Конечные линейные группы, порожденные двумерными элементами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Основные понятия и методы.

§1. Определения и обозначения

§2. Необходимые сведения из теории конечных линейных групп

§3. Приводите группы небольших степеней.

ГЛАВА II. Группы, порожденные двумерными унипотентными элементами.

§4. Группы, порожденные квадратичными двумерными элементами.

§5. Группы, порожденные двумерными трансвекциями

ГЛАВА III. Условия полной приводимости в положительной характеристике

§6. Анализ неприводимых примитивных линейных групп небольших степеней.

§7. Импримитивные и приводимые J> -группы

§8. Некоторые ограничения на степени групп

ГЛАВА 1У. Линейные группы, порожденные двумерными элементами.

§9. Случай двумерных элементов порядка больше трех

§10. Случай двумерных элементов порядка

ГЛАВА У. Квадратичные элементы порядка 4.

§11. Описание конечных линейных групп, порожденных квадратичными элементами порядка

Классификация конечных линейных групп, порожденных преобразованиями специального вида, относится к числу традиционных задач теории линейных групп /см. обзорную статью А.Е.Залесско-го [4] , §§ II, 12/ .

Назовем элемент эс , принадлежащий общей линейной'группе GLi^F) матриц порядка П. над полем F , к -мерным элементом, если ранг матрицы ос. - Eh. равен к , где En. единичная матрица степени п.

Например, одномерными элементами являются отражения, псевдоотражения и, в положительной характеристике, еще и трансвекции. Конечные линейные неприводимые группы, порожденные одномерными элементами, к настоящему времени полностью описаны для любого поля Г . /см. [4] , §12/ .

В работах [28] , [29] , [33] получена классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, в случае поля нулевой характеристики. Разработанные при этом методы существенно используют предположение о том, что характеристика поля Р равна 0.

Естественно возникает задача описания неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, над полем положительной характеристики.

Цель настоящей диссертации - классификация конечных неприводимых линейных групп над полем р характеристики > 7, порожденных двумерными элементами, которые не являются инволюциями. Ограничение на характеристику поля вызвано тем, что при малых f> возникает множество различных случаев, требующих отдельного рассмотрения.

Основными результатами диссертации являются теоремы 2, 3, 4,

В главе I диссертации приведены определения, обозначения, известные результаты. В §3 доказано несколько предложений, которые неоднократно будут использоваться в дальнейшем.

Введем некоторые соглашения, .связанные с терминологией. Двумерные элементы порядка Z. из группы Sl(n, F) будем называть -элементами. Группу, порожденную двумерными элементами, будем называть J) -группой. Линейная группа Q с- £L(V) называется Z -мерной, если пространство V размерности п. можно представить в виде прямой суммы неприводимого G -модуля размерности z и тривиального С -модуля размерности я. -z.

Жорданову клетку размера К , соответствующую собственному значению Я, обозначим через fa . элемент jc из группы SLCh-jP) является трансвекцией, если он имеет следующую жорданову форму: oLiug. Ек-л) . Элемент ос из группы SL(kF) называется квадратичным, если степень его минимального полинома равна двум. Ясно, что жорданова форма квадратичного унипотентно-го элемента не содержит жордановых клеток размера к> 2.

Произвольный J)р -элемент / jb = cJLtn. F / является матрицей одного из двух типов: либо его жорданова форма имеет вид либ° " окв&С^з, Ек-з) • В первом случае J)/0 -элемент является квадратичным. элементы с жордановой формой Е*.-з) будем называть обобщенными или двумерными трансвекциями.

1. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. - М.: Мир, 1982.

2. Залесский А.Е. Классификация конечных линейных групп степени 5 над полем характеристики, не равной 0, 2, 3, 5. ДАН БССР, 1976, т.20, №9, с.773-775.

3. Залесский А.Е. О конечных линейных группах. У республиканская конференция математиков Белоруссии. Тезисы докладов, Гродно, 1980, с.11-12.

4. Залесский А.Е. Линейные группы. УМН, 1981, т.36, вып.5, с.57-107.

5. Залесский А.Е.,Серёжкин В.Н. Линейные группы, порожденные трансвекциями. Изв.АН СССР, сер.матем., 1976, т.40, №1, с.26-49.

6. Залесский А.Е.,Серёжкин В.Н. Конечные линейные группы, порожденные отражениями. Изв.АН СССР, сер.матем., 1980,т.44, Р6, с.1279-1307.

7. Залесский А.Е.,Серёжкин В.Н. Линейные группы, порожденные псевдоотражениями. Изв.АН БССР, сер.физ.-матем.н., 1977, №5, с.9-16.

8. Залесский А.Е.,Супруненко И.Д. Классификация конечных неприводимых линейных групп степени 4 над полем характеристики f> > 5. Изв. АН БССР, с ер. физ. мат ем. н., 1978, №6, с.9-15. Исправление: Изв.АН БССР, сер.физ.-матем.н., 1979, РЗ,с.136.

9. Корлюков А.В. Линейные группы, порожденные двумерными квадратичными элементами. Тезисы докладов II областной конференции молодых ученых, Гродно, 1983, с.77.

10. Корлюков А.В. Линейные группы, порозденные двумерными тран-свекциями над конечными полями характеристики > 7. ДЕЛ ВИНИТИ 15.II.83, рег.№ 6098-83 ДЕЛ.

11. Корлюков А.В. Линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка ^>/5. Вестн.Моск.ун-та.Сер.I.Математика. Механика, 1983, №5, с.19-22.

12. Корлюков А.В. Конечные неприводимые линейные группы, порожденные двумерными элементами порядка 3 и 4. IX Всесоюзный симпозиум по теории групп.Тезисы докладов, М., 1984, с.

13. Премет А.А.,Супруненко И.Д. Квадратичные модули для групп Шевалле над полями нечетных характеристик. Ин-т матем.АН БССР, препринт, 1981, № 22/123/.

14. Премет А.А.,Супруненко И.Д. Модули Вейля и неприводимые представления симплектических групп с фундаментальными старшими весами. Ин-т матем.АН БССР, препринт, 1981, W- 14/115/

15. Семинар по алгебраическим группам. М.: Мир, 1973.

16. Серёжкин В.Н. Группы отражений над конечными полями характеристики \>> 5. ДАН, 1976, т.227, №3, с.574-575. Исправление: ДАН, 1977,т.237, №3, с.504.

17. Серёжкин В.Н. Группы отражений над конечными полями характеристики f>> 5. Ин-т матем.АН БССР, препринт, 1976,№3/3/.

18. Супруненко Д.А. Группы матриц. М.: Наука, 1972.21. bhcbfetdU Н.Р. Finite cotiineaiion угоиря,- CPiicatjO: tl^/v. Cfticago Pies$,22. bfoom. АЛ1. Tfre subgroups of PSLfafr). foz odd ^. — Tzoms. Атег.laik.Soc.к 150- 17 S.

19. Gozenziein D. Tfte ctas^if/cont/'on. of finite simple gzoups.Z. SimpleCjZOL/pS ото/ CLnou£cpSf'S. bu Ue tin of A. M. 5v 4. ^ //У p. ЧЪ -199.

20. Huffman. IVC. Lineotг J^oups* conan elements w/ifi an eiyen space ofcocl/'mension two. p.

21. Huffman, W.Cy WaCes, U.B. Linear jzoupsCOfbiai/urLj an. /п /о /W/on. iv/iA гL-v*/oeigenvalues — Aije&ia, /977,p. L/65-5i£.

22. McKay The non-abeiian. sim-p£eqzoups Gj /&/ z /0 е- сИат.а~с/еъ lal)Jes>. —Comm. in alpef>2a^ /979, ffts), p. ll/07 MVS.31. /1c Laujt^l/rL J. Some suSyz&^/oz of SLh СРЛ). yC£ino/s.y. Matt., /969; -/*>, /о.