, уол и Сл p(jV) 0.

При. цьому форма 7; пе с. замикальною, якщо Ф С і

к(х) ф !), snpj) (/,;) С jY.

Аналогічно до твердження 4 можна донести твердження для відкритої підмножшш N С К".

Твердження 5 [2]. Нехай N - відкрита підмиожииа вН".

Мпожина

Ф(ЯС) := {/ Є Ф | аирр {/) П І\Г = 0}

є ядром форми 7д тоді й тільки тоді, коли Сар(Лг) = 0. При цьому форма 7д не с замикальною, якщо Ф С ®(7) * к(х) ф 0, .чирр (к) С N.

Наступно твердження дає критерій щільності лінійної підмно--жинн простору Ті, якщо вона задовольняє деяку умову.

Твердження 6 . Якщо деяка лінійна підмиожииа Р сепа-рабельиого гільбертового простору Ті задовольняє умову:

/ Є Ті : Біірр (/) С еирр (і-1) =Ф / Є Р,

то Р щільна в Ті тоді й тільки тоді, коли вирр (і*1) є множиною повної міри р.

Наступне твердження доводить, що якщо множина 2>д була побудована за правилом (11), то Л — множина її нулів.

Твердження 7 . Нехай Л Є Припустимо, д(Б) —

і?(5). Тоді множина нулів підмпожиш 3)д, що побудована за правилом (11), збігається з множиною А:

кег(З)д) = Л.

Тккнм чином, поєднуючи твердження б та 7. дістаємо критерій щільності множини 2)д. побудованої за правилом (11) за набором Л \TtiU"ольнгних власних значень іЦ8) оператора 5.

Теорема 9 . Підмиожипа 2)д Є Ті, побудована за правилом (11), щільна о 'Н тоді й тільки тоді, коли supp (2)д) г множиною повної міри р.

В останньому параграфі наведено приклади до тверджень 4 і 5, та наслідки теореми 8. Виберемо один п них, який найчастіше d різних варіантах дискутувався в літературі. Візьмемо в ролі

•• • і , J

оперет ера А еті',,,-<чч> ” —

г * * - - - «х

Наслідок 3 . Нехай a L^i^dx) задано оператор V. Оператор V := V f C^°(NC) є симетричним оператором

з ненульовими індексами дефекту і областю визначення, інваріантною відносно оператора множення на незалежну змін ну, тоді й тільки тоді, коли:

сяр(Лг) ф 0,

|АЧ=0,

де |АГ| — міра Лебега підмножгти N С К, яка відповідне звуженню V за правилом (11):

Эд = £><V) := {/ Є C?(N<) I /(А) = 0, VA € A С MS)},

де Л = N, /(А) — перетворення Фур’с. функції/.

Основні результати дисертації опу&лш _>,изі а настушніх роботах:

[1] Дудкін M.G. Про комутативні самоспряжені розширення ер-мітошіх операторів // в збірнику наукових праць студентів, аспірантів ”Проблеми розвитку психолого-педагоггчпог науки в науково-технічній творчості молоді” — Київ: КДП1 їм. Драгоманова, 1992. — С. 139 - 141.

[2] Dudkin N.E., Some unclosable bilinear forms // in the collection of research papers, Methods of functional analysis in problems of mathematical physics, — Kiev: Inst, of Math., Acad. Sci. Ukraine, 1992. — P. 70-73

[3] Дудкін М.Є., Ермітові інваріантні звуження самоспряженнх операторів. — Київ, 1994. — 20 с. —- (Препр. / -НАН України. Ін - т математики; 94.31).

[4] Dudkin N., Koshmanenko V., Commutative properties of the singularly perturbed operators. — Kiev, 1993. --- 20 p. — (Prepr. / Acad. Sci. Ukr.; Inst, of Mathematics. 93.39).

j5] Дудкнн H.E., Кошманенко В.Д., Коммутатшіньїе свойства сингулярно воамущеннмх операторов // Теор. и мат фтика. * 1995. — 102, N 2. — С. 183 - 197.

' . 25

Дудки» Н.Е. “Комутативные свойства сингулярно возмущенных опсратороп”.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-матемптнческнх наук по специальности 01.01.01 — математический аналип. Институт математики НАН Украины, Киев, 1995.

Защищается диссертация, посвящённая построению и поучению сингулярно возмущенных операторов, коммутирующих в смысле резольвент, с заданным унитарным оператором U или самосопряженным ^Пфатороа 2. и г?гя,&гр7и£сы прсилиал-

стес ТС. Рнс.смотрен случаи, когда оператор S также сингулярно возмущен. Детально рассматриваются два примера такой конструкции: коммутируемость оператора Лапласа, который возмущен ^-потенциалами, с оператором симметризации в пространстве

(К7,dx), q = 2,3 и с представлениями в L-2(R4,dx), q = 2,3, изометрических преобралований R7, q = 2,3.

Dudkin N.E. “Commutative properties of the singularly perturbed operators".

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.01—mathematical analysis. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1995.

The thesis to be defended is devoted to construction and investigation of the singularly perturbed operators «militating in the sence of resohvents with a giwn unitary operators U, or with self-adjoint operators S in the separata»! Hilbert space Ti. There is shown the case where the operator S is singularly perturbed too. The following two examples are of particular attention: the commutativity of the Laplace operator which is singularly perturbed by the set of 6-potentials with the synmietrization operator in q — 2,3, and with a rep-

resentations in Lj(Rv,dx), q — 2,3 of isometrical transphormation of R7, g = 2,3. .

Ключові слова: Самоспряжене розширення, симетричне звуження, 'сингулярно обуренші оператор, оснащення простору, узагальнений власний вектор, ^-інваріантна множина, ємність, носій вектора.

Підп. до друку 18.10.D5. Формат 60x84/16 Папір друк. Офс. друк. Ум. друк. арк. 1,36. Ум. фарбо-відб. 1,36. Обл. вид. арк. 1,0. Тіїраж 100 пр. Зам. Безкоштовно. . ‘

Підготоатеїю і віддруковано в Інституті математики НАН України 252601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківськн, 3.