Конечно-элементное моделирование геометрически и физически нелинейных процессов деформирования контейнеров для транспортировки радиоактивных отходов при ударных нагрузках

Кибец, Юрий Иванович

Конечно-элементное моделирование геометрически и физически нелинейных процессов деформирования контейнеров для транспортировки радиоактивных отходов при ударных нагрузках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Кибец, Юрий Иванович АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Конечно-элементное моделирование геометрически и физически нелинейных процессов деформирования контейнеров для транспортировки радиоактивных отходов при ударных нагрузках»

Автореферат диссертации на тему "Конечно-элементное моделирование геометрически и физически нелинейных процессов деформирования контейнеров для транспортировки радиоактивных отходов при ударных нагрузках"

На правах рукописи

КИБЕЦ ЮРИЙ ИВАНОВИЧ

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНТЕЙНЕРОВ ДЛЯ ТРАНСПОРТИРОВКИ РАДИОАКТИВНЫХ ОТХОДОВ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Специальность 01.02.04 • механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Нижний Новгород -1998

Работа выполнена в научно-исследовательском институте механики при Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Научный руководитель - академик РАИН, доктор физико-математических наук, профессор Баженов В.Г.

Научный консультант - кандидат физико-математических наук Кибец А.И.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Рузанов А.И.

кандидат технических наук Замятин В.А.

Ведущая организация - РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров

Защита состоится '"2'^" декабря 1998 г. в " 14 " часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.05 в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан пГЬО" [л € £А1£98 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. т. н., доцент

Б.В. Трухин

Актуальность темы.

Для хранения и транспортировки радиоактивных материалов и их отходов, взрывчатых веществ и т.п. применяют специально разработанные контейнеры. Как правило эти конструкции сложны и многообразны. Наряду с небольшими ( массой до 100 кг) и сравнительно дешевыми контейнерами на практике могут потребоваться дорогостоящие контейнеры весящие сотни тонн.

В виду тяжелых экономических и экологических последствий от возможных аварий, к прочности разрабатываемых конструкций подобного рода предъявляются повышенные требования.

В частности, этими требованиями предусмотрены испытания на ударные воздействия: падение на плиту с определенной высоты в различных положениях, падение плиты на контейнер и т.д. Чтобы контейнер был допущен к эксплуатации, он должен сохранить в этих условиях герметичность и обладать определенными демпфирующими свойствами, позволяющими снизить перегрузки на перевозимых объектах.

Натурные испытания контейнеров не всегда возможны или очень затруднены в виду большой их стоимости. В силу этого значительно повышается актуальность теоретических исследований. Математическая формулировка возникающих процессов приводит к трехмерной нестационарной задаче механики деформируемого твердого тела. Сложность задачи объясняется следующими факторамй:

- спецификой конструкций, включающих в себя не только пластинки и оболочки, но и массивные тела (днища, уплотнители, узлы крепления и т.д.);

- взаимодействием волн деформаций и напряжений;

- возможным появлением пластических деформаций и зон разрушения;

- контактным взаимодействием конструктивных элементов между собой и с окружающими телами;

- большими перемещениями, формоизменениями и другими нелинейными эффектами.

Решение таких задач стало возможным только благодаря применению численных методов и современной вычислительной техники. Эффективность анализа динамики сложных конструкций значительно снижается, если методика решения не учитывает особенности геометрии и напряженно- деформированного состояния отдельных конструктивных элементов.Задачи такого класса мало изучены даже в двумерной (осесим-метричной) постановке. Результаты же трехмерных расчетов встречаются крайне редко, что связано с трудоемкостью вычислений.

Цель работы и основные защищаемые положения.

1. Совершенствование конечно-элементной методики решения трехмерных задач упру-гопластического деформирования составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки, при импульсных нагружениях и соударении с другими телами. Разработка 4-узлового конечного элемента для анализа оболочек и его адаптация для совместного использования с другими типами элементов при решении рассматриваемого класса задач с учетом контактного взаимодействия.

2. Программная реализация модернизированной методики решения трехмерных задач динамики в рамках программного комплекса "Динамика-3". Проведение тестовых расчетов, исследование точности и устойчивости усовершенствованной численной схемы решения.

3. Решение новых прикладных задач. Исследование динамических процессов деформирования контейнеров и опорных конструкций для транспортировки и хранения радиоактивных отходов.

Научная новизна.

Разработана конечно-элементная методика решения трехмерных нестационарных задач упруго пластического деформирования составных тонкостенных конструкций с присоединенными массами. Методика основана на явной схеме интегрирования по времени типа "крест" и 4-узловом конечном элементе. На ряде задач проведены исследования точности и устойчивости разработанной методики. В трехмерной постановке решены задачи упругопластического деформирования листовых деталей при воздействии электро-магнитного импульса (отбортовха отверстия и обжатие трубы с эллиптическим поперечным сечением). Получены новые результаты при исследовании динамического деформирования контейнеров, а также опорных конструкций (стеллажа и поддона), предназначенных для транспортировки и хранения контейнеров.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных с помощью предлагаемой методики, подтверждена их сопоставлением с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы, программные модули и результаты исследования нелинейных процессов деформирования составных конструкций используются в конструкторских бюро на стадии проектирования. Применение предлагаемой методики и программного обеспечения в расчетах на прочность конструкций разного назначения повышает уровень обоснованности их безопасности, что подтверждается актом о внедрении. Диссертационная работа выполнена в соответствии с научно-техническими про-

граммами Министерства общего и профессионального образования "Университеты России" и "Динамика", НТП Минатома РФ "Безопасная ядерная энергетика", ФЦП "Интеграция" (РУНЦ ММК), Программой поддержки ведущих школ России (грант РФФИ 96-15-98156). Кроме того, работа поддержена грантами Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области авиационной и ракетно-космической техники (96-17-7.3-14), энергетики и электротехники (62ГР-94).

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на:

XVII и XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1995г.; Саратов, 1997г.), Всероссийском симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (МАИ, Москва, 1995г., 1996г., 1998г.), The 12th International Conference of the Packaging and Transportation of Radioactive Materials (1998,Paris), XVI Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов." С.Петербург. 23-26 июня 1998

Публикации.

Содержание и основные результаты работы отражены в публикациях /1-7/.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Основной печатный текст составляет 122 страницы, 76 страниц занимают иллюстрации ( 114 рисунков), 19 страниц - список цитируемой литературы ( 198 наименований).

Краткое содержание работы.

В первой главе дается краткий обзор математических моделей и методов решения задач динамического деформирования конструкций, включающих массивные тела и оболочки, формулируются цели работы.

Для численного решения трехмерных задач динамики упругопластических сред широкое распространение получили метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Большой вклад в развитие этих методов внесли работы В.Н.Кукуджанова, В.М.Фомина, В.Г.Баженова, А.И.Корнеева, А.Г.Угодчикова, Ю.Г. Коротких, С.А. Капустина, М.С. Корнишина, A.C. Вольмира, А.И.Рузанова,

A.И.Садырина, А.С.Сахарова, А.Б.Киселева, А.И.Гулидова, В.А.Горельского,

B.Д.Кошура, В.Ф.Ноха, М.Л.Уилкинса, О.Зенкевича, G.R.Johnson, T.Belytschko и других отечественных и зарубежных ученых. В работах этих авторов можно найти также различные варианты численных схем моделирования соударения деформируемых тел.

Тонкостенные конструкции имеют ряд особенностей, которые должны учитываться при анализе их деформирования. При численном решении задач этого класса возможны два подхода. В первом из них, традиционном, сначала решается задача приведения, позволяющая понизить размерность определяющей системы уравнений с учетом гипотез теории оболочек. Методы построения математических моделей динамики пластин и оболочек развивались в работах С.П.Тимошенко, Я.С.Уфлянда, Р.Минд-лина, А.Л. Гольденвейзера, В.В. Васильева, ТЛина, Г.Моргана, Н.А.Алумяэ, М.П.Галина, У.К.Нигула, В.Н.Паймушина и других авторов. На следующем этапе проводится конечно-элементная или конечно-разностная дискретизация поверхности приведения. Применение такой схемы решения к нелинейным задачам нестационарного деформирования оболочек изложено в работах В.Г.Баженова, В.И.Дресвянникова, Е.А.Уитмера, А.С.Сахарова, Т.Ве1у15сИко и др. При исследовании деформирования составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки, применение разрешающей системы теории оболочек имеет определенный недостаток: возникает проблема стыковки отдельных подобластей с различной аппроксимацией скорости перемещений. Поэтому в рамках вариационно-разностного метода и метода конечных элементов получили развитие численные схемы второго направления, в которых деформирование тонкостенных конструкций описывается определяющей системой уравнений, сформулированной с позиций механики сплошных сред без учета гипотез теории оболочек. При дискретизации задачи в каждом конечном элементе вводятся аппроксимирующие функции, учитывающие особенности геометрий и напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек.

В работах В.Г.Баженова, А.И.Кибеца изложены варианты 8-узловых изопара-метрических конечных элементов, отличающихся способом аппроксимации скоростей деформаций и напряжений. В этих элементах скорости деформаций определяются в подвижной ортогональной системе координат и аппроксимируются линейными функциями. Вклад в энергию моментных составляющих, характеризующих изменение скорости деформаций в элементе, регулируется весовыми коэффициентами, что позволяет в зависимости от ситуации или упростить вычислительную схему или повысить его точность. В тонкостенных конструкциях дискретные соотношения при такой аппроксимации аналогичны соотношениям, принятым в теории оболочек типа Тимошенко. Благодаря этому задачу динамики оболочек можно решать на сетке с одним слоем КЭ по толщине. Применение же в массивных телах и оболочках одних и тех же функций форм для аппроксимации скорости перемещений позволяет в рамках единого подхода исследовать нестационарное деформирование конструкций, включающих оба вида коиструк-

тивных элементов. При этом для стыковки отдельных фрагментов расчетной области и решения задачи контактного взаимодействия конструктивных элементов между собой и с внешними телами можно использовать алгоритмы, ориентированные на исследование поведения массивных тел.

Применение объемных, неприведенных к срединной поверхности оболочки конечных элементов имеет определенное неудобство при анализе составных конструкции, так как затрудняет описание геометрии в области сопряжения отдельных оболочек. Как показывает вычислительная практика, при задании исходных данных для тонкостенных конструкций сложной геометрии часто допускаются неточности, которые приводят к изменению толщины оболочки и соответственно отражаются на результатах счета. Поэтому представляется целесообразной разработка 4-узлового конечного элемента, связанного с поверхностью оболочки, в котором для аппроксимации скорости перемещений используются функции формы 8-узлового объемного КЭ. Это позволит упростить задание исходной информации и не потребует дополнительных затрат при решении контакных задач.

Во второй главе излагаются постановка и методика решения трехмерных нелинейных задач динамики составных конструкций, приводятся результаты тестовых расчетов, анализируется точность разработанной численной схемы. Движение деформируемой конструкции описывается в переменных Лагранжа уравнением динамики, вытекающим из вариационного принципа Журдена:

+15йТрау-1бйТдс1у =0 , (1)

а п гР г„

где е = [еп е22 е33 е,2 е23 е13]Г, о- = [ст,, а22 от„ а,2 <х23 а 13]Гвекторы, составленные из компонент тензора деформаций и напряжений, и = jw, иг m^J - вектор перемещений, Р = Р 2 Л 3- вектор распределенной поверхностной нагрузки,

<7 = [<?1 Чi ?3]Г-вектор контактных усилий; р - плотность материала, C=diag(l 1 1 2 2 2) -диагональная матрица, точка над символом означает частную производную по времени, "Т" - операцию транспонирования; Гр - часть граничной поверхности с заданной

распределенной нагрузкой, Г? = L/Г - совокупность зон контактного взаимодействия.

принадлежащих контактирующим между собой поверхностям. Предполагается, что конструкция состоит из N элементов (подобластей) П(. (/ = 1,Л0 и занимает в про-

странстве на текущий момент времени I область П (0 = ^0.), ограниченную ловерх-N

ностью Г (Г = иг;) . Подобласть П. может представлять собой массивное тело или 1=1

оболочку.

Скорости деформаций определяются по скоростям перемещений с помощью соотношений Коши в текущей метрике.

е = />,«, £>, =

<?, О О <?2/2 0 ¿>3/2 О дг 0 0,12 3ЪП О О 0 дъ 0 дгп ¿>,/2)

(2)

0.=д1дх., X. = $й/Л + ^/1,-0

Связь между напряжениями и скоростями деформаций описывается уравнениями теории течения с линейным кинематическим и изотропным упрочнением. Начальные значения задаются для всех компонент й,е,а , граничные условия - для й,о . На контактирующих поверхностях задаются условия непроникания или условия жесткой склейки.

Определяющая система уравнений (1) при заданных начальных и граничных условиях решается с помощью метода конечных элементов и явной схемы интегрирования по времени типа "крест". Расчетная область разбивается 8-узловыми элементами (рис.]а), в узлах которых определяются перемещения и, скорости й и ускорения й в общей системе координат Л" = [Л", Л"2 А"31 .В каждом элементе вводится локальный

прямоугольный базис д£ = |л:,хгх3| , отслеживающий его движение как жесткого целого. С помощью изопараметрического преобразования, искаженный в общем случае, КЭ отображается на куб

ЧМг^з)

где -координаты узлов в локальном базисе х.

Б оболочках преобразование (3) может быть существенно упрощено. Предположим, что оси \"3 и 1;3 совпадают и направлены по нормали к срединной поверхности. Пренебрегая изменением метрики по толщине, можно перейти к 4-узловому элементу (рис. 1Ь), а преобразование (3) записать в виде

А3 г

Коэффиценты^. в (4) выражаются через координаты («'= 1,3) узлов 4-узлового элемента и толщину Л оболочки

' ( ' ' ' ' ^

г ( / / ; /Л г>2=^-дс,-*2 + л;3+х41/4, (5)

* ( ' ' ' Ь4={ХГХ2+Х3-Х4)'4-

¿>з = Л/2.

В узлах нового элемента будем хранить массу ш , компоненты скорости перемещений й и узловые силы Г, определенные в общей системе координат на внешней

^ т ,и ,/ ^ и внутренней ^т ,й ,/ ^ поверхностях оболочки. Используя (4), (5)

можно отобразить 4-узловой КЭ оболочки на куб (рис. 1с).

Компоненты скорости узлов конечного элемента проецируются в систему координат х и аппроксимируются внутри элемента с помощью функций форм Ык из (3)

Скорости деформаций е внутри КЭ аппроксимируются функциями вида ¿ = ё0+а,£1£1+а 2 е 242+а 3ё3£ 3, (7)

¿> = [° ¿2ZI ¿33.1 0 ¿23.1 °) '

¿2 =[¿11,2 0 ¿33,2 0 0 ¿31,г]^

¿3=^11,3 ¿ 22,3 0 ¿U3 0 °]Г-

[.о . О s 11 ¿2;

о . о

где s

Т I

= i « с с -л ■ значения компонент ско-I «1 =«2==«3=0

рости деформаций в центре элемента(гй =сопз(),

¿г[° ¿22,1 ¿33,1 0 ¿211 °] ^¿2=^11,2 0 ¿ 33,2 0 0 ¿Зи]^

¿3=[*пз ¿213 ® ¿12,3 " - градиент скорости деформаций в центре конечного элемента ( £(к [ = де^ / - сот! ), а. -весовые коэффициенты, регулирующие влияние моментнтных составляющих еге2,к3 на численное решение (0< а(. 21, / = 1,3). Значения компонент ё. (/ = 0,3) определяются с помощью соотношений (2)-(6) и обратной матрицы Якоби.

Варьируя весовыми коэффицентами ос. от 0 до 1 и корректируя соответственно

аппроксимацию скоростей деформаций ё и напряжений с, можно получить широкий набор конечных элементов для решения нелинейных задач динамики массивных тел и оболочек.

В массивных телах используется 8-узловой КЭ и коэффиценты а( задаются в пределах от 0,01 до 0,05. Напряжения аппроксимируются линейными функциями °" = СТ0+СТ1^1+СТ2^2+СТ3^3

0 0 о о о о г

где <70 =[oua22 ОГ33 ff12o-23a13] =ст

1|=£2=£з=0 * вект0Р' составленный из значений

компонент напряжений в центре конечного элемента, <r,=[0 a2V a}}l0a2}] of ,a 2=[a il2 0 a 3il 0 0 a l32f, Г

a 3 = [a!! 3 cr 2i3 0 a ,i3 0 0] - градиент напряжений вдоль осей , |2,

(ст^ = const; aikl = ёоik I= const) . Поскольку коэффициенты ajмалы, связь

полагается линейно упругой, а пластические свойства материала учитываются при вычислении напряжений в центре КЭ. Точность численной схемы, основанной на таком

элементе, совпадает с точностью известной схемы Уилкинса, а введение моментных составляющих напряжений подавляет неустойчивость типа "песочных часов".

В оболочках можно воспользоваться 8-узловым КЭ или перейти к 4-узловому элементу, а для коэффициентов си в (7) задать значения а 3 = I, а ] ,а 2 « I ( предполагается, что направлена по нормали к поверхности оболочки). При упругопласти-ческом деформировании напряжения в оболочках аппроксимируются нелинейными функциями

ст = сг1 i 1+0г2^2+о-3(^3) (9)

гдест3(i3) = [<?], <т22 сг33 ст)2 сг23 ст|3] -распределение ст^ вдоль оси = £2 =0. Чтобы учесть нелинейность распределения <т3 по толщине, КЭ оболочки разбивается в

этом направлении на ряд подслоев, в которых напряжения аппроксимируются кусочно постоянными функциями.

Выражая Si через вариации скорости перемещений и подставляя в (1) значения ст, найденные из уравнений состояния, получим статически эквивалентные им узловые силы.Узловые силы проецируются из локальной системы координат х в общую X и суммируются по примыкающим к узлу элементам. Компоненты контактных узловых сил Q могут быть определены по любому алгоритму, реализующему решение нестационарной задачи контакта сплошных сред, поскольку в оболочках применяется такая же аппроксимация скорости перемещений, что и в массивных телах. В данном случае используются алгоритмы численного моделирования нестационарного контакта деформируемых тел, разработанных в НИИ механики при ННГУ под руководством Баженова В.Г. / 1 /. Подставляя результирующие узловых сил F. Q в (I) получим его дискретный аналог

MÛ = F + Q, (10)

где M -матрица масс узлов, V-вектор узловых ускорений в общем базисе X.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (10) интегрируется по явной конечно-разностной схеме.

Предлагаемый вариант 4-узлового конечного элемента оболочки реализован в виде алгоритмов и отдельных модулей в программном комплексе "Динамика-3", предназначенном для решения трехмерных нелинейных задач динамики составных конструкций. На ряде задач проведенно исследование точности разработанной численной схемы. Исследования проводились по трем направлениям:

1) решение задач динамики отдельных оболочек;

2) численное моделирование нестационарного контакта оболочек между собой и с массивными телами;

3) решение нестационарных задач деформирования составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки.

Для сравнения использовались расчетные и экспериментальные данные других авторов, а также результаты решения полученные в рамках ППП "Динамика-3" с помощью 8-узлового КЭ, точность которого подтверждается многими исследованиями. Сопоставление результатов подвердило работоспособность предлагаемой методики.

На рис.2 в качестве иллюстрации приведены результаты решения задачи о падении плиты перекрытия на сферический купол. На этом рисунке приведены КЭ-сетки купола в начальный и конечный моменты времени, а также графики временных за-висмостей интегральной контактной силы И (1 - плита,2 - купол), вертикального смещения и и его скорости V в полюсе купола (1) и на плите (2). Анализ показал, что максимальный прогиб купола при падении плиты плашмя увеличивается примерно на 8° о.

В третьей главе изложены результаты численного и физического моделирования импульсной обработки листовых деталей. Расчеты проводились с целью апробации предлагаемой методики в геометрически и физически нелинейных задачах динамики оболочек. Рассмотрены отбортовка отверстия в тонкой пластине (рис.3) и обжатие торца трубы овального поперечного сечения (рис.4). Как видно из рис. 3, в задаче импульсной отбортовки отверстия в пластине упругопластические деформации достигали на краю заготовки 30%. Во второй задаче (рис. 4) максимальные упругопластические деформации возникали в области заделки. На момент окончания счета они составляли приблизительно )3%. Достоверность результатов расчетов подтверждается имеющимися экспериментальными данными. Таким образом проведенный анализ показал, что разработанная численная схема позволяет качественно правильно и количественно удовлетворительно описывать большие формоизменения и упругопластические деформации тонкостенных элементов конструкций. Численное решение задачи позволило подобрать параметры электро-магнитного импульса, обеспечивающего заданное формоизменение заготовки.

Четвертая глава посвящена численному исследованию нестационарного деформирования контейнеров и опорных конструкций, используемых для транспортировки и хранения контейнеров.

Рассмотрена задача о падении на дно шахты стеллажа с контейнерами. Стеллаж (рис. 5) состоит из 3-х стоек, выполненных из стальных труб, и ряда полок, представ-

ляющие собой круглые пластины. Для долговременного хранения стеллаж с контейнерами опускается в шахту. Зазор между стенками шахты и стойками стеллажа составляет примерно 1 см. Поскольку при загрузке не исключено аварийное падение стеллажа с контейнерами на дно шахты, возникает ряд вопросов: каким образом в этой ситуации будут деформироваться стойки стеллажа, не заклинит ли в результате падения стеллаж в шахте? Результаты решения представлены на рис. 5 в виде расчетной кинограммы процесса деформирования. Анализ результатов расчета показал, что в исходном варианте стойки стеллажа выпучиваются, их прогибы многократно превышают допустимую величину. Дальнейшие исследования позволили оценить влияние различных факторов на деформирование стоек и выработать рекомендации для обеспечения необходимой жесткости конструкции. В частности, было установлено, что для снижения прогибов стоек до приемлемых значений радиус и толщину стенок стоек необходимо увеличить примерно в 2 раза.

Проанализировано деформирование под дона с контейнерами при его падении на неподвижную плиту(рис. 6). Рассмотрено несколько вариантов задачи, отличающиеся ориентацией конструкции в начальном положении. На рис.6 приведены результаты решения задачи при падении поддона на плиту плашмя. Здесь изображены графики временных зависимостей интегральной контактной силы и скорости перемещений на контейнерах. Приведены также конечно-элементные сетки расчетной области и ее отдельных фрагментов на момент окончания счета. Анализ результатов показал, что перегрузки на контейнерах в 300 раз превышают ускорение свободного падения, что допускается условиями эксплуатации. Судя по расчетным значениям максимальных деформаций на вертикальных стойках (А) и трубе погрузчика (В) возможны разрушения. Однако это вряд ли повлияет на перегрузки на контейнерах, поскольку к тому времени когда деформации превысят допустимые значения, скорость контейнеров составляет порядка 2-3% от начальной величины. Рассматривался вариант падения поддона на плиту в вертикальном положении. Перегрузки на контейнерах в этом случае в 900 раз больше ускорения свободного падения. При такой перегрузке на узлах крепления контейнера к раме поддона возникают усилия, которые по справочным данным могут привести к их разрушению. Поэтому для оценки дальнейшего поведения контейнера в данной аварийной ситуации требуется рассмотреть другие варианты постановки задачи: падение контейнера на плиту, деформирование контейнера под действием падающего на нёго груза и т.д.

Проведено исследование деформирования контейнера при падении на него ппи-ты(рис. 7). В расчетах менялись высота падения плиты и ориентация контейнера в про-

странстве. На рис. 7 приведены графики изменения во времени интегральной конакт-ной силы И, на падающей плите и преграде, вертикальной компоненты скоростиУ, в характерных точках конструкции. Изображены конечно-элементные сетки расчетной области, характеризующие формоизменение корпуса контейнера. Как видно из представленных результатов при падении плиты с 9м на вертикально расположенный контейнер на его корпусе со временем возникает складка, в которой судя по деформациям возможно разрушение. При уменьшении высоты падения плиты в 2 раза такой складки не образуется. Если же контейнер находится в наклоненном положении, даже при падении плиты с 4,5 м на его корпусе образуется несимметричная складка, в которой деформации превышают допустимые значения. Исходя из этого был сделан вывод, что при наклоненном положение данной конструкции повышается вероятность ее разгерметизации.

В заключении приводятся основные результаты и выводы диссертационной работы.

1. Проведен анализ методов численного решения трехмерных нелинейных задач нестационарного деформирования оболочек. Предложен вариант конечно-элементной методики решения задач этого класса, ориентированный на исследование динамики составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки. Методика основана на явной схеме интегрирования по времени типа "крест" и 4-узловом конечном элементе. В узлах элемента определяются компоненты скорости перемещений на внешней и внутренней поверхностях оболочки, отнесенные к общей неподвижной системе координат. Внутри элемента скорости перемещений аппроксимируются полилинейными функциями. Скорости деформаций определяются в локальном базисе, отслеживающем движение КЭ как жесткого целого и аппроксимируются линейными функциями. Для стыковки отдельных элементов расчетной области узловые силы проецируются в общую систему координат. Дискретные соотношения предлагаемой численной схемы являются эквивалентом теории оболочек типа Тимошенко и позволяют решать задачу динамики тонкостенных конструкций на сетке с одним слоем конечных элементов по толщине.

2. Предложенная методика адаптирована к разработанным ранее типам конечных элементов и численным схемам решения задачи контакта деформируемых тел на несогласованных сетках. На ее основе разработаны алгоритмы и программные модули для вычислительного комплекса "Динамика-3".

3. С целью апробации разработанной методики в классе геометрически и физически нелинейных задач исследованы процессы деформирования пластин, оболочек и

составных конструкций при импульсных и ударных воздействиях. Достоверность полученных результатов подтверждается сопоставлением с данными вычислительных и натурных экспериментов других авторов.

4. Решен ряд прикладных задач. Рассмотрено деформирование контейнера при падении на него упругой плиты. В расчетах менялись высота падения плиты и ориентация контейнера в пространстве. Проведен анализ возможности разгерметизации конструкции в рассмотренных ситуациях. Исследовано падение стеллажа с контейнерами на дно шахты. Установлены факторы, влияющие на деформирование его стоек и выработаны рекомендации для предупреждения их выпучивания. Проанализировано деформирование поддона с контейнерами при его аварийном падении с погрузчика при различных углах на жесткую плиту. Получены оценки возникающих на контейнерах перегрузок и усилий на креплениях контейнеров к раме поддона, выделены зоны максимальных деформаций, в которых возможно разрушение конструктивных элементов поддона.

5. Разработанная методика, ее программная реализация и результаты расчетов внедрены и используются в расчетной практике ряда заинтересованных предприятий, что подтверждается актом о внедрении.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И., Цветкова И.Н. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия узлов составных конструкций в трехмерных задачах динамики/УТезисы докладов Всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред".М.: РИЦ МГА-ТУ.1995.С.8.

2. Кибец А.И., Кибец Ю.И., Цветкова И.Н. Моделирование импульсной штамповки листовых деталей методом конечных элементов//Труды XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин.Т.2. Казань 15-20 сентября, 1995. Казанский гос. ун-т. 1996. С. 140-145.

3. Кибец А.И., Кибец Ю.И., Матвеев В.З. Численное моделирование динамического деформирования контейнера при аварийном падении на него плиты//Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических^ процессов.Межвуз.сб.Москва.Товарищество научных изданий КМК, 1997.С.77-83.

4. Кибец А.И., Кибец Ю.И. Конечно-элементное решение трехмерной задачи импульсной обработки листовых дегалейЛТруды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.29 сентября-4 октября, 1997. Т.1. Саратов. 1997. С.43-47.

5. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Метод конечных элементов в нестационарных задачах устойчивости и разрушения конструкций//Тезисы докладов XVI Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел. Методы конечных и граничных элементов".23-26 июня 1998г.С.Петербург.

6. Баженов В.Г., Кибец А.И., Кибец Ю.И. Конечно-элементное решение трехмерных задач нестационарного деформирования составных конструкций//Тезисы докладов Всероссийского симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред".М.: РИЦ МГАТУ, 1998.С.29-30.

7. Finite Element Analysis of Deformation of Containers with Radioctive Materials in Emergency Situations/V.Bazhenov, A.Kibetz, YXibetz.V.Matveyev, A.Uchaev //PATRAM'98: Proc. 12th Int. Conf. of the Packaging and Transportation of Radioctive Materials. May 10-15.1998. Vol.1. Paris.l998.P.253-260.

\\ -*2 \\3

u ь/

u, f, m

щ f,"m

С)

Û3>

7 j J

- ->■

/ 5

/6 2

»2 u3

Рис. 1

Падение плиты перекрытия на сферический купол Н = 6.6 м, М = 120 т, И = 2.5 м , Ь = 0.032 м, материал - сталь

I = 150 мс

11, см

50. 0 100.0 150.8

1 КС

Смещения

(= 150 мс

V, м/с

2 (плата)

(купол \у в центре)

50.8 100.0 150.0

I ис

Скорость

Импульсная обработка отверстия сложной геометрии

= 83 мм, Яо = 50 мм, Ь = 20 мм, 11 = 1,5 мм, Ли = 70 мм. Материал Д16М, длительность импульса - 40 мкс.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОГО ОБЖАТИЯ ТОРЦА ТРУБЫ С ОВАЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ.

прогиб в точке 1 з ц'1°>см

прогиб в точке 2 и-10, см

3 ./ .

А А

0 40 80 120 t, мкс

40 80 120 t, мкс

Давление 1 - q = qi =const

2 - q = q2 =const

3 - q = q(x¡) кусочно-постоянное распределение

Распределение интенсивности пластических деформаций по расчетной области в остаточном положении

;"" в.тж-ш

n.mi-oa

э .аш-оа •уж» *.3(Щ-|»" штч л****-ят в.ЛГЕ-02 штт Я.ЖШ-ta Í.OíHE-OA

шт i .3»6-ol

Падение стеллажа с контейнерами на дно шахты Н = 6,5 м, масса контейнера = 100 кг

1 = 0

I = 5 мс

1= Юме

I = 15мс

Падение поддона с контейнерами на недеформируемую плиту масса контейнера — 250 кг , Уо = 13,3 м/с

-400

мс

V, м/с

Деформирование контейнера при падении на него плиты Р1 массой 500 кг

К1

ф,

м,

м.

М,

К, кН

600 о

-600

о 4 8 12 МС

Р„ кН

У0=13 м/с

V,, м/с

0 4 8 12 ^ МС

У0 = 9,6 м/с

200 Р1 ----_

0 Р2 5 "Мз у".' "" - <

-200 / м2

8 12 МС

8 12 е, МС

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Кибец, Юрий Иванович, Нижний Новгород

V? Г -ч-

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи

КИБЕЦ ЮРИЙ ИВАНОВИЧ

Специальность 01.02.04 -механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Баженов В.Г. Научный консультант к. ф.-м. н. Кибец А.И.

Нижний Новгород - 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Состояние вопроса. Цели и задачи исследования 6

1.1. Математические модели нестационарного деформирования конструкций 6

1.2. Численные методы решения задач нестационарной динамики конструкций 12

1.3. Цели диссертационной работы и ее содержание 23 Глава 2. Конечно-элементная методика решения трехмерных задач

нестационарного деформирования составных конструкций 27

2.1. Определяющая система уравнений 27

2.2. Метод решения и его программная реализация 31

2.2.1. Численная схема решения трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластическйх сред 31

2.2.2. Четырехузловой конечный элемент для решения трехмерных задач динамики оболочек 38

2.2.3. Конечно-элементное моделирование контактного взаимодействия деформируемых тел 42

2.2.4. Программная реализация численного решения трехмерных задач динамики конструкций 49

2.3. Решение тестовых задач 51

2.3.1. Исследование точности 4-узлового КЭ в нестационарных задачах упругопластического деформирования пластин и оболочек 51

2.3.2. Тестирование программы численного моделирования контактного взаимодействия деформируемых элементов конструкций 55

2.3.3. Анализ точности решения задач динамики составных конструкций, включающих массивные тела и оболочки 59

Глава 3. Численное моделирование импульсной обработки

листовых деталей 92

3.1. Импульсная отбортовка круглого отверстия в алюминиевой пластине 92

3.2. Внутренняя отбортовка пластины с овальным отверстием 95

3.3. Магнитно-импульсное обжатие торца трубы с овальным поперечным сечением 98

Глава 4. Нестационарное деформирование контейнеров и

опорных конструкций в аварийных ситуациях 119

4.1. Исследование выпучивания стоек стеллажа при его падении

на дно шахты 119

4.2. Численный анализ динамического деформирования поддона с партией контейнеров при их аварийном

падении с погрузчика 131

4.3. Численное моделирование нестационарного деформирования контейнера при соударении с плитой 148

Заключение 195

Список литературы 197

Приложение. Акт о внедрении 216

ВВЕДЕНИЕ

Для хранения и транспортировки радиоактивных материалов и их отходов, взрывчатых веществ и т.п. применяют специально разработанные контейнеры. Как правило эти конструкции сложны и многообразны. Наряду с небольшими (массой до 100 кг) и сравнительно дешевыми контейнерами на практике могут потребоваться дорогостоящие контейнеры весящие сотни тонн.

В виду тяжелых экономических и экологических последствий от возможных аварий, к прочности разработанных конструкций подобного рода предъявляются повышенные требования.

Натурные испытания контейнеров не всегда возможны Или очень затруднены в виду большой их стоимости. В силу этого значительно повышается актуальность теоретических исследований. Математическая формулировка возникающих процессов приводит к трехмерной нестационарной задаче механики деформируемого твердого тела. Сложность задачи объясняется следующими факторами:

1) спецификой конструкций, включающей в себя не только пластинки и оболочки, но и массивные тела (днища, уплотнители, узлы крепления и т.д.);

2) взаимодействием волн деформаций и напряжений;

3) возможным появлением пластических деформаций и зон разрушения;

4) контактным взаимодействием конструктивных элементов между собой и с окружающими телами;

5) большими перемещениями, формоизменениями и другими нелинейными эффектами.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию конечно-элементной методики решения трехмерных динамических задач упруго-пластических конструкций и исследованию прочности контейнеров при ударных воздействиях. Задачи такого класса мало изучены даже в двумерной (осесимметричной) постановке. Результаты же трехмерных расчетов встречаются крайне редко, что связано с трудоемкостью вычислений.

1 . СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИЙ В общем случае поведение конструкции описывается уравнениями механики сплошных сред. Однако, тонкостенные элементы конструкций обладают рядом особенностей, допускающими при соблюдении некоторых условий, построение разрешающей системы уравнений и граничных условий с меньшим числом независимых переменных. Это позволяет существенно экономить вычислительные ресурсы, что является решающим фактором при анализе трехмерных задач нестационарного деформирования, отличающихся исключительной трудоемкостью. Обзор методов сведения трехмерной задачи к двумерной, решение которой приближенно восстанавливает трехмерные поля смещений, деформаций и напряжений в оболо-чечных элементах конструкций приведен в работах В.З. Власова /44/, A.C. Вольмира /45/, В.В. Болотина, Ю.Н. Новичкова /37/, С.А. Амбарцумяна /13/, A.B. Кармишина, А.И. Жукова и др. /75/, Н.А.Алфутова, П.А. Зиновьева, Б.Г. Попова/12/, В.В. Васильева /40/, К.З. Галимова, В.Н. Паймуши-на /49/, Л.Ю. Коссовича /89/, А.К. Перцева, Э.Г. Платонова /120/, Я.М. Григоренко, А.Т. Василенко, Г.П. Голуб/62/, А.Е. Богдановича/36/и обзорных статьях Э.И. Григолюка, И.Т. Селезова /61/, A.A. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова /65/, А.К. Галиньша /52,53/, Л .Я. Айнолы, У.К. Ни-гула 191, Э.И. Григолюка, К.А. Когана /60/, H.A. Кильчевского /83/, Ю.В. Немировского, В.И. Самсонова /108/, А.Ф. Крегерса, Г.А. Тетерса /140/, П.З. Лугового/98/.

Существующие способы понижения размерности задачи в теории пластин и оболочек можно разделить на три группы: 1) метод гипотез, 2) асимптотический метод, 3) метод разложения перемещений и напряжений в ряды по нормальной координате.

Метод гипотез базируется на некоторых априорных прелположе-ниях относительно характера напряженного и деформированного состояния оболочки, позволяющих получить двумерную краевую задачу, эквивалентную в некотором смысле трехмерной. Первым вариантом теории оболочек такого типа является теория Кирхгофа-Лява. Ее применение в задачах нестационарной динамики затрудняется тем, что они являются параболическими, вследствии чего их решение не имеет волнового характера и, следовательно, не описывает полностью переходных процессов, возникающих при изгибных деформациях оболочки. В последующем уравнения этой теории уточнялись С.П. Тимошенко /189/, Я.С. Уфляндом /146/, Р. Миндлиным /183/, М.В. Дубинкиным /64/, П. Нагди /184/, Т. Лином, Г. Морганом/179/, H.A. Алумяэ /11/, А.Л. Айнолой /4-8/, М.П. Галиным /50,51/, У.К. Нигулом /9/, В.Н. Паймушиным /119/, Г.И. Петрашенем /121,122/, Н.З. Якушевым /156/.

В асимптотическом методе искомые функции определяются в форме разложения по степеням малого параметра, зависящего от толщины оболочки. Этот метод применялся И.Я. Штаерманом /152/, К. Фридрихсом и Р. Дресслером/168/, А.Л. Гольденвейзером /56-58/, Б.Е. Победрей /123/, Н.С. Бахваловым, Г.П. Панасенко/34/и другими авторами. В задачах динамики асимптотический метод был развит в работах Л.Ю. Коссовича /89/ и Ю.Д. Каплунова /73/. Для успешного применения асимптотического метода желательна предварительная информация об основных свойствах на-пряжен-ного состояния, что снижает его эффективность . Кроме того, некоторые трудности связаны с определением граничных условий, которым должны удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на определенном этапе приближения.

Метод рядов основан на разложении перемещений или напряжений в ряды по некоторым заданным функциям толщинной координаты и подстановке аппроксимирующих рядов в уравнения теории упругости. В ре-

зультате подстановки получаются дифференциальные зависимости, из которых находятся коэффициенты этих разложений искомых функций в ряд. Метод рядов применялся в работах А. Коши /164/, С. Пуассона /187/, Ф. Краусса /177/, H.A. Кильчевского /82/, П. Эпстейна /166/, Е. Кеннарда /176/, У.К. Нигула /109/, И.Т. Селезова /138/, И.Н. Векуа /43/, В.В. Новожилова, Л.И. Слепяна /114/, H.A. Абросимова, В.Г. Баженова /3/ и других авторов. Метод рядов имеет некоторые недостатки. В частности, удовлетворение начальных и краевых условий с заданной точностью требует относительно более высокой точности уравнений. При формальном усечении аппроксимирующих рядов в разложении могут остаться члены такого же порядка малости, что и отброшенные. Поэтому успешное применение метода рядов требует асимптотического анализа порядка малости отбрасываемых членов.

Действие интенсивных нагрузок может приводить к большим перемещениям тонкостенных элементов конструкций, не описываемым линейной теорией. Необходимость исследования таких процессов обусловила интенсивное развитие нелинейных теорий оболочек. Большой вклад в развитие геометрически нелинейной теории оболочек внесли работы И.Г. Бубнова, В.З. Власова, A.C. Вольмира, К.З. Галимова, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, И.Г. Терегулова и др./44,45,47,48,61,106,107/. Можно выделить два подхода к описанию геометрической нелинейности.

В первом подходе /7,17,32,107 и др./ рассматриваются соотношения нелинейной теории упругости /112,113/, записанные в криволинейной системе Гауссовых координат, связанной со срединной поверхностью неде-формированной оболочки.

Во втором подходе /145/ используются кинематические соотношения, связывающие скорости деформаций и скорости перемещений для текущей метрики упругопластической среды. В теории оболочек этот подход был развит В.Г. Баженовым, В.И. Дресвянниковым, Е.А. Уитмером, A.C. Саха-

ровым и др. /16,63,178,101/. Трудоемкость второго подхода, связанная с необходимостью пересчета координат узлов сеток и определением углов Эйлера на каждом временном шаге, компенсируется более широкой областью применимости при решении геометрически нелинейных задач.

Поскольку любой способ построения математической модели деформирования оболочек является приближенным, возникает вопрос о рамках ее применимости. Решению этого вопроса посвящены работы P.M. Финкельштейна/115/,Х.М. Муштари/105/, У.К. Нигула/110/,Э.В. Росса /130/, В В. Новожилова, Л И. Слепяна /114/, Г.И. Петрашеня /121,122/, В.Г. Ключниковой /84,85/, H.A. Абросимова, В.Г. Баженова/2,3/ и др.

Установлено /114,122/, что параболическая система уравнений теории оболочек Кирхгофа-Лява достаточно хорошо описывает колебания, у которых длина волны не менее 10 толщин. Для описания коротковолновых переходных процессов необходимы гиперболические аппроксимации, например, уравнения типа Тимошенко. Вычислительная практика показывает, что теория оболочек типа Тимошенко обеспечивает приемлемую точность результатов для волновых процессов с длинами волн порядка 2-3 толщин и более. При этом для перемещений область применимости шире, чем для деформаций и напряжений.

В задачах нестационарного деформирования применение теории оболочек ограничивается также и изменением нагрузки во времени. В работах В.В. Новожилова, Л.И. Слепяна /114/ У.К. Нигула /111/ показано, что теория оболочек типа Тимошенко имеет более широкую область применения, чем теория Кирхгофа-Лява. Установлено существование областей неприводимости (окрестности фронтов распространяющихся волн, контурные поверхности, зоны сосредоточенных воздействий), в которых справедливы лишь трехмерные уравнения теории упругости. Наибольший поперечник областей неприводимости имеет относительный порядок малости равный порядку малости толщины оболочки.

Для описания упругопластического поведения материала используются соотношения теории пластичности. Общие уравнения связи между напряжениями и деформациями для траекторий произвольной кривизны сформулированы A.A. Ильюшиным в работе /70/. Однако трудоемкость этой методики и отсутствие экспериментальных данных ограничивает ее применение. На практике наибольшее распространение получили деформационная теория пластичности и теория течения.

Деформационные модели устанавливают связь между конечными значениями тензоров деформаций и напряжений. Наиболее распространенной среди теорий этого направления является теория малых упруго-пластических деформаций A.A. Ильюшина /69,104/. Основными достоинствами этой модели являются ее математическая обоснованность, относительная простота и приемлемая точность результатов для процессов простого нагружения. Однако при непропорциональных знакопеременных нагружениях в задачах нестационарной динамики теория малых упруго-пластических деформаций неприемлема. В теории течения рассматривается связь между скоростями или приращениями деформаций и напряжений. Подробный обзор теорий течения и их приложений приведен в /86,118/. Для решения многих исследовательских и прикладных задач применялись соотношения упругопластического течения Прандтля-Рейса (модель упру-го-идеальнопластического тела). Обобщением этих теорий на упрочняющиеся материалы являются дифференциальные теории пластичности. В основе дифференциальных теорий лежит ассоциированный закон течения, согласно которому в точке нагружения направление вектора скорости пластических деформаций совпадает с нормалью к поверхности текучести (для регулярных точек). Поверхность текучести в процессе деформирования может смещаться в пространстве напряжений, менять форму и размеры. Для изотропных материалов начальная поверхность текучести хорошо описывается уравнением Мизеса. Среди дифференциальных теорий широ-

кое распространение получили теории, основанные на концепции кинематического и изотропного упрочнения. Эти теории имеют более широкую область применимости и более удобны в численной реализаций, чем теории деформационного типа.

Большой вклад в развитие дифференциальных моделей теории пластичности внесли работы P.A. Арутюняна и A.A. Вакуленко /14/, А.Ю. Ишлинского /71/, Ю.Г. Коротких /88/, В.В. Новожилова и Ю.И. Кадаше-вича /72/, В. Прагера /125/, А.Г. Угодчикова /143/ и других авторов. Многочисленные исследования показали, что результаты расчетов по теории течения с использованием комбинированного упрочнения в основном соответствуют экспериментальным данным, хотя и имеются некоторые отклонения/97/.

Многими исследователями /42,126,163,148,99,180,149/ было установлено, что изменение скорости деформаций на несколько порядков (от

10 Зс_1 до 10+4с~') влечет за собой заметные изменения в диаграмме деформирования. В связи с этим возникла необходимость построения определяющих уравнений среды в широком диапазоне скоростей деформаций для решения задач динамики упругопластических конструкций.

Первые попытки определения закономерностей деформирования металлов при высоких скоростях нагружения предпринимались еще в начале этого века. Уже тогда было установлено существенное отличие таких характеристик материала как предел текучести, предел прочности, остаточные деформации, при динамическом деформировании от их значений в статическом случае, Однако, прогресс в этой области длительное время был ограничен как трудностями, связанными с необходимостью измерений быстротекущих процессов, так и сложностью теоретического изучения проблемы.

В настоящее время предложено несколько моделей для описания упругопластического деформирования металлов при динамическом на-

гружении. Наиболее простой является модель Рахматулина-Кармана, основывающаяся на предположении, состоящем в том, что между напряжениями и деформациями существует такая же функциональная зависимость, как и в статике, но вид ее отличается от статической и представляет собой усредненную в некотором диапазоне скоростей деформаций динамическую зависимость о = од (е) . Благодаря своей простоте подобный подход получил широкое распространение и, как показывает практика, он в ряде случаев дает удовлетворительные результаты. Методика экспериментального определения зависимости о = од(е)