Конечноэлементный анализ нелинейных пространственных краевых задач теории упругости для слоистых ограниченных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МВД РОССИИ КРАСНОДАРСКИЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

од

/ Б И-ТгЛ ' На правах рукописи

УДК 539.3

Михайленко Евгений Владимирович

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЛОИСТЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ

специальность: 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар 1998

Работа выполнена на кафедре управления и информационно-технического обеспечения ОВД Краснодарского юридического института МВД России

Научные руководители: доктор физико-математических

наук, профессор Дунаев И.М.;

кандидат физико-математических наук, доцент Фролов Н.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Глушков II.В.;

Защита состоится: " 25 " июня 1998 года в 10 часов на заседании диссертационного совета К 063.73.02 по физико-математическим наукам в Кубанском государственном универси тете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149 КубГУ, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КубГУ.

кандидат физико-математических наук, доцент Стоян В.П.

Ведущая организация:

Кубанский государственный аграрный университет

Автореферат разослан

МЛА, 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Евдокимое

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования:

Промышленные изделия из эластомеров обладают уникальными механическими и теплофизическими свойствами, не присущими деталям, выполненным из традиционных конструкционных материалов. Природная предрасположенность эластомеров к формоизменению обуславливает возможность применения соответствующих изделий в области конечных деформаций в сочетании с гарантированным ресурсом работоспособности. Оригинальным свойством эластомеров является их повышенная сопротивляемость воздействиям, сопровождаемым упругим изменением объема. Известно, что параметры Ламе для большинства конструкционных резин отличаются на три порядка, что обуславливает их повышенную делатаци-онную сопротивляемость и делает сопоставимым этот тип материалов с жидкостями. На этой основе были созданы изделия с конструкционно организованной анизотропией, обладающие прогнозируемым ассортиментом жесткостных параметров в различных направлениях нагружения. Примером служат тонкослойные резиноармированные элементы (ТРАЭ) - пакеты чередующихся, скрепленных приклеиванием тонких слоев резины и арматуры различной конфигурации. При изучении напряженно-деформированного состояния таких резинотехнических изделий принципиальным моментом является учет механической сжимаемости резины.

В настоящей работе в качестве объектов исследования рассмотрены трехмерные резиновые и резинометаллические слоистые тела цилиндрической конфигурации, процессы механического нагружения которых сопровождаются генерированием больших упругих деформаций и возникновением зон с высоким уровнем нормальных напряжений. Для случая составных резинометаллических тел обе составляющие его компоненты считаются деформируемыми. Предметом исследования в работе является задача, связанная с анализом механического поведения резиноармирован-

пых тел слоистой структуры в условиях квазистатического нагружения. Исходная задача формулируется и изучается как пространственная задача геометрически и физически нелинейной теории упругости с учетом объемной сжимаемости резины и податливости армирующих слоев. Актуальность темы:

При проектировании резинотехнических изделий обязательным этапом является проведение статического расчета, поскольку именно в ходе его осуществления подлежат оценке наиболее важные для дальнейшей практической деятельности параметры. При этом особенность резины как конструкционного материала предопределяет необходимость формулировки и решения соответствующих краевых задач теории упругости в геометрически и физически нелинейной пространственной постановке. Подавляющее большинство важных с точки зрения практического применения задач не допускают аналитического решения и подлежат изучению только в процессе построения численных решений на ЭВМ. Наблюдаемая сейчас «революция» в области микропроцессорной техники еще более укрепляет позиции численных методов в .механике высокоэластичных материалов. Поэтому создание физико-математической модели и технологии решения прикладных задач для конструкционно неоднородных сред указанного типа представляет собой важную и актуальную задачу механики деформируемого твердого тела, имеющую важное научно-техническое приложение. Цель работы:

• построение «удобных» в численной реализации определяющих уравнений для описания процессов деформирования высокоэластичных полимеров в условиях стесненного деформирования и генерирования высокого уровня нормальных напряжений;

• разработка теоретических положений и технологии решения нелинейных пространственных задач с учетом контрастности механических

характеристик высокоэластичной и армирующей составляющих, а также специфики их совместной работы;

• создание программного обеспечения для проведения численной реализации указанного типа задач с применением общедоступных ПЭВМ средней мощности;

• решение некоторых важных с точки зрения практического применения задач.

На защиту выносятся:

• определяющие уравнения для описания деформирования гиперупругих слабосжимаемых эластомеров с параболическим законом сжимаемости;

• дискретная формулировка изучаемого класса краевых задач по пространственным переменным и параметру нагружения;

• алгоритм и методика численной реализации на ЭВМ трехмерных задач для тел цилиндрической конфигурации с применением призматических конечных элементов;

• результаты решений приведенных в диссертации задач.

Практическая значимость:

Разработанная прикладная программа может быть использована для решения пространственных краевых задач, связанных с функционированием широкого класса резинотехнических изделий, работающих в условиях контакта с металлической или другого рода арматурой. При этом структура реализации ключевых методов решения рассматриваемых в настоящей работе задач позволяет осуществить переход к задачам с усложненным вариантом определяющих уравнений и граничных условий. Научная новизна:

На основании полученных, а также используемых в работе физических уравнений и приближенных численных методов математического анализа разработан алгоритм и программа для численной реализации на

ЭВМ нелинейных краевых задач по расчету резинотехнических изделий цилиндрической конфигурации в трехмерной постановке. Получены решения некоторых новых задач: сжатие куба и цилиндра, кручение куба, сжатие слоистого резинометаллнческого куба и цилиндра, сжатие с последующим сдвигом слоистого резинометаллнческого сейсмоизолятора.

Публикации:

По содержанию имеющихся в диссертации материалов опубликовано четыре печатных работы.

ОГ)1.е,м работы:

Структурно диссертационная работа состоит из введения, включающего постановку инженерно-технической проблемы, четырех основных разделов, заключения и списка используемой литературы из 87 наименований. Объем работы - 103 страницы машинописного текста при наличии одной таблицы и 55 графических иллюстраций.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Фундаментальные проблемы теории конечных деформаций твердых деформируемых тел различной природы исследованы в работах Грина и Адкинса, Гольденблатта И.И., Лурье А.И., Локетга, Гузя А.Н, Дэя, Трус-делла, Ильюшина A.A., Толоконникова Л.А. и др. Даже в процессе первичного ознакомления с содержанием монографий вышеуказанных авторов становится заметным резкое сокращение количества решенных в этой области задач по сравнению с линейной теорией упругости. Проблеме учета сжимаемости эластомеров и построению уравнений состояния посвящены работы Бидермана В.Л., Черныха К.Ф., Дунаева И.М., Дымнико-ва С.И., Рогового A.A., Одена, Кескотто и Фондера и др. авторов. Краевые задачи для тел из слабосжимаемых эластомеров при конечных деформациях исследовались в работах Кравчука A.C., Дымникова С.И., Кузнецова Г.Б., Малькова В.М., Сниегса МИ., Эрдманиса А.Г.. Фролова H.H. и др.

Наибольшее развитие за последнее время получили методы решения краевых задач теории упругости, и это обстоятельство напрямую связано с появлением и постоянной модернизацией парка вычислительных машин. Применительно к механике высокоэластичных материалов соответствующие математические процедуры были развиты в монографии Ла-венделаЭ. Э., в работах Дымникова С.И. с соавторами, Бидермана В.Л. i Жислина А.Я., Мюракава и Атлури, Хархурима И.Я., Гозмана Е.А., Гло вински и Ля Толлека, Тумалы с соавторами, в ряде других работ, полное перечисление которых выходит за рамки настоящего изложения. Приме нительно к геометрически нелинейным контактным задачам соответст вугощие методы были развиты и практически реализованы в работа) Кравчука A.C. с соавторами, Одена и Кикучи, Ля Толлека, где использо валек вариационный подход. В настоящей работе использованы определяющие уравнения нелинейной теории термоупругости структурно-неоднородных эластомеров, приведенные в работах Дунаева И.М. и получив шие дальнейшее обобщение на случай механической сжимаемости. Буду чи физически обоснованными, они содержат параметры, имеющие определенный физический смысл, и наделены явными зависимостями механи ческих параметров от температуры. Это обстоятельство создает предпо сылки для установления количественных связей между параметрами вь: шеуказанного потенциала и других используемых потенциалов (в нacтo^ шей работе неогуковского).

В первом разделе изложены техническая и математическая форму лировки задачи:

• подраздел 1.1 содержит информацию о состоянии проблемы настоящее время, здесь на инженерном уровне дается конкретизация обт екта изучения и проводится целенаправленный отбор аппаратных средст] используемых при решении поставленных задач;

s

• в подразделе 1.2 введен перечень кинематических и силовых параметров, с применением которых детерминируются уравнения равновесия, связь между напряжениями и деформациями, а также краевые условия в классической форме; ■

• в подразделе 1.3 построены определяющие уравнения и закон сжимаемости для высоко.эластичной части с применением опорного потенциала в форме Трелоара. Процедура построения фактически является результатом синтеза.двух традиционных подходов в построении определяющих уравнений для высокоэластичных слабосжимаемых материалов и реализуется с использованием понятия опорного потенциала и новых мер деформаций Коши-Грина. Последние выбраны в форме, предложенной в работах Рогового A.A. Предполагается, что компрессионные свойства эластомеров могут описаны в рамках закона сжимаемости Мурнагана. Так, при использовании в качестве опорного потенциала Трелоара и сохранении кубической аппроксимации по изменению третьего инварианта меры деформации Коши-Грина соответствующий упругий потенциал имеет вид:

где С - модуль сдвига эластомера, параметры -¿г> Хг подсчитываются по известным значениям постоянных, входящих в закон сжимаемости Мурнагана. Выбор функции типа гидростатического давления в виде

v = 0,5с[/с1 -(/„з -1) - 3 + q5x2(i,} - l)2 + (/,, - l)S],

(1)

(2)

приводит к параболическому закону сжимаемости

'"-""Г1-!:»5

и следующей форме представления потенциала (1)

где р = -/, / . Вариация потенциала (4) по аргументу (а -1) приводит к закону сжимаемости (3). Сохранение кубического слагаемого в выражении (1) не случайно, так как именно этом случае создается возможность для корректного описания компрессионных свойств эластомеров при всестороннем растяжении-сжатии. При проведении основных расчетов, наряду с уравнениями состояния, полученными на основании потенциала (4), использован также усложненный вариант физических соотношений, следующих из модифицированного потенциала Дунаева

где g:j - компоненты ковариантного метрического тензора g; /„, - первый инвариант этого тензора; Gak, с1, а„, а, - структурно-механические параметры эластомера; Т- абсолютная температура;

• в подразделе 1.4 сформулирована дифференциальная постановка задачи в переменных Лагранжа, включающая уравнения равновесия, связь между напряжениями, деформациями и перемещениями, закон сжимаемости для высокоэластичной составляющей (3), кинематические и силовые граничные условия. Далее на основании результатов, полученных в работах Кравчука A.C., осуществляется переход к вариационной постановке, предполагающей использование вместо уравнений равновесия и статических граничных условий принципа возможных перемещений:

+(ct-i)(/25-I)

(5)

(б)

где г„ - область, занимаемая телом в ненагруженном состоянии, Х„ - часть внешней поверхности тела, где известным считается вектор истинной плотности поверхностных усилий Р, и - вектор перемещения точки, к{и)~ кратность изменения величины элементарной площадки;

• подраздел 1.5 посвящен конкретизации вычислительных аспектов изучаемой задачи, выбору методов дискретизации и численного решения алгебраической системы.

Во втором разделе разработана технология численного решения пространственных нелинейных краевых задач теории упругости для тел из высокоэластичных и резиноармированных материалов. Настоящая работа, направленная на создание методики расчета слоистых резиноармированных структур, создавалась в условиях отбора и отработки таких методов и алгоритмов, при которых время полной численной реализации задачи на наиболее распространенных компьютерах типа РЕШИМ 100-166 (или аналогичных) было бы сопоставимо с отрезком дневного рабочего времени инженера-исследователя, владеющего основами современных численных методов;

• в подразделе 2.1 с использованием обозначений, приведенных в известной монографии Дж. Одена, осуществлен переход к конечномерной задаче по методу конечных элементов. В качестве базового принят элемент в виде треугольной призмы с линейной аппроксимацией перемещении и постоянным значением функции типа гидростатического давления. Уравнения равновесия (6) и сжимаемости (3) для конечного элемента представлены в виде

, 1 с--)1' («' М'Л (■('-)-» , («I («>'

^ «» )<1К = = Г* , (7)

г„ £„|,>

2 ам

1-(1 -^г-Г РХг

= о,

(8)

где Л"' - компоненты контравариантного тензора Коши, функ-

ции формы элемента, Р» - компоненты обобщенных узловых сил. Объединение уравнений (7), (8) по множеству конечных элементов приводит к глобальным условиям равновесия и сжимаемости:

И"

1—(1

О,

(9)

(10)

где л" - компоненты тензора напряжений Треффца, О?',-" - операторы разбиения;

• в подразделе 2.2 в операторном виде изложена процедура решения системы нелинейных уравнений метода конечных элементов, базирующаяся на применении метода продолжения по параметру (последовательных нагружений). Система уравнений (9), (10) представляется в виде:

(11)

где - «вектор» нелинейных уравнений относительно компонент глобального вектора неизвестных У\ Я(...) - глобальный вектор обобщенных

узловых сил; р- вектор поверхностной нагрузки в предположении кусочно-постоянного распределения на границах элемента; / - естественный параметр, задающий процесс изменения внешних воздействий. Полная вариация оператора (11) при выполнении условий дифференцируемости и гладкости приводит к построению уравнений в приращениях:

о

д У

л(г л) - о . У') = ^ Я^'Р^Р-

■де г - индекс-номер шага по параметру Г;

• подраздел 2.3 поспящен вопросам, связанным с особенностями [исленцой реализации задачи. Предлагается алгоритм построения компо-

1налитического дифференцирования (соответствующие операции выпол-шет компьютер с полным сохранением точности), формулируются меро-1риятия, направленные на снижение ширины ленты матрицы Якоби. Указывается, что для случая сжимаемых эластомеров путем применения двух-/ровненной системы-дискретизации создается возможность для исключения «гидростатических» неизвестных из числа неизвестных первого уровня, тем самым достигается компактность системы уравнений, а также сохраняется естественная нумерация неизвестных перемещений. Обсуждается другие вопросы численной реализации: вычисление континуальных интегралов, решение'системы линейных уравнений.

Третий раздел ориентирован на отработку методов и алгоритмов, ¡аложенных в основу решения задач, и содержит решения некоторых про-:транственных задач для тел из высокоэластичных полимеров:

• в подразделе 3.1 проведено исследование сходимости шаговой 1роцедуры (12) на примере решения задачи об одноосном напряженном состоянии резинового куба. Вариантные расчеты выполнены для двух типов потенциалов (Дунаева и Трелоара), дано сопоставление полученных •шеленных решений по МКЭ с результатами, найденными аналитически в циапазоне кратностей деформаций 0,5 2 ^ < 1, и проведена их сравнительная оценка;

(ент матричного уравнения (12), не использующий трудоемких операций

• в подразделе 3.2 исследуются конечные деформации куба из высокоэластичного материала, деформируемого между двумя абсолютно жесткими плоскостями в условиях полного сцепления. Значения физико-механических параметров соответствовали резине ИРП-3012. Получены эпюры распределения контактных напряжений и картина напряженно-деформированного состояния внутри области куба при максимальном поджатии на 20% от первоначальной высоты. Проведена проверка применимости гипотезы плоских сечений и отмечается, что в окрестности контактирующих торцов куба гипотеза плоских сечений неприменима. Полученные поля перемещений практически не зависят от вида используемых уравнений состояния, тогда как поля напряжений могут отличаться существенно (в настоящей задаче отличия по нормальным напряжениям достигли 18%);

• в подразделе 3.3 проведено исследование напряженно-деформированного состояния резинового цилиндра при аналогичном типе граничных условий и суммарном поджатии 20%. Задача является осесиммет-ричной, однако в целях отработки предлагаемых алгоритмов решение было получено в трехмерной постановке, а ограничение осевой симметрии использовано как проверочное. Вновь подтвердились результаты об идентичности полей перемещений, в свою очередь отличие по пиковым нормальным напряжениям составило 35%;

• в подразделе 3.4 получено приближенное численное решение задачи о кручении резинового куба между двумя абсолютно жесткими плоскостями при запрещенном относительном перемещении торцов. Найдены параметры напряженно-деформированного состояния при угле закручивания 1 рад. Общее число конечных элементов в задаче составило 5120, число неизвестных первого уровня - 9537 при ширине ленты матрицы Якоби - 9?Л. На рис. 1 показана деформированная конфигурация тела, достигнутая за десять шагов по параметру нагружения. На рис. 2 при-

ведена деформированная конфигурация среднего по высоте поперечного сечения. Видно, что, будучи изначально плоским, поперечное сечение де-планирует, причем поверхность депланации состоит их чередующихся участков выпуклости и вогнутости, размещенных в зонах, разграниченных главными центральными осями поперечного сечения. Несмотря на существенные отличия в постановочной части и технологии решения задачи данный результат полностью соответствует известным исследованиям Сен-Венана. На рис. 3 показана поверхность истинных нормальных напряжений, действующих в направлении высоты куба. Функция имеет периодическую по полярному углу структуру. Экстремальных значений напряжения достигают б окрестностях вершин квадрата, причем модули минимумов и максимумов практически одинаковы. Центральное «ядро» поверхности формируется областью сжимающих напряжений, обуславливающих проявление крутильного распора. Изображенная на рис. 4 поверхность касательных напряжений имеет кососимметричную конфигурацию, напряжения обращаются в ноль на сопряженной по индексу оси и достигают экстремальных значений в серединах сторон контура поперечного сечения. На рис. 5 изображена зависимость величины крутильного распора от номера шага нагружения. Зависимость имеет жесткий характер и свидетельствует о прогрессирующем росте крутильного распора по мере увеличения угла закручивания. Общее время решения задачи составило -600 мин. на ЭВМ, оснащенной процессором Cyrix 6x86 PR 166+ и модулем памяти DIMM 32 Mb SDRAM.

В объеме четвертого раздела приведены результаты численного решения краевых задач для тонкослойных резиноармироваииых элементов с металлическим вариантом армирования в предположении линейно-упругого поведения металла:

• в подразделе 4.1 проанализирована задача, связанная с изучением влияния податливости металла, условий совместной работы и граничных

условий на напряженно-деформированное состояние трехслойного рези-нометаллического параллелепипеда я режиме заданных перемещений. Фактически рассмотрены следующие четыре задачи. В первой из них металл считался недеформируемым, а резиной слой находящимся в условиях одноосного деформированного состояния. Задача 2 отвечала варианту с недеформируемыми металлическими слоями и возникновению сложного напряженного состояния в резиновом слое, сопровождающегося появлением характерной «бочкообразности» на боковых поверхностях. Задача 3 отвечала задаче 1 при условии снятия ограничения о недеформируемости металла. Задача 4 соответствовала задаче 2 при отказе от всех ранее упомянутых ограничений. Расчеты были выполнены при следующих параметрах составляющих пакета: толщина металлических слоев - 0,0025 м, резинового - 0,02 м, размеры в плане - 2,0 х 2,0 м. Общее поджатие структуры за десять шагов нагружения составило 0,000125 м. Механические параметры материалов отвечали стали ВСтЗпсб и резине марки ИРП-3012. Полученные результаты подтвердили, что наибольшей жесткостью характеризуется расчетная схема задачи 1, учет податливости арматуры обеспечивает снижение расчетных пиков напряжений в пределах 10%, однако определяющим фактором при нахождении полей напряжений является учет реальных условий деформирования слоев, сопровождающихся упругим выдавливанием резиновой массы и процессе сжатия пакета и формированием "бочкообразной" конфигурации боковых поверхностей. На рис. 6, 7 приведены эпюры нормальных и касательных напряжений в резиновом слое, полученные по схеме задачи 4. Поведение функций нормальных напряжений практически определяется особенностями поведения функции типа гидростатического давления. Касательные напряжения достигают максимумов на контуре поперечного сечения и по величине на порядок ниже действующих значений нормальных напряжений. Видно, что нормальные напряжения имеют глобальный экстремум в центре координат-

ной системы, где напряженное состояние близко к гидростатическому сжатию;

• в подразделе 4.2 приведено решение аналогичной задачи для трехслойного резинометаллического цилиндра. Расчеты выполнены для цилиндра со следующими характеристиками: толщина металлических слоев - 060025 м, резинового - 0,02 м, радиус основания цилиндра - 1 м. Цилиндр поджимался за десять актов нагружения на общую величину 0,0001 м. На рис. 8 приведена эпюра радиальных напряжений в металле. Растягивающие напряжения в металле значительно превышают напряжения в резине, следовательно, при критических нагрузках разрушение тонкослойных резинометаллических элементов может произойти вследствие разрыва армирующих слоев;

• в подразделе 4.3 рассмотрена задача, связанная с изучением механического поведения слоистых резинометаллических опор (РМО) цилиндрической формы, используемых в системах активной вибросейсмо-защиты зданий и сооружений. В расчете параметры РМО были приняты следующими: диаметр основания d =0,6 м, высота цилиндрического пакета h = 0,23 м, структурно опора набиралась из девяти резиновых дисков толщиной 0,02 м и десяти армирующих металлических дисков толщиной 0,005 м. Механические параметры составляющих фаз отвечали резине ИРП-3012 и стали ВстЗпсб. Каждый резиновый слой разбивался на три подслоя конечных элементов, армирующие диски аппроксимировались однослойной моделью. Таким образом, общее число слоев в конечноэле-ментной модели составило 37, число неизвестных с учетом исключения функции типа гидростатического давления на этапе формирования якобиана системы - 13110. При разбивке полуоснования цилиндра на 196 треугольников ширина ленты матрицы была равна 390. Была реализована двухэтапная процедура нагружения сейсмоизолятора: на первом этапе опора поджималась на заданную величину v0 = 0,002 м за четыре шага на-

гружения. На втором осуществлялся сдвиг опоры в вертикальной плоскости путем задания смещения верхнего основания цилиндра относительно нижнего на величину иа = 0,2 м за десять шагов. Для поддержания постоянного значения вертикальной несущей способности опоры в ходе реализации второго этапа использовался следующий алгоритм:

• фиксируем значение сжимающей силы Р0 по окончанию процедуры начального поджатия цилиндра;

• задаем величину относительного горизонтального смещения оснований цилиндра и, решаем уравнение (12) и находим значение вертикальной реакции споры Ри на это воздействие. Этому шагу отвечает приращение поля перемещений Д К»;

• задаем величину эталонного вертикального перемещения V, решаем уравнение (12) и находим приращение вертикальной сжимающей

силы от этого вида нагружения - АР,. Этому этапу отвечает приращение

вектора решения Д У,.;

• суперпозицией находим окончательное решение задачи на текущем цикле нагружения по формуле:

А У = Д к- (Р„ - Р0 )Д Г»'/ ДР„.

В рамках линейного соотношения (12) указанный алгоритм обеспечивает сохранение вертикальной несущей способности' опоры на втором этапе нагружения. Без принципиальных изменений данный алгоритм может быть распространен на случай, когда значение Р0 изменяется в процессе нагружения по заданному закону. На рис.9, 10 изображены поверхности нормальных истинных напряжений во втором резиновом и первом металлическом слоях конечных элементов, полученные по окончанию расчетов на втором этапе нагружения. Предварительно осуществлялось усреднение

выводимых функций по объему элемента с последующим осреднением вокруг каждой узловой тонки в деформированной конфигурации. Характер распределения напряжений сложный, не следующий из классической теории внецентренно сжатых коротких брусьев, использующей гипотезу Бернулли. Пики напряжений смещены от крайних волокон к центру области. В ходе реализации сдвиговых перемещений на одной из половин кругового сечения реализуется зона растяжения, а значения сжимающих напряжений в противоположной части сечения практически удваиваются. На рис. 11 проиллюстрирована поверхность касательных напряжений, полученных во втором (резиновом) слое и обусловленных наложением полей напряжений от вертикальной и горизонтальной составляющих внешней нагрузки. Видно, что максимумов касательные напряжения достигают на крайних волокнах, а ближе к центру значения выравниваются и закон распределения близок к равномерному. Полученные распределения нормальных и касательных напряжений свидетельствуют о принципиальной неприменимости методик расчета сейсмоизоляторов, основанных на результатах классического курса сопротивления материалов. На рис. 12 приведена нагрузочная диаграмма опоры, полученная интегрированием поля касательных напряжений в резиновом слое. Зависимость сдвигающей силы от горизонтального смещения носит жесткий характер. Отметим, что процесс построения решения данной задачи достаточно трудоемок. На ПЭВМ с вышеупомянутой конфигурацией время численной реализации задачи составило 720 мин. в среде MSFORTRAN Power Station с двойной точностью представления данных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Разработана технология численного решения пространственных геометрически нелинейных задач теории упругости эластомеров с учетом эффекта объемной сжимаемости, основанная на использовании определяющих уравнений для структурно-неоднородных эластомеров, техники

метода конечных элементов в приращениях и вычислительных возможностях современных персональных ЭВМ средней мощности. В работе решены следующие локальные задачи: \> '

• получены определяющие уравнения для' описания деформирования слабосжимаемых эластомеров с применением.в'.качестве базового потенциала Трелоара;

• выполнена дискретизация постановочной-чтруппы уравнений по методу конечных элементов, в рамках которой реализована концепция инкрементальной процедуры по процессу изменения внешних воздействий;

• отработаны приемы, обеспечивающие эффективную реализацию дискретных задач на ЭВМ и по своей сути детерминирующие технологию нумерации и сокращения числа базовых неизвестных, а также исключающие трудоемкие операции аналитического дифференцирования при построении якобианов систем;

• разработаны процедуры высокоскоростной реализации линеаризованных задач на ЭВМ; <-'■.

• з рамках конечных упругих деформаций решены некоторые актуальных с точки зрения механики высокоэластичных материалов задачи (сжатие резиновых куба и цилиндра, кручение резинового куба);

• предложенный алгоритм решения нелинейных задач.реализован в расчетах составных резиноармированных структур с контрастными механическими характеристиками - тонкослойных резинометаллических элементов. Получены решения практически важных задач для слоистого параллелепипеда и цилиндра;

• решена имеющая непосредственное техническое приложение задача определения напряженно-деформированного состояния и сдвиговой жесткости предварительно сжатой слоистой резинометаллической опоры. Продемонстрирована несостоятельность расчета таких систем классическими методиками сопротивления материалов.

Рис. 5. Зависимость величины крутильного распора от номера шага нагружения.

Рис. 6. Поверхность нормальных напряжений в резиновом слое.

Рис.9. Поверхность нормальных напряжений в слое резины.

03

025 /

Рис. 11. Поверхность касательных напряжений в слое резины.

Рис. 10. Поверхность нормальных напряжений в слое металла.

Рис. 12. Нагрузочная диаграмма сейсмоизолятора.

Основные результаты по содержанию диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Конечноэлементный анализ трехмерных геометрически нелинейных краевых задач механики эластомеров / Фролов Н. Н., Михайленко Е. В.; Кубан. гос. технол. ун-т. - Краснодар, 1997. - 17 е.: ил. 8. Библиогр.: 7 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 06.08.97, № 2628 - В97.

2. Особенности конечноэлементной реализации нелинейных краевых задач механики слабосжимаемых эластомеров / Фролов Н. Н., Алексеев В. Г., Михайленко Е. В.; Кубан. гос. технол. ун-т. - Краснодар, 1997. - 16 е.: ил. 5. Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 31.10.97, № 3231 - В97.

3. Расчет напряженно-деформированного состояния двухслойного резинометаллического параллелепипеда в нелинейной постановке. Фролов Н. Н., Михайленко Е. В. Сб. «Проблемы физико-математического моделирования». Кубан. гос. технол. ун-т, 1997 с. 131-134.

4. Расчет двухслойного резинометаллического цилиндра в нелинейной постановке. / Фролов Н. Н., Михайленко Е. В.; Кубан. гос. технол. ун-т. - Краснодар, 1998. - 11 е.: ил. 4. Библиогр.: 5 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 05.02.98, № 346 - В98.